Tài liệu [2h1 7.1 ][3]c50_03 sgd thanh hóa 2018 copy

Câu 50. [2H1-7.1-3] (SGD THANH HÓA-2018-LẦN 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh  ABCD  . Gọi M và N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB bằng 2, SA 2 và SA vuông góc với mặt đáy 1 1 T   2 SMC SNC   vuông góc với mặt phẳng   . Tính tổng AN AM 2 khi thể tích , AD sao cho mặt phẳng khối chóp S . AMCN đạt giá trị lớn nhất. A. T 5 4. B. T 2 . T C. .Lời giải. 2 3 4 . 13 T 9 D. Đáp án A Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0; 0;0), B (2;0;0), D (0; 2;0), S (0;0; 2)  C (2; 2;0) AM  x, AN  y , x; y  [0; 2] , suy ra M ( x;0; 0), N (0; y;0) Đặt    SM ( x;0;  2), SC (2; 2;  2), SN (0; y;  2)       n1 [ SM , SC ] (4; 2 x  4; 2 x) , n2 [SN , SC ] (4  2 y;  4;  2 y )   n .n 0  4(4  2 y )  4(2 x  4)  4 xy 0  xy  2( x  y ) 8 ( SMC )  ( SNC ) Do nên 1 2 8  2x 8  2x  y 2  x 1. x  2 , do y 2 nên x  2 S AMCN S ABCD  S BMC  S DNC 4  (2  x )  (2  y )  x  y 1 2 2 8  2 x  2 x2  8 VS . AMCD  SA.S AMCN  ( x  y )   x   3 3 3 x  2   3 x2 . Do đó 2 x2  4x  8 2 x2  8 f '( x)  3 ( x  2) 2 . 3 x  2 với x  [1; 2] , Xét f '( x ) 0  x 2  4 x  8 0  x  2  2 3; x  2  2 3 (loại). max f ( x )  f (1)  f (2) 2 Lập bảng biến thiên ta được suy ra [0;2] .   x 1  1 1 1 1 5  y 2 max VS . AMCN 2    T   2 2  . 2 2   x 2 AM AN x y 4    y 1 Vậy Cách 2: Đặt AM x, AN  y . Gọi: O  AC  BD; E BD  CM ; F BD  CN . f ( x)  H là hình chiếu vuông góc của O lên SC , khi đó: SC  OH  SC  HE  SC   HBD     SC  HF Ta có: SC  BD HO  2 3 SMC , SNC  HE , HF 900         Do đó: HE  HF 1 2 VS . AMCN  SA.S AMCN   x  y  3 3 Mặt khác: Tính OE , OF :  Ta có x  0, y  0 và nếu x 2, y 2 thì gọi K là trung điểm của AM , khi đó: OE KM x OE EB OB x 2       OE  EB MB 4  2 x x 4  2x 4  x 4 x y 2 OF  2 4  y . Mà: OE.OF OH   x  2   y  2  12 . Tương tự: OE.OF OH 2   x  2   y  2  12  Nếu x 2 hoặc y 2 thì ta cũng có .  x  2   y  2  12 Tóm lại: 1 2 2 2 12 VS . AMCN  SA.S AMCN   x  y     x  2    y  2   4     x  2    3 3 3 3 x  2  Suy ra: MaxVS . AMCN Do đó:   x 1  1 1 1 1 5  y 2 2    T   2 2  . 2 2   x 2 AM AN x y 4    y 1  4 