Tài liệu 200 bt logarit-loigiai

www.VNMATH.com
Ph
 nh Ph
ng
ng tri
trinh  Bât ph
 nh ph
ng
ng tri
trinh  Hê ph
 nh ph
ng
ng tri
trinh  Hê bât ph
 nh ph
ng
ng tri
trinh Mu & Logarit Ths. Lê Lê Vn Đoa
oan Bài 1. www.VNMATH.com Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002 Giải các phương trình và bất phương trình sau 1/ 2 log5 x − log x 125 < 1 2/ 4 x − x 2 −5 − 12.2x −1− (1) x 2 −5 +8=0 (2) Bài giải tham khảo 1/ Giải bất phương trình : 2 log5 x − log x 125 < 1 (1) ● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 . (1) ⇔ 2 log5 x − log 1 125 x − 1 < 0 ⇔ 2 log5 x − 3 −1 < 0 log5 x   log x < −1 t = log5 x ≠ 0 t = log5 x x < 1 5  ⇔  2t2 − t − 3 ⇔  ⇔ ⇔ . 5  0 < log x < 3  t < −1 ∨ 0 < t < 3 <0 1 < x < 5 5 5    2 2 t   1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ 0;  ∪ 1; 5 5 .  5  ( 2/ Giải phương trình : 4 x − x 2 −5 − 12.2x −1− x 2 −5 +8=0 ) (2) x ≤ − 5  ● Điều kiện : x − 5 ≥ 0 ⇔  ⇒ Tập xác định : D = −∞; − 5  ∪  5; +∞ .   x ≥ 5   x− x2 −5  2 2 =2 t = 2x − x −5 > 0  x − x2 −5 2 2 x x 5 − −  +8 =0 ⇔ ⇔  − 6.2 (2) ⇔ 2 2  x− x2 −5  t − 6.t + 8 = 0 =4 2   x ≥ 1 x − 1 ≥ 0       2 x = 3   2 x = 3 2 2     x 5 x 1 − = − x x 5 1 x 5 x 1 − − = − = −  ( )      . ⇔ ⇔ ⇔  ⇔ x ≥ 2 ⇔  x − 2 ≥ 0 x = 9   x − x2 − 5 = 2  x2 − 5 = x − 2        4   9 2 x = x2 − 5 = (x − 2)   4 ( 2 ● Kết hợp với điều kiện, phương trìn có hai nghiệm là x = Bài 2. 9 ; x = 3. 4 Cao đẳng Sư Phạm Hà Tĩnh khối A, B năm 2002 2 log x (log x) Giải bất phương trình : 2 2 + x 2 ≤ 4 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > 0 ⇒ tập xác định : D = (0; +∞) . ● Đặt log2 x = t ⇔ x = 2t . Lúc đó : 2 (∗) ⇔ 2t t ( ) + 2t 2 2 2 ≤ 4 ⇔ 2 t + 2 t − 4 ≤ 0 ⇔ 2 t ≤ 21 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1 ● Với t = log2 x ⇒ −1 ≤ log2 x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2. 2 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ (0; +∞) . ) Bài 3. www.VNMATH.com Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 (x + 1) log23 x + 4xlog3 x − 16 = 0 (∗) Giải phương trình : Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > 0 ⇒ Tập xác định D = (0; +∞) . ● Đặt t = log3 x và do x > 0 ⇒ x + 1 ≠ 0 . Lúc đó : (∗) ⇔ (x + 1) t2 + 4xt − 16 = 0 . 2 2 ● Lập ∆ ' = 4x2 + 16x + 16 = 4 (x + 2) ⇒ ∆ = 4 (x + 2) = 2 (x + 2), (do x > 0) .   t = −2x + 2 (x + 2) = 4  x +1 x +1. ⇒   t = −2x − 2 (x + 2) = −4  x +1  ● Với t = −4 ⇒ log3 x = −4 ⇔ x = ● Vớ i t = 4 4 ⇒ log3 x = x +1 x +1 1 . 81 (1) Nhận thấy phương trình (1) có một nghiệm là x = 3 . Hàm số f (x ) = log3 x : là hàm số đồng biến trên (0;+∞) . Hàm số g (x) = 4 −4 < 0, ∀x ⇒ g (x) : nghịch biến trên (0;+∞) . có g ' (x) = 2 x +1 x + 1 ( ) Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 3 . 1 , x = 3. 81 ● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x = Bài 4. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Hải Dương năm 2002 Giải bất phương trình : 4x2 + x.2x 2 +1 2 2 (∗) + 3.2x > x2 .2x + 8x + 12 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ 4x2 + 2x.2x 2 2 2 + 3.2x − x2 .2x − 8x − 12 > 0 2 2 2      ⇔ 2x.2x − 8x  + 3.2x − 12 + 4x2 − x2 .2x  > 0        2   2   2  ⇔ 2x 2x − 4 + 3 2x − 4 − x2 2x − 4 > 0        2   2  ⇔ 2x − 4 2x + 3 − x2 > 0 ⇔ f (x) = 2x − 4 x2 − 2x − 3 < 0 (1)     ( ) ( )  2 x = ± 2 x2 = 2 2x − 4 = 0 . ⇔ ⇔ ● Cho  2 x − 2x − 3 = 0 x = −1 ∨ x = 3 x = −1 ∨ x = 3 ● Bảng xét dấu x −∞ − 2 −1 2 3 +∞ 2 x2 www.VNMATH.com + −4 x2 − 2x − 3 + f ( x) + 0 − 0 − + 0 − − 0 + 0 + 0 + − 0 − 0 + ) ( 2; 3 . ( ● Dựa vào bảng xét, tập nghiệm của bất phương trình là : x ∈ − 2; −1 ∪ Bài 5. + ) Cao đẳng khối T, M năm 2004 – Đại học Hùng Vương log 3  log2 (xy) 9 = 3 + 2. (xy) 2 Giải hệ phương trình :  x2 + y2 = 3x + 3y + 6  (1) (2) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : xy > 0 . 2. log2 (xy) (1) ⇔ 3 − 2.3 log2 (xy)  log (xy) t = 3log2 xy > 0 = − 1 (L ) t = 3 2  −3 = 0 ⇔  2 ⇔ log2 (xy) t − 2t − 3 = 0  =3  t = 3  ⇔ log2 ( xy) = 1 ⇔ xy = 2 2 (2) ⇔ (x + y) (3) . x + y = 5 2 − 3 (x + y) − 2xy − 6 = 0 ⇔ (x + y) − 3 (x + y) − 10 = 0 ⇔  (4) .  x + y = −2  xy = 2  5 − 17  5 + 17 x + y = 5 x = x = y = 5 − x    2 2 . ⇔  2 ⇔  ∨  (3), (4) ⇔ xy = 2    − + − = x 5x 2 0 + − 5 17 5 17     y = y =  (VN)  x + y = −2 2 2    Bài 6. Cao đẳng Sư Phạm Hải Phòng – Đại học Hải Phòng năm 2004 1/ Giải phương trình : 2 1 log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x) 2 (∗) 2 ( ) ( 2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x ) (∗ ∗) Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình : 2 1 log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x) 2 (∗) 2 x − 1 ≠ 0 x ≠ 1 −4 < x < 3   ● Điều kiện : x + 4 > 0 ⇔ x > −4 ⇔  .    x ≠ 1  3 − x > 0 x < 3 (∗) ⇔ log2 x − 1 − log2 (x + 4) = log2 (3 − x) ⇔ log2 x − 1 = log2 (3 − x)(x + 4) ⇔ x − 1 = (3 − x)(x + 4) ⇔ x − 1 = −x2 − x + 12 www.VNMATH.com −x2 − x + 12 ≥ 0 −4 ≤ x ≤ 3    x = − 11    2 ⇔  x − 1 = −x − x + 12 ⇔  x = −1 + 14 ∨ x = −1 − 14 ⇔  .    x 1 14 = − + 2   x − 1 = x + x − 12  x = − 11 ∨ x = 11 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là : x = − 11 ∨ x = −1 + 14 . ( ) ( 2/ Giải phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x ) (∗ ∗) 2   2 ( x + 1) > 0 x + 2x + 1 > 0 ⇔ ⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞) . ● Điều kiện :  2 x + 2x > 0 x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞) x 2 + 2x + 1 = 3t > 0 ● Đặt : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x = t ⇒  2 x + 2x = 2t > 0  x2 + 2x = 2t (1)  x2 + 2x = 3t − 1 x 2 + 2x = 2t x2 + 2x = 2t     . ⇔ 2 ⇔ t ⇔ t ⇔  2 t  1 t x + 2x = 2t 3 − 1 = 2t 2 + 1 = 3t   +   = 1 (2)       3   3  ( ) ( ) ● Nhận thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình (2) .  2 t  1 t ● Xét hàm số f (t) =   +   trên » :  3   3  t  2 t 2  1  1  f ' ( t) =   .ln +   . ln < 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) nghịch biến trên » . 3  3  3  3  ● Do đó, t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) . ● Thay t = 1 vào (2), ta được : x2 + 2x = 2 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0 ⇔ x = −1 ± 3 . ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = −1 ± 3 . Bài 7. Cao đẳng Sư Phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TWI năm 2004 1 1 > Giải bất phương trình : log 2 (x−1) 4 2 (∗) Bài giải tham khảo 2 ● Điều kiện : 0 < ( x − 1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0,1, 2 . 1 1 1 1 (∗) ⇔ 2 log x−1 4 > 2 ⇔ log x−1 4 > log x−1 x −1 (∗ ∗)  1  x − 1 > 1  > x − 1  ⇔ ● Nếu x − 1 > 1 thì (∗ ∗) ⇔  4 (vô lí) ⇒ Không có x thỏa.   x − 1 < 1 − > x 1 1   4 ● Nếu 0 < x − 1 < 1 thì    0 < x < 3  1 < x − 1 0 < x − 1 < 1 1  4. ⇔ ⇔ 0 < x −1 < ⇔  (∗ ∗) ⇔  4 1  5 4  x −1 < 0 < x − 1 < 1   0 x + y > 0 ⇔  ● Điều kiện :  . x > 0, y > 0 y > 0 2 2   x2 + y2 = 32 x 2 + y2 = 32 (x + y) − 2xy = 32 ( x + y) = 64     ⇔ (∗) ⇔ log x + log y = 4 ⇔ log xy = 4 ⇔   2  2 ( ) xy = 16 xy = 16 2 x = y = 4 x + y = 8 x + y = −8 ⇔  ∨  ⇔  .  x = y = −4 xy = 16 xy = 16 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là S = (x; y) = Bài 9. {(4; 4)} . Cao đẳng Sư Phạm Bắc Ninh năm 2004 2 3 log 1 (x + 3) − log 1 (x + 3) 2 Giải bất phương trình : 3 x +1 >0 (∗) Bài giải tham khảo x > −3 . ● Điều kiện :  x ≠ 1  ● Trường hợp 1. Nếu x + 1 < 0 ⇔ −3 < x < −1 . 2 (∗) ⇔ log 1 (x + 3) 3 − log 1 (x + 3) < 0 2 3 ⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) < 0 ⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) < 0 ⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) < 0 ⇔ log3 (x + 3) > 0 (Do : 3 − 2 log2 3 < 0) ⇔ x + 3 > 1 ⇔ −2 < x < −1 thỏa mãn điều kiện : −3 < x < −1 . ● Trường hợp 2. Nếu x + 1 > 0 ⇔ x > −1 . 2 (∗) ⇔ log 1 (x + 3) 3 − log 1 (x + 3) > 0 2 3 ⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) > 0 ⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) > 0 ⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) > 0 ⇔ log3 (x + 3) < 0 (Do : 3 − 2 log2 3 < 0) www.VNMATH.com ⇔ x + 3 < 1 ⇔ x < −2 không thỏa mãn điều kiện x > −1 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−2; −1) . Bài 10. Cao đẳng Sư Phạm Bình Phước năm 2004 ( ) (∗) Giải phương trình : 3x2 − 2x 3 = log2 x2 + 1 − log2 x Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > 0 . (∗) ⇔ log2  x2 + 1 = 3x2 − 2x 3 ⇔ log2 x + x  1   = 3x2 − 2x 3 x  (∗ ∗)  1 Côsi 1 1 ≥ 2 x. ⇔ x + ≥ 2 ⇒ log2 x + ● Ta có ∀x > 0 : x + x x x  1 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = ⇔ x2 = 1 ⇔ x 1   ≥ log2 2 = 1 . x  x = 1   x = −1 L ⇔ x = 1 . ( )  ● Xét hàm số y = 3x2 − 2x 3 trên khoảng (0;+∞) : y ' = 6x − 6x2 . Cho y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 1 . f (0) = 0  ⇒ max y = 1 ⇒ y = 3x2 − 2x 3 ≤ 1 . Dấu " = " xảy ra khi x = 1 . Mà  f (1) = 1 (0;+∞)     log x + 1  ≥ 1 (1) 2   x   2  ● Tóm lại : (∗ ∗) ⇔ 2x − 2x 3 ≤ 1 (2) ⇔ Dấu " = " trong (1), (2) đồng thời xảy ra    log x + 1  = 3x2 − 2x 3 2 x    ⇔ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 11. Cao đẳng Sư Phạm Kom Tum năm 2004 Giải phương trình : log5 x. log3 x = log5 x + log3 x (∗) Bài giải tham khảo log x (∗) ⇔ log5 x. log3 x − log5 x − log5 3 = 0 5  1  ⇔ log5 x log3 x − 1 − = 0 log5 3   ⇔ log5 x (log3 x − log3 3 − log3 5) = 0 ⇔ log5 x. (log3 x − log3 15) = 0  log x = 0 x = 1 5  ⇔ ⇔  . log x − log 15 = 0 3  x = 15  3 Bài 12. Cao đẳng Giao Thông năm 2004 Giải bất phương trình : 8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5 (1) www.VNMATH.com Bài giải tham khảo (1) ⇔ x 8 + 2.2 − t = 2x > 0  > 5 − 2.2 ⇔  2  8 + 2t − t2 > 5 − 2.t   t > 0  t > 5  2  5 −2 ≤ t ≤ 4  t 0    1 < t ≤  2  5  t ≤ 2 2  > (5 − 2t)  17 1 < t <  5 2 ( )  t > 0  5 − 2t < 0  8 + 2t − t2  ⇔  t > 0   5 − 2t ≥ 0  8 + 2t − t2  x x ● Thay t = 2x vào ta được : 1 < 2x ≤ 4 ⇔ 20 < 2x ≤ 22 ⇔ 0 < x ≤ 2 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;2 . Bài 13. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2004 Giải bất phương trình : log22 x + 3 log2 x + 3 >2 (∗) Bài giải tham khảo  x > 0 x > 0 x > 0 x > 0   ⇔ ⇔ ⇔ ● Điều kiện :  . log2 x + 3 ≠ 0 log2 x ≠ log2 2−3 x ≠ 2−3 x ≠ 1     8 log22 x + 3 (∗) ⇔ log x+3 2 −2 > 0 ⇔ log22 x − 2 log2 x − 3 log2 x + 3 ● Đặt t = log2 x . Khi đó (∗ ∗) ⇔ ● Xét dấu f (t) = t (t + 1)(t − 3) −∞ t+3 >0 (∗ ∗) (t + 1)(t − 3) > 0 t2 − 2t − 3 > 0 ⇔ f (t) = t+3 t+3 : −3 f (t) + −1 3 0 0 ● Kết hợp bảng xét dấu và (∗ ∗ ∗), ta được : −3 < t < −1  ⇔ t > 3  −3 < log x < −1 2  ⇔  log x > 3  2 1   1 1 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈  ;  .  8 2  Bài 14. (∗ ∗ ∗) . Cao đẳng Cơ Khí Luyện Kim năm 2004 +∞ + ( www.VNMATH.com ) ( ) (∗) Giải phương trình : log2 25x +3 − 1 = 2 + log2 5x +3 + 1 Bài giải tham khảo  x +3 − 1 > 0  x + 3 > 25o 25 25 ● Điều kiện :  x + 3 ⇔  x +3 ⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3. 5 5 +1> 0 + 1 > 0 (Ð), ∀x ∈ »   (∗) ⇔ log2 (25x+3 − 1) = log2 4 + log2 (5x +3 + 1) ⇔ log2 25x + 3 − 1 = log2 4. 5x + 3 + 1  ⇔ 25x + 3 − 1 = 4.5x + 3 + 4    5 x + 3 = −1 L 2 ( ) ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2 x +3 x +3 ⇔ 5 − 4.5 − 5 = 0 ⇔  x + 3 =5 5  ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x = −2 . ( ( Bài 15. ) ( ) ) Cao đẳng Hóa Chất năm 2004 ( ) ( ) Giải phương trình : log2 2x + 1 .log2 2x +1 + 2 = 6 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . (∗) ⇔ log2 2x + 1 . log2 2. 2x + 1  = 6 ⇔ log2 2x + 1 . 1 + log2 2x + 1  − 6 = 0   t = log 2x + 1 > 0 t > 0 t > 0  2 ⇔  ⇔  2 ⇔  ⇔ t=2 t (1 + t) − 6 = 0 t + t − 6 = 0 t = 2 ∨ t = −3 (L)    ( ( ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) ⇔ log2 2x + 1 = 2 ⇔ 2x + 1 = 4 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = log2 3 . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = log2 3 . Bài 16. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004 Giải phương trình : 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0 Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . (∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x+1 + 9 = 0 t = 3x +1 > 0  3x +1 = 1  x = −1 t = 3x +1 > 0     ⇔ 2 ⇔ ⇔ ⇔ .  x +1  −1 27t − 36t + 9 = 0 t = 1 ∨ t = 1 x 2 = − 3 =3      3 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = −1 . Bài 17. Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2004 1/ Giải phương trình : 8sin 3 x = 8.8 π x  2 cos2  − + sin2 x  4 2  (1)  2/ Tìm tập xác định của hàm số : y = 4 log2 x − log2  2 1   − 3 + x2 − 7x + 6 x  (2) www.VNMATH.com Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình : 8 (1) ⇔ 8 sin3 x sin3 x = 8.8 π  1+ cos −x+ sin2 x +1  2  =8 π x  2 cos2  − + sin2 x  4 2  ⇔ 8sin 3 x 2 = 8sin (1) x + sin x +2 ⇔ sin3 x = sin2 x + sin x + 2 t = sin x, t ≤ 1  ⇔ 3 ⇔ t = 2 (loại). t − t2 − t − 2 = 0  Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.  2/ Tìm tập xác định của hàm số : y = 4 log2 x − log2  (2) ⇔ y = 2 1   − 3 + x2 − 7x + 6   x 4 log2 x − log22 x − 3 + x2 − 7x + 6 . x > 0 x > 0   2  ● Hàm số xác định khi và chỉ khi : − log2 x + 4 log2 x − 3 ≥ 0 ⇔  x ≤ 1 ∨ x ≥ 6   2 1 ≤ log2 x ≤ 3 x − 7x + 6 ≥ 0   0 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 6 ⇔  ⇔ 6 ≤ x ≤ 8. 2 ≤ x ≤ 8  ● Vậy tập xác định của hàm số là D = 6; 8 . Bài 18. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2004  2 x + 5x + 4 ≤ 0 (1) Giải hệ phương trình :  (2 + x) .3x < 1 (2)  Bài giải tham khảo ● Tập xác định D = » . (1) ⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ⇒ x ∈ −4; −1 .  1 x (2) ⇔ x + 2 <  3  .   ● Với x ∈ −4; −1 . Xét hàm số f ( x) = x + 2 đồng biến trên −4; −1 .   ⇒ max f (x) = f (−1) = 1 . −4;−1    1 x ● Với x ∈ −4; −1 . Xét hàm số g (x ) =   nghịch biến trên −4; −1 .  3  ⇒ min g (x) = f (−1) = 3 . −4;−1   ● Nhận thấy max f (x) < min g (x) , (1 < 3) nên g (x ) > f (x) luôn luôn đúng −4;−1   −4;−1   ∀x ∈ −4; −1 . Do đó tập nghiệm của bất phương trìn là x ∈ −4; −1 . Bài 19. Cao đẳng Y Tế Nghệ An năm 2004 (2) www.VNMATH.com 3 x3 1 Giải phương trình : log3 . log2 x − log3 = + log2 x x 2 3 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > 0 . (∗) ⇔ (log3 3 − log3 x). log2 x − (log3 x 3 − log3 ) 3 = 1 1 + log2 x 2 2  1 1 1 ⇔ (1 − log 3 x) . log2 x − 3 log 3 x −  = + log2 x 2  2 2  ⇔ log2 x − log2 x. log3 x − 3 log3 x + ⇔ 1 1 1 − − log2 x = 0 2 2 2 1 log2 x − log2 x.log3 x − 3 log3 x = 0 2 ⇔ log2 x − 2 log2 x.log3 x − 6 log3 x = 0 ⇔ log2 x − 2 log2 x. log3 x − 6. log2 x log2 3 =0 ⇔ log2 x. 1 − 2 log3 x − 6 log3 2 = 0  log x = 0 x = 1  2   ⇔ ⇔  log x = 1 − 3 log 2 = log 3 − log 8 = log 3 x = 3 .  3  3 3 3 3 2 8 8   ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1, x = Bài 20. 3 . 8 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp I năm 2006 Giải phương trình : logx 4.log2 5 − 12x =2 12x − 8 (∗) Bài giải tham khảo 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1    ⇔  5 ● Điều kiện :  5 − 12x .   < x < 2 >0 12x − 8 12 3  x = 1 1 5 − 12x 5 − 12x 5 − 12x  (∗) ⇔ log x .log2 12 − 8 = 1 ⇔ log2 12 − 8 = log2 x ⇔ 12 − 8 = x ⇔  2 5 . 2 x = − 6  ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = Bài 21. 1 . 2 Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006 2 Giải phương trình : 42x − 2.4 x 2 +x + 42x = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . 2 2 (∗) ⇔ 42x −2x − 2.4x −x + 1 = 0 (chia hai vế cho 42x > 0 ) www.VNMATH.com 2  2 2 ⇔ 4x −x  − 2.4x −x + 1 = 0   2  x = 0 2 t = 4 x −x > 0 . ⇔ ⇔ t = 4 x −x = 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔  t2 − 2t + 1 = 0 x =1    ● Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0, x = 2 . Bài 22. Cao đẳng Xây Dựng số 2 năm 2006 2x + log y + 2x log y = 5  2 2 Giải hệ phương trình :  x 4 + log2 y = 5 2  (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : y > 0 . ● Đặt u = 2x , v = log2 y . Lúc đó :   2 2 (u + v) + 2uv = 10 (+) u + v + uv = 5  ∗ ⇔ ⇔ ⇔ (u + v) + 2 (u + v) − 15 = 0  ( ) u2 + v2 = 5 2 (u + v) − 2uv = 5    x    2 = 1 u + v = −5 VN u = 1 x = 2  ( o ) v = 2 log y = 2 y = 4 uv = 10     2 . ⇔ ⇔  ⇔  x ⇔  2 = 2 u + v = 3 u = 2 x = 4     log y = 1 uv = 2 v = 1 y = 2    2  ● So với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình là : S = (x; y) = Bài 23. {(2; 4), (4;2)} . Cao đẳng Giao Thông Vận Tải III khối A năm 2006 Giải phương trình : 3 +  89x 25  1 = log x  −  log32 x 2x   2 (∗) Bài giải tham khảo 0 < x ≠ 1  x ≠ 1  0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 5      x 0 − < <   5  . ⇔  89x2 − 25 ⇔  ⇔ ● ĐK :  89x 25 89     x ∈  ; ∞ +∞ − >0 >0    5   2    2x  2x 89   0. Bài giải tham khảo 2 1/ Giải phương trình : 2 ln x + ln (2x − 3) = 0 (1) . x > 0  x > 0 ⇔  ● Điều kiện :  . 2x − 3 ≠ 0 x ≠ 3   2  2x − 3 ≥ 0  2  2x − 3x − 1 = 0 (1) ⇔ 2 ln x + 2 ln 2x − 3 = 0 ⇔ x 2x − 3 = 1 ⇔ 2x − 3 < 0  −2x 2 + 3x − 1 = 0    x ≥ 3  3 x = 1 x <   2    2  1 ⇔  x = 3 + 17 ∨  x = 1 ⇔  x = .   2 4  1    3 − 17  x =  x = 3 + 17   x = 2  4  4  ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1 ∨ x = 2/ Giải bất phương trình : 4 x + 2x − 2 4 x − 2x − 2 (∗) . >0 ● Tập xác định D = » . (2 (∗) ⇔ (2 x x )( + 1)(2 )>0⇔ 2 2 − 2) + 2 2x − 1 x x x 2 x < 1  >0⇔ x ⇔ −2 2 > 2  −1  x < 0 .   x > 1 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) . Bài 25. Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2006 Giải phương trình : x +1 ( ) 2 +1 x ( − 3+2 2 ) = x −1 Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . x +1 (∗) ⇔ ( 2 +1 ( 2 +1 ⇔ ) − ( 2x ) 2 +1 x +1 ) + x +1 = = x −1 ( 2x ) 2 +1 + 2x (1) có dạng f (x + 1) = f (2x) (2) ● Xét hàm số f (t) = ( t ) 2 + 1 + t trên » . (1) (∗) 1 3 + 17 ∨x = . 2 4 Ta có f ' (t) = ( t ) ( 2 + 1 . ln www.VNMATH.com ) 2 + 1 + 1 > 0 ⇒ Hàm số f (t) đồng biến trên » (3) . ● Từ (1), (2), (3) ⇒ x + 1 = 2x ⇔ x = 1 . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 . Bài 26. Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối B năm 2006 1 1 Giải phương trình : 5 2 + 5 2 + log5 sin x = 1 + log15 cos x 2 15 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : sin x > 0, cos x > 0 . (∗) ⇔ 5 + 5.5 log5 sin x = 15.15 ⇔ 1 + sin x = 3 cos x ⇔ ⇔x= log15 cos x ⇔ 5 + 5. sin x = 15.cos x  3 1 1 π π cos x − sin x = ⇔ cos x +  = cos  2 2 2 6 3  π π + k2π ∨ x = − + k2π, (k ∈ ») . 6 2 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = Bài 27. π + k2π, (k ∈ ») . 6 Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối D1, M năm 2006 Giải phương trình : log9 x = log 3 ( ) (∗) 2x + 1 − 1 Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình : log9 x = log 3 ( ) 2x + 1 − 1 (∗) x > 0  ⇔ x > 0. ● Điều kiện :   2x + 1 − 1 > 0  (∗) ⇔ log3 x = log 3 ( ) 2x + 1 − 1 ⇔ x = 2x + 1 − 1 ⇔ x = 2x + 2 − 2 2x + 1 x = 0 ⇔ x + 2 = 2 2x + 1 ⇔ x2 + 4x + 4 = 8x + 4 ⇔ x2 − 4x = 0 ⇔  .  x = 4 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 . Bài 28. Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối A năm 2006 2x −y    2 2x −y   2   2 − 6 = 0 3.   + 7.    Giải hệ phương trình :   3   3   lg (3x − y) + lg (y + x) − 4 lg 2 = 0  Bài giải tham khảo  3x − y > 0 ⊕ x > 0 y ● Điều kiện :  ⇔  ⇔ x > > 0. y y + x > 0 x > > 0 3   3 www.VNMATH.com   2x −y   2 2x −y  2    2 2x −y 2        (∗) ⇔ 3. 3  + 7.  3  − 6 = 0 ⇔ 3t + 7t − 6 = 0, t =  3  > 0   lg 3x − y)(y + x) = log 16 3x − y)(y + x) = 16  ( ( 2x −y   2 2x −y 2 2x − y = 2 t =  2  = ∨ t =   = −3 (L)   ⇔  ⇔   3    3  3  2xy + 3x2 − y2 = 16  2xy + 3x2 − y2 = 16   x = 2 y = 2x − 2 y = 2x − 2 y = 2    ⇔ ⇔ 2 ⇔   2x (2x − 2) + 3x2 − (2x − 2)2 = 16 3x + 4x − 20 = 0 10    x = − 3  . ( L) ● Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y) = (2;2) . Bài 29. Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006 Giải phương trình : 9x + 6x = 22x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » .  3 2x  3 x (∗) ⇔ 9 + 6 − 2.4 = 0 ⇔  2  +  2      x x x   3 x  t =   > 0   3 x  2  − 2 = 0 ⇔  ⇔   = 1 ⇔ x = 0 .  t = 1  2    t = −2 (L)  ● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 . Bài 30. Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006 Giải phương trình : 4.4x − 9.2x +1 + 8 = 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . 2 x = 4 x = 2    ⇔ (∗) ⇔ 4.22x  x = −1 . 2 x = 1   2  ● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −1 và x = 2 . t = 2x > 0  x − 18.2 + 8 = 0 ⇔  2 ⇔ 4t − 18t + 8 = 0  Bài 31. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 Giải bất phương trình : 3x 2 −4 ( ) + x 2 − 4 .3 x −2 − 1 ≥ 0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . ● Ta có : (∗) ⇔ 3x 2 −4 ( ) + x 2 − 4 .3x −2 ≥ 1 (1)  x2 −4 + 3 ≥1 x2 − 4  ● Nếu x ≥ 2 ⇒  2 3 ⇔ + x2 − 4 .3x −2 ≥ 1  x − 4 .3x−2 ≥ 0  ( ) ( ) www.VNMATH.com Do đó (1) luôn đúng với x ≥ 2 hay x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) là tập nghiệm của bất   phương trình.  x2 −4 ⊕ 3 <1 x2 − 4  3 ⇔ + x2 − 4 .3x −2 < 1 ● Nếu x < 2 ⇒  2  x − 4 .3x−2 < 0  ( ( ) ) Do đó (1) không có tập nghiệm (vô nghiệm) khi x < 2 . ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) . Bài 32. Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối M năm 2006 (∗) Giải bất phương trình : 3x +2 + 9x +1 − 4 > 0 Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . 3 x = t > 0 3x = t > 0  x 3 = t > 0   (∗) ⇔ 9.3 + 9.9 − 4 > 0 ⇔ 9t2 + 9t − 4 > 0 ⇔  1 4 ⇔  1  t > ∨ t < − t >  3 3 3   x ⇔ 3x > x 1 ⇔ 3x > 3−1 ⇔ x > −1 . 3 ● Vậy tập nghiệm của phương trình là x ∈ (−1; +∞) . Bài 33. Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006 Giải phương trình : 4 3 x + 5 +1 + 2.2 3 x +5 + x = 2.4 x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định : D = » . (∗) ⇔ 4 3 x + 5 +1 4x ( ⇔ 4.2 + 2 3 x +5 −x 2.2 3 x +5 + x 22x − 2 = 0 ⇔ 4.4 3 x +5 −x + 2.2 3 x +5 −x −2 = 0  3 x +5 −x 1 2 = t = = 2−1 2 ⇔   2 3 x +5 −x 4t + 2t − 2 = 0  = t = −1 (L)  2 ) + 2.23 x +5 −x − 2 = 0 ⇔ 2 3 x +5 −x = t>0 ⇔ 3 x + 5 − x = −1 ⇔ 3 x + 5 = x − 1 ⇔ x + 5 = x 3 − 3x2 + 3x − 1 ⇔ x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 . ● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 3 . Bài 34. Cao đẳng Kỹ Thuật Y Tế I năm 2006 ( ) ( ) (∗) Giải phương trình : 1 + log2 9x − 6 = log2 4.3x − 6 Bài giải tham khảo 9x − 6 > 0  ● Điều kiện :  .  x 4.3 − 6 > 0  (∗) ⇔ log2 2 + log2 (9x − 6) = log2 (4.3x − 6) ⇔ log2 2.(9x − 6) = log2 (4.3x − 6) www.VNMATH.com x 2 ( ) x ⇔ 2.9 − 12 = 4.3 − 6 ⇔ 2. 3 x  3x = −1  − 4.3 − 6 = 0 ⇔  x 1  3 = 3 x ( L) ⇔ x = 1 . ● Thay x = 1 vào điều kiện và thỏa điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 . Bài 35. Cao đẳng Tài Chính – Hải Quan khối A năm 2006 Giải bất phương trình : log3 3x − 5 <1 x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : (∗) ⇔ 3x − 5 5 > 0 ⇔ x < −1 ∨ x > . x +1 3 −8 3x − 5 3x − 5 <3⇔ −3< 0 ⇔ < 0 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > −1 . x +1 x +1 x +1 5  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈  ; +∞ .  3 Bài 36. Cao đẳng Kỹ Thuật Cao Thắng năm 2006 ( ) Giải phương trình : log2 x2 − 3 − log2 (6x − 10) + 1 = 0 (∗) Bài giải tham khảo x2 − 3 > 0 5  ⇔x> . ● Điều kiện :  6x − 10 > 0 3  ( ) = log 1 ⇔ 2 (x 2 x2 − 3 2 ) =1⇔ x x = 1  − + = ⇔ 3x 2 0 2 x = 2 . 6x − 10 6x − 10  ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 . (∗) ⇔ log2 Bài 37. −3 2 Cao đẳng Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh năm 2006 Giải phương trình : x 2 + log22 x =8 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > 0 và x ≠ 1 . 1 (∗) ⇔ 2 + log22 x = logx 8 ⇔ log22 x − 3.logx 2 + 2 = 0 ⇔ log22 x − 3. log 2 x +2 = 0 ⇔ log23 x + 2 log2 x − 3 log2 x = 0 ⇔ log2 x = 1 ⇔ x = 2 . ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 2 . Bài 38. Cao đẳng Điện Lực Tp. Hồ Chí Minh năm 2006 Giải phương trình : 3 logx 3 − 3 log27 x = 2 log3 x 4 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 . 3 1 (∗) ⇔ 4 . log 3 x − log3 x − 2 log3 x = 0 ⇔ 3 1 1 . = 3.log3 x ⇔ log23 x = 4 log3 x 4 www.VNMATH.com 1 1 1 ⇔ log3 x = ∨ log3 x = − ⇔ x = 3 ∨ x = . 2 2 3 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 3 ∨ x = 1 . 3 Bài 39. Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 Giải bất phương trình : 5 log3 x −2 x <1 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : (∗) ⇔ log3 x −2 > 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2. x −2 x −2 x −2 <0⇔ <1 ⇔ < 0 ⇔ x > 0. x x x ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (2; +∞) . Bài 40. Cao đẳng Kinh Tế – Công Nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối D1 năm 2006 Giải phương trình : log 1 (x − 3) = 1 + log4 4 1 x (∗) Bài giải tham khảo x − 3 > 0 x > 3   ⇔  ⇔ x > 3. ● Điều kiện :  1 x > 0  > 0   x 1 x−3 x−3 1 = −1 ⇔ = ⇔ x = 4. x x 4 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 4 . (∗) ⇔ − log4 (x − 3) − log4 x = 1 ⇔ log4 Bài 41. Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội năm 2005 2 log x (log x) Giải bất phương trình : 5 5 + x 5 ≤ 10 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > 0 . ● Đặt log5 x = t ⇒ x = 5t . 2 (∗) ⇔ 5t t ( ) + 5t 2 ≤ 10 ⇔ 5t ≤ 5 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1 ⇔ −1 ≤ log5 x ≤ 1 ⇔ 1  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈  ; 5 . 5    Bài 42. Cao đẳng Kinh Tế – Kỹ Thuật Công Nghiệp I khối A năm 2005 Tìm tập xác định của hàm số : y = log 5 (x 2 Bài giải tham khảo ● Hàm số được xác định khi và chỉ khi ) − 5.x + 2 . 1 ≤x≤5 5 www.VNMATH.com x 2 − 5.x + 2 > 0, ∀x ∈ »  5 −1 ⇔ x2 − 5.x + 2 ≥ 1 ⇔ x ≤ ∨ x≥  2 log x − 5.x + 2 ≥ 0 2 5    5 − 1   5 + 1   ; ∪ +∞ ● Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = −∞;  .  2   2    ( Bài 43. ) 5 +1 . 2 Cao đẳng Sư Phạm Cà Mau khối B năm 2005 2 Giải phương trình : x lg x = 102 lg x −3 lg x +2 (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x > 0 2 (∗) ⇔ lg xlg x = lg102 lg x −3 lg x +2 ⇔ lg2 x = 2 lg2 x − 3 lg x + 2 ⇔ lg2 x − 3 lg x + 2 = 0  lg x = 1  x = 10 . ⇔  ⇔   lg x = 2  x = 100 ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 10 ∨ x = 100 . Bài 44. Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối B năm 2006 (∗) Giải phương trình : log20,5 x + log2 x2 = log x 4x Bài giải tham khảo ● Điều kiện : 0 < x ≠ 1 . (∗) ⇔ − log2 x 2 + 2 log2 x = logx 4 + logx x ⇔ log22 x + 2 log2 x − 1 −1 = 0 log 4 x ⇔ log22 x + 2 log2 x − 2 −1 = 0 log2 x  x = 2  log x = 1   2  t = log x t = log2 x  2  log x = −1 ⇔  x = 1 . ⇔ 3 ⇔ ⇔   2 2  t + 2t − t − 2 = 0 t = 1 ∨ t = −1 ∨ t = −2 2      log2 x = −2 x = 1  4  ● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = Bài 45. 1 1 ∨ x = ∨ x = 2. 4 2 Cao đẳng Sư Phạm Vĩnh Phúc khối A năm 2006 ( ) Giải bất phương trình : log4 3x − 1 .log 1 4 3x − 1 3 ≤ 16 4 Bài giải tham khảo ● Điều kiện : 3x − 1 ≥ 0 ⇔ 3 x ≥ 1 ⇔ x > 0 . 3 (∗) ⇔ log4 (3x − 1). − log4 (3x − 1) + log4 16 − 4 ≤ 0 (∗) ⇔ − log24 (3 x ) ( www.VNMATH.com ) − 1 + 2 log4 3x − 1 − 3 ≤0 4  t = log 3x − 1  x log 3x − 1 < 1  4 t = log4 3 − 1   4 x < 1 . 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x > 3 4t2 − 8t + 3 ≤ 0 t < 1 ∨ t > 3 log 3x − 1 > 3     4 2 2 2  ( ) ( ) ( ( ) ) ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;1) ∪ (3; +∞) . Bài 46. Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 log x + 3 5 − log y = 5  3 Giải hệ phương trình :  2 3 log x − 1 − log y = −1 2 3  (∗) Bài giải tham khảo x > 0, y > 0 x > 0, y > 0 x > 0, y > 0 x ≥ 2     y 162 ≤ ⇔ ● Điều kiện : 5 − log3 y ≥ 0 ⇔ log3 y ≤ 5 ⇔  .      0 < y ≤ 162  log2 x − 1 ≥ 0 log2 x ≥ 1 x ≥ 2    a = 5 − log y ≥ 0 a 2 = 5 − log y   3 3 ⇔  2 ● Đặt :  . b = log x − 1 ≥ 0 b = log x − 1 2 2   b2 + 1 + 3a = 5 b2 + 3a = 4  ∗ ⇔ ⇔ ( ) 3b + a2 − 5 = −1 a2 + 3b = 4 ⇔ b2 + 3a = a2 + 3b ⇔ b2 − a2 + 3a − 3b = 0   a = b ⇔ (b − a )(b + a ) − 3 (b − a ) = 0 ⇔ (b − a )(b + a − 3) = 0 ⇔  a + b = 3   a = b a = b   2  a = 5 − log y = 1 a + 3a − 4 = 0 a = 1 ∨ a = −4 (L)  3 ⇔ ⇔ ⇔   b = log x − 1 = 1 b = 3 − a b = 3 − a 2    a 2 + 9 − 3a = 3 a 2 − 3a + 6 = 0 (VN)   y = 34 = 81 5 − log3 y = 1 log3 y = 4 ⇔ ⇔ ⇔ . x = 4 log2 x − 1 = 1 log2 x = 2   ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ là S = (x; y) = Bài 47. {(4; 81)} . Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2006 3−x.2y = 1152  Giải hệ phương trình :  (∗) log (x + y) = 2 5  Bài giải tham khảo ● Điều kiện : x + y > 0 . 3−x.2y = 1152   3−x.2y = 1152 y = 5 − x y = 5 − x   (∗) ⇔ log x + y = 1 ⇔ x + y = 5 ⇔ 3−x.25−x = 1152 ⇔ 25.6−x = 1152 )     5 (