Tài liệu Toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N Nguy¹n Ho ng H TO•N TÛ ÌN I›U TRONG KHÆNG GIAN HILBERT KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC H Nëi N«m 2016 BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N Nguy¹n Ho ng H TO•N TÛ ÌN I›U TRONG KHÆNG GIAN HILBERT Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: TS. Ho ng Ngåc Tu§n H Nëi N«m 2016 Líi c£m ìn Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn, em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s-c tîi Ti¸n s¾ Ho ng Ngåc Tu§n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º em câ thº ho n th nh · t i n y. Em công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2 ¢ d¤y b£o em tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa. Nh¥n dàp n y em công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn b¶n em, ëng vi¶n, gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n · t i thüc tªp n y. H Nëi, ng y 03 th¡ng 05 n«m 2016 Sinh vi¶n Nguy¹n Ho ng H i LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng sè li»u v k¸t qu£ nghi¶n cùu trong khâa luªn n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi công xin c£m oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n khâa luªn n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin thu tr½ch d¨n trong khâa luªn ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. H Nëi, th¡ng 05 n«m 2016 Sinh vi¶n Nguy¹n Ho ng H Möc löc Líi mð ¦u 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1 1 1.1 Nhúng kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 To¡n tû v h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 L÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 T½nh li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 C¡c çng nh§t thùc v b§t ¯ng thùc cì b£n . . . 7 1.2.3 Topo m¤nh v topo y¸u tr¶n khæng gian Hilbert . 9 1.3 Tªp lçi v h m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 H m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 H m li¶n hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 D÷îi vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 C¡c t½nh ch§t cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 To¡n tû ìn i»u 20 i Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ho ng H 2.1 To¡n tû ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 To¡n tû ìn i»u cüc ¤i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 H m hai bi¸n v t½nh ìn i»u cüc ¤i . . . . . . . . . . 31 2.4 H m Fitzpatrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 ành lþ Minty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6 ành lþ Debrunner-Flor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ii Líi mð 1. Lþ do chån ¦u ·ti To¡n håc l mët mæn khoa håc b-t nguçn tø nhu c¦u gi£i quy¸t c¡c b i to¡n câ nguçn gèc thüc ti¹n. Trong â, gi£i t½ch l mët l¾nh vüc âng vai trá quan trång v câ ùng döng trong thüc ti¹n. º n-m vúng hìn c¡c ki¸n thùc cõa gi£i t½ch nâi ri¶ng v to¡n håc nâi chung, em ¢ chån · t i khâa luªn tèt nghi»p: " To¡n tû ìn i»u trong khæng gian Hilbert". 2. Möc ½ch nghi¶n cùu B÷îc ¦u l m quen vîi cæng vi»c nghi¶n cùu khoa håc v t¼m hiºu v· gi£i t½ch v °c bi»t l to¡n tû ìn i»u. 3. Nhi»m vö nghi¶n cùu Nghi¶n cùu to¡n tû ìn i»u. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Nghi¶n cùu l½ luªn, ph¥n t½ch, têng hñp v¡nh gi¡. Khâa luªn tèt nghi»p 5. C§u tróc Ngo i ph¦n mð ¤i håc Nguy¹n Ho ng H ·ti ¦u, k¸t luªn, danh möc t i li»u tham kh£o, khâa luªn bao gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: "Ki¸n thùc chu©n bà" tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ v· khæng gian Hilbert v mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa Gi£i t½ch lçi. Ch÷ìng 2: "To¡n tû ìn i»u". T¡c gi£ khâa luªn ch¥n th nh c£m ìn TS. Ho ng Ngåc Tu§n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ åc c¡c t i li»u v tªp d÷ñt nghi¶n cùu. T¡c gi£ ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o Khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2, °c bi»t l tê Gi£i t½ch, ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc ¤i håc v thüc hi»n b£n khâa luªn n y. H Nëi, ng y 03/05/2016 T¡c gi£ khâa luªn Nguy¹n Ho ng H 2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 1.1.1 Nhúng kh¡i ni»m cì b£n To¡n tû v h m Y Cho X , Y v Z l c¡c tªp khæng réng v cho 2 l hå t§t c£ c¡c tªp con cõa Y. K½ hi»u T : X ! Y ngh¾a l to¡n tû (công gåi l ph²p ¡nh x¤) T ¡nh x¤ méi iºm x vîi mët iºm T x trong Y. Do â k½ hi»u A: X ! 2 ngh¾a l A l mët to¡n tû a trà tø X Y ¸n Y, tùc l , A ¡nh x¤ méi iºm Y x 2 X ¸n mët tªp Ax n¬m trong Y. Cho A: X ! 2 . Th¸ th¼ A biºu thà °c iºm bði ç thà cõa nâ graA = f(x; u) 2 X Y j u 2 Axg : S ph²p hñp B A l X x2C Ax . Cho B N¸u C l mët tªp con cõa th¼ A(C) = [ Z By: B A: X ! 2 : x ! B(Ax) = y2Ax (1.1) Z :Y!2 , (1.2) 1 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Y A: X ! 2 : Ax = Mi·n x¡c ành v mi·n gi¡ trà cõa A t÷ìng ùng l Nguy¹n Ho ng H dom A = x 2 X Ax 6= ? (1.3) v ran A = A(X ); N¸u X l mët khæng gian tæpæ, bao âng cõa dom A k½ hi»u bði domA; t÷ìng tü nh÷ vªy, n¸u Y l mët khæng gian tæpæ, bao âng cõa ran A 1 ÷ñc k½ hi»u bði ran A. Nghàch £o cõa A, k½ hi»u bði A , ÷ñc °c tr÷ng bði ç thà cõa nâ 1 gra A = (u; x) 2 Y X (x; u) 2 graA : 1 (1.4) 1 Do â, vîi méi (x; u) 2 X Y, u 2 Ax , x 2 A u. Hìn núa, dom A = ranA v ranA cõa A l 1 = dom A. N¸u Y l mët khæng gian vectì, tªp c¡c khæng iºm 1 zer A = A 0 = x 2 X j 0 2 Ax : (1.5) Khi vîi méi x 2 dom A, Ax ìn trà, nâi Ax = fT xg, th¼ A ÷ñc gåi l khæng qu¡ ìn trà v câ thº ÷ñc çng nh§t vîi mët to¡n tû T : dom A ! Y. Ng÷ñc l¤i, n¸u D X , mët to¡n tû T : D ! Y câ thº ÷ñc çng nh§t vîi mët to¡n tû khæng qu¡ ìn trà tø X ¸n Y, hay l 8 > fT xg; n¸u x 2 D < (1.6) > : Mët lüa chån cõa mët to¡n tû ?; n¸u tr¡i l¤i Y a trà A: X ! 2 l mët to¡n tû T : dom A ! Y sao cho (8x 2 dom A) T x 2 Ax. B¥y gií cho T : X ! Y, 2