Tài liệu Xử lý tín hiệu số

TS. DƯƠNG TỬ CƯỜNG x ử LÝ TÍN HIỆU SỐ NHÀ XUẤT BẢN KHOA H Ọ C V À KỸ THUẬT HÀ N Ộ I-2001 MỤC LỤC ■ ■ Trang LỜI NÓI ĐẤU...............................................................................................................................7 Chương 1. TÍN HIỆU VẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC THEO THỜ I G IA N ......................... 9 1.1. Các tín hiệu rời rạc theo thòi g ia n .................................................................... 9 1.1.1. Các phương pháp biểu diễn tín hiệu ròi r ạ c ...................................... 9 1.1.2. Một vài tín hiệu ròi rạc cơ b ả n ............................................................. 11 1.1.2. Phân loại các tín hiệu rời r ạ c ............................................................... 12 1.1.3. Các thao tác xử lý đơn giản trên tín hiệu rời rạc theo thời gian............................................................................................. 15 1.2. Các hệ thống tín hiệu rời r ạ c ...........................................................................19 1.2.1 Mô tả vào/ra của hộ th ố n g ...................................................................... 19 1.2.2. Biểu diễn hệ t hông rời rạc theo thòi gian bằng sơ đồ k h ố i......... 23 1.2.3. Phân loại các hệ thông rời rạc theo thời g i a n ..................................25 1.2.4. Quan hệ liên kết của các hệ thống ròi rạc theo thòi g ia n ........... 32 1.3. Phân 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6. 1.3.7. tích hệ thống ròi rạc tuyến tính b ất biến theo thời g i a n ............... 34 Kỹ th u ậ t phân tích hệ thống tuyến t í n h ............................................34 Phân tích tín hiệu rới rạo theo thời gian th à n h các x u n g ............36 Đáp ứng của hệ thống LTI đối với tác dộng b ấ t kỳ-tổng chập .-..38 Các tính ch ất của tổng c h ậ p ..................................................................42 Hệ thông tuyến tính bất biến và nh ân q u ả ......................................50 Hệ thông tuyến tính bất biến ổn đ ị n h ............................................... 52 Hệ thông với đáp ứng xung có chiểu dài hữu h ạ n và vô h ạ n .....54 1.4 Hệ thông rời rạc theo thời gian được mô tả thông qua phương trình sai p h â n ................................................................................................................. 55 1.4.1. Hệ thông rời rạc theo thời gian đệ qui và không đệ q u i ................55 1.4.2. Hệ thống tuyến tính bất biến được dặc trư n g bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hàng (PT- SPT T -H SH )........................... 59 1.4.3. Giải phương trìn h sai phân tuyến tính h ệ số h à n g ........................64 1.4.4. Đáp ứng xung của hệ thông đệ qui tuyến tín h b ấ t biến theo thời g ia n ....................................................................................................... 73 1.5. Thực hiện các hệ thống rời rạ c ......................................................................... 76 1.5.1. Cấu trúc thực hiện của hệ thông L T I .................................................76 1.5.2 Thực hiện đệ qui và không đệ qui của hệ thống F IR .......................82 ] .6. Tiíring quan của các tín hiệu rời r ạ c ................................................................ 84 1.6.1. Tương quan chéo và tự tương q u a n ..................................................... 85 Câu hỏi và bài tập chương 1 ....................................................................................88 4 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Chương 2. BIẾN ĐỔI z VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH H Ệ THỐNG LTI .97 2.1. Biến đổi z .............................................................................................................. 97 2.1.1. Biến đổi z trực tiế p ................................................................................ 97 2.1.2. Biến đổi z ngược................................................................................... 106 2.2. Tính ch ất của biến đổi z .................................................................................107 2.2.1. T ính tuyến t í n h .................................................................................... 107 2.2.2. Tính tre.. ............................................. ............. ...................................109 2.2.3. N hân vói h à m m ũ a "............................................................................ 110 2.2.4. Lấy biến đ ả o .......................................................................................... 112 2.2.5. Đạo hàm củ a biến dổi z .......................................................................112 2.2.6. Tổng chập của hai d ã y ......................................................................... 114 2.2.7. Tương quan của hai d ã y ......................................................................115 2.2.8. Tích của hai d ã y ................................................................................... 115 2.2.9. Dãy liên hợp phức................................................................................. 116 2.2.10. Định lý giá trị đ ầ u ..............................................................................116 2.3. Biến đổi z hữu tỷ ............................................................................................. 116 2.3.1. Cực và không (Poles and Zeros)........................................................ 116 2.3.2. Hàm hệ thông của hệ thống tuyến tính b ất biến theo thòi gian.................................................................................................... 120 2.4. Biến đổi z ngược...............................................................................................123 2.4.1. Phương pháp th ặn g d ư ........................................................................ 123 2.4.2. Xác định biến đổi z ngược bằng phương pháp khai triển th à n h chuỗi lũy th ừ a ............................................................................. 126 2.4.3. Xác dịnh biến đổi ngược bằng phương pháp khai triển th à n h phân thức tôi g i ả n ..................................................................... 128 2.4.4. P h ân tích biến đổi z hữu tỷ .................................................................135 2.5. Biến đổi z một p h í a ........................................................................................... 137 2.5.1. Đ ịnh nghĩa và tính chất của biến đổi z một p h ía ...........................137 2.5.2. Giải phương trình sai p h â n ................................................................. 141 2.6. Phân tích hệ thông tuyến tính bất biến tfieo thòi gian trong miền z ......143 2.6.1. Đ áp ứng của hệ thống với hàm hệ thống hữu tỷ khi điều kiện khởi tạo bằng không.......................................................... 143 2.6.2. Đáp ứng của hệ thống cực - không với diều kiện khởi tạo khác k h ô n g ............................................................................................... 145 2.6.3. Đáp ứng tức thòi và đáp ứng Irạng thái bền của hệ t h ố n g ....... 147 2.6.4. T ính nhân q u ả và ổn đ ịn h ................................................................... 148 2.6.5. Hủy bỏ các không và c ự c ................................................................... 151 2.6.6. Cực bội và tín h ổn đ ị n h ......................................................................153 2.6.7. Tiêu chuẩn ổn định SchUr • C o h n ................................................... 154 2.6.8. T ính ổn định của hệ thông bậc h a i..................................................156 Câu hỏi và bài tập chương 2 ................................................................................. 160 M ỤC L Ụ C 5 C hương3. PHÂN TÍCH TÍN H IỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẨN s ố ...... 165 3.1. Phân Lích tín hiệu liên tục trong miền tần s ố ........................................... 165 3.1.1. Các tín hiệu trự c giao và trực c h u ẩ n ............................................. 166 3.1.2. Phân lích Lần sô'của' tin hiệu tuần hoàn liên t ụ c ............................166 3.1.3. Phân tích tín hiệu không tuần hoàn trong miền tần s ố ..................167 3.2. Phân tích tín hiệu rừíi rạc trong miền tần sô’..............................................168 3.2.1. Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn rời rạc................................ 168 3.2.2. Phổ m ật độ côtng s u â t của tín hiệu tuần h o à n .............................. 172 3.2.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu ròi rạc không tu ầ n h o à n ..............176 3.2.4. Sự hội tụ của biến đổi F o u rier.........................................................177 3.2.5. Phổ m ật độ năn g lượng của tín hiệu không tu ầ n h o à n .............. 180 3.2.6. Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi z .................................185 3.2.7. Định lý lấy m ẫ u ....................................................................................186 3.2.9. Phân loại theo miền tầ n số’của tín hiệu theo miền tần sô': khái niêm vê bê rộng phổ (bandwidth)............................................. 193 3.3. Các tính chất của biến đổi Fourier đối với tín hiệu ròi rạc theo thời g ia n ............................................................................................................. 198 3.3.1. Tính chất đối xứng của biến đổi Fourier..........................................198 3.3.2. Tính chất tuyến t í n h ...........................................................................206 3.3.3. Tính chất trễ về thời gian...................................................................207 3.3.4. Tính chất biến sô’ n đảo....................................................................... 207 3.3.5. Định lý tổng c h ậ p ................................................................................ 208 3.3.6. Định lý tương q u a n .............................................................................. 209 3.3.7. Định lý Wiener - Khintchine............................................................. 209 3.3.8. Tính chất trễ tần số .............................................................................209 3.3.9. Định lý diều b i ê n ............................ .....................................................210 3.3.10. Quan hệ P a rs e v a l........................ ...................................................... 211 3.3.11. Tích của hai d ã y ................................................................................. 211 3.3.12. Vi phân trong miền tần sô................................................................212 3.4. Đặc tính của hệ thông tuyến tính bất biến theo thời gian trong miền tần sô’............................................................................................ 213 3.4.1. Đáp ứng đôi với tín hiệu mũ phức và tín hiệu hình sin: Hàm đáp ứng tầ n sô'..............................................................................213 3.4.2. Đáp ứng đôi vối tín hiệu vào không tuần h o à n ..............................221 3.4.3. Quan hệ giữa hàm hệ thông và hàm đáp ứng tần s ô ................... 223 3.4.4. Đánh giá hình học của hàm đáp ứng tần sô' trên m ặt phăng z ............................................................................................227 3.5. Hệ thông tuyến tính b ấ t biến - bộ lọc tần s ố ............................................... 231 3.5.1. Các đặc điểm của bộ lọc lý tưỏng........................ :......................... 232 3.Õ.2. Các bộ lọc thông thấp, thông cao và thông d ả i ...............................235 3.5.3. Bộ cộng hưởng s ô ...................................................................................241 3.5.4. Bộ lọc hình chữ V ...................................................................................244 6 __________________________________________ X Ử L Ý TÍN HIỆU SỐ 3.5.5. Bộ lọc h ìn h răn g lược.........................................................................247 3.5.6. Bộ lọc thông tâ't......................................................................................249 3.5.7. Bộ dao động h ìn h sin số.......................................................................252 Câu hỏi và bài tập chương 3 ...................................................................................254 Chương 4. BIẾN Đ ổ i FO URIER RỜI R Ạ C ....................................................................262 4.1.Lấy m ẫu trong miền tần số: Biến đổi Fourier rời r ạ c ............................... 262 4.1.1. Lấy m ẫu trong miền tầ n số và khôi phục lại tín hiệu ròi rạc theo thời g ia n .............................................................................262 4.1.2. Biến đổi Fourier ròi rạc (DFT)........................................................... 267 4.1.4. Q uan hệ của DFT và các biến đổi k h ác..........................................273 4.2. Các tính c h ấ t của D F T ..................................................................................... 275 4.2.1. Tính tu ầ n hoàn, tuyến tính và tính đối x ứ n g .................................275 4.2.2. Tổng chập vòng.......................................................................................281 4.2.3. Một sô' tính c h ấ t khác của DFT.......................................................... 286 4.3. Các phương ph áp lọc tuyến tính dựa trên D FT.......................................... 290 4.3.1. Sử dụng DFT trong lọc tuyến tí n h ..................................................... 291 4.3.2. Lọc các dãy có độ dài dữ liệu lớn........................................................ 294 4.4. Phân tích tín hiệu trong miền tần sô' bằng D F T ........................................298 Câu hỏi và bài tậ p chương 4 ....................................................................................305 Chương 5. CÁC THUẬT TOÁN BIẾN Đ ổ i NHANH FO U R IE R ................................. 309 5.1. Tính toán n h a n h D FT - Các th u ậ t toán F F T .............................................. 309 5.1.1. Phương pháp tính trực tiếp của D FT ................................................ 310 5.1.2. Phương pháp chia nhỏ để tính D FT ................................................... 311 5.1.3. T h u ậ t toán FFT cơ số’2 ....................................................................... 317 5.1.4. T h u ậ t toán FFT cơ số 4 ....................................................................... 326 5.1.6. Thực hiện các th u ậ t toán F F T ........................................................... 330 5.2. ứ n g dụng của các th u ậ t toán F F T .................................................................332 5.2.1. T ính toán hiệu quả DFT của hai dãy số th ự c ........ :....................... 332 5.2.2. Tính toán hiệu quả DFT của dãy số thực 2N đ i ể m .......................333 5.2.3. Sử dụng th u ậ t toán FFT trong lọc tuyến tính và tương q u a n ..334 5.3. Sử dụng phương pháp lọc tuyến tính để tính DFT.................................... 335 5.3.1. T h u ậ t toán G o e rtz e l............................................................................. 336 Câu hỏi và bài tập chương 5 ................................................................................... 338 TÀI LIỆU THAM K H Ả O ........................................................................................................ 340 LÒI NÓI ĐẨU Mặc d ù về bản chát tự mhỉên hầu hết các tín hiệu trên thực t ế đểu có dạng tương tự, tuy vậy x ử lý tín h iệ u sô'lại là một phương pháp hay được sử dụng trong việc xử lý tin hiệu. Điều này ph át sinh do nhiều nguyên nhãn: 1. N guyên nhân th ứ nhất đo là các hệ thống sô lập trinh được tỏ ra rất mềm dẻo k h i cần thực hiện một sô thay đổi trong việc xứ lý tín hiệu thông qua việc sứa đổi chương trinh đang được áp dụng. Đối với các hệ thống x ử lý tin hiệu tương tự th i điếu này sẽ dẫn đến việc thay đổi cấu h ìn h của thiết bị và do vậy hệ thống cẩn phải đưực thiết k ế và th ử nghiệm lại đ ể có th ể đáp ứng được yêu cầu mới. 2. K hi x ử lý tín hiệu thi độ chính xác củng đóng một vai trò rất quan trọng trẹng việc xác định cảu hình của bộ xử lý tin hiệu. Đối với các m ạch tương tự th i sự dao động gia trị của các phần tử do các điều kiện khách quan là m ột trờ ngại rất lớn khi cần kiểm soát độ chính xác của các hệ thông x ử lý tin hiệu ở dạng này. Tuy vậy, độ chính xác này lại có th ể được kiểm soát với sai sô tương đối nhổ ở các hệ thông x ử lý tín hiệu sô. Đối với các hệ thống này th ì độ chính xác phần lớn chí phụ thuộc vào độ chính xác của bộ chuyến đổi tương tự /s ò 'iA /9 ) và của bộ xứ lý tín hiệu sô' 3. Nguyên nhân th ứ ba dẫn đến việc sứ dụng hệ thông x ừ lý tín hiệu s ố đó là do các tín hiệu ở dạng này có th ể dễ dàng được lưu trữ trên các phương tiện n h ư báng, đĩa từ mà không dẫn đến đến sự mất mát hoậc sai lệch về thông tin (ngoài các sai lệch được sinh ra bởi độ chinh xác của bộ chuyển đổi A ID và của bộ x ử lý số). Điều này cho phép các tín hiệu s ố có th ể d ễ dàng được m ang đi nhiều nơi và do vậy có thê được x ử lý thông qua phương p h á p mô phỏng trong các phòng th í nghiệm trước khi chế tạo các hệ thống này. Thèm vào đó việc xứ lý tín hiệu số ở dạng phức tạp vẫn có th ể được thực hiện thông qua các thuật toán thích hợp. Đây là điều khó và nhiều khi không thực hiện được trẽn các hệ thống xứ lý tín hiệu tương tự. 4. Do có th ể thay đổi một cách mềm dẻo đối với các thao tác x ử lý khác nhau nên so với hệ thống tương tự th ì hệ thống xử lý tin hiệu có g iá th à n h rẻ hơn. Trước đây, do tốc độ thực hiện của m áy tính còn chậm nên việc x ử lý tín hiệu sô'có nhược điếm là thời gian thực hiện là không thực. Điếu này đã được khắc phục trong thời gian gắn đây. Từ năm 1982 với sự phát triển của công nghệ vi điện tủ, nhiều mạch vi điện tử chuyên dụng với nhiểu chức năng đã được thiết kê' và sử X C Ử L Ý T ỈN H IỆ U S Ố ' 8 dụng rộng rãi với giá th à n h hạ n h ư T M S 320, N E C 7720 v.v. Với ttô)C' độ cao, các vi m ạch này được sử d ụ n g rất hiệu quả trong việc x ử lý tín h iệu s ố (ở tthời gian thự c. Điều này đã làm cho kỹ th u ậ t x ử lý tín hiệu sô' có th ể được áp dụtìLg rộng rãi tro n g nhiều lĩnh vực khác nhau. H iện nay kỹ th u ậ t x ử lý tín hiệu s ô 'đ a in S được sư d ụ n g rất hiệu quả trong việc x ử lý ảnh (nhận dạng, hoạt hình), trong tìh itêt bị đo lường, điều khiển (phân tích phổ, điều khiển vị tr í và tốc độ, lọc nhiễu, g i â m tiếng ồn...), trong xử lý tiêng nói, ăm th a n h (nhận dạng tiếng nói, ảm th a n h sổ>y> trong q u ả n sự (truyền thông, bảo m ật, xử lý tín hiệu rada, sonar V.V.J và tro n g iviêm th ô n g , s in h học. N h ư vậy, có th ể thấy rằng trong thời đ ạ i ngày nay kỹ th u ậ t x ử lý tín h iệu sô m ang m ột tầm quan trọng đặc biệt và do vậy việc n ắ m vững các k i ế n thức về vấn đ ề này là hết sức cần thiết. Giáo trin h "X ử lý t í n h iệ u số "đ ư ợ c biên so ạ n nhằm p h ụ c vụ m ục đích nói trên và chúng tôi hy vọng rằng p h ầ n nào sẽ đ á p ữ.ng được nhu cầu của các bạn sin h viên và nhiều đối tượng khác quan tâm đến lĩrííh vực này. G iáo trin h bao gồm 5 chương. Chương I giới thiệu về tín hiệu rời rạc th e o thời gian, các đặc trưng của hệ thống tuyến tín h bất biến theo thời g ia n và cách x ắ c định đáp ứ n g xu n g của các hệ thống tuyến tín h bất biến theo thời g ia n th ô n g qw a công thức tô n g chập. Trong chương này củng đề cập đến phương trin h sai p h â n tu yên tinh h ệ sô hằng n h ư là m ột đặc trưng của hệ thông tuyến tín h bất biến. B iến đÔL z n h ư là m ột công cụ đ ể p h â n tích hệ thống tuyến tín h bất biến được m ô tả t ương đối chi tiết trong chương II. Trong chương này bạn đọc sẽ làm quen với các p h ép biến đ ố i z th u ậ n và ngược. Chương III giới thiệu các kiến thức về chuỗi và kiên đôi F ourier của các tín hiệu liên tục và rời rạc theo thời g ia n tu ầ n hoàn và k h ô n g tu â n hoàn cũng n h ư việc p h â n tích hệ thống trong m iến tầ n sô'thông q u a h à m đ a p Ưng tán sô. Trong chương III cũng đ ề cập đến m ột sô'phương p h á p đơn g iả n đ t thiết kê các bộ lọc với đáp ứng xu n g có độ dài hữu h ạ n và uô hạn. Chương I V giới thiệu về biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và mô tả h a i phương p h á p sứ d ụ n g D F T đ ể thực hiện việc lọc tuyến tính. Việc s ử d ụ n g D F T đê’p h â n tích tín hiệu trong m iền tầ n iô cũng được đề cập đến trong chương này. Trẽn cơ sở của D FT, qua chương V b ạ n ỉọc sẽ làm q u en với một sô phương p h á p và th u ậ t toán biến đổi nh a n h F ourier n h ư h u â t toán cơ sô hai và cơ s ố bốn p h â n chia theo thời gian hoặc tầ n sô'củng n h ư t h u ặ toán Goertzel. Do khuôn k h ổ có hạn nên tà i liệu chỉ tập tru n g giới thiệu các Hến thức cơ bản về x ử lý tín hiệu sô', tuy vậy chúng tôi hy vọng rằng tài liệu sẽ p h in nào đáp ứng được sự quan tâ m của các bạn. Mặc dù đã hết sức cô' g ắ n g trong quá trin h biên soạn n hư ng chắc chắn tài liệu sẽ không trá n h được các sa i sót, c h inễ tôi x in ch â n th à n h cảm ơn m ọi ý kiến đóng góp của bạn đọc đ ể các lầ n tá i bản ißu tài liệu được hoàn thiện hơn. M ọi ý kiến đóng góp xin g ử i về: N h à x u ấ t bản £hoa học và Kỹ th u ậ t ■ 70 T rần H ư n g Đạo, H à Nội. T á c g iả Chương 1 TÍN HIỆU VÀ HỆ THÔNG RỜI RẠC THEO THỜI GIAN Mục đích chính của chương 1 là nhằm mô tà g ia n nói chung và các hệ thông tuyến tính bất biên theo thơi gian nói riêng. Trong chương này cũng sẽ p h ắ t triên cảc (lặc tính qu an trọng về lĩnh vực thòi các hệ thông rời rạc theo thời iLTI - L inear Time Invariant) đề cập đến việc định nghĩa và gian của hệ thống L T I và một cõng thức quan trọng - công thức tích chập. Công thức này sẽ cho phép chúng ta xác định đầu ra của hệ thống L T I đối với một tín hiệu đầu vào b ất kỳ. Cùng với công thức vé tích chập, trong chương 1 cũng sẽ giới thiệu về phương trình sai phản n h ư một phương ph áp dược lựa chọn dể mô tả quan hệ vào/ra củ a hệ thống LT1 cũng như sự thục hiện ciệ qui và không đệ qui cúa hệ thống này. Có hai nguyên n h â n quan trọng thúc đẩy việc nghiên cứu các hệ thống LTI. Nguyên nhản Ihứ n h ấ t là sự tổn tại của r ấ t nhiều các phương pháp toán học có thể được sử dụng Irong việc ph ân tích các hệ thống L T l Nguyên nh ân thứ hai là trên thự c tê h ầ u hết các hệ thống đều là hệ thống L T I hoặc có thể được mô phỏng bởi các hệ thong 177. Do ý nghĩa qu an trọng trong các ứng dụng xử lý tín hiệu và sự liên qu an mật thiết củ a chúng đối VỚI công thức tổng chặp, trong chương này cũng giới thiệu sự tiíong qu an giữa hai loại tín hiệu • tín hiệu tự tưưng quan và tương q u a n chéo. 1.1 CÁC TÍN Hlèu RỜI RẠC THEO THỜI GIAN 1.1.1. C á c phương p h á p b i ể u d iễ n tín hiệu rời rạc N hư ta ií tiết, tín hiệu rời rạc theo thời gian X(n) thực c h ấ t là hàm của biến độc lập có k ié u s í nguyên. H ình 1.1 mô tả tín hiệu bằng phương p h á p đồ thị. Một đ iể u r ấ t quar Irtng cần phái lưu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không dược đ ịn h nghĩa ỏ :á: hòi diểm nàm giữa hai mầu liên tiếp nhau. C ũng sẽ không đúng nêu cho răngxin sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của n không phải là số nguyên. Rất đơn gián, tíi liệu x(n) chỉ dược định nghĩa đối với các giá trị nguyên của ra. Trong kiin Ịh iên cửu, chúng ta sẽ giả sử rằng tín hiệu rời rạc theo thòi gian được định ngHí dối với giá trị nguvên của n thuộc khoảng ac< n < ao. Theo qui ước ch ú n g ta cũnf a§ 0 vói n < 0 ( 1 . 1 . 8) Tín hiệu này được mô tả trên hình 1.4. u r (n) 1 0 1 2 3 4 5 õ n H ln h 1 .4. Biểu diễn b ằ n g đ ồ thị tín hiệu d ố c d ơ n vị. 1.1.2. Phân loại các tín hiệu rời rạc Các phương pháp toán học dược dùng trong việc ph ân tích tín hiệu và hệ thông rời rạc theo thời gian hoàn toàn p h ụ thuộc vào đặc thù của tín hiệu. Dưói đây chúng ta sẽ phân loại các tín hiệu rời rạc theo thời gian tuỳ theo các đặc thù này. 1.1.2.1. T ín h iệ u n ă n g lượng và tín h iệ u c ô n g su ấ t N ăng lượng E của tín hiệu xin) được định nghĩa bằng công thức: £ s f > ( n ) |2, (1.1.9) n--«0 ỏ đây Ixin) I là modul của tín hiệu. Với cách định nghĩa này thì công thức (1.1.9) có th ể được sử dụng để tính năn g lượng của tín hiệu phức cũng n h ư của tín hiệu thực. Chương L TÍN HIỆU V Ả hÉ THÓNG RỞI R Ạ C THEQ THỜI GIAN 13 Năng lượng cua tín hiệu có th ể là hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu E là hữu hạn (0 < E < ) thì x(n) dược gọi là tín hiộu nàng lương. Dê phân biệt nAng lượng của tín hiệu ròi rạc, thông thường ngườii ta sử dụng thêm chỉ s ố x đối vối E và viết là Ex. Rất nhiều tín hiệu với nâng lutợng vô hạn lại có công su ấ t hữu hạn. Công su ât trung bình của tín hiệu rời rạc theco thời gian x(n) dược định nghĩa bằng biểu thức sau: / , = N™ lin n 2õNĩ f +1 - r nr A' í 1-1-10) N ếu định ng h ĩa năng lượng tín hiệu của dãy x(n) trong khoảng h ũ u hạn - N 0) khi và chỉ khi: x(n + N) = x(n) với mọi n (1.1.13) 14 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỔ Giá trị nhỏ n h ất của N thoả mãn biểu thức (1.1.13) được gọi là chu kỳ cơ bản. Nếu không có b ất cứ m ột giá trị nào của N để (1.1.13) là đúng thì tín hiệu được gọi là không tuần hoàn. H ình 1.5 là một ví dụ về tín hiệu tuần hoàn. xỊn) 1 ì V T r> ÍT r> ỉ ì ì -1 X 0 1 ' 2 3 T t> 4 n H ìn h 1.5. Mô tà b ằ n g đ ố th.i c ủ a tin hiệu tu ẩ n hoản. Khi khảo sá t tín hiệu hình sin ta cũng nhận thấy rằng tín hiệu x(n) = Asiĩì2nf0n (1.1.14) là tín hiệu tuần hoàn nếu fo là một số hữu tỷ, hay nói cách khác fo có thể đựợc biểu diễn qua biểu thức: trong đó k và N là những sô' nguyên. Năng lượng của tín hiệu tu ần hoàn x(n) trong một chu kỳ hay trong một khoảng 0 oỊ . I ' ... ■ (1.1.29) Í'm . ị ♦ '*111 . 1' ’ ‘ I ' :\Í-00/ n çvù ? / / ------------------_ ' 18 XỬ LÝ TÍN H IỆU SỔ TD k \FD[x(n)]\ = TDl' [x(-n)) = x (-n + k) (1.1.30) FD{TDk[x(n)]ị = FD[x(/ĩ -Ắ:)] = x ( - n - k ) (1.1.31) Một thao tác th ứ ba có thể được thực hiện trên các biến độc lập đó là th ay thê biến n bởi ụn, trong đó /y là số’ nguyên. Thao tác này được gọi là lấy tỷ lệ theo thời gian (time scaling) hoặc dow n - scaling. Ví dụ 1.1.4: H ãy biểu diễn bằng đồ th ị tín hiệu y(n) = x(2n) kh i tín hiệu x(n) được biểu diễn trên h ìn h 1.9a. ^ G iải: Chú ý rằng với quan hệ trên th ì y(0) = x(0), y (l) = x(2), y(2) = x(4),... và y (-l) =x(-2),y(-2) = x(-4) v.v. N h ư vậy, nhận thấy y(n) n h ậ n được từ x(n) bằng cách bỏ qua các m ẫu ở thời điểm lẻ (n lẻ) và g iữ lại các m ẫu ở thời điểm chẵn của X(n). Tín hiệu kết quả được m ô tả trên hình 1.9b. H ìn h 1 .9 . Mô tà b ằ n g d ó thị t h a o tá c lấy tỷ lệ th e o thời gian. Nếu x(n) là tín hiệu được lấy m ẫu từ tín hiệu tương tự x j t ) thì x(n) = x a(nT), trong đó T là khoảng lấy mẫu. Đối với tín hiệuyín,) ta có: y(n) = x(2n) = xa(2nT). Từ đây suy ra thao tác lấy tỷ lệ theo thòi gian được mô tả trong ví dụ 1.1.4 sẽ tương đương với sự thay đổi của tần số lấy m ẫu từ 1 I T xuống H 2 T . Thao tác này được gọi là down sam pling. 1.1.3.2. P h é p n h â n , cộ n g và lấ y tỷ lệ Việc thay đổi biên độ của tín hiệu ròi rạc theo thòi gian có thể được thực hiện qua các phép toán (thao tác) cộng, nhăn, lấy tỷ lệ. Chương 1. TÍN HIỆU V À HỆ TH Ỗ N G RỜI R Ạ C THEO THÒI G IA N 19 Lấy tý lè còn c!ượo goi là phép nhân cua dãy với hằng sô’ và được Lhực hiện bằng cách nhân giá trị của mỗi m ầu với chính hằng số dó. Giả sử hằng số được ký hiệu là A. khi đó ta có thể viết: y(ri) =A x(n ), -oo< n < X Tổng của hai tín hiệu X,(n)j và x2(n) là một tín hiệu y(n) với giá trị ở mỗi thòi điếm bàng lông các giá trị của X ¡(ni và x./n) tương ứng ờ các thời điếm đó. Và như vậy; y(/ỉ) = Xj(n) + x 2(n), -cr< n < cc Tích của hai tín hipn là mót tín hipu khác vối giá trị ở mỗi thòi điểm bằng tích các giá trị của hai tín hiệu đó ở thòi điểm tương*ứng. Hay: y(n) = x i (n)x2(n), -x> 1.2. CÁC HỆ THỐNG TÍN HIỆU RỜI RẠC Đê có thê thực hiện việc xử lý tín hiệu số. thông thường cần phải thiết kẽ' các thiết bị hoặc xây dựng các th u ật toán nhằm thực hiện các phép toán đã được mô tả trên tin hiệu ròi rạc theo thời g ia n . iNhững thiết bị hoặc các thuật toán này được gọi là hệ thống rời rạc theo thòi gian. Như vậy có thế thấy rằng các hệ thống ròi rạc theo thời gian hao gồm các thiết hi hoặc th u ậ t toán mà qua đó một tín hiệu ròi rạc xin) dược gọi là tín hiệu đầu vào được chuyên dối thành một tín hiệu rời rạc khác y(n) dược gọi là tín hiêu đầu ra hoặc đáp ửng của hệ. Quan hệ vào/ra này có thê được biểu diễn bằng biêu thức toán học: y (n )= T [x (n )) (1.2.1) trong đó T là ký hiệu của phép biến đối hoặc toán tử. Việc phân loại các hệ thông xử lý tín hiệu rời rạc dược thực hiện thông qua các điều kiện ràng buộc đôi với phép biến đổi T. Trong chương này ta chỉ q u a n tâm đến Hặc tính vể thòi gian của tín hiệu và mô tả quan hệ vào/ra. Trong quan hệ vào/ra này ta cũng ch) tập trung vào tín hiệu ra mà không xét chi tiết đên các quá trình xảy ra bên trong củng như việc thực hiện của hệ t.hô’ng. 1.2.1 Mô tả vào/ra của hệ thống Mô tả vào/ra của hệ thông rời rạc theo thời gian bao gồm các công thức toán học hoặc các quy tắc mà qua đó có thể định nghĩa một cách chính xác quan hệ giữa tín hiêu đầu "ào và tín hiêu đầu ra (input- output relationship). Trong trường hợp này hệ thống được xem như một hận đen mà không cần quan tâm đến cấu trúc bên trong. Như vậy chi còn có một phuui.g pháp duy nhất dê làm việc và nghiên cứu hệ thống là sử dụng rác thiết bị đầu cuối và đầu vào cúa hệ thông. Để phản án h điểu này có thể sử dụng cách biểu diễn bằng đồ thị như trên hình 1.10 và qua quan hệ vào/ra của hệ thống trong (1.2.1) hoặc qua cách biễu diễn: x(n)->y(n) (1.2.2) 20 XỬ LÝ TÍN HIỆU SÔ 1 • T I ĩ - * - L -------------X(/|) Tín hiệu hoặc kích thích vào Hộ thống rời rạc theo thời gian _L 1 Î ÍT'" y (n ) Tín hiệu lioặc đáp ứng ra H in h 1.10. Biểu diễn b ằ n g s ơ đ ố khối c ủ a h ệ t h ố n g ròi r ạ c t h e o thòi gian. Theo cách biểu diễn này thì y (n ) là đáp ứng của hệ thống T vối kích thích x(n). Các ví dụ dưới đây sẽ mô tả một vài hệ thống khác nhau-. Ví dụ 1.2.1: Đôi với tín hiệu đ ầu vào: x(n) = In I, - 3 <; n < 3 vối các giá trị còn lại của n 0, H ãy xác đ ịn h đáp ứng của các hệ thống sau: (a ) y ( n ) - x ( n ) (b) y(n) = x(n - 1) (c) y(n) = x(n + 1) (d.) y ( n ) = i [ x ( n + l ) + a :(/ i) + a : ( n - l ) ] O (e) (n) = max{x(tt + 1),x(n ),x(n -1)} (f)y(n ) = Y ^x(k) = x(n) + x(n-L \) + x (r i-2 ) +.... k=- - Xem thêm -