M Ụ C LỤC
T rang
M ơ d ầ u ...........................................................................................................................................5
C h ư ơ n g I: C á c vấn tie
CƯ
bản về lý (h u yết xác s u ấ t ....................................................7
1.1. Khái niệm về xác suấl....................................................................................................... 7
1.1.1. I liên lượng tất nhiên và hiện lượng ngẫu nhiôn......................................................... 7
1. 1.2. Định nghĩa xác suấl.............................................................................................................7
1.2. Các phép lính về xác suất................................................................................................ 8
1.2.1. Cộng xác suất...................................................................................................................8
1.2.2. X ác suất có điều kiện, nhânxác suất.........................................................................10
1.3. Phân b ố gián đoạn...................................................................................................... .......11
1.3.1. Biến ngẫu nhiên gián đoạn và dãy phan bố xác suất..........................................11
1.3.2. Phân hố nhị thức................................................................................................................ 12
1.3.3. Phân bố Poisson................................................................................................................. 13
1.4. PliAn bỏ liên tục.................................................................................................................. 16
1.4.1. I làm mạt dô xác suất........................................................................................................16
1.4.2. I làm pliAn bố xác s u ấ t .....................................................................................................17
1.4.3. Phân hố đ ề u ......................................................................................................................... 18
1.4.4. PhAn h ố chuẩn.................................................................................................................... 19
1.4.5. Phân b ố loga chuẩn..........................................................................................................2 0
1.4.6. Phân bố gamma, phân bố mũ và phân bố mũ kép.................................................2 0
1.5. N hững đặc trưng cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên.................................................. 22
1.5.1. K ỳ vọng toán................................................................................................................... 22
1.5.2. Plurơng s a i........................................................................................................................ 23
1.5.3. Trung vị và m ô ì..............................................................................................................24
1.5.4. M o m c n g ốc và momen trung iam ...............................................................................25
1.6. Hàm đạo hàm mom e n ........................................................................................................ 26
1 .6 .1. H àm dạo hàm mom en g ố c ............................................................................................ 27
1.6.2. Hàm đạo hàm momen trung tâm................................................................................ 28
1.7. X ác định các đặc trưng cơ bản của mộl số phân b ố ............................................... 30
1.7.1. Phân bố nhị thức............................................................................................................ 30
1
Ị
1.7.2 Phân bố Poisson................................................................................................................31
1.7.3. Phân b ố chuẩn..................................................................................................................33
1.7.4. Phân b ố gamma...............................................................................................................34
1.8.
Các định lý giới hạntrong lý thuvết xác suất........................................................... 35
1.8.1. Định lý Poisson............................................................................................................... 35
1.8.2. định lý giới hạn Moivc - laplace................................................................................ 36
Bài tâp chương 1......................................................................................................................... 39
C hương 2. P h â n bố x ác suất c h u n g ....... ............................................................................ 40
2.1. PhAn bố xác suất nhiều đại lượng ngẫu nhiên.......................................................... 40
2.1.1. Khái niệm ......................................................................................................................... 40
2.1.2. Hàm phAn bố xác suất của haihay nhiều đại lượng ngẫu nhiên........................40
2.1.3. I làm phân bố xác suất chung......................................................................................42
2.2.
Tổng các đại lượng ngẫu nhiên.................................................................................... 43
2.2.1. Hàm mom en cùa lổng các đại lượng ngầu nhiên.................................................... 43
2.2.2. Các đặc trung của tổng các đại lượng ngẫu nhiên.................................................45
2.3. Mẫu thớng kô và trung hình mAu................................................................................... 46
2 .3 .1. Khái niệm về mẫu........................................................................................................... 46
2.3.2. Trung bình của mẫu........................................................................................................47
2.4. Luật số lớn............................................................................................................................48
2.4.1. Bất đẳng thức Trebưsep....................................................................... í..................... 48
2.4.2. Đ ịnh lý giới hạn trung tâm........................................................................................... 50
2.5. Phân bố xác suất của hàm các đại lượng ngẫu tihiên.............................................. 52
2.5.1. Phân hố xác suất của hàm các đại lượng gián đoạn............................................. 52
2.5.2. Phân hố xác suất của hàm các đại lượng Hên tục..................................................54
2.5.3. Phân bố X,2 ........................................................ .......................................................... ,...5 6
2.6. Phép biến đổi biến ngẫu nhiên nhiều chiều.............................. V..............................60
2.6.1. Phép biến đổi các đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều......................................... 60
2.6.2. Tổng bình phương độ lệch khỏi giá trị trung bình................................................60
2.6.3. Phương sai của mẫu................................................................................................... ‘- 6 2
2.6.4. Phan hố Student......................................................................................................... ....63
2.6.5. Phan bố Fisher.................................................................................................................66
2
Bài tạp chương 2
68
C h ư ơ ng 3. ứ n g dụng phương pháp th ốn g kê xỉr lý
các s ố liệu thực n gh iệm hạt n h â n .....................................................................69
3.1. Phản loại các phép đo và sai s ố ........................................................................................ 69
3.1.1. Ph ép đ o Irực liế p và gián l i ế p ................................................................................... 6 9
3 .1 .2 . Phép d o tuyệt đối và phép đ o n g ư ỡ n g ..................................................................6 9
3 .1 .3 . Khái n iệm và phân loại sai s ố ..................................................................................6 9
3 .1 .4 . Đ ộ ch ín h xác, độ nhạy và ng ư ỡ n g pháp hiện c ủ a phép đ o .........................71
3.2. Xử lý các phép đo trực liếp.................................................................................................71
3 . 2 . 1. Các khái niệm ..................................................................................................................... 71
3.2.2. Các phép đo cùng độ chính x á c ....................................................................................72
3.2.3. Các phép do không cùng độ chính x á c ................................................................... 73
3.2.4. Phát hiện sai số thồ........................................................................................................... 75
3.3. Xử lý các phép đo
gián tiếp............................................................................................ 76
3.3.1. Công thức truyền sai s ố ...................................................................................................76
3.3.2. Các thí dụ.............................................................................................................................78
3.4. Sai số khi ghi nhẠn các bức xạ hạt 11 hAll....................................................................... 80
3 . 4 . 1. Sai số thống k ê ................................................................................................................... 80
3.4.2. Xác định tốc độ đếm thông qua nhiều phép đ o ........................................................82
3.5. Chọn thời gian do tối ưu.....................................................................................................84
3.5.1. Hiệu hai cường đ ộ ............................................................................................................ 84
3.5.2. Phép đo các nguồn có hoạt độ nhỏ, quy tắc 3 -\/n «p ...........................................
3.5.3. Tỷ số hai cường đ ộ ........................................................................................................... 88
Bài tập chương 3 .................................................................................. .........................................91
C hư ơ ng 4. K iểm tra giả th iết................................................................................................ 92
4.1. Đánh gỉá dạng phan bố llieo tiêu chuẩn X2 ................................................................ 93
4.1.1. Cơ sở phương p h á p .......................................................................................................... 93
4.1.2. Kiểm tra giả thiết............................................................................................................. 95
4.2. Kiểm tra giả thiết theo tiêu chuẩn Student................................................................ 98
4.2.1. Kiổm lia về kỳ vọng loán của dại lượng ngflu nhiô n............................................98
3
4.2.2. Kiổin tra về kỳ vọng toán của hai đại lượng......................................................... 99
4.3.
Phan tích phương sai....................................................................................................101
4.3.1. Cơ sở của phương pháp................................................................................................. 101
4.3.2. Các bước tiên hành......................................................................................................... 102
Bài tạp chương 4 ......................................................................................................................103
C hương 5. T ương quan và liồi q u i................................................................................. 104
5.1. Xác ctịnli các dặc trưng tương quan...........................................................................104
5.1.1. Momen và hẹ số lương quan giữa hai dại lượng................................................ i 04
5 . 1.2. Hệ số tương quan mẫu................................................................................................106
5.2. Phương pháp bình phương lối thiểu......................................................................... 108
5.2.1. Cơ sở của phương pháp..............................................................................................108
5.2.2. Hàm tuyến tính.............................................................................................................109
5.3.
Các hàm phi tuyến........................................................................................................114
5.3.1. Các hàm tuyến lính hoá được..................................................................................... 1 14
5.3.2. Các hàm Parabon............................................................................................................115
Bài tập chương 5 ...................................................................................................................... 117
Tài liệu thmn k liả o ................................................................................................................118
Phụ lục 1 .................................................................................................................................. 119
Phụ lục 2 .................. ............................................................................................................... 120
Phụ lục 3 ...................................................................................................................................121
4
MỞ Đ Ầ U
N ội d u n g của m ô n học:
Nội dung của môn học là nghiên cứu một số khái niệm và định lý cơ bản
của lý thuyết xác suất và thống kê, áp dụng các định lý của thống kê để xử lý các số
liệu thực nghiệm.
Phương pháp thống kê không những cho phép tiến hành xử lý các kết quả
thực nghiệm mà còn cho phép nghiên cứu bản chất của hiện tượng. Phương pháp
thống kê là giai đoạn kêt luận của một nghiên cứu. Những lliông tin quan trọng và
có fell dược khai thác từ các s ố liệu thực nghiệm.
Nội đ u n g CỈ1Ỉ1 p h ư ơ ng pháp th ốn g kê và xác suất:
Gắn liền với (hống kê loán học là xác suất. Thống kê (oán học và xác suất là
hai lĩnh vực của toán học ứng dụng có quan hệ mật thiết với nhau. Thống kê và xác
suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực vật lý, nó cho phép m ô tà các quá trình vật lý
ngẫu nhiên và xử lý các kết quả thực nghiệm quan sát được.
Xét bài toán lung đổng tiền đồng nhất để thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau
giữa thống k(ì (oán học và xác suất. Sau mỗi lần tung, đồng tiền có thể rơi ngửa hoặc
rơi sấp. Mỗi lân tung (tồng tiền có hai khả năng xảy ra: Đ ồng tiền rơi ngửa và đồng
tiền rơi sấp. Như vậy kết quả sau mồi lán tung là hoàn toàn ngẫu nhiên.
Bài toán cơ bản của xác suất là “Biết ràng xác suất khi tunt' đồng tiền rơi ngửa
là p, tính xác siiiìì p n (l<) (lổ trong 11 IÀn lung (lồng liền có k ỊÀI1 (k < 11) (lổng liồn lơi
ngửa”. Theo pliAn bố nhị (lure xác suất đó là:
Pn(k) = Cnk pk ( l - p ) " - k
(1)
trong (tó Cnk là lổ hợp chập k của n.
Bài toán cơ bản của thống kê: Trong một thí nghiệm, liến hành N lần tung dồng
liền có n líìn đồng tiền rơi ngửa. Hỏi xác suất p để khi lung đổng tiền rơi ngửa”. Giá
trị hợp lý của xác suất đó là P=n/N. Nhưng nếu tiến hành nhiều loạt thí nghiệm khác
nhau (mỗi loạt tung N lần), ta sẽ nhện dược nhiều kết quả 'chác nhau. Kết quả của
các loạt Ihí nghiệm trên có thể mô tả:
(2 )
5
trong đó 11, là loạt thí nghiệm có số ì&n đồng tiền rơi ngửa Íí Íihấí; n2 là loạt tìhttní
nghiệm có số líỉn (lồng tiền rơi ngửa nhiều nhất.
Đại lượng ôp chính là khoảng biến thiên của đại lượng n/N cần lìm. Ta h'hhy
vọng xác suất p thực nằm trong khoảng 5p từ p, đến p2. Khi ôp càng lớn, giá trị củ.ùủa
p rơi vào khoảng ?ip cũng càng lớn nhưng thông tin về giá trị p cồng nhỏ. Như wậ’ậậy
có sự bất định trong bài loán thống kê.
Các đại lượng nghiên cứu có thể (lược do trực tiếp hoặc gián tiếp, các phcp đ(đđo
luôn chứa một sai số. Tuỳ theo phương pháp đo, độ lớn của đại lượng cẩn đo và saỉsai
số tương ứng SC được xử lý theo phương pháp khác nhau dựa trên các định lý củíủủa
thống kê toán học.
6
CHƯƠNG I. MỘT VẢI VẤN ĐỂ c ơ UẢN VỂ LÝ TIIUYẾT XÁC SU ẤT
1.1. K H Á I N I Ệ M V Ê X Á C S U Ả T .
1.1.1. Hiện tượng tất nhiên và hiện tượng ngẫu nhiên.
- Hiện tượng tất nhiên là hiện tượng chắc chắn xảy ra hoặc chắc chắn không
xảy ra khi các nguyên nhân cơ bản của nó dược thực hiện.
Thí dụ: Khi ta nối một điện trở với hai đầu của một nguồn điện chắc chắn có
dòng điện chạy qua điện trở.
- Miện tượng ngẫu nhiên là hiện lượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi các
(liều k iệ n c ơ bail c ù a I1Ó (lư ợc th ự c h iệ n .
+ Thí dụ với mộl hạt nhân phóng xạ, Irong mộl khoảng thời gian xác định nào
dó, hạt nhân dó có thể phAn rã dể trở thành hạt nil An khác, hoặc có thể nó chưa
phóng xạ trong lliời gian (ló.
+ Khi ta gieo con xúc sắc, kết quả xuất hiện mặt có 2 chấm là hiện tượng ngẫu
nhiên. Nlurng nếu sự kiện xuAÌ hiện mặt có lừ 1 đến 6 chấm Ịà sự kiện tấl nhiên.
Lý thuyết xác suất và thống kê có mục đích nghiên cứu tính qui luật của các
hiện lượng ngẫu nhiên. Tính qui luâl của hiện tượng ngẫu nhiên thể hiện rõ khi tiến
hành nhiều phép thử (mẫu lớn).
1 .1.2. Đ ịnli n g h ĩa x á c suất
Có nhiều cách (lịnh nghĩa xác suAt: Theo quan iliổm lliống ke (quan diểm tíìn
sô), quan điểm cổ điển và quan điểm hình học.
Đ ịnli tighĩa x ác suất theo quan ổiêm cồ điên:
Giá sử rnộl phép thử có tất cả N kết cục dồng khả năng, trong đó có n kết cục
thích hợp cho sự kiện A. Xác suấl xuất hiện sự kiện A là:
p (A ) = —
(1 .1 )
N
Thí dụ: gieo một con xúc sắc hoàn toàn đối xứng. Tun xác suất xuất hiện mặt
có 1 chấm.
Do các mặt hoàn loàn có khả năng xuất hiện như nhau, nên xác suất xuất hiện
mặt có 1 chấm là: Pi = 1 / 6.
Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển có hai hạn chế:
1. Số kết cục của phép thử là hữu hạn.
2. Các kết cục của phốp Ihử phai dồng khả năng xuất hiện.
7
Đ ịnh nghĩa xác suất theo tần số:
Cỉiả sử tiến hành N phép (hử cùng loại. (rong mỗi plìép tliỉr có thổ xuất hiện sự
kiện A hoặc sự kiộn A . 'Prong N phép thử lliấy có 11 phép thử xuAÌ hiện sự kiện có
dấu hiệu là A. Xác suííl xuất hiện sự kiộn có (lấu hiện A (tược tính:
p(A) = L im ^
(1.2)
Từ định nghĩa ta thấy xác suất p(A) là đại lượng không Am và nhỏ hơn hoặc
cũng làm hằng 1: 0 < p(A) < 1.
Tổng tất cả xác suất xảy ra các sự kiện khả dĩ phải bằng 1. ta cỏ:
E p (A )= l
(1.3)
trong dó tổng (lược líív theo lất cả các sự kiện.
Định nghĩa xác stint theo hình học:
Định nghĩa xác suất theo hình học cho phép khắc phục được hạn chế thứ 2.
Xét một phép thử có vô hạn kết cục (lồng khả năng.
Giả sử lổng IAÌ cả các kết cục được biển (liễn ở miền hình học G nào đổ. Các sự
kiên lluiận lợi dể xuất hiện sự kiện A clirợc hiểu thị bằng các điểm nằm trốn miến g.
Tuỳ theo hài toán các miền G, g có thổ là đoạn thẳng hoặc một miền của mặt phẳng,
cũng có thể là mộl miền (rong không gian ha chiều. Xác Siícíl xuất lìiộn sự kiện A
(tược tính như sau:
P (A )3
So
(1.4)
(rong (tó SgVà 5y tương ứng với số (to miền g và miẻn G.
Xác suất p(A) llieo (lịnh nghĩa (1.1); (1.2) và (1.4) có hai lính chấl:
0 < p(A) < 1 và £ p(A) = 1
1.2. CÁC PỈỈRP TÍ Nil VR XÁC SUẤT
1 .2 .ì . C ộ n g x á c s u ấ t
Giả sir xác suấl xảy IM sự kiện A là p(A) và xác suất xảy ra sự kiện B In p(B).
Xét sự kiện A: Sư kiện A có (hổ dược xảv rn rùng với sự kiện B hoặc sự kiện A (lược
X
xảy ra khi sự kiện B khổng xảy ra. Gọi p(A,B) là xác suấl xảy ra sự kiện A cùng với
sự kiện B và p(A, B ) là xác suất xảy ra sự kiện A khi không xảy ra sự kiện B. Ta có
xác suất xảy ra sự kiện A là:
p(A) = p(A,B) + p(A, B ).
Tương tự xác suất xảy ra sự kiện B dược xác định theo công thức sau:
p(B) = p(A,B) + p ( B ,A )
Biết rằng p(A,B) = p(B,A) là xác suất xảy ra đồng thời 2 sự kiện A và B.
V ạy xác suất xảy ra sự kiện A hoặc sự kiện B là p(A+B) dược tính theo công thức:
p (A + B )= p(A) + p(B) - p(A,B)
+
(1.5a)
Nếu hai sự kiện A và B là ximg khắc, lức chúng không xảy ra dồng thời,
công llúrc (1.5a) trở thành:
P(A+B) = P(A) + P(B)
(1.5b)
N ếu A và B là hai sự lciện thay phiên, tức kết quả của phép thử hoặc xảy ra sự
kiện mang dấu hiệu A, hoặc xảy ra sự kiện mang dấu hiệu B = A . Với A và B là
hai sự kiện thay phiên nhau ta có: p(A+B) = 1. Từ công (hức (1.5b), cho p(A +B) =1,
la có thu được công thức sau:
p(A) + p(B) = I .
Từ công tlúrc ( 1,5c), suy ra:
(1.5c)
p(B) = p( A ) = I - p(A).
Trong nhiều trường hợp dể tính xác suất xuấl hiện sự kiên A ta đi tìm xác suất
p( A ) lừ đó suy ra p(A) = 1- p( A ).
T h í dụ: Trong một hộp kín gồm các viên bi hoàn toàn giống nhau nhưng có
màu khác nhau . Viên bi màu vàng , màu tím, màu xanh, màu đỏ. Tun xác suất P(A)
để khi rút từ hộp ra 1 viên bi mang một Irong ba màu: xanh , tím , đỏ. Đ ể tìm p(A)
ta di lìm p( A ) là xác suííl dổ khi ríu la viên bi không mang 3 màu trên hay viôn bi
mang màu vàng . Ta có p(A) = 1 - p( A ).
9
Ị .2.2. X ác suất có diếu kiện, nhớn xác suất
Cỉiả sir liên hành N phrp Ilnr H. Kct rỊnỏ cùa mỗi phép có thổ mnng một Irong các
tlAn hiệu là ej,c2,..en. Gọi rij là số phép thử mang dấu hiệu là Cj. Xct các hiên c ố
m a n g d ấ u h iệ u C | v à e 2.
c « ọ i r iị 2 là s ố h iế n c ố v ữ a c ó d ấ u liiộ u C |
v ừ a c ó d ấ u h iệ u c ? ,
ta có 11) 2 < (n,, n2).
Xác suất xảy ra biến cô c 7 với điều kiện C| xảy ra là p( e 2/C| ). Gọi p(e2/C|) là
xác suAl có (tiểu kiện c:ù;i c 2 với (liền kiộn
xảy ra. Hãy tính xác suất p(e.ị,e?) xảy
ra sự kiện mang (IAll hiệu c, vừa xảy ra sự kiện mang dấu hiệu e 2. Xác suất (ló (lược
t í n h t h e o c ô n g t l iứ c Síiu:
p(e, , e2)
-
N
-
n ‘2
11ị
11,2
” !
N
111
’ ■ p(e2) n,ỉ
"2
"l
( 1 .6 a )
(l.fib)
n2
Trong công llníc (1.6a) và (l.6 b ) lỷ số 1112/ nI là xác suất xảy ra sự kiện e2 với
điều kiện C| đã xảy ra. Tít có (n ,2 / I1 |) = p(e2 / C|). Tương tự n |?/n? là xác suấl xảy
ra sự kiện e, với (liéu kiện e 2 đã xảy ra: p(e,/e7) = (tip/ n2). Từ các công thức ( 1.6a)
và ( 1,6h) ỉa có:
p(C|.e?) = p(e,}.p(e2/C|) =
p(c2).p(c,/e2)
().6 c )
Xóc suất của tích hai sự kiện hằng lích cùa xác suất xây ra mội trong hai sự
kiện nhõn với xác suất ró (ỉiru kiện của sự kiện hai với (licit kiện sư kiện I (ỉã xảy ra
T h í tlụ: Trong (liùiip có 5 VC Irong (ló có hai VC Irúng tlurỏrng. Mai người lút lần
lượt mỗi người inộỉ vé. Gọi A là biến c ố người thứ nil/it nil được vó Irúng tlurởng. n
là hiến c ố người thứ hai tiling thường. Tìm xác suất đổ xảy ra B với diều kiện A đã
xảy ra và xác suấl đổ cả 2 người (lều trúng thưởng (ức cả A và B (lều xảy ra.
Lời giải:
p(A.B) = p(A).p(B/A).
+ Với pí A) - (2 / 5)
+ p(B/A) in xác snấí
Hai sự kiện e, và e 2 gọi là độc lập với nhau nếu p(C|/e2) = p(ei) hoặc
p(e2/e ,)= p (e 2). Việc xảy ra sự kiện e, độc lập với việc xảy ra sự kiện e 2 và ngược lại.
I lai sự kiện C| và e 2 d ộ c lộp với nhau, c ô n g 111ức ( l . 6 c ) liử thành:
p(e,,c2) = p(c,).p(c2).
(1 -ốc!)
Thí dụ: I Tai người cùng bắn vào mục liêu người thứ nhất bắn Irúng đích với xác
suất là 0,9, người thứ hai bắn trúng
(1ÍC Ỉ1
là 0,6. Tìm xác suất để khi 2 người cùng
bắn một pluít:
a. Hai người đều bắn trúng đích.
b. ít nhất một người trúng.
Giải: Gọi sự kiện người thứ nhất bắn một phát trúng đích íà e,; người thứ hai
hắn một phái trúng đích là e 2. Hai sự kiện e, và e 2 độc lệp nhau, (lo đótheo cồng thức
cộng và nhan xác suất ta có:
a. p(e,,e2) = p(e,).p(e2) = 0,9 . 0,6 = 0,54.
b. |)(e,+e2) = p(C|) + p(e2) - p(C| c 2)= 0,9 + 0,6 - 0,54 = 0,96
1.3. P I Í Â N B Ố G I Á N Đ O Ạ N
1.3.1.
Biến ngẫu nhiên gián đoạn và dãy phân bô xác suất
G iả sử đại lượng ngẫu nhiên X nhận n giá trị khả d ĩ sau: X|,X2... x n, ta
viết X = Ị X | | i=ị
Tập hợp c á c giá trị { X;} của X có thể là hữu hạn hoặc vô
hạn nhưng đếm dược. Khi đó đại lượng X (tirợc gọi là c1ại lượng ngẫu nhiên
rời rạc h a y g i á n đ o ạ n .
D ãy pliíìn bố xác suất của X là bảng gồm 2 dòng. Dòng thứ nhất ghi các giá trị
của biến ngẫu nhiên. Dòng Ihứ hai ghi xác suất xuấl hiện của dại Iưựng ngẫu nhiên
nhộn giá Irị khả đĩ lương ứng. Dãy phAn bố xác suất có dạng như bang 1.1.
Biing 1.1. Dãy phím bở xác suất của dại lưựng gián (loạn:
X
Pi
Pỉ
■p„
trong đ ó Pi =P(X=X|) là x á c suất để đại lượng ngẫu nhiê n X nhân giá trị X = Xj.
Đại lượng X cỗ thể nhận một trong số các giá trị khả (lĩ nên: £pi=l- Đây chính
là diều kiện chuẩn hoá của xác suất.
Bài toán: Một đội gồm 3 người bắn súng, ba người lần lượt bắn trúng đích l.ầ it
0,8; 0,9 và 0,7. Hãy lộp hảng phân hố xác suất số người bắn trúng đích trong Irườn g g Ị
hợp 3 người đều hắn một phát.
Biến ngAu nhiên ở đAy là số người bắn (rúng đích có thổ nhân các giá trị 0; I; 2; 3.
- V ới X = 0, tức không có người nào bắn (rúng đích. X ác suất Pn đ ư ợ c 3:
tính: Po = (1 - 0 ,9 ) ( 1 - 0 ,8 ) (1 - 0 ,7 ) = 0 ,0 0 6 .
- Với X = 1, tức chỉ có 1 người trúng đích. Trường hợp này có ba khả năng xảy rai: :
+ Người thứ nhất bắn trúng đích còn 2 người sau không trúng đích. X ác su.At tl
xảy ra trường hợp này là: Pn - 0,9.(1 -0,8).(1-0,7) = 0,054.
+ Người thứ hai trúng đích, người thứ nhất và thứ bakhông trúng. Xác suất xảiyyy
ra trường hợp này
là: Pi 2 - (l-0 ,9 ).0 ,8 .( 1-0,7) = 0,024.
4- Người thứba bắn trúng đích còn hai người trước đều bắn trượt. Xác suất xẩiyyy
ra trường hợp này
là: pn = (1-0,9).(1-0,8).0,7 = 0,014.
Xác suất p| cần tìm là:
Pị = Pn + Pi2 + Pií = 0,092.
- Tương tự X - 2. Xác suất (lể hai trong ba nguời bắn (lúng đích là:
P j = 0 , 9 . 0 , 8 . ( 1- 0 , 7 ) + 0 , 9 . ( t - 0 , 8 ) . 0 ,7 + ( l - 0 , 9 ) . 0 , 8 . 0 ,7
= 0 ,2 1 6 + 0 , 1 2 6 . 0 ,0 5 6 = 0 , 3 9 8 .
Với X = 3 cả ba người (lều bắn (rúng. Xác suất để cả ba người bắn đều
trúng đích là:
= 0,9.0,8.0,7 = 0,504.
Ta có dãy pliAn bố sau:
X
0
1
2
3
Pi
0,006
0,092
0,398
0,504
Từ bảng số ta có Po + Pi + p2 + p, = I
1.3.2. Phân hố nhị thúc
Bài toán phAn bố nhị thức: Tiến hành n phốp thử độc lập* kết quả mỗi phép I hủủỉr
có hai khả năng mang dấu hiệu A hoặc A . Trong mỗi lần tliỉr, xác suất xuất hiện siiiạr
kiện A và p. Hãy tìm xác suất để trong n lần thử có k lần phép (hử xuất hiện có kếếết
quả là A.
Gọi xác suất cÀn tìm là pM
(k). Nếu ta xếp kết quả của mỗi phép thử theo thứ tititự
của nó, thì SI1 U Mphép llìủ ỉa có dãy gồm II chữ số A hoặc A . Trong bài toán củai l;l ta
(rong n phép lliử có k phép (liử mang (lấũ hiệu A, vây ta có dãy gồm k chữ số A v.vvà
12
(n-k) chữ số A . Có rất nhiều khả năng xảy ra thoả mãn điều kiện của bài toán đặt
ra. Mỗi khả năng tương ứng với một cách sắp xếp dãy số gồm n chữ trong đó có k
chữ A và ( n - k) chữ số là A . Theo lý thuyết tổ hợp số cách sắp xếp dãy số có đặc
điểm trên là:
cỉí = ------—---k !(n -k )!
Vậy có Cnk khá năng thoả mãn yêu cáu của díỉu bài. Các khả năng đó xảy ra
với xác suất như nhau. Tìm xác suất để xảy ra một trong Cnk khả năng nêu trên.
Xét
(rường hợp k phép thử đầu
kết quả mang dấu
hiệu là A
còn
(11 - k) phép thử sau mang (lấu hiệu là A , ta cổ dãy số sau: A , A ...A ,A ., A,..A .
v-----------^ ----------' v----------V ---------- '
k
n-k
Xác suất xảy ra trường hợp này là pk.qn' \ với q là xác suất xuất hiện sự kiện
mang dấu hiệu A . Theo định lý cộng xác suất ta có:
p„(k) = c „ k p"q" 1
( 1. 7 )
Luật pliftn bố xác suất có hàm mạt độ (lược xác địnli theo công thức (1.7) gọi
là pliíìn bố nhị 1hức. PliAn hố nhị (litre có dãy phfln hố xác suất clơợc cho ở hảng 1.2.
Bảng số 1.2. Dãy phân bố xác suất của pliân bồ nhị tlúrc:
X
0
1
2
k .......
n
p
q"
c./pq"-’
c n2p2qn-2
c nkpkqn-k
pn
ị
Lấy tổng llico k từ 0 đến n của p„(k) ta có:
Ệ P n W = Ẻ c | ; p V ‘ =(p + q ) " = i
k=0
k=0
Phân bô nhị thức dược xác định bởi hai thông số: p và n. Phân bố nhị thức chỉ
thuận lợi khi số phép thử n nhỏ.
1.3.3. Phân bõ Poỉsson X
Bài toán phân b ố Poisson:
13
Tìm xác suất pk(t) để xảy ra k sự kiện (rong khoảng thời gian từ 0 đến t. Các sự
kiện xảy ra thoả mãn ha điều kiện sau:
i/ Việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện vào thời điểm t không phụ thuộc lịch
sử của sự kiộn xảy ra trước thời điổin t.
ii/ Xác suất xảy ra sự kiện trong khoảng thời gian 5t tăng tỷ lệ với khoảng thời
gian đó. Nói cách khác xác suất xảy ra sự kiện trong khoảng thời gian t 4 -1 + ỗt là
n5t, với n là tốc (lộ xảy ra sự kiện.
iii/ Xác suất đổ hai hay nhiều sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian vô cùng
nhỏ ôt bằng không.
Cách giải ta (li tìm phương Irình vi phân
dP k(t)
đt
và dùng phương pháp qui
nạp toán học.
+ Với k=0: Gọi Po (0 là xấc suất để không xảy ra sự kiện nào trong khoảng
thời gian từ 0 đến t. Tương tự, Po(t 4- 5t) là xác suất để khống xảy ra sự kiện nào
trong khoảng thời gian từ 0 (tến (t + ô t ) .
Theo điều kiện ii của bài toán, xác suất để không xảy ra sự kiộn nào trong
khoảng thời gian từ l -í- ỉ + ôt bằng (I - nỗt). Nhận thấy rằng để trong khoảng từ 0
đến t + 5t không xảy ra sự kiện nào thì trong khoảng từ 0 đếil t phải không xảy ra sự
kiện nào và trong khoảng lừ t đến t + St cũng không xảy ra sự kiện. Theo định lý
nhân xác suất ta có:
Po(t + ÔI) = p„(t)(l - n ô i) = Po(0 - n.p0(t).5t.
Từ đó ta có p0(t +ôt) -
P n (t)
= - n.p0(l).5(. Vậy phương trình vi phfln dối với p0(t)
có dạng như sau:
í ! E j P - n p l ( «).
dt
(1.8a)
hay
Nghiệm của phương trình vi phfln (1 .8n) cổ dạng sau:
(1.8b)
Po(l) = Ae""-'
14
trong đó A là hằng số lích phân dược xác định theo điều kiện ban đầu.
Tại thời điểm t=0 ta có Po(0) = A = 1. Trong khoảng thời gian ôt =0, tại thời
điểm 1=0, xác suấl không xảy ra sự kiện nào phải bằng 1. v ạ y p0(t) = e _n 1
+ Với k =1: Tức trong khoảng thời gian từ 0 đến I có 1 sư kiện xảy ra. Xác suất
Cíìn tìm là P|( t). Ta hãy lìm x á c suất P|(l + ôt) để trong k h o ả n g thời gian từ
0 đến
t +8t có I sự kiện xảy ra. Có hai khả năng thực hiện diều kiện trên:
+Khả năng thứ nhất Irong khoảng thời gian lừ 0 đến t xảy ra 1 sự kiện
còn
trong khoảng thời gian từ 1 đến l + ôt không xảy ra sự kiện nào. Xác suất xảy ra khả
năng (liứ Iiliíít bằng P i ( l ) . ( l - nôt).
+Khả năng thứ hai là trong khoảng thời gian từ 0 đến i không xảy ra sự kiện
nào còn từ t -rl + 8t xảy ra 1 sự kiện. Xác suất xảy ra khả năng thứ hai là p0(t) nỗt.
Theo công thức cộng xác suất ta có: Pị(t + ôt) =
Hay ta có phương trình: -Pì- - - - - - —
8t
Phương trình vi phan đối với
P i( l)
P i( l)
(1-n ôt) + P()(t).n5t.
= -n p ,(t) + np0(t).
có dạng:
j Pi.HI - - | 1P | ( 1 ) + np0(l)
dt
(1.8c)
với p0(t) dược xác định Ihco ( 1,7b).
Nghiệm của phương trình vi phân (1.7c) là:
p,(t) = (n t)'e n'
(L 8d)
Từ phương trình (1.7c) tổng quái cho trường hợp k > 1. Với k nguyên,
dương ta có phương trình vi pluln sau:
ỏ p ) — = - n p k ( t ) + n p k_ , ( l )
dt
(1.8e)
N ghiệm của phương trình vi phân ( 1 .8e) có (lạng:
e -nt
P k ( 0 = ( n t ) k •—
k!
15
(I .9 a)
if
Đặl nt = |i và viết pk(t) = p,,(k), lừ (1 .9a) ta thu được công thức sau:
n k e
IV(k) = ^1
(!■%)
Một đại lượng ngẫu nhiên k nguyên, không âm được gọi là đại lượng có
>
k e _lx
phân bố Poisson nếu hàm phân bố xác suất của nó có dạng p (k) = |I ——-.
Từ biổu thức ( i.9 b ) nhộn lliấy: phân bố Poisson được xác định bởi 1
thông số là Ị!.
Trong phân hố Poisson thường quan (Am đến xác suất p đổ đại lượng k nằm
trong khoảng từ
- aơ đến |1 + aơ. Ta có: p(|i - aơ < k < |i + aơ) - p.
_
Xác suất dể ctại lượng k trong khoảng từ | 1 - yfịt -T- Ị.I + yfịx bằng 0,683.
Xác suất để đại lượng k (rong khoảng từ }1 - 2yfịi -f |1 4- 2 -s/ỊI bằng 0,95.
Xác suất để đai lượng k trong khoảng lừ |1 - 3yfịĩ -ỉ- [1 + 3a/ỊI bằng 0,9973.
Phân bố Poisson gặp nhiều (rong thực tế: Số hạt bức xạ k do nguồn phóng
xạ phát ra trong khoảng (hời gian t; số cặp ion điện tử k đirợc tạo thành trong môi
trường khi một bức xạ hạt nhfln có năng lượng xác định hao phí loàn bộ năng lượng
trong mối trường; Số diện lử phát ra từ calốt bị dốt nóng trong khoảng thời gian xấc
định là các đại lượng ngẫu nhiên có phân bố Poisson. Phồn bố Poisson đóng vai trò > :
quan trọng trong lý thuyết độ tin cậy, nó mô lả qui luật xuất hiện của những hư hỏng
dột Iigộl trong các hệ phức tạp.
1.4. PIIÂN BỐ LIÊN TỤC
1.4.1.Hàm mật độ xác suất
Đại lượng ngẫu nhicn X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nếu các giá
trị khả dĩ của nó lấp dẩy một khoảng nào (lổ. Với dại lượng liên tục ta không thể nói
xác suất Ị)(X=x) dể dại lượng nhận một giá í rị Xííc định. Đ ể làm sáng tỏ điều này ta
xét bài toán sau:
Giả sử X là chiều cao của người. X là đại lượng Hôn tục từ Xmin-Ỉ-Xmax, với
x min, Xmiix là chiều cao cực tiển và cực đại khn dĩ của một người. Ta gọi px là xác
suất để chiều cao của người bằng X, ta cỏ px = p(X = x). D o px > 0, nôn xác suất
16
.
để một người có chiều cao bất kỳ từ x min đến x mac là £ px= co > 1. Đ iều này
lý, VI xá c suất để m ộ t người c ó ch iề u c a o bất kì phải
vô
bằng 1.
Với phân bố liên lục, thay cho dãy phân bố xác suất ta dùng khái niệm hàm
một độ xác suất.
Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị liên tục từ a 4- b. Xét đoạn X
x+dx với
clx đủ nhỏ. Kí hiệu F(x + (Ix) là xác suất để đại lượng X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc
bằng X + tlx, vậy ta có:
F(x + dx) = p(X < x+ (lx).
Gọi F(x) là xác suất dể đại lượng X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x:
F(x) = P(X < X).
Xác suất để đại lượng X nhận giá trị từ X đến X + clx là:
p (x < x < x+dx) = F(x + dx)- F(x).
(1-10)
Với dx đủ nhỏ ta có thể viết: p (x < X < X + dx) = f(x)dx. Thay vào công thức
(1. ỈO) thu được công thức sau:
f(x)dx = F(x + dx) - F(x).
(1.1 la)
Tìr ( 1 . 1 I a) chia cả 2 vế cho dx ta thu được phương í lình vi phân sau:
f(x) = ®
dx
(1.11b)
Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của đại lượng X tại điểm X.VÌ hàm
F(x+dx) > F(x), nên theo (1.1 la) suy ra f (x) > 0. Hàm mật độ xác suất là hàm
không Am.
Xác suất để đại lượng X nhận giá trị bất kỳ từ a đến b phải bằng 1.
Hàm mạt d ộ x á c suất f(x) phải thoả mãn đ iều kiộn chuẩn h o á sau:
ff(x)dx = l
(1.12)
a
1 .4 .2 .H à m p h ả n b ổ x á c Sỉiảì
Hàm F(x) = p(X < x) là xác suất dể đại lượng ngAu nhiên X nhận giá Irị nhỏ
hơn hoặc bằng X. Hàm F(x) được xác định:
F(x) = j f (x )d x
(1.13)
a
Trong trường hợp tổng quát ta có công thức sau:
F ( x ) = Jf(x)dx
(1.14)
oo
Hàm F(x) được xác định theo (1.13) và (1.14) được gọi là hàm phân b ố xác
su ất.
Từ tính chất của hàm mật độ xác suất f(x) > 0, suy ra hàm phân bố xá c suất
có Các tính chất sau:
i/.
Hàm F(x) là hàm lăng,
ii/.
F(- oo) = 0.
iii/
F( oo) = 1.
1.4.3. Phân b ố đều
'ỉ. íí*■''Ị.r .
... ,.
.'1',H.V,
Đại lượng X dược gọi là phân bố dổu trong klioảng a,b nếu hàm mật độ xác
suất của nó được xác định theo công Ihức sau:
f(x) =
khi a < x< b .
b -a
rrọ
f(x) = 0 khi X < a hoặc X > b.
Hàm phAn bố xác suất F(x) của píiAn
bố dều được xác định theo llico công
Ihức sau:
X
X
F(x) = jf(x )d x = jf(x )d x
a
-0 0
= 0
X -
a
b- a
= 1
inât dộ xác suất (a) và hàm phân
bố xác suất (b) của phan bố dều
khi X < a
khi a < X < b
khi
X>
b
lĩàm mậl (tộ xác suốt f(x) và hàm pliAn bố xác suííl F(x) của úại lượng ngÃM
- Xem thêm -
.PDF 
123 
42 
136 
