Tài liệu Xác suất thống kê các ví dụ và lời giải 10 đề thi luyện tập cùng đáp án và thang điểm

PGS.TS NGUYỄN HỮU BẢO 1 PGS.TS NGUYỄN HỮU BẢO Giáo trình Xác suất - Thống kê - Các ví dụ và lời giải - 10 đề thi luyện tập cùng đáp án và thang điểm Nhà xuất bản xây dựng Hà Nội – 2003 2 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ....................................................................................................................................................................7 CHƯƠNG I: CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT.............................................................................................................10 §1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ ....................................................................................................................................10 §2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ ...............................................................................................................10 §3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN SỐ ..........................................................................................................11 §4. CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT.........................................................................................................................11 4.1. Định nghĩa xác suất cổ điển ............................................................................................................................11 4.2. Định nghĩa hình học của xác suất ..................................................................................................................12 4.3. Định nghĩa thống kê của xác suất...................................................................................................................12 §5. CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT..................................................................................................................................13 5.1. Định lý cộng xác suất ......................................................................................................................................13 5.2. Định lý nhân xác suất......................................................................................................................................13 a. Khái niệm xác suất có điều kiện ...................................................................................................................................... 13 b. Khái niệm tính độc lập của hai biến cố ........................................................................................................................... 14 c. Công thức xác suất đầy đủ ............................................................................................................................................... 15 d. Công thức Bayes............................................................................................................................................................... 16 LờI GIảI BÀI TậP CHƯƠNG I.........................................................................................................................................19 CHƯƠNG II: CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC....................................................21 §1.CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.......................................................................................................................21 1.1. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc .........................................................................................................................21 1.2. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục ........................................................................................................................21 §2. LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT..........................................................................................................................21 2.1. Bảng phân bố xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc......................................................................21 2.3. Hàm mật độ của đ.l.n.n liên tục ......................................................................................................................23 §3. CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP ....................................................................................23 A. Với các đ.l.n.n rời rạc.........................................................................................................................................23 1. Luật siêu hình học ........................................................................................................................................................... 23 2. Luật nhị thức ................................................................................................................................................................... 23 3. Luật Poisson..................................................................................................................................................................... 24 B. Với các đ.l.n.n liên tục .......................................................................................................................................24 1. Luật phân phối đều ......................................................................................................................................................... 24 2. Luật phân phối Gamma.................................................................................................................................................. 24 3. Luật chuẩn ....................................................................................................................................................................... 25 §4. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT................................................................................26 4.1. Kỳ vọng toán học..............................................................................................................................................26 4.2. Phương sai .......................................................................................................................................................27 4.3. Các mômen.......................................................................................................................................................27 4.4. ý nghĩa của các mômen ...................................................................................................................................28 §5. HÀM CỦA MỘT Đ.L.N.N ....................................................................................................................................28 5.1.Hàm của một đ.l.n.n rời rạc .............................................................................................................................28 5.2. Hàm của đ.l.n.n. liên tục .................................................................................................................................29 BÀI TậP CHƯƠNG II ......................................................................................................................................................31 LờI GIảI BÀI TậP CHƯƠNG II ........................................................................................................................................34 CHƯƠNG III: LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ................................................................................37 §1. LUẬT SỐ LỚN ......................................................................................................................................................37 1.1. Luật số lớn dạng Chebyshev............................................................................................................................37 1.2. Luật số lớn dạng Khinchin..............................................................................................................................37 §2. ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ...................................................................................................37 2.1. Định lý giới hạn Moivres – Laplace:...............................................................................................................38 2.2. Định lý giới hạn trung tâm ..............................................................................................................................38 2.3. Định lý giới hạn Poisson .................................................................................................................................39 CHƯƠNG IV: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU .........................................................................................41 3 §1. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT HAI CHIỀU...............................................................................................................41 1.1. Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X, Y ) .............................................................................................41 1.2. Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều liên tục ( X, Y ) ...........................................................................................41 1.3. Phân phối xác suất hai chiều ..........................................................................................................................41 a. Rời rạc .............................................................................................................................................................................. 41 b. Liên tục............................................................................................................................................................................. 43 1.4. Hàm phân phối xác suất hai chiều ................................................................................................................43 §2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN...................................................44 2.1. Phân phối xác suất có điều kiện......................................................................................................................44 a. Rời rạc .............................................................................................................................................................................. 44 b. Liên tục............................................................................................................................................................................. 44 2.2. Kỳ vọng có điều kiện ........................................................................................................................................44 a. Rời rạc .............................................................................................................................................................................. 44 b. Liên tục............................................................................................................................................................................. 44 §3. TÍNH ĐỘC LẬP VÀ TƯƠNG QUAN CỦA HAI Đ.L.N.N.................................................................................45 3.1. Tính độc lập của hai đ.l.n.n.............................................................................................................................45 3.2. Mômen tương quan ( còn gọi là hiệp phương sai hoặc covariance ) ............................................................45 §4. PHÂN PHỖI XÁC SUẤT CỦA TÔNG HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN .....................................................45 a. Trường hợp X và Y là các đ.l.n.n rời rạc ...........................................................................................................45 b. Trường hợp X và Y là các đ.l.n.n liên tục ..........................................................................................................46 §5. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN N CHIỀU..............................................................................................................47 5.1.Hàm phân phối xác suât n chiều......................................................................................................................47 5.2.Hàm mật độ n chiều..........................................................................................................................................47 5.3.Tính độc lập ......................................................................................................................................................47 5.4. Ma trận Covarian.............................................................................................................................................47 BÀI TậP CHƯƠNG IV .....................................................................................................................................................49 LờI GIảI BÀI TậP CHƯƠNG IV.......................................................................................................................................51 CHƯƠNG V: THỐNG KÊ MÔ TẢ ...............................................................................................................................53 §1.MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN.........................................................................................................................53 1. Mẫu ngẫu nhiên đơn giản nhiều chiều .............................................................................................................53 2. Các cách cho mẫu một chiều..............................................................................................................................53 a. Mẫu liệt kê ........................................................................................................................................................................ 53 b. Các mẫu rút gọn............................................................................................................................................................... 53 §2.CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU MỘT CHIỀU..............................................................................................................54 2.1.Hàm phân phối thực nghiệm ( hay còn gọi là hàm phân phối mẫu ).............................................................54 2.2. Các số đặc trưng mẫu ( hay các thống kê quan trọng nhất ) .........................................................................55 §3. CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU HAI CHIỀU...............................................................................................................55 3.1.Bảng phân phối hai chiều ................................................................................................................................55 3.2. Các phân bố biên duyên ..................................................................................................................................56 3.3. Mô men tương quan ........................................................................................................................................56 3.4. Hệ số tương quan của hai đ.l.n.n X và Y ........................................................................................................56 BÀI TẬP CHƯƠNG V................................................................................................................................................59 CHƯƠNG VI: ƯỚC LƯỢNG THỐNG KÊ ..................................................................................................................64 §1. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................................................................................64 §2. CÁC ƯỚC LƯỢNG TỐT NHẤT CHO THAM SỐ............................................................................................64 2.1.Tính không chệch .............................................................................................................................................64 2.2. Tính vững.........................................................................................................................................................65 2.3. Tính hiệu quả...................................................................................................................................................65 §3. KHOẢNG TIN CẬY CHO THAM SỐ ................................................................................................................65 §4. CÁC ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU..........................................66 4.1.Ước lượng điểm cho giá trị thực đo .................................................................................................................66 4.2. Ước lượng khoảng cho giá trị thực đo với độ tin cậy γ cho trước với giả thiết mẫu quan sát về X có phân phối chuẩn đã biết phương sai ...............................................................................................................................66 4.3. Ước lượng khoảng cho giá trị thực đo với độ tin cậy γ cho trước với giả thiết mẫu quan sát về X có phân phối chuẩn chưa biết phương sai...........................................................................................................................67 4.4. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ đám đông ( hoặc xác suất xuất hiện một biến cố A nào đó ) .................................68 4.5. Khoảng tin cậy cho phương sai.......................................................................................................................68 4 4.6. Khoảng tin cậy cho hiệu 2 kỳ vọng .................................................................................................................69 4.7. Khoảng tin cậy cho sự sai khác giữa 2 tỷ lệ khi mẫu lớn : ............................................................................70 BÀI TậP CHƯƠNG VI ....................................................................................................................................................71 LờI GIảI BÀI TậP CHƯƠNG VI.......................................................................................................................................75 CHƯƠNG VII: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ .............................................................................................78 §1. ĐẶT BÀI TOÁN ....................................................................................................................................................78 §2. CÁC TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT TỐI ƯU MỨC α.....................................................................78 §3. ỨNG DỤNG CÁC TIẾU CHUẨN KIỂM ĐỊNH MỨC α TRONG PHÂN TÍCH VÀ XỬ LÝ SỐ LIỆU .......78 3,1. Kiểm định giá trị chân thực của đại lượng cần đo đạc ( kỳ vọng EX )..........................................................78 a. X được giả định có phân phối chuẩn N (μ, σ2) với σ2 đã biết........................................................................................ 78 2 b. X được giả định có phân phối chuẩn với phương sai σ chưa biết............................................................................. 79 3.2. So sánh hai kỳ vọng từ hai liệt số liệu khác nhau ( kiểm định về sự thuần nhất của 2 liệt số liệu )............80 a. Trường hợp 2 mẫu giả định từ 2 đ.l.n.n. có phân phối chuẩn với 2 phương sai σ12 và σ 22 đã biết........................... 80 b. Trường hợp 2 mẫu giả định từ 2 đ.l.n.n. có phân phối chuẩn với các phương sai bằng nhau chưa biết..................... 81 3.3. Kiểm định giả thiết về tỷ lệ ..............................................................................................................................81 a. Bài toán so sánh tỷ lệ mẫu f và tỷ lệ lý thuyết p............................................................................................................... 81 b. Bài toán so sánh 2 tỷ lệ .................................................................................................................................................... 82 3.4. Kiểm định về sai số thô ....................................................................................................................................82 a. Sai số ngẫu nhiên............................................................................................................................................................. 83 b. Sai số hệ thống ................................................................................................................................................................. 83 c. Sai số thô........................................................................................................................................................................... 83 3.5. Kiểm định giả thiết về dạng của phân phối xác suất......................................................................................84 BÀI TậP CHƯƠNG VII ...................................................................................................................................................87 CÁC BÀI TẬP ÔN TẬP ..................................................................................................................................................93 A- PHầN XÁC SUấT ........................................................................................................................................................93 B - PHầN THốNG KÊ .......................................................................................................................................................96 PHỤ LỤC........................................................................................................................................................................102 §1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP ..................................................................................................102 1.1. Hoán vị ...........................................................................................................................................................102 1.2. Tổ hợp ............................................................................................................................................................102 1.3. Chỉnh hợp ......................................................................................................................................................102 1.4. Chỉnh hợp lặp ................................................................................................................................................103 1.5. Nhị thức Newton ............................................................................................................................................103 §2. HÀM GAM-MA ..................................................................................................................................................103 §3. HÀM BÊ-TA........................................................................................................................................................104 §4. CÁC PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP:..................................................................................................................104 1. Phân phối siêu hình học...................................................................................................................................104 2. Phân phối nhị thức ...........................................................................................................................................104 3. Phân phối hình học ..........................................................................................................................................104 4. Phân phối nhị thức âm .....................................................................................................................................104 5. Phân phối Poisson ............................................................................................................................................105 6. Phân phối đều trên [ a, b ]................................................................................................................................105 7. Phân phối mũ....................................................................................................................................................105 8. Phân phối chuẩn...............................................................................................................................................105 9. Phân phối loga chuẩn.......................................................................................................................................105 10. Phân phối gam-ma..........................................................................................................................................106 11. Phân phối χ2....................................................................................................................................................106 12. Phân phối Student ..........................................................................................................................................106 13. Phân phối F ....................................................................................................................................................106 14. Phân phối bê-ta...............................................................................................................................................107 §5. CÁC BẢNG TRA ................................................................................................................................................108 5 x2 bảng 1 : Giá trị hàm laplace Bảng 2 : Giá trị hàm 1 t −2 Φ( t ) = ∫ e dx ....................................................................................... 108 2π 0 χ α2 ,ν ......................................................................................................................................... 109 Bảng 3 : Giá trị hàm Student tγ,ν ...................................................................................................................................... 110 Bảng 4 : Giá trị tới hạn để kiểm định về sai số thô ( τα;n ).............................................................................................. 111 MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ .................................................................................................................................................112 A. CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT – THốNG KÊ 60 TIếT ( HọC PHầN XÁC SUấT: 30 TIếT, HọC PHầN THốNG KÊ 30 TIếT ) .................................................................................................................................................................112 1. Đề thi học phần Xác suất..................................................................................................................................112 2. Đề thi học phần thống kê..................................................................................................................................114 B. CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT – THốNG KÊ 45 TIếT .........................................................................117 ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM CÁC BÀI THI THỬ ...........................................................................................................120 A. CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT – THốNG KÊ 60 TIếT .........................................................................120 B. CÁC Đề THI CHO CHƯƠNG TRÌNH XÁC SUấT THốNG KÊ 45 TIếT ............................................................................126 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................................................................132 THÔNG TIN TÁC GIẢ.................................................................................................................................................133 6 LỜI NÓI ĐẦU Kể từ năm 1998 theo chỉ đạo của Bộ Giáo dục - Đào tạo, môn Xác suất và Thống kê đã trở thành một môn bắt buộc trong chương trình đào tạo toán cho các trường Đại học nhóm ngành A1 và thường là hai học phần cuối cùng sau Đại số tuyến tính và Giải tích. Nó thực sự là một cầu nối giữa toán cơ bản với các lĩnh vực ứng dụng toán và thực sự là kiến thức tối cần thiết cho các kỹ sư tương lai, những người luôn phải làm việc với các kết quả quan trắc hay các thiết bị thí nghiệm. Chẳng những thế nó còn thực sự cần thiết cho cả các học viên hệ Sau đại học với các luận án cao học mà hầu hết đều liên quan đến xử lý số liệu thực nghiệm hoặc thiết kế các thiết bị thí nghiệm. Cùng với những yêu cầu cấp bách về cải tiến phương pháp giảng dạy và thiết kế nội dung chương trình đào tạo kỹ sư hiện nay đang diễn ra ở các trường đại học, giáo trình Xác suất – Thống kê cũng cần có một sự thay đổi theo hướng tinh giản, gọn nhẹ nhưng phải mang một nội dung ứng dụng, đào tạo nghề sâu sắc. Với một thời lượng chừng 45 đến 60 tiết, việc giảng dạy các cơ sở toán học, cách trình bày quá sâu sắc toán học, những thuật ngữ toán học cầu kỳ đã trở nên không phù hợp. Nhiều kết quả sâu sắc của lý thuyết xác suất trở nên chưa phù hợp với một khối lượng kiến thức toán cao cấp còn hạn chế hiện là chương trình phổ biến ở các trường đại học kỹ thuật hiện nay. Một hiện trạng khá phổ biến hiện nay là giáo viên trẻ khó có thể dạy được một giáo trình xác suất thống kê sao cho vừa chăt chẽ về mặt toán học lại vừa có khả năng cung cấp cho sinh viên sự hiểu biết ứng dụng của lĩnh vực này. Sinh viên học xong hết 30 tiết xác suất thấy rất khó làm bài tập xác suất cổ điển, và sau 30 tiết thống kê sinh viên cũng thấy khó khăn không kém để thực hiện và trình bày một bài tập thống kê nếu đề ra mang mầu sắc ứng dụng thực tiễn. Chưa nói đến khả năng ứng dụng vào chuyên môn sau này mà trước mắt, tỷ lệ thi lại ở môn xác suất và thống kê ở một số trường làm cho chúng ta thấy cần có sự thay đổi trước hết trong khâu giáo trình ( sau đó là vấn đề cải tiến ở phương pháp giảng dạy ). Với một ham muốn trình bày gọn nhẹ nhất những vấn đề lý thuyết và truyền đạt được nhiều nhất các ý nghĩa ứng dụng, thực hành môn Xác suất, Thống kê, chúng tôi biên soạn chương trình này, phục vụ cả hệ đào tạo đại học và hệ đào tạo sau đại học. Với sự tham khảo cách viết của một số giáo trình của một số trường đại học kỹ thuật ở Mỹ và ở Pháp, chúng tôi tin rằng đây là cách viết đúng đắn. Đồng thời với kinh nghiệm giảng dạy xác suất và thống kê của bản thân ( dù là còn ít ỏi ), chúng tôi tin rằng với hệ thống bài tập với lời giải, hướng dẫn hoặc đáp số cùng với các bài thi và bài giải mẫu có thang điểm sẽ là một tài liệu thiết thực và sẽ được giáo viên trẻ, các độc giả sinh viên ở nhiều trường hoan nghênh. 7 Vì năng lực và thời gian có hạn, chúng tôi biết chắc rằng giáo trình này còn có nhiều nhược điểm và sai sót. Hy vọng sẽ nhận được các ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp và các độc giả sinh viên để lần tái bản sau sẽ bổ sung, sửa chữa, sớm đi đến một giáo trình hoàn thiện hơn. Xin cảm ơn một số bạn đồng nghiệp đang giảng dạy trong và ngoài trường đã đóng góp ý kiến và tài liệu để cho bản thảo thêm phong phú và bổ ích. Xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, chủ nhiệm Khoa đào tạo Việt - Nga, Đại học Quốc gia Hà Nội, GS.TS. Hà Văn Khối, chủ nhiệm Bộ môn Thủy văn Công trình trường Đại học Thuỷ lợi là các giáo sư đọc phản biện bản thảo và đã cho nhiều ý kiến chỉ đạo quý báu. Nếu giáo trình này được thành công, tôi xin kính tặng người thầy dạy Xác suất – Thống kê cho tôi, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, sự thành công này. Hà Nội, 4 – 2003 Người biên soạn PGS.TS. Nguyễn Hữu Bảo 8 “… Sách được viết cô đọng, có nhiều ví dụ hay và bổ ích, nhiều bài tập sinh động có lời giải rất quan trọng giảng sinh viên hiểu rõ lý thuyết và vận dụng thực hành. Đặc biệt sách còn có các đề thi để sinh viên tự kiểm tra. Nói chung, đây là một giáo trình tốt giúp cho sinh viên các trường Đại học kỹ thuật học xác suất, thống kê trong khuôn khổ từ 45 tới 60 tiết …” GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến ĐHQG Hà Nội ( Trích nhận xét của phản biện thứ 1 ) 9 CHƯƠNG I: CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT §1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Khi xem xét một sự việc, một hiện tượng nào đó mà ta đang quan tâm ta thường phải tiến hành thực hiện một nhóm điều kiện để xem kết cục đó như thế nào. Khi đó ta gọi là tiến hành một phép thử. Ví dụ, cần xem xét hiện tượng vỡ đập trên một con sông cố định, người ta cần xây dựng một con sông thu nhỏ theo tỉ lệ tương ứng rồi tiến hành các điều kiện nước dâng lên sao cho áp lực vào thành đập và các điều kiện khác tương tự thực tế để quan sát xem đập có bị vỡ hay không. Đó là tiến hành một phép thử. Kết cục của một phép thử gọi là một biến cố. Ví dụ gieo một con xúc sắc cân đối, đồng chất lên một mặt phẳng lý tưởng. Mỗi lần gieo là một lần tiến hành phép thử và kết quả là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc chính là các biến cố: xuất hiện 1 chấm, xuất hiện 2 chấm,..., xuất hiện 6 chấm. Vậy có 6 biến cố có thể xuất hiện trong các lần gieo con xúc sắc đó. Các biến cố này còn được gọi là biến cố sơ cấp, hay còn gọi là biến cố đồng khả năng. Tập hợp các biến cố sơ cấp được gọi là một không gian các biến cố. Các biến cố thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B,…Riêng biến cố chắc chắn ( là biến cố khi tiến hành phép thử nó chắc chắn xảy ra ) được ký hiệu bằng chữ Ω. Còn ngược lại với biến cố chắc chắn là biến cố trống ( chắc chắn không thể xảy ra sau các phép thử ) được ký hiệu bằng chữ ∅. §2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Biến cố đối lập của biến cố A, ký hiệu là A, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra. Ví dụ: Khi gieo một con xúc sắc, biến cố “xuất hiện số chấm chẵn” là biến cố đối lập của biến cố “xuất hiện số chấm lẻ” và ngược lại. Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu là A ⊂ B, nếu và chỉ nếu A xảy ra thì suy ra B xảy ra. Ví dụ: Khi gieo một con xúc sắc, biến cố “xuất hiện 2 chấm” kéo theo biến cố “xuất hiện số chấm chẵn”. Hai biến cố A, B gọi là tương đương, ký hiệu A = B, nếu chúng đồng thời xảy ra hoặc đồng thời không xảy ra (tức là A ⊂ B và B ⊂ A). Ví dụ: Khi gieo đồng thời hai con xúc sắc, biến cố “tổng số chấm xuất hiện bằng 12” tương đương biến cố “ cả hai con xúc sắc xuất hiện 6 chấm”. 10 §3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN SỐ Tổng ( còn gọi là hợp ) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A+B hoặc A∪B, xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. Tích ( còn gọi là giao ) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là AB hoặc A∩B, xảy ra khi và chỉ khi A và B xảy ra. Tổng và tích của n ( n >2 ) biến cố A1 ,..., A n −1 , A n được định nghĩa tương ứng bằng qui nạp như sau: A 1 + A 2 + ... + A n = ( A 1 + A 2 + ... + A n −1 ) + A n A1A 2 ...A n = (A1A 2 ...A n −1 )A n Hiệu của biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A\B, sao cho A\B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Đặc biệt A = Ω\A. Ví dụ: Khi gieo một con xúc sắc có các biến cố A = {xuất hiện số chấm chẵn} B = {xuất hiện số chấm chia hết cho 3} A i ={xuất hiện i chấm}, i =1, 2 ,…, 6. Thấy rằng A = A 2 + A 4 + A 6 , B = A 3 + A 6 , AB = A 6 , B \ A = A 3 . Có thể thấy định nghĩa phép toán trên các biến cố và định nghĩa phép toán trên các tập hợp có sự tương đồng với nhau. A B A⊂B B A A≡B B A A∪B B A A∩B A B A\B A Ω A =Ω \ A Vì thế các tính chất của các phép toán trên các tập hợp vẫn còn đúng cho các phép toán trên các biến cố. §4. CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Xuất phát từ giả thiết về tính đồng khả năng ( tức là có cùng khả năng xảy ra ) của các biến cố, ta có định nghĩa sau: 4.1. Định nghĩa xác suất cổ điển Xác suất xuất hiện biến cố A là một số đo đặc trưng cho khả năng xuất hiện của biến cố đó và ký hiệu bởi chữ P(A) ( ở đây P là chữ cái đầu tiên của chữ Probability trong tiếng Anh có nghĩa là xác suất ). 11 P(A) = Sè biÕn cè thuËn lîi cho A xuÊt hiÖn Sè c¸c biÕn cè dång kh¶ n¨ng cã thÓ cã Vì tử số luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng mẫu số nên P(A) ≤ 1. P(Ω) = 1, P(∅) = 0 và P(A) ≥ 0, ∀A. Ví dụ: Gieo 2 con xúc sắc cân đối đồng chất xuống một mặt phẳng lý tưởng. Tìm xác suất của biến cố tổng số chấm trên mặt hai con xúc sắc bằng 5. Giải: Vì mỗi con xúc sắc đều cân đối, đồng chất nên khả năng xuất hiện mỗi mặt của con xúc sắc đều như nhau và ứng với việc xuất hiện một mặt của con xúc sắc này là 6 mặt của con xúc sắc kia. Vì thế số biến cố đồng khả năng có thể có là 36 biến cố. Tuy nhiên chỉ có 4 biến cố thuận lợi cho biến cố A là biến cố: Tổng số chấm trên mặt hai con xúc sắc bằng 5. Đó là các biến cố A41, , A14 , A23 , A32 ( ở đây Aij là biến cố con xúc sắc thứ 1 xuất hiện i chấm, con xúc sắc thứ 2 xuất hiện i chấm ) . Vì thế: P(A) = 4 = 1 36 9 Định nghĩa này rất tiện lợi cho việc tính xác suất trong các bài toán xác suất cổ điển khi tổng số biến cố có thể có chỉ là hữu hạn. Trong trường hợp tổng số các biến cố có thể có là vô hạn khi không sử dụng được. 4.2. Định nghĩa hình học của xác suất Khắc phục nhược điểm nói trên của định nghĩa xác suất cổ điển thế kỷ thứ 14 còn xuất hiện một trường phái định nghĩa xác suất theo kiểu hình học như sau: Người ta coi mỗi biến cố có thể có như một điểm thuộc một miền D còn nếu điểm đó thuộc miền A ⊆ D thì coi như biến cố A xuất hiện. Tỉ số nói trong định nghĩa P(A) ( theo cổ điển ) sẽ được thay bằng tỉ lệ sau đây: P ( A) = Sè do miÒn A . Sè do miÒn D Định nghĩa này đã giải quyết được nhiều bài toán xác suất mà định nghĩa cổ điển không giải quyết được. Song nó lại mắc vào một nhược điểm mới. Đó là việc tìm diện tích của miền A và miền D không phải lúc nào cũng đơn giản và người ta đã có những ví dụ về một bài toán xác suất giải theo kiểu định nghĩa hình học nói trên có thể đưa đến nhiều đáp số khác nhau. 4.3. Định nghĩa thống kê của xác suất Một qui luật ổn định của thống kê là khi số lần thử càng tăng lên thì khả năng xuất hiện biến cố A ( bằng số lần xuất hiện trong tổng số lần thử đồng điều kiện ) dần tới một giới hạn không đổi. Trong trường hợp mà có thể sử dụng được định nghĩa xác xuất cổ điển thì giới hạn không đổi này cũng chính bằng xác xuất P(A). Vì thế , nếu gọi m là số lần xuất hiện biến cố A trong n lần thử đồng điều kiện thì tỷ số m được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A n và định nghĩa: 12 P(A) = lim n →∞ m n Định nghĩa này lại mắc phải một sai lầm về logic hình thức. Trước hết hai vế của đẳng thức thuộc về hai phạm trù đối lập nhau ( tất định và ngẫu nhiên ) và sau đó về mặt toán học, khó có thể chấp nhận được một tỷ số khi mẫu số dần tới vô cùng lại bằng một số khác không, thậm chí có khi bằng 1. Cuối cùng, một định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề được Konmogorov, một nhà toán học người Nga, đề xuất đã được cả thế giới công nhận và cũng từ đó chấm dứt một thời gian dài các cuộc tranh luận về định nghĩa xác suất trong lịch sử toán học. Vì mục đích ứng dụng và là một giáo trình giành cho các kỹ sư, chúng tôi xin tạm dừng mục định nghĩa xác suất ở đây mà không đi sâu hơn vào hệ tiên đề Konmogorov nói trên. §5. CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 5.1. Định lý cộng xác suất Định lý: Nếu các biến cố A1, A2,..., An là một hệ xung khắc từng đôi ( tức là giao hai biến cố bất kỳ khác nhau trong hệ đều bằng biến cố trống ) thì: n n i =1 i =1 P(∑ A i ) = P(A 1 + A 2 + ... + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A n ) = ∑ P(A i ) Chứng minh định lý này dễ dàng dựa vào định nghĩa xác suất cổ điển. Một hệ quả quan trọng của định lý này là việc tìm xác suất của một biến cố A bất kỳ. P(A) = 1 - P(A) ( Thật vậy, P( A + A ) = P( Ω ) = 1 nên P(A) + P( A ) = 1, suy ra điều cần phải chứng minh ). Định lý: Với hai biến cố bất kỳ A và B, ta luôn có: P(A+B) = P(A) +P(B) - P(AB) Xem đây là một bài tập để bạn đọc tự chứng minh ( Chú ý liên hệ với các phép toán tập hợp ). Bằng phương pháp quy nạp toán học ta có thể chứng minh được một công thức tổng quát hơn nhiều: Với A1, A2, ..., An là n biến cố bất kỳ. n n i =1 i =1 P(∑ A i ) = ∑ P(A i ) − ∑ P(A i A j ) + ∑ P(A i A jA k ) 1≤i< j≤ n 1≤i< j 0. Khi đó, xác suất có điều kiện của một biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A/B) sẽ được tính bằng công thức : P(A/B) = P(AB) P(B) Ví dụ: Rút từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con lần lượt 2 con bài. Tìm xác suất để con bài thứ hai là át biết rằng con bài thứ nhất đã là con át. Giải: Gọi Ai là biến cố lấy ra con thứ i là át ( i = 1, 2 ). Rõ ràng P(A2/A1) = 3 1 = 51 7 ( vì con thứ nhất lấy ra đã là con át nên để lấy được con thứ hai là át sẽ tương đương việc lấy 1 trong 3 con còn lại trong tổng số 51 con còn lại ). Chú ý: Từ định nghĩa trên ta suy ra công thức nhân xác suất P(AB) = P(A)P(B/A) Bằng quy nạp toán học, ta có một định lý nhân xác suất tổng quát như sau: Định lý: Cho A1, A2,..., An là n biến cố tuỳ ý. Ta luôn có: P(A1A 2 ...A n ) = P(A1 ).P(A 2 A1 ).P( A3 A1A 2 )...P(A n A1A 2 ...A n −1 ) Ví dụ: Năm 1972 , một máy bay B-52 muốn ném bom một địa điểm ở Hà nội thì phải qua được 3 vòng hỏa lực của cao xạ pháo phòng không Việt nam .. Vòng đầu tiên , xác suất bị bắn rơi là 48% , vòng thứ 2 là 75% và vòng 3 thì cứ 3 máy bay thì chỉ 1 chiếc là qua được . Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diệt nếu biết rằng xác suất ném bom trúng đích của B-52 là 65% Giải: Gọi Ai là biến cố máy bay qua được vòng hỏa lực thứ i A là biến cố ném bom trúng mục tiêu . Khi đó biến cố ném trúng sau khi qua được 3 vòng hỏa lực sẽ là B = A1.A2.A3.A Sử dụng định lý nhân xác suất ta có P(B) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1.A2).P(A /A1.A2.A3) Theo đầu bài , P(A1)= 0,52 , .P(A2/A1).= 0,25 , P(A3/A1.A2) = 1/3 P(A /A1.A2.A3)= 0,65 . Từ đó ta có xác suất P(B) cần tìm là P(B) = 0,52.0,25.1/3.0,65 = 0,028 b. Khái niệm tính độc lập của hai biến cố Định nghĩa: Ta nói biến cố A độc lập với biến cố B nếu P(A/B) = P(A) và ngược lại P(B/A) = P(B), tức là sự xuất hiện biến cố B không làm thay đổi khả năng xuất hiện biến cố A và ngược lại. Từ biểu thức trong định nghĩa ta thấy rằng nếu A độc lập với B thì: P(AB) = P(A)P(B) Tức là xác suất của tích hai biến cố bằng tích hai xác suất của từng biến cố. Định nghĩa sự độc lập của hai biến cố còn được mở rộng cho n biến cố như sau: 14 Định nghĩa: Nói rằng các biến cố A1, A2,..., An độc lập nhau trong toàn bộ nếu: P(A1A2...An) = P(A1)P(A2)...P(An) c. Công thức xác suất đầy đủ Định nghĩa: Hệ các biến cố H1, H2,..., Hn được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu: ∀i, j =1, 2,..., n và i ≠ j; i) HiHj=∅ ii) H1 + H2 + ...+ Hn = Ω Tức là n biến cố không giao nhau và hợp của chúng là biến cố chắc chắn. Một biến cố A xảy ra trong hệ đầy đủ nói trên thì A = AΩ = A( H1 + H2 + ...+ Hn ) = AH1 + AH2 + ...+ AHn, n Suy ra P(A) = ∑ P(AH i ). i =1 Theo công thức nhân ta có thể viết lại là: P(A) = n ∑ P(H i ).P(A / H i ) i =1 Công thức này được gọi là công thức đầy đủ. Công thức này có rất nhiều ứng dụng thực tế. Ví dụ: Một phân xưởng có 3 máy sản xuất cùng một loại sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 1%; 0,5% ; 0,2% ; . Biết rằng máy một sản xuất ra 35% sản phẩm, máy hai là 45% sản phẩm và máy ba là 20% sản phẩm. Chọn hú hoạ ra một sản phẩm. Tìm xác suất sản phẩm đó là phế phẩm. Giải: Gọi H1 , H2, H3 là biến cố chọn được sản phẩm do máy một, máy hai, máy ba sản xuất. Dễ dàng kiểm tra được là H1 , H2 ,H3 lập thành một hệ đầy đủ và P(H1) = 0,35; P(H2) = 0,45; P(H3) = 0,20. Gọi A là biến cố lấy được sản phẩm là phế phẩm. Theo đầu bài P(A/H1) = 1% ( chính là tỷ lệ phế phẩm của máy một ), P(A/ H2) = 0,5%, P(A/ H3) = 0,2%. Theo công thức đầy đủ n P(A) = ∑ P(H i ).P(A / H i ) = 0,35 . 0,01 + 0,45 . 0,005 + 0,20 . 0,002 = 0,615 i =1 Từ kết quả này có thể kết luận được tỷ lệ phế phẩm chung của cả phân xưởng nếu biết tỷ lệ phế phẩm và công suất của từng máy trong phân xưởng. Ví dụ: Có 2 hộp đựng cùng loại sản phẩm nào đó, hộp một có 10 sản phẩm trong đó có một phế phẩm. Hộp hai có 8 cái trong đó có hai phế phẩm. Lấy hú hoạ một sản phẩm từ hộp một bỏ sang hộp thứ hai rồi từ hộp thứ hai lấy hú hoạ ra hai sản phẩm. Tìm xác suất để hai sản phẩm này đều là phế phẩm. Giải: Gọi H là biến cố lấy được từ hộp một một sản phẩm tốt, thì H là biến cố lấy được từ hộp một một phế phẩm. Vậy H và H lập nên một hệ đầy đủ. 15 Gọi A là biến cố cần tìm: Hai sản phẩm lấy từ hộp 2 là phế phẩm. Ta cần tính P(A/H) và P(A/ H ). Rõ ràng P(A/ H ) = Mặt khác, P(H) = C 32 C 92 = C2 1 1 còn P(A/H) = 22 = 12 C 9 36 9 9 , P( H ) = 1 - . 10 10 Vậy theo công thức đầy đủ ta có: P(A) = P(H)P(A/H) + P( H ).P(A/ H ) = 9 1 1 1 1 . × + × = 10 36 10 12 30 d. Công thức Bayes Vẫn xét bài toán biến cố A xuất hiện trong một hệ đầy đủ H1, H2,..., Hn. Đôi khi, ta không cần tìm xác suất P(A) mà ta lại cần tìm xác suất P(Hj/A) với j = 1, 2,..., n. Theo công thức nhân xác suất P(AHj) = P(A)P(Hj/A) = P(Hj)P(A/Hj) và kết hợp công thức đầy đủ, ta có: P(Hj/A) = P(H j ) P( A / H j ) P( A ) = P( H j )P( A / H j ) n ∑ P(H i )P(A / H i ) i =1 Công thức này còn được gọi là công thức Bayes. Ví dụ: Trở lại ví dụ trong phần công thức đầy đủ. Giả sử lấy ra một sản phẩm đã thấy đó là phế phẩm. Bây giờ ta cần tìm xác suất sản phẩm đó do máy 2 sản xuất. Theo công thức Bayes P(H2/A) = P(H 2 )P(A / H 2 ) 0,45 × 0,5% = ≈ 0,366. P( A ) 0,615% 16 Bài tập chương I 1. Gieo hai con xúc sắc cân đối, đồng chất lên một mặt phẳng ( lý tưởng ). Tìm xác suất của các biến cố. a) Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc là một số chẵn. b) Số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc sắc giống nhau. 2. Xếp hú hoạ thành hàng ngang 7 chữ cái từ các chữ cái S, X, X, U, A, Â, C, C, C, X, T, T. Tìm xác suất của biến cố xếp được chữ XACSUÂT 3. Rút hú hoạ ba con bài từ một cỗ bài tú-lơ-khơ gồm 52 con bài. Tìm xác suất biến cố trong ba con rút ra có đúng hai con át. 4. Có 3 người cùng đến mua áo ở một cửa hiệu có rất nhiều áo để chọn và có tất cả sáu màu áo: đỏ, xanh, vàng , tím, trắng, đen. Mỗi người mua hú hoạ một áo. Tìm xác suất biến cố: A: 3 áo mua được có máu trắng B: Cả ba người mua áo có màu giống nhau C: Ba người mua được áo có màu khác nhau. 5. Trong một hộp đựng một 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy hú hoạ ra 5 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm lấy ra có đúng 2 phế phẩm. 6. Một người mua k vé sổ số. Tìm xác suất để người đó trúng thưởng nếu biết rằng trong n vé bán ra chỉ có m vé trúng thưởng. ( 0 < k < m ). 7. Rút hú hoạ ra 5 con bài từ một bộ tú lơ khơ 52 con bài. Tìm xác suất trong 5 con bài rút ra có ít nhất một con át. 8. Trong một nhà máy sản suất cùng một loại thiết bị máy thuỷ lợi, các máy 1, 2, 3 sản xuất lần lượt 25%, 35%, 40% sản phẩm của nhà máy.Tỷ lệ phế phẩm của 3 máy lần lượt là 5%, 4%, 2% số sản phẩm của cả nhà máy. Lấy hú hoạ một sản phẩm trong kho sản phẩm chung của cả nhà máy thì thấy đó là phế phẩm. Tìm xác suất để phế phẩm đó do một máy sản xuất. 9. Có 6 chiếc hộp y hệt nhau. Một hộp chứa 3 viên bi trắng, 2 viên bi đen. Hai hộp mỗi hộp chứa 3 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Ba hộp chứa 5 viên bi trắng, 5 viên bi đen. Kích thước trọng lượng các viên bi y hệt nhau. Lấy hú hoạ ra một hộp rồi từ đó hú hoạ ra một viên bi. a) Tìm xác suất biến cố lấy ra viên bi trắng. b) Giả sử đã lấy ra viên bi trắng, tìm xác suất lấy được viên bi đó từ hộp đựng 3 viên bi trắng2 viên bi đen ( hộp thứ 1 ). 17 10. Trong hộp thứ nhất có 5 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Trong hộp thứ hai có 1 viên bi đỏ và 2 viên bi trắng. Tung một con xúc sắc, nếu thấy mặt 3 chấm hoặc 6 chấm xuất hiện thì lấy hú hoạ một viên bi ở hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ nhất rồi sau đó lấy hú họa một viên bi ở hộp thứ nhất. Nếu xúc sắc xuất hiện mặt khác ( 1; 2; 4; 5 chấm ) thì lại lấy hú hoạ một viên bi ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi lấy hú hoạ một viên bi ở hộp thứ hai. Tìm xác suất của biến cố viên bi sau cùng lấy ra là viên bi đỏ. 11. Trong việc truyền tín bằng điện tín người ta thường dùng tín hiệu chấm ( . ) và ngang ( - ). Do bị nhiễu nên trung bình có 1/5 tín hiệu chấm và 1/3 tín hiệu ngang bị nhiễu ( tức là phát tín hiệu nọ lại nhận được tín hiệu kia ). Tỷ số giữa tín hiệu chấm và ngang được truyền đi là 2/3. Tìm xác suất để nhận đúng tín hiệu trong hai trường hợp a) Tín hiệu nhận được là tín hiệu chấm ( . ) . b) Tín hiệu nhận được là tín hiệu ngang ( - ). 12. Có 4 xạ thủ cùng nổ súng vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của các xạ thủ lần lượt là 0,8; 0,4; 0,6; 0,5. Biết rằng nếu có k viên đạn bắn trúng thì mục tiêu sẽ bị tiêu diệt với xác suất 1− pk = 1 . 2k Tìm xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt. 18 Lời giải Bài tập Chương I 1. Liệt kê các biến cố đồng khả năng có thể có và ta thấy có 36 biến cố có thể xuất hiện khi gieo hai con xúc sắc. Tuy nhiên chỉ có 18 biến cố xuất hiện tổng các số chấm là chẵn và 6 biến cố xuất hiện số chấm trên mặt hai con xúc sắc giống nhau, vậy: a) P(A) = 18 1 = ; 36 2 b) P(A) = 6 1 = . 36 6 2. Có 12.11.10...6 cách lấy ra và xếp ngẫu nhiên 7 chữ. Có 3 cách chọn chữ đầu tiên là chữ X trong 12 chữ đã cho, có 1 cách chọn chữ thứ hai là A trong 11 chữ còn lại,...Vì thế 3 1 3 1 1 1 2 xác suất cần tìm là: . . . . . . 12 11 10 9 8 7 6 3. Gọi A là biến cố cần tìm. Ta thấy có tất cả C 352 khả năng rút ra ba con bài ( số biến cố đồng khả năng ). (Xem khái niệm C kn ở phần phụ lục). Tuy nhiên chỉ có C 24 khả năng lấy ra hai con át. Và ứng với mỗi khả năng đó, có C148 khả năng lấy ra con bài không phải là con át. Vậy số biến cố thuận lợi là C 24 .C148 . Xác suất cần tìm sẽ là P(A) = 4. P(A) = C 34 .C 248 C 352 . 1 6 20 ; P(B) = ; P(C) = 216 216 216 5. Tổng quát của bài 3. Gọi A là biến cố cần tìm xác suất thì P(A) = C 52 .C 395 5 C100 ≈ 0.01838. 6. Gọi biến cố người đó trúng thưởng là A. Khi đó biến cố này đồng khả năng với biến cố trong k vé mua được có ít nhất một vé trúng thưởng. Biến cố này lại xung khắc với biến cố trong k vé không có vé nào trúng thưởng. Vậy ta tìm P(A) = 7. P(A) = 1 − C 548 C 552 C kn −m C kn → P( A ) = 1 − C nk −m C kn . . 8. Dùng công thức Bayes: P(A) = 25 . 69 19 9. Coi biến cố lấy một hộp từ 6 hộp đã cho là một biến cố trong hệ đầy đủ. Từ đó sử dụng công thức đầy đủ và Bayes. a) P(A) = 933 ; 1680 b) P(H1/A) = 10. ĐS : 56 . 311 607 . 1296 11. a) áp dụng công thức Bayes, ĐS : b) Tương tự, ĐS : 8 . 13 5 . 6 12. ĐS : ≈ 0,748 . 20