1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong trường THCS.
Qua toán học giúp người học nâng cao được khả năng tư duy, khả năng suy luận
và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Qua đó giúp người
học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và
tiếp thu môn Toán là cả một vấn đề mà không người giáo viên dạy Toán nào
không quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn Toán đòi hỏi
người dạy cũng như người học phải không ngừng tìm tòi, sáng tạo, tích lũy kinh
nghiệm để đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp
nhất. Giúp người học nắm vững được kiến thức môn học có tính hệ thống là vấn
đề quan trọng được đặt ra. Nhất là vấn đề trong thực hành việc giải các bài toán
mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức
cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống,
các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện.
Trong chương trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng một vai trò
khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là việc làm vô cùng cần thiết.
Nó còn làm tiền đề về sau khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong
chương trình toán học lớp 9 chúng ta đã làm quen với phương trình và hàm số
bậc 2; các công thức tính nghiệm, định lí Vi ét và đồ thị của hàm bậc hai, trong
việc giải các loại toán khác nhau như thế nào chưa được quan tâm nhiều. Chính
vì lẻ đó trong quá trình giảng dạy cho các em, để giúp các em hiểu sâu hơn về
tam thức bậc hai và vận dụng nó vào việc giải các loại toán khác, đặc biệt lúc
các em chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi vào lớp 10, tôi mạnh dặn nêu
lên vấn đề: “VẬN DỤNG TAM THỨC BẬC HAI VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ở BẬC THCS”.
Tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức cơ bản của môn học
và có đủ tự tin khi thực hành giải toán. Từ đó phát huy được khả năng vận dụng
kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo cũng như tư duy độc lập đặc biệt giúp các
em có một hành trang tốt chuẩn bị cho một cấp học cao hơn.
Tuy vậy do khuôn khổ của đề tài cũng như kinh nghiệm còn hạn chế còn
gặp những thiếu xót không mong muốn. Rất mong sự đóng góp xây dựng của
quý đồng nghiệp.
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm "Vận dụng tam thức bậc hai vào giải một
số dạng toán ở bậc THCS", tôi mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi
Toán lớp 9 vận dụng tam thức bậc hai một cách linh hoạt và thành thạo trong
việc giải các bài toán có liên quan:
Từ đó các em giải quyết được một số bài toán trong bài thi trong các đề
thi học sinh giỏi cũng như kì thi vào THPT. Cũng qua sáng kiến kinh nghiệm
này, tôi muốn các em thấy được đằng sau những bài toán cơ bản quen thuộc
tưởng chừng như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, những khám
phá bổ ích và lý thú. Từ đó khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo
của mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải một số dạng toán ở bậc THCS.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Từ thực tế giảng dạy trên lớp đặc biệt là ôn thi vào THPT.
Qua nghiên cứu nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa toán 9, sách bài tập toán 9,
tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, các loại sách nâng cao và phát triển
toán cấp THCS. Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi học sinh
giỏi Toán 9 của nhiều huyện, tỉnh và các đề thi vào THPT.
Qua tham khảo của đồng nghiệp bộ môn toán các trường THCS trên địa bàn
huyện Thọ Xuân.
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Giáo dục là con đường ngắn nhất để tiếp cận tri thức nhân loài vậy vấn đề
đặt ra làm thế nào để tiếp thu tri thức đó một cách khao học có hệ thống. Từ chỗ
tiếp thu đó và vận dụng vào thực tiễn cuộc sống như thế nào đây là xu thế giáo
dục của thế giới hiện nay.
Việc cải cách giáo dục và đổi mới SGK hiện nay cũng đã phần nào nói lên
vấn đề đó. Với cách tiếp cận tri thức hiện nay của người học đặc biệt là học sinh
phổ thông đã ít nhiều mang tính tự học và vận dụng tri thức đó vào cuộc sống,
đặc biệt là môn toán đã có sự thay đổi rõ rệt.
Với yêu cầu cuộc sống đặt ra hiện nay đặc biệt là công cuộc công nghiệp
hóa, hiện đại hóa đất bước Đảng và nhà nước ta đã có những chủ trương chính
sách nhằm đưa giáo dục trở thành mục tiêu phát triển hàng đầu. Giáo dục phải
tạo ra cho xã hội, những tiềm năng về trí tuệ những con người mới làm chủ được
tri thức, làm chủ được khoa học công nghệ. Chính giáo dục là động lực thúc đẩy
là điều kiện cơ bản để phát triển kinh tế xã hội để đưa nhân loại lên tầm cao mới,
Chính vì lẽ đó giáo dục có mục tiêu và nhiệm vụ vô cùng quan trọng đặc
biệt đối với nước ta trong giai đoạn hiện nay. Giáo dục còn có nhiệm vụ nâng
cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Như vậy giáo dục
phải đáp ứng được yêu cầu của xã hội đặt ra đó là tạo ra những con người mới
phù hợp với giai đoạn hiện nay. Đó là những con người sẽ làm chủ đất nước,
những con người có tri thức có khoa học những con người năng động sáng tạo
có năng lực giải quyết vấn đề mà thực tiễn đặt ra.
Với những cơ sở đó việc giảng dạy và học môn toán là vô cũng cần thiết
và quan trọng đặc biệt ở bậc THCS. Ngoài việc nâng cao chất lượng đại trà bồi
dưỡng và phát triển “Toán học” cho học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi là cần
thiết đây là việc làm thường xuyên liên tục của bậc học đặt ra.
Để đạt dược điều đó đòi hỏi người giáo viên phải luôn sáng tạo tìm tòi
học hỏi không ngừng để có một phương pháp tốt, với kĩ năng thành thạo và linh
hoạt. Nắm bắt được điều đó mà giai đoạn hiện nay đòi hỏi người giáo viên phải
có một kĩ năng thực hành giải toán tốt việc đó đã được thể hiện qua các kỳ thi
giáo viên giỏi các cấp. Trong quá trình giảng dạy môn toán để có một phương
pháp hay trước hết người giáo viên phải có kĩ năng giải toán tốt. Tôi cho rằng từ
các kĩ năng đó mới hình thành nên phương pháp dạy toán một cách tối ưu. Tôi
3
tin rằng với phương pháp hay sẽ giúp học sinh có năng lực giải quyết vấn đề đặt
ra.
Đúc kết tài năng kinh nghiệm giảng dạy và qua việc nghiên cứu tham
khảo các tài liệu có liên quan tôi mạnh dạn trình bày một số dạng toán có vận
dụng tam thức bậc hai để giải quyết việc vận dụng đó vào việc giải toán, tôi hy
vọng sẽ tạo ra thêm một kỹ năng cho các em học sinh cũng như cho đồng nghiệp
cần quan tâm vấn đề này.
Với hi vọng các em có khả năng vận dụng những kiến thức cơ bản vào
giải toán các dạng toán nâng cao cũng như có thêm kỹ năng giải toán đã thôi
thúc tôi tìm tòi nghiên cứu để có được đề tài này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng
Trong chương trình toán học ở bậc THCS việc HS nắm được nội dung
kiến thức và vận dụng nó một cách linh hoạt vào thực hành giải bài tập có ý
nghĩa lớn và quan trọng. Việc vận dụng kiến thức đó như thế nào để làm bài tập
đây là việc làm mà không ít học sinh quan tâm, đặc biệt là học sinh khá, giỏi.
Nhưng đôi khi các em vẫn tỏ ra lúng túng, bối rối trước một số bài tập ở dạng
nâng cao hoặc phát triển toán học. Các em không biết nên bắt đầu từ đâu và làm
như thế nào mặc dù đây là những bài tập mang tính vận dụng kiến thức cơ bản.
Đây là một thực trạng chung mà trong quá trình giảng dạy người giáo viên dễ
nhận thấy nơi học sinh. Trước vấn đề đặt ra đó đòi hỏi người giáo viên phải làm
như thế nào để giải quyết được vấn đề đó.
Việc vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán đòi hỏi không cao xa, chỉ
với kiến thức toán học cơ bản là đủ. Quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm
vững kiến thức cơ bản, phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các
khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là yêu cầu đối với
những kiến thức cần sự sáng tạo, linh hoạt, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoá
những vấn đề cần thiết.
Là một cán bộ quản lí luôn quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi, cũng như trong quá trình giảng dạy việc định hướng kiến thức cho học sinh
phải thực sự đúng quy trình các bước biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống,
không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn
thận, kỹ năng giải bài tập hợp lôgíc toán học.
Trên cơ sở đó tôi nhận thấy thực trạng sau:
Đối với giáo viên:
Chưa quan tâm nhiều đến các dạng toán vận dụng tam thức bậc hai.
4
Có tìm hiểu đến nhưng chưa quan tâm nhiều đến cách cách vận dụng tam
thức bậc hai để tìm các cách giải khác nhau.
Chưa mạnh dạn tìm tòi tài liệu tham khảo, nghiên cứu nhiều cách giải
mới.
Đối với học sinh:
Tâm lí e ngại khi gặp những bài toán không theo lối mòn trong chương
trình SGK.
Sự truyền thụ của giáo viên chỉ mang tính thụ động, không phát huy được
khả năng tư duy, sáng tạo nơi các em.
Kĩ năng vận dụng kiến thức cơ bản của các em chưa linh hoạt.
Tài liệu tham khảo của các em còn hạn chế, tinh thần tự giác học tập của
các em chưa cao.
Trong chương trình toán học lớp 9 chúng ta đã làm quen với các dạng toán
về đa thức bậc hai, phương trình bậc hai và cách giải. Nhưng hiểu, nắm và vận
dụng kiến thức cơ bản để giải một bài toán có liên quan là vấn đề toán học khá
hay trong chương trình toán THCS. Song việc vận dụng các kĩ năng cơ bản đó
vào giải toán như thế nào chưa được quan tâm nhiều mặc dù việc vận dụng đó
khá đơn giản và đạt hiệu quả cao trong quá trình dạy - học toán.
2.2.2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên.
Từ những thực trạng trên vì vậy trong việc vận dụng tam thức bậc hai vào
giải các bài toán có liên quan trong quá trình giảng dạy cũng như qua các kì thi
chọn giáo viên giỏi các cấp kết quả của giáo viên và học sinh vẫn chưa đạt hiệu
quả cao.
Đối với giáo viên
Từ năm học 2005 – 2006 đến nay kì thi chọn giáo viên giỏi các cấp có
thêm yêu cầu kĩ năng vận dụng kiến thức bộ môn đây là vấn đề mà mỗi giáo
viên phải không ngừng “tự học”, “tự sáng tạo” . Vân dụng kiến thức cơ bản để
giải toán là một trong những kĩ năng thường có trong những đề thi nếu mỗi giáo
viên không “tự học”, “tự sáng tạo” thì việc thực hiện giải được đã là khó khăn
chứ chưa nói đến hình thành kĩ năng giải.
Qua việc chấm bài vận dụng kĩ năng vận dụng trong kì thi chọn giáo viên
giỏi, thật đáng tiếc khi khá nhiều giáo viên còn bỏ trống, mất điểm một cách
đáng tiếc, với yêu cầu đề bài có dạng toán này mà thực chất ta chỉ cần vận dụng
tam thức bậc hai để thực hiện. Đây là một vấn đề trăn trở đối với một cán bộ
quản lí luôn quan tâm đến công tác chuyên môn trong nhà trường đặc biệt đối
với giáo viên môn toán.
Đối với học sinh
5
Khi giảng dạy cho các em học sinh khá, giỏi cũng như trong quá trình bổ
sung hệ thống kiến thức cho học sinh chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi, kì thi
vượt cấp tôi nhận thấy vẫn còn một số nhầm lẫn và sai sót đáng tiếc sảy ra trong
lời giải cũng như khi chấm bài cho các em mà đề bài đề cập tới các dạng toán
nêu trên.
Đặc biệt trong quá trình chấm thi học sinh giỏi tôi nhận thấy vẫn còn một
số học sinh còn hạn chế kĩ năng vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải các bài
tập có liên quan. Nguyên nhân ở đây do trong quá trình học tập các em chưa
hình thành được cách vận dụng tam thức bậc hai một cách có khoa học, hệ
thống.
Qua khảo sát những năm trước đây khi chưa triển khai đề tài này tôi nhận
thấy: Học sinh chưa làm tốt được các bài tập có liên quan cụ thể kết quả như
sau:
Tổng số HS
tham gia
khảo sát
Điểm < 3
Điểm 3 - < 5
Điểm 5- < 6,5
Điểm 6,5- < 8
Điểm 8->10
SL %
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
15
0
0
1
7
9
60
3
20
2
13
Trên đây là kết quả khảo sát, kiểm tra đánh giá đề bài có nội dung trước khi triển
khai đề tài này.
Đúc kết những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy với việc nghiên cứu tài liệu
tôi mạnh dạn trình bày vấn đề này thành đề tài nghiên cứu. Với việc hình thành
kĩ năng vận dụng tôi hi vọng sẽ giúp các em có thêm một kĩ năng giải toán cũng
như các đồng nghiệp quan tâm nắm vững các kĩ năng đó một cách có hệ thống
và khoa học nhất.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng
Ở bậc THCS chúng ta chưa có thói quen vận dụng tam thức bậc hai vào
giải toán. Tuy nhiên trên cơ sở đưa cácbài toán về dạng tam thức bậc hai mà ta
đã quen thuộc. Việc đưa các bài toán về những bài toán có dạng tam thức bậc
hai thông qua cách đặt ẩn phụ hoặc biến đổi các phép toán đòi hỏi không ít kĩ
năng, khi nắm và làm chủ được các kĩ năng này thì việc thực hiện khá đơn giản.
Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy trong
chương trình. Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi đã nghiên cứu, áp dụng lý
luận trong quá trình dạy học, các phương pháp phù hợp với đặc trưng bộ môn,
áp dụng các kiến thức đã học để đưa các bài toán về dạng quen thuộc.
Để giải được các bài toán có thể đưa về việc vận dụng tam thức bậc hai
tôi mạnh dạn nêu một số vấn đề có trong chương trình toán bậc THCS … tuy
vậy trong khuôn khổ đề tài tôi chỉ đề cập đến một số kĩ năng vận dụng tam thức
6
bậc hai vào giải một số dạng toán cơ giải phương trình và bất phương trình và
các bài toán cực trị.
2.3.1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
Kiến thức cơ bản.
Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải các phương trình không có dạng
phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Ta có ∆ = b2 - 4ac
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
−b+ √ ∆
2a
và x2¿
−b− √ ∆
2a
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - b
2a
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Một số dạng toán cơ bản:
1. Phương trình trùng phương:
1.1. Kiến thức cơ bản:
Phương trình trùng phương có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0)
Phương trình trên không có dạng phương trình bậc 2 song có thể đưa nó
về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ:
Ta đặt x2 = t (t ≥ 0) ta được phương trình bậc 2: at2 + bt + c = 0
1.2. Ví dụ:
Giải phương trình 2x4 - 3x2 – 2 = 0
Giải:
Đặt x2 = t điều kiện t ≥ 0 ta được phương trình bậc 2 đối với ẩn t:
2t2 – 3t – 2 = 0
∆ = 9 + 16 = 25¿> √ ∆ = 5
3−5 −1
3+5
t1= 4 = 2 ;
t2= 4 = 2
t2 = 2 thõa mãn điều kiện t≥0
Với t= t2 = 2 ta có x2 = 2 => x1 = √ 2 ; x2 = - √ 2 ;
Vậy phương có 2 nghiệm x1 = √ 2 ; x2 = - √ 2
2. Phương trình đối xứng bậc chẳn:
2.2. Kiến thức cơ bản:
Ta xét phương trình bậc 4 dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a≠0)
Các hệ số của ẩn số cách đều số hạng chính giữa
7
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của
phương trình cho x2 ta có:
ax 4 b x 3 c x 2 a
+ 2 + 2 + 2
2
x
x
x
x
=0
a
ax2 + bx + c + b + 2 = 0
x
x
1
a(x2 + 2 ) + b(x + 1 ) + c = 0 (1)
x
x
1
1
1
Đặt (x + x ) = y Ta có: x2 + 2 = (x + x )2 - 2 = y2 – 2
x
Đo đó phương trình (1) có dạng phương trình bậc 2:
ay2 + by + c – 2a = 0 (2)
Giải phương trình bậc hai với ẩn y ta tìm được y từ đó suy ra x.
2.3. Ví dụ:
Giải phương trình: 2x4 + 3x3 - x2+3x+2 = 0
Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Với x≠0
chia cả hai về của phương trình cho x2 ta được phương trình tương đương:
1
1
2x2 + 3x - 1 +3 x + 2 x = 0
2(x2 +2+
1
1
) -5 = 0
2 ) + 3(x +
x
x
1
1
2(x + )2 + 3(x + ) -5 = 0
x
x
Tới đây ta nhận thấy phương trình trên có dạng bậc hai nếu đặt
1
(x + x ) = y Ta đưa phương trình về dạng 2y2 + 3y -5 =0
5
Giải phương trình ta được y1 = 1; y2 = - 2
1
Với x + x = 1 ta có x2 + 1 – x =0 Vô nghiệm (Vì x≠0)
1
5
Với x + x = - 2 2x2 + 5x +2 = 0
1
Giải phương trình ta được hai nghiệm: x1 = -2; x2= - 2 .
2.4. Nhận xét:
1
- Phương trình đối xứng bậc chẵn nếu m là nghiệm thì m cũng là nghiệm
của phương trình.
- Nếu phương trình có dạng ax5 + bx4 +cx3 + cx2 + dx + k = 0 (a≠0)
8
Được gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ, phương trình này bao giờ cũng
nhận -1 làm nghiệm. Do đó có thể hạ bậc để đưa về phương trình đối xứng bậc
chẳn mà ta vừa mới trình bày cách giải trên.
3. Phương trình hồi quy
3.1. Phương trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx +k = 0 (a≠0)
Vì x = 0 không phải nghiệm là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho x 2 ta
k
d
được phương trình tương đương: a(x2 + 2 ) + b(x + bx ) + c = 0
ax
k
d
d2
d
d
Trong đó: a = ( b )2 . Đặt x + bx = t => x2 + 2 = t2 - 2 b
b x
k
d
Hay x2 + ax 2 = t2 - 2 b
Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng phương trình hai ẩn với t
2 ad
at2 + bt +c - b = 0
3.2. Ví dụ:
Giải phương trình 2x4 - 21x3 + 74x2 -105 x +50 = 0
Giải: x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x 2 ta
25
5
được phương trình tương đương: 2(x2 + 2 ) - 21(x + x ) + 74 = 0
x
5
Đặt x + x = t => x2 +
25
= t2 – 10
x2
Khi đó phương trình trên có dạng phương trình bậc hai một ẩn:
2t2 – 21t +54 = 0
Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm: t1 = 6 và t2 = 4,5
5
Với t1 = 6 Ta có x + x = 6 hay x2 - 6x + 5 = 0 hay x1= 1 và x2 =5
5
Với t2 = 4,5 Ta có x + x = 4,5 hay x2 – 4,5x + 5 = 0 hay x3= 2 và x4 =2,5
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x1= 1; x2 =5;
x3= 2; x4 =2,5
3.3. Nhận xét:
k
d
Phương trình hồi quy trong đó a = ( b )2 ; k≠0 có ẩn phụ dạng
d
t= x + bx .
4. Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
Hay (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2
9
Đối với những dạng phương trình ta thường dùng phương pháp đặt để đưa
phương trình về dạng phương trình bậc 2.
4.1.Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3
Giải: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=3
(x2 + 5x + 4)( x2 + 5x +6)=3
Đặt x2 + 5x + 4=t ta được phương trình bậc hai ẩn t:
t(t+2)=3 t2 + 2t -3 =0
Giải phương trình bậc hai đối với ẩn t ta được t1 = 1 và t2 = -3
Với t1 = 1 ta có x2 + 5x + 4=1 hay x2 + 5x + 3=0
−5 ± √ 13
Giải ta được x =
1,2
2
Với t2 = - 3 ta có x2 + 5x + 4=-3 hay x2 + 5x + 7=0 Phương trình này vô
nghiệm (vì∆ = 25- 28 = -3<0)
−5 ± √ 13
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
1,2
2
Ví dụ 2: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)=3x2 (1)
4(x2 + 17x +60)( x2 + 16x +60)=3x2
Giải: (1)
4(x+17+
60
60
)=3(vì x≠0 )
2 ) (x+16+
x
x
60
Đặt x+16+ x = y
Ta được phương trình bậc hai: 4y2 + 4y – 3 = 0
Phương trình có 2 nghiệm vì ∆ ’ = 4+12=16
1
3
Giải phương trình ta được: y1= 2 ; y2=- 2
1
15
Với y1= 2 ta có 2x2 + 31x+120 = 0 x1= -8; x2= - 2
3
−35 ± √ 265
Với y2=- 2 ta có 2x2 + 35x+120 = 0 x3,4¿
4
15
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1= -8; x2= - 2 ;
x3,4¿
−35 ± √ 265
4
4.2. Nhận xét:
- Đối với phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
Trong đó: a+d=b+c Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)]=m
10
Từ đó đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một
ẩn.
- Đối với phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=mx2 trong đó ad=bc
ad
Ta nhóm[(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)]=mx2 ẩn phụ có thể đặt là y=x+ x hoặc
y=(x+a)(x+d).
- - Đối với phương trình dạng d((x+a)(x+b)(x+c)=mx trong đó d=
a+b+c
2
m=(d-a)(d-b)(d-c) ta đặt ẩn phụ y=x+d. Một nghiệm của phương trình là y=0.
5. Phương trình vô tỉ:
5.1. Cơ sở lí thuyết:
Trong quá trình giải phương trình vô tỉ đôi khi ta gặp những phương trình
nếu ta dùng phương pháp bình phương hai vế để phá căn thức bậc hai thì dẫn
đến một phương trình bậc cao mà việc giải những phương trình đó không đơn
giãn. Song nếu khéo léo đặt ẩn phụ ta có thể quy phương trình đó về phương
trình bậc hai. Sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ.
5.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2-8x-3√ x 2−4 x −5 =12 (2)
Giải:
(2) 2(x2-4x-5)- 3√ x 2−4 x −5=2=0
Đặt √ x 2−4 x −5=t(t≥ 0 ¿ Ta quy về phương trình bậc hai với ẩn t
2t2-3t-2=0
1
Giải phương trình ta được 2 nghiệm t1=2; t2=- 2
1
Với t2=- 2 loại (vì t≥ 0 ¿
Với t1=2 Ta giải được phương trình √ x 2−4 x −5 =2. Hai vế không âm,
phương trình tương đương với x2-4x-5=4
x2-4x-9=0
Phương trình có 2 nghiệm: x1,2=2± √ 13
Ví dụ 2: Giải phương trình (4x+1)√ x 2+1=2x2+2x+1
Giải: Nếu bình phương hai vế để phá căn thức thì ta quy về phương trình bậc 4
đầy đủ việc giải gặp khó khăn hơn.
Nếu ta đặt t=√ x 2+1 ≥ 1=> x2=t2-1 phương trình trên trở thành:
(4x-1)t=2(t2-1)+2x+1
Ta quy phương trình bậc hai đối với ẩn t:
11
2t2-(4x-1)t+2x-1=0
∆ =(4x-1)2-8(2x-1)=(4x-3)2
t1,2=
4 x−1 ±(4 x−3)
4
1
t1= 2x-1 và t2= 2 <1 (loại)
Với t=2x-1 Thay t=√ x 2+1 ta được phương trình:
4x2-4x+1=x2+1(x≥ 1¿
3x2-4x=0
4
Giải phương trình ta được: x1= 3 ; x2= 0 (loại vì x≥ 1¿
4
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.
5.3. Nhận xét: Đây là những phương trình vô tỉ với cách đặt như trên làm cho
phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. Phương trình đặt ẩn phụ này nhằm
quy phương trình về dạng phương trình bậc hai.
6. Giải và biện luận phương trình:
6.1. Kiến thức cơ bản:
Đối với những phương trình bậc cao với những tham số đây không phải là
những phương trình đặc biệt nên việc giải đôi khi rất khó khăn. Nếu phương
trình đã cho có tham số là bậc hai, ta có thể đưa phương trình về dạng phương
trình bậc hai với ẩn là tham số.
6.2. Ví dụ: Giải và biện luận phương trình:
x4 - 10x3 - 2(a - 11)x2 + 2(5a + 6)x + 2a + a2 = 0
Giải: Phương trình trên có thể viết dưới dạng:
a2 - 2(x2 - 5x - 1)a + (x4 - 10x3 + 22x2 - 12x) = 0
∆ ’a=(x2 - 5x - 1)2 - (x4 - 10x3 + 22x2 - 12x)=(x - 1)2
a1 = x2 - 4x - 2; a2 = x2 - 6x
-Với a = x2 - 4x - 2=> x2 - 4x – 2 – a = 0
Ta có: ∆ ’=4+2+a=6+a
+Nếu ∆ ’≥0=>a≥-6 phương trình có 2 nghiệm x1,2= 2± √ 6+a
+Nếu ∆ ’<0=> a<-6 phương trình vô nghiệm.
-Với a=x2 - 6x=> x2- 6x - a=0; Ta có∆ ’=9+a
+Nếu ∆ ’≥0=> a≥-9 phương trình có 2 nghiệm x3,4=3± √ 9+a
+Nếu ∆ ’<0=> a<-9 phương trình vô nghiệm.
Tóm lại:
+Nếu a<-9 phương trình vô nghiệm
12
+Nếu -9≤a<-6 phương trình có 2 nghiệm x3,4=3± √ 9+a
+Nếu a≥-6 phương trình có 4 nghiệm x1,2= 2± √ 6+a ; và
x3,4=3± √ 9+a.
6.3. Nhận xét: Với những phương trình có dạng như trên ta cần lưu ý tham số
của chúng nếu tham số là bậc hai ta đưa phương trình đã cho về phương trình
bậc hai với ẩn là tham số.
2.3.2. BẤT ĐẲNG THỨC:
Kiến thức cơ bản:
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a ≠ 0), x∈R
∆≤0
Điều kiện để f(x)≥ 0 ∀ x a>0
{
- Xét hàm số bậc hai: y= ax2+bx+c (a ≠ 0), x∈[α , β ]
b
+Nếu x=- 2 a ∈[α , β ] thì:
max y=max¿
b
+Nếu x==- 2 a ∈[α , β thì:
max y=max¿ và min y = min¿.
1. Một số ví dụ:
1.1. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2:
Ví dụ 1: Cho các số a, b, c thõa mãn điều kiện:
a + b + c = -2 (1); a2+b2+c2=2 (2)
4
Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [- 3 ; 0] khi biểu diễn trên
trục số.
Giải: Bình phương hai vế của (1) ta được:
a2+b2+c2 +2(ab+bc+ca) = 4
Do (2) nên ab+bc+ca=(4-2):2=1
=>bc=1-a(b+c)=1-(a(-2-a)=a2+2a+1
Ta lại có: b+c=-(a+2) do đó b, c là nghiệm của phương trình:
x2 +(a+2)x +( a2+2a+1)=0
Để tồn tại x thì ∆ ≥ 0 (a+2)2 -4(a2+2a+1)≥ 0
a(3a+4)≤0 - 4 ≤ a ≤0
3
4
4
Tương tự - 3 ≤ b ≤0 ; - 3 ≤ c ≤ 0
13
4
Ví dụ 2: Cho ba số thõa mãn: a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)≤ 3
Chứng minh rằng: -1≤ a+b+ c ≤ 4
4
Giải: Ta có a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)≤ 3
3(a2+b2+c2)-3(a+b+c)≤ 4 (1)
Ta lại có: (a+b+c)2≤3(a2+b2+c2) (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: (a2+b2+c2)- 3(a+b+c)−4 ≤ 0 (3)
Ta thấy bất đẳng thức trên ở vế trái có dạng tam thức bậc hai với biến
a+b+c
Ta có ∆ =9+16=25=¿ √ ∆ =5
Như vậy tam thức ở vế trái có 2 nghiệm: a+b+c= -1; a+b+c=4
Kết hợp với (3) ta được:
-1≤ a+b+ c ≤ 4 (điều phải chứng minh)
Ví dụ 3: Cho (x, y, z) là nghiệm của hệ
{
2
2
2
x + y + z =8(4)
xy+ yz+ zx=4 (5)
Chứng minh rằng : -
8
8
≤ x, y , z≤
3
3
Giải: Nhân (5) với 2 rồi cộng với (4) ta được:
(x + y + z)2 =16=> x+y+z = ±4
Nếu x+y+z = 4=>z=4-x-y Thay vào (5) ta được:
xy+y(4-x-y)+x(4-x-y)=4
x2-(4-y)x-y(4-y)+4=0(*)
Do x là nghiệm của hệ nên x là nghiệm của (*). Vậy (*) có nghiệm khi
∆ ≥ 0.
(4-y)2+4[(4-y)y+4]≥ 0
-3y2+8y≥ 0
0≤ y ≤ 8
3
8
Nếu x+y+z=-4 Tương tự ta được - 3 ≤ y ≤ 0
8
8
Vậy ta có::- 3 ≤ y ≤ 3
Vì x, y, z có vai trò như nhau nên ta được:
-
8
8
≤ x, y , z≤
3
3
1.2. Dùng tính chât của hàm số bậc 2: y=ax2+bx+c (a ≠ 0), ∀ x∈[α , β ]
14
Ví dụ 1: Cho a, b, c ∈[0,2] thõa mãn điều kiện a+b+c=3.
Chứng minh rằng: a2+b2+c2≤ 5 (1)
Giải: Nhận thấy bất đẳng thức trên có 3 biến a, b, c nhưng a+b+c = 3 nên ta đưa
bất đẳng thức trên về còn hai biến bằng cách thay c=3-a-b vào (1) ta được:
a2+b2+c2≤ 5 a2+b2+(3-a-b)2≤ 5 (2)
Vậy ta đi chứng minh bất đẳng thức (2) với biến a, b đều có bậc 2. Nên ta
có thể quy (2) về tam thức bậc 2 với ẩn nào đó chẳng hạn ẩn đối với a:
(2) f(a)= 2a2-2(3-b)+b2+(3-b)2-5≤ 0 (3)
Muốn chứng minh (3) ta chỉ cần chứng minh f(a)≤ 0 với a ∈[0,2]
Do hệ số của a2 bằng 2>0 nên a ∈[0,2] thì:
max f(x) = max{ f ( 0 ) , f (2) } với a ∈[0,2]
ta có: f(0)= b2+(3-b)2 – 5 = 2(b-1)(b-2)
Khi a=0 thì b+c=3=> c=3-b.
Do 0≤ c ≤ 2=>0≤ 3−b ≤ 2 1≤ b ≤3
=>0≤ c ≤ 2=>(b-1)(b-2)≤ 0 => f(x)≤ 0
f(2)= 8-4(3-b)+b2+(3-b)2-5=2b(b-1)
Khi a=2 thì b+c=1=>0≤ b , c ≤ 1
=>b(b-1) ≤ 0=>f(x) ≤ 0.
Như vậy f(0) ≤ 0; f(2) ≤ 0=> max{ f ( 0 ) , f (2) } ≤ 0
=>max f(a)≤ 0=> f(a) ≤ 0 với a ∈[0,2]
Ví dụ 2: Tìm m sao cho mọi 20
2
x + 4 x +m>0
{
Giải: Do mọi 20 ∀ 2< x< 3
2
x + 4 x +m>0 ∀ 2< x<3
{
min f 1 ( x )> 0
2< x<3 trong đó f 1 ( x )=4 x 2−4 x +5−m
Hay
min f 2 ( x ) >0(¿)
2< x <3 f 2 ( x ) x 2+ 4 x +m
{
Nhưng các hoành độ đỉnh của các parabol
1
x1= 2 ∈(2, 3) ; x2∉ (2, 3)
(*)
f 1 ( 2 ) ≥0 13-m≥0
f 1 ( 3 ) ≥0 29+m≥0
15
f 2 ( 2 ) ≥0 12+m≥0
f 2 ( 3 ) ≥0 21+m≥0
Vậy -12≤ m≤ 13
2.3. Dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai:
2.3.1 Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức:
x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 4y + 3 > 0
Giải: Ta nhận thấy có dạng tam thức bậc hai đối với ẩn x
f(x)= x2 - 2(y - 1)x + (2y2 - 4y + 3)
ta có ∆ ’=(y - 1)2 -(2y2 - 4y + 3)= -y2 + 2y - 2=-(y - 1)2 - 1<0
Do đó f(x) cùng dấu với hệ số của x tức là f(x)>0.
2.3.2. Nhận xét:
Khai thực hiện bằng cách nào đó ta phải quay về số bậc hai đối với ẩn nào
đó. Qua đó ta sử dụng tính chất và điều kiện về dấu của tam thức bậc hai.
Tam thức bậc hai: f(x)= ax2+bx+c (a 0)
+Nếu ∆ <0 thì f(x)c ùng dấu với a với mọi giá trị của x
−b
+Nếu ∆ =0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x trừ x = 2 a
+Nếu ∆ >0 thì: f(x) trái dấu với a với mọi giá trị của x nằm trong khoảng 2
nghiệm.
f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm.
2.3.3. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ:
Kiến thức cơ bản:
Để tìm cực trị của một biểu thức ta có thể vận dụng các tính chất và điều
kiện có nghiệm của tam thức bậc hai. Như vậy ta có thể biến đổi biểu thức đó để
đưa về dạng tam thức bậc hai.
1. Một số ví dụ:
1.1. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới
Ví dụ: Tìm gái trị lớn nhất cảu biểu thức sau:
A=x + √ 1−x
Giải: Điều kiện x≤1
Đặt √ 1−x =y (y≥0) ta có y2 = 1 - x => x = 1 - y2
Vậy A= 1 - y2 + y
1
1
5
A= -(y2 - 2. 2 . y+ 4 ¿+ 4
16
1
5 5
= -(y - 2 ¿2 + 4 ≤ 4
5
1
1
3
Max A= 4 y= 2 1-x= 4 x= 4
1.2. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới
Ví dụ: Tìm gái trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A= x2 +y2
Biết : x2(x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = 1 (1)
Giải: Từ (1) =>(x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) + 3= -x2 ≤ 0
Đặt A=x2+y2
Ta có A2 - 4A + 3≤0 (A-1)(A-3)≤0
MinA=1 x=0 Khi đó y=±1
MaxA=3 x=0 Khi đó y=± √3
1.3. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện ∆ ≥ 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M= 2x2+2xy + y2 - 2x+2y+2
Giải: Giả sử A là một giá trị của biểu thức.
Vì vậy phương trình 2x2+2xy+y2-2x+2y+2 =A có nghiệm đối với x, y.
Đưa về phương trình bậc 2 đối với ẩn x.
Khi đó ta có: 2x2+2(y-1)x+(y2+2y+2-A)=0 có nghiệm khi
∆ ’x≥0 =>(y-1)2 -2(y2+2y+2-A)≥0
Suy ra b ấ t p h ươ ng tr ình : y2+6y+3-2A≤ 0có nghiệm y:
¿> ∆’y¿ 9=3(2 A )≥ 0 => 2A+6≥0 A≥-3
D ấ u “=” xảy ra khi y= -3=>x =
1− y
= 2.
2
V ậ y min M =−3 khi x−2; y =−3
Ví dụ 2: Cho A =
2( x 2+ x +1)
x 2+1
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A và các giá trị tương ứng của x.
2(x 2+ x +1)
Giải: Vì x +1>0 với mọi x. Do đó A =
x 2+1
( x2+1)A=2( x 2 + x+1)
2
(A-2)x2 - 2x + (A-2)=0 (1)
Khi A=2 thì x=0
Khi A≠2 thì để (1) có nghiệm điều kiện cần và đủ là ∆ ’≥0 tức là:
1 - (A-2)2≥0
17
(A-2)2 ≤ 1 1≤ A ≤3
Vậy minA=1 khi x= -1 và maxA=3 khi x=1.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình triển khai ở những năm học trước trong trương trình dạy
học theo chủ đề tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng giáo
viên môn toán của nhà trường tôi nhận thấy có hiệu quả, bên cạnh đó được sự
động viên khuyến khích của các đồng nghiệp nên tôi mạnh dạn đưa vấn đề này
thành một đề tài nghiệp vụ sư phạm.
2.4.1. Đối với học sinh
Từ đề tài trên, để giúp cho các em đạt hiệu quả cao trong quá trình tiếp
nhận kiến thức tôi đã mạnh dạn cải tiến phương pháp, với mong muốn học sinh
tiếp thu kiến thức một cách có hiệu quả trong việc vận dụng tam thức bậc hai trở
thành kĩ năng giải toán.
Qua các kì thi học sinh giỏi chất lượng và hiệu quả môn toán ngày càng
được nâng cao, số lượng học sinh giỏi môn toán của nhà trường ngày càng bền
vững.
Kết quả kiểm tra khảo sát sau khi triển khai đề tài với cùng số lượng học sinh
mức độ đề khảo sát tương ứng kết quả đạt được cụ thể như sau:
Tổng số
Điểm 5- <
Điểm < 3 Điểm 3 - < 5
Điểm 6,5- < 8 Điểm 8->10
HS tham
6,5
gia khảo
SL
% SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
sát
15
0
0
0
0
2
13
9
60
4
27
2.4.2. Đối với giáo viên
Từ việc áp dụng đề tài này vào việc bồi dưỡng đội ngũ cán bộ giáo viên
của nhà trường tôi nhận thấy:
Phát huy được tinh thần tự học, tự tìm tòi nghiên cứu của giáo viên.
Số lượng giáo viên giỏi không ngừng được tăng lên đặc biệt là giáo viên
giảng dạy môn toán.
18
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán ở bậc THCS, các em học sinh
chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vượt cấp đặc biệt là việc chuẩn bị thi kỹ
năng vận dụng kiến thức của giáo viên với cách tiếp cận vận dụng tam thức bậc
hai vào việc giải toán ở bậc THCS. Tôi nhận thấy:
Đối với học sinh các em có khả năng vận dụng các kiến thức cơ bản vào
việc giải toán tốt hơn, Từ chỗ đơn thuần như giải phương trình, bất phương trình
và các bài toán cực trị… các em đã thực hiện được nhiều dạng toán khác có liên
quan.
Thông qua đó giúp các em hiểu khá đầy đủ về tam thức bậc hai và những
ứng dụng của nó. Từ đó các em thấy mình hoàn thiện hơn trong quá trình học
tập, đặc biệt đối với những kiến thức cơ bản liên quan. Qua đây giúp các em
phát huy tích cực tự nhận thức trong việc phân tích tổng hợp các kiến thức để
giải quyết vấn đề đặt ra một cách khoa học,
Rèn luyện cho các em khả năng tư duy toán học tự tìm tòi sáng tạo để
biến những tri thức đó trở thành tri thức của mình. Từ đó hình thành những kĩ
năng, kĩ sảo khi thực hành giải toán.
Hình thành cho các em có tư duy khoa học, tinh thần học hỏi phấn đấu
vươn lên trước những tình huống khó khăn trong học tập và cuộc sống.
Đối với giáo viên qua việc giảng dạy trao đổi đã có cái nhìn hoàn thiện
hơn đối với tam thức bậc hai và việc vận dụng vào việc giải toán.
Có thêm kĩ năng vận dụng tam thức bậc hai để tìm ra một phương pháp
giải toán mới.
Qua đó thấy được cái hay cái đẹp của tam thức bậc hai và việc giảng dạy môn
toán.
3.2. Kiến nghị
Chương trình SGK đổi mới đã mang lại chuyển biến mạnh mẽ trong quá trình
dạy và học, trong đó người học đóng vai trò chủ thể của nhận thức. Nên tôi
mạnh dạn đề xuất cần bổ sung những tài liệu thiết thực có hiệu quả vào thư viện
nhà trường giúp HS tự tìm tòi nghiên cứu trong quá trình học tập.
19
Thọ Xuân, ngày…tháng.. năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không
sao chép nô ̣i dung của người khác.
Nguyễn Xuân Mạnh
20
- Xem thêm -