Tài liệu Vận dụng đồ thị hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN -------------------------- BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP : CƠ SỞ x ; TỈNH Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN Môn/nhóm môn : TOÁN Mã môn : 03.52.02 MỤC LỤC Vĩnh Phúc, năm 2020 VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN -------------------------- BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP : CƠ SỞ x ; TỈNH Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THỊ THANH HẢI Môn/nhóm môn : TOÁN Mã môn : 03.52.02 Vĩnh Phúc, năm 2020 VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 2 MỤC LỤC PHẦN I. MỞ ĐẦU.................................................................................................. 4 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 4 2. Mục đích nghiên cứu: .......................................................................................... 7 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: ......................................................................................... 7 4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu: ........................................................ 7 5. Các phương pháp nghiên cứu:............................................................................. 7 6.Cấu trúc của SKKN: ............................................................................................. 7 PHẦN II : NỘI DUNG............................................................................................ 8 A. Cơ sở lý luận: ..................................................................................................... 8 B. Thực trạng vấn đề: .............................................................................................. 8 C. Giải pháp:............................................................................................................ 8 D. Nội dung: ............................................................................................................ 8 1. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3  bx2  cx  d ,( a  0 ) ........................... 8 1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị ......................................... 9 1.2. Bài tập vận dụng :........................................................................................... 10 2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: y  ax4  bx2  c, a  0 ...... 18 2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị ............... 18 2.2.Bài tập vận dụng :............................................................................................ 19 ax  b ............................. 23 cx  d ax  b 3.1. Một số tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhất y  dựa vào đồ thị .... 23 cx  d 3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất / bậc nhất: y  3.2.Bài tập vận dụng:............................................................................................. 23 4. Sự tương giao giữa các đồ thị hàm số y = f (x), y = f '(x), y = f ''(x), ....... 28 4.1.Lý thuyết cơ sở: ............................................................................................... 28 4.2. Bài tập vận dụng :........................................................................................... 28 5. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên. . 40 5.1. Lý thuyết cơ sở: ................................................................................................ 40 5.2. Bài tập vận dụng:............................................................................................ 40 6. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên. ............................................................................................................................... 50 6.2. Bài tập vận dụng:............................................................................................ 50 7. Phép biến đổi đồ thị:.......................................................................................... 56 7.1. Lý thuyết cơ sở: .............................................................................................. 56 7.2. Bài tập vận dụng:............................................................................................ 57 E.BÀI TẬP TỰ LUYỆN: ...................................................................................... 64 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................... 79 VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 3 PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) từ năm học 2016-2017 cho đến nay. Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc dạy và học.  Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận.  Xuất hiện một số dạng toán mới mẻ thuộc cấp độ vận dụng cao ngày càng gia tăng về số lượng. Cụ thể: Trong đề thi TN THPTQG 2017-2018 mã đề thi nào cũng có 2 câu dạng như sau: Câu 41- Đề 101: 1 và g  x   dx2  ex  1 a, b, c, d , e  R  . Biết rằng đồ 2 thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là - Cho hàm số f  x   ax3  bx2  cx  3;-1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng: A. 9 . 2 B. 8 . C. 4 . D. 5 . Câu 50- Đề 101: Cho hàm số y  f  x  và y  g  x  . Hai hàm số y  f '  x  và y  g '  x  có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm y  g '  x  . Hàm số 3  h  x   f  x  4  g  2x   đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2  VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 4 31 A.  5;  .  5 9 B.  ;3  . 4  31 C.  ;   . 5  25 D.  6;  .  4 Câu 36- Đề 102: Cho hàm số f  x   ax3  bx2  cx  2 và g  x   dx2  ex  2  a, b, c, d , e  R  . Biết rằng đồ thị của hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là -2;-1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng: 37 . 6 13 B. . 2 9 C. . 2 37 D. . 12 A. Câu 47- Đề 102: Cho hàm số y  f  x  và y  g  x  . Hai hàm số y  f '  x  và y  g '  x  có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của 9 hàm y  g '  x  . Hàm số h  x   f  x  7   g  2x   đồng biến trên khoảng nào dưới  2 đây? VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 5 16 A.  2;  .  5 3 B.   ;0  .  4  16 C.  ;   . 5  13 D.  3;  .  4 Trong đề thi TN THPTQG 2016-2017 mã đề từ 101 đến 124 đều có 01 câu dạng sau: Câu 48- Đề 102: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt g  x   2 f  x    x 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 A. B. C. D. g 3  g  3  g 1 . y g  3  g 3  g 1 . 4 g 1  g  3  g 3 . g 1  g 3  g  3 . 3 2 O 1 2 3 x Câu 48- Đề 104: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt g  x   2 f  x    x 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g 1  g 3  g  3 . B. g 1  g  3  g 3 . C. g 3  g  3  g 1 . D. g 3  g  3  g 1 . 2 Trước các vấn đề trên tôi thấy cần có một hệ thống lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại toán này để giúp việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh được dễ dàng hơn, hiệu quả hơn. Với những lý do trên và qua kinh VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 6 nghiệm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT tôi lựa chọn đề tài: “VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN” 2. Mục đích nghiên cứu: Để cho người học thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y = f (x), y = f '(x), y = f ''(x) với các vấn đề của hàm ẩn số y = f (x): o sự tương giao giữa các đồ thị o tính đồng biến nghịch biến o vấn đề cực trị o vấn đề biến đổi đồ thị: tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối o ứng dụng vào phương trình, bất phương trình. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết. Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này. 4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu: - Học sinh lớp 12 - Học sinh các đội tuyển lớp 12 - Chương trình môn Toán 12 cơ bản và nâng cao. 5. Các phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu tham khảo chuyên môn. - Tổng kết kinh nghiệm. - Phân tích sản phẩm. - Quan sát trực tiếp kết quả bài tập, bài kiểm tra của học sinh. -Qua thực tế chấm bài. 6.Cấu trúc của SKKN: Đề tài được sắp sếp theo cấu trúc gồm: A- Lý thuyết cơ sở B- Vận dụng: + Gồm các dạng toán + Trong mỗi dạng toán đó đều có các ví dụ tiêu biểu được tác giả phân tích và trình bày có thể bằng nhiều cách khác nhau. Cũng có thể xây dựng thêm bài toán tổng quát. +Sau cùng là một số bài toán giúp người học tự luyện tập. VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 7 PHẦN II : NỘI DUNG A. Cơ sở lý luận: Chuyên đề về hàm số là chương quan trọng nhất và chiếm tỷ lệ điểm số cao nhất trong đề thi THPT Quốc Gia môn Toán ,nó có nội dung rất phong phú như tính đơn điệu, cực trị, min- max, đồ thị, tiệm cận, sự tương giao, tiếp tuyến, sự biến đổi đồ thị,…. và những bài toán ứng dụng trong thực tiễn và đời sống. B. Thực trạng vấn đề: Trong quá trình dạy học phần kiến thức này những bài toán thuộc cấp độ vân dụng cao khiến học sinh còn mơ hồ khó hiểu vì cảm giác nó trừu tượng, giáo viên thì đôi khi lúng túng khi dạy học hay trình bày cũng như việc hướng dẫn học sinh vận dụng giải toán dạng này. C. Giải pháp: + Đề tài tập trung vào dấu hiệu nhận biết cơ bản đặc trưng ở lý thuyết giúp người học dễ nắm bắt và dễ vận dụng khi giải toán. + Được phân chia thành các dạng toán thường gặp gắn liền với các ví dụ tiêu biểu. Mỗi ví dụ được đưa ra đều có sự giải thích chi tiết, phân tích kỹ các dấu hiệu từ đó đưa ra cách thức vận dụng bài toán lý thuyết phù hợp. + Hơn nữa mỗi ví dụ tác giả còn trình bày cách giải : tự luận hoặc trắc nghiệm giúp người học có thể tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau, từ đó tăng khả năng tư duy, kích thích sự sáng tạo của người học. + Hầu hết các ví dụ được lựa chọn có tính thiết thực gắn với chương trình học và năm trong các đề thi THPTGQ. D. Nội dung: 1. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y  ax3  bx2  cx  d ,( a  0 ) Dấu của a a>0 Dấu  a<0 2 2 Pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. O -2 -2 VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 8 2 2 Pt y’ = 0 có nghiệm kép 4 Pt y’ = 0 vô nghiệm 2 2 1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị  Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi lên là a>0, Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi xuống là a<0  Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là d. Nếu giao điểm này nằm trên Ox thì d  0 Nếu giao điểm này nằm dưới Ox thì d  0  Đồ thị có 2 cực trị nằm về hai phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị trái dấu nhau  ac  0  a,c trái dấu nhau. Đồ thị có 2 cực trị nằm về cùng 1 phía của trục Oy  Đồ thị có 2 cực trị cùng dấu nhau thì ac  0  a,c cùng dấu nhau.  Đối với dạng có 2 điểm cực trị thì điểm uốn luôn là trung điểm của đoạn thẳng nối hai cực trị. Hoành độ điểm uốn là x  b . 3a b  0  a,b trái dấu nhau. 3a b Nếu điểm uốn nằm phía bên trái Oy   0  a,b cùng dấu nhau. 3a Nếu điểm uốn nằm phía bên phải Oy   Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:   b2  3ac  0 .  Hàm số không có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:   b2  3ac  0 .  Đồ thị đi qua điểm M  x0 ; y0  thì ta có phương trình y0  ax03  bx02  cx0  d  Đồ thị có điểm cực trị M  x0 ; y0  thì ta có các phương trình 3 2   y0  ax0  bx0  cx0  d  2  3ax0  2bx0  c  0 VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 9 1.2. Bài tập vận dụng : Bài 1: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d  a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Dấu của a ;b;c ;d là? Hướng dẫn giải: Phương pháp Tự luận: Ta có: y  ax3  bx2  cx  d  a  0 ; y '  3ax2  2bx  c . Gọi x1 ; x2 là các điểm cực trị của hàm số.    lim ax3  bx2  cx  d   x a  0 y  0  d  0   b  0 2b  Theo bài ra ta có:  x1  x2  0  c  0 3a  d  0 x1x2  c  0  3a Phương pháp Trắc nghiệm: Đồ thị có nhánh cuối đi xuống nên a  0 . b a Tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nên   0 mà a  0 nên b  0 Hoành độ hai điểm cực trị trái dấu c  0 mà a  0 nên c  0 a Bài 2: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d  a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Dấu của a ;b;c ;d là? VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 10 Hướng dẫn giải: Phương pháp Tự luận: Ta có: y  ax3  bx2  cx  d  a  0 ; y '  3ax2  2bx  c . y ''  6ax  2b    lim ax3  bx2  cx  d   a  0 x  b2  3ac  0  b  0 Theo bài ra ta có:  b    1  0 c  0 3 a  d  0  y  0   d  0 Phương pháp Trắc nghiệm: Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên a  0 . Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d  0 Bài 3: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d  a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Dấu của a ;b;c ;d là? Hướng dẫn giải: Tự luận: Ta có: y  ax3  bx2  cx  d  a  0 ; y '  3ax2  2bx  c . Gọi x1 ; x2 là các điểm cực trị của hàm số. VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 11    lim ax3  bx2  cx  d   x a  0 y  0  d  0  b  0  b  0 2b  Theo bài ra ta có:  nên  x x  0 cd  0  1 2 3a c  0   d  0 x1x2  c  0  3a Trắc nghiệm: Đồ thị nhận thấy ngay a  0 và d  0 . b a Tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nên   0 mà a  0 nên b  0 Hoành độ hai điểm cực trị trái dấu c  0 mà a  0 nên c  0 a Bài 4: Cho hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của a , b , c , d là ? Hướng dẫn giải: Ta thấy nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị hướng xuốn dưới nên a  0 . Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d  0 Ta có y  3ax2  2bx  c , y  0  3ax2  2bx  c  0 Hàm số có hai điểm cực trị x1  0 , x2  0 2b Suy ra x1  x2  0    0 . Mà a  0 nên b  0 . 3a x1 x2  0  c  0 . Mà a  0 nên c  0 . 3a Vậy a  0 , b  0 , c  0 , d  0 . Bài 5: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Dấu của a , b , c , d là ? VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 12 y O x Hướng dẫn giải: Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số a  0 , đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d  0 . Ta có: y  3ax2  2bx  c . Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung nên y  0 có 2 nghiệm dương phân biệt. a  0 b2  3ac  0 a  0   2  2b b  3ac  0 Suy ra   0   .  3a b  0 c c  0  0  3a Bài 6: Cho hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của a ;b;c ;d là? Hướng dẫn giải:  Tự luận: Đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d . + Đồ thị có nhánh đầu tiên đi xuống nên a  0 + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d  0 + Hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương nên PT  b x1  x2    0  b  0   a y '  3ax2  2bx  c  0 có hai nghiệm dương phân biệt   x .x  c  0  c  0  1 2 a VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 13 Bài 7: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d  a  0 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Dấu của a, b, c, d là? Hướng dẫn giải: Ta thấy lim y  ; lim y    a  0 . Lại có tại y(0)  d  0 . x x Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x1; x2 trái dấu nhau lại có y  3ax2  2bx  c và x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình c 0c0 3a Tổng hợp lại ta cần có a, d  0, c  0. y  0  x1.x2  Bài 8: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f (x) = m có đúng hai nghiệm phân biệt. Hướng dẫn giải: Từ đồ thị (C ) của hàm số y = f (x) ta suy ra đồ thị (C ¢) của hàm số y = f (x) như sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C ) ở phía trên trục hoành. VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 14 - Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C ) ở phía dưới trục hoành. Khi đó, đồ thị (C ¢) là hợp của hai phần trên. Ta có: f (x) = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ¢) và đường thẳng (d ): y = m (song song hoặc trùng với trục hoành). Dựa vào đồ thị (C ¢) , ta có phương trình f (x) = m có đúng hai nghiệm phân biệt é0 < m < 1 . ëm > 5 khi và chỉ khi êê 1  a  b  c  0 . Số giao điểm của đồ 8  4a  2b  c  0 Bài 9: Cho các số thực a , b , c thỏa mãn  thị hàm số y  x3  ax2  bx  c và trục Ox là bao nhiêu? Hướng dẫn giải: Hàm số y  x3  ax2  bx  c xác định và liên tục trên . Giao điểm của đồ thị hàm số y  x3  ax2  bx  c và trục Ox là nghiệm của phương trình x3  ax2  bx  c  0 có nhiều nhất ba nghiệm trên 1 .  b c     và y  1  1  a  b  c  0 , nên tồn tại x 2 x3    điểm x1   ; 1 sao cho y  x1   0  2  .  y  lim  x3 1   Ta có xlim  x  a x  y  1  1  a  b  c  0 nên y  1 . y  2  0 .  y  2   8  4a  2b  c  0 Lại có  Khi đó tồn tại điểm x2   1;2 sao cho y  x2   0 3 .  b c     , y  2  8  4a  2b  c  0 nên tòn tại điểm x 2 x3    x3   2;  sao cho y  x3   0  4  .  y  lim  x3 1   Và xlim  x  a x VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 15 Từ 1 ,  2  , 3 ,  4  suy ra phương trình x3  ax2  bx  c  0 có ba nghiệm phân biệt x1   ; 1 , x2   1;2 và x3   2;  hay đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt. Bài 10: Hàm số y  x3  2ax2  4bx  2018 ,  a, b  đạt cực trị tại x  1 . Khi đó hiệu a  b là Hướng dẫn giải: Ta có y  3x2  4ax  4b . 3 4 Hàm số đạt cực trị tại x  1 nên y  1  0  3  4a  4b  0  a  b  . Bài 11: Biết điểm M  0;4 là điểm cực đại của đồ thị hàm số f  x   x3  ax2  bx  a2 . Tính f 3 . Hướng dẫn giải: Ta có: f   x   3x2  2ax  b và f   x   6x  2a .  f  0  4 a 2  4  a  2  M  0;4 là điểm cực đại của đồ thị hàm số   f   0   0  b  0   . b  0    a  0  f  0  0   f  x   x3  2x2  4 . Vậy f  3  13 . 3 2 Bài 12: Cho hàm số f  x   x3  3x2  x  . Phương trình f  f  x  2 f  x  1  1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ? Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: 3 2 Xét hàm số f  x   x3  3x2  x  . Ta có f   x   3x2  6x 1 .  3 6 98 6  f  x1    x1  3 18 . f   x   0  3x 2  6 x  1  0    3 6 9 8 6  f  x2    x2  3 18  Bảng biến thiên VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 16 Xét phương trình f  f  x  2 f  x  1  1. Đặt t  f  x  . Khi đó phương trình trở thành f t  3 5  1  f  t   2t  1  t 3  3t 2  t   2t  1  t 3  3t 2  t   0 * . 2t  1 2 2 Nhận xét: phương trình (*) có tối đa 3 nghiệm. 5 liên tục trên ¡ . 2 1 29 + Ta có g 3 .g  4     .  0 nên phương trình  2 2 t  t1   3;4 . Xét hàm số g t   t 3  3t 2  t  * có một nghiệm Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f  x   t1 với 98 6 có một nghiệm. 18  1   1  11 g 1 .g       .  0 nên phương trình  2  2 8 t1  3  f  x1   + Ta có * có một nghiệm 1  t  t2   ;1 . 2  Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f  x   t2 với 9 8 6 1 9 8 6 có ba nghiệm phân biệt.   t2  1  f  x1   18 2 18 4 217  1  + Ta có g    .g  1  .   0 nên phương trình * có một nghiệm 250  2   5 4  t  t3   1;   . 5  Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f  x   t3 với f  x2   4 9 8 6 có một nghiệm. t3    f  x2   5 18 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực. Phương pháp trắc nghiệm: Đặt t  f  x  . Khi đó phương trình trở thành f t  3 5  1  f  t   2t  1  t 3  3t 2  t   2t  1  t 3  3t 2  t   0 * . 2t  1 2 2 VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 17 t1  3,05979197  t2  0,8745059057 . t3  0,9342978758 3 2 + Xét phương trình x3  3x2  x   t1  3.05979197 . Bấm máy tính ta được 1 nghiệm. 3 2 + Xét phương trình x3  3x2  x   t2  0,8745059057 . Bấm máy tính ta được 3 nghiệm. 3 2 + Xét phương trình x3  3x2  x   t3  0,9342978758 . Bấm máy tính ta được 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực. 2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: y  ax4  bx2  c, a  0 Dấu của a Dấu a,b a>0 a<0 Pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. (a.b<0) Pt y’ = 0 có 1 nghiệm (a.b>0) 2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị  Hướng đồ thị có bề lõm quay lên là a>0  Hướng đồ thị có bề lõm quay xuống là a<0  Hàm số 3 cực trị khi a.b  0  a,b trái dấu nhau.  Hàm số 1 cực trị khi a.b  0  a,b cùng dấu nhau. VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 18  Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là c Đồ thị đi qua điểm M  x0 ; y0  thì ta có phương trình ax04  bx02  c  y0  Đồ thị có điểm cực trị M  x0 ; y0  thì ta có các phương trình 4 2   ax0  bx0  c  y0  3  4ax0  2bx0  c  0 2.2.Bài tập vận dụng : Bài 13 : Cho hàm số y  ax4  bx2  c  a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định dấu của a, b, c ? Hướng dẫn giải: Tự luận: Ta có: y  ax4  bx2  c  a  0 ; y '  4ax3  2bx .  ax4  bx2  c   a  0 xlim    Theo bài ra ta có:  y  0   c  0  b  0  c  0  x2  b  0  2a   Trắc nghiệm: Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên a  0 . Đồ thị có 3 cực trị nên ab  0 mà a  0 nên b  0 Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c  0 Bài 14: Cho hàm số y  ax4  bx2  c  a  0 có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định dấu của a, b, c ? VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 19 Hướng dẫn giải: Tự luận: Ta có: y  ax4  bx2  c  a  0 ; y '  4ax3  2bx .  ax4  bx2  c   a  0 xlim    Theo bài ra ta có:  y  0   c  0  b  0  c  0  x2  b  0  2a   Trắc nghiệm: Đồ thị có nhánh cuối đi lên xuống nên a  0 . Đồ thị có 3 cực trị nên ab  0 mà a  0 nên b  0 . Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c  0 . Bài 15: Dấu của a và b như thế nào để hàm số y  ax4  bx2  c  a  0 có đồ thị dạng như hình bên dưới? y x O Hướng dẫn giải: Từ đồ thị hàm số suy ra a  0. Ta có y  4ax3  2bx  2x  2ax2  b  . Hàm số có ba cực trị khi phương trình 2ax2  b có hai nghiệm phân biệt khác 0; điều này xảy ra khi b  0. Bài 15: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới. Số nghiệm của phương trình 2 f  x   3  0 là bao nhiêu? VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 20