SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Mục lục
A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………….....2
I. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………… 2
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………2
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………2
IV. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………..2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………………………………………………..……3
I. Cơ sở lý luận………………………………………………………….. 3
II. Thực trạng và giải pháp……………………………………………….4
1. Phương trình chứa tham số……………………………………..4
2. Bất phương trình chứa tham số………………………………..13
III. Hiệu quả của đề tài………………………………………………….19
C. KẾT LUẬN…………………………………………………………………19
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
1
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học
sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến
nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số. Khi giảm tải chương
trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể
vận dụng được nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách
giải khác như hàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa
tham số dẫn đến cách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần
này. Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì phần
lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số sẽ được giải
quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí do để tôi chọn đề tài :
“ Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số”.
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học
sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán phương trình, bất
phương trình có tham số.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về
phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của
trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình
lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số. Tuy
nhiên không phải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán
có thể cô lập được tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương
trình.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải
đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc
sử dụng phương pháp trên. Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các
tài liệu tham khảo và các đề thi đại học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
2
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
khó. Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới
nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương phấp trên.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.
Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục
trên miền D, và tồn tại M max f ( x ) , m min f ( x ) . Khi đó ta có
xD
xD
f(x) α
1. Hệ phương trình
xD
có nghiệm khi và chỉ khi m α M .
f(x) α
2. Hệ bất phương trình
xD
3. Bất phương trình
f ( x )
đúng với mọi x D khi và chỉ khi m .
f(x) α
4. Hệ bất phương trình
xD
5. Bất phương trình
có nghiệm khi và chỉ khi M α .
có nghiệm khi và chỉ khi m α .
f ( x )
đúng với mọi x D khi và chỉ khi M .
Chứng minh
1. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại x 0 D sao cho
f ( x 0 ) . Theo định nghĩa ta có min f ( x ) f ( x 0 ) max f ( x ) , hay
xD
xD
min f ( x ) max f ( x ) .
xD
xD
f ( x ) . Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó
Đảo lại, giả sử minxfD( x ) max
xD
f ( x ) . Do đó khi f(x) nhận giá trị , tức là tồn
nhận giá trị từ minxfD( x ) đến max
xD
tại x 0 D sao cho f( x 0 ) = . Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có
nghiệm trên D đpcm .
2. Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại x 0 D sao cho f ( x 0 ) .
Rõ ràng là max f ( x ) f ( x 0 ) .
xD
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
3
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
f ( x )
Đảo lại, giả sử max
xD
(1)
Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là
f (x)
đó suy ra maxxD
(2)
f ( x ) , x D
từ
Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã
cho có nghiệm đpcm .
3. Giả sử m . Ta lấy x 0 tùy ý thuộc D f ( x 0 ) min f ( x ) m . Vậy
xD
f ( x )
đúng với x D .
Đảo lại, giả sử f(x) x D , khi đó do m minxfD( x ) nên theo định
nghĩa tồn tại x 0 D mà m = f ( x 0 ) . Từ f ( x 0 ) m . Như vậy ta có đpcm.
(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).
II. Thực trạng và giải pháp.
1. Phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
6 x 2 (4 x )(2 x 2) m 4
4 x
2x 2
Hướng dẫn giải
4 x 0
Điều kiện
1x 4.
2x 2 0
Đặt t 4 x 2x 2 .
Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số
Ta có
f ' (x)
2 4 x 2x 2
2 4 x . 2x 2
f (x) 4 x
2x 2
với 1 x 4 .
.
1x 4
f '(x) 0 2 4 x 2x 2
x 3
16 4x 2x 1
Từ đó ta có bảng biến thiên
x
1
3
4
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
4
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
f’(x)
f(x)
+
0
3
-
3
6
min f ( x ) 3 và max f ( x ) 3 từ đó suy ra khi 1 x 4 , thì
1x 4
1x 4
Từ
2
t 4 x 2 x 2 t x 2 2 (4 x )(2x 2)
3 t 3
.
g(t) t 2 4t 4 m (1)
vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau
có nghiệm
( 2)
3 t 3
Ta có g’(t) = 2 t 4 , và ta có bẳng biến thiên sau
t
3
2
1
g’(t)
g(t)
-
0
+
1
7 4 3
0
Từ đó
min g ( t ) g ( 2) 0
3 t 3
và
max g ( t ) 1
3 t 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
.
min g( t ) m max g ( t )
3 t 3
3 t 3
0 m 1 .
Ví dụ 2. Cho phương trình 4 2x 2x 24 6 x 2 6 x m .
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Đặt f(x) 2 x 2 6 x ; g ( x )
dạng h ( x ) f ( x ) g( x ) m
4
Hướng dẫn giải
2 x 2 6 x . Lúc này phương trình đã cho có
(1)
4
Phương trình (1) xác định trong miền 0 x 6 . Ta có
f ' (x)
6 x 2x
2 x (6 x )
.
Nên ta có bảng biến thiên sau:
x
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
5
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
0
2
6
f’(x)
f(x)
+
tương tự ta có g' ( x )
x
4
(6 x ) 3
0
4
(2x ) 3
2 4 ( 2 x ) 3 (6 x ) 3
0
-
, bảng biến thiên
2
+
0
6
-
g’(x)
g(x)
Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x), 0 x 6 như sau
x
0
2
6
h’(x)
h(x)
+
0
-
h ( x ) min h (0); h (6) h (6) 4 12 2 3 và
Ta có min
0x 6
max h ( x ) h (2) 6 3 2 .
0x 6
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 2( 6 6 ) m 3 2 6 .
Chú ý:
1. Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ
12 2 3 ) m 3 2 6
là
4
4
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
6
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
h ( x ) khi đó phương trình đã cho chỉ có
2. Trong bài này cần lưu ý khi m 0max
x6
một nghiệm duy nhất. Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng
biến thiên để suy ra kết quả.
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 44 x 2 1 có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x 1
Đặt t =
4
x1
x 1
pt(1) 3
do
x1
x1
m 24
x 1
x 1
x1
2
1
0
x 1
x 1
nên 0 t 1
f (t ) 3t 2 2t m
Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ
có nghiệm.
0 t 1
Ta có
f ' ( t ) 6 t 2
t
f’(t)
f(t)
nên có bảng biến thiên sau:
1
3
0
+
0
1
-
1
3
1 1
max f ( t ) f ( ) ; còn lim f ( t ) 1 (chú ý rằng ở đây không tồn tại min f ( t ) )
0t 1
t 1
0t 1
3 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
1 m
1
.
3
Chú ý:
f ( t ) nhưng tồn tại
1. Ở đây vì xét khi 0 t 1 , nên không tồn tại min
0t 1
lim f ( t ) 1 Do đó điều kiện theo lý thuyết
t 1
1 m
1
3
1
1 m
3
phải thay bằng
f ( t ) thành m lim f ( t ) ).
(tức là đã thay điều kiện m min
0t 1
t 1
2. Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
7
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
f (t) 3t 2 2t m 0 (1)
Tìm m để hệ
(2)
0 t 1
có nghiệm
Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm
TH1) Phương trình (1) vô nghiệm ' 0 1
3m 0 m
1
3
TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2) t 1 0 1 t 2
' 0
t1 0 t 2
t 1 t
1
2
1
m
3
t 1 .t 2 0
( t 1).( t 1) 0
2
1
Do đó hệ vô nghiệm khi
1
m 3
.
m
1
1
m 3
m 1
m 0
m 2
1 0
3 3
Vậy phương trình có nghiệm
1 m
1
.
3
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình x 2 mx 2 2x 1 có hai nghiệm thực phân
biệt.
Hướng dẫn giải
2
3
x
4x 1 mx (1)
2x 1 0
Phương trình đã cho 2
.
1
2
( 2)
x mx 2 (2x 1) x 2
Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên
3x 2 4x 1
m (3)
f (x ) x
.Ta có f’(x) =
1
x
(4)
2
x
f’(x)
f(x)
1
2
3x 2 1
và bảng biến thiên
x2
0
+
-
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
8
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
9
2
9
2
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt m .
Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.
3x 2 (4 m)x 1 0 (1)
Tìm m để hệ
có hai nghiệm phân biệt.
1
(2)
x 2
Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 sao cho
x 2 x1
1
2
0
1
1
1
1
x1x 2 (x1 x 2 ) 0
(x 1 )(x 2 ) 0
2
4
2
2
x1 x 2 1
x 1 x 2 1
m 4 1 1
9
3 6 4 0 m 9
Áp dụng định lý Viét ta có
2 m
m
4
m 1 2
3 1
Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai.
Ví dụ 5. Cho phương trình
log 32 x log 32 x 1 2m 1 0 .Tìm
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3
3
m để phương trình
.
Hướng dẫn giải
Đặt
t log 32 x 1 .
Khi 1 x 3
3
1 t 2 .
f (t) t 2 t 2 2m (1)
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình
( 2)
1 t 2
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
có nghiệm
9
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Ta có
f ' ( t ) 2 t 1
và có bảng biến thiên sau:
t
1
2
1
2
f’(t)
+
f(t)
max f ( t ) f (2) 4 ; min f ( t ) f (1) 0 .
1t 2
1t 2
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là 0 2m 4 0 m 2 .
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình có nghiệm
91
1 x 2
( m 2)31
1 x 2
2m 1 0
Hướng dẫn giải
Đặt 31
1 x 2
t 3 t 9 .
Ta có phương trình
Do 3 t 9 t 2 0 . Nên phương trình (1)
t 2 2t 1
m (2)
f (t)
thành: Tìm m để hệ
t 2
3 t 9
(3)
Ta có f ' ( t )
t
f’(t)
t 2 2t 1 m( t 2) .
t 2 2t 1
m .
t 2
(1)
Vì thế bài toán trở
có nghiệm
t 2 4t 3
và có bảng biến thiên sau đây:
( t 2) 2
3
9
+
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
10
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
f(t)
max f ( t ) f (9)
3t 9
64 min f ( t ) f (3) 4
; 3t9
7
Vậy các giá trị m cần tìm là:
Ví dụ 7. Cho phương trình
4 m
64
.
7
2(sin 4 x cos 4 x ) cos 4 x 2 sin 2 x m 0 .
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
(1)
0; 2 .
Hướng dẫn giải
1
Phương trình (1) 2(1 sin 2 2x ) 1 2 sin 2 2x 2 sin 2x m 0
2
3sin 2 x 2 sin 2x 3 m (2)
2
Đặt t = sin2x. khi x 0;
0 t 1 .
2
f (t) 3t 2 2t 3 m (3)
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ
( 4)
0 t 1
Ta có
f ' ( t ) 6 t 2
t
f’(t)
và có bảng biến thiên sau:
1
3
0
-
0
1
+
f(t)
0
1
10 max f ( t ) max f (0); f (1) 2
min f ( t ) f ( )
; 0t 1
0t 1
3
3
Vậy giá trị m cần tìm là
10
m 2 .
3
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
11
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
x 1 y 2 m
x y 3m
Ví dụ 8. Tìm m để hệ sau có nghiệm
Hướng dẫn giải
Đặt
u x 1 ; v y 2 u 0; v 0 .
u v m
2 2
nghiệm: u v 3m 3 . Nếu
u 0; v 0
Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có
m 0 hệ vô nghiệm.
f (u) 2u 2 2mu (m 2 3m 3) 0
Hệ đã cho
0 u m
f (u ) 0 max f (u )
Do đó ta cần tìm m để cho min
0u m
0u m
f ' (u ) 4u 2m .
u
f’(u)
Ta có bảng biến thiên sau
m
2
0
-
m
0
+
f(u)
2
max f (u ) max f (0); f (m) m 2 3m 3 ; min f (u ) f ( m ) m 6m 6
0u m
0u m
2
2
2
f (u ) 0 max f (u ) m 6m 6 0 m 2 3m 3
Nên min
0u m
0u m
2
3 21
m 3 15
2
Vây các giá trị cần tìm của m là:
3 21
m 3 15 .
2
Bài tập
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
12
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
m( 1 x 2
(ĐS:
1 x 2 2) 2 1 x 4 1 x 2
1 x2
2 1 m 1 )
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn
2 ; 2
2 2 sin 2 x m(1 cos x ) 2
( ĐS: 0 m 2 )
3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
2
2
2 sin x 3cos x m3sin x
(ĐS: 1 m 4 )
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng 32;
log 22 x 2 log 2 x 3 m(log 2 x 3)
(ĐS: 1 m
3)
x y 1
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm
x x y y 1 m
1
4
(ĐS: 0 m )
2. Bất phương trình chứa tham số
Ví dụ 1. Cho bất phương trình ( x 4)(6 x ) x 2x m .
Tìm m để bất phương trình đúng với x 4; 6
Hướng dẫn giải
Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)
Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình đã cho đúng x
2
4; 6
thì điều đó
m 24 0
cũng đúng khi x 4; x 1; x 6 , tức là m 24 0 m 6
m 1 5
Điều kiện đủ: Giả sử m 6
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
13
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Ta có x 2x m ( x 1)
Theo bất đẳng thức Côsi
2
với
x 4; 6
2
m 1 5, x 4; 6 .
thì ( x 4)(6 x )
( x 4)(6 x )
5 .
2
Từ đó suy ra khi m 6 thì ( x 4)(6 x ) x 2x m đúng với
Vậy m 6 .
Cách 2.(Sử dụng định lý Viét)
Đặt t = ( x 4)(6 x ) x 2x 24
Xét g(x) = x 2 2x 24 với 4 x 6 g ' ( t ) 2x 2 .
Ta có bảng biến thiên sau:
x
-4
1
6
2
x 4; 6
2
g’(x)
g(x)
+
0
25
-
max g( x ) g (1) 25 , min g( x ) min g( 4); g(6) 0 0 t 5
4x 6
4x 6
Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình
với mọi 0 t 5 .
TH1) Nếu 0 f ( t ) 0, t
1
2
f ( t ) t 2 t 24 m 0
đúng
( không thỏa mãn với mọi 0 t 5 )
TH2) Nếu 0 f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt t 1 , t 2 . Lúc này yêu
t1 0 t 2
cầu bài toán tương đương với t 0 5 t
1
2
t1 5 t2
t1t 2 0
24 m 0
m 6
(t1 5)(t 2 5) 0 6 m 0
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 6 .
Cách 3.(Phương pháp đồ thị).
Đặt y ( x 4)(6 x ) , thì y 0 và ta có
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
14
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
y0 y0
2 2 2 2
x 2x 24y (x 1) y 25
.
Vì thế đồ thị của y ( x 4)(6 x ) là nửa đường tròn (nằm phía trên trục Ox)
tâm I(1; 0), bán kính R = 5.
Còn y x 2x m có đồ thị là Parabol có trục đối xứng x = 1 và (P)luôn nằm
trên nửa đường tròn.
Do đó bài toán có dạng: Tìm m để Parabol y x 2x m luôn nằm trên nửa
đường tròn y ( x 4)(6 x ) .
Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5) m 1 5 m 6
Vậy bất phương trình có nghiêm khi m 6 .
2
2
y
5
1
-4
6
x
Cách 4. Viết lại bất phương trình dưới dạng
f ( x ) x 2 2 x 24 x 2 2x m
Ta có: f ' ( x )
(1 x )(1 2 x 2 2x 24 )
x 2 2 x 24
Từ đó có bảng biến thiên sau:
x
-4
1
0 x 1
6
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
15
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
f’(x)
f(x)
+
0
-
max f ( x ) f (1) 6 .
4x 6
x 4; 6
Vậy bất phương trình có nghiệm
f ( x ) m m 6
max
4x6
Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm
nhất!
Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình 4 (4 x )(2 x ) x 2 x m 18
đúng với mọi x 2; 4 .
Hướng dẫn giải
Bất phương trình đã cho ( x 2x 8) 4 x 2x 8 10 m (1)
Đặt t x 2x 8 . Ta có t x 2x 8 ( x 1) 9 9 0 t 3 .
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình f ( t ) t 4 t 10 m đúng với mọi
t 0; 3 . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi max f ( t ) m
2
2
2
2
2
2
2
2
0t 3
Ta có f ' ( t ) 2t 4 0 t 2
Bảng biến thiên sau:
t
0
f’(t)
-
2
0
3
+
f(t)
max f ( t ) max f (0); f (3) 10 .
0t 3
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: m 10
Nhận xét: khác với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât!
Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x R
m 2x 2 9 x m
Vì
2x 2
m
Hướng dẫn giải
9 1 0 , x R nên bất phương trình đã cho
x
2
2x 9 1
f ( x )
m minRf ( x )
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
16
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
x 6
2
0
2
x
9
9
x 6
2x 2 9 (2x 2 9) 1) 2
Bảng biến thiên
x
-6
6
9 2x 2 9
Ta có f’(x)
f’(x)
1
2
f(x)
0
+
0
-
3
4
3
4
1
2
min f ( x ) 3 .
R
4
Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x R thì m
3
4
Ví dụ 4. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm
mx
x 3 m 1
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x 3
Khi đó bất phương trình
1 x 3
m
f ( x )
x1
max f ( x )
Bất phương trình đã cho có nghiệm x �3 khi và chỉ khi m x 3;
Xét hàm số
1 x 3
f (x)
x 1
trên 3; . Ta có
f '(x)
5 x 2 x 3
2( x 1) 2 x 3
f ' ( x ) 0 x 7 2 3
Bảng biến thiên:
x
f’(x)
3
+
f(x)
Suy ra
1
2
0
-
1 3
4
0
max f ( x ) 1
x 3;
+
7 2 3
4
3
.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
17
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
1 3
m
.
4
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
Ví dụ 5. Tìm m để hệ sau đây
2x 2 7x 3 0
có nghiệm.
2
x mx m 0
(đây là bất phương trình chứa tham số và kèm theo điều kiện của x)
Hướng dẫn giải
x 2 m(x 1) (1)
Viết lại hệ dưới dạng 1
( 2)
2 x 3
Do x = 1 không phải là nghiệm của (1) với mọi m
x2
f (x) x 1 m
1 x 3
nên hệ (1)(2)
x2
f (x) x 1 m
1
x 1
2
(3)
(4)
(5)
.
(6)
min f ( x ) m
1x 3
Hệ (1)(2)có nghiệm max f ( x ) m .
1 x 1
2
x 2 2x x 0
Ta có f ' (x)
0
2
(x 1)
x 2
Bảng biến thiên sau
x
f’(x)
f(x)
1
2
1
2
-
0
3
+
1
2
-
9
2
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
18
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
1
1
max f ( x ) f ( )
2
2;
1
2
x 1
min f ( x ) f (2) 4
1x 3
m 4
1
m
2
Vậy các giá trị cần tìm của m là
Bài tập:
1. Cho bất phương trình m( x 2x 2 1) x (2 x ) 0 . Tìm m để bất phương
trình có nghiệm x 0; 1 3 .
2. Tìm m để bất phương trình m.9 x m 13x 2 m 1 0 đúng với x R
3. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x 0; 2
2
log 2 x 2 2 x m 4 log 4 ( x 2 2 x m) 5
3x 2 2x 1 0
4. Tìm m để hệ
có nghiệm.
3
x 3mx 1 0
x 2 3x 0
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm 3
2
x
2
x
x
2
m
20m 0
III. Hiệu quả của đề tài.
Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học
sinh tiếp thu và vận dụng tốt.
Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được.
Lớp
Dùng điều kiện cần và đủ
Dùng định lý Viét Dùng GTLN,GTNN
12A1
và sử dụng đồ thị
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
19
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
50 HS
17% học sinh hiểu bài
8% học sinh vận dụng được
55% học sinh hiểu
và vận dụng được
75% học sinh hiểu
và vận dụng được
C. KẾT LUẬN
Qua các ví dụ vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứng dụng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán chứa tham số là
cho ta một cách giải ngắn gọn và dễ hiểu. Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy
trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm
nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm
khuyết rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa
thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường. Giúp các em học sinh tìm cho mình
một phương pháp ưu việt nhất khi giải các bài toán liên quan đến phương trình
và bất phương trình có tham số.
Xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 29 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Hoàng Văn Quang
1.
2.
3.
4.
5.
6.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Các đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm 2000 đến 2011.
Báo Toán học và tuổi trẻ.
Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006
Hàm số - Tác giả: Phan Huy Khải - XB năm 2001
SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 11 - NC.
SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 12 - NC.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
20
- Xem thêm -