Tài liệu ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp

' $ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ——————————o0o—————————— ĐỖ THỊ HÒA ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN HÀ NỘI- 2016 & % Mục lục LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN 4 THỰC TẾ 2.1 Bài toán đường truyền của tia sáng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Bài toán tốc độ tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Bài toán chuyển động cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.1 Các thành phần ngang và dọc của vận tốc . . . . . . . . . . 16 2.4.2 Gia tốc của vật thể khi chuyển động cong . . . . . . . . . . 17 2.4.3 Nếu x, y không có phương trình tham số . . . . . . . . . . . 18 Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN SƠ CẤP 21 3.1 Ứng dụng của đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của phương trình . . 21 3.2 Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.1 Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.2 Giải bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.3 Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . . . . 32 i Khóa luận tốt nghiệp 3.3 3.4 Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . 34 3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.2 Sử dụng định lí Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . 40 3.4.1 Khảo sát trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.2 Khảo sát gián tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5 Ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . 45 3.6 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7 Ứng dụng đạo hàm để tính tổng trong khai triển nhị thức Newton . . 49 Kết Luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Đỗ Thị Hòa ii K38B SP Toán LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 , đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và trong suốt thời gian làm khóa luận. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Nguyễn Quốc Tuấn giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đỗ Thị Hòa iii LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Tuấn. Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán phổ thông” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với các khóa luận trước đó. Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đỗ Thị Hòa iv LỜI NÓI ĐẦU Trong ngành giải tích toán học, đạo hàm như một nét đẹp tinh túy. Có thể nói, đạo hàm xuất hiện trong hầu hết các bài toán lí thuyết cũng như các bài toán thực tiễn. Năm 1630, nhà toán học Fermat đã sử dụng một “công cụ” mới mẻ để giải quyết các bài toán cực trị vô cùng hiệu quả. Tuy nhiên, ở thời điểm đó ông sử công cụ này như một quy tắc và chưa có một cơ sở lí thuyết cho quy tắc này. Đến những năm 1671 - 1675, hai nhà toán học Newton và Leibniz đã đồng đưa ra khái niệm đạo hàm và vi phân dựa trên phép toán giới hạn. Có thể nói, khái niệm đạo hàm này làm sáng tỏ về mặt lí thuyết cho quy tắc Fermat đã được chúng ta sử dụng trong những năm trước đó. Ngoài ra, Newton và Leibniz sử dụng đạo hàm, vi phân để nghiên cứu các bài toán về tiếp tuyến, các bài toán về chuyển động chất điểm và từ đó thu được những kết quả vô cùng ý nghĩa. Ngày nay, ngoài ứng dụng trong toán học đạo hàm còn được ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính toán tốc độ tăng trưởng nhằm giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định hợp lí, đúng đắn về sự lựa chọn mặt hàng kinh doanh cho lợi nhuận cao nhất hay đầu tư với số lượng bao nhiêu là hợp lí. Hoặc muốn hoạch định chiến lược trong kinh tế vĩ mô liên quan đến tốc độ gia tăng dân số của một quốc gia thì đạo hàm là cần thiết. Trong giao thông, thật bất ngờ khi không cần điều khiển phương tiện mà cảnh sát giao thông vẫn biết được tốc độ vận hành của các phương tiện đang tham gia giao thông trên đường nhờ súng bắn tốc độ. Đó là ứng dụng lí thú của đạo hàm. Chính vì vậy, đạo hàm có ứng dụng vô cùng to lớn trong toán học và nhiều v Khóa luận tốt nghiệp lĩnh vực khác của cuộc sống. Với những ứng dụng quan trọng và rộng rãi của đạo hàm, cùng với sự chỉ dẫn, động viên của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn, tôi mạnh dạn lựa chọn, nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp” trong khóa luận tốt nghiệp đại học. Khóa luận gồm ba chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số kiến thức về đạo hàm, trình bày một số định nghĩa, định lí và một số ứng dụng của đạo hàm sẽ được sử dụng ở các chương sau. Chương 2. Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế. Mục đích chính của chương này là trình bày những ứng dụng của đạo hàm trong một số bài toán thực tế. Đó là bài toán đường truyền của tia sáng, bài toán tốc độ tương đối, bài toán lợi nhuận kinh tế và bài toán chuyển động cong. Chương 3. Ứng dụng của đạo hàm trong toán sơ cấp. Mục đích của chương này trình bày những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán sơ cấp. Đó là ứng dụng xét sự tồn tại nghiệm của phương trình; giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ phương trình, giải hệ bất phương trình; chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tính giới hạn của hàm số, dãy số; tính tổng trong khai triển nhị thức Newton. Do còn hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài, vì vậy khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Rất mong được thầy cô và bạn đọc góp ý để đề tài này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Đỗ Thị Hòa vi K38B SP Toán Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 (xem [1]). Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn f (x) − f (x0 ) , lim x→x0 x − x0 thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 và kí hiệu f 0 (x0 ) hoặc y 0 (x0 ), tức là f (x) − f (x0 ) . x→x0 x − x0 f 0 (x0 ) = lim Chú ý 1.1. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên tục tại x0 . Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia đối số tại x0 . Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy ∆y . ∆x→0 ∆x Định nghĩa 1.2 (xem [1]). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải f (x) − f (x0 ) lim+ , x − x0 x→x0 f 0 (x0 ) = lim ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f (x) tại x0 và kí hiệu là f 0 (x+ 0 ). Tương tự giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) f (x) − f (x0 ) lim− , x − x0 x→x0 1 Khóa luận tốt nghiệp được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f (x) tại x0 và kí hiệu là f 0 (x− 0 ). Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn - xem [1]). i. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. ii. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a; b), có đạo hàm phải tại x = a và đạo hàm trái tại x = b. Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm cấp hai - xem [1]). Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b). Khi đó, hệ thức y 0 = f 0 (x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y 0 = f 0 (x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y 0 là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) và kí hiệu là y 00 hoặc f 00 (x). 1.2 Một số tính chất cơ bản Định lí 1.1 (xem [1]). Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi đạo hàm trái và đạo hàm phải tồn tại và bằng nhau. Định lí 1.2 (Định lí Fermat - xem [1]). Cho hàm f (x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 và khả vi tại x0 thì f 0 (x0 ) = 0. Định lí 1.3 (Định lí Roll - xem [1]). Giả sử hàm f : [a; b] → R liên tục và khả vi trong (a; b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f 0 (c) = 0. Định lí 1.4 (Định lí Lagrange - xem [1]). Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trên (a; b). Khi đó, tồn tại điểm c thuộc (a; b) sao f (b) − f (a) . cho f 0 (c) = b−a Định lí 1.5 (xem [1]). Giả sử hàm y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi đó i. Nếu f 0 (x) đổi dấu khi từ âm sang dương khi x qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . ii. Nếu f 0 (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . Đỗ Thị Hòa 2 K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Định lí 1.6 (xem [1]). Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa x0 , f 0 (x0 ) = 0 và f (x) có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 . Khi đó i. Nếu f 00 (x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . ii. Nếu f 00 (x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . Đỗ Thị Hòa 3 K38B SP Toán Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 2.1 Bài toán đường truyền của tia sáng Luật phản xạ của một tia sáng đi từ điểm A tới một gương phẳng rồi phản xạ đến B đã được biết đến từ thời Hi Lạp cổ đại. Tuy nhiên, sự thật là tia sáng phản xạ theo con đường ngắn nhất được phát hiện muộn hơn nhiều bởi Heron tại thành Alexandria ở thế kỉ thứ nhất trước công nguyên. Ông đã chứng minh rất đơn giản và khéo léo nhờ bất đẳng thức tam giác để chỉ ra rằng tia sáng đã chọn đường đi ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B. Tuy nhiên, bài toán này còn được giải nhanh chóng hơn bằng công cụ đạo hàm trong toán học. Để rõ hơn ta xét bài toán 2.1. Bài toán 2.1. Giả sử một tia sáng đi từ điểm A tới một gương phẳng rồi phản xạ đến điểm B như trong hình 2.1. Thực nghiệm cho thấy, góc tới α bằng góc phản xạ β. Chứng minh rằng, tia sáng đã chọn con đường ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B. Chứng minh. Giả sử A0 , B 0 lần lượt là Hình 2.1 hình chiếu của A và B lên gương phẳng và P là điểm nằm trên gương phẳng như hình 2.1. Đặt AA0 = a, BB 0 = b, A0 B 0 = c, A0 P = x suy ra P B 0 = c − x. Khi đó, độ dài L(x) của đường đi mà tia sáng từ A tới B là L(x) = AP + P B, 4 Khóa luận tốt nghiệp hay L(x) = p p a2 + x2 + b2 + (c − x)2 , là một hàm số phụ thuộc theo biến x trên [0; c]. Dễ thấy nó khả vi trên [0; c]. Lấy đạo hàm của hàm L(x) ta được c−x dL(x) x −p =√ . dx a2 + x2 b2 + (c − x2 ) Theo thực tiễn, ánh sáng đi từ A tới gương rồi tới B thỏa α = β cho nên cos α = cos β hay √ c−x x . =p a2 + x2 b2 + (c − x2 ) Suy ra, tại điểm P ứng với α = β thì đạo hàm dL(x) = 0. Hơn nữa, lấy đạo dx hàm cấp hai của L(x) ta được d2 L(x) a2 b2 =p +p >0 dx2 (a2 + x2 )3 (b2 + (c − x2 ))3 nên theo Định lý 1.6 suy ra L đạt cực tiểu. Vì vậy, ta đã chỉ ra rằng tia sáng đã chọn con đường ngắn nhất từ A tới ∇ gương rồi tới B. Như ta đã biết, tia sáng đi trong môi trường thuần nhất thì nó được truyền theo đường thẳng với tốc độ không đổi. Tuy nhiên, trong môi trường khác nhau (không khí, nước, thủy tinh) liệu tia sáng còn truyền được theo đường thẳng và tốc độ như nhau nữa không? Năm 1621, nhà khoa học Hà Lan Snell đã phát hiện đường truyền thực sự của một tia sáng. Tia sáng sẽ lệch hướng khi đi qua mặt phân cách. Tính chất này được gọi là luật khúc xạ Snell. Cụ thể là bài toán 2.2 Bài toán 2.2. Giả sử tia sáng đi từ điểm A trong không khí với vận tốc Va tới điểm P tại mặt phân cách rồi truyền đến điểm B trong nước với vận tốc là Vn . Chứng tỏ rằng, con đường mà tia sáng đi từ A đến B là con đường mất ít thời gian nhất. Biết rằng góc tới, góc phản xạ lần lượt là α, β và thỏa sin α Va = = cont. sin β Vn Đỗ Thị Hòa 5 (2.1) K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Hình 2.2 Chứng minh. Giả sử A0 , B 0 lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phân cách. Đặt AA0 = a, BB 0 = b, A0 B 0 = c, A0 P = x suy ra P B 0 = c − x. Khi đó, thời gian T (x) mà tia sáng đi từ A tới B là p √ b2 + (c − x)2 a2 + x2 T (x) = + , Va Vn là một hàm số phụ thuộc theo biến x trên [0; c]. Dễ thấy nó khả vi trên [0; c]. Lấy đạo hàm của hàm T (x) ta được dT (x) x c−x sin α sin β = √ − p = − . dx Va Vn Va x2 + a2 Vn b2 + (c − x)2 Mặt khác, theo thực nghiệm ta có sin α Va sin α sin β hay = . = sin β Vn Va Vn Từ đó suy ra đạo hàm T (x) ta được dT (x) = 0. Hơn nữa, lấy đạo hàm cấp hai của hàm dx d2 T (x) a2 b2 = p + p >0 dx2 Va (a2 + x2 )3 Vn (b2 + (c − x2 ))3 nên theo Định Lý 1.6 suy ra T đạt cực tiểu. Vậy ta đã chỉ ra rằng con đường tia sáng đi từ A tới B là ít thời gian ∇ nhất. Đỗ Thị Hòa 6 K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét 2.1. Hằng số bên phải của (2.1) là tỉ lệ giữa tốc độ của ánh sáng trong không khí và tốc độ của ánh sáng trong nước. Hằng số này gọi là chỉ số chiết suất của nước. 2.2 Bài toán tốc độ tương đối Giả sử bạn đang đổ nước vào một cái bình. Hãy quan sát và mô tả sự dâng lên của mực nước trong bình. Ở đây, chúng ta đang nói tới tốc độ thay đổi của mực nước hoặc một cách tương đương là tốc độ thay đổi của chiều sâu. Nếu chiều sâu và thời gian lần lượt được kí hiệu là h và t được tính từ một thời điểm phù hợp nào đó, vậy thì dh dt ≈ h(t+∆t)−h(t) ∆t là tốc độ thay đổi của chiều sâu tại thời gian t. Tương tự như vậy thì thể tích V của nước trong bình cũng thay đổi theo thời gian và dV dt ≈ V (t+∆t)−V (t) ∆t là tốc độ thay đổi của thể tích tại thời điểm t. Nói chung, giả sử Q là một đại lượng hình học hay một đại lượng vật lí thay đổi theo thời gian, tức Q = Q(t). Khi đó, đạo hàm của nó được cho bởi công thức dQ dt = lim ∆t→0 Q(t+∆t)−Q(t) ∆t là tốc độ thay đổi của đại lượng Q tại thời điểm t. Hơn nữa, nếu đại lượng thay đổi mà đại lượng này quan hệ với đại lượng kia thì tốc độ thay đổi của chúng cũng có quan hệ với nhau. Để rõ hơn ta xét bài toán 2.3 và bài toán 2.4 Bài toán 2.3. Gas được bơm vào khối cầu cao su lớn có bán kính r với tốc độ 8cm3 /s. Chứng minh rằng tốc độ tăng của bán kính r bằng 1 2π cm/s khi bán kính r của khối cầu bằng 2cm. Chứng minh. Thể tích V của khối cầu với bán kính r được cho bởi công thức 4 V = πr3 . 3 Theo giả thiết khối cầu được bơm gas vào với tốc độ 8cm3 /s nghĩa là (2.2) dV dt = 8. Chúng ta thấy rằng cả V và r đều phụ thuộc vào thời gian t. Vì vậy, để xuất hiện cả tốc độ thay đổi của V và r ta lấy vi phân đẳng thức (2.2) theo t ta được Đỗ Thị Hòa dV dr = 4πr2 . dt dt 7 (2.3) K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Từ (2.3) suy ra Thay dr dt dr 1 dV 2 dV = = 2 (vì = 8). (2.4) 2 dt 4πr dt 4r dt 1 = 2π cm/s và r = 2cm vào (2.4) và thấy rằng nó nghiệm đúng phương trình. ∇ Vì vậy ta có điều phải chứng minh. Nhận xét 2.2. Kết quả trên cho thấy mặc dù thể tích của khối cầu tăng với một tốc độ không đổi nhưng bán kính tăng tỉ lệ nghịch với thể tích. Bài toán 2.4. Một cái thang dài 13f t đang dựa vào một bức tường thì phần chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ không đổi 6f t/min. Chứng minh rằng, đầu trên của chiếc thang chuyển động xuống phía dưới chân tường với tốc độ là 2, 5f t/min khi chân thang cách tường là 5f t. (a) (b) Hình 2.3 Chứng minh. Ta mô tả tình huống trên bằng hình vẽ (hình 2.3). Giả sử x là khoảng cách từ chân thang tới tường và y là khoảng cách từ đầu trên của thang tới mặt đất. Khi đó, ta quy ước dy dt là tốc độ mà y thì đang tăng theo thời gian t và − dy dt là tốc độ mà y thì đang giảm theo thời gian t. Như vậy, trong bài toán này ta cần chứng tỏ rằng − dy dt = 2, 5f t/min khi x = 5. Thật vậy, theo giả thiết chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ không đổi là 6f t/min nghĩa là dx dt = 6. Mặt khác, từ hình vẽ (2.3) ta có x2 + y 2 = 169. Đỗ Thị Hòa 8 (2.5) K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Lấy vi phân (2.5) theo t, ta có 2x dx dy + 2y = 0, dt dt suy ra − nên dy xdx = , dt ydt dy 6x = . dt y (2.6) Từ (2.5) khi x = 5 ta có y = 12. Thay vào (2.6), ta được − dy 6.5 = = 2, 5f t/min. dt 12 ∇ Vì vậy, ta có điều phải chứng minh. 2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tế Phép tính vi phân xuất hiện hơn ba thế kỉ trước, đầu tiên chúng được ứng dụng trong vật lí, sau đó nó tiếp tục được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác. Đặc biệt, nó có nhiều ứng dụng trong lí thuyết kinh tế và quản lí kinh doanh. Các ứng dụng này tập trung chủ yếu quanh vấn đề về tổng chi phí, giá cả, lượng hàng tồn kho (dự trữ),... Trong cơ chế thị trường hiện nay ở nước ta, mục tiêu lâu dài bao trùm của các doanh nghiệp là kinh doanh có hiệu quả và tối đa hóa lợi nhuận. Môi trường kinh doanh luôn biến đổi đòi hỏi mỗi doanh nghiệp phải có chiến lược kinh doanh thích hợp. Công việc kinh doanh là một nghệ thuật đòi hỏi sự tính toán nhanh nhạy, biết nhìn nhận vấn đề ở tầm chiến lược. Vậy sẽ xuất hiện hai bài toán lớn mà các nhà kinh doanh cần phải giải quyết. Bài toán 2.5. Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y. Tổng chi phí C = C(x) là một hàm phụ thuộc theo x sản lượng hàng hóa Y. Tổng chi phí này thường bao gồm hai loại: thứ nhất là chi phí để xây dựng nhà máy, mua sắm máy móc, nó là một con số cố định a; loại thứ hai là chi phí tiền lương và chi phí vật liệu thô. Vậy làm sao để hoạt động sản xuất đạt hiệu quả tối đa? Đỗ Thị Hòa 9 K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời giải. Ta thấy chi phí tiền lương và vật liệu thô để làm ra một đơn vị sản lượng là cố định, giả sử là b. Khi đó, để làm ra x sản phẩm hàng hóa Y cần bx chi phí. Trong các mô hình đơn giản, tổng chi phí C được tính như sau C(x) = a + bx. (2.7) Để cho doanh nghiệp sản xuất hiệu quả nhất thì chi phí đạt cực tiểu và lợi nhuận đạt cực đại hay chi phí trung bình của hàm C(x) x C(x) x đạt cực tiểu. Ta lấy đạo hàm ta được  C(x) x 0 = xC 0 (x) − C(x) . x2 Mức làm hiệu quả sản xuất tối đa là mức làm cho đạo hàm của nó bằng không, tức là xC 0 (x) − C(x) = 0, x2 hay C 0 (x) = C(x) . x (2.8) Vì vậy, ta kết luận rằng hoạt động sản xuất đạt hiệu quả tối đa khi chi phí lề bằng chi phí trung bình. Nhận xét 2.3. Tuy nhiên, thực tế thì tổng chi phí không chỉ đơn giản như vậy mà nó còn phụ thuộc cả vào thời gian hoặc loại chi phí thứ hai nhiều khi không chỉ tỉ lệ với x vì khi x tăng (theo thời gian) thì máy móc hỏng nhiều hơn và những sự thiếu hiệu quả khác mà nó phát sinh từ lực lượng sản xuất với mức độ ngày càng cao hơn. Vì vậy, hàm chi phí có dạng C(x) = a + bx + cx2 , (2.9) hoặc nó có thể là hàm phức tạp hơn nữa. (Có thể hình dung về hàm chi phí như vậy trong hình 2.4a). Đạo hàm dC dx cho ta biết tốc độ của tổng chi phí C theo x. Các nhà kinh tế gọi đạo hàm này là chi phí lề (hay chi phí cận biên). Thực tế nó chính là chi phí gia tăng khi ta muốn tăng sản lượng lên một đơn Đỗ Thị Hòa 10 K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp (a) (b) Hình 2.4 vị từ mức x. Thật vậy, khi sản lượng biến đổi từ x tới x + 1 (mức tăng tối thiểu) thì dC C(x + 1) − C(x) ≈ = C(x + 1) − C(x) dx 1 như chỉ ra trong hình 2.4b. Hình 2.4a cho thấy qua tốc độ của đường cong tăng nhanh chi phí lề có thể lên giá trị cao nhất như là một tình huống lạ thường trong sản xuất. Một vấn đề quan tâm hàng đầu nữa của nhà sản xuất đó là làm ra lợi nhuận và sao cho tối đa hóa nó. Vậy làm sao để lợi nhuận của nhà sản xuất đạt giá trị lớn nhất? Ta xét bài toán 2.6 Bài toán 2.6. Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y . Biết rằng C = C(x) là hàm tổng chi phí tính theo x sản lượng hàng hóa Y . Hãy tính toán sao cho hoạt động sản xuất của doanh nghiệp này đạt lợi nhuận tối đa. Lời giải. Ta thấy rằng mức lợi nhuận của nhà sản xuất phụ thuộc vào giá bán p. Nhà sản xuất luôn mong muốn rằng có thể bán được x đơn vị sản phẩm với giá đặc biệt p. Nói chung, với giá p giảm thì thường phải giảm sản lượng x (xem hình 2.5b biểu thị sản lượng x như một hàm của giá bán p). Để cho tiện, ta thường biểu thị các yếu tố liên quan qua sản lượng x, nên hình 2.5a cho ta hình dung về p như là một hàm của x. Nhiều khi giá bán và sản lượng cũng không biến đổi tỉ lệ thuận. Đối với mặt hàng thiết yếu như gạo và xăng dầu con người vẫn phải mua thường xuyên với mức khá ổn định bất kể Đỗ Thị Hòa 11 K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp giá cả thế nào. Ngược lại, đối với những mặt hàng không thiết yếu như bánh kẹo thì ngày càng nhiều người mua nó khi giá của nó thấp, có nghĩa là hàng hóa càng nhiều thì giá thành càng giảm. Vì vậy, nhiều khi hàm giá p = p(x) mô tả liên hệ giữa giá p và nhu cầu của thị trường về mặt hàng đó. Vì vậy, nó còn được gọi là hàm cầu. Giả sử R(x) là hàm tổng doanh thu của nhà sản (a) (b) Hình 2.5 xuất và hàm thu nhập lề là R0 (x) - thu nhập gia tăng khi sản lượng tăng lên một đơn vị từ mức x. Khi đó, lợi nhuận P (x) là hiệu giữa doanh thu và tổng chi phí P (x) = R(x) − C(x). (2.10) Nói chung, nhà sản xuất sẽ thất thu khi sản lượng quá thấp, bởi vì giá chi phí cố định là a, và cũng thất thu khi sản lượng quá cao, vì giá chi phí lề cao. Vì thế nhà sản xuất chỉ có thể có lãi khi sản lượng quanh mức trung bình. Đạo hàm hai vế của (2.10) ta được P 0 (x) = R0 (x) − C 0 (x). Mức sản lượng làm cực đại lợi nhuận là mức mà tại đó đạo hàm P 0 (x) = 0, tức là R0 (x) − C 0 (x) = 0, hay R0 (x) = C 0 (x). Vì vậy, ta kết luận được rằng lợi nhuận của doanh nghiệp đạt giá trị lớn nhất khi mà sản lượng được điều chỉnh sao cho thu nhập lề bằng chi phí lề. Đỗ Thị Hòa 12 K38B SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét 2.4. Giả sử p(x) là giá bán của đơn vị sản phẩm. Khi đó, thu nhập R(x) = xp(x) và (2.10) trở thành P (x) = xp(x) − C(x). (2.11) Do đó, nếu biết cả hàm cầu p(x) và hàm tổng chi phí C(x) thì ta có thể sử dụng (2.10) để tính mức sản lượng x làm cực đại lợi nhuận P . Rõ ràng giá trị đó của x không chỉ phụ thuộc vào giá bán p(x) mà còn phụ thuộc vào tổng chi phí C(x). Chính vì vậy, từ các nghiên cứu trên cho thấy được vai trò quan trọng của đạo hàm trong kinh tế. Nói cách khác, trong kinh tế học hiện đại cần tới nhiều loại toán khác nhau, đặc biệt là rất cần phép tính vi phân. Áp dụng lí thuyết trên vào các ví dụ sau Ví dụ 2.1. Một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y . Biết rằng lợi nhuận P của doanh nghiệp là một hàm phụ thuộc vào mức sản lượng Q như sau 1 P = − Q3 + 14Q2 + 60Q − 54. 3 Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Lời giải. Thực ra ta chỉ cần khảo sát để tìm giá trị lớn nhất của P . Dễ thấy P xác định trên (0; +∞). Đạo hàm của hàm số P ta được P 0 = −Q2 + 28Q + 60. Cho P 0 = 0 suy ra −Q2 + 28Q + 60 = 0 bởi vậy Q = 20 hoặc Q = −2 (loại). Cụ thể, ta có bảng biến thiên Q −∞ 0 +∞ 20 P 0 (Q) + 0 − P (20) P (Q) −54 −∞ Từ bảng biến thiên thấy P đạt giá trị lớn nhất khi Q = 20. Vậy mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa của nhà sản xuất là 20. Đỗ Thị Hòa 13 K38B SP Toán