Tài liệu Hàm tăng chậm và dãy số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TẠ THỊ HỒNG THỨC HÀM TĂNG CHẬM VÀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 2020 1 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên em trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy cô khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K12b. Em cũng xin cảm ơn đến các bạn học viên và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 2 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Dãy số và giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Hàm số và giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Tính liên tục và đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Hàm tăng chậm và dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Tính chất của hàm tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Hàm tăng chậm có đạo hàm giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Hàm tăng chậm và dãy số trung bình nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Hàm α-tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Mở đầu Cho f (x) là một hàm số xác định trên khoảng [a, ∞) thỏa mãn f (x) > 0 , lim f (x) = ∞ và đạo hàm liên tục f 0 (x) > 0. Hàm số f (x) được gọi x→∞ là tăng chậm nếu thỏa mãn điều lim f 0 (x) x→∞ f (x) x = 0. Một trong những ví dụ đầu tiên về hàm tăng chậm là hàm số f (x) = log x. Khái niệm về hàm tăng chậm được Jakimczuk định nghĩa năm 2010 trong bài báo “Functions of slow increase and integer sequences” xuất bản trên tạp chí Journal of Integer sequence. Trong bài báo này, ông đã chứng minh một số tính chất của các hàm tăng chậm và áp dụng các tính chất của hàm tăng chậm nghiên cứu một số bài toán về dãy số. Các kết quả này tiếp tục được ông phát triển và công bố một số kết quả trong bài báo “Integer sequences, functions of slow increase, and the Bell numbers” xuất bản năm 2011. Sau đó, các hàm tăng chậm được nhiều nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu. Năm 2012, Shang [4] đã mở rộng khái niệm hàm tăng chậm để định nghĩa và nghiên cứu về các hàm α-tăng chậm, đồng thời nghiên cứu một số áp dụng tính chất của các hàm α-tăng chậm để nghiên cứu một số dãy số. Mục tiêu của đề tài là trình bày lại các kết quả nói trên về hàm tăng chậm và về hàm α-tăng chậm. Trước khi trình bày lại các kết quả này, luận văn nhắc lại một cách sơ lược một số kiến thức về dãy số thực, giới 4 hạn của dãy số thực, giới hạn của hàm số một biến số thực. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày thành 3 chương. Trong chương 1, luận văn trình bày lại một số kiến thức về dãy số, giới hạn dãy số, giới hạn của hàm số một biến số thực, đạo hàm, đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn. Các nội dung này được sử dụng cho các chương sau của luận văn. Chương 2 của luận văn trình bày khái niệm của hàm tăng chậm, một số kết quả của các hàm tăng chậm và áp dụng vào nghiên cứu một số dãy số nguyên. Nội dung của chương 2 được tham khảo từ hai bài báo [2] và [3] của Jakimczuk. Dựa vào bài báo [4] của Shang, luận văn trình bày trong chương 3 khái niệm và tính chất của các hàm α-tăng chậm, cũng như một số áp dụng của các hàm số này vào nghiên cứu dãy số. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Dãy số và giới hạn dãy số Một dãy số trong X ⊂ R là bộ vô hạn có thứ tự các số trong X (xn )n∈N = x0 , x1 , x2 , x3 , ... Nói một cách khác, một dãy trong X là một ánh xạ x : N → X, n 7→ xn = x (n) . Có nhiều cách khác nhau để mô tả một dãy số như liệt kê các phần tử, thông qua biểu thức xác định của dãy, thông qua biểu thức đệ quy,... Định nghĩa 1.1.1. Giá trị a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy số (xn )n∈N nếu với mọi  > 0 bé tùy ý, đều tìm được số tự nhiên N đủ lớn (phụ thuộc ), sao cho khi n > N thì |xn − a| < . Khi đó ta nói dãy (xn ) hội tụ về a và ký hiệu là lim xn = a hay lim xn = a hay xn → a, khi n → ∞. n→∞ Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của giới hạn của dãy số: • Định nghĩa giới hạn của dãy không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng đầu của dãy. 6 • Dễ thấy: lim xn = a khi và chỉ khi lim |xn − a| = 0. n→∞ n→∞ • Nếu (xn ) hội tụ, thì giới hạn là duy nhất. Thực vậy, nếu a và b cùng là giới hạn của (xn ), thì |a − b| 6 |a − xn | + |xn − b| → 0, khi n → ∞. Vậy |a − b| = 0 hay a = b. Định nghĩa 1.1.2. Dãy số (xn ) được gọi là có giới hạn dương vô cùng, ký hiệu lim xn = +∞ hoặc lim xn = ∞, nếu với mọi E > 0 lớn tùy ý, n→∞ n→∞ tồn tại số tự nhiên NE đủ lớn sao cho xn > E, với mọi n > NE . Dãy số (xn ) được gọi là có giới hạn âm vô cùng, ký hiệu lim xn = −∞, n→∞ nếu với mọi E > 0 lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên NE đủ lớn sao cho xn < −E, với mọi n > NE . Nếu dãy số (xn ) có giới hạn dương vô cùng hoặc âm vô cùng thì ta nói (xn ) là dãy phân kỳ. Dưới đây là một số tính chất của giới hạn dãy số thường được sử dụng trong tính toán. Mệnh đề 1.1.3 (Tính bị chặn). Nếu (xn ) hội tụ thì tồn tại M > sao cho |xn | < M, ∀n. Mệnh đề 1.1.4 (Tính bảo toàn qua các phép toán). Giả sử (xn ) và (yn ) xn là các dãy hội tụ. Khi đó các dãy (xn + yn ), (xn yn ), ( ) (giả thiết thêm yn lim yn 6= 0) hội tụ và lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn , lim (xn yn ) = n→∞ lim xn lim yn , lim xynn n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim xn = n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim yn . n→∞ Mệnh đề 1.1.5 (Tính bảo toàn thứ tự). Giả sử (xn ) và (yn ) là dãy hội tụ và với mọi n đủ lớn xn 6 yn . Khi đó lim xn 6 lim yn . n→∞ n→∞ Mệnh đề 1.1.6 (Tính chất kẹp giữa). Giả sử với mọi n đủ lớn ta có xn 6 yn 6 zn và lim xn = lim zn = a. Khi đó lim yn = a. n→∞ n→∞ n→∞ 7 1.2. Hàm số và giới hạn hàm số Một hàm số một biến số thực là một ánh xạ f : X → Y, x 7→ y = f (x) trong đó X, Y là các tập con của R. Tập X gọi là miền xác định của f . Tập f (X) = {y ∈ R : ∃x ∈ X, y = f (x)} gọi là miền giá trị của f . Cho f, g : X → R là hai hàm số xác định trên tập X. Khi đó có thể f định nghĩa các hàm f ± g, f g, (nếu g(x) 6= 0, ∀x ∈ X) một cách tự g nhiên như sau (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) , f g (x) = f (x) g (x) , f f (x) (x) = , x ∈ X. g g (x) Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai hàm số. Khi đó hàm hợp g ◦ f : X → Z định nghĩa là g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.2.1 (Tính đơn điệu). Cho f là một hàm số xác định trên tập X. Hàm f gọi là tăng (tương ứng tăng ngặt) trên X nếu x1 , x2 ∈ X thì x1 < x2 kéo theo f (x1 ) 6 f (x2 ) (tương ứng f (x1 ) < f (x2 )). Hàm f gọi là giảm (tương ứng giảm ngặt) trên X nếu x1 , x2 ∈ X thì x1 < x2 kéo theo f (x1 ) > f (x2 ) (tương ứng f (x1 ) > f (x2 )). Định nghĩa 1.2.2 (Điểm tụ). Một điểm x là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa ít nhất một điểm của A khác với x. x là một điểm tụ của A ⇔ ∀r > 0, ∃a ∈ A : 0 < d (x, a) < r. Định nghĩa 1.2.3 (Giới hạn). Cho hàm số f : X → R và a là điểm tụ của X. Hàm f gọi là có giới hạn L ∈ R khi x tiến tới a nếu với mọi  > 0 bé tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho khi x ∈ X mà 0 < |x − a| < δ, thì |f (x) − L| < . Khi đó ta viết lim f (x) = L hay f (x) → L, khi x → a. x→a 8 Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của giới hạn hàm số. Cho f, g, ϕ : X → R là ba hàm số xác định trên X và a là điểm tụ của X. Giả sử lim f (x) = L và lim g (x) = M . Khi đó: x→a x→a • Ta có lim (f ± g) (x) = L ± M, x→a lim f g (x) = LM, x→a f L (x) = (M 6= 0) . x→a g M lim • Nếu giả thiết thêm f (x) 6 g(x) với mọi x ở một lân cận của a, thì L 6 M. • Nếu giả thiết thêm f (x) 6 ϕ(x) 6 g(x) với mọi x ở một lân cận của a và L = M , thì lim ϕ (x) = L. x→a • Nếu hàm hợp g ◦ f tồn tại và nếu lim f (x) = L, lim g (y) = A thì x→a y→L lim g ◦ f (x) = A. x→a Có thể mở rộng các khái niệm giới hạn trên khi a = ±∞ hay L = ±∞. Ta có các định nghĩa sau: lim f (x) = +∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > 0 : f (x) > E, ∀x ∈ X, 0 < |x − a| < δ, x→a lim f (x) = −∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > 0 : f (x) > −E, ∀x ∈ X, 0 < |x − a| < δ, x→a lim f (x) = L ⇔ ∀ > 0, ∃R > 0 : |f (x) − L| < , ∀x ∈ X, x > R, x→+∞ lim f (x) = L ⇔ ∀ > 0, ∃R > 0 : |f (x) − L| < , ∀x ∈ X, x < −R. x→−∞ 1.3. Tính liên tục và đạo hàm của hàm số Định nghĩa 1.3.1. Cho f là hàm xác định trên một tập X chứa a. Hàm f gọi là liên tục tại a nếu lim f (x) = f (a). x→a 9 Lưu ý rằng nếu hàm số f (x) liên tục tại a thì với mọi dãy (xn ) trong X mà lim xn = a ta có lim f (xn ) = f (a). Tổng, hiệu, tích, thương (với n→∞ n→∞ điều kiện mẫu khác 0) của các hàm liên tục tại a là hàm liên tục tại a. Nếu f liên tục tại a và g liên tục tại f (a) thì hàm hợp g ◦ f liên tục tại a. Định nghĩa 1.3.2. Cho f (x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b) và f (x) − f (x0 ) x0 ∈ (a; b). Nếu giới hạn lim tồn tại thì giới hạn đó được x→x0 x − x0 gọi là đạo hàm của hàm số f (x) tại x0 , ký hiệu f 0 (x0 ). Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a; b) thì ta có một hàm số trên khoảng (a; b), gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a; b), ký hiệu d f 0 hoặc đôi khi được ký hiệu f. dx Dưới đây là một số tính chất của đạo hàm: • Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại đó. • Nếu các hàm số u và v có đạo hàm tại x thì các hàm số u + v và uv có đạo hàm tại x và ta có (u + v)0 = u0 + v 0 , (uv)0 = u0 v + uv 0 . u Nếu có thêm v 0 (x) 6= 0 thì hàm số có đạo hàm tại x và v  u 0 u0 v − uv 0 . = v v2 • Nếu hàm f có đạo hàm tại x và hàm số g có đạo hàm tại y = f (x) thì hàm số hợp g ◦ f có đạo hàm tại x và (g ◦ f )0 (x) = f 0 (x)g 0 (f (x)). Định lý 1.3.3 (Định lý giá trị trung bình của Lagrange). Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f 0 (c) = f (b) − f (a) . b−a 10 Định lý 1.3.4 (Quy tắc L’Hôpital). Giả sử hai hàm số f, g có đạo hàm và g 0 (x) 6= 0 trong khoảng (a; b) chứa x0 . Giả sử lim f (x) = lim g(x) = 0 hoặc ∞. x→x0 Khi đó x→x0 f 0 (x) f (x) nếu lim 0 = L thì lim = L. x→x0 g (x) x→x0 g(x) 1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một cách sơ lược khái niệm về các đại lượng vô cùng bé và các đại lượng vô cùng lớn cũng như tính chất của chúng. Lưu ý rằng, ở đây chúng tôi trình bày các đại lượng này như là các hàm số. Ta cũng có các khái niệm này đối với các dãy số khi xem chúng như các hàm số xác định trên tập các số tự nhiên. Định nghĩa 1.4.1. Hàm số f (x) được gọi là một đại lượng vô cùng bé khi x → x0 (x0 có thể là ∞) nếu ta có lim f (x) = 0. x→x0 Giả sử f (x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x → x0 . Nếu ta có f (x) lim = 0 thì ta nói f (x) là vô cùng bé bậc cao hơn g(x) khi x → x0 x→x0 g(x) và ta viết f (x) = o(g(x)). f (x) Nếu lim = L 6= 0 thì ta nói f (x) và g(x) là hai vô cùng bé cùng x→x0 g(x) bậc khi x → x0 . Đặc biệt nếu L = 1 thì ta nói f (x) và g(x) là hai vô cùng bé tương đương và ta viết f (x) ∼ g(x). Dưới đây là một số tính chất của các vô cùng bé: • Giả sử f (x), g(x), f1 (x), g1 (x) là các vô cùng bé khi x → x0 . Nếu f (x) f1 (x) lim = L, f (x) ∼ f1 (x), g(x) ∼ g1 (x) thì lim = L. x→x0 g(x) x→x0 g1 (x) 11 • Nếu f (x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x → x0 và f (x) = o(g(x)) thì ta có f (x) + g(x) ∼ g(x). Định nghĩa 1.4.2. Hàm số f (x) được gọi là một đại lượng vô cùng lớn khi x → x0 (x0 có thể là ∞) nếu ta có lim f (x) = ∞. x→x0 Giả sử f (x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x → x0 . Nếu ta có f (x) = ∞ thì ta nói f (x) là vô cùng lớn bậc cao hơn g(x) khi lim x→x0 g(x) x → x0 . f (x) Nếu lim = L 6= 0 thì ta nói f (x) và g(x) là hai vô cùng lớn x→x0 g(x) cùng bậc khi x → x0 . Đặc biệt nếu L = 1 thì ta nói f (x) và g(x) là hai vô cùng lớn tương đương và ta viết f (x) ∼ g(x). Tương tự các vô cùng bé, các vô cùng lớn cũng có các tính chất sau đây: • Giả sử f (x), g(x), f1 (x), g1 (x) là các vô cùng lớn khi x → x0 . Nếu f (x) f1 (x) lim = L, f (x) ∼ f1 (x), g(x) ∼ g1 (x) thì lim = L. x→x0 g(x) x→x0 g1 (x) • Nếu f (x) là vô cùng lớn bậc cao hơn g(x) khi x → x0 thì ta có f (x) + g(x) ∼ f (x). Định nghĩa 1.4.3 (Ký hiệu O lớn). Cho f (x) và g(x) xác định trên một khoảng (a; +∞) thỏa mãn g(x) nhận giá trị dương với mọi giá trị x đủ lớn. Ta viết f (x) = O (g(x)) khi x → ∞ nếu tồn tại số thực dương M và số thực x0 > a sao cho |f (x)| ≤ M g(x), ∀x ≥ x0 . Với b thuộc khoảng xác định của f (x) và g(x), ta cũng viết f (x) = O (g(x)) khi x → b 12 nếu tồn tại các số thực dương δ và M sao cho |f (x)| ≤ M g(x), khi 0 < |x − b| < δ. Khi các quá trình x → ∞ hay x → b đã được hiểu rõ thì ta viết ngắn gọn f (x) = O(g(x))). Ví dụ, nếu T (n) = 4n2 − 2n + 1 thì ta có T (n) = O(n2 ) khi n → ∞. Với hàm số mũ ex , ta có x2 x3 x4 e =1+x+ + + + ··· 2! 3! 4! x2 + O(x3 ) khi x → 0 =1+x+ 2 x = 1 + x + O(x2 ) khi x → 0. Dưới đây là một số tính chất thường được sử dụng: • Ta có f (x)O(g(x)) = O(f (x)g(x)). • Nếu f (x) = O(f1 (x)) và g(x) = O(g1 (x)) thì f (x)g(x) = O(f1 (x)g1 (x)) và f (x) + g(x) = O(max(f1 (x), g1 (x))). • Nếu k là một hằng số khác 0 thì O(|k|f (x)) = O(f (x)) và f (x) = O(g(x)) kéo theo kf (x) = O(g(x)). 13 Chương 2 Hàm tăng chậm và dãy số 2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1. Cho f (x) là một hàm số xác định trên khoảng [a; +∞) sao cho f (x) > 0, lim f (x) = ∞ và với đạo hàm liên tục x→∞ 0 f (x) > 0. Ta nói f (x) là hàm tăng chậm điều kiện sau được thỏa mãn f 0 (x) lim = 0. x→∞ f (x) x (2.1) Dưới đây là một vài ví dụ điển hình về hàm tăng chậm (dễ dàng kiểm tra bằng tính toán đơn giản): f (x) = log x, f (x) = log2 x, f (x) = log log x. 2.2. Tính chất của hàm tăng chậm Từ định nghĩa của hàm tăng chậm ta có một số tính chất cơ bản dưới đây. Định lý 2.2.1. Các khẳng định sau đây là đúng: 14 i) Nếu f (x) và g(x) là các hàm tăng chậm và C và α là các hằng số dương thì các hàm số sau sẽ là hàm tăng chậm: f (x) + C, Cf (x), f (x) g (x) , f (x)α , f (g(x)), log f (x) , f (xα ) , f (xα g (x)). f (x) ii) Nếu f (x) và g(x) là hàm tăng chậm, lim =∞ x→∞ g (x)   d f (x) f (x) và > 0 thì là hàm tăng chậm. dx g (x) g (x) iii) Nếu h(x) là một hàm số thỏa mãn h (x) > 0, lim h (x) = ∞ và với x→∞ 0 đạo hàm liên tục h (x) > 0 thì (h log x) là hàm tăng chậm khi và chỉ h0 (x) khi lim = 0. x→∞ h (x) iv) Nếu h(x) là một hàm số thỏa mãn h(x) > 0, lim h (x) = ∞ và với x→∞ 0 h(x) đạo hàm liên tục h (x) > 0, thì e là hàm tăng chậm khi và chỉ khi lim xh0 (x) = 0. x→∞ v) Nếu f (x) là một hàm tăng chậm thì có giới hạn sau: log f (x) lim = 0. (2.2) x→∞ log x Chứng minh. Nếu f (x) và g(x) là các hàm tăng chậm và C và α là các hằng số dương thì dễ dàng kiểm tra ngay được bốn hàm số f (x) + C, Cf (x), f (x)g(x) và f (x)α là các hàm tăng chậm. Chúng ta sẽ kiểm tra các hàm số còn lại. Đặt h(x) = f (g(x)). Khi đó h0 (x) = g 0 (x)f 0 (g(x)) và h0 (x) h(x) x g 0 (x) f 0 (g(x)) = g(x) · f (g(x)) . x g(x) Do g(x) là hàm tăng chậm nên g 0 (x) lim g(x) = 0 và lim g(x) = ∞. x→∞ x→∞ x Mặt khác, do f (x) là hàm tăng chậm nên ta lại có f 0 (g(x)) lim f (g(x)) = 0 vì lim g(x) = ∞. x→∞ x→∞ g(x) 15 Vậy ta có lim h0 (x) x→∞ h(x) x = 0 nên h(x) = f (g(x)) là hàm tăng chậm. Áp dụng điều vừa chứng minh với các hàm số f (x) và log x ta suy ra hàm log f (x) là hàm tăng chậm. Đặt k(x) = f (xα ). Khi đó k 0 (x) = αxα−1 f 0 (xα ). Do đó k 0 (x) k(x) x = αxα−1 f 0 (xα ) f (xα ) x = αf 0 (xα ) f (xα ) xα . Do α dương nên xα → ∞ khi x → ∞. Mặt khác f (x) là hàm tăng chậm nên suy ra lim k 0 (x) x→∞ k(x) x = lim α x→∞ f 0 (xα ) f (xα ) xα = 0. Vậy k(x) = f (xα ) là hàm tăng chậm. Tính toán tương tự ta có thể chứng minh được f (xα g(x)) cũng là hàm tăng chậm. Vậy i) được chứng minh. Khi f (x) và g(x) là hai hàm tăng chậm thì ta có thể tính toán kiểm f (x) tra được hàm số thỏa mãn điều kiện (2.1). Nếu thêm các giả thiết g(x)   d f (x) f (x) f (x) = ∞ và > 0 thì là hàm tăng chậm. Suy lim x→∞ g (x) dx g (x) g (x) ra ii) là đúng. Các khẳng định iii) và iv) được chứng minh bằng các tính toán đạo hàm tương tự. Để chứng minh v), ta sử dụng quy tắc L’Hôpital trong tính giới hạn. Ta có (log f (x))0 f 0 (x) = . f (x) (log x)0 x Do đó, nếu f (x) là hàm tăng chậm thì giới hạn của hàm thương này bằng 0. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được điều cần chứng minh. Định lý 2.2.2. Cho f (x) là một hàm số xác định trên khoảng [a; +∞) sao cho f (x) > 0, lim f (x) = ∞ và với đạo hàm liên tục f 0 (x) > 0. x→∞ 16 Hàm số f (x) tăng chậm khi và chỉ khi, với mọi giá trị α > 0, đạo hàm f (x) của hàm số nhận giá trị âm từ một giá trị xα đủ lớn. xα Chứng minh. Chúng ta có     d f (x) f (x) xf 0 (x) −α . (2.3) = α+1 dx xα x f (x) Do đó, nếu ta có (2.1) thì, với mọi giá trị α > 0, ta có   d f (x) < 0, dx xα (2.4) khi x > xα , với xα đủ lớn. Mặt khác, nếu ta có (2.4) khi x > xα , với xα nào đó, thì (2.3) cho ta xf 0 (x) < α. 0< f (x) Vì α là tùy ý nên ta suy ra xf 0 (x) lim = 0. x→∞ f (x) Tức là, hàm f (x) là hàm tăng chậm. Định lý sau đây cho ta thấy tính “tăng chậm” của các hàm tăng chậm. Định lý 2.2.3. Nếu f (x) là hàm tăng chậm thì f (x) = 0, x→∞ xβ lim (2.5) với mọi β > 0. Chứng minh. Với β > 0 cho trước, lấy α > 0 thỏa mãn α < β. Khi f (x) đó, theo Định lý 2.2.2, α có đạo hàm âm khi x > xα , với một giá x trị xα nào đó, và do đó nó là hàm giảm khi x → ∞. Vì vậy, ta có f (x) f (x) 0 < α < M , với một giá trị M nào đó. Nói cách khác, hàm α bị x x chặn. Suy ra f (x) f (x) 1 lim = lim · = 0. x→∞ xβ x→∞ xα xβ−α 17 Từ định lý trên, ta có hệ quả sau đây. Hệ quả 2.2.4. Nếu f (x) là hàm tăng chậm thì ta có các giới hạn sau lim f (x) = 0, x→∞ x (2.6) lim f 0 (x) = 0. (2.7) x→∞ Chứng minh. Giới hạn (2.6) là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.3 khi β = 1. Giới hạn (2.7) là hệ quả trực tiếp của giới hạn (2.6) và giới hạn (2.1). Định lý 2.2.5. Nếu f (x) là hàm tăng chậm thì ∞ X iα f (i)β = ∞, (2.8) i=1 với mọi α > −1 và với mọi β. Chứng minh. Chúng ta có ∞ X β α i f (i) = i=1 ∞  X i α+1 β f (i) 1 i=1 i . (2.9) Chúng ta biết rằng ∞ X 1 i=1 i = ∞. (2.10) Mặt khác, với lưu ý rằng α + 1 > 0, chúng ta có lim iα+1 f (i)β = ∞. i→∞ (2.11) Thật vậy, giới hạn (2.11) rõ ràng đúng nếu β ≥ 0. Nếu β < 0 thì giới hạn (2.11) chính là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.1 (vì f (x)−β là hàm tăng chậm) và Định lý 2.2.3. Cuối cùng, các đẳng thức (2.9), (2.10) và (2.11) cho ta đẳng thức (2.8). 18 Ta có một hệ quả trực tiếp dưới đây, chính là một trường hợp riêng của Định lý 2.2.5 khi α = 0. Hệ quả 2.2.6. Nếu f (x) là hàm tăng chậm thì, với mọi số thực β, ta có ∞ X f (i)β = ∞. i=1 Định lý 2.2.7. Nếu f (x) là hàm tăng chậm thì giới hạn Z x tα f (t)β dt lim α =1 x→∞ xα+1 β f (x) α+1 (2.12) đúng với mọi α > −1 và với mọi β. Chứng minh. Sử dụng (2.11), chúng ta có xα+1 lim f (x)β = ∞. x→∞ α + 1 Mặt khác, hàm tα f (t)β là hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm). Thật vậy, điều này hiển nhiên đúng trong các trường hợp α, β cùng âm hoặc cùng dương do f (x) là hàm tăng chậm. Trong các trường hợp còn lại, điều này cũng dễ dàng được kiểm tra bằng cách sử dụng Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2. Từ đẳng thức (2.8) suy ra Z x lim tα f (t)β dt = ∞. x→∞ α Bây giờ ta thấy rằng giới hạn (2.12) là hệ quả trực tiếp của quy tắc L’Hospital và giới hạn (2.1). Một số trường hợp cụ thể của Định lý 2.2.7 cho ta những tính chất thú vị dưới đây về các vô cùng lớn khi x → ∞: 19 - Trong trường hợp α = 0, ta có Z x f (t)β dt ∼ xf (x)β . (2.13) a - Trong trường hợp α = 0 và β = 1, ta có Z x f (t) dt ∼ xf (x). (2.14) a - Trong trường hợp α = 0 và β = −1, ta có Z x x 1 dt ∼ . f (x) a f (t) (2.15) Định lý 2.2.8. Nếu f (x) là hàm tăng chậm và C là hằng số thì ta có giới hạn sau f (x + C) = 1. x→∞ f (x) lim (2.16) Chứng minh. Nếu C > 0 , áp dụng Định lý Lagrange mà chúng ta có f (x + C) − f (x) Cf 0 (ζ) 06 = , f (x) f (x) (x < ζ < x + C) . (2.17) Bất đẳng thức (2.17) và giới hạn (2.7) kéo theo giới hạn (2.16). Trường hợp C < 0 được chứng minh tương tự. Định lý 2.2.9. Nếu f (x) là hàm tăng chậm, f 0 (x) giảm và C > 0 thì ta có giới hạn sau f (Cx) = 1. x→∞ f (x) lim (2.18) Chứng minh. Giả sử rằng C > 1. Áp dụng Định lý Lagrange, chúng ta có f (Cx) − f (x) (Cx − x) f 0 (ζ) xf 0 (x) 06 = 6 (C − 1) , f (x) f (x) f (x) x < ζ < Cx. (2.19)