Tài liệu Về định lí ritt đối với không điểm của hàm đa thức mũ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THƯ VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THƯ VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ Ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH Trần Văn Tấn Thái Nguyên, năm 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Về định lý Ritt đối với không điểm của đa thức mũ" không có sự sao chép của người khác. Khi viết luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH Trần Văn Tấn. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn này. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Tác giả luận văn Trần Thị Thư Xác nhận Xác nhận của chủ nhiệm khoa Toán của người hướng dẫn PGS. TSKH Trần Văn Tấn i Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới PGS. TSKH Trần Văn Tấn. Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tôi hoàn thành bài luận văn này. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học và bảo vệ luận văn. Bản thân tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Học viên Trần Thị Thư ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1 2 ĐỊNH LÝ RITT CỔ ĐIỂN 1.1 Định lý về thương hai đa thức mũ . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đa thức mũ với số mũ thực 7 Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM 11 2.1 Giới thiệu kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Một số ký hiệu và kết quả trong lý thuyết Nevanlinna . . . . 13 2.3 Một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp mục tiêu di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Bổ đề Borel và định lý Green với các mục tiêu di động . . . . 23 2.5 Chứng minh Định lý 2.2 và Hệ quả 2.1 . . . . . . . . . . . . 26 Tài liệu tham khảo 37 iii LỜI MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài: Năm 1929, Ritt đạt được kết quả thú vị về các không điểm của hàm đa thức mũ: Cho P (z) và Q(z) là hai đa thức (khác không) P (ez ) là một hàm nguyên. Khi đó tồn tại đa thức với hệ số phức sao cho Q(ez ) R(z) với hệ số phức sao cho P (ez ) = Q(ez )R(ez ). Định lí trên đã là nguồn cảm hứng cho nhiều nhà toán học sau này thiết lập các kết quả tương tự, với các cách tiếp cận khác nhau. Với mục đích tìm hiểu về chủ đề này, chúng tôi chọn đề tài “Về định lí Ritt đối với không điểm của hàm đa thức mũ”. Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu và trình bày lại một cách chi tiết, hệ thống kết quả cổ điển về các không điểm của hàm đa thức mũ đạt được bởi Ritt [2] năm 1929 và một mở rộng đạt được gần đây theo một cách tiếp cận khác bởi Ji Guo [1]. Đối tượng nghiên cứu: Hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Phương pháp nghiên cứu: Các phương pháp truyền thống của Giải tích phức, Ứng dụng của Lí thuyết Nevanlinna đối với ánh xạ chỉnh hình. 1 Chương 1 ĐỊNH LÝ RITT CỔ ĐIỂN Cho một hàm đa thức mũ a0 eα0 z + ... + am eαm z (1.1) với các hệ số hằng a0 , ..., am và các α0 , ..., αm đôi một phân biệt. Sự phân bố các không điểm của các hàm như vậy, và các hàm tổng quát hơn với các hệ số là các đa thức biến z đã được nghiên cứu bởi Tamarkin, Pólya và Schwenglert. Trong chương này chúng tôi trình bày lại hai kết quả sau của Ritt [3]. - Nếu mỗi không điểm của một đa thức mũ cũng là không điểm của một đa thức mũ thứ hai, thì thương của chúng là một đa thức mũ. - Xét hàm 1 + a1 eα1 z + ... + am eαm z , với các số thực α1 , ..., αm thỏa mãn 0 < α1 < ... < αm . Với một dải nằm ngang bất kỳ trong mặt phẳng phức, ta tính tổng của các phần thực của các không điểm của đa thức mũ trong dải, với phần ảo bị chặn. Kết quả này có thể coi là tương ứng với định lý nói rằng tích của các không điểm của 1 + a1 eα1 z + ... + am eαm z là (−1)m /am . 2 1.1 Định lý về thương hai đa thức mũ Định lý 1.1. Cho A(z) = a0 eα0 z + ... + am eαm z , Giả sử rằng B(z) 6≡ 0, và B(z) = b0 eβ0 z + ... + bn eβn z (1.2) A(z) là một hàm nguyên. Khi đó, tồn tại một B(z) hàm C(z) = c0 eγ0 z + ... + cm eγp z sao cho A(z) = B(z)C(z). Trước hết ta mô tả vắn tắt lại một kết quả của Tamarkin, Pólya và Schwenglert. Biểu diễn các αi trong mặt phẳng phức, và gọi A là đa giác lồi nhỏ nhất chứa chúng. Nó giúp chúng ta thu được tính duy nhất trong phân tích ở Bổ đề 1.1. Giả sử các cạnh của A được xác định bởi σ1 , ..., σl . Xét di , (i = 1, ..., l) là tia đối xứng qua trục thực với một tia vuông góc với σi ra phía ngoài A. Các tác giả trên đã chứng minh rằng tồn tại l nửa dải song song có hướng di (i = 1, ..., l) mà chúng chứa tất cả các không điểm của A. Nếu si là độ dài của σi , số các không điểm có mô-đun nhỏ hơn r và nằm trong nửa dải song song với di là tương đương với rsi /(2π) (khi r tiến ra ∞). Bây giờ ta xét đa giác lồi B tương ứng với B(z). Vì mỗi không điểm của B cũng là một không điểm của A nên rõ ràng, từ công thức tiệm cận cho số không điểm trong một nửa dải, mỗi cạnh τ của B song song với một cạnh nào đó của A và độ dài cạnh của B không bé hơn độ dài cạnh tương ứng 3 của A, và hai hướng vuông góc với hai cạnh nói trên ra phía ngoài đa giác tương ứng là trùng nhau. Giả sử rằng α0 , ..., αm trong (1.1) được sắp xếp để phần thực tăng dần, trong trường hợp phần thực bằng nhau thì ta xét tiếp tới sự tăng dần của phần ảo. Khi các α0 , ..., αm là các số thực không âm và am 6= 0, chúng ta sẽ gọi αm là bậc của hàm (1.1). Bổ đề 1.1. Giả sử A(z), và B(z) 6≡ 0 là hai đa thức mũ với các số mũ thực không âm. Khi đó, ta có thể biểu diễn A = QB + R, (1.3) ở đó Q và R là hai đa thức mũ với các số mũ thực không âm, và R hoặc đồng nhất 0 hoặc là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của B . Chứng minh. Nếu trong (1.2) ta có αm < βn , thì ta có ngay (1.3) với Q = 0, R = A. Do đó, bây giờ ta xét trường hợp αm ≥ βn . Gọi αm , ..., αm−i là tập tất cả các số αi không bé hơn βn . Xét đa thức mũ (am eαm z + ... + am−i eαm−i z) B, C =A− bn eβn z (1.4) ở đó, các số mũ đều không âm. Nếu B chỉ gồm một hạng tử. Khi đó C hoặc bằng 0, hoặc có bậc nhỏ hơn B , và ta có biểu diễn A = QB + R với R = C và Q là phân thức trong vế phải của (1.4), tức là: (am eαm z + ... + am−i eαm−i z) . Q= bn eβn z Bây giờ, giả sử B có ít nhất hai hạng tử. Nếu C khác 0, khi đó, bậc của C nhỏ hơn βn hoặc bằng αm − (βn − βn−1 ). Nếu C bằng 0, hoặc có bậc nhỏ hơn βn , từ (1.4) ta đạt được ngay biểu diễn A = QB + R. Với trường hợp 4 còn lại, ta nhân chéo và chuyển vế trong biểu thức (1.4) và nhận được (1.3). Tiếp tục quá trình trên, do βn − βn−1 là một đại lượng cố định, sau hữu hạn bước ta sẽ nhận được (1.3). Từ công thức xấp xỉ số không điểm trên mỗi nửa dải song song (ứng với cạnh của đa giác bao tuyến tính của tập các số mũ), ta có biểu diễn trong (1.3) là duy nhất. Chứng minh Định lý 1.1. Giả sử rằng A 6≡ 0. Nhóm các số hạng của A có các số mũ có phần thực giống nhau, ta viết A = P1 eu1 z + ... + Pj euj z , (1.5) ở đó u1 , ..., uj là các số thực, tăng dần theo các chỉ số và P1 , ..., Pj có dạng g1 ev1 iz + ... + gp evp iz , (1.6) với các số thực v1 , ..., vj tăng dần theo các chỉ số. Vì không làm thay đổi các không điểm của A và không ảnh hưởng đến tính chia hết mà ta đang nghiên cứu, sau khi nhân A với một hàm mũ, ta giả sử là u1 và số v nhỏ nhất trong Pj đều bằng 0. Tương tự, giả sử B = Q1 ew1 z + ... + Qh ewh z , (1.7) với các điều kiện tương tự như đối với A. Đại lượng uj là hiệu giữa hoành độ của điểm ngoài cùng bên phải và điểm ngoài cùng bên trái của A. Vì mỗi cạnh của B tương ứng với một cạnh của A ít nhất về chiều dài và có cùng hướng nên rõ ràng uj ≥ wh . Nếu B chỉ có một hạng tử, ta có ngay kết quả định lí. Bây giờ ta giả sử B chứa ít nhất hai hạng tử, tức là, trong (1.7), ta có h ≥ 2, Q1 , Qh 6≡ 0. Đặt uj , ..., uj−r , trong đó mỗi u đều vượt quá uj − (wh − wh−1 ). Ta sẽ chứng minh rằng thương của Pj , ..., Pj−r với Qh là đa thức mũ có dạng (1.6). 5 Nếu Qh là một hằng số, điều đó là hiển nhiên. Giả sử Qh không là hằng số. Khi đó B có một cạnh dọc bên phải có chiều dài bằng giá trị v lớn nhất trong Qh . Khi đó, A phải có một cạnh bên phải có cùng chiều dài như vậy. Tức là, giá trị v lớn nhất trong Pj không nhỏ hơn nó trong Qh . Theo Bổ đề 1.1, ta có Pj = SQh + R, ở đó S và R có dạng (1.6) có các số mũ v không âm và nếu R 6≡ 0 thì giá trị v lớn nhất trong R nhỏ hơn giá trị v lớn nhất trong Qh . Ta nói rằng R là đa thức không. Giả sử ngược lại, khi đó A − SBe(uj −wh )s = ... + Reuj z . (1.8) Các số hạng đứng trước Reuj z trong (1.8) là các tích của các đa thức (1.6) với edz với mỗi d ≥ 0 và nhỏ hơn uj . Bây giờ giả sử vế trái của (1.8) có mọi không điểm của B . Nhưng có một cạnh dọc bên phải của đa giác cho vế trái của (1.8) ngắn hơn cạnh tương ứng của B. Điều đó chỉ ra rằng R ≡ 0. Nếu uj − 1 > uj − (wh − wh−1 ), ta có A − SBe(uj −wh )s = ... + Pj−1 euj−1 z , điều đó kéo theo Pj−1 là tích của Qh với đa thức dạng (1.6). Tương tự, Pj−2 , ..., Pj−r cũng vậy. Bây giờ ta xét D = S1 et1 z + ... + Sk etk z , ở đó, S1 , ..., Sk có dạng (1.6), t1 , ..., tk không âm, tăng dần và tk ≤ uj − (wh − wh−1 ). Nếu D khác 0, vì D có tất cả các không điểm của B , ta có thể lặp lại các lập luận như trên. Vì wh − wh−1 là một đại lượng dương cố 6 định, quá trình lập luận trên chỉ gồm hữu hạn bước, do đó, đến một bước nào đó chúng ta sẽ tìm được hàm giống như D ở trên bằng 0. Khi điều đó xảy ra, ta có A được biểu diễn như một tích của B với một đa thức mũ. Khi h = 1, trong (1.7) ta có B = Qh . Như vậy, mỗi P là một tích của B với một hàm dạng (1.7). Định lý được chứng minh. 1.2 Đa thức mũ với số mũ thực Xét hàm có dạng f (z) = 1 + a1 eα1 z + ... + am eαm z , trong đó, a1 , ..., am là các hằng số và am 6= 0, và α1 , ..., αm là các số thực sao cho 0 < α1 < ... < αm . Mục đích của phần này là tính tổng phần thực của các không điểm của f (z) trên một miền được giới hạn bởi hai đường thẳng song song với trục hoành. Vì f (z) dần đến phần tử đơn vị khi x (z = x + yi) dần đến −∞, và dần đến ∞ khi x dần đến +∞ nên tập các không điểm của f (z) thuộc một dải song song tạo bởi hai đường thẳng đứng. Đặt R(u, v) là tổng của tất cả các phần thực của các không điểm của f (z) với u < y < v , ở đó u và v là số thực bất kỳ với v > u. Ta sẽ chứng minh R(u, v) = − (v − u) log |am | + O(1). 2π (1.9) Lấy A sao cho |f (z) − 1| < 1 7 (1.10) với x ≤ A và lấy B > A sao cho    f (z)   <1 − 1  a eαm z  m (1.11) với mỗi x ≥ B . Với mỗi không điểm của f (z), ta có A < x < B . Đặt S là tổng của các không điểm của f (z) với u < y < v . Ta có thể giả sử rằng không có không điểm nào của f (z) thuộc các đường thẳng y = u hay y = v ; điều này không ảnh hưởng đến kết quả của chúng ta (vì trong tính toán của ta, có đại lượng O(1)). Ta có Z f 0 (z) dz, 2πiS = z f (z) (1.12) tích phân trên được tính theo chiều dương xung quanh hình chữ nhật có các cạnh x = A, x = B, y = u, y = v . Ta có, Z f 0 (z) z dz = z log f (z) − f (z) Z log f (z)dz. (1.13) Để xác định phần thực R(u, v) của S , ta phải xác định phần ảo của vế phải của (1.13). Để ý rằng phần ảo của log f (z) tại điểm z = (A, v) thuộc [−π, π]. Trước hết ta xác định sự biến thiên của z log f (z) khi z thay đổi trên chu vi của hình chữ nhật, bắt đầu và quay lại điểm z(A, v). Hiển nhiên z log f (z) tăng theo (A + vi)Ci, ở đó C là sự biến thiên trong biên độ của f (z). Do (1.10), sự biến thiên của ampf (z) (argument của f (z)) dọc theo cạnh x = A nhỏ hơn π . Để có được sự biến thiên dọc theo y = u và y = v , ta xét ampf (z) = arctan Y , X trong đó X và Y lần lượt là phần thực và phần ảo của f (z). Vì z biến thiên theo một đoạn của đường thẳng y = u, chẳng hạn, ampf (z) không thể chịu 8 sự biến thiên lớn như π trừ khi X bằng 0 tại một vài điểm trên đoạn đó. Do đó sự biến thiên của ampf (z) dọc theo cạnh nằm ngang của hình chữ nhật không thể vượt quá π(p + 1) (p là số không điểm của X trên một cạnh). Trên đường thẳng y = u, chẳng hạn X = 1 + b1 eα1 x + ... + bm eαm x , trong đó b1 , ..., bm là các số thực phụ thuộc vào u. Ta đã biết hàm số như X không thể có nhiều hơn n không điểm thực. Do đó toàn bộ sự biến thiên của ampf (z) dọc theo y = u, y = v, x = A đều nhỏ hơn (2n + 3)π . Do (1.11), sự biến thiên của ampf (z) dọc theo x = B khác với sự biến thiên của biên độ của am eαm z là nhỏ hơn π . Sự biến thiên biên độ của am eαm z dọc theo x = B là αm (v − u). Do đó sự biến thiên của ampf (z) khi z chạy quanh hình chữ nhật khác αm (v − u) là nhỏ hơn (2n + 4)π . Sự thay đổi của z log z vì thế nên có dạng (A + vi)[αm (v − u) + O(1)]i, Vì O(1) là số thực nên hệ số của i trong sự biến thiên này là A[αm (v − u) + O(1)]. (1.14) Chúng ta sẽ ước lượng phần ảo của tích phân của log f (z). Ta đặt A thêm một điều kiện là log f (z) với x ≤ A, tồn tại một khai triển theo chuỗi Dirichlet hội tụ tuyệt đối log f (z) = c1 eρ1 z + c2 eρ2 z + ..., ở đó, ρ1 , ρ2 , ... dương và tăng vô hạn. Ta thấy ngay u+Ai Z log f (z)dz = O(1). v+Ai 9 (1.15) Bây giờ chúng ta lấy cạnh y = u. Biên độ của f (z) tại (A, u) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn biên độ tại điểm (A, v) là π và không vượt quá 2π . Vì sự biến thiên biên độ dọc theo y = u nhỏ hơn (n + 1)π , giá trị tuyệt đối của biên độ f (z) nhỏ hơn (n + 3)π trên y = u. Do đó, phần ảo của tích phân dọc theo y = u nhỏ hơn giá trị tuyệt đối (n + 3)π(B − A). (1.16) Chúng ta cần tích phân dọc theo x = B của phần thực của log f (z). Ta hạn chế B , với x ≥ B , log f (z) tăng và hội tụ tuyệt đối log f (z) = am z + log am + d1 eσ1 z + d2 eσ2 z + ..., ở đó, σ1 , σ2 , ... âm và giảm vô hạn. Do đó, hệ số của i trong tích phân dọc theo x = B là αm B(v − u) + (v − u) log |am | + O(1). (1.17) Cuối cùng, chúng ta cần tích phân theo y = v của phần ảo của log f (z). Dọc theo y = v , ta có | ampf (z) − αm (v − u) | < (2n + 4)π. Do đó,  v+Ai  Z      < (2n + 4)π(B − A). amp f (z)dz − α (v − u)(A − B) m     (1.18) v+Bi Do A và B cố định, A = O(1), B − A = O(1), từ (1.14), (1.15), (1.16), (1.17) và (1.18) ta nhận được khai triển (1.9) cho R(u, v). 10 Chương 2 MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM 2.1 Giới thiệu kết quả chính Dãy số {G(n)}n∈N ⊂ C được gọi là có công thức truy hồi tuyến tính nếu G(n+k) = c0 G(n)+...+ck−1 G(n+k −1) với mọi n ∈ N và c0 , ..., ck−1 ∈ C. Dãy {G(n)}n∈N có công thức truy hồi tuyến tính khi và chỉ khi có công thức tường minh dạng G(n) = m X gi (n)αin , với mọi n ∈ N, i=1 trong đó gi ∈ C[X] là các đa thức khác đa thức không và αi ∈ C∗ là các số phân biệt. Dãy truy hồi được gọi là "đơn" nếu mọi gi là các hằng số. Tương tự với các kết quả số học cho thương của hai dãy truy hồi tuyến tính đã được của Corvaja and Zannier, năm 2017 Guo và Wang đã thiết lập một kết quả về thương của hai dãy truy hồi tuyến tính các hàm phức như sau: Định lý 2.1. Cho l, m ≥ 1 là hai số nguyên dương; f1 , ..., fl và g1 , ..., gm là các hàm nguyên khác hằng số sao cho maxi=1,...,l Tfi (r)  maxj=1,...,m Tgj (r) Đặt F (n) = a0 + a1 f1n + ... + al fln 11 n và G(n) = b0 + b1 g1n + ... + bm gm , trong đó a0 ∈ C và a1 , ..., al , b0 , ..., bm ∈ C∗ . Giả sử có ít nhất một trong hai điều sau được thỏa mãn: (i) F (n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z∗ ; (ii) f1 , ..., fl và g1 , ..., gm đều là các hàm nguyên không có không điểm, và F (1)/G(1) là hàm nguyên. jm Khi đó f1i1 ...flil g1j1 ...gm ∈ Kg với (i1 , ..., il , j1 , ..., jm ) 6= (0, ..., 0) ∈ Zl+m nào đó. Ở đây, Tf (r) là hàm đặc trưng Nevanlinna. Ký hiệu Tf (r)  Tg (r) có nghĩa là tồn tại các số dương a, b sao cho aTf (r) < Tg (r) < bTf (r) với r đủ lớn. Mục đích chính của chương này là trình bày lại kết quả của Guo [3] về sự tổng quát hóa Định lý 2.1 tới trường hợp các hệ số là hàm với độ tăng nhỏ. Kết quả thu được không chỉ tổng quát bài toán thương của các dãy truy hồi, mà còn mang đến một ứng dụng trong việc nghiên cứu các đa thức mũ khởi xướng bởi Ritt mà ta đã đề cập trong chương trước. Với mỗi hàm nguyên g1 , ..., gm , đặt g = (g1 , ..., gm ) là một ánh xạ chỉnh hỉnh từ C vào Pm−1 . Ta nói hàm phân hình a là tăng chậm tương ứng với g nếu Ta (r) = o(Tg (r)). Đặt Kg := {a| a là một hàm phân hình và Ta (r) = o(Tg (r) }. Theo các tính chất cổ điển của các hàm đặc trưng, Kg là một trường. Đặt Rg ⊂ Kg là vành con chứa tất cả các hàm nguyên trong Kg . Định lý 2.2. Cho l, m là hai số nguyên dương; f1 , ..., fl và g1 , ..., gm là các hàm nguyên khác hằng sao cho max Tfi (r)  max Tgj (r), cho a0 ∈ Rg và 1≤i≤l 12 1≤j≤m a1 , ..., al , b0 , ..., bm ∈ Rg \ {0}. Đặt F (n) = a0 + a1 f1n + ... + al fln n và G(n) = b0 + b1 g1n + ... + bm gm , Giả sử có ít nhất một trong hai điều sau được thỏa mãn: (i) F (n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z∗ ; (ii) fz , ..., fl và g1 , ..., gm đều là các hàm nguyên không có không điểm, và F (1)/G(1) là hàm nguyên. jm Khi đó tồn tại (i1 , ..., il , j1 , ..., jm ) 6= (0, ..., 0) ∈ Zl+m để f1i1 ...flil g1j1 ...gm ∈ Kg , Áp dụng định lý trên cho các đa thức mũ, ta thu được hệ quả sau đây: Hệ quả 2.1. Cho F và G là hai đa thức mũ được viết dưới dạng F (n) = a0 + a1 eλ1 z + ... + al eλl z , G(n) = b0 + b1 eτ1 z + ... + bm eτm z , trong đó ai , bj là các đa thức khác 0 trong C[z] và λi , τj ∈ C. Nếu F (z)/G(z) là một hàm nguyên, thì λ1 , ..., λl , τ1 , ..., τm phụ thuộc tuyến tính trong Q. 2.2 Một số ký hiệu và kết quả trong lý thuyết Nevanlinna Để có thể chứng minh định lý chính, ta điểm lại một vài ký hiệu, định nghĩa, và một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna. Cho f là một hàm phân hình và z ∈ C là một số phức. Ký hiệu vz (f ) := ordz (f ), vz− := − min{0; vz (f )}. vz+ := max{0; vz (f )}, 13 Ký hiệu nf (∞, r) là số cực điểm của f trong {z : |z| ≤ r} đếm cả bội. Hàm đến của f tại ∞ được định nghĩa bởi Z r nf (∞, t) − nf (∞, 0) Nf (∞, r) := dt + nf (∞, 0) log r t 0 r X   − = vz (f ) log   + v0− (f ) log r. z 0<|z|≤r Khi đó, hàm đếm Nf (a; r) với a ∈ C được định nghĩa là Nf (a, r) := N1/(f −a) (∞, r). Hàm xấp xỉ mf (∞, r) được định nghĩa bởi Z 2π mf (∞, r) := log+ |f (reiθ )| 0 dθ , 2π trong đó log+ x = max{0, log x} với mỗi x ≥ 0. Với a ∈ C bất kỳ, hàm xấp xỉ mf (a, r) được định nghĩa bởi mf (a, r) := m1/(f −a) (∞, r). Hàm đặc trưng được định nghĩa bởi Tf (r) := mf (∞, r) + Nf (∞, r). Hàm đặc trưng thỏa mãn bất đẳng thức Tf g (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O(1) và Tf +g (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O(1) với f, g là các hàm nguyên bất kỳ. Đồng thời cũng thỏa mãn Định lý cơ bản thứ nhất sau đây: Định lý 2.3. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó với mỗi a ∈ C và với mỗi số thực dương r ta có mf (a, r) + Nf (a, r) = Tf (a, r) + O(1), trong đó, O(1) không phụ thuộc vào r. 14 Định lý trên có thể được suy ra từ công thức Jensen. Định lý 2.4. Cho f là một hàm phân hình khác 0 trên {z : |z| ≤ r. Khi đó Z 2π dθ = Nf (r, 0) − Nf (r, ∞) + log |cf |, log |f (reiθ )| 2π 0 trong đó cf là hệ số cao nhất của f trong khai triển chuỗi Laurent theo z , tức là f = cf z m + ... với cf 6= 0. Với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : C → Pn (C) với một biểu diễn rút gọn f = (f0 , ..., fn ), tức là f0 , ..., fn là các hàm nguyên trên C không có không điểm chung. Hàm đặc trưng Nevanlinna - Cartan Tf (r) được định nghĩa bởi Z 2π dθ log ||f(reiθ )|| + O(1), Tf (r) := 2π 0 trong đó ||f(z)|| = max{|f0 (z)|, ..., |fn (z)|. Định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn dạng rút gọn của hàm f, cộng với một hằng số. Một cách tổng quát, nếu f = (f0 , ..., fn ) không là một dạng rút gọn, ta định nghĩa độ cao của f là Z Tf (r) := 0 2π r X dθ   log ||f(re )|| − max ordz fi log   + O(1). i 2π z iθ |z|≤r Từ định nghĩa hàm đặc trưng, chúng ta có mệnh đề sau đây. Mệnh đề 2.1. Cho f = (f0 , ..., fn ) : C → Pn (C), là một đường cong chỉnh hình, ở đó f0 , ..., fn là các hàm nguyên không có không điểm chung. Khi đó, Tfj /fi (r) + O(1) ≤ Tf (r) ≤ n X Tfj /f0 (r) + O(1) (2.1) j=0 Cho H là một siêu phẳng trong Pn (C) (n > 0) và đặt a0 X0 + ... + an Xn là một dạng tuyến tính xác định nó. Đặt P = [xo : ... : xn ] ∈ Pn (C) \ H là một điểm. Hàm Weil λH : Pn (C) \ H → R được định nghĩa bởi λH (P ) = − log |a0 x0 + ... + an xn | . max{|x0 |, ..., |xn |} 15 (2.2)