Tài liệu Về số đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o TR†N THÀ HÌN V— SÈ A THÙC B‡T KHƒ QUY TR–N TR×ÍNG HÚU H„N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o TR†N THÀ HÌN V— SÈ A THÙC B‡T KHƒ QUY TR–N TR×ÍNG HÚU H„N Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p M¢ sè: 8 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC TS. NGÆ THÀ NGOAN Th¡i Nguy¶n - 2020 i Möc löc Mð ¦u Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 1.2 Tr÷íng húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 H m Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ch÷ìng 2 Sü t÷ìng tü giúa Fq [T ] v  Z 10 2.1 Mët sè t½nh ch§t chung cõa Fq [T ] v  Z . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 C¡c t½nh ch§t t÷ìng çng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ch÷ìng 3 ¸m sè a thùc b§t kh£ quy 14 3.1 Sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq . . . . . . . . . . 14 3.2 Sè c¡c a thùc b§t kh£ quy vîi bªc ≤ n . . . . . . . . . . . . 18 3.3 T½nh li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 i·u ch¿nh h m ¸m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 T i li»u tham kh£o 35 ii Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Ngæ Thà Ngoan. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc cõa m¼nh, ng÷íi ¢ °t v§n · nghi¶n cùu, d nh thíi gian h÷îng d¨n v  tªn t¼nh gi£i ¡p nhúng th­c m­c cõa t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. T¡c gi£ công ¢ håc tªp ÷ñc r§t nhi·u ki¸n thùc chuy¶n ng nh bê ½ch cho cæng t¡c v  nghi¶n cùu cõa b£n th¥n. T¡c gi£ xin b y tä láng c£m ìn s¥u s­c tîi c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K12A7; Nh  tr÷íng v  c¡c pháng chùc n«ng cõa Tr÷íng; Khoa To¡n  Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ quan t¥m v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng. T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi Trung t¥m Nghi¶n cùu v  Ph¡t triºn gi¡o döc H£i Pháng ¢ gióp ï, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp Cao håc To¡n K12A7 ¢ luæn ëng vi¶n v  gióp ï t¡c gi£ r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n. Cuèi còng, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ gióp ï v  t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi khi håc tªp v  nghi¶n cùu. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2020 T¡c gi£ Tr¦n Thà Hìn 1 Mð ¦u Mët trong nhúng v§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong lþ thuy¸t sè â l  sü ph¥n bè c¡c sè nguy¶n tè. Ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng c¡c sè nguy¶n tè nhä n¬m t÷ìng èi g¦n nhau, trong khi c¡c sè nguy¶n tè c ng lîn th¼ c ng câ xu h÷îng c¡ch xa nhau hìn. Ta °t c¥u häi v· sü li¶n quan giúa mªt ë cõa c¡c sè nguy¶n tè vîi ë lîn cõa chóng. B¬ng c¡ch lªp b£ng sè nguy¶n tè v  nghi¶n cùu mªt ë, Gauss th§y r¬ng “xung quanh x mªt ë cõa c¡c 1 ” theo [9]. Ph¡t hi»n n y l  ch¼a khâa º log(x) h¼nh th nh ành lþ sè nguy¶n tè. º chùng minh ph¡t hi»n n y, Gauss ¢ nghi¶n cùu h m ¸m sè nguy¶n tè: Gåi x l  sè thüc d÷ìng, π(x) biºu thà sè c¡c sè nguy¶n tè nhä hìn ho°c P b¬ng x. Tùc l  ta câ π(x) = 1. V¼ ng÷íi ta ¢ dü o¡n v· mªt ë c¡c sè nguy¶n tè l  x§p x¿ p≤x 1 sè nguy¶n tè quanh x l  , n¶n hå công dü o¡n r¬ng π(x) x§p x¿ log(x) vîi mët têng logarit ho°c mët t½ch ph¥n logarit. Chóng t÷ìng ùng ÷ñc cho bði: Zx X 1 dt ls(x) := , li(x) := . log (n) log (t) 2≤n≤x 2 Ta nâi hai h m f v  g l  hai h m t÷ìng ÷ìng n¸u th÷ìng sè cõa chóng f (x) ti¸n tîi 1 khi x ti¸n tîi væ còng. Ta sû döng kþ hi»u f (x) ∼ g(x) khi g(x) 1 x → ∞. Vîi méi x ≥ 2, hi»u sè giúa ls(x) v  li(x) bà ch°n bði theo log(2) H» qu£ 1.5.1 trong [4]. Do â, hai h m têng logarit v  t½ch ph¥n logarit x l  t÷ìng ÷ìng. Hai h m n y công t÷ìng ÷ìng vîi (H» qu£ 1.5.3 log(x) trong [4]). ành lþ sè nguy¶n tè ÷ñc c£ Gauss (1792) v  Legendre (1798) n¶u ra 2 gi£ thuy¸t r¬ng h m ¸m sè nguy¶n tè π(x) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c h m n y. Nâ ÷ñc tr¼nh b y d÷îi d¤ng π(x) ∼ x log(x) (x → ∞). (1) Mët tr«m n«m sau v o n«m 1896 ành lþ n y ÷ñc chùng minh bði c£ Hadamard v  La Vall²e Muffsin mët c¡ch ëc lªp. C£ hai chùng minh cõa hå ·u düa tr¶n h m zeta Riemann, mët mð rëng gi£i t½ch cõa têng ∞ 1 P ζ(s) = . Riemann ¢ ch¿ ra r¬ng sü ph¥n bê c¡c sè nguy¶n tè câ s n li¶n quan trüc ti¸p ¸n tªp c¡c nghi»m cõa h m n y. Hadamard v  La Vall²e Muffsin ¢ chùng minh r¬ng h m Riemann zeta khæng câ nghi»m tr¶n ÷íng th¯ng Re(s) = 1, chóng ¢ ÷ñc sû döng º chùng minh ành lþ sè nguy¶n tè. x C¡c gi¡ trà x§p x¿ cõa ls(x) v  li(x) tèt hìn do â chóng th÷íng log(x) ÷ñc ÷u ti¶n hìn khi nghi¶n cùu c¡c ph¦n sai sè. èi vîi c¡c ph¦n sai sè, ta sû döng kþ hi»u O: Vîi hai h m f v  g b§t ký, ta câ f (x) = O(g(x)) n¸u tçn t¤i h¬ng sè C sao cho vîi x õ lîn, gi¡ trà tuy»t èi cõa f (x) bà ch°n bði Cg(x). V¼ ls(x) v  li(x) ch¿ kh¡c nhau mët sè bà ch°n, n¶n ph¦n sai sè công óng vîi ls(x). B¬ng c¡ch sû döng h m ζ khæng câ nghi»m tr¶n ÷íng th¯ng Re(s) = 1, theo ành lþ 5.1.8 trong [4] ¢ chùng minh ÷ñc tçn t¤i h¬ng sè c sao cho:   √ −c log(x) π(x) = li(x) + O xe (2) n=1 Ph¦n sai sè ð ¥y câ thº ÷ñc kh¡i qu¡t hìn bði c¡c nghi»m cõa ζ . °t Θ = supζ(s)=0 Re(s) l  cªn tr¶n óng cõa c¡c ph¦n thüc c¡c nghi»m cõa ζ . Khi â theo [5] ta câ:
π(x) = li(x) + O xΘ log(x) (3) Riemann ¢ cho r¬ng t§t c£ c¡c nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa ζ n¬m tr¶n 1 . Gi£ thi¸t n y ÷ñc gåi l  gi£ thuy¸t Riemann. 2 1 Gi£ thuy¸t Riemann suy ra Θ = , i·u n y cho ta x§p x¿ 2
√ π(x) = li(x) + O xlog(x) . ÷íng th¯ng Re(s) = 3 Trong luªn v«n n y, ta s³ t¼m hiºu v· mët sü t÷ìng tü ành lþ sè nguy¶n tè nh÷ng ÷ñc ph¡t biºu trong v nh Fq [T ] l  v nh c¡c a thùc mët bi¸n T vîi c¡c h» sè thuëc tr÷íng húu h¤n Fq . Ta s³ nghi¶n cùu c¡c h m t÷ìng ÷ìng vîi h m ¸m sè c¡c a thùc b§t kh£ quy v  câ sü so s¡nh c¡c k¸t qu£ n y vîi h m ¸m sè nguy¶n tè π(x). Mët trong nhúng lñi th¸ khi l m vi»c vîi Fq [T ] l  cæng thùc cõa Gauss, mët cæng thùc trüc ti¸p v· sè l÷ñng a thùc monic b§t kh£ quy bªc n. ¥y l  mët cæng cö r§t m¤nh º nghi¶n cùu c¡c h m t÷ìng ÷ìng h m ¸m. Luªn v«n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng. Ch÷ìng 1 bao gçm mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· tr÷íng húu h¤n v  ành lþ nghàch £o Mobius. Nhúng ki¸n thùc n y phöc vö cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n trong nhúng ch÷ìng sau. Ch÷ìng 2 n¶u l¶n nhúng t½nh ch§t cì b£n, chóng cho ta th§y sü t÷ìng tü giúa hai mi·n nguy¶n Z v  Fq [T ]. Ch÷ìng 3 tr¼nh b y v· h m ¸m sè a thùc b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng húu h¤n q ph¦n tû, çng thíi công cho ta th§y sü t÷ìng tü vîi ành lþ v· h m ¸m sè nguy¶n tè trong v nh c¡c sè nguy¶n. 4 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ph¦n n y, ta s³ tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· c¡c tr÷íng húu h¤n v  kh¡i ni»m h m Mobius. Nhúng k¸t qu£ n y s³ ÷ñc sû döng º chùng minh cæng thùc cõa Gauss v· sè a thùc b§t kh£ quy ành chu©n bªc n v  ÷ñc sû döng trong c¡c ch÷ìng sau cõa luªn v«n. 1.1 Mët sè kh¡i ni»m Ta nh­c l¤i, mët tr÷íng F l  mët v nh giao ho¡n kh¡c khæng v  måi ph¦n tû kh¡c khæng ·u kh£ nghàch. Mët tr÷íng câ húu h¤n ph¦n tû ÷ñc gåi l  mët tr÷íng húu h¤n. ành ngh¾a 1.1.1. Tr÷íng F ÷ñc gåi l  mët tr÷íng nguy¶n tè n¸u nâ khæng câ tr÷íng con n o ngo i b£n th¥n nâ. Nhªn x²t 1.1.2. (i) Cho F l  tr÷íng nguy¶n tè. Khi â ch¿ câ thº x£y ra mët trong hai tr÷íng hñp: n¸u F câ °c sè 0 th¼ F ∼ = Q; n¸u F câ °c sè p th¼ F ∼ = Zp . Tr÷íng hñp F ∼ = Zp ta th÷íng k½ hi»u Fp thay cho F. (ii) Cho E l  mët tr÷íng tòy þ, khi â n¸u gåi F l  giao cõa måi tr÷íng con cõa E th¼ F công l  mët tr÷íng con cõa E, rã r ng F l  tr÷íng con nhä nh§t cõa E , do â F l  tr÷íng nguy¶n tè. Trong tr÷íng hñp n y, ta nâi F l  tr÷íng con nguy¶n tè cõa E . Nh÷ vªy, måi tr÷íng ·u chùa mët tr÷íng con nguy¶n tè. 5 1.2 Tr÷íng húu h¤n Gi£ sû p l  sè nguy¶n tè, v nh Z/pZ l  mët tr÷íng câ óng p ph¦n tû. ¥y l  tr÷íng húu h¤n duy nh§t (sai kh¡c ¯ng c§u) câ óng p ph¦n tû. N¸u L l  mët tr÷íng vîi p ph¦n tû, gåi p0 l  °c sè cõa L. Khi â Z/p0 Z l  ¯ng c§u cõa mët tr÷íng con cõa L, n¶n p0 chia h¸t p. i·u n y ch¿ óng n¸u p0 = p do â L ∼ = Z/pZ. Ta kþ hi»u Fp := Z/pZ. Têng qu¡t hìn, n¸u q l  lôy thøa cõa mët nguy¶n tè, th¼ tçn t¤i mët tr÷íng duy nh§t vîi q ph¦n tû, kþ hi»u Fq . Bê · 1.2.1 (C§u tróc tr÷íng húu h¤n). Cho F l  tr÷íng húu h¤n câ q ph¦n tû. Khi â tçn t¤i sè nguy¶n tè p sao cho q = pn vîi sè tü nhi¶n n n o â. (ii) Vîi méi sè nguy¶n tè p v  sè tü nhi¶n n 6= 0, tçn t¤i duy nh§t mët tr÷íng húu h¤n câ pn ph¦n tû (sai kh¡c mët ¯ng c§u tr÷íng). Chùng minh. (i) (i) Gåi p l  °c sè cõa tr÷íng F , khi â p l  sè nguy¶n tè. Gåi Fp l  tr÷íng con nguy¶n tè cõa F , khi â Fp ∼ = Zp . Ta bi¸t r¬ng F l  Fp −khæng gian vectì húu h¤n chi·u. Gi£ sû dimFp (F ) = n < ∞, khi â F câ mët cì n P sð l  {e1 , . . . , en } v  v¼ th¸ méi ph¦n tû cõa F câ d¤ng x = ai ei vîi i=1 a1 , . . . , an ∈ Fp . Tø â suy ra sè ph¦n tû cõa F b¬ng sè c¡c bë ph¦n tû (a1 , . . . , an ) ∈ Fp × . . . × Fp (n l¦n). Do â q = pn . (ii) Sü tçn t¤i cõa tr÷íng câ q = pn ph¦n tû. X²t a thùc f (x) = xq − x ∈ Fp [x] vîi Fp ∼ = Zp l  tr÷íng nguy¶n tè câ °c sè nguy¶n tè p. Gåi E l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa f (x) tr¶n Fp . °t K = {α ∈ E | f (α) = 0} â ch½nh l  tªp hñp c¡c nghi»m cõa f (x). Khi â K l  mët tr÷íng con cõa E . Thªt vªy, vîi måi α, β ∈ K ta câ (α − β)q = αq − β q = α − β, (αβ)q = αq β q = αβ Do â α − β, αβ ∈ K . N¸u α ∈ K ∗ th¼ (α−1 )q = (aq )−1 = α−1 suy ra α−1 ∈ K. Ngo i ra, rã r ng 1q = 1 n¶n 1 ∈ K. Cuèi còng, ta th§y r¬ng n måi a ∈ Fp ·u thäa m¢n ap = a do â aq = ap = a chùng tä Fp ⊆ K. 6 Nh÷ vªy K ch½nh l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa f (x) tr¶n Fp , tr÷íng n y câ q = pn ph¦n tû (l÷u þ r¬ng a thùc f (x) khæng câ nghi»m bëi). T½nh duy nh§t cõa tr÷íng câ q = pn ph¦n tû. Gi£ sû Fq l  tr÷íng câ q = pn ph¦n tû. Khi â Fq câ °c sè l  p (gi£ sû p1 l  °c sè cõa Fq th¼ 0 0 theo (i) suy ra q = pn1 ; do â pn = pn1 v¼ th¸ p = p1 ). V¼ F∗q = Fq \ {0} l  nhâm vîi ph²p nh¥n n¶n αq−1 = 1 vîi måi α ∈ F∗q ; do â αq = α vîi måi α ∈ Fq . Chùng tä måi ph¦n tû cõa Fq ·u l  nghi»m cõa a thùc f (x) = xq − x ∈ Fp [x] vîi Fp l  tr÷íng nguy¶n tè cõa Fq . Suy ra tr÷íng Fq ch½nh l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa f (x) tr¶n Fp . i·u â kh¯ng ành t½nh duy nh§t cõa Fq sai kh¡c mët ¯ng c§u tr÷íng. Ta nh­c l¤i, mët mð rëng tr÷íng E/F (F ⊂ E ) l  mët mð rëng Galois n¸u nâ l  mð rëng chu©n t­c v  t¡ch ÷ñc (Ch÷ìng 2 t i li»u [1]). Ta câ k¸t qu£ sau: Bê · 1.2.2. Cho E/F l  mët mð rëng húu h¤n khi â c¡c kh¯ng ành sau t÷ìng ÷ìng: (i) E/F l  mð rëng Galois; (ii) N¸u p(x) ∈ F (x) l  a thùc b§t kh£ quy tr¶n F câ mët nghi»m trong E th¼ nâ t¡ch ÷ñc v  câ måi nghi»m trong E (tùc l  p(x) t¡ch ÷ñc v  ph¥n r¢ tr¶n E ); (iii) E l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa mët a thùc t¡ch ÷ñc f (x) ∈ F [x]. ành lþ 1.2.3. Cho q l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè v  a, b l  sè nguy¶n d÷ìng. N¸u a l  ÷îc cõa b, th¼ Fq l  tr÷íng con cõa Fq . Hìn núa, mð rëng tr÷íng Fq /Fq l  mð rëng Galois. Måi a thùc b§t kh£ quy tr¶n Fq ·u t¡ch ÷ñc v  n¸u nâ câ nghi»m trong Fq th¼ måi nghi»m cõa nâ ·u thuëc Fq . Chùng minh. Gi£ sû a, b l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho a l  ÷îc cõa b. p a b b a a b b döng lªp luªn nh÷ trong chùng minh cõa Bê · 1.2.1, tr÷íng ph¥n r¢ cõa b P (T ) = T q − T tr¶n Fqa câ óng q b ph¦n tû v  ¯ng c§u vîi Fqb . Tr÷íng ph¥n r¢ n y công chùa Fqa , v  do â Fqa l  mët tr÷íng con cõa Fqb . Hìn núa, v¼ P (T ) l  a thùc t¡ch ÷ñc, Fqb l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa P (T ) tr¶n 7 tr÷íng Fqa , n¶n mð rëng tr÷íng Fqb /Fqa l  mð ræng Galois. Do â, ¡p döng Bê · 1.2.2. Ta câ måi a thùc b§t kh£ quy tr¶n Fqa ·u t¡ch ÷ñc v  n¸u nâ câ mët nghi»m trong Fqb th¼ ph¥n r¢ ho n to n tùc l  câ måi nghi»m trong Fqb . 1.3 H m Mobius H m sè håc l  mët h m x¡c ành tr¶n tªp sè nguy¶n d÷ìng v  nhªn gi¡ trà trong tªp sè phùc C : f : Z>0 → C . Ð ¥y ta c¦n sû döng ¸n mët h m quan trång â l  h m Mobius µ. ành ngh¾a 1.3.1. H m Mobius µ l  mët h m sè håc ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc    1   µ(n) = (−1)k    0 n¸u n = 1 n¸u n l  t½ch cõa k sè nguy¶n tè kh¡c nhau, n¸u n chia h¸t cho b¼nh ph÷ìng cõa mët sè nguy¶n tè. Chó þ 1.3.2. (i) H m Mobius µPcán câ c¡ch biºu di¹n kh¡c nh÷ sau: Cho ω(n) l  h m sè håc vîi ω(n) = 1, tùc l  ω(n) l  sè c¡c ÷îc sè nguy¶n p|n tè kh¡c nhau cõa n. Khi â    (−1)ω(n) n¸u n khæng chia h¸t cho b¼nh ph÷ìng cõa   µ(n) = mët sè nguy¶n tè.    0 trong c¡c tr÷íng hñp cán l¤i. (ii) Ta cán sû döng ¸n hai h m sè håc sau: ( 1 n¸u n = 1, 1(n) = 1 v  I(n) = 0 n¸u n > 1. ành lþ 1.3.3. Vîi n ≥ 1 ta câ  0 X µ(d) = I(n) = 1 d|n n¸u n > 1, n¸u n = 1. (1.1) 8 Chùng minh. N¸u n = 1 th¼ n= pk11 µ(d) = µ(1) = 1 = I(1). Vîi n > 1 , °t d|n l  t½ch c¡c thøa sè nguy¶n tè cõa n. Ta câ X X . . . pkr r X P µ(d) = 1 + µ(pi ) + 1≤i1 ≤i2 ≤r 1≤i≤r d|n r =1+ µ(pi1 pi2 ) + . . . µ(p1 . . . pr ) ! r (−1) + 1 ! (−1)2 + . . . + (−1)r 2 = (1 + (−1))r = 0 = I(n). ta câ i·u ph£i chùng minh. ành lþ 1.3.4 (Nghàch £o Mobius). èi vîi t§t c£ c¡c h m sè håc f, g : N → C, c¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng: P (i) f (n) = g(d) vîi måi n ≥ 1. d|n (ii) g(n) = P µ(d)f n d d|n vîi måi n ≥ 1. Chùng minh. Ta chùng minh ành lþ b¬ng c¡ch ¡p döng ành lþ 1.3.3. èi vîi (i) ⇒ (ii), gi£ sû f (n) = P g(n) vîi måi n ≥ 1. Khi â ta câ: d|n X d|n µ(d)f n d = X µ(d) X g(e)I e|n Vîi (ii) ⇒ (i), ta gi£ sû g(n) = P d|n d|n g(e) = e| nd d|n = X X e|n n e µ(d)f X g(e) X µ(d) d| ne = g(n). n d vîi n ≥ 1. Ta câ n X n X X g(d) = g = µ(e)f d de n d|n e| d d|n X n X X n = f µ(k) = f I(k) = f (n). k k k|n e|k k|n Ta câ ành lþ sau li¶n quan ¸n têng cõa c¡c h¤ng tû µ(n)/n . 9 ành lþ 1.3.5. Vîi måi x ≥ 1, ta câ   X µ(n)     ≤ 1.   n  (1.2) n≤x Chùng minh. Cho x ≥ 1. Vîi b§t ký sè thüc y ta k½ hi»u ph¦n nguy¶n cõa y l  [y], â l  sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ y v  {y} := y − [y]. p döng ành lþ 1.3.3 ta câ hxi X µ(n) n≤x n = X 1= m≤ nx n≤x = X µ(n) XX M°t kh¡c, ta nhªn ÷ñc hxi X X µ(n) n≤x n = µ(n) n≤x x n − X I(k) = 1. k≤x n x o n µ(n) nm≤x µ(d) = k≤x d|k X =x X µ(n) n≤x n − X µ(n) n≤x nxo n . K¸t hñp hai i·u n y ta ÷ñc     X µ(n)   nxo n x o X nxo X X     ≤1+ x |µ(n)| µ(n)  = 1 + ≤1+     n n n n n≤x n≤x n≤x n≤x n o X x = 1 + {x} + 2≤n≤x n    P µ(n)   ≤ 1. V¼ x ≥ 1 n¶n ta ÷ñc   n n≤x ≤ 1 + {x} + [x] − 1 = x. 10 Ch÷ìng 2 Sü t÷ìng tü giúa Fq[T ] v  Z V nh c¡c sè nguy¶n Z v  Fq [T ] câ nhi·u k¸t qu£ thó và t÷ìng tü. 2.1 Mët sè t½nh ch§t chung cõa Fq [T ] v  Z T÷ìng tü vîi c¡c sè nguy¶n, chóng ta câ thº cëng, trø v  nh¥n b§t ký hai a thùc trong Fq [T ]. èi vîi hai a thùc f, g ∈ Fq [T ], ta nâi r¬ng f l  ÷îc cõa g (kþ hi»u f |g ) n¸u tçn t¤i a thùc h ∈ Fq [T ] sao cho g = f h. Ph²p chia Euclide Trong Z, khi hai sè nguy¶n khæng chia h¸t cho nhau ta câ thº sû döng ph²p chia Euclide (cán ÷ñc gåi l  ph²p chia câ d÷). Nh­c l¤i r¬ng vîi b§t ký a, b ∈ Z vîi b 6= 0, tçn t¤i duy nh§t k, r ∈ Z sao cho a = kb + r, trong â 0 ≤ r < |b|. T÷ìng tü, ta công câ ph²p chia Euclide trong Fq [T ]. Vîi a thùc f ∈ Fq [T ] ta ành ngh¾a chu©n cõa f vîi |f | = q deg(f ) n¸u f = 0 ta quy ÷îc |f | = 0). Ta câ: ành lþ 2.1.1 (Ph²p chia Euclide). Cho hai a thùc f, g g 6= 0, tçn t¤i duy nh§t c°p a thùc k, r ∈ Fq [T ] sao cho f = kg + r ∈ Fq [T ] vîi v  |r| < |g|. ành lþ ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch düa v o t½nh ch§t måi ph¦n tû kh¡c 0 cõa Fq ·u câ nghàch £o. °t d = deg(g), khi â, b§t ký sè h¤ng fn T n vîi n ≥ d câ thº ÷ñc lo¤i bä b¬ng ph²p trø f (T ) − fn n−d g(T ), gd T ch¿ º l¤i c¡c h¤ng tû câ bªc nhä hìn d. V¼ c£ Z v  Fq [T ] l  c¡c mi·n Euclide (tùc câ ph²p chia Euclide), n¶n chóng ·u l  mi·n ideal ch½nh v  mi·n nh¥n tû hâa. 11 Sè nguy¶n tè v  a thùc monic b§t kh£ quy N¸u trong v nh Z câ kh¡i ni»m sè nguy¶n tè th¼ t÷ìng tü trong v nh Fq [T ] câ kh¡i ni»m a thùc b§t kh£ quy. Trong mët mi·n nguy¶n D tòy þ, mët ph¦n tû p ∈ D, p 6= 0, p khæng kh£ nghàch ÷ñc gåi l  ph¦n tû b§t kh£ quy n¸u p = ab, (a, b ∈ D) th¼ a ho°c b kh£ nghàch. Vîi a, b ∈ D n¸u tçn t¤i ph¦n tû kh£ nghàch u ∈ D sao cho a = bu th¼ ta nâi r¬ng a, b li¶n hñp. Khi â n¸u p b§t kh£ quy th¼ måi ph¦n tû li¶n hñp vîi p công b§t kh£ quy. Nhªn x²t 2.1.2. (i) Nhâm nh¥n trong v nh Z l  Z∗ = {−1; 1} (nâi c¡ch kh¡c, tªp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch trong Z l  {1; −1}), do â ph¦n tû p = ab, (p ∈ Z) l  b§t kh£ quy n¸u a ho°c b b¬ng ±1. N¸u a = ±1, th¼ b = ±p. Do â, p ch¿ câ c¡c ÷îc l  ±1, ±p. N¸u ta x²t p d÷ìng, th¼ ¥y l  ành ngh¾a sè nguy¶n tè. Do â, c¡c sè nguy¶n tè trong Z l  sè nguy¶n d÷ìng v  b§t kh£ quy. Hìn núa, mët sè nguy¶n ¥m l  b§t kh£ quy khi v  ch¿ khi sè èi cõa nâ l  b§t kh£ quy. V¼ vªy, chóng ta ch¿ ph£i nghi¶n cùu c¡c sè nguy¶n tè º nghi¶n cùu t½nh b§t kh£ quy cõa t§t c£ c¡c sè nguy¶n. (ii) Nhâm nh¥n trong Fq [T ] l  F∗q = Fq \ {0}, (v¼ n¸u f g = 1 th¼ deg(f ) = deg(g) = 0 n¶n f, g ∈ F∗q ). Vîi mët a thùc ¢ cho f ∈ Fq [T ] tªp hñp c¡c li¶n hñp cõa f l  {af : a ∈ F∗q }. Cho an l  mët h» sè ¦u cõa f th¼ a−1 n f l  li¶n hñp cõa f l  monic, tùc l  nâ câ h» sè ¦u b¬ng 1. Vªy måi a thùc ·u ch¿ câ duy nh§t mët li¶n hñp l  monic. Do â, công nh÷ vi»c ch¿ x²t c¡c sè nguy¶n tè, chóng ta ch¿ c¦n nghi¶n cùu c¡c a thùc monic º nghi¶n cùu t½nh b§t kh£ quy cõa t§t c£ c¡c a thùc. Vîi méi sè n > 0 câ húu h¤n sè nguy¶n a ∈ Z sao cho |a| ≤ n. Ngo i ra vîi méi a ∈ Z ta câ |Z/(a)| = |a|. T÷ìng tü vîi måi sè n > 0 câ húu h¤n a thùc f ∈ Fq [T ] sao cho |f | ≤ n, cö thº â l  to n bë a thùc câ bªc nhä hìn ho°c b¬ng logq (n). Ngo i ra, måi c¡c lîp th°ng d÷ trong Fq [T ]/(f ) t÷ìng ùng vîi mët ¤i di»n duy nh§t g trong â deg(g) < deg(f ). V¼ vªy |Fq [T ]/(f )| = |{g ∈ Fq [T ] : deg(g) < deg(f )}| = q deg(f ) = |f |. 12 2.2 C¡c t½nh ch§t t÷ìng çng Sû döng c¡c t½nh ch§t tr¶n, ta câ mèi li¶n h» giúa Z v  Fq [T ] trong b£ng 2.1. Sè nguy¶n a ∈ Z a thùc f ∈ Fq [T ] ìn và −1, 1 ìn và F∗q nguy¶n tè b§t kh£ quy monic d÷ìng |a|, gi¡ trà tuy»t èi |f | = q deg(f ) : Mèi quan h» giúa Z v  Fq [T ]. B£ng 2.1 ành lþ 2.2.1. Cho p ∈ Z l  sè nguy¶n tè. Khi â vîi méi sè nguy¶n a ∈ Z, ta câ ap ≡ a(modp). (2.1) Chùng minh. N¸u p|a th¼ ành lþ luæn óng. L÷u þ r¬ng p = |Z/pZ|. V¼ p l  sè nguy¶n tè, Z/pZ l  mët tr÷íng. Khi â |(Z/pZ)∗ | = p − 1. N¸u a ∈ Z m  p - a suy ra (a, p) = 1, khi â a ∈ (Z/pZ)∗ suy ra (a)p−1 = 1. hay ap−1 = 1 ⇔ ap−1 ≡ 1( modp), v  do â ap ≡ a(modp). Vîi mët sè i·u ch¿nh nhä, chùng minh n y câ thº ¡p döng º chùng minh ành lþ t÷ìng tü trong Fq [T ]: ành lþ 2.2.2. Cho q l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè v  P ∈ Fq [T ] l  mët a thùc b§t kh£ quy. Vîi måi a thùc f ∈ Fq [T ], ta câ f |P | ≡ f (mod P ). (2.2) Chùng minh. N¸u P |f th¼ ành lþ luæn óng. L÷u þ r¬ng |P | = |Fq [T ]/(P )|. V¼ P l  a thùc b§t kh£ quy v  Fq [T ] l  mi·n ideal ch½nh, n¶n ¡p döng M»nh · 8.7 trong [3] ta câ (P ) l  ideal, (P ) l  tèi ¤i. Do â, Fq [T ]/(P ) l  mët tr÷íng, tø â suy ra |(Fq [T ]/(P ))∗ | = |P | − 1. N¸u vîi måi f ∈ Fq [T ], sao ∗ cho P - f , khi â f ∈ (Fq [T ]) n¶n (f )|P |−1 = 1 hay f |P |−1 ≡ 1(mod P ), v  do â f |P | ≡ f (mod P ). 13 Mët v½ dö thó và l  ành lþ cuèi cõa Fermat, ta câ ành lþ sau t÷ìng tü trong Fq [T ]: ành lþ 2.2.3. Cho q l  lôy thøa cõa sè nguy¶n tè p. N¸u n ≥ 3 v  p - n, th¼ khæng tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z ∈ Fq [T ] nguy¶n tè còng nhau æi mët sao cho XY Z 6= 0 v  X 0, Y 0, Z 0 khæng çng thíi b¬ng khæng thäa m¢n Xn + Y n = Zn (2.3) º chùng minh ành lþ 2.2.3 ta sû döng k¸t qu£ sau ÷ñc chùng minh trong t i li»u [6] ành lþ 2.2.4 A, B, C ∈ K[T ] Khi â, n¸u (ành lþ Mason) . Cho K l  mët tr÷íng v  ba a thùc nguy¶n tè còng nhau æi mët thäa m¢n A + B + C = 0. max(deg(A), deg(B), deg(C)) ≥ deg(rad(ABC)) th¼ A0 = B 0 = C 0 = 0. (Trong â vîi a thùc f ∈ K[T ] ta k½ hi»u rad(f ) l  t½ch cõa c¡c ÷îc b§t kh£ quy ph¥n bi»t cõa f ∈ K[T ]). Chùng minh ành lþ 2.2.3. Gi£ sû tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z nguy¶n tè còng nhau æi mæt thäa m¢n X n + Y n = Z n vîi n ≥ 1, v  p - n. Khi â X n + Y n − Z n = 0 v  (X n )0 , (Y n )0 , (Z n )0 khæng çng thíi b¬ng khæng. Tø ành lþ Mason ta câ: nmax(deg(X), deg(Y ), deg(Z)) < deg(rad((XY Z)n )) ⇔ max(deg X n , deg Y n , deg Z n ) < deg(rad((XY Z)n )) = deg(rad(XY Z)) ≤ deg(XY Z) ≤ 3max(deg(X), deg(Y ), deg(Z)) hay n < 3. Vªy n¸u n ≥ 3 v  p - n, th¼ khæng tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z ∈ Fq [T ] sao cho XY Z 6= 0 v  X 0 , Y 0 , Z 0 khæng çng thíi b¬ng khæng thäa m¢n X n + Y n = Z n . 14 Ch÷ìng 3 ¸m sè a thùc b§t kh£ quy 3.1 Sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq Trong ph¦n n y chóng ta s³ x²t sè a thùc monic b§t kh£ quy bªc n. Gåi π(q; n) l  sè a thùc monic b§t kh£ quy bªc n tr¶n Fq [T ], tùc l  π(q; n) = #{f ∈ Fq [T ] : f monic, b§t kh£ quy v  deg(f ) = n}. Gauss ¢ t¼m ra cæng thùc º t½nh π(q; n) cán gåi l  cæng thùc Gauss m  ta s³ tr¼nh b y sau ¥y, tr÷îc h¸t ta c¦n bê · sau: Bê · 3.1.1. Gåi q = pk l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè p v  cho n ≥ 1. Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành: (i) Måi a ∈ Fq tçn t¤i duy nh§t mët a thùc monic b§t kh£ quy f ∈ Fq [T ] sao cho a l  mët nghi»m cõa f v  deg(f ) l  ÷îc cõa n. (ii) Méi a thùc monic b§t kh£ quy f ∈ Fq [T ] vîi bªc l  ÷îc cõa n câ måi nghi»m ·u thuëc Fq v  l  a thùc t¡ch ÷ñc. Chùng minh. Cho a ∈ Fq , v¼ Fq l  mët mð rëng húu h¤n cõa Fq , n¶n a l  n n n n ¤i sè tr¶n Fq . Gåi f ∈ Fq [T ] l  a thùc cüc tiºu cõa a. Khi â f l  a thùc duy nh§t b§t kh£ quy, monic nhªn a l  nghi»m. Hìn núa Fq (a) l  tr÷íng trung gian giúa Fqn v  Fq n¶n [Fqn : Fq (a)].[Fq (a) : Fq ]= [Fqn : Fq ] = n. Do â deg(f ) = [Fq (a) : Fq ] l  ÷îc cõa [Fqn : Fq ] = n. Ng÷ñc l¤i, cho f ∈ Fq [T ] l  mët a thùc monic b§t kh£ quy câ bªc l  ÷îc cõa n. Khi â, ta câ |Fq [T ]/(f )| = deg(f ). V¼ c¡c tr÷íng húu h¤n l  duy nh§t sai kh¡c ¯ng c§u n¶n ta suy ra Fq [T ]/(f ) ∼ = Fqdeg(f ) . Chó þ r¬ng T l  mët khæng iºm cõa f trong tr÷íng Fq [T ]/(f ). Nh÷ vªy f câ mët 15 nghi»m trong Fqdeg(f ) . Theo ành lþ 1.2.3, mð rëng tr÷íng Fqdeg(f ) /Fq l  mð rëng Galois, tùc l  mð rëng chu©n t­c v  t¡ch ÷ñc, v¼ vªy f l  a thùc t¡ch ÷ñc v  câ t§t c£ c¡c nghi»m trong Fqdeg(f ) . M°t kh¡c deg(f ) l  ÷îc cõa n do â (theo ành lþ 1.2.3) Fqdeg(f ) l  tr÷íng con cõa Fqn . Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. ành lþ 3.1.2 (Cæng thùc Gauss). °t q = pk l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè p. Khi â sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq ÷ñc cho bði π(q; n) = 1 X d n q µ , n d (3.1) d|n trong â, µ l  h m Mobius. Chùng minh. °t M (q; n) = {f ∈ Fq [T ] : f b§t kh£ quy monic v  deg(f )|n}. Theo Bê · 3.1.1 ta câ: Y f= Y (T − a). a∈Fqn f ∈M (q,n) Ta câ bªc cõa hai a thùc tr¶n gièng nhau: X deg(f ) = q n . f ∈M (q,n) V¸ tr¡i cõa ¯ng thùc tr¶n b¬ng P dπ(q; d), do â ta thu ÷ñc d|n X dπ(q; d) = q n . d|n Sû döng cæng thùc nghàch £o Mobius ta ÷ñc: n X qdµ nπ(q; n) = d|n d . Chia c£ hai v¸ cho n ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh. V½ dö 3.1.3. (i) Sè c¡c a thùc d¤ng chu©n b§t kh£ quy trong Fq [x] câ bªc 20 ÷ñc cho bði cæng thùc 1 X π(q, 20) = 20 µ(20/d)q d d|20 16 =
1 µ(1)q 20 + µ(2)q 10 + µ(4)q 5 + µ(5)q 4 + µ(10)q 2 + µ(20)q . 20 Trong â µ(1) = 1, µ(2) = (−1)1 = −1, µ(4) = 0, µ(5) = (−1)1 = −1, µ(10) = (−1)2 = 1, µ(20) = 0. Do â π(q, 20) =
1 20 q − q 10 − q 4 + q 2 . 20 (ii) T÷ìng tü, chóng ta câ thº t½nh sè c¡c a thùc d¤ng chu©n b§t kh£ quy trong Fq [x] câ bªc 30 ÷ñc cho bði cæng thùc: 1 X π(q, 30) = 30 µ(30/d)q d d|30
1 µ(1)q 30 + µ(2)q 15 + µ(3)q 10 + µ(5)q 6 + µ(6)q 5 + µ(15)q 2 + µ(30)q 30
1 30 = q − q 15 − q 10 − q 6 + q 5 + q 2 − q . 30 = Ti¸p theo, ta x¥y düng mët sè t½nh ch§t cõa π(q; n). ành lþ 3.1.4. °t q = pk l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè p. Sè a thùc monic b§t kh£ quy bªc n tr¶n Fq thäa m¢n: qn q n/2 qn −2 < π(q; n) ≤ , n n n (3.2) v  hìn núa, b§t ¯ng thùc cuèi còng l  nghi¶m ng°t khi n > 1. Chùng minh. Vîi n = 1, ta câ ¯ng thùc π(q; n) = q v  do â ành lþ luæn óng. N¸u n > 1, ta câ: qn 1 X d  n  1 X d n qn − π(q; n) = − q µ =− q µ . n n n d n d d|n (3.3) d|n,d6=n Gåi p0 l  ÷îc nguy¶n tè nhä nh§t cõa n. Khi â ta câ:   n X 1 X d  n  1  pn0  d − q µ = q − q µ . n d n d n d|n,d6=n d|n,d< p0 (3.4)