Tài liệu Tổng hợp kiến thực hình học thcs

HÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n — ™ M«n : H×nh Häc - THCS 1. §iÓm - §êng th¼ng - Ngêi ta dïng c¸c ch÷ c¸i in hoa A, B, C, ... ®Ó ®Æt tªn cho ®iÓm - BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp c¸c ®iÓm. Mét ®iÓm còng lµ mét h×nh. - Ngêi ta dïng c¸c ch÷ c¸i thêng a, b, c, ... m, p, ... ®Ó ®Æt tªn cho c¸c ®êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ c¸i in hoa hoÆc dïng hai ch÷ c¸i thêng, vÝ dô ®êng th¼ng AB, xy, ... ) - §iÓm C thuéc ®êng th¼ng a (®iÓm C n»m trªn ®êng th¼ng a hoÆc ®êng th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lµ: C a - §iÓm M kh«ng thuéc ®êng th¼ng a (®iÓm M n»m ngoµi ®êng th¼ng a hoÆc ®êng th¼ng a kh«ng ®i qua ®iÓm M), kÝ hiÖu lµ: M  a 2. Ba ®iÓm th¼ng hµng - Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®êng th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng - Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k× ®êng th¼ng nµo ta nãi chóng kh«ng th¼ng hµng. 3. §êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song - Hai ®êng th¼ng AB vµ BC nh h×nh vÏ bªn lµ hai ®êng th¼ng trïng nhau. - Hai ®êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm chung ®ã ®îc gäi lµ giao ®iÓm (®iÓm E lµ giao ®iÓm) - Hai ®êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt 4. Kh¸i niÖm vÒ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau - H×nh gåm ®iÓm O vµ mét phÇn ®êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iÓm O ®îc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh h×nh vÏ) - Hai tia chung gèc t¹o thµnh ®êng th¼ng ®îc gäi lµ hai tia ®èi - Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m nhau (hai tia Ox vµ Oy trong h×nh trªn tia kia ®îc gäi lµ hai tia trïng vÏ lµ hai tia ®èi nhau) nhau - Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng nhau 5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng - §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm ®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm n»m gi÷a A vµ B - Hai ®iÓm A vµ B lµ hai mót - Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é (hoÆc hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng AB. 6. Khi nµo th× AM + MB = AB ? - NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B th× AM + MB = AB. Ngîc l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B 7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lµ ®iÓm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch ®Òu A, B (MA = MB) - Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña ®o¹n th¼ng AB 8. Nöa mÆt ph¼ng bê a, hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau - H×nh gåm ®êng th¼ng a vµ mét phÇn mÆt ph¼ng bÞ chia ra bëi a ®îc gäi lµ mét nöa mÆt ph¼ng bê a - Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê ®îc gäi lµ hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vµ (II) ®èi nhau) 9. Gãc, gãc bÑt - Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung gèc, gèc chung cña hai tia gäi lµ ®Ønh cña gãc, hai tia lµ hai c¹nh cña gãc � � - Gãc xOy kÝ hiÖu lµ xOy hoÆc O hoÆc  xOy - §iÓm O lµ ®Ønh cña gãc - Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy - Gãc bÑt lµ gãc cã hai c¹nh lµ hai tia ®èi nhau 10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï. - So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè ®o cña chóng - Hai gãc xOy vµ uIv b»ng nhau ®�  uIv � îc kÝ hiÖu lµ: xOy - Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt: �  uIv �  uIv �  xOy � xOy - Gãc cã sè ®o b»ng 90 0 = 1v, lµ gãc vu«ng - Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc nhän - Gãc lín h¬n gãc vu«ng nhng nhá h¬n gãc bÑt lµ gãc tï. �  yOz �  xOz � 11. Khi nµo th× xOy - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox �  yOz �  xOz � . vµ Oz th× xOy �  yOz �  xOz � th× - Ngîc l¹i, nÕu xOy tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz 12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï - Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung. - Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 900 - Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã tæng sè ®o b»ng 1800 - Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï nhau ®îc gäi lµ hai gãc kÒ bï 13. Tia ph©n gi¸c cña gãc - Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau �  zOy �  xOy � v� xOz � = zOy � - Khi: xOz => tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy - §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc ®ã (®êng th¼ng mn lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc xOy) 14. §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iÓm cña nã ®îc gäi lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng Êy b) Tæng qu¸t: a lµ ®êng trung trùc cña AB   a  AB t�i I   IA =IB a B I A 15. C¸c gãc t¹o bëi mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng a) C¸c cÆp gãc so le trong: � v� B � ; A � v� B � . A 1 3 4 2 b) C¸c cÆp gãc ®ång vÞ: � v� B � ; A � v� B � ; A 1 1 2 2 � � � � A 3 v� B3 ; A 4 v� B4 . c) Khi a//b th×: � v� B � ; A � v� B � gäi lµ c¸c cÆp A 1 2 4 3 gãc trong cïng phÝa bï nhau 16. Hai ®êng th¼ng song song a) DÊu hiÖu nhËn biÕt - NÕu ®êng th¼ng c c¾t hai ®êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt - Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng th¼ng chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng ®ã a A 3 2 4 1 B 3 2 41 c a M b c, TÝnh chÊt hai ®êng th¼ng song song - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng song song th×:  Hai gãc so le trong b»ng nhau;  Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau;  Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau. d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song - Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng c gãc víi ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau c a  c   a / / b b  c - Mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai ®êng th¼ng song song th× b b a b a b a nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng kia c  b   c  a a / / b e) Ba ®êng th¼ng song song - Hai ®êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi nhau a//c vµ b//c => a//b 17. Gãc ngoµi cña tam gi¸c a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tam gi¸c Êy b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã � A �B � ACx a b c A B x C 18. Hai tam gi¸c b»ng nhau a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng nhau lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t¬ng øng b»ng nhau ABC  A 'B 'C '  AB  A 'B '; AC  A 'C '; BC  B 'C '   �A � '; B �B � '; C � C �' A  B A' C C B' b) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c *) Trêng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh A (c.c.c) - NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau N�u ABC v� A'B'C' c�: AB  A 'B '  AC  A 'C '   ABC  A 'B 'C '( c.c.c) BC  B 'C '  B *) Trêng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh B (c.g.c) - NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau A' B' A' B' C A C C' C' ' N�u ABC v� A'B'C' c�: AB  A 'B ' � B � '   ABC  A 'B 'C '(c.g.c ) B  BC  B 'C '  *) Trêng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g) - NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau N�u ABC v� A'B'C' c�: � B �'  B  BC  B 'C '  ABC  A 'B 'C '(g.c.g ) � C �'  C  A B C A' C' B' c) C¸c trêng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng  Trêng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. B' B  Trêng hîp 2: NÕu mét c¹nh Cgãc vu«ng vµ mét gãc C' nhän kÒ c¹nh A A' Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. B B' A C A' C'  Trêng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. B' B C' A'  Trêng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam A C gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau. B B' A C A' 19. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c) - Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n � >C � ABC : N�u AC > AB th�B C' A B h¬n th× lín h¬n  Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín C � >C � th�AC > AB ABC : N�u B 20. Quan hÖ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn, ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu  Kh¸i niÖm ®êng vu«ng gãc, ®êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®êng xiªn - L�y A d, k�AH d, l�y B d v� B H. Khi ��: - §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®êng vu«ng gãc A kÎ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d - §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®êng th¼ng d - §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®êng xiªn kÎ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d - §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña d ®êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d  Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc: B H Trong c¸c ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, ®êng vu«ng gãc lµ ®êng ng¾n nhÊt.  Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu: Trong hai ®êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, th×:  §êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n  §êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n  NÕu hai ®êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ ngîc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®êng xiªn b»ng nhau. 21. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c - Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i. A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB C - Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt B k× bao giê còng nhá h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i. AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i. VD: AB - AC < BC < AB + AC 21. TÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c - Ba ®êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã c¸ch mçi ®Ønh mét kho¶ng b»ng 2 3 A ®é dµi ®êng F trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy: GA  GB  GC  2 DA EB FC 3 G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC 22. TÝnh chÊt ba ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c - Ba ®êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã G B E C D A - §iÓm O lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC O C B 23. TÝnh chÊt ba ®êng trung trùc cña tam gi¸c - Ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c ®ã A - §iÓm O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC O B C 24. Ph¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n (sö dông mét trong c¸c c¸ch sau ®©y) a) Chøng minh tam gi¸c c©n 1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng trung tuyÕn võa lµ ®êng cao 4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c ë ®Ønh b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu 1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau 2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau 3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600 c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh 1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh 2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh 5. Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng lµ h×nh b×nh hµnh d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang: Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n 1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau 2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®êng chÐo b»ng nhau f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt 1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt 4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi 1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau 2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau 3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau 4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng 1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau 2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc 3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc 4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng 5. H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng nhau 25. §êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c  §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c  §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy DE lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c A DE / /BC, DE  1 BC 2 D B 10 E C b) §êng trung b×nh cña h×nh thang  §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang  §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa tæng hai ®¸y B EF lµ ®êng trung b×nh cña A h×nh thang ABCD E EF//AB, EF//CD, EF  AB  CD F 2 D C 26. Tam gi¸c ®ång d¹ng a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c: - NÕu mét ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lÖ A B 'C '/ /BC  AB '  AC ' ; AB AC AB '  AC ' ; B 'B  C 'C B 'B C 'C AB AC B' a C' B C b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt: - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tØ lÖ th× ®êng th¼ng ®ã song song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c VÝ dô: AB '  AC '  B 'C '/ /BC ; C¸c trêng hîp kh¸c t¬ng tù AB AC c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t¬ng øng tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong trêng hîp ®êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh cßn l¹i ( B 'C '/ /BC  AB '  AC'  B 'C ' ) AB AC BC A C' B' a A C B a B' C' C B d) TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c: - §êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã A ADB  AB DC AC B D D'B  AB D'C AC C D' B C 11 ABC S e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng : - Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c gãc t¬ng øng b»ng nhau vµ c¸c c¹nh t¬ng øng tØ lÖ �A � '; B � B � '; C � C �'  A  A 'B 'C '   AB AC BC  A 'B '  A 'C '  B 'C '  k( t�s� ��ng d�ng )  f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng: - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c ®· cho A ABC S MN / /BC  AMN a *) Lu ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi trêng N M hîp ®êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh cßn l¹i C g) C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam Bgi¸c *)Trêng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng. S N�u ABC v� A'B'C' c�: AB  AC  BC  ABC A 'B ' A 'C' B 'C' A 'B 'C '( c.c.c) A' A C B B' C ' cña *)Trêng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng S N�u ABC v� A'B'C' c�: AB  BC  A 'B ' B 'C '   ABC �B �'  B A B A C A 'B 'C '( c.g.c ) A' A' B' C' *)Trêng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn lît b»ng hai gãc cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng; 12 B C B' C S N�u ABC v� A'B'C' c�: �A � ' A    ABC A 'B 'C '(g.g ) � � B  B' h) C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng *)Trêng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau th× chóng ®ång d¹ng. S N�u ABC v� A'B'C' c�: �A � '  900  A    ABC A 'B 'C' � C �' C  B' B *)Trêng hîp gãc vu«ng tØ lÖ A’ cña tam gi¸c vu«ng nµy C' A 2: NÕu hai c¹nh C víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng. S Hai tam gi�c vu�ng ABC v� A'B'C' c�: AB  AC  ABC A 'B 'C ' A 'B ' A 'C ' B' B C C' A 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng A' vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng *)Trêng hîp nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng. S Hai tam gi�c vu�ng ABC v� A'B'C' c�: AB  BC  ABC A 'B 'C ' A 'B ' B 'C' S 27. TØ sè hai ®êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng - TØ sè hai ®êng cao t¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng - TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph¬ng tØ sè ®ång d¹ng - Cô thÓ : A 'B 'C ' ABC theo t�s� k S 2 => A 'H '  k v� A 'B 'C'  k AH SABC 13 28. DiÖn tÝch c¸c h×nh h b a a S  a. b h a 2 Sa a S  1 ah 2 S  1 ah 2 S  1 (a  b)h  EF.h 2 S  1 ah 2 b E h F h a a S  a. h S  1 d1 d2 2 h d2 d1 29. Häc sinh cÇn a n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n (dïng thíc th¼ng, thíc ®o ®é, thíc cã chia kho¶ng, compa, ªke) a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tríc; b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc; c) Dùng ®êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc, dùng trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc; d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc; e) Qua mét ®iÓm cho tríc, dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®êng th¼ng cho tríc; f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng cho tríc, dùng ®êng th¼ng song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc; g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a, hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ. 30. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9) a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng      2 b  ab' 2 c  ac ' 2 2 2 a  b  c (Pi_ta_go) bc = ah 2 h  b' c ' 1 1 1  2  2  2 b c h b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän A  §Þnh nghÜa c¸c tØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän c�nh ��i c�nh huy�n c�nh ��i tg  c�nh k� sin   14 c�nh k� c�nh huy�n c�nh k� cot g  c�nh ��i cos   c B h c' α H b b' a C  Mét sè tÝnh chÊt cña c¸c tØ sè lîng gi¸c +) §Þnh lÝ vÒ tØ sè lîng gi¸c cña hai gãc phô nhau Cho hai gãc α vµ β phô nhau. Khi ®ã: sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; +) Cho 00    900 . Ta cã: 2 cotgα = tgβ. 2 0  sin   1; 0  cos   1; sin   cos   1 tg  sin  ; cot g  cos  ; tg .cot g  1 cos  sin   So s¸nh c¸c tØ sè lîng gi¸c 0 0 0  1   2  90  sin 1  sin 2 ;cos 1  cos 2 ;tg1  tg2 ;cotg1  cotg 2 c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng b = a.sinB; b = a.cosC; b = c.tgB; b = c.cotgC; => a = c = a.sinC c = a.cosB c = b.tgC c = b.cotgB b  c  b  c sinB sinC cosC cosB 31. §êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung 15 - §êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm c¸ch O mét kho¶ng b»ng R, kÝ hiÖu (O ; R). - H×nh trßn lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm n»m trªn ®êng trßn vµ c¸c ®iÓm n»m bªn  trong ®êng trßn ®ã. 0 0 0    180 - Trªn h×nh vÏ: +) C¸c ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc) ®êng trßn; OA = OB = OC = OD = R. +) M n»m bªn trong ®êng trßn; OM < R +) N n»m bªn ngoµi ®êng trßn; ON > R +) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y) +) CD = 2R, lµ ®êng kÝnh (d©y cung lín nhÊt, d©y ®i qua t©m) � +) AmB lµ cung nhá ( 00    1800 ) � +) AnB lµ cung lín +) Hai ®iÓm A, B lµ hai mót cña cung - Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn ®� îc gäi lµ gãc ë t©m ( AOB lµ gãc ë t©m ch¾n cung nhá AmB) - Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®êng trßn - Sè ®o cung: +) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã 0 0 � s�AmB   ( 0    180 ) +) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 3600 vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung hai mót víi cung lín) �  3600   s�AnB +) Sè ®o cña nöa ®êng trßn b»ng 1800, sè ®o cña c¶ ®êng trßn b»ng 3600 0 32. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y - Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy AB  CD t¹i H => HC = HD - Trong mét ®êng trßn, ®êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy 33. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y §Þnh lÝ 1: Trong mét ®êng trßn a) Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m b) Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD 16   180 §Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cña mét ®êng trßn a) D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n b) D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD 34. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn a) §êng th¼ng vµ ®êng trßn c¾t nhau (cã hai ®iÓm chung) - §êng th¼ng a gäi lµ c¸t tuyÕn cña (O) d = OH < R vµ HA = HB = R2  OH2 b) §êng th¼ng vµ ®êng trßn tiÕp xóc nhau (cã mét ®iÓm chung) - §êng th¼ng a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) - §iÓm chung H lµ tiÕp ®iÓm d = OH = R *) TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn: NÕu mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm. a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i H => a  OH c) §êng th¼ng vµ ®êng trßn kh«ng giao nhau (kh«ng cã ®iÓm chung) d = OH > R 35. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn - §Ó nhËn biÕt mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn ta cã hai dÊu hiÖu sau:  DÊu hiÖu 1: §êng th¼ng vµ ®êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung (®Þnh nghÜa tiÕp tuyÕn)  DÊu hiÖu 2: §êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã H   O    a l� ti�p tuy�n c�a (O) a  OH t�i H  36. TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau; ®êng trßn néi tiÕp, bµng tiÕp tam gi¸c 17 a) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×:  §iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm  Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn  Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm. � � ;� � AB  AC;OAB  OAC AOB  AOC b) §êng trßn nét tiÕp tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®îc gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lµ tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®êng trßn - T©m cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc trong cña tam gi¸c c) §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi c¸c phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia gäi lµ ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c - T©m cña ®êng trßn bµng tiÕp lµ giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã hoÆc lµ giao ®iÓm cña mét ®êng ph©n gi¸c gãc trong vµ mét ®êng ph©n gi¸c - Víi mét tam gi¸c cã ba ®êng trßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh ®êng trßn bµng tiÕp trong gãc A) 18 37. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng trßn, tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn. a) Hai ®êng trßn c¾t nhau (cã hai ®iÓm chung) - Hai ®iÓm A, B lµ hai giao ®iÓm - §o¹n th¼ng AB lµ d©y chung R - r < OO' < R + r - §êng th¼ng OO’ lµ ®êng nèi t©m, ®o¹n th¼ng OO’ lµ ®o¹n nèi t©m *) TÝnh chÊt ®êng nèi t©m: §êng nèi t©m lµ ®êng trung trùc cña d©y chung b) Hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau (cã mét ®iÓm chung) - §iÓm chung A gäi lµ tiÕp ®iÓm +) TiÕp xóc ngoµi t¹i A: OO'  R  r +) TiÕp xóc trong t¹i A: OO'  R  r c) Hai ®êng trßn kh«ng giao nhau (kh«ng cã ®iÓm chung) +) ë ngoµi nhau: OO'  R  r +) §ùng nhau: OO'  R  r +) §Æc biÖt (O) vµ (O’) ®ång t©m: OO'  0 d) TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn - TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng trßn ®ã - TiÕp tuyÕn chung ngoµi kh«ng c¾t ®o¹n nèi t©m - TiÕp tuyÕn chung trong c¾t ®o¹n nèi t©m 19 38. So s¸nh hai cung trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau. - Hai cung ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau - Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®îc gäi lµ cung lín h¬n �  CD; � �  GH �  GH �  EF � - KÝ hiÖu: AB EF 39. Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y. *) §Þnh lÝ 1: Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau: a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau b) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau �  CD �  AB  CD ; AB  CD  AB �  CD � AB *) §Þnh lÝ 2: Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau: a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n �  CD �  AB  CD ; AB  CD  AB �  CD � AB 40. Gãc néi tiÕp a) §Þnh nghÜa: - Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®êng trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cña ®êng trßn ®ã. - Cung n»m bªn trong gãc ®îc gäi lµ cung bÞ ch¾n b) §Þnh lÝ: Trong mét ®êng trßn, sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n � lµ gãc néi tiÕp ch¾n BAC cung nhá BC(h×nh a) vµ ch¾n cung lín BC(h×nh b) �  1 s® � BAC BC 2 c) HÖ qu¶: Trong mét ®õ¬ng trßn +) C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau +) C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau +) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hoÆc b»ng 90 0) cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung +) Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng. 41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 20