TæNG HîP KIÕN THøC
— ™
M«n : §¹i Sè - THCS
I - C¸c lo¹i ph¬ng tr×nh
1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
- Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a 0 )
- Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = b
a
- Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vµ xÐt c¸c
trêng hîp sau:
NÕu A 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = B
A
NÕu A = 0 , B 0 ph¬ng tr×nh trë thµnh 0.x = B
=> ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu A = 0, B = 0 => ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm
2. Ph¬ng tr×nh tÝch
- Ph¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0
- C¸ch gi¶i: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0
A( x ) 0
- Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 <=>
B( x ) 0
A( x ) 0
- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=> B( x ) 0
C( x ) 0
3. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
- Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 bíc:
Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh
Bíc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph¬ng tr×nh råi khö mÉu
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®îc
Bíc 4: (kÕt luËn)
Trong c¸c gi¸ trÞ cña Èn t×m ®îc ë bíc 3, c¸c gi¸ trÞ tháa m·n §KX§
chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x kh«ng thuéc §KX§
lµ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i)
4. Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
A n�u A 0
A n�u A < 0
- §Þnh nghÜa: A
- C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh
f ( x ) 0 f ( x ) 0
f ( x ) k( k 0) f ( x ) k
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Hay f ( x ) g( x ) f ( x ) 2 g( x ) 2 , ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch
f(x) 0
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x ) <=>
hoÆc <=>
f(x) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
f ( x ) g( x ) ho�c f ( x ) g( x )
HoÆc <=>
g( x ) 0
2
2
f ( x ) g( x )
HoÆc <=>
- Chó ý: A 2 A 2 ; A A vµ A B A B A B
5. Ph¬ng tr×nh v« tØ
f ( x ) A( A 0) f ( x ) A 2 (víi f(x) lµ mét ®a thøc)
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g( x ) 2
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g( x )
*)Lu ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn x¸c ®Þnh
®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn t¬ng
®¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp.
6. Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng
Ph¬ng tr×nh
trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
4
2
ax bx c 0 (a 0 )
§Æt x2 = t ( t 0 ), ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai
Èn t : at2 bt c 0 (*)
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m·n t 0
Thay vµo ®Æt x2 = t vµ t×m x = ?
7. Ph¬ng tr×nh bËc cao
a) Ph¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Híng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã lµ íc cña
h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng m¸y tÝnh ®Ó t×m
nhanh nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh, khi ®· biÕt mét nghiÖm th× dÔ dµng
ph©n tÝch VT díi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc)
b) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Híng dÉn: Ph¬ng ph¸p t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh bËc ba trªn
c) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:
2
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d = c ).
a
Ph¬ng ph¸p:
Víi x = 0, thay vµo ph¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ nghiÖm hay
kh«ng ?
Víi x 0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau ®ã ta ®Æt t = x + c
ax
d) Ph¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)
Ph¬ng ph¸p: §Æt t = x2 + mx + ab cd
2
e) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k)
Ph¬ng ph¸p:
Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Æt t = x + k
II- BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
x
1) §Þnh nghÜa:
Mét bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0) víi a 0
®îc gäi lµ mét bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
2) C¸ch gi¶i: ax + b > 0 <=> ax > - b
NÕu a > 0 th× x b
a
NÕu a < 0 th× x b
a
3) KiÕn thøc cã liªn quan:
Hai bÊt ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm vµ
dïng kÝ hiÖu <=> ®Ó chØ sù t¬ng ®¬ng ®ã
Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lµ sè hoÆc ®a thøc) tõ vÕ nµy
sang vÕ kia cña bÊt ph¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö ®ã => ta cã thÓ
xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ
Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph¬ng tr×nh víi cïng mét sè
kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d¬ng; ®æi chiÒu BPT nÕu
sè ®ã ©m.
4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã :
a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b
- Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc
+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> a3 b3 vµ a > b <=> a3 b3
- NÕu a 0, b 0 th× a > b <=> a b vµ a > b <=> a2 b2
- Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A
A, n�u A 0
A
A, n�u A < 0.
Ta cã: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, A 2 A
- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã:
a b ab
DÊu “=” x¶y ra <=> a = b
2
III – C¸c d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biÓu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc
ba.
1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc h÷u tØ
- Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc
hiÖn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu thøc cã c¸c dÊu
ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän.
- Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña
biÕn ®Ó ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0)
2. D¹ng 2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa
- BiÓu thøc cã d¹ng A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B 0
B
- BiÓu thøc cã d¹ng
- BiÓu thøc cã d¹ng
- BiÓu thøc cã d¹ng
A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A 0
A
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0
B
A B x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
C
A 0
C 0
A B x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
C
- BiÓu thøc cã d¹ng
A 0
C 0
3. D¹ng 3 : Rót gän c¸c biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba
LÝ thuyÕt chung:
a) C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc
1) A 2 A
2)
AB
A
B
3)
4)
B ( v�i A 0 v� B 0)
A
A (v�i A 0 v� B > 0)
B
2
A B A
5) A B
B (v�i B 0)
2
A B (v�i A 0 v� B 0)
2
A B A B (v�i A < 0 v� B 0)
6)
A
B
7)
A
B
1
B
A B
B
C
A B
8)
C
A
9)
AB (v�i AB 0 v� B 0)
B
C
(v�i B > 0)
A mB
A B
C
2
(v�i A 0 v� A B )
2
A m B
A B
(v�i A 0 , B 0 v� A B)
*) Lu ý:
§Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh sau :
- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã)
- §a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã)
- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)
- Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , … theo thø
tù ®· biÕt ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng
- Céng, trõ c¸c biÓu thøc ®ång d¹ng (c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng)
b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( a b)2 a 2 a.b b
(a,b 0)
( a b)2 a 2 a.b b
(a,b 0)
2) (a - b) = a - 2ab + b
2
2
2
3) a - b = (a + b).(a - b)
2
2
a b ( a b).( a b)
(a,b 0)
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
a a b b a3 b 3
a b
3
3
( a b)(a ab b) (a,b 0)
7) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
a a b b a3 b 3
a b
3
3
( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
9) ( a b c)2 a b c 2 ab 2 ac 2 bc
1)
a2 a
(a,b,c 0)
IV – C¸c d¹ng to¸n vÒ hµm sè
LÝ thuyÕt chung
1) Kh¸i niÖm vÒ hµm sè (kh¸i niÖm chung).
NÕu ®¹i lîng y phô thuéc vµo ®¹i lîng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña
x ta lu«n x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y th× y ®îc gäi lµ hµm sè
cña x vµ x ®îc gäi lµ biÕn sè.
*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ...
*) Chó ý:
Khi ®¹i lîng x thay ®æi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y
®îc gäi lµ hµm h»ng.
*) VÝ dô: C¸c hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ...
2) C¸c c¸ch thêng dïng cho mét hµm sè
a) Hµm sè cho bëi b¶ng.
b) Hµm sè cho bëi c«ng thøc.
- Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m �)
- Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b
Trong ®ã: x lµ biÕn, a,b �, a 0 .
a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc.
- Chó ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = 2ax ( a 0 )
Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc y = ax + bx + c
(trong ®ã x lµ biÕn, a,b,c �, a 0 ).
Chó ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 + bx ( a 0 )
NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 ( a 0 )
3) Kh¸i niÖm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x �. Víi x1, x2 bÊt k× thuéc R
a) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) còng t¨ng lªn th× hµm
sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm ®ång biÕn.
NÕu x1 x2 m� f(x1 ) < f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R
b) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) gi¶m ®i th× hµm sè y
= f(x) ®îc gäi lµ hµm nghÞch biÕn.
NÕu x1 x2 m� f(x1 ) > f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R
4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a 0 ).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn �.
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn �.
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch
biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hµm sè.
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸
trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a) Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong §å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã
®ã x lµ biÕn, m �) lµ mét ®êng y lµ biÕn, m �) lµ mét
th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.
®êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.
b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a 0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ;
a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ
hµm sè y = ax ( a 0 )
c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b 0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp
c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( b , 0).
a
*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n
+) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b ( a,b 0 )
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b) Oy
d)
Cho y = 0 => x = b , ta ®îc N( b ; 0) Ox
a
a
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b ( a,b 0 )
§å thÞ hµm sè y = ax2 ( a 0 ) lµ mét ®êng cong yParabol cã ®Ønh O(0;0).
NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
x
O
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0. a < 0
y
a>0
6)
*)
+
+
+
+
*)
+
x
VÞ trÝ t¬ngO ®èi cña hai ®êng th¼ng
Hai ®êng th¼ng y = ax + b ( a 0 ) vµ y = a’x + b’ ( a' 0 )
Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’.
Song song víi nhau nÕu a = a’, b b’.
C¾t nhau nÕu a a’.
Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 .
Hai ®êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0)
Trïng nhau nÕu a b c
a'
b'
c'
Song song víi nhau nÕu a b c
a'
b'
c'
+
C¾t nhau nÕu a b
a'
b'
+
7) Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b ( a 0 ) vµ trôc Ox
Gi¶ sö ®êng th¼ng y = ax + b ( a 0 ) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A.
Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b ( a 0 ) lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT
(víi T lµ mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = ax + b cã tung ®é d¬ng).
- NÕu a > 0 th× gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh
theo c«ng thøc nh sau: tg a (cÇn chøng minh míi ®îc dïng).
NÕu a < 0 th× gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh
- theo c«ng thøc nh sau:
1800 víi tg a (cÇn chøng minh míi ®îc dïng).
y
y
T
T
(a < 0)
(a > 0)
A
O
x
A
O
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè
D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè.
D¹ng 3: Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn.
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a 0 ).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn �.
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn �.
x
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax 2 ( a 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch
biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸
trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a) Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong §å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã
®ã x lµ biÕn, m �) lµ mét ®êng y lµ biÕn, m �) lµ mét
th¼ng lu«n song song víi trôc Ox.
®êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.
b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a 0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ;
a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ
hµm sè y = ax ( a 0 )
c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b 0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp
c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( b , 0).
a
*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n
+) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b ( a,b 0 )
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b) Oy
d)
Cho y = 0 => x = b , ta ®îc N( b ; 0) Ox
a
a
VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè
y = ax + b ( a,b 0 )
§å thÞ hµm sè y = ax2 ( a 0 ) lµ mét ®êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0).
NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0.
y
y
O
a>0
x
a<0
x
O
D¹ng 5: §iÓm thuéc vµ kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè.
*) §iÓm thuéc ®êng th¼ng.
- §iÓm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yA = axA + b
- §iÓm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yB= axB + b
*) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a 0 )
- §iÓm A(x0; y0) (P) y0 = ax02.
- §iÓm B(x1; y1) (P) y1 ax12.
D¹ng 6: X¸c ®Þnh hµm sè
D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hµm sè
*) Ph¬ng ph¸p:
§Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng y = ax + b ( a 0 ; a,b cã chøa tham sè)
lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh sau:
Bíc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh lµ A(x0; y0) mµ ®êng th¼ng y = ax + b lu«n ®i qua
víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m
Bíc 2: Thay x = x0; y = y0 vµo hµm sè ®îc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®æi vÒ d¹ng
<=> A( x0 ,y0 ).m B( x0 ,y0 ) 0 , ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng víi mäi gi¸ trÞ
cña tham sè m hay ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m
Bíc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
A(x 0 ,y 0 ) 0
)
B(x 0 ,y 0 ) 0
( A( x0 ,y0 ).m B( x0 ,y0 ) 0 , cã v« sè nghiÖm
D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ
8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
Giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
y a xb
1
1
Lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
y
a
x
b
2
2
8.2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®êng th¼ng.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n.
Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x.
Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®îc vµo hµm sè y = ax2 hoÆc y = mx + n ta t×m ®îc y.
+ Gi¸ trÞ cña x t×m ®îc lµ hoµnh ®é giao ®iÓm.
+ Gi¸ trÞ cña y t×m ®îc lµ tung ®é giao ®iÓm.
8.3: T×m sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng vµ Parabol.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n. (*)
+ Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( < 0) (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm
chung.
+ Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0) (d) tiÕp xóc víi (P).
+ Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ( > 0 hoÆc ac < 0)
(d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
8.4: T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng
th¼ng.
Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè)
XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm a’x2 = ax + b. (*)
+ (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung
Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( < 0)
+ (d) tiÕp xóc víi (P) Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0).
NghiÖm kÐp lµ hoµnh ®é ®iÓm tiÕp xóc
+ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (*) cã hai
nghiÖm ph©n biÖt ( > 0 hoÆc ac < 0). Hai nghiÖm ®ã lµ hoµnh ®é
cña hai giao ®iÓm
8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng
th¼ng.
Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’ 0)
(a’, a, b cã chøa tham sè)
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i A(xA; yA).
C¸ch lµm: Thay täa ®é cña A vµo hµm sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham
sè.
Dang 9: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
9.1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(xA; yA) vµ B(xB; yB) trong ®ã xA xB vµ yA yB.
Ph¬ng ph¸p:
Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A vµ B cã d¹ng
y = ax + b (a 0).
Do A (d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)
Do B (d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)
y A ax A b
yB ax B b
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nµy t×m ®îc a, b vµ suy ra ph¬ng tr×nh
®êng th¼ng (d) cÇn lËp
9.2: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M(x0 ; y0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k.
Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng
y = kx + b
Bíc 2: §êng th¼ng nµy ®i qua M(x0 ; y0) => y0 kx0 b
=> b y0 kx0
Bíc 3: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = kx y0 kx 0
9.3: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(m; yA) vµ B(m; yB) trong ®ã yA yB.
Ph¬ng ph¸p:
Do A(m; yA) (d): x = m;
Do B(m; yB) (d) : x = m;
VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): x = m
9.4: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(xA; n) vµ B(xB; n) trong ®ã xA xB.
Ph¬ng ph¸p:
Do A(xA; n) (d): y = n;
Do B(xB; n) (d) : y = n;
VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): y = n
10
9.5: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(xA ; yA) vµ tiÕp xóc víi ®êng
cong y ax2 (a 0)
Bíc 1: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’
Bíc 2: §êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®êng cong y ax2 (a 0 )
khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 a 'x b' cã nghiÖm
kÐp. Ta cho 0 , t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1)
Bíc 3: §êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) => y A a 'x A b' (2)
Bíc 4: Tõ (1) vµ (2) ta cã mét hÖ ph¬ng tr×nh hai Èn lµ a’ vµ b’. Gi¶i hÖ t×m
®îc a’ vµ b’ => ph¬ng tr×nh cÇn lËp
9.6: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong
2
y ax (a 0 )
Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lµ y = ax + b
V× ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k nªn a = k => y = kx + b
Bíc 2: §êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®êng cong y ax2 (a 0) <=>
ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm
2
2
kx b ax ax kx b 0 cã nghiÖm kÐp
Cho 0( ' 0) => b = ?
Bíc 3: Tr¶ lêi
D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng
10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.
Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm.
Bíc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®êng th¼ng võa lËp.
10.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng hµng.
Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n gi¶n nhÊt.
Bíc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng võa lËp.
Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 11: Ba ®êng th¼ng ®ång qui
11.1: Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång qui.
Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.
Bíc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®êng th¼ng cßn l¹i.
11.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®êng th¼ng ®ång qui.
Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt.
Bíc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cßn l¹i. Gi¶i
ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 12: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè
12.1: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè bËc nhÊt
Cho hai ®êng th¼ng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) c¾t (d2) a1 a2
+) (d1) // (d2) a1 = a2
+) (d1) (d2) a1 = a2 vµ b1 = b2
+) (d1) (d2) a1.a2 = -1 (ph¶i chøng minh míi ®îc dïng)
12.2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
a a
(1)
§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× 1 2
b1 b2 (2)
Gi¶i (1)
Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ m·n (1).
12.3: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
11
a1 a2 (1)
§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× b1 b2
(2)
a a
1
2
Lu ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè.
D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch
b»ng c
Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam
gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a 0,b 0 => ®iÒu kiÖn cña m
Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ
giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh
A(0 ; b) vµ B( b ;0 )
ð
a
Bíc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã
SOAB = 1 OA.OB 1 b . b c
2
2
a
=> m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë bíc 1)
D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n
C¸ch 1:
Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam
gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a 0, b 0
=> ®iÒu kiÖn cña m
Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ
giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh
A(0 ; b) vµ B( b ;0 )
ð
a
Bíc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=> b b
(*)
a
Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta t×m ®îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn ë bíc1)
C¸ch 2: §å thÞ hµm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n khi vµ chØ
khi ®êng th¼ng y = ax + b song song víi ®êng th¼ng
y = x hoÆc song song víi ®êng th¼ng y = - x
D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai
®êng th¼ng ax + by = c vµ a–x + b–y = c– n»m trong c¸c gãc phÇn t cña hÖ
trôc täa ®é.
Bíc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®êng th¼ng, chÝnh lµ nghiÖm
ax by c
a 'x b'y c'
cña hÖ ph¬ng tr×nh:
Bíc 2:
x 0
y 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø I th× ®iÒu kiÖn lµ:
x 0
y 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø II th× ®iÒu kiÖn lµ:
x 0
y 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø III th× ®iÒu kiÖn lµ:
x 0
y 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ:
Bíc 3: T×m m = ?
D¹ng 16:
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0
12
A 0
B 0
Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=>
Bíc 2: Gi¶i hÖ nµy t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè
V - C¸c d¹ng to¸n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh
LÝ thuyÕt chung
1. §Þnh nghÜa:
HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lµ:
ax by c
(I)
(trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè)
a' x b' y c '
2. §Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm
- NghiÖm (x0 ; y0) cña hÖ (I) lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ
- NÕu hai ph¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ ph¬ng tr×nh v«
nghiÖm
- Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (t×m tËp nghiÖm) cña nã.
*) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã
v« sè nghiÖm, v« nghiÖm.
ax by c
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
a'
x
b'
y
c
'
a b c
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu
a' b' c '
a b
c
+ HÖ v« nghiÖm nÕu
a' b' c '
a b
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu
a' b '
+ §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lµ
ab’ – a’b = 0
3. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .
ax by c
a' x b' y c '
a) Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
*) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè
Bíc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu
cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh cña
hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.
Bíc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong
®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ
ph¬ng tr×nh mét Èn)
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc, råi suy ra nghiÖm cña hÖ
®· cho
*) Tæng qu¸t:
ax by c
(b b')y c c '
+ NÕu cã
ax b' y c '
ax b' y c '
ax by c
(b b')y c c '
+ NÕu cã
ax b' y c '
ax b' y c '
ax by c
k.ax kby kc
(kb b ')y k.c c '
+ NÕu cã
k.ax b' y c '
k.ax b' y c '
ax by c
b) Ph¬ng ph¸p thÕ.
13
*) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ
Bíc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc mét hÖ
ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®·
cho
*) Tæng qu¸t:
a
c
y
x
a
c
ax by c
b
b
y x
b
b
a' x b' y c '
a ' x b ' a x c c '
a' x b' y c '
b
b
c) Ph¬ng ph¸p ®å thÞ
- VÏ hai ®êng th¼ng biÓu diÔn hai tËp nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ
- Dùa vµo ®å thÞ, xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng
+) NÕu hai ®êng th¼ng c¾t nhau th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, dùa vµo
®å thÞ ®o¸n nhËn nghiÖm duy nhÊt ®ã, sau ®ã thö l¹i vµ kÕt luËn
nghiÖm cña hÖ
+) NÕu hai ®êng th¼ng song song th× hÖ v« nghiÖm
+) NÕu hai ®êng th¼ng trïng nhau th× hÖ cã v« sè nghiÖm
Chó ý: Cã thÓ ®Æt Èn phô tríc khi ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ: (¸p dông
cho c¸c hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, díi dÊu c¨n bËc hai.)
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè
D¹ng 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè
Ph¬ng ph¸p:
Bíc 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hÖ ph¬ng tr×nh
Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè võa thu ®îc.
D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè
- Dïng ph¬ng ph¸p céng hoÆc thÕ ®Ó t×m x theo tham sè m (hoÆc y theo tham sè
m), lµm xuÊt hiÖn ph¬ng tr×nh cã d¹ng :
Ax = B (1) (hoÆc Ay = B)
NÕu A = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = B.
+) Khi B = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 0
ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
=> hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
+) Khi B 0 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
=> hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu A 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt
B
A
x B
A
=> hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
y y(m )
D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt, v«
nghiÖm, v« sè nghiÖm.
*) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã v« sè
nghiÖm, v« nghiÖm.
ax by c
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
a'
x
b'
y
c
'
a b c
a' b ' c '
a b c
+ HÖ v« nghiÖm nÕu
a' b' c '
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu
14
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu
a b
a' b'
D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh
6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh.
(1)
ax by c
Cho hÖ ph¬ng tr×nh :
ax by c (2)
x x0
T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
y y0
C¸ch 1:
Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (1) vµ gi¶i.
Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (2) vµ gi¶i.
C¸ch 2:
Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ
tham sè
6.2: T×m hai gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh.
ax by c
ax by c
Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
x x0
cã nghiÖm
y y0
Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh ta ®îc
ax 0 by 0 c
ax0 by0 c
Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè.
D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y.
(1)
ax by c
(I)
ax by c (2)
Cho hÖ ph¬ng tr×nh :
Cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)
Bíc 1: Tríc hÕt cÇn t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ (I) cã nghiÖm duy
nhÊt
Bíc 2: Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ (I) vµ tho¶ m·n (3) (x; y) lµ nghiÖm
cña (1), (2), (3). KÕt hîp 2 ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng
tr×nh => Gi¶i hÖ t×m nghiÖm thay vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i
Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè
D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x 0 ; y0)
lµ nh÷ng sè nguyªn
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
Bíc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 díi d¹ng
b
v�i a, b Z
A(m )
d
y0 c
v�i c, d Z
B(m )
b
x Z
Z A(m ) � ( b)
0
A(m )
m ?
d Z B(m ) � (d )
y0 Z
B(m )
x0 a
*) §Æc biÖt nÕu :
b
v�i a, b Z
A(m )
d
y0 c
v�i c, d Z
A(m )
x0 a
15
=> x0 ,y0 Z A(m ) � C( b,d ) m ?
D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x, y lµ
P(x,y) = ax2 + bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.
C¸ch 1:
Bíc 1: Tríc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
duy nhÊt
Bíc 2: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y lµ:
P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè).
2
k < 0 kA (x) 0 kA2(x) + d d P(x,y) d
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
k > 0 kA2(x) 0 kA2(x) + d d P(x,y) d
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0.
C¸ch 2:
P(x,y) = ax2 + bx + c ax2 + bx + c – P(x,y) = 0
Bíc 1: TÝnh hoÆc ' .
Bíc 2: §Æt ®iÒu kiÖn 0 ( ' 0)
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y).
P(x,y) e Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi
=' = 0 x
b b '
=
.
a
2a
P(x,y) e Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi
b b'
=
=' = 0 x
2a
a
D¹ng 10: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè
1. Ph¬ng ph¸p:
ax by c
trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham sè
a ' x b ' y c '
Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
m. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m ?
*) C¸ch 1:
Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cña hÖ ta rót m theo x vµ y lµ
m = A(x,y)
Bíc 2: Thay m = A(x,y) vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta
®îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham
sè m
*) C¸ch 2: Sö dông ®èi víi hÖ ph¬ng tr×nh cã tham sè m díi d¹ng bËc nhÊt
ax by c
m A( x, y )
a ' x b ' y c '
m B( x, y )
Bíc 1: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh
Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). §©y lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng
phô thuéc vµo tham sè m
Lu ý: Ta cÇn rót gän c¸c hÖ thøc sao cho ng¾n gän, ®¬n gi¶n nhÊt
D¹ng 11: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng
®¬ng
- Hai hÖ ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp
nghiÖm (tøc lµ mäi nghiÖm cña hÖ nµy ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ngîc l¹i)
D¹ng 12: Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh theo ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô vµ
gi¶i mét sè hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng ë d¹ng hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn
(hÖ ®Æc biÖt)
VI – Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
PhÇn I: Ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè
16
I. §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph¬ng tr×nh bËc hai) lµ
ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 bx c 0 ( a 0)
Trong ®ã: x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè
II. Ph©n lo¹i.
1. Ph¬ng tr×nh khuyÕt c: ax2 + bx = 0 (a 0)
Ph¬ng ph¸p gi¶i:
ax2 + bx = 0 (a, b 0)
x(ax + b) = 0
x 0
x b
a
b
a
2. Ph¬ng tr×nh khuyÕt b: ax2 + c = 0 (a, c 0)
Ph¬ng ph¸p gi¶i:
ax2 + c = 0 (a 0)
c
x2
a
+)
c
NÕu
< 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
a
+)
c
NÕu
> 0 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 0; x2 =
x1
c ;
c
x2
a
a
3. Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ: ax2 + bx + c = 0 (a , b, c 0)
*) C«ng thøc nghiÖm:
= b2 - 4ac
+) < 0 Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
+) > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1 = b ; x2 = b
2a
2a
+) = 0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =
b
2a
* ) C«ng thøc nghiÖm thu gän
NÕu b = 2b’ (b’ = b ) ta cã : ’ = b’2 - ac
2
+ NÕu ’ > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ :
x1
b ' '
b ' '
; x2
a
a
+ NÕu ’ = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
x1 = x2 =
b '
a
+ NÕu ’ < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
PhÇn II – C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh chøa tham sè
D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè
Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh
D¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn ph¬ng tr×nh theo tham sè
Tæng qu¸t:
Víi a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = 0.
+ NÕu b 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = c
b
17
+ NÕu b = 0 vµ c 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
Víi a 0 ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè:
= b2 – 4ac ( hay ’ = b’2 – ac)
+ NÕu < 0 ( ’ < 0) th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ NÕu = 0 ( ’ = 0) th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
x1 = x2 = - b = b '
2a
a
+ NÕu > 0 ( ’ > 0) th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
x1 = b b' ' ; x2 = b b' '
2a
a
2a
a
D¹ng 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
- XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:
Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp
vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã
nghiÖm
Trêng hîp 2: a ≠ 0, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm <=>
0 ' 0
D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã hai nghiÖm ph©n biÖt
a 0
<=>
0( ' 0)
D¹ng 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
a 0
Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=>
0( ' 0)
D¹ng 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
- XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:
Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp
vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh v«
nghiÖm
Trêng hîp 2: a ≠ 0, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn v« nghiÖm
<=> 0 ' 0
D¹ng 7: Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt
§Ó chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a 0
C¸ch 1: Chøng minh:
ac 0
a 0
C¸ch 2: Chøng minh:
0
Chó ý: Cho tam thøc bËc hai = am2 bm c
a 0
2
m b 4ac 0
§Ó chøng minh 0, m ta cÇn chøng minh
D¹ng 8: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu, tr¸i
dÊu, cã hai nghiÖm d¬ng, cã hai nghiÖm ©m, cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt, cã
hai nghiÖm ©m ph©n biÖt, cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau, cã hai nghiÖm lµ
hai sè nghÞch ®¶o cña nhau
18
Cho ph¬ng tr×nh ax2 bx c 0 ; trong ®ã a, b, c chøa tham sè
S x x b
1
2
a
Theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt, ta cã :
P x1 x2 c
a
a 0
a 0
a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu <=> 0 hoÆc 0
P 0
ac 0
a 0
a 0
b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu <=>
hoÆc
P 0
ac 0
a 0
0
c) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng <=>
P 0
S 0
a 0
0
d) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m <=>
P 0
S 0
a 0
0
e) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt <=>
P 0
S 0
a 0
0
f) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt <=>
P 0
S 0
g) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau
a 0
<=> 0
b 0
S x1 x2
a
h) Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau
a 0
<=> 0
c 1
P x1 x2
a
D¹ng 9: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm
19
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Bíc 2: TÝnh x1 + x1 =
b
c
vµ x1.x1 =
a
a
Bíc 3: BiÓu thÞ ®îc c¸c biÓu thøc theo x1 + x1 vµ x1.x1 ; sau ®ã thay gi¸ trÞ
cña x1 + x1 vµ x1.x1 vµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
Chó ý:
a2 b2 (a b)2 2ab
a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
(a b)2 (a b)2 4ab
( a b)2 (a b) 2 a.b
a4 b4 (a2 b2 )2 2a2b2
(a,b 0)
a3 b3 a a b b
( a b)(a ab b)
(a,b 0)
D¹ng 10: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n
mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
1 1 n
a) x1 x2
b)
c) x12 x22 k
d) x13 x23 t ,
x1
x2
.... ...............
Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2. Gi¶i
a 0
hÖ §K:
=> m = ?
0
S x x b
1
2
a
Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:
P x1 x2 c
a
Bíc 3: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi (lµ mét ®¼ng thøc hoÆc bÊt ®¼ng thøc)
®Ó cã tæng vµ tÝch hai nghiÖm, sau ®ã thay tæng vµ tÝch hai nghiÖm cã ®îc ë
bíc 2 vµo ®iÒu kiÖn võa biÕn ®æi; tõ ®ã gi¶i
ph¬ng tr×nh hoÆc bÊt ph¬ng tr×nh víi biÕn lµ tham sè ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham
sè. TiÕp theo kiÓm tra xem c¸c gi¸ trÞ tham sè t×m ®îc cã tháa m·n hÖ ®iÒu kiÖn
ë bíc 1 hay kh«ng ?
HoÆc cã bµi to¸n ta kÕt hîp ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi víi mét hÖ thøc Vi - Ðt ®Ó
t×m hai nghiÖm x1, x2 (gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi hai Èn lµ x1, x2); sau ®ã ta thay
x1, x2 vµo hÖ thøc Vi – Ðt cßn l¹i ®Ó t×m tham sè.
D¹ng 11: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = x1. T×m nghiÖm cßn
l¹i
Bíc 1: Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh, ta cã:
ax12 bx1 c 0 m ?
Bíc 2: §Ó t×m nghiÖm cßn l¹i x2 ta thùc hiÖn theo hai c¸ch:
C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña m vµo ph¬ng tr×nh ban ®Çu. Tõ ®ã cã ph¬ng tr×nh
bËc hai vµ gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x2
C¸ch 2: TÝnh x2 nhê ®Þnh lÝ Vi - Ðt: x2 S x1 ho�c x2 = P : x1
D¹ng 12: T×m ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt tríc hai nghiÖm sè
Trêng hîp 1: Cho tõng nghiÖm x1, x2 . Ta cã ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ :
( x x1 ) x x2 0 x2 ( x1 x2 ) x x1 x2 0
20
- Xem thêm -
.DOC 
28 
277 
147 
