Tài liệu Toán học cao cấp.

NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên) TOÁN HỌC CAO CẤP T Ậ P BA PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIÊU BIẾN số NHÀ X U Ấ T BẢN GIÁO DỤC V IỆ T NAM Chương I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN s ố 1.1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến s ố Xét không gian Euclide n chiều R" (n > 1). Một phần tử X G R" là một bộ n số thực (X|, ánh xạ X2 , . . . , Xj,). D là một tập hcfp trong R". Người ta gọi f :D ^R xác định bởi X = (Xj, X2 ,..., x^) 6 D 1-^ u = f(x) = f(X|, X2 ,..., e R là một hàm sô của n biên sô xác định trên D ; D được gọi là miên xác định của hàm số f ; X], X2,..., được gọi là các biến sốđộc lập. Nếu xem X|, X2,..., là các toạ độ của một điểm M e R" trong một hệ toạ độ nào đó thì cũng có thể viết u = f(M). Trong trường hợp thường gặp n = 2 hay n = 3, người ta dùng kí hiệu z = f(x, y) hay u = f(x, y, z). Trong giáo trình này ta sẽ chỉ xét những hệ toạ độ đêcac vuông góc. 1.1.2. Tập hợp trong R" • Giả sử M(X|, X2.... x„), N(yj, y2„.. y^) là hai điểm trong R" Khoảng cách giữa hai điểm ấy, kí hiệu là d(M, N), được cho bỏi công thức / n _ d(M, N) = n1/2 /X i-Y i) Vi=i Có thể chứng minh đuợc rằng với ba điểm A, B, c bất kì trong R", ta có d(A, C) < d(A, B) + d(B, C) (bất đẳng thức tam giác) • Mq là một điểm thuộc R". Người ta gọi e - lân cận của Mq là tập hợp tất cả những điểm M của R" sao cho d(M(), M) < e. Người ta gọi lán cận của Mq là mọi tập hợp chứa một f. - lân cận nào đó của Mq. • E là một tập hợp trong R". Điểm M e E được gọi là điểm trong của E Iiếu tồn tại một £ - lân cận nào đó của M nằm hoàn toàn trong E. Tập hợp E được gọi là m ở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. • Điểm N e R" được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi e - lân cận của N đều vìra chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E, cũng có thể không thuộc E Tập hợp tất cả những điểm biên của E được gọi là biên của nó. • Tập hợp E được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó (tức là biên của E là một bộ phận của E). Ví dụ : Tập hợp tất cả những điểm M sao cho d(Mo, M) < r, trong đó Mq là một điểm cố định, r là một số dương, là một tập hợp mở. Thật vậy, gọi E là tập hợp ấy. Giả sử M là một điểm bất kì của E, ta có d(Mo, M) < r. Đặt E = r - d(Mo, M). E - lân cận của M nằm hoàn toàn trong E vì nếu p là một điểm của lân cận ấy thì ta có d(M, P) < E, do đó theo bất đẳng thức tam giác. d(Mo, P) < d(Mo, M) + d(M, P) < d(Mo, M) + E = r. ■ Tập hợp E ấy được gọi là qud cầu m ở tâm Mg, bán kính r. Biên của tập hợp ấy gồm những điểm M sao cho d(Mo, M) = r, được gọi là mặt cầu tâm Mq bán kính r. Tập hợp những điểm M sao cho d(Mo, M) < r là một tập hợp đóng được gọi là quả cầu đóng tâm Mfl bán kính r. • Tập hợp E dược gọi là hị clỉậỉì ỉiếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó. • Tập hợp E được gọi là liéỉì ỉlìỏỉìg nếu có thể nối hai diểm bất kì M |, M-) cùa E bởi một đường liẻn Hình 1.1a Hình 1.1b lục nằm hoàn loàn trong E ; lập hợp liên thông được gọi là ííơn Hển nếu nó bị giớithiệu bởi một mặt kín (hình l.la ), là đa Ỉiêỉt nếu nó bị2 Ìớihạn bơi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một (hình l.lb ). 1.1.3. Miền xác định của hàm sô' nhiều biến số Ta quy ước rằng nếu hàm số u được cho bời biểu thức u = f(M) mà không nói gì thêm về mién xác định của nó thì micn xác định của u được hiểu là tập họfp tất cả những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa, thường đó là một lập hợp liên thông. \ dụ ì : Hàm số z = ^ i-x ^ trong miền được xác định -i- y“ < 1, tức là trong quả cầu đóng tâm o bán kính 1 (hình 1.2 ). V í dụ 2 : Miền xác định cùa hàm số z = ln(x + y - 1) là miền X + y > 1 (hình 1.3). Hình 1.2 \ 'í cìụ 3 : Hàm số X = = r được xác , 2 V l - x ^ - y. .1 ■ 2 . định khi < 1, miền Li xác định của nó là quả cầu mở tâm o bán kính 1. Sau này các khái niệm sẽ được trình bầy chi tiết cho trường hợp n = 2 hay n = 3 ; các khái niệm ấy cũng được mỏ rộng cho trường hợp n nguyên dương bất kì. 1.1.4. Giới hạn của hàm s ố nhiều biến số • Ta nói rằng dãy điểm ỊMj^(Xj^, y„)Ị dần tới điểm M()(Xq, Ỵq)trong và viết lim d(M o,M j,) = 0 hay n—><» M q khi n ^ oo nếu nếu lim x„ =X q , lim Yn =Yon— n— • Giả sử hàm SỐ z = f(M) = f(x, y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm Mq(Xq, Yo), có thể trừ tại Mq. Ta nói rằng hàm số f(M) có giới hạn I khi M(x, y) dần đến Mq nếu với mọi dãy điểm y^) (khác M q) thuộc lân cận V dần đến M q ta đều có lim f(X n,y„) = /. n-^oo Khi đó ta viết lim f(x,y) = / hay (x,yM(X(,,yo) lim f(M ) = /. Cũng như khi xét giới hạn của hàm số mộl biến số, có lliể chứng minh rằng định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau : Hàm số f(M) có giới hạn / khi M dần đến M q nếu Ve > 0, 3S > 0 sao cho d(Mo, M ) < ố = > | f ( M ) - / < 8. • Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tưcmg tự như đối với hàm số một biến số. Chẳng hạn 1 +y2 —> +00 khi (x, y) (0 , 0 ). • Các định lí về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh tương tự. xy V í dụ ỉ : Tim iim f(x,y), với f(x,y) (x.v)^(O.O) +y2 Hàm số f(x, y) xác định trên R \((0, 0)Ị. Nếu cho (x, y) —> (0, 0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có f(x, kx) = khi X 0. 1 + k' Do đó lim f(x,kx) = — x-^0 1+ Vậy khi (x, y) (0, 0) theo những phucmg khác nhau, f(x, y) dần tới những giới hạn khác nhau. Do đó không tồn tại Ví dụ 2 : Tìm lim f(x,y). (x,y)-H.(0,0 ) lim g(x,y), với g(x, y) = (x,yH( 0,0 ) Hàm số g(x, y) xác định trên R xy + y^ \ {(0, 0)Ị. Vì X •ịy?- + y ^ V(x, y) It (0 , 0 ) nên t g(x,y) Vậy lim g(x,y) = 0 (x,y)^( 0,0 ) y < y < 1, _ Ví dụ ỉ : Tim XV lim h{x,y), với h(x, y) (x,y)->(0 ,0 ) Hàm số h(x, y) xác định trên "í 2x^+3y" \ Ị (0, 0) Ị. Nếu cho (x, y) —> (0, 0) theo phương của duờng thẳng y = kx, ta có u3„2 h(x,kx) Vx 0 2 + 3 k ''x ‘^ Do đó h(x, y) —> 0 khi (x, y) (0, 0) theo mọi phương y = kx. Nhưng điều đó không có nghĩa là giới hạn phải tìm tồn tại và bằng 0. Thật vậy, nếu cho (x, y) ^ (0, 0) trên đường X = y^, ta có , 1 4 ' Do đó h(x, y) - khi (x, y) (0, 0) dọc theo đường parabôn bậc ba X = y^. 1.1.5. Tính liên tục của hàm số nhiều biến số • Giả sử hàm số f(M) xác định trong miền D, M q là mội điểm thuộc D. Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M q nếu tồn tại giới hạn lim f(M ) = f(Mf)). Nếu miền D đóng, Mn là một điểm biên của D thì lim f(M ) được hiểu là giới hạn của f(M) khi M dần đến M() ở bên trong của D. Giả sử Mq có toạ độ là (X q, yo)> M có toạ độ là ( xq + Ax, Yo + Ay). Đặt Af = f(o + Ax, yg + Ay) - f(XQ, yo)- Định nghĩa trên có thể phát biểu như sau : Hàm số f(x, y) được gọi là liên tục tại (xq, Yq) nếu nó xác định tại đó và nếu Af —> 0 khi Ax —> 0, Ay ^ 0. 8 Hàm sổ f(M) được gọi là-liên tục trong miền D nếu nó liên tục lại mọi điểm thuộc D. • Hàm số f(M) được gọi là liên tục đổu trẽn miền D nếu Ve > 0, 3Ô > 0 sao cho với mọi cập điểm M ’, M" thuộc D mà d (M \ M") < ô ta đều có f ( M * ) - f ( M " ) |< e • Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến sô liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến sớ liên tục trong một miền đóng, bị chặn thì nó bị chạn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của nó trong miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy. V í dụ 4 : Khảo sát tính liên lục của hàm số xy f(x, y) = < a nếu (x, y) (0 , 0 ) X2 + y 2 0 nếu (x, y) = ( 0 , 0 ) trong đó a là một hằng số dương. f(x, y) liên tục V(x, y) (0, 0) vì là thưcmg của hai hàm số liên tục m à mẫu số khác không. Vậy chi cần xét tại điểm (0, 0). ITieo bất đẳng thức Cauchy, ta có x y | < —(x^ +y^)==>|f(x,y) < ^ ( x ^ 2 2 ^^ Do đó nếu a > 1 thì lim f(x,y) = 0 , vậy f(x, y) liên tục (x,y)->(0,0 ) tại ( 0 , 0 ). Già s ử a < l . T a c ó X2ơ. f(x, x) = 1 — ứ ĩ-a) không liên tục tại ( 0 , 0 ). dần tới 0 khi X 0, vậy f(x, y) 1.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1.2.1. Đạo hàm riêng Cho hàm số II = f(x, y) xác dịnh trong một miền D ; Mq(X(), Ỵq) là một điểm cúa D. Nếu cho y = Yq, hàm số một biến số X f(x, Yq) có đạo hàm tại X = Xq, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng c ủ a f đối với X tại M() và được kí hiệu là f'x(XO’yo) hay |^ ( X o ,y o ) h a y |^ ( X o ,y o ) . ơx ơx Đặt A^f = f{X() + Ax, Yq) - f(X(), Y q ). Biểu thức đó được gọi là số gia riêng của f(x, y) theo X tại (Xq, Yo)- Ta có A^f ơx Ax-^o Ax Tương tự như vậy, người la định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với y tại M(), kí hiệu là fy (x o ,y o )h ay ^ ( x o , y o ) hay y { X Q ,y Q ). Các dạo hàm riêng của hàm số n biến số (n > 3) được định nghĩa tương tự. Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số nào, chỉ việc xem như hàm số chỉ phụ thuộc biến số ấy, các biến số khác được coi như không đổi, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến số. V í dụ ỉ ; z = (x > 0). 3 z y —Ị 3 z — = yx-^ dx V, , — = x^lnx. dy V í dụ 2 : u = x ‘^ zarctg— (z ^ 0). z d\x 10 ^9 y du T = 3x^zarctg—, — = x^z 1 1 ờu , y ^ — = x arctg —+ x z ơz z y 1+ = y ^ ___ y yz ^ a r c t g ^ - - / — -y z y-^+z^ 3f C///Ý thích : ^ là môt kí hiêu, chứ không phải là mót thương ; ở f và dx ơx đứng riêng rẽ không có ý nghĩa gì. 1.2.2. Vi phân toàn phần • Cho hằm số z = f(x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm MqCxq, Yo) e D, M(Xq + Ax, Yo + Ay) e D. Biểu thức Af = f(xQ + Ax, Yq + Ay) - f(xQ, Yq) được gọi là số gia toàn phần của f tại M(). Nếu có thế biểu diễn nó dưới dạng (1.1) Af = A.Ax + B.Ay + ocAx + Ị3Ay, trong đó A, B là những sô' chỉ phụ thuộc X(), Yg, còn a , 3 dần tới 0 khi M Mq, tức là khi Ax 0, Ay 0, thì ta nói rằng hàm số z là kỉuỉ vi tại Mq, còn biểu thức AAx + BAy được gọi là vi plìâii toàn ph ần của z = f(x, y) tại Mq và được kí hiệu là dz hay df. Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy. Chú thích. Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại M q(Xq, yo) thì từ đẳng thức (1.1) suy ra rằíig Af ^ 0 khi Ax ^ 0, Ay —> 0, vậy f(x, y) liên tục tại Mq. • Đối với hàm số một biến sô' y = f(x), nếu lại X = Xfl tồn tại đạo hàm (hữu hạn) f(xo) thì ta có Ay = f(Xfl + Ax) - f(X()) = f(XQ)Ax + ocAx, trong đó a —> 0 khi Ax 0, tức là f(x) khả vi tại X = Xq. Đ ối với hàm số nhiều biến sô' z = f(x, y), sự tổn tại của các đạo hàm riêng tại Mq (xq, chưa đủ để hàm số khả vi tại đó. Thật vậy, xét ví dụ sau : Y q ) 11 c^lio hàm sô xy f(x, y) = nếu (x ,y ) 7i ( 0 , 0 ) x^+y2 0 nếu(x,y) = (0 ,0 ) Ta có f'j((0,0) = lim h-^o vì f(h,0) = 0 nếu h riêng - lim h-^o f(h , 0 ) h = 0, 0, Tircmg tự. ta có fỵ(0, 0) = 0. Các đạo hàm tại (0, 0) đều tồn tại, nhưng hàm số f(x, y) không liên tục tại (0, 0) (xem ví dụ 3, mục 1.1.5) nên không khả vi tại (0, 0). •íiĐịnh lí sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm sô' z = f(x, y) khả vi tại M o(Xq, Yq). Đinh lí 1.1. N ếu hàm sỗ z = f(x, y) có các đạo hàm riêng ở lán cận điểm }'i)) rờ nếu các đạo hàm liêng ấy liên tục tại M() thì f(x, y) khả vi tại M() và ra có (1.2) dz = f j^Ax + f yAy. Thật vậy, ta có Af = f(xo + Ax, Yo + Ay) - f(X(), Yo) = = [f(Xo + Ax, Yo + Ay) - f(xQ, Yo + Ay)] + [f(Xf), Yo + Ay) - f(xQ, yo)]- Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm sô' một biến số, ta được f(Xo + Ax, Yo + Ay) - Yo + Ay) = Ax.f^(Xo + 0|A x, Yo + Ay) f(XQ, Yo + A y) - f(X(,, Yo) = A y .f y(xo, Yo + 62Ay), trong đ ó O < 0 | < 1 , 0 < 0 ') < 1. Nhưng VI f và fy liên lục tại Mq nên í\( x q + 0, Ax, y,) + Ay) = f^(X{,, yo) + a , + ^2^y) = <"y(Xo- yo) + p 12 trong đó a —> 0, p —> 0 khi Ax 0, Ay —> 0. Do đó Af = f^(x„, y(,).Ax + fy(xQ, yo).Ay + oAx +Ị3Ay, vậy f(x, y) khả vi tại M q và ta có đẳng thức (1.2). Cììú thích. Cũng như đối với hàm số một biến số, nếu X, y là biến số dộc lập thì dx = Ax, dy = Ay, do đó dz = f J(dx + f ydy. • Từ định nghĩa ta thấy rằng vi phàn toàn phần d f chỉ khác số gia toàn phần Af một vô cùng bé bậc cao hơn p = ^ ịà x - + A y - . Do đó klii Ax và Ay có trị sô' tiiyệl đối khá bé, ta có thể xem Af = df, tức là (1.3) f(X(j + Ax, Yo + Ay) = f(xQ, Yq) + f^(xo, yo)Ax + fỵ(X(), yo)Ay V’/ dự : Tính gần đúng arctg 1,02 0,95 y Xét hàm sô z = arctg—. Ta cần tính z( xq + Ax, Yo + Ay), với Xq = 1, X Yo = 1, Ax = -0 ,0 5 , Ay = 0,02. Ta có z', = — 7 ^ Theo công ihức (3), la có z(l + ^ + 2 ; z'y = - t ^ - 0,05 ; 1 + 0,02) == z ( l , l ) + =: - + 0,035 = 0,785 + 0,035 = 0,82 radian. 4 1.2.3. Đạo hàm của hàm s ố hợp D là một tập hợp trong R". Xét hai ánh xạ (p : D ^ R"’, f : Yo) = f(u(X() + h, Yo), v(xq + h, yo)) - f(u(xQ, Yo), v(X(), Yo)) và k í hiệu Uq = u(xo, Yo), Uị = u(xq + h, yo), Vg == v(xq, Yq), V| = v(Xo + h, Yo). Ta có ô = f ( U | , V | ) - f ( u o , v o ) = [ f ( u i , V | ) - f(uQ , V |) ] + [f(uQ, V | ) - f ( u o , vo )] 5 f ( U |.V |) - f ( U Q ,V |) Uị - g ọ ^ f(U o.V i)-f(U o,V o) Vị - V ọ ^ h ^1 “ ^0 ^ “ ^0 3 f 3f Vì — li ên tuc trong A nên công thức số gia gới nôi áp dung vào du dv ' f(Uị, V|) - f(uQ, V|) và f(uQ, V|) - f(uQ, Vq) cho ta Ẽ. = Ề Í(U + V trong đó U2 = U() + 0|(U| - Uq), Vj = Vq + 02(V| - Vq), 0 < 0| < 1. 0 < 02 < 1. Cho h —> 0, ta được ,, ô u h->Oh 3F = x_3f, ,9u, X 9vổv ^ ^ o - y o ) = - ^ ( « 0 ’V o ) ^ ( x o , y o ) + i ^ ( u o ’V o )i-(x o -y o )dx du dx du ơx 3 Đó là đẳng thức đầu của (1.4). Đẳng thức thứ hai của (1.4) được chứng minh tương tự. ■ 14 Các công thức ( 1.4) có thể viết dưới dạng ma trận ^du í d F d¥^ íd f dx ^ ỡu 0U y dv dx U x ỡy J au" dy dv dy trong đó m a trận 0U 3u 3x dv 3y dv dx dy được gọi là /na trận Jacobi của ánh xạ (phay m a trận lacobi của u, V đối với X, y, còn định thức của m a trận ấy được gọi là định thức .ỉacobi của u, V đối với X, y và được k í hiệu là D(x,y) Trong tính toán, người ta không phân biệt f và F, chúng lấy cùng giá trị tại những điểm tương ứng (u, v) và (x, y). Có thể viết 0 f dv _ 3f 3u d\ 0U dx dv dx ' d f _ d ỉ 3u d f dv dy dv dy 3u dy V í dụ : Cho z = e^lnv, u = xy, — = e In v.y + e . — ,2 x = ơx V _ u ^ ^ V — = e In v.x + e . —.2 y = ơy V = + y^. Ta có XV y ln (x ^ + y ^ ) + 2x +y XV xln(x^ +y^) + — ^ +y2 Chú thích I. Nếu z - f(x, y), y = y(x) thì z ià hàm số hợp của X, z = f(x, y(x)). Khi đó ta có dz dĩ ^ 15 Nếu z = f(x, y), X = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian X, y. Khi đó ta có dz ỏf dt ơx ^ VN ơy Chú thích 2. Nếu giả thiết thêm rằng 3 ở 3 3 d x ' d y ’ d x ’dy liên lục thì từ liên tục, do đó z xem n h ư hàm số của X, y là (1.4) suy ra rằng khả vi và ta có ^ _ df df ^ , dz = — dx + — dy. 3x dy Thế các công thức (1.4) vào, ta có dz = f 3f 3u 0 f 3v V f 8 f 3u v3u 3x dv d x j 1^3u 3y dv) dy = ơv ơy^ d f f du 3u ^ 3f f 3v J ì — — d x + — dy + — ^ ddx x ++ ^^ dd yy : 3ui 3x dy j ỡvi dx dv 3u dy 3f 3y du + — dv. dv Vậy vi phân toàn phần của hàm số z = f(u, v) có cùng m ột dạng d ì cho u, V là các biến sô' độc lập hay là các hàm số của những biến số độc lập khác. Do đó vi phân toàn phần của hàm s ố tìliiều biến s ố cũng cc dạng bất biến như vi phân của hàm số một biến số. Các công thức vdu - udv đúng khi Vvy V u, V là các biến số độc lập nên cũng đúng khi u, V là những hàm số của các biến số khác. d(u ±v) = du ± dv, d(uv) = udv + vdu, đ 1.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao • Cho hàm số hai biến sô' z = f(x, y). Các đạo hàm riêng fy li-, những đạo hàm riêng cấp inột. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêni, 16 câp một nêu tổn tai được gọi ià những dạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn clíio hàm riéng cấp hai dược kí hièii như sau : ỡ í ở f'ì c!-f ^ - - ; : : T = í , 2 (x,y) ỏx V dx y ax Ờ ^ d ĩ ) _ d 2f ày Vox ) .... . dyơx a f 0f ; _ a 2f ,, _ ^ Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba,... ỉ Vicỉụ: z _= x ^y .3 + x 4 z ’^ =: 2 xy'^ -h 4x'" z'y = 3x y'^ z ''2 = 2 y \ ì 2 x " = —6^x y 2 Zy^ z ”y = 6 xy" Zy2 = 6 x y. Trong ví dụ trẽn ta nhận thấy rằng z”y =Zyx- Liệu điều đó có luôn luôn đúng không ? Ta có cỉịnh lí quan trọng sau đày : Địn/i lì 1 3 (Scliwar:). Nếu trong một lân cận u nào đó của điểm ^ 0(-^0’ yo> ^'àni sô z = f(.\, y) có các dạo lìàm riêng f ”y, fy^ và lìếìỉ các dạo hàm ấy liên rục tại Mị) thì f^'y = fý'^ tại Mị). Chứng minh. Giả sử h, k là nhĩmg sô đủ nhỏ, khác 0 sao cho các điểm (X() + li, Yo), (Xq, Yo + k), (Xq + h, Yq + k) thuộc m iền u. Tính biểu thức A = [f(xQ + h, Yq + k) - f(X(), Yo + k)] - [f(xo + h, Yo) - f(xQ, Yo)] theo hai cách khác nhau. Trước hết, đạt ọ{y) = f(Xo + h. y) - f(xQ, y). 2- TOANCAOCẤP - T3 17 ta có A -(p (y o -ỉ-k )-(p (y o ). Tlieo cống thức sô gia giới nội, ta được A = k(p'(yo + 0 |k)' trong đó 0 < 9 | < 1. Nhimg 0, k 0, do giả thiết liên tục của fyj( \'à f^'y lại M q, ta được fyx(Xoơo) = fxv(Xo^yo)Định lí ấy cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm số n biến số với n > 3. Chẳng hạn, nếu u - f(x, y, z) thì “ ^yzx “ ^zxy “ ^x/.y “ 18 • Xét hàm số z = f(x, y). Vì phân toàn phần của nó d z == f^dx uz I^ax + f'dy. lyơy, nếu tổn tại, cũng là một hàm số của X, y. Vi phân toàn phần của dz nếu tốn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z và được kí hiệu là d “z. Vậy : d^z = d(d z)= d(f;dx + fịdy). Cứ tiêp tục như vậy người ta định nghĩa các vi phân cấp cao hơn d'^z = d(d^z) d"z = d(d" 'z). Giả sử X, y là những biến số độc lập, khi ấy dx = Ax, dy = Ay, đó là những hằng số không phụ thuộc X, y. Giả sử d^z tồn tại. Ta có d^z = d(dz) = (f^dx + fýdy)'^ dx + (f^dx + fýdy)'y dy = = fx2dx^ + (fxy + fỳ'x )dxdy + ^ 2 dy 2 . Giả thiêt rằng f^y và fý^ liên tục, khi đó chúng bằng nhau, vì vậy d^z = + 2 f^'ydxdy + ("idy^. Người ta thường dùng kí hiệu tượng trưng (1.5) d^x = ^ d x + — dy dx dy trong đó các bình phưưng của d d 3x ’3y lần đối với X, hai lần đối với y. chỉ phép lấy đạo hàm riêng hai 02 d \d y chỉ phép lấy đạo hàm riêng một lần đối với y, một lần đối với X. Tiêp tục tính toán như vậy, ta được công thức luỹ thừa tượng trưng ( 1.6) = 0X dx + -:^dy dy f. 19 Bây giừ giả sìr X, y không phải là biến số độc lập, mà là các hàm sò của các biến sô' dộc lập s. t. Khi ấy dx. dy không phải là những hăng sổ nữa, mà phụ thuộc vào s, t. Do đó d 'z = d(dz) = d(f;^dx + fỵdy) = = d(f^)d x + f^d(dx) + d(fỳ)dy + fỳd(dy) = f"2dx“ + 2 f;^'ydxdy + f"2dy- + fxd‘ X + fỳd-y. Rõ ràng trong trường hợp này, công thức (1.5) không còn đúng nữa, Vi phân loàn phần cấp lớn hcín hoặc bằng 2 của hàm số nhiều biến sô không có dạng bất biến. 1.2.5. Hàm s ố thuần nhất D là một tập hợp trong R" có tính chấl sau : nếu điểm M(X|, Xị,..., x^) e D, thì Vt > 0 điểm (tX|, tX2 ,..., tx^) cOng thuộc D, tức là nếu D chứa diểm M thì D cũng chứa tia nối o với M. Hàm sô' f(X|, X2 ,..., Xj,) xác định trên D được gọi là tlìiiần nhái bậc k nếu (1.7) f(tXj, tX2,..., tx„) = t*^f(X|, J Vi dụ : I 7 . T x„)Vt > 0. X x ^ y + y^z^+xz-^ , l n ^ a r c t g —,— ^ ----- — - - — là nhimg hàm số y x ^ + y -+ z^ thuần nhất theo thứ tự có bậc 1 xác định trên R “, bậc 0 xác định r trên \ { ( 0,0)K bậc 2 xác định trên r \ { ( 0 , 0, 0)}. • N ếu f là m ột liàtn s ố íhuần nììấí bậc k ĩììì các dạo hàm ỉ iêìig cấp niộỉ của ỉỉó là ỉìhững hàm s ố tlìiiần ìĩhấĩ bậc Ả' - / . ITìật vậy, đạo hàm hai vế của (1.7) đối với tf’ do đó 20 ta được (tX|, tX2,..., tXj^) ^ (tXj, tX2..... ix^) = • H ànì sổ ỷịX ị, Xị, (X|, X2..... x^) ■ là thuần nhất bậc k khi và c h ỉ khi