Tài liệu Toán cho vật lý iii lý thuyết nhóm và tenxơ

T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ I TRƯỞNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự■ NHIÊN ■ a — —______________ __ .... NGUYỄN ĐÌNH DŨNG * LÝ THUYẾT NHÓM * TENXO TT TT-TV * ĐHQGHN 530.15 NG-D 2007 1 VV-D5/18364 \_X7 N H À XUẤT B Ả N K H O A H O C V À K Ỹ THUÂT NGUYÊN ĐÌNH DŨNG TOÁN CHO VẬT LỶ III ■ .L Ý THUYẾT NHÓM •TENXƠ U J NHÀ X U Ấ T BẢN K H O A HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI - 2 0 0 7 Chịu trách Iihiệm xuất bản: Biên tập: PGS. TS. T O Đ A N G H A I N guyễn Kim Dung, N guyền SI Hiệp V ẽ bìa: Hương Lan N H À XUẤT BẲN K H O A H Ọ C VÀ KỸ T H U Ậ T 70 Trần Hưng Đạo, Hà Nội In 300 cuốn, khổ 14,5 X 20,5 cm, tại Nhà in Khoa học và công nghệ. Giấy phép xuất bản s ố : 193-2007/CXB/3-06/KHKT, do Cục xuất bản cấp ngày 18 tháng 3 năm 2007. In xong và nộp lưu chiểu tháng 9 năm 2007. LỜI MỞ ĐẦU Cuốn sách này được soạn thảo theo chương trình giảng dạy môn Lý thuyết nhóm và tenxơ cho sinh viên khoa vật lý, sinh viên hệ cử nhân khoa học tài năng, được Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia duyệt. Cuốn sách này được viết nhằm giúp cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cún sinh nắm được các công cụ toán học phục vụ cho việc học tập, nghiên cứu các vấn đề của vật lý hiện đại. Trong cuốn sách này đã trình bầy các kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm , lý thuyết biểu diễn nhóm, đại -cương về nhóm Lie, đại số và giải tích tenxơ, ứng dụng tenxơ trong lý thuyết tương đối hẹp. Phần bài tập giúp cho việc nắm chắc kiên thức. Phần phụ lục giúp các học viên hiểu và nắm vững khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tuyến tính các hàm. Cuốn sách này được soạn thảo dựa vào các bài giảng về lý thuyết nhóm và tenxơ m à chúng tôi đã trình bầy trong những năm gần đây ở Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Chúng tôi cũng tham khảo các sách giáo khoa về lý thuyết nhóm và tenxơ đã xuất bản ở trong và ngoài nước. Cuốn sách được viết chủ yếu cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh K hoa vật lý Trường Đại học Khoa học Tự nhiên nhưng cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, nghiên cứu sinh các Trường Đại học khác. 3 V ì k i n h n g h i ệ m c ò n ít c h o n ê n c h ắ c c h ắ n c u ố n s á c h n à y còn nhiều thiếu sót. Chùng tôi chân thành m onạ bạn đọc góp ý kiến phê bình để cuốn sách ngày m ột hoàn thiện hơn. rrĩ ' • ? I ác gia PGS. TS. N G U Y Ễ N Đ ÌN H DŨNG 4 MỤC LỤC m • Trang Lời nói đ ầ u ...........................................................................................................................3 Mục lục.......................................................................................................... 5 Chương I: LÝ THUYẾT NHÓM.......................................................................................... 7 §1. Khái niệm vế nhóm ......................... .............................................................................7 §2. §3. §4. §5. Một số ví dụ vé nhóm................................................................................................. 10 Các lớp ké của nhóm, nhóm con bất biến...............................................................16 Tính đồng cấu và đẳng cấu giữa hai nhóm............................................................. 18 Nhóm các phép quay trong không gian Euclide thực hai chiếu SO(2)............................................................................................................ 19 §6. Nhóm các phép quay không gian Euclide ba chiếuSO (3)....................................21 §7. Tích trực tiếp của hai nhóm....................................................................................... 24 §8. Nhóm trực giao ba chiều...........................................................................................26 §9. Nhóm SU(2) các phép biến đổi unita cổ định thứcbằng một trong không gian Euclide phức hai chỉéu.......................................... ’ ................................ 26 §10. Nhóm đối xứng các phân tử tinh th ể ....................................................................... 32 §11. Khái niệm nhóm điểm tinh th ể ................................................................................. 33 §12. Các nhóm điểm tinh thể học.................................................................................... 37 Chương II: ĐẠI CƯƠNG VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM...................................... 41 §13. Định nghĩa biểu diễn nhóm .......................................................................................41 §14. Một số ví dụ vế biểu diễn nhóm ...............................................................................43 §15. Biểu diện khả quy và biểu diễn bất khả q u y .......................................................... 45 §16. Biểu diễn tương đương, hàm đặc biểu của biểu diễn.............................................49 §17. Biểu diễn unita.......................................................................................................... 53 §18. Các bổ đé Shur.......................................................................................................... 61 §19. Các định lý vé biểu diễn tối giản (các hệ thức trựcgiao), hệ các v é c tơ ............... 65 cơ sở của không gian các hàm trên nhóm. §20. Các định lý vé hàm đặc biểu của các biểu diễn tốigiản.......................................75 §21. Tích trực tiếp của hai biểu diễn...... .........................................................................80 §22. Biểu diễn iiên hợp (Biểu diễn đối ngẫu)..................................................................84 Chương III: ĐẠI CƯƠNG VẾ NHỎM LIE........................................................................ 87 §23. Các khái niệm vé nhóm Tôpô và nhóm Lie............................................................ 87 5 §24. §25. §26. §27. §28. §29. Các tính chất của nhóm Lie...................................................................................... 90 Các hằng số cấu trúc và các định lý vé nhóm L ie ................................................ 92 Biểu diễn các phần tử của nhóm theo các vi t ử .....................................................98 Đại số Lie của nhóm Lie........................................................................................... 99 Một số ví dụ vé nhóm L ie .....................................................................................100 Nhóm Lie liên thông, nhóm Lorentz tổng q u á t...................................................103 Chương IV: CÁC KHÁI NIỆM VÉ TENXƠ VÀ ĐẠI s ố TENXƠ................................107 §30. Các toạ độ hiệp biến và phản biến của v é c tơ ...................................................107 §31. Hệ toạ độ cong của không gian ba chiếu........................................................... 109 §32. Các phép biến đổi toạ độ tổng quát.....................................................................112 §33. Véctơ phản biến, véctơ hiệp biến........................................................................ 113 (íenxơ phản biến, tenxơ hiệp biến hạng một). §34. Định nghĩa tenxơ phản biến, tenxơ hiệp biến, tenxơ hỗn hợp........................... 115 §35. Định nghĩa tenxơ đối xứng, lenxơ phản đối xứng.............................................. 117 §36. Đại sốtenxơ........................................................................................................... 118 §37. Vi phân cung đường (khoảng), tenxơ m etric...................................................... 122 §38. Giả tenxơ (tenxơ tương đối với trọng số T )....................................................... 126 Chương V: GIẢI TÍCH TENXƠ....................................................................................128 §39. Các ký hiệu Christoffel........................................................................................ . 128 §40. Đạo hàm hiệp biến................................................................................................ 132 §41. Dạng tenxơcủa gradient, divergence, rota, Laplacian...................................... 135 §42. Đạo hàm tuyệt đối của tenxơ................................................................................137 §43. Tenxơ độ cong Riemann - Christoffel..................................................................138 Chương VI. ỨNG DỤNG TENXƠ TRONG LÝ THUYẾTTƯƠNG ĐÓI H Ẹ P ............ 141 §44. Nguyên lý tương dối của Einstein........................................................................ 141 §45. Khoảng và thời gian riêng của vật....................................................................... 143 §46. Không gian Minkovski............................................................................................. 146 §47. Các phép biến đổi Lorentz.....................................................................................149 §48. Các phương trinh chuyển động tương đối tín h .....................................................157 §49. Tích phân tác dụng đối với hạt tương đối tính.......................................................164 §50. Phương trinh Lagrange tổng quát, tenxơ năng xung lượng.................................168 §51. Thế bốn chiéu và mật độ dòng bốn chiéu............................................................ 174 §52. Các phương trình trường điện từ dạng bốn chiéu................................................ 176 §53. Các bất biến của trường điện từ ............................................................................ 180 §54. Tenxơ năng xung lượng trường điện t ừ ................................................................ 182 Bài tậ p ..............................................................................................................................184 Phụ lục: Không gian tuyến tính các hám..................................................................... 200 Tài liệu tham khảo........................................................................................................ 208 6 Chưo ng I LÝ THUYẾT NHÓM §1. KHÁI N I Ệ M V Ề N H Ó M 1. Đ ịn h nghĩa nhóm Nếu một tập hợp G, trong đó có xác định một luật hợp thành trong nào đó, gọi là phép nhân nhóm, cho phép lập từ mỗi cặp hai phần tử a, b E G một đại lượng xác định, gọi là tích và ký hiệu là ab, thoả mãn các tiên đề sau: • Tính kín a b e G với m ọ i a, b E G. • Tính kết hợp a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c E G • T ín h có đơn vị Có tổn tại m ột phần tử đơn vị e E G sao cho ea = ae = a với mọi a E G. • Tính có nghịch đảo Với mọi phần tử a e G , có tồn tại một phần tử xác định a " 1e G , sao cho a a ' 1 = a'*a = e, với mọi a e G, thì tập hợp G được gọi là một nhóm. N h ó m G được gọi là nhóm giao hoán hay n hóm Abel, nếu với mọi a, b E G ta có ab ==ba. 2. Đ ịnh n gh ĩa nhóm con Một tập hợp con E của nhóm G, cũng làm thành một nhóm đối với phép nhân của n h ó m G, gọi là nhóm con của G. 7 Tất nhiên phần tử đơn vị e và toàn bộ nhóm G đều là những nhóm con của G. Hai nhóm con này gọi là nhóm tầm thường. Những nhóm con không tầm thường là nhóm con thực sự. 3. N hóm hữu hạn, vô hạn và liên tục - Số phần tử của một nhóm gọi là cấp của nhóm. Nếu cấp của nhóm là m ộ t số hữu hạn thì n h ó m gọi là hữu hạn. Trong trường hợp ngược lại, nhóm gọi là vô hạn. - Nếu mọi phần tử của nhóm vô hạn G đều là một hàm liên tục của những tham s ố nào đó và hoàn toàn được xác định bởi giá trị của những tham số này, thì nhóm G gọi là nhóm liên tục. Ta quy ước các tham số này là các biến số đ ộ c lập. - Nếu mọi phần tử của nhóm liên tục G đều là hàm khả vi theo các tham số độc lập, thì nhóm G được gọi là nhóm Lie. 4. Nhóm tuần hoàn (nhóm vòng) Do tính chất kết hợp của phép nhân nhóm ta có thể ký hiệu _ = an n lần N hóm hữu hạn được sinh ra bởi m ột phần tử a, nghĩa là gồm các phần tử có dạng a, a2, a \ ............an = e gọi là nhóm tuần hoàn hay nhóm vòng. 5. Bảng nhân nhóm Với các nhóm hữu hạn ta có thể trình bày phép nhân nhóm dưới dạng bảng nhóm được thiết lạp như các bảng nhân số thực thông thường, ta có sơ đồ nhân như sau: G: e •• • • fii • • gl • - g„ gi glgl- ■■ glÌ2- • • glgi- • ■ glgn • • • gi gĩgỉ- ■■ gígl- • • g2gi- • • gỉgn- • • 8 §J gjg. gjg2 gjgi gjgn g„ ênêl ễnỗ2 Snẽi gngn Tất n h iê n việc cho bánẹ nhân nhóm là tương đương với định nghĩa nhóm đó. Ví dụ: N h ó m quaternion Q Q: e -e -e i i -i j e -i i i -e e -j k i e -e - -i k -k J -k -k k J -j -k k -j -j j -j -k k -e e i j -i -J k J -k k -k e -e - i i J -j -i i -e e -k k -j J i -i e -e N hó m quaternion là nhóm gồm 8 phần tử e, -e, i, -i, j, -j, k, -k mà phép nhân kết hợp xác định theo bảng trên. Trong đại số học người ta thường gọi số quaternion là tổ hợp tuyến tính ae + bi + cj + dk; a, b, c, d E R, R là trường số thực. Tập hợp các số quaternion với phép nhân xác định theo bảng trên, làm thành m ộ t cấu trúc đại số gọi là thể quaternion. • Người ta thường m ở rộng một nhóm để lập ra một đại số. Một đại số là m ộ t tập hợp các phần tử lập thành một khồng gian tuyến tính trong đó ngoài phép cộng ra người ta còn định nghĩa một phép nhân tuân theo các tiên đề của nhóm, chỉ trừ phần tử không của đại số là không có phần tử nghịch đảo. 6. Đ ịnh nghía phần tử liên hợp Phần tử a của nhóm G được gọi là liên hợp với phần tử b của nhóm này nếu có một phần tử Xnào dó thuộc nhóm G mà x a X-1 = b (1.3) Quan hệ liên hợp trên là một quan hệ tương đương vì nó thoả m ã n ba tính chất 9 • Tính phản xạ: a liên hợp với a (trong (1.3) cho X = e). • Tính đối xứng: a liên hợp với b, thì b liên hợp với a. V ì a = y b y ~ 1 với y = x _1 • Tính bắc cầu: Nếu c liên hợp với b và b liên hợp với a thì c liên hợp với a. Quả vậy, từ b = x a x " l , c = z b z " 1 , ta suyra ngayc = (z x )a (z x )_l. 7. Lớp các phần tử liên hợp Vì mối quan hệ liên hợp là m ột quan hệ tương đương cho nên tất cả các phần tử của nhóm G liên hợp với m ột phần tử xác định nào đó đều liên hợp với nhau và do đó ta có thể chia nhóm G thành các tập hợp con m à tất cả các phần tử trong mỗi tập hợp đều liên hợp với nhau. M ôi tập hợp con các phần tử liên hợp với nhau của nhóm G gọi là một lớp các phần tử liên hợp. Chú ý rằng hai lớp khác nhau không có một phần tử chung nào cả, nghĩa là k h ô n g giao nhau. §2. M Ộ T SỐ V Í DỤ V Ể N H Ó M 1. Tập hợp các véctơ trong khồng gian véctơ thực n chiều R" tạo thành nhóm với phép nhân nhóm ỉà phép cộng các véctơ. - Tổng của hai véctơ thuộc R n cũng là véctơ thuộc R n (tính kín). - Phần tử đơn vị là véctơ 0. - Phần tử nghịch đảo của véctơ X là véctơ - X . N h óm này là nhóm giao hoán vì nếu X , ỹ e R n thì ta có X + ỷ = ỹ + X . 2. Tập hợp các ma trận vuông n X n chính quy (có m a trận nghịch đảo) tạo thành nhóm nhân, ký hiệu là GL(n). Nếu các yếu tố của yếu tố m a trận là phức thì là hai m a trận với các yếu AB là m a trận với các yếu 10 ma trận là thực thì ký hiệu là GL(n, R), các ký hiệu là GL( n, c ). Ta đã biết nếu A và B tố m a trận Ajj và Bịj, i, j = 1, 2 , .......... n, thì tố ma trận. II ( A B ) m - yy ^ j Aj k B kj = A ikB kj Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nhưng nói chung không giao hoán. Phần tử đơn vị của nhóm là m a trận đơn vị mà các yếu tố của nó bằng 0 khi i * j Phần tử nghịch đảo của ma trận A là m a trận A ' 1 A ‘A = A A 1 = I Chú ý rằng m a trận tích AB có m a trận nghịch đảo là ( A B ) 1 = B '‘A 3. Tập hợp các ma trận vuông n X n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm nhân, vì rằng : Nếu A có định thức bằng 1 (det A = 1) thì A ' 1 cũng có định thức bằng: det A ~ ’ = — = 1 det A Nếu A và B đều có định thức bằng 1 thì tích AB cũng có định thức bằng 1: det (AB) = (det A) (det B) = 1 N hóm các ma trận vuông (n X n) với dịnh thức bằng 1 được ký hiệu là nhóm SL(n). Nếu các yếu tố của m a trận là thực thì ký hiệu n h óm là SL(n, R), Nếu các yếu tố của m a trận là các số phức thì ta ký hiệu nhóm là SL(n, C). Các nhóm SL(n) là các nhóm con của n h ó m GL(n). 4. N hóm O(n) - Tập hợp c á c m a trận t h ự c trực giao (n X n ) . M a trận vuông thực n X n, ký hiệu là o , có tính chất o 1o = o o 1 = I nghĩa là 0 ‘ = O ' 1 được gọi là m a trận trực giao. Từ đây ta có ngay 11 (C r')T = o = ( O - y nghĩa là o 1 cũng là m a trận trực giao. Để chứng tỏ rằng nếu 0 | và 0 2 là hai m a trận trực giao thì tích 0 t0 2 c ũng là m a trận trực giao: Nếu o / = O í ' , O j = 0 ^ thì ( 0 , 0 2) r = oỊ Oj = O ĩ 10] 1 = ( 0 ,0 2r ' 5. N hóm SO(n) - Tập hợp các m a trận trực giao n X n với định thức bằng 1 (chứng m inh tương tự) 6. N h ó m U(n) - Tập hợp các ma trận unita n X n M a trận phức n X n, ký hiệu là u , có tính chất u + u = U Ư + = I nghĩa là ư + = U ' 1, gọi là m a trận unita (n X n). T ừ đáy có ngay (U ')+ = u = (IT 1)'1, nghĩa là U '1 cũng là m a trận unita. Ta dễ nhận thấy nếu ƯJ và ư 2 là hai m a trận unita thì tích U |U 2 . cũng là m a trận unita. Nếu = U f ' , \J+ 2 = U 2 1 thì ( U , U 2) + = u ; u r = u ^ u r 1 = ( u , u 2 r ' 7. N hóm s ư ( n ) - Tập hợp các m a trận unita n X n với định thức bằng 1 (chứng m inh tương tự). Các n h ó m SU(n) là các nhóm con của các nhóm Ư(n). 8. N hóm SO(n, m) - Tập hợp các phép biến đối tuyến tính thực bảo toàn tích vô hướng trong không gian giả Euclide thực (n + m) chiều. Tích vô hướng trong không gian giả Euclide thực (n + m) chiều được định nghĩa như sau: (a ’ b) ~ ( ^ 1^1 +••• ^n^II ) — (^n + l^n + I ^n + m^n +m ) T heo thuyết tương đối của Einstein không gian vật lý ba chiều và thời gian là một thể thống nhất và tạo thành khôn? gian giả Euclide thực 4 chiều Minkovski. 12 • Mỗi véctơ X trong không gian này có ba thành phần không gian là các toạ độ của véctơ bán kính f và thành phần thời gian ct (c vận tốc á n h sángo trons<_ chân không). o ' • Tích vỏ hướng của hai véctơ bốn chiều X = (ct, f ) và x ’ = ( c t \ ?') được định nghĩa như sau: (x, X1) = c2t t' - r. r' Các phép biến đối tuyến tính không - thời gian bảo toàn tích vô hướng nói trên gọi là các phép Lorentz và tạo thành nhóm Lorentz. Đó chính là nhóm s o (1,3) 9. N hóm U(n, m) - Tập hợp các phép biến đổi (phức) tuyến tính bảo toàn tích vồ hướng trong khồnơ gian giả Euclide phức n + m chiều. Tích vồ hướng trong không gian giả Euclide phức n + m chiều được định nghĩa như sau: {a,b) = ( a ‘ b, +... + a * b n ) - (a* + 1b n+I + ... + a * +nib n+m ) Nếu ta dặt thêm điều kiện định thức của các phép biến đổi phải băng 1, thì ta có nhóm SU(n, m), là một nhóm con của nhóm U(n, m). 10. Tập hợp các phép tịnh tiến củ a một không gian thực n chiều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm được định nghĩa như sau: Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến, ta được một phép tịnh tiến gọi là tích của chúng. Ký hiệu Tã và là hai phép tịnh tiến không gian trong đó điể m r bất kỳ chuyển thành r + a và r + b, Tã • f ^ r H" â T,b : r - > r + b rì nực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến này, ta có: Tr.Tr : r —> r + ã - > r -ỉ- ã + b a b Hai phép tịnh tiến này cho kết quả tương đương với phép tịnh tiến T . b +á 13 Phần tử dơn vị của nhóm Tỏ = E Ta dễ dàng thấy rằng T_ã = (T ã ) _1 Các phép tịnh tiến của m ột không gian thực n chiều tạo thành nhóm tịnh tiến T(n). Đó là một nhóm giao hoán. N h ó m tịnh tiến đảng cấu với nhóm các véctơ trong không gian m à phép nhân nhóm là phép cộng các véctơ. 11. N hóm ^ - N hóm nghịch đáo không gian (nhóm đối xứng qua gốc toạ độ). Phép nghịch đảo không gian ta ký hiệu là I thì Ir = - r Ị 2 f = r từ đó suy ra I2 = 1 và r 1 = I Tập hợp ((?y{ 1, IỊ làm thành mọt nhóm nhân giao hoán. N h ó m này là nhóm hữu hạn có hai phần tử. Bảng nhân của nhóm này là 1 I 1 1 I I I 1 1 12. N hóm - N hóm đối xứng qua mặt phẳng Phép phản chiếu qua m ặt phảng ta ký hiệu là c r , ta có ơ ơ = ơ ~ = 1 => ơ 1 = ơ Tập hợp r<^s {1, ơ*} làm thành một nhóm nhân giao hoán. N hóm này có hai phần tử. Bảng nhân của nhóm này là n 1 ơ 1 G 1 1 ơ ơ 1 13. Nhóm hữu hạn D, D* : e a b c d f a e d f b c b f e d c a c d f e a b d c a b f e f b c a e d a d ' 1= f b f = d c e là phần tử đơn vị D , là nhóm nhân hữii hạn gồm 6 phần tử. N hóm này k h ô n ” giao hoán. : 14. N hóm các sắp hàng lại của n vật (Nhóm Sn) N h ó m các sắp hàng lại cùa n vật được gọi là n h ó m đối xứng trên n vật và ký hiệu là s„. M ộ t phần tử điển hình c ủ a S5 có thể viết là [ 24153 ], có nghĩa: đặt vật thứ hai ở chỗ vật thứ nhất, vật thứ tư ở chỗ vật thứ hai, V.V.... Hai p h ầ n tử được nhân với nhau như sau: Trước hết thực hiện sắp hàng lại ỏ bên phải, sau dó thực hiện sáp hàng lại tiếp. V í dụ: [ 24153 ] [51234 ] abcde = [ 24153 ] eabcd = acedb = [ 13542] abcđe D o đó: [ 24153 ] [51234] = Ị 13542] C ấp của nhóm đối xứng s„ hiển nhiên n!. M ộ t khái niệm rất có ích đối với nhóm đối xứng s„ là sự phân 15 tích một hoán vị thành các chu trình. Chẳng hạn hoán vị [31254] đạt vật thứ nhất ở chỗ thứ hai, vật thứ hai ở chỗ thứ ba và vật thứ ba ờ chỗ thứ nhất; hoán vị đó lập thành m ộ t chu trình ký hiệu (123). Ngoài ra sự đổi chỗ hai vật thứ tư và thứ năm lại lập thành m ộ t chu trình của hai vật đó (45), như vậy bằng ký hiệu chu trình hoán vị trên có thể viết là: [ 3 1 2 5 4 ] = (123) (45) V í dụ khác : Hoán vị [ 13542 ] viết theo ký hiệu chu trình là (1) (253) (4). R õ ràng rằng thứ tự viết các chu trinh khồng quan trọng và các s ố trong bản thân một chu trình bất kỳ có thể hoán vị vòng quanh cho nhau. §3. C Á C L Ớ P KỀ C Ủ A N H Ó M , N H Ó M C O N B Ấ T b i ê n 1. Định nghĩa lớp kề của nhóm Giả g0 = e, g| phần tử a, nhóm con n h ó m con sử nhóm G có m ột nhóm con G| g ồ m những phần tử , g2... và cho a là phần tử bất kỳ của nhóm G. Tập hợp các agj , ag2.....thu được bằng cách nhân tất cả các phần tử cùa G ị với a từ bên trái đlrợc gọi là lớp kề trái của nhóm G theo Gj và ký hiệu là: a G , : {agi Ịg, e G, ị Tương tự như vậy, tập hợp các phần tử a, g,a, g 2a ..........thu được bằng cách nhân tất cả các phần tử của Gị với a từ bên phải được gọi là lớp kề phải của nhóm Ci theo n h ó m con G| và ký hiệu là: G ia : {gi a ig, e G , } Hai lớp kề trái (phải) hoặc không có một phần tử chung nào, hoặc hoàn toàn trùng nhau. T a chứng minh điều trên đối với lớp k ề trái với lớp kề phải có thể lặp lại lý luận tương tự. Giả sử hai lớp kề trái aG| và bGị của nhóm G theo n h ó m con Gị có một phần tử chung, nghĩa là có hai phần tử g| và g2 của nhóm con G, mà agi = bg2 - 16 g i . g ỉ e G, N hân cá hai vẽ cứa hệ thức này với íiị 1 từ bèn phai, ta có a = b li/ M ọi phần tử cùa lớp kề trái aG, có dạng ao. V1 § 2 ể i 1 gi ho-, o a p £= G| cho nên b g .g ^ g , (= rì là một phán tử của lớp ke bGj. Vậy mọi phần từ cùa aG| dều thuộc vào lớp bG|, nẹhĩa là aCỈ| d bGj. Tương tự như vậy bGị c aCìị . Hai hệ thức này chứng tỏ ràng hai lớp kề aG| và bCi| phải trùng nhau aGị = bG | . Ngược lại, nếu chúng không trùng nhau thì chúng không thể có phần tử nào chung. 2. Đ ịnh lý L a g r a n g e C ấp của nhóm con Gj của nhóm hữu hạn G là ước số của cấp của nhóm Ci. Chứng m inh: Ta xét m ột nhóm hữu hạn G cấp n và giả sử 11Ó có một nhóm con G | cấp nJ. Từ mệnh đề vừa dược chứng minh ờ trên ta suy ra nhóm G được tách ra thành các lớp kề không giao nhau của nhóm G theo nhóm con Gj, mỏi lớp đểu có cùng một số phẩn tử bằng sô phân tử IÌỊ củ a nhóm con G |. Nếu có m lớp kề thì số các phần tử của nhóm G là n = mnj. • Hệ quả : Một nhóm hữu hạn có cấp bàng một sô nguyên tố không thể có những nhóm con thực sự được. 3. Định nghĩa nhóm con bất biến Nhóm con E của nhóm G dược gọi là nhóm con bất biến nếu với mọi phần tử a của nhóm G , lớp kề trái aE trùng với lớp kề phải Ea: aE = Ea. T a còn viết a E a '1= E H ệ thức này chứng tó ràng với mọi phần tứ b của nhóm con E ta luôn có aba *1 E E với bất kỳ một phần tử a nào cùa nhóm Ci. 17 Vậy, theo định nghĩa, nếu n h ó m con bất biến E chứa m ột phần tử b nào đó thì nó cũng chứa tất cả các phần tử liên hợp với b. Nói khác đi, một nhóm con bất biến bao ơjờ c ũ n g chứa sọ n toàn bộ từng lớp các phần tử liên hợp. Cho một nhóm G và một n h ó m con bất biến E của nó. Mỗi phần tử a không thuộc vào E hoàn toàn xác định lớp kề aE và có thể dược xem là phần tử đại diện của lớp này. Cho hai lớp kề a E và bE đại diện bời hai phần tử a và b và xét tập hợp các phần tử là tích của m ộ t phần tử của lớp kề aE và một phần tử c ủ a lớp kề bE. Tập hợp này được ký hiệu là aEbE. Vì E là nhóm con bất biến c h o nên Eb = bE , a E b E = a b E E và do đó aEbE C l a b E Vậy tất cả các tích đang xét đều là các phần tử của lớp kề abE mà đại diện là phần tử ab. 4. Định nghĩa nhóm thương Cho nhóm G và nhóm con bất biến E của nó. Trên tập hợp các lớp kề của nhóm G theo nhóm con E ta đ ịn h nghĩa phép nhân như sau: Tích của hai lớp kề a E và bE là lớp kề abE. Phần tử nghịch đảo của lớp kề aE là lớp kề a'*E. Với phép nhân, phần tử đơn vị và phần tử nghịch đảo được định nghĩa như vậy, tập h ợ p 'c á c lớp kề của nhóm G theo nhóm con E tạo thành một nhóm gọi là n h ó m thương G/E của n h ó m G dối với nhóm con bất biến E. Tính chất kết hợp của phép nhân trên G/E suy ra vừ tính chất kết hợp củ a phép nhân trên nhóm G. 5. Nhóm dơn Một nhóm được gọi là nhóm đơn nếu Ĩ1 Ó chỉ chứa các n h ó m con bất biến tầm thường. 6. Nhóm nửa đơn Một nhóm được gọi là nh ó m nửa đơn nếu nó khổng có nhóm con bất biến giao hoán nào, kể cả chính nó. §4. TÍNH Đ Ồ N G C Ấ U VÀ Đ A N G C Ấ ư g i ữ a h a i n h ó m Cho hai nhóm G và G \ M ọi ánh xạ f từ G vào G ’ : g — -— > g' = f ( g ) thoả m ã n điều kiện 18 f(gig2) = í(gi) f(g2) với mọi £|. g2 £ G, gọi là phép đổng cấu từ G vào c r . Nếu ánh xạ f là một SOI12 , ánh (ánh xạ một đối một): gị <-■> f(g j ) thì phép đ ồ n s cấu gọi là phép dâng cấu và ta ký hiệu G - ơ . Khái n iệ m dẳng cấu cho phép đồng nhất những nhóm có cấu trúc Iìhir nhau, m ặc dù các phán tử của các nhóm đó có thế có bản chất khác nhau (hoán vị, phép quay, số, ma trận...). Theo đ ịn h nghĩa, các nhóm hữu hạn đ ẳ n s cấu với nhau đều có cấp như nhau và có bảng nhóm như nhau. Ví dụ: Các nhóm sau đẳng cấu với nhau: (/; (r\ e I e e I I I c e e ơ e ơ e G ơ e Về phương diện cấu trúc dại số thì hai nhóm đảng cấu có cấu trúc dại số g iố n g hệt nhau. •§5. NHÓM CÁC PHÉP QUAY TRONG KHÔNG GIAN E U C L ID E THỰC HAI C H I Ề U SO(2) Ta xét tập hợp Ci tất cả các phép quay trong mật phảng xoy quanh trục z: M \f = g(cp) M M" = g(i|/)M' / / / / / u/ / M (> ìk - ___________ Nếu ta thực hiện liên liếp phép quay g((p) sau đó phép quay g(Vị/) thì ta đưa điểm M đến điểm M ” : g(VỊ/)g(cp)M = M (5.1) 19