Tài liệu Toán cao cấp. tập iii (a3)

NGUYỄN VAN KHUÊ (Chù biền) PHẠM NGỌC THAO - LẺ MẬU HÀI - NQUYỄN đ ỉn h sa n g TOÁN CAO CẤP TẬP III (Ag) N H À XUẤT B Ả N G IÁ O D Ụ C -1997 51-517 (076) 214/591- 97 G D -97 M ả số: D T T 0 6 B 7 C hương XV PHƯƠ NG TRÌN H \n PH Â N (THƯỜNG) iO. M Ở Đ Ẩ U 0«1. C á c k h ả i n i ê m c ơ b ả n (i) P hư ơng tr in h vi ph&n (thưòng) là phương tr ìn h trong đó có t h a m g i a : m ộ t biến độc lậ p X, ẩ n h à m y(x), v à c á c đạo h à m (hay vi p h â n ) củ a nó tâi một cấp "n” nào đó, dạng: F (x ,y y , = (0.1) trong đó F là m ột h à m đă cho củ a các đối sô' X, y. y \ . . . , trên một miển nào đó của Cấp đạo h à m cao n h ấ t "n" trong (0.1) dược gọi là cấp của phương tr ìn h . N ếu th a m gia với n h ữ n g liãy th ừ a m à bậc cao n h ấ t là k th ì ‘*k" dược gọi là bậc của phưcíng trìn h . (ii) N g h iệ m . H àm cp(x)» X e (a,b), k h ả vi tới cấp n đưỢc gọi là nghiệm của phương tr ìn h (0, 1) nếu th a y trong (0, 1) y = ọ(x), = (p'"^(x) th ì nó sẽ được xác đ ịn h và trồ th à n h một đổng n h ấ t thức t r ê n (a, b); F (x, 0 sao cho b à i toán Cauchy: = f(x, y, y ' , .... y ( x j = yo» y'(x,) = y'o. . . . . có và chỉ có đ ú n g một nghiệm y = y(x, y^, . . tr ê n - r^Xo + r). T ừ đó với n h ữ n g giả th i ế t th o ả đáng, b ằ n g cách c h o n h ữ n g giá t r ị th a y đổi (sao cho c6 th ể áp d ụ n g đ ư ợ c định lí Picard) t a 8ẽ được m ột họ n g h iệ m củ a phương t r ì n h (phụ thuộc "n" h ằ n g số "tùy ý" ( y ^ , N g h i ệ m y - i bài toán Cauchy (C) t h ì nó được gọi ỉà n g h iệm riên g của (0.1)) khi cho C ỉ , . . . , Ca n h ữ n g giá t r ị xác định. Dĩ nhiên ò đ ây ''nghiệm” đưỢc hiểu là nghiệm trên một miển nào đó. và bài to á n Cauchy (C) ỉà nói vổi đ iề u kiện ban đẩu thuộc một miền nào đó. Ngoài r a v ân có th ể tổn tạ i những ngh iệm củ a phương tr ìn h vi p h â n không suy được từ nghiệm tổng q u á t như đă nói, ch ẳ n g h ạ n n h ư nghiệm b ấ t thư ờng, mà ta 8Ỗ gặp s a u này. 11. P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N C Ấ P 1 Xét phương t r ì n h vi p h ả n cấp 1 dạng: y' = f(x,y)» ( 1 .0 ) h a y tổng q u á t hdn, dx = g(x,y) (1.0-) Dưdi đây ta 8ẽ liệt kẽ (để ghi nhỗ) một 8ấ trư ò n g hợp điển h ì n h mà (0.1) ((1.0*)) có t h ể ^ í ỏ i được (t.l. tỉm n ghiệm tổng q u á t dược) bằng phép tín h tích p h â n (hay, n h ư người t a còn nói "tích p h á n được"). 1.1. Phương tr in h vài biến ph& n ly Đó là (1.0') với f(x,y) = f(x) v à g{x. y) = g(y), t.l. phương trìn h , f (x ) đ x + g(y)dy = 0 (1.1) hay g(y)dy = -f(x)dx Từ đó \s(y )tfy = - J/(x)dx Vậy, nếu F, G tư d ng ú n g ià n h ũ n g n guy ên h à m n ào đó cùa f v à g, thì G(y) = -F (x) + c hay G(y) + F(x) = c Biểu thức n ày cho ta h àm ẩ n y = y(x.C) là n g h i i ệ m tổng q u á t của phư úng t r i n h ( ỉ . l ) . Một biểu thức n h ư vậy được gọi là một tich p h ả n u ổ n g quát củ a phUdng trìn h . Đưòng cong y = y(x, C), h a y ờ d ạ m g ẩn G{y) + F(x) = c , t r ê n m ặ t p h ả n g (x.y) sẽ được gọi là đU íờng; cong t ứ h p h á n c ủ a phương tr ì n h ( 1 . 1 ) (với mỗi c đã chọn). Ví d ụ dv 1 -P hưđng t r ì n h đơn giản hdn cả — = f(x) dx hay dy = f(x)dx Nghiệm tổng q u á t củ a nó là: f(x)dx 2* G iải phương tr ì n h (X + I) ặ đx = K (y* + 1) Viết phương t r ì n h đưái đạng dy +1 _ x.dx x +1 v à lấy tích p h â n h ai v ế ta được : arctgy - X - In I x+11 + (C. Đó ỉà tích p h ả n tổng q u á t củ a phương tr in h , nỏ >xác dính ng h iệ m tổ n g quát: y = tg U -ln |x + l| i«2. P hư ơng tr in h đ ư a được về biến 80 p h â n ly a) Phương tr ìn h t h u ầ n n h ấ t là phương tr ì n h có d ạ m g (l.2 a ) ứ 4 oV , B ằng phép biến đổi V = — thì Ị1.2a) trở t h à n h X V + X dv ,, , = f(v) dx . hay dv — f(v) - V dx là p k ío n g t r ì n h vdi biến số p h â n ly. N ếu V = tp (x. c) là nghiệm tổng q u á t của phương t r ì n h này thì y= X 9 ( x . c) s ẽ là nghiệm t ổ n g q u á t c ủ a ( 1 . 2 a). V i dụ: Giải phuơng trìn h ẩ y dx - _ ă ì± y ì2xy Bằng phép biến dổi y = XV d ẩ n tối dv dx u V 2vdv 2v l + 3v^ dx Lấy tích p h ầ n la được 3 ln(l+3v^) = - l n | x | + c, 1 + 3v* = h ay Từ đó tích phàn của phương t r ì n h sẽ là : X (x" + 3y') = c . b) Phương trìn h dạng (a,x + b,y + c,) dx + (a^x + bịV + Bằng phép đổi biến 2 -TCC -T3 X= x +a y = Y+p dy = u 1+ y \X> với a, p lff"nghiệm c ủ a hệ a , a + b,p + c, =0. *2“ + bjP + Cj = 0 t a sẽ đ ư a p h ư ớ n g t r ì n h (1.2á‘) v l d ạ n g t h u ầ n n h ấ t Y dY _ a,X + b,Y _ ax ^ ■ a ^ X .b lv = X ^ ^ X V í d ụ : G iải p h ư đ n g t r ì n h (4x + 3y + l)d x + (x+ y +l>đl}y = c , ^ • , 4 a + 3P + 1 = 0 Ì a f - P + 1 = 0 0 = 2 p= -3 D ù n g p h é p b iế n đổi X = X + 2 y = Y - 3. s a u k h i rúit gọn t a có p h ư ơ n g t r ì n h (4X + 3Y) dX + (X+Y) dY = 0 Đ ặtY = v X t a cổ ln (2 + v )+ — L _ d v + ^ =0 {2^yf X 2+ V + lnX = C ln(2X + Y) = c - ^ 2X + Y T rỏ v ề b iế n c ũ ln(2x + y - 1) = C•- x-2 2x + y - 1 1-3. P h ư ơ n g ừ -inh vi p h á n tu yến tín h cấp m ộ t P h ư o n g t r ì n h vi p h ồ n tuyến t í n h cấp một là p h ư ư n g t r ì n h có dạng y ' 4. P(x)y = Q(*) (•) t.l tịnh tiến gốc toạ độ vể giao điểm (a, P) của các dưòng thẳng aiX+biV+c, = 0 (í=l,2). ( ’J ,.2b) Để giẳi phương t r ì n h này ta n h â n h a i v ế c ủ a p h ư d n g tr ìn h (ỉ.2b) với một h à m s ố p(x) sẽ dược xác đ ịn h s a u , py’ + pPy = p Q <=> (py)' - ( p ' ' p p )y - pQ bây giò ta chọn p để h ay p’ - p p = 0 hay p(x) = —= p p ( chọn một ng uyên h à m đơn g iả n n h ấ t tro n g ^Jp(x)đx). T a di đốn ( p y ) ' - pQ hay py = Ị p(x)Q(x)dx Vậy nghiệm tổng q u ấ t của (1.2b) 8ẽ là y(jc) = — íp(x) Q(x)dx vối p(x) = p(x) ^ V í d ụ : Giải phưdng trìn h ? dx Ta có p(x) = + y = e= e* y = e * |e * .e ' d x = 1.4. Phương trin h B ern o u iỉli ề. y ' + P(x) y = Q(x) y“ (1.2c) Cách g i ả i : Trưốc h ế t nếu a > 0 th ì t a có n g a y m ột nghiệm ỉà y « 0 mà sau đ ả ỵ ta sẽ khòng xét đ ến n ữ a . C h ia cả hai v ế cỏ y* v à viết (1.2c) dưới dạng X ^ P ( x ' ) 4 ^ = Q(x) và b iế n đổi V = — — , ta di đến p h ư ơ n g t r ì n h V' + (1 - a) P(x) V = ( l - a ) Q(x) Đó là p h ư ơ n g t r i n h tu y ế n tính, d ạ n g (1.2a) m à t a đtai giã được. V í dụ: G iải phương trìn h dx ^ X 1 B ư ớc 1: Đổi biến V = — (a = 2) ta đi dến p h ư ơ n g t T ì n l h y v’ + -1 v = - l X B ư ở c 2 : giải phương t r ì n h này: 1) p 2x 2C -x^' là n g h iệ m tẩ n g q u á t củ a .phường trìn h đã cho tr ê n m i e n x ^ o , y^o. C h ủ th ích : có t h ể xem n ghiệm y B 0 = 1ÌJĨÌ y(x,C) C-*® 1*5. C ho p h ư ơ rìg tr in h (R w a tti) y + P(x)y = Q(x) + R(x) C6 t h ể t h ấ y n ế u biết một n ghiệm r iê n g d Laẹrange'"’ (a) PhươTig tr in h C la ừ a n t: Đó là phương t r ỉ n h d ạ n g ; y = xy’ + f(y’) (1.3a) R õ ràng, b ằ n g cách cho y'(x) ■ c , t a được n g h iệ m tổng q u á t c ủ a phương t r ì n h (1.3a); y(x,C) = xC + f(C) (*) là m ộ t h ọ đưồng th ẳ n g . C ũ n g rõ r à n g rằ n g b ao h ìn h (L) củ a họ (*) l à đ ư ờ n g cong tích p h â n cho bởi m ột nghiệm "đậc biệt" của (1.3a). Q u à vậy: mỗi điểm (x, y) e L đ ểu n ă m t r ê n m ộ t đưòng t h ả n g cù a họ (*) là đưòng tiếp tu y ế n củ a L tạ i (x.y), y = y (x.Cị), và vì v ậ y X, y, y' = Cị n g h iệ m đ ú n g (1.3a). T a tìm (L) dưâi d ạ n g th a m s ố X = i(C), y = y(C) . V ậy phải có : y(C) = C,(C) + f(C) => y'(C) = Cx‘(C) + x(C) + f ’( C ) . Vì c = y ’(x) = ^ , h ay x’(C) x(C) + f(C) = 0 hay y '(C) = Cx '(C). t a p h ả i c6 x(C )= -f(C ) Vậy (L) c6 phương trìn h t h a m 6ố l à : -f'(C ) y = - C f '( C ) + f(C) ^ (b) Phương tr in h Lagrange. Đ ó là phưdng t r i n h d ạng y = X g(y') + f(y’) (1.3b) m à (1.3a) là một trư ò n g hợp đặc b i ệ t (khi g(y') B y') . H ình 2 Đ ể c h ỉ n h ữ n g d i ể m k h ô n g th u ộ o yêiỉ c ẩ u bÂt b u ộ c c ủ a c h ư ơ n g t H n h Cách giải: • Lấy y' = u làm t h a m biến, ta tìm n g h iệ m củ a (L3b) dưói d ạ n g X = x(u) y = y(u) T h ế thỉ y = xg(u) + f(u) ^ dy = g(u)dx + xg *(u)du + f ‘(u)du = y 'dx = udx ^ (g(u) - u] du + g’(u)x = - f Xu) . Đó là một p h ư ơ ng t r ì n h tuyến tí n h th e o x(u) m à t a đ ă biết cách giải. Nếu z = x(u, C) là nghiệm tổng q u á ỉ củ a p h ư ơ n g t r ì n h n ỉ y t h i n g h iệ m tổ n g q u á t củ a (L3b), dưổi d ạ n g t h a m số, 8ẽ là: x = x(u.C) y = g(u) x(u,C) + f ( u ) . (Dĩ n h iên ỏ đ â y t a giả th iế t g(u) ^ u, trưòng hợp g(u) a u đ ă được xét ỏ ( a ) ) . ỉ «7. P hư ơng tr in h vi p h á n đ ú n g (hay : hoàn chinh/) Đó ỉà phương t r ì n h cho bài d ạ n g vi p h â n đ ú n g M(x,y) dx + N(x,y)dy, t.l. phương t r ì n h : M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0. (1.7) N h ư đ ẵ biết, phương t r i n h (1.7) là phương tr ì n h đ ú n g trẽn D n ếu — - — = 0 . V(x.y) € D ( c R* v à là một tậ p mở, 1 - liên dx dy th ô n g c h ả n g hạn). Theo đ ịn h n g h ĩ a củ a d ạ n g vi p h â n đúng, tồn tại m ột hàm f(x,y) (m à ta đ ã b iế t cả cách tỉm) sao cho : df(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy =0, (x,y) € D. Hệ thức n à y tương đương v ớ i : f(x,y) ■ c , (x,y) e D v à đổ c h ín h ỉà tích p h â n (tổng quát) củ a (1.7). V í d ụ (a). G iải phương t r ì n h V 1 —+ x d x - - ^ d y = 0 y y Tac6 3x 1 _ 5y 1 0. Vậy đó là một •y ^ phương t r ì n h đúng. Dề th ấ y r ằ n g X + —X 1 2 d. — ^ h V 22 " y _=s 1 - Vậy í y - 2 + X dx ~ d y . = là tích p h â n tổ n g q u á t củ a phương t r ì n h đ â cho (trong miển { (x.y) 6 R*. y * 0}. (b) Giải p h ư ơ n g trình. x d y - y d x = xy^dx . Trước h ế t t a th ấ y ngay rằ n g y(x) » 0 là m ộ t n g h iệ m củ a phương t r ì n h v à p hư dng tr i n h này k h ông là ph ư ơ n g t r ì n h vi p h ắ n đủng. Tuy n h iê n , n ế u n h â n hai v ế với S(x,y) = — (y ;e 0) t a sẽ y* được phương t r ì n h ở ví d ụ (a) là phương t r i n h vi p h â n đúng. Vì vậy lẽ t ự n h iê n nẩy sinh v ấn dề sau: Cho p h ư ớ n g t r ì n h vi phân M(x,y)đx + N(x,y)dy = 0 Có c h ả n g m ột h à m p(x,y) * 0, mà người t a gọi là n h â n tử tích p h â n , dể p\ - v'«) = = 0 t r ê n D. õ u ' ' ' .............. EKu.v) V í d ụ 1: Phương tr ìn h F(x.y') = 0 Giả sử đ à biết h àm ẩn ẹ cùa phưong t r i n h F{(x), y= V, y’ = u Phương t r ì n h (2) tương ứng sỗ là ; u ẹ '( u ) d u + (-'l)dv = 0 là phương t r ì n h vi phân đúng. Từ đó ỉ dv = u ỉ \,ịu , v) = V o f(u, V) = u v + g(v) (f(x, y •) = x y • + R(y ’)) thì, củng n h ư trên X = u, y = f ( u , C) hay y = f(x, C) sẽ là a g h iệ m tổng q u ẳ t của p h ư ơ n g t r ì n h đ ã cho (b). Với ph ư ơ n g Irinh L agrnnge f(x, y ') = g(y ‘)x + h(y ’) phư dng t r ì n h (2) tương ửng sè là: (v - g(v)) d u - (ugXv) +h'(v))dv = 0 tà p h ư ơ ng t r i n h vi p h â n tu y ế n tín h (khống dúng, nói chung) đv g(v) - V m à ta đã b iế t cách tỉm nghiệm lổng q u á t u = u ( v , C) Vậy n g h iệ m tổng q u á t củ a p h ư ơ n g t r ì n h d ẵ cho sẻ là: x = u ( v , C ), y=f(u(v, o . v ) Thực c h á t đó c ủ n g là diểu mà t â d ã làm ỗ 1.6(b). I 2 P H Ư Ơ N G T R Ỉ N H VI P H Ả N C Ấ P CAO N h ữ n g phương tr ì n h vi p h â n cấp cao d ạ n g tổng q u á t mà t a cố th ể tích p h â n được trước h ế t p h ả i thuộc loại cổ th ể hạ cấp được bảng m ộ t phép biên đổi bién h à m nào đó. S au đâv ià một SỐ trưòng hợp: 2.1. P hư ơ ng tr ìn h hạ cấp được