Tài liệu Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. phần 1, đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỔC DÂN « LÉĐÌNHTHUÝ TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ PHẦN I: ĐẠ! số TUYỂN TÍNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI KINH TẾ QUỐC DÂN ♦ HỌC ậ LỜ I NÓI Đ Ầ U Bộ sách 'T O Á N C A O C Ẩ P c h o c ắ c N ỈIĂ k ỉ n h TÉ" được biên soạn dựa theo chưưng ĩrình món Toán cao cấp cùa Trường Đại học Kinh tể q u ố c dân, Jùng chung cho cả h a i khối: Kình tể học và Quãn ỉrị kinh doanh. Bộ sách nảv gốm có hai tập, tương ihig với hai học phấn: H ọc phán 1: Đ ại s ố luyến linh; Ịìọ c phán 2: Giải lích toán học. Cuổn sách "Toán cao cấp cho các nh à k in h t ế - P h ầ n I: Đ ại sô' tuyến lin h " bao quái nội dung học phần I , gổm có 5 chương: C hương I: T ập hợp, quan hệ và logic suy luận. C hương 2: K hông gian veciơ s ố học n chiều. C hương 3: M a trận và định thức. C hư ơng 4: Hệ phương trình tuyển tinh (Lỷ thuyết tổng quâí). C hương 5: D ạng toàn phương. Chương ỉ trình bày íóm tắt nhũng nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán học nôi chung: Tập hợp: Hệ ĩhống sô' thực và các tập s ố thực; Các khái niệm cơ hàn về quan hệ hai ngôi trong mộí tập hợp; Khái niệm ánh xạ; Đợi cương v é logic chứng minh mệnh đé. Các chư(mg 2. 3, 4, 5 hũo hờm những nội dung cơ bán cùa Đại s ố tuyến tinh. Đ ó ỉà h ệ ỉhống kiến ỉlĩíỉc lôĩ íh iểu v ể Đ ại số, thực sự cấn thiết cho các nhà kinh tế. Hệ thống kiến thức đó được lựa chọn căn cứ vào nhu cầu sừdụnỊ, toán học trong kinh lê'm à lác già đ ã nghiên cứu m ộ! cách khá k ỹ iưỡng qua các tài liệu vẻ' ^Ji.:'^ • k'l|iii«iui»i».:j. .. :■'I*...Trường Đ ạ ịh ọ c'K ín h ,t ế QuMrịetầri||:-:ị, «. ......... " , il* 1I| ''1 • ỉ'! 'Si • « i';^i ■li . 1' Kinh li’ học hiện dại vã cỊiia các khoíi hồi dưỡng kiến llìức kinh t ế của M ỹ vá Canada mù lác su i có may mắn dược iliam dự. CliưirìtỊ> 2 và chiữmị’ ĩ d é cập đến những nội cliinỉỉ f ơ bàn vé kliõn,q iịian vecíơ s ố học n chiếu, ma trận và định iliức. M ặc ch) nội chinh cùct chidHìg 2 ỉà không giun vecĩơ s ổ học fì chiêu, à đáu chươiì!^ cliiiỉig rỏi có dưa vảo ĩrưâc các khái niệm cơ bản về hệ phươììg írình Utyển tinh vù pliiửỉn^ pháp sơ cấp dé ^iải hộ phươìĩỉị trình loại này (phương pháp kh ử ẩìì liên liếp). Cãch liếp cận như v' có m i ihé' vé mặi sư phạm , bởi vì hệ phương irinli luvéh linh là cié lủi xtiấi phút ciiii Đ ụi so luyến tinh: lum nữa. các khái riệni ban dủư vc hệ phươniỊ ĩrình luyến lính vù phưuní> pháp khử ấn ìiớii tiếp s ẽ ỵiúp bạn dọc nám bắt d ễ dùng hơn cííc nội dung cùa chiửmiỊ 2 và cltiỉơng 3. Sau khi d ã ĩnuìỊ' bị càr kiến ihức cơ bẩn vé' veclơ n chiều, ma irậiì ic) định lliức, cỉiUcmg 4 đẽ cập mội cách tổng CỊIIÚI, có hệ ihổnỊị vé hệ phươiìịi trinh íttyến linh. lứ rác phưmìg pìiãp định Iưtniíị (các phươnỉ> pháp lìm nghiệm) đến các vấn íỉc JỊnh lính (diếu kiện có lìglúệin. xác cìịnli s ố ngliiậni, cấu irúc cùa Ịập hợp Iiịliiệnì V . V . . J. Đ ể giúp hạn dọc 'vfớc (ỉầu làm quen vớì việc sử dụng ioán ỈÌỌC như mội cóng CIỊ phân íich kinh lể, citối chương 4 có giài ihiệu một s ố mõ /lình íiiyCn linh trong kinh ĩế. Chuơìig 5 írình bàv mộ! cách cô đọtỉí’ các khớỉ niệm cơ bản xé dạn% lo à n p h ư ơ n g và lập Iriing v à o h a i n ộ i dunịỉ Cif hàn: b iế n đổi dạng toàn phươỉìií vé' (ỉạn^ chinh lắc \'à các dúii hiẻu nhận biếí dạng loàn phương xàc đụih {dương ìtoậc om). Dặc biệí. các dấu hiệu dạnq íoảri phưưng xác định s ẽ phục vụ cho việc xem xéỉ điéu kiện đủ cùa cực trị cùa hàm nhiềỉi biến mà chúng lởi dé cập đển ở quyển sách ỉh ừ hai: "Toán cao cấp cho các n h à kin h tế' p h ầ n l i : G iải tích íoán học Xin liat ý rằng cuõn sách này khóng bao quái dấy dù lất cà các nội dung cùa đại sỏ'ỉuyén tinh, không d ể cập đến cấu ỉrúc không giơn trìcu ĩượng. m à chỉ dừng tại ỏ những vấn đ ề ihực sự cấn Tri/ờng Đại h ọ c Kinh t ế Q ụ ố c dân i h i ế l t li<< i . / í ’ Iili-.I k i n h l ẽ v ã ư i h ì n /ý. 7 l i c i ’ t/Kíiii l i .’, lĩ! (/uau diẽỉiì như vậ\. !ÚC %ià dũ cò i ù n h llìà/ili t n ộ l klitiiiíỉ k i c i i l l i ử c h ợ p / v v à ỉriiỉli h ủ y c á c v ấ n d e h á i i ị ỉ n ự ó i i Ị i ị i ữ d c l i c p n h ậ n d ố i V('n r á c n h à k í n h !C. Trong cttõn .Siícỉi nủ\, cliúníỉ ĩôi bó qua phán lữỉì những chihìi’ minh phức ĩạp, cliũ irọnq dcn việc diễn ^ừìì các kết quả và hướng (lổn iltực liìinli lliôn>^ qua các ví thi, nhtniíỊ; vẫn (him bào kết cấu chặt chc vò nlú/l Í/Iián. Ciiõn sách nừv l() pliiàn hân niírí cùư ciión sách cíiiiịỊ tẽii lỉũ được NXB Thốini kc Miẩi bàn năm 2003 Vii lãi hán năm 2005. TroHiị pliicii hàn mới nãv. rức ỵĩấ có b ổ sưiii’ phan hùi lập kèm i l i e o m ỗ i h ù i f i i ù n ỉ i !ỳ l l i i i \ ể f I ' ừ c h ỉ n h l \ h ì iiìi iliứ c i r i i i l i b à y cúc p h é p h iế n d ố i Iiiyẽh rinh . . u \ ' S i' i ị i ủ p i c h n h i ê u chương 5. l i y iỴ ư iị' h(fiì c h o h ạ n đ ọ c . à râ iiịi p h iê n bản iià Nội, lỉiáiiị’ 8 năm 2008 L Ẻ Đ ÌN H T H U Ý Trưòng Đại học Kỉnh t ế Quốc dân 5 Chươiig 1 TẬ P HỢP, Q U A N H Ệ V À L O G IC S U Y L U Ậ N § 1 .T Ậ P HỢP ĩ. CÁC KHÁI NIỆM CO BẢN a. T ậ p h ợ p VÀ p h ấ n tử Tập hợp là m ột khái niộm nguyên thuỷ của toán học. Ta có thể nói đến các ỉập hợp khác nhau như tập hợp cây trong m ột khu vườn, tập hợp học sinh cùa m ột lớp học, tập hợp lất cả các số thực, tập hợp tất cà các sỏ' hữu tỳ,... Các đối tượng hợp thành m ột tập hợp được gọi là các phẩn íủ cùa lập hợp đó. Đ ể phân biệt, ta gọi tốn tạp hợp bằng các chừ in hoa A , B, c,... và ký hiệu các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c,... Đ ể nói rẳng a là m ột phần tử của tập hợp A ta dùng k ý hiệu: a e A (đọc là: “a thuộc A"). Ngược lại, nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì ta viết: a Ể A (đọc là: "ớ khôtig íhuộc -4”). Đ ể xác định m ộl tập hợp nhất định và đặt tên là X , ta sử dụng một trong hai phương pháp cơ bàn sau đây: 1. Liệt kô tất cà các phẩn tử của tập hợp; X = {a, b, c, ... }. 2. M ô tả tính chất đặc trưng của các phần lử của tập họp. Theo phưcmg pháp này, muốn xác định tập hcT? X ta nói: X là tập hỢp các phần từ X c ó tính chất T, hoặc dùng ký hiệu: x = {x ;T }. Chẳng hạn, các cách diẻn đạt sau đây ®ó nghĩa như nhau: Đại h ọ c Kinh té Q u íc d ã n ,, t x = ( 1. 3, 5, 7,9 • X là tập hợp các số nguyên dương Ic rnộl chữ số. • X = IX: X là s ố nguyên dương lẻ một chữ sỏ Ị. • X = Ix: X = 2n - 1, với n là số n g u y ẽ n dưcmg nhỏ hơn 6 |. Phương pháp thứ hai được sử đụng ngay cả khi ta chưa biết có tồn tại hay không các phẩn tử c ó tính châì T. Chẳng hạn, la có thc nói về lạp hc;íp nghiệm của m ột phưcmg trình ngay cả khi chua giải được phưcnig trình đ ó. Có ihổ xày ra trường hợp mội tập hợp m à ta nói đcn không có phần tử nào. Ta gọi tập hợp khống có phẩn tử là lập hợp trống hay íập lụ/Ị) rỗng và dùng ký hiệu 0 để chi tập hợp đó. Đ é khảng định rầng lộp hợp X không có phán lử ta viết: X = 0 . Ngược lại, để khẳng định rầng lập hợp X có ít nhất một phẩn từ la viết: X Tí 0 . Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liộu khác liẽn quan đến toán học từ "tập hợp" nhiéu khi được gọi tắt là lập, chẳng hạn, tập A , tập B, tập trống... b. K h á i n iệ m tậ p co n và đ ẳ n g th ứ c tậ p h ợ p M ột tập hợp B được gọi là tập hợp con, hay lập con, của một lập hợp A nếu m ọi phẩn từ cùa B đều là phần tử cùa A. Trong trường hc»p này ta dùng ký hiệu: B c A (đọc là: "B chứa ỉrong hoặc A 15 B (đọc là: “/4 bao hàm /?”). N ói m ột cách đơn giản, tập hợp con của tập hựp A là tập họp m ột bộ phân phđn lừ, hoặc tất cả các phẩn từ, cùa lập hợp A. N ếu B c A và đóng thời A c: B Ihì la nói lập hỢỊ} B bằng tập hợp A và viẻ't B = A. Như vậy, đẳng thức tập hợp B = A có nghĩa là m ọi phần íừ cùa B đều là phần tử của A và ngược lai, mọi phẩn từ của A dều là phần tử của B. N ếu tâp hợp B khõng bằng tập hợp A thì la viết B 5* A. Tập hợp B dược gọi là lập con thực 8 : '■ ■ I T ■■r■ư ờ n. g Đ ạ ì h ọ c K i..................... n h l ế Q ụ ể c ỊCỈân sự cùa tập hợp A nếu B c A nhưng B A . Chẳng hạn, tập hợp dãn cư của Ihành phố Hà Nõi là tập con thực sự của tập hợp dàn cư cùa nước V iệt Nam. c. B iể u đ ồ V e n Để dễ hình dung vể tập họp và m ối liên hệ giữa các tập hợp, người ta dùng cá c tập hợp điểm của mặt phẳng để minh hoạ. Thông thường ta xét các tạp họp phần từ của m ột tập hợp bao trùm, g ọ i là không gian hay vũ ư ụ. Tập không gian được m ô tả, bảng tập hợp cá c điểm của một hình chữ nhật. M ỗi tập hợp trong không gian được minh hoạ bằng một tập hợp điểm giới hạn bời một đường khép kín bên trong hình chữ nhật. Cách minh hoạ ước lệ như vậy được gọi là biểu đồ Ven. Chẳng hạn, biểu đồ Ven ờ hình 1 m ô tả hai tập hợp A và B, trong đó B là tập con cùa A. Hình 1: B là tập con của A II. C Á C P H É P T O Á N T Ậ P H Ợ P a. P h é p h ợ p và p h é p giao Đ ịnh nghĩa: 1. H ợp cùa hai tập hợp A và B là m ột tập hợp mà mỗi phần từ của nó là phần từ cùa ít nhất môí trong hai tập hợp đó. 2. G iao của hai tập hc^ A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử cù a nó là phần từ của cả hai tập hợp A và B. Hợp cùa hai tập hợp A và B được ký hiệu là A o B : A u B = |x: x e A hoặc x e B Ị . Giao cùa hai tập hợp A và B được ký !iiệu là A nB ; A n B = ịx ; x e A và X €B . Vr dụ\ Cho hai tập hợp sỏ A = |1 ,2 ,3 ,4 ,5 Ị , B = {0,2,4,6,81. Theo định nghĩa: A w B = iO, 1 , 2 . 3 , 4 , 5 , 6 . 8 1 , A nB = |2,4}. Hình 2a và 2b là biểu đổ Ven về phép hợp và phép giao tạp hợp. Hình 2a; A uB Hình 2b: / ^ B h. C á c tín h c h ấ t c ơ bản Phép hợp và phép giao tập hợp thoả mãn các tính chất cơ bàn sau dây: 1. Tính chất giao hoán: A u B = BuA ; A r\B = B nA . 2. 3. (l-l) Tính chất kết hợp: A u (B u C) = (A u B) o c, (1.2) A n {B n C) = (A n B) n c (1.3) Tính chất phân phối: A n (B C) = (A o B) w (A n C). (1-4) A u (B n C) = (A u B) n (A u C). (1.5) Chiừìẹ minh: Đ c chứng minh m ột đảng thức tập họp, la cần chỉ ra rằnc mỏi phấn lử cùa tập tiơp ờ vế ưái đểu là phần từ của tập htĩp ớ vẽ phài và ngược lại, m ỗi phắn tử của tập hợp ờ yé phải đổu là phần tử cùa tập hợp ờ vố trái. Chẳng hạn, đẳng thức (1.5) được chim g m inh như sau: G ọi X là m ột phẩn tử bất kỳ của tập hợp A u íB n .C ). Theo định nghĩa phép hợp, diều nàv có nghĩa là x e A hoặc x e B n C . Nếu x e A thì x e A u B và x e A u C , do đó x e ( A u B ) n ( A u C ) . Nếu x e B n C thì x e B và X€ c, suy ra x e A u B và x e A u C , do đó ta cũng có x 6 (A u B )r t(A u C ). Ngược lại, gọi X là một phần từ bất kỳ cùa (A'-^B) n { A u C), ta có: x e A u B và x e A u C . Nếu x e A thì x e A u ( B n C). Nêu x ễ A thì x e B (do x e A u B ) và x e C (do x e A u C ), đ o đó x € B n C , suy ra x e A u ( B n C ) V iệc chứng m inh các đẳng íhức còn lại dành ch o bạn đọc. c. P h é p t r ừ tậ p h ợ p và p h ầ n b ù củ a m ộ i tậ p h ọ p Đ ịn h nghĩa: H iệu cùa tập hợp A và tập hợp B là tập hợp tất cả các phần từ cùa tập hợp A không thuộc tập hợp B. Hiộu cùa tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu là A \B : A \ B = Ịx: X€ A v à x e B Ị . Hình 3 là biểu đ ổ Ven về hiệu A \B . Hình 3; A \B TOẢN CAỌ CẤP CHO CÁC NHẢ KINH TẾ ■íH9ÉIÉIBBBBB9»«S9a9aSAC9>9W«SSSa^^aHBaiÉIÉMBSB99Se9eBâ^^BaBBBBBBBB9BHKB«SaSBff99SSSSaSBa^^^BaMBSaB9 V idụ: (1,2, 3 , 4 , 5 } \ | 0 , 2,4, 6,81 = 11,3,5 {0, 2, 4, 6 , 8 1 \ { 1 . 2 , 3 . 4 , 5 1 = {0, 6 , 8 Khi tất cả các tập hợp được xét đều là tập con cùa m ột tập hợp s (gọi ià khống gian S), người ta thường nói đến phần bù cùa một tập hợp X c s. Đ ịnh nghĩa: Phấn bù của m ột tập hợp X trong khòng gian s là tập hợp tất cà các phần từ của không gian không thuộc tập hợp X. Phần bù của tập hợp X được ký hiệu là X . Theo định nghia, ta co: A X = s \x . V í dụ: Trong tập hợp tất cả các số íhực, tập hợp lất cả các s ố võ tỷ là phần bù của tập hợp tất cả các sò’ hữu tỷ. Định lý sau đây được gọi là nguyên lý đổi ngầu: Đ ịnh lý: 1. Phần bù của hợp cùa các tập hợp là giao cùa các phần bù cùa chúng: Au B= A n B; (1-6) 2. Phần bù của giao cùa các tập hợp là hợp của các phần bù của chúng: A n B - ÃuB. (1.7) Chứng minh: Ta chứng m inh đẳng thức (1.6), còn đẳng thức (1.7) được chứng minh tương iư. Chú ý rẳng tất càc các phán tử được nhắc dến đ lới dày đều là phần tử của m ột khóng gian s. Gọi X là phần từ bất k ỳ củ a A u B , ta có: XỄAoB = > x c A v à x Ễ B = > x e A v à x e B = > x e A r i B . Ngược lại, g ọ i X lìi phfin lìr bất kỳ của A r \ B , ta có: x eA v à xeB =>xsAvàxỂB x g A u B => X€ A u B- BÀI TẬP 4 1. Hãy cho biết lập Iicrp A có phải là tập con củ a tập hợp B hay khỗng? a) A = Ị2, ỉ , 5 , - 3 , 12, 15), B = [l; 16]. b) A = Ị x € K : x ' = 3 x - 2 } , B = [- 3 ; 3 ] . c) A = [ 2 ; + c o ) , B = {X€ E : 2x^ - 3x + 1 > 0}. d) A = {(x. y): X € R , y € R , và (x - I)' + y* < 4 Ị , B = {{x, y): x e R , y e R vàx^ + y - < 16 . 2. Hãy cho biết khi nào A c B: a) A = [a; b], B = [c; d . b) A = [a; b], B = (c; đ). c) A = [ a ; b ) , B = {x € K: x ^ - 4 x + 3 > 0 } 3. H ãy xác định A u B . A n B , A \ B, B \ A: a) A = { 1 , 3 , 5 . 7 , 9 1 ; B = {1, 2, 3, 4, 5 , 6 . 7 , 8, 9}. b) A = (-w ; 5]; B = (3; 8). c) A = E - 2 ; 5 ] ; B = (1;9). 4. Chứng minh rằng, với A và B là hai tập hợp bất kỳ, la luồn có a) (A \B )u (B \A ) = (A uB )\(A nB ). b) ( A u B ) \ Ị ( A \ B ) u ( B \ A ) ] = A n B . c) A c B khi và chỉ A n B = A. •:';T n fờ n gI'Đ ạ 'i;h ọ c X ín h ’ifếQụ^.:^h'3^^^^^^^ -ti •,«*1 1 I'..: I 1 ..... 11' " i i i l ' ' i í •/' §2. HỆ T H Ố N G S Ố THỰC I. S Ố T H ựt C Hệ thống só' thực mà chúng ta sử dụng ngày nay được hình thành trong lịch sử toán học theo ưình tự như sau: a. S ố t ự n h iê n Các con s ố xuất hiện sớm nhất trong lịch sừ toán học là các số của hệ đếm: ỉ, 3,..., n,-.. Các s ố đó được g ọ i là các s ổ tự nhiên, hay s ố n^uyén dương. Tạp hợp tất cả các s ố tự nhiên được ký hiệu là N . b. S ô ' n g u y ê n Trong phạm vi tập hợp s ố lự nhiên N ta có thể thực hiện hai phép toán số học cơ bản là phép cộng và phép nhân. Tuy nhiên, các phép toán nguợc cùa phép cộng và phép nhân (phép trìí và phép chia) bị hạn chế. Chảng hạn, không lổn tại s ố lự nhiên n sao cho 9 + n = 1. Đ ể có thể thực hiện được phép trừ người ta mờ rộng hệ thống s ố tự nhiên bằng cách bổ sung thêm các số; • SỐ không: 0; • Các s ố dối dấu vói các số tự nhiên: - 1 , - 2 , -3 ,..., - n , . . . Các số này được gọi là các sô'nguyên ảm. Các s ố nguyên dương, số 0 và các s ố nguyên âm được gọi là s ố nguyên. Tập hợp lất cả các số nguyên được ký hiệu là z : s - n ..... - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3,..., Tập hc^ N là m ột lâp hợp con của tập hợp z : N c z . c. S Ố h ữ u tỷ Trong tập hợp sô' nguyên z ta c ó thổ thực hiện phép cộng, phép ưừ và nhân. Tuy nhiên, phép toán ngược của phép nhân (phép | i 4 | | | .............Tìứởriổ''Đf ỉ - i i h ộ C ' đ ệ n I,Ịi:'; chia) vẫn bị hạn chc. O ỉầng hạn, khóng tón tại số nguyôn m sao cho 2m = 3. Đ c ihực hiện được phép toán ngược của phép nhăn, người la n iò rộng hệ thốiig sỏ' n g u y ên thành tiệ thống s ố hữu tỷ. Sô hữu !Ỳ lừ tỳ só cùa hai sỏ nguyên. Mỏi sô’ hữu ỉỷ đươc viết dưới dang một phfin số tối giản: ni r = — ( n i€ z , n e N ). n N ếu biểu diễn dưới dạng số thập phân ihì số hữu tỳ là s ố thập phân hữu hạn hoiic sô’ thập phân vô hạn tuần hoàn. O iẳng hạn 5 _ 11 -3 2 _ - = 1,25; — = 1,8333...; ^ = -2 ,4 6 1 5 3 8 4 6 1 5 3 8 ... 4 6 13 Tập hợp tâì cả các sỏ' hữu tỳ được ký hiệu là Q . Sô' nguyên cũng là số hữu lỷ {với mẫu số bằng 1), do đó z là một tập hợp con cùa Q : 2 c: Q . d. S ô 'th ự c Trong tộp hợp số him tỷ ta có thể thực hiện cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Các số' hữu tỳ được sừ dụng rộng rãi trong việc bicu diễn và phân lích các thông tin đinh lượng. Tuy nhiên, tập hợp số hữu tỷ vẫn chưa đù để đáp ứng các nhu cẩu lính toán. Chẳng hạn, dộ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một s ố hữu tỷ. Đ ể hoàn thiộn hệ thống số, người ta bổ sung thêm các s ố vô tỷ. Nếu biốu diẻn dưới dạng s ố thập phân thì sô'vô lỳ là sô' thập phản vó hạn không luẩn hoàn. Chảng hạn, sổ’ đo độ dài cạnh huyén cùa (am giác vuóng cân c ó cạnh góc vuồng bằng 1 ià số v ó tỷ: 1,4142135623... Các sô' hữu tỳ và các sồ' vô lỷ được g ọ i là sốíliực. Tộp liợp tất cả các s ố thực được ký hiệu là R và tập hc^ tất cà các s ố vô tỷ được k ý hiệu là Q . Ta có: Trường Đại h ọ c K Ịn ỉv ^ Q u ố c đân 15 R = QuQ, Q n Q = 0. II. BIỂU DIỄN HÌNH H Ọ C C Á C s ố THựC a. G iá trị tu y ệ t đ ố i c ủ a s ố th ự c Đ ịn h nghĩa: Giá trị ỉuyệi dối cùa m ột sổ ihực X là s ố không ảm trong hai số X và -X . G iá trị tuyệt đối của số thực X được ký hiéu là |x|. T heo định nghĩa, ta có: X n c u X > 0; X = •^0 nếu X = 0; - X n ế u X < 0. Ban đọc cần ghi nhớ các lính chất c ơ bàn sau đủy: 1. V ới a là một số dưcmg cho trước: < a khi và chì khi - a < X < a; X > a klii v à c h ỉ khi x < - a h o ặ c x > a . 2. V ới X và y là hai s ố Ihực bất kỳ; X+ y x '-y X > X y y xy X ỹ b. T r ụ c s ố VÀ độ d à i đ ạ i s ố c ủ a đ o ạ n th ẳ n g Trục s ố là một dường thẳng, trẽn đó có xác dịnh: / • HưũTig cú a điĩííng Ihầiig (theo chicu rnĩii Icn); • Mỏt diểm o cố dinh, gọi là ỉỊổr loợ (iộ: • Đơn vi do dô dàiA o B Trẽn trục số lấy hai điểm A . B bất kỳ. Đ ộ đài hinh học của đoạn lliẳng AB (khoàng cách giữa A và B) cOng được ký hiệu là AB. Đ ịnh ngliĩa: Đ ộ dài đại s ố của doạn thẳng A B trên tiỊic số là một sô thực, ký hiêu là AB và được xác định như sau; AB = A B nếu hướng từ A đến B cùng hướng của trục số; • AB = -A B nếu hướng lừ A đến B ngược hướng của trục số. 7’ừ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bàn sau đây : 1. Vc3i A và B Ịà hai điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có: AB 2. = A B , A B = -B A . Với A , B, c là ba diem bất kỳ trên trục số ta luón có: A B + BC = AC. V iệc chứng mừih các lính chất trên dành cho bạn đọc. c. B iể u d iễ n s ó 'th ự c trên trụ c sô' Trên m ột trục sô' ch o trước lấy m ột điểm M bất kỳ. o M Đ ịnh nghia: S ố thực X = OM đựợc gọi là toạ độ của điểm M. Đ ể nói rằng điểm M trên trục số có toạ độ là số X ta viết: M(x). Như vậy, m ỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một số thực X xác định, g ọ i là toạ độ của nó. Ngược lai, m ỗi số_UỊực ĐẠI riỌ C Q UỞ C G IA HA NỘl v T G T / X ch o tiRmii ứnt: niỌt tlicm M ticn Irục s ố c ó loạ đ ộ bầnc X. Đ ó l à í i i c m n i à k t i o à n g c á c h d ẽ n g ủ c t 0. vc ph ía bốn trái ncu \ < 0 và trùng với g ố c toạ dọ iiC-ii X = 0. Plióp tưưna ưng m ột đối một [lói trcn giữa tất cả các đicm củn irục s ố VĨI tã'ỉ cà c á c sô' Ihực c h o phép ta đ ổ n g nhất sô' Ilìực X với diểin M (x) irên in ic số. Ta có ihồ dùng từ "diểm x" để gọi mội số [hực X. M ỗi tập hợp sô' thực X c R là m ót tâp hợp điểm cùa ỉrục số. Trục số còn được gọi là đườns íhẳỉiíỊ thực. d. K h o â tm c á c h g iữ a h a i đ iểm trê n íru c s ố V oi A (a) và 13(b) là hai (licm bất kỳ trỏn trục số, ta có; Ã B = Ã Õ + Õ B = Õ B - Õ Ã = b - a. Từ dãy ta suy ra cõn g Ihức xác dịnli khoảng cách giữa hai địổm A(a) và B(b) theo toạ đ ộ của chúng: A B = ABÍ = b - a III. C Á C K H O Ả N G SỐ THỰ%C Khi biểu diẽn và phân tích các íhông tin định lượng, người ta thưòng sử dung các s ố thực trong phạm vi mội tập hợp X c R . Ti) dùng từ iập s ố ihực, hay tập ỏỡ'để chỉ các tập con cùa R . Các khoảntĩ số ỉhực là các lập số thực có cáu irúc đcm giản nhất. a. K h o á n g h ữ u b ạ n Với a và b là liai s ố 'hực cho tniớc (a < b), ta gọi tập hợp tấi cả các số thực X giữa a và b là một klìoàng. Các sở a và b được gọi là các (iầu nniĩ ciia khoáng số đó. Nếu biểu diễn trên trục s ố Lhì inội khoảng là dxoai’ tliẳng nối hai điểm A(a) và B(b). Khi xét m ột khoảng sỏ' ta co thổ cà các đắu mút hoặc không. Đé pliăn biệt diều đó ta dùng các ký hiệu như sau: Khoảng clóttí’: Xe iS ; a < X < b Khoảng đóng [a; b] còn d ư ơ c gọi là íio ạn |a; bỊ. Khoảng mừ: (a; b) a < X < b) - Các khoảng nửa mà: a; b (a; b. L á n c ậ n c ủ a . : R : a < X < b |; --R: a < x < b Ị . íiíèm Với Xq là một số thục cho trước và r là m ột số dương ch o trước, ta có; X e (Xq - r; X(, + r) c?> Xo - r < X < Ay + r <=> - r < x - X o < r o X- X a}; (a; + 00 ) = { x e E : X > a | ; (-c c ; b] = { x e R ; X < b l ; (-co; b ) = ( x e R : x < b Ị ; ( - 00; +co) = R . Chú ý rằng ± co chỉ là các ký hiệu ước lệ, không phải là số thực. :h ậ c K ịiih ;^ IV. TẬPHƠI’ BI CHẠN <7. K h á i n iệ m tá p h ọ p b ị c h á n Mói tâp só' thựt' X c: R đirợc goi là hị chặn Irên nếu {ổn tại số ihưc h sao cho VỚI m ọi x e X ta luón có: X < b. Sò' b dược gọi là cận ĩrẽ n c ũ a tâ p X . Mội cìp .sỏ ihực X c R dược gỌ' ' 'lặ/ì Jưới nếu lổn thực a .sac cho với m ọi x t X ta !u tại số > a. Số a được gọi là c ậ n d ư iri c ù a l A p X . MỎI tS[i ihưc X c: R được gọi li: . cíiưi trên và bị chạti duới, tức 1.' lón 'ại II nếu nó đổng thời bị số thực a vã b sao cho vói moi X&x ta luôn có: a < X < b. N ói cách khác, [ập hợp X dược gọi ]v. ỉ:ị chận nếu tồn tại đoạn [a; bj Síio cho X c [a; b ' . Vi dụ: Các khoànii hữu hạn là c:\c tập bị chặn. Các khoảng (a :+ c o ), [a; + 00) là c á c tủp bị chặn dưới, nhưng k h ông bị chận trẽn. Các khoàiìg (-co; b), (-co; b] là các lập bị chặn Irẽii, nhưng khổnạ bị chặn dưới. b. C ậ n trê n đ ú n g và cậ n d ư ớ i đ ú n g Định nghĩa; Cận trôn nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của một tập hợp bị chặn trẽn (tập hợp bị chăn dưới) dược gọi là cận irên dũn g (cậ n d ư ớ i đ ú n g ) củ a íập hợp đó. O ịn trẽn đúng cùa tập X được ký hiệu là supX; Cận dưới đúng cùa tập X được ký hiộu là in f x . Từ định nghĩa suy r;: S u p x = b khi và chỉ ị hi thoà mãn hai điều kiện: • X < b với moi X c X (b là m ột cân irên cùa X); • Với mọi sồ' b' < b luón tổn tại s ố XgG X sao cho X(1 > b ’ (moi sô' b’ < b khống phải là ’rên của X). V í dụ: Tập hc^) X = (a, b) c ó cận trên đúng là s ố b. T ỉiẠ t v ả y . h ic n n h iê n ià X < h v ơ i iiH ìi \ í i ( a , Hì M . it k í i á c . v ó i moi sỏ h ’ < b lliì K - (a; b ) f ib'; b' ^ y ' . do dó loi’ 1,11 X,,''K. s<‘) XyG K !à số ihoà inãn d iíii kiện X|,e (;ỉ. b) \'à X,, ■> b' \'ộy cà ìai điều kiện nêu trên đểu Ihoà rn‘n, do đ ó siip(.i; b) = b. Tương tự, i n f x = a khi và chì kiii thoà mãn hai dicu k.iệii sau. • X > a với mọL x e X (a là một cặii dưới của X); • Với m ọi số a ’ > a luôn tồn tại số Xqe X sao cho Xq < a' (mọi số a’ > a khôag phải là cân dưứi cùa X ) . V'/' dụ: Ban đọc hãy tự kiểm tra hai diều kiộn trẽn để khẳng định rằng cận dưới dím g của khoảng (a; b) bằng a; inf(a; b) = a. Trong loán học người ta đã chứng minh định lý sau đáy: Đ ịnh lý: M ọi tập s ố thực X 0 bị chặn trên (bị chặn dưới) đểu có cận trẽn đúng (cận dưới dúng). c. S ô Cực đ ạ i và sô 'c ự c tiểu Cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập số thực X có thể ihuộc hoặc không thuộc tập hợp X. Q iẳn g hạn: V ớ i X = (a, b): supX = b e X , in fX = a e X ; V ớ i Y = (a;b]: supY = b € Y . i n f Y = a e Y . Đ ịnh nghĩa: N ếu supX = b và b e X ỉhì s ố b được gọi là s ố cực đại, hay sỏ’ lớìi nhất, cùa tập hợp X. Tương tự, nếu inf X = a và a e X thì s ố a được gọi là số c ư c tiểu, hay sỏ nhủ tihấĩ, của tập hợ pX. Số lớn nhất cùa tập hợp X được ký hiệu là m ax X , còn số nhỏ nhất của tập hợp X được ký hiệu là minX- Từ định nghĩa suy ra: m ax X = b o x < b v ớ i m ọi X e X và b e X; m in X = a <=> X > a với mọi X e X và a e X . V i dụ: • m ax[a; b] = b, mi n[a; b) = a.