Tài liệu Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. phần 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TÊ QUỐC DÂN LÈ ĐỈNH THÚY PHĂN I: ĐẠI SÔ TUYẼN TÍNH TT TT-TV * ĐHQGHN TRƯỜNG Đ ai HOC k in h t ế q u ố c d â n LỀ ĐÌNH THUÝ TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TÊ PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC KINH TẾ QUÓC DÂN LỜI NÓI ĐẦU Bộ sách TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ" dược biên soạn dựa theo chương trình môn Toán cao cấp của Trường Đại học K inh'tế quốc dân, dùng chung cho cả hai khối: Kinh tế học và Quản trị kinh doanh. Bộ sách này gồm có hai tập, tương ứng với hai học phần: Học phần 1: Đại số tuyến tính; Học phần 2: Giải tích toán học. Cuốn sách "Toán cao cấp cho các nhà kinh tế - Phần 1: Đại số tuyến tính" bao quát nội dung học phần 1, gồm có 5 chương: Chương l:T ậ p hợp, quan hệ và logic suy luận. Chương 2: Không gian vectơ số học n chiều. Chương 3: Ma trận và định thức. ị Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính (Lý thuyết tổng quát). ị Chương 5: Dạng toàn phương. Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán học nói chung: Tập hợp; Hệ thống số thực và các tập số thực; Các khái niệm cơ bản vê quan hệ hai ngôi trong một tập hợp; Khái niệm ánh xạ; Đại cương về logic chứng minh mệnh đề. Các chương 2, 3, 4, 5 bao hàm những nội dung cơ bản của Đại sô tuyến tính. Đó là hệ thống kiến thức tối thiểu về Đại số, thực sự cẩn thiết cho các nhà kinh tế. Hệ thống kiên thức đó được lựa chọn căn cứ vào nhu cầu sử dụng toán học trong kỉnh tế mà tác giả đã nghiên cứu một cách khá kỹ lưỡng qua các tài liệu vê Kinh tế học hiện đại YCÌ qua các khoá bồi dưỡng kiến thức kinh tế của Mỹ và Canada mà túc giả có may mắn được tham dư. Chương 2 và chươỉỉg 3 đê cập đến những nội dung cơ bân về không gian vectơ só học n chiêu, ma trận và định thức. Mặc dù nội dung chính của chương 2 là kliông gian vectơ sô học n cluiéu, ù đầu chươììP chúng tôi củ đưa vào trước các khái niệm C'ơ bản về hệ phương trình tuyến tính và phương pháp sơ cấp đ ể giãi hệ phươnẹ trình loại này (phương pháp khử ân liên tiếp). Cách tiếp cận như vậy có ưu thè về mặt sư phạm, bài vì hệ phương trình luyến tính là đề tài xuất phát cùa Đại sô' tuyển tính; hơn nữa, các khái niệm ban đấu vê hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử án Hên tiếp sẽ giúp bạn dọc nắm bắt dê dùng hơn các nội dung cùa chương 2 và chương 3. Sau khi đã trang bị các kiến íhức cơ bản về vectơ n chiều, ma trận và dinh thức, chương 4 đế cập một cách tổng quát, có hệ thông vê hệ phương trình tuyến tính, lừ các phương pháp định lượng (cúc phương pháp tim nghiệm) đến các vấn dể định tính (diêu kiện có nghiệm, xác định sô nghiệm, cáu trúc của tập hợp nghiệm Đ ể giúp bạn doc hước đáu làm quen với việc sử dụng toán học như một cóng cụ phân tích kinh tế, cuối chương 4 có giới thiệu một số mỏ thình tuyển tính trong kinh tế. Chương 5 trình bảy một cách cô đọng các khái niệm cơ bảtn vê dạng toàn phương và tập trung vảo hai nội dung cơ bàn: ¡biến đổi dạng toàn phương về dạn ẹ chính tắc và các dấu hiệu tuhận biết dạng toàn phương xúc đinh (dương hoặc am). Đặc biệt, các dấu hiệu dạng toàn phương xác định sẽ phục vụ clio việc xem xét điểu kiện đủ của cực trị cùa hàm nhiều biển mà chúng tói dé cập đến ở quyến sách thứ hai: “Toán cao cấp cho các nhà kì nhĩ têphẩn II: Giải tích toán hực Xin lưií ý rằng cuốn sách này không bao quát đầy đủ tát cả các nội dung của đại sô 'tuyến tính, không đề cập đến cấu trúc khiông gian trừu tượng, mà chỉ dừng lại ỏ những vấn dề thực sự cần Lòi nói dau thirt cho các nhừ kinh lê rà quàn lý. Theo quan d'u / a i; rnúnự tói, việc dạy toán cho cár trường kinh tế phái then sát nhu cân sử dụng toán học trong kinh tứ, với mục dích iraniỊ bị CÔHÍỊ cụ cho các nhà kinh tế, do đó nhải mang một sắc thái nén (Ị kể cà hình thức va nội dung. Theo quan điểm như vậy, lác già dã cố gắng hình thành một khung kiến thức hợp lý và trình bày các vấn dê bằng ngôn ngữ d ễ tiếp nhận dôi với các nhà kinh tế. Trong cuốn sách này, chứng tôi bỏ qua phần lớn những chíữig nùìih phức tạp, chú trọng đến việc diễn giải các kết quả và hướng dẫn thực hành thông qua cúc ví dụ, nhưng vần đám bảo kết câu chặt chẽ và nhất quán. Cuốn sách này ìà phiên bân mới của cuốn sách cùng tên đã dược NXB Thống kê xuất bản năm 2003 vả lái bản năm 2005. Tron tị phiên bản mới này, tác giả có bổ sung phẩn bài tập kèm theo mỗi bài giảng lý thuyết và chỉnh lý hình thức trình bày các phi'p biến dổi tuyến tính ở chương 5. Hy vọng rằng phiên bản .tuy sẽ giúp ích nhiều hơn cho bạn đọc. Hù Nội, tháng 8 năm 2008 LÊ ĐÌNH THUÝ Trường Đại học Kình tè Quốc dân 5 C fit/tftrg i l Tập hợp, Qưa/Ì 'h ệ v ì L o g ic s u y ỉuận J Chương I TẬP HỢP, QUAN HỆ VÀ LOGIC SUY LUẬN §1. TẬP HỢP I. CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN a. Tập hợp và p h ầ n tử Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ của toán học. Ta có thể nói đến các tập hợp khác nhau như tập hợp cây trong một khu vườn, tập hợp học sinh của một lớp học, tập hợp tất cả các số thực, tập hợp tất cả các số hữu tỷ,... Các đối tượng hợp thành một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó. Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, c,... và ký hiệu các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c,... Để nói rằng a là một phần từ của tập hợp A ta dùng ký hiệu: a e A (đọc là: “a thuộc A”). Ngược lại, nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì ta viết: a£ A (đọc là: “ứ không thuộc A ”). Để xác định một tập hợp nhất định và đặt tên là X, ta sử dụng một trong hai phương pháp cơ bản sau đây: 1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp: X = {a, b, c , ... }. 2. Mô tả tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. Theo phương pháp này, muốn xác định tập hợp X ta nói: X là tập hợp các phần tử X có tính chất T, hoặc dùng ký hiệu: X = Ịx: TỊ. Chẳng hạn, các cách diễn đạt sau đây eó nghĩa như nhau: TOẦN CAO CẤP CHO CẮC NHÀ KINH TẾ • x = 1 1 ,3 ,5 ,7 ,9 } . • X là tập hợp các số nguyên dương lẻ một chữ số. • X = { x : x l à số nguyên dương lẻ một chữ số Ị. • X = {x: X = 2n - 1, với n là số nguyên dương nhỏ hơn 6} Phương pháp thứ hai được sử dụng ngay cả khi ta chưa biêt ccó tồn tại hay không các phần tử có tính chất T. Chẳng hạn, ta Ccó thê nói về tập hợp nghiệm của một phương trình ngay cả kchi chưa giải được phương trình đó. Có thể xảy ra trường hợp ¡một tập hợp mà ta nói đến không có phẩn tử nào. Ta gọi tập hcợp không có phần tử là tập hợp trống hay tập hợp rỗng và dùng ỉ ký hiệu 0 để chỉ tập hợp đó. Đê khẳng định rằng tập hợp X khôr.ng có phần tử ta viết: X = 0 . Ngược lại, để khẳng định rằng tập htợp X có ít nhất một phần tử ta viết: X 5* 0 . Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liệu khác liên quaan đến toán học từ "tập hợp" nhiều khi được gọi tắt là tập, chẳĩing hạn, tập A, tập B, tập trống... b. K hái niệm tập con và đẳng thứ c tập họp Một tập hợp B được gọi là tập hợp con, hay tập con, của một t;tập hợp A nếu mọi phần tử của B đều là phần tử của A. Tronng trường hợp này ta dùng ký hiệu: B c: A (đọc là: “Z? chứa trong A"), hoặc A 3 B (đọc là: “/4 bao hàm B"). Nói một cách dơn giản, tập hợp con của tập hợp A là tập h X g A v à XỂ B => X e A và XG B => X€ A n B . Ngược lại, £ỌÌ X là phần tử bất kỳ của A D B , ta có: xe A và Xe B = > x £ A v à x g B =>X0 A uB => Xe A u B . BÀ! TẬP 1. Hãy chc biết tập hợp A có phải là tập con của tập hợp B hay không? a) A = {2, 1 ,5 ,-3 , 12, 15}, B = [l; 16]. b) A = {xe R : X3 = 3x - 2}, B = [-3; 3]. c) A = [2; + oo), B = ị x e R : 2x2 - 3x + 1 > 0}. d) A = {(x, y ) : x e M , y e E , và (x - l)2 + y2 < 4}, B = {(x, y): x e l , y e R và X2 + y2 < 16}. 2. Hãy cho biết khi nào A a B: a) A = [a; b], B = [c;d]. b) A = [a; b], B = (c;d). c) A = [a; b], B = {X€ IR :X2 - 4x + 3 > o } 3. Hãy xác định A uB, A nB , A \ B, B \ A: a) A = {1, 3, 5,7, 9); B = {1,2, 3,4, 5 ,6 ,7 , 8, 9}. b ) A =(-oo;5]; B = (3; 8). c) A = [-2 ;5 j; B = (l;9 ). 4. Chứng minh rằng, với A và B là haitậphợp bất c«ó a) (A \B )u (B \A ) = (A u B )\(A n B ). , b :) ( A u B ) \ [ ( A \ B ) u ( B \ A ) ] = A n B . c) A c B khi và chỉ A n B = A. kỳ, ta luôn i. ■ I . ' : - : - • . . TOÁN CAO r.ẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ .................' ............................................................................................ ■ ' __________ - - II I I I l i 11 - III « ■I I II I I » f i l I r. 1 r I §2. HỆ THỐNG SỐ THỰC I. SỐTHựC Hệ thống số thực mà chúng ta sử dụng ngày nay được lình thành trong lịch sử toán học theo trình tự như sau: a. S ố tự n h iên Các con số xuất hiện sớm nhất trong lịch sử toán học là các. số của hệ đếm: 1 2^ 3 n Các số đó được gọi là các sô tự nhiên, hay số nguyên dương■Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N . 9 y • • •} y • • • b. S ố nguyên Trong phạm vi tập hợp số tự nhiên N ta có thể thực hiển hai phép toán số học cơ bản là phép cộng và phép nhân. Tuy mhiên, các phép toán ngược của phép cộng và phép nhân (phép tri/ và phép chia) bị hạn chế. Chẳng hạn, không tồn tại số tự nhién n sao cho 9 + n = 1. Để có thể thực hiện được phép trừ ngiưòi ta m ở rộng hộ thống số tự nhiên bằng cách bổ sung thêm các :SỐ: • Số không: 0; • Các số đối dấu với các số tự nhiên: -1 , -2 , -3,..., - n , .. . Các số này được gọi là các số nguyên âm. Các số nguyên dương, số 0 và các số nguyên âm được gọii là số nguyên. Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là z : z = {..., -n,..., -3, -2 , -1, 0, 1, 2, 3,..., n,...Ị. Tập hợp N là một tập hợp con của tập hợp z : N cz z . c. S ô 'h ữ u tỷ Trong tập hợp số nguyên z ta có thể thực hiện phép cộng,, phép trừ và nhân. Tuy nhiên, phép toán ngược của phép nhân (phép Chương 1: Tệp họp, Q ư a n hê và Logic; suy ỉuậrĩ chia) vãn bị hạn chế. Chẳng hạn, không tồn tại số nguyên m sao cho 2m = 3. Để thực hiện được phép toán ngược của phcp nhân, người ta mở rộng hệ thống số nguyén thành hệ thống số hữu tỷ. Sô hữu tỷ là tỷ số của hai sô' nguyên. Mỗi sô hữu tỷ được viết dưởi dạng một phân số tối giản: m r = — ( m e z, n e N ). n Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỷ là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Chẳng hạn 5 _ II -32 - = 1,25; — = 1,8333...; — = -2,461538461538... 4 6 13 Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q . Số nguyên cũng là số hữu tỷ (với mẫu số bằng 1), do đó z là một tập hợp con của Q : Z c Q . d. S ố thực Trong tập hợp số hữu tỷ ta có thể thực hiện cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Các số hữu tỷ được sử dụng rộng rãi trong việc biểu diễn và phân tích các thông tin định lượng. Tuy nhiên, tập hợp số hữu tỷ vẫn chưa đủ để đáp ứng các nhu cầu tính toán. Chẳng hạn, độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một số hữu tỷ. Để hoàn thiện hệ thống số, người ta bổ sung thêm các số vô tỷ. Nếu biểu diễn dưới dạng số thập phân thì số vô tỷ là sô' thập phân vô hạn không tuần hoàn. Chẳng hạn, số đo độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 là số vô tỷ: V2 = 1,4142135623... Các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là số thực. Tập hợp tất cả các số thực được ký hiệu là R và tập hợp tất cả các số vô tỷ được ký hiệu là Q . Ta có: B M N M H G E h 0; 0 nếu X = 0; - X nếu X < 0. Bạn đọc cần ghi nhớ các tính chất cơ bản sau đây: 1. Với a là một số dương cho trước: ♦ • |x| < a khi và chỉ • |x| > a khi và chỉ khi X < - a hoặc X > a. khi - a < X < a; 2. Với X và y là hai số thực bất kỳ: • I X + y I < |x| + y X- y I > - y xy| = |x||> X ỹ b. T rụ c sô và độ dài đại sô của đoạn thẳng Trục số là một đường thẳng, trên đó có xác định: :ế Quốc dân Chương 1: Tập họp, Quan hệ vá L ogic suy luặn Hướng của đường thẳng (theo chicu mũi tôn); Một điểm o cỏ định, gọi là gốc toạ (ỉô\ Đơn vi đo đô dài. A B o Trôn trục số lấy hai điểm A, B bất kỳ. Độ dài hình học của đoạn thẳng AB (khoảng cách giữa A và B) cũng dược ký hiệu là AB. Định nghĩa: Độ dài đại số của đoạn thẳng AB trên trục số là mỌt số thực, ký hiệu là AB và được xác định như sau: • AB = AB nếu hướng từ A đến B cùng hướng của trục số; • AB = -AB nếu hướng từ A đến B ngược hướng của trục số. Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản sau đây: 1. Với A và B là hai điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có: I ÃB | = AB, ÃB = -B Ã . 2. Với A, B, c là ba điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có: AB + BC = AC. Việc chứng minh các tính chất trên dành cho bạn đọc. c. B iểu diễn s ố thực trên trục s ố Trôn một trục số cho trước lấy một điểm M bất kỳ. o M Định nghĩa: Số thực X = OM được gọi là toạ độ của điểm M. Đê nói rằng điểm M trên trục số có toạ độ là số X ta viết: M(x). Như vậy, mỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một số thực X xác định, gọi là toạ độ của nó. Ngược lai, mỗi số thực ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Ị TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ X cho tương ứng một điểm M trên trục số có toạ độ bằng X. Đó là điểm mà khoảng cách đến gốc toạ độ o bằng |x|, về phía bên phải nếu X > 0, về phía bên trái nếu X < 0 và trùng với gốc toi( độ nếu X = 0. Phcp tươnơ ứng một đối một nói trcn eiữa tất cả các điểm của trục sô và tất cà các số thực cho phép ta đồng nhất số thực X với điểm M(x) trên trục số. Ta có thể dùng từ "điểm x" đổ gợi một sô thực X. Mỗi tập hợp số thực X c R là một tập hợp điểm của trục số. Trục số còn được gọi là dường thẳng thực. d. K hoảng cách giữ a hai điêrn trên trục s ố Với A(a) và B(b) là hai điểm bất kỳ trên trục số, ta có: ÃB = ÃÕ + ÕB = Õ B - Õ Ã = b - a . Từ đây ta suy ra công thức xác định khoảng cách giữa hai điểm A(a) và B(b) theo toạ độ của chúng: AB = |Ăẽ| = |b - aị. III. CÁC KHOẢNG SÔ THỰC Khi biểu diễn và phân tích các thông tiri định lượng, người ta thường sử dụng các số thực trong phạm vi mộl tập hợp X c; K . Ta dùng từ tập số thực, hay tập số để chỉ các tập con cùa R . Các khoảng số thực là các tập sổ thực có cấu trúc đơn giản nhất. a. K hoảng h ữ u hạn Với a và b là hai số thực cho irước (a < b), ta gọi tập hợp» tất cả các sô thực X giữa a và b là một khoảng. Các số a và b đuĩỢ<; gọi ỉà các đầu mút của khoảng số đó. Nếu biểu diễn trên trục Sô' thì một khoảng là một đoạn thẳng nối hai điểm A(a) và B(fc')- Khi xét inột khoảng sô ta co thể tí’ 'i cả các đầu mút hoặc khỏing. Để phân hiệt điểu đó ta dùng các ký hiệu như sau: 18, f Trưởng Đậì học Kính tế Quốc dân i r ' T! 4* * ■....... Chương 1: Tập họp, Quan hệ và L ogic su y luận Khoan g đóng: [a; b] = {xe K: a < X < b}. Khoăn g đóng [a; b] còn được gọi là đoạn fa; b]. Khoan g mở: (a; b) = {X€ R : a < X < b }. Các khoảng nửa mở: [a;b) = |x e K : a< x < b } ; (a; b] = ịx e R : a < X < b}. b. L â n cận của m ột điểm Với x 0 là một số thực cho trước và r là một số dương cho trước, ta có: X e (x0 - r; x0 + r) <=> x0 - r < X < x0 + r <=> - r < x - x n < r <=> X - X. < r. Như vậy, khoảng (x0 - r; x0 + r) là tập hợp tất cả các điểm X có khoảng cách đến điểm x0 nhỏ hơn r. Ta gọi khoảng đó là lân cận bán k ín h r của đ iể m X và ký hiệu là Vr(x0): v r(x0) = (x0 - r; x0 + r). c . K h oảng vô hạn Trong toán học người ta dùng các ký hiệu -co và +00 để chỉ các đầu rnút bên trái và bên phải của trục số. Theo quy ước, với mọi số thiực X ta có: -00 < X < + 00. Các rập số thực sau đây được gọi là các khoảng vô hạn: [a; +oo) = {xe R : X > a); (a; +oo) = {xe R : X > a}; (-co; b] = { x e ® : x < b | ; ( - 00; b ) = ( x e R : x < b | ; (-co; +oo) = R . Chú ý rằng ± 00 chỉ là các ký hiệu ước lệ, không phải là số thực. IV. TẬP HƠP Bĩ CHẶN a K hái niệm tập hợp bị chặn Một Tập số thực X c R được gọi là bị cliặn trên nếu tồn tại số thirc b sao cho VỚI mọi x e X ta luôn có: X < b. Sô' b được gọi là cận tren của tập X. Một tập sỏ íhực X c K được gọi lì' thực a sao cho với mọi x eX ta luôn cận dưới của tập X. 'hặn dưới nếu tổn tại sô X > a. Số a được gọi là Một târ số thực X c R được gọi Ịà bị in nếu nó đổng thời bị chạn trẽn và bi chặn dưới, tức ]à tốn tại các sô thực a và b sao cho với moi Xs X ta luôn cổ: a < X < b. Nói cách khác, tập hợp X được gọi lá bị chặn nếu tồn tại đoạn Ịa; b] sao cho X c[a; bj. Vỉ dự: Các khoảng hữu hạn là các tập bị chặn. Các khoảng (a;+co), fa; 400 ) là các tập bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên. Các khoảng ( - 00; b), (—00; b| là các tập bị chặn trên, nhưng không bị chặn dưới. b. C ận trên đ ú n g và cận dưới đ ú n g Định nghĩa: Cận trên nhỏ nhất (cận duới lớn nhất) của một tập hợp bị chặn trên (tập hợp bị chặn dưới) được gọi là cận trên đúng (cận dưới dún%) của tập hợp đó. Cận tren đúng của tập X được ký hiệu là supX; Cận dưới đúng của tập X được ký hiệu là infX. Từ định nghĩa suy ra: SupX = b khi và chỉ ỉ hi thoả mãn hai điều kiện: • X < b với mọi Xe X (b là một cận trên của X); • Với mọi số b' < b luôn tổn tại số x0€ X sao cho x0 > b ’ (mọi số b ’ < b không phải là c.Ịn trẻn của X). Ví dụ: Tập hợp X = (a, b) có cận trên đúng là số b. 20 Trường Đạl học Kính t ế Quốc dân Chuũng 1: Tệp hop, Q ơa/Ì hệ và L ogic suy iuẹn Tliột vạv, hiển nhiên là X < h với moi X e(a, h). Mặt kỉ lác, với moi số b' < b thì K = (a; b ) o ( b '; b) # 0 do dó tổn Tại x0eK . Sô x06 K là số thoả mãn điểu kiện x0e (a, b) và x0 > b'. Vậy cả hai điều kiện nêu trên đều thoả mãn, do đó sup(a; b) = b. Tương tự, in fx = a khi và chỉ khi thoả mãn hai điều kiện sau: • X > a với mọi X6 X (a là một cận dưới của X); • Với mọi số a’ > a luôn tổn tại số x0e X sao cho x0 < a’ (mọi số a’ > a không phải là cận dưới của X ) . Ví dụ: Bạn đọc hãy tự kiểm tra hai điều kiện trên để khẳng định rằng cận dưới đúng của khoảng (a; b) bằng a: inf(a; b) = a. Trong toán học níĩười ta đã chứng minh định lý sau đây: Định lý: Mọi tập số thực X * 0 b Ị chận trên (bị chặn dưới) đều có cận trên đúng (cận dưới đúng). c. S ố Cực đại và s ố cực tiểu Cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập số thực X có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp X. Chẳng hạn: Với X = [a, b): supX = bgX, infX = aeX; Với Y = (a; b]: supY = beY, infY = aểY. Định nghĩa: Nếu supX = b và b € X thì số b được gọi là số cực đại, hay số lớn nhất, của tập hợp X. Tương tự, nếu infX = a và ac-X thì số a được gọi là số cực tiểu, hay sô' nhỏ nhất, của tập hợp X. Số lớn nhất của tập hợp X được ký hiệu là max X, còn số nhỏ nhất của tập hợp X được ký hiệu là minX. Từ định nghĩa suy ra: maxX = b<=> X < b với mọi x e X và beX ; minX = a <=> X > a với mọi x e X và aeX . Ví dụ : • m a x [ a ; b ] = b , m in[a;b] = a.