Tài liệu Tích phân ngẫu nhiên ito và một số hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên ito

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2017 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thịnh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Thịnh, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô giáo đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn cao học tại trường. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 2 năm 2017 Học viên Vũ Thị Khuyên i Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1 3 1.1 Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản . . . . . . . . . 8 1.3.2 Tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản 9 1.3.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích . . . . 11 1.4 Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 1.4.2 Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . 16 1.4.3 1.5 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . 12 Tích phân Ito tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp ồn trắng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của K.Ito . . . . . . . 33 2.3 Một phương pháp mở rộng tích phân Ito mới . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Tích phân ngẫu nhiên mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3 Công thức Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . 41 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1 Mở đầu Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất đồng thời cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài Toán học như Vật lý (lý thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ...), Sinh vật (động lực học dân số ...), Công nghệ (lý thuyết học, ổn định và điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên ...) và đặc biệt trong kinh tế tài chính (định giá quyền lựa chọn trong thị trường chính khoán ...). Nó trở thành một công cụ tối quan trọng khi cần xử lý, phân tích và mô hình hóa các hiện tượng có sự can thiệp của nhân tố ngẫu nhiên. Giải tích ngẫu nhiện hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu và phát triển về nó. Trong đó vi tích phân ngẫu nhiên Ito là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây nên một lớp các quá trình ngẫu nhiên Ito. Luận văn này hệ thống lại một số kết cơ bản về tích phân ngẫu nhiên Ito và trình bày một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa ra một số kết quả mới trong công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên. Luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau: 1. Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Ito. Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, các kiến thức cơ sở cần cho các chương tiếp theo; xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, một số tính chất của tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, một số tính chất cơ bản của tích phân Ito, công thức Ito. 2 2. Chương 2: Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito. Chương này trình bày một số phương pháp để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito. Trong đó, trước khi trình bày một phương pháp mở rộng chính của luận văn, tác giả giới thiệu tóm tắt hai cách tiếp cận khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên. Một là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu nhiên không thích nghi của Kiyosi Ito với ý tưởng mở rộng bộ lọc Ft và phân tích bội lấy tích phân (integrator) thành một semi-martingale đối với bộ lọc mới. Hai là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của Masuyuki Hitsuda theo cách tiếp cận ồn trắng (white noise). Sau đó, tác giả trình bày sâu hơn một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito mới được đưa ra bởi Wided Ayed và Hui-Hsiung Kuo. Ta giới thiệu lớp các quá trình ngẫu nhiên độc lập tức thì (the class of instantly independent stochastic processes) và lấy nó như một bản sao của quá trình ngẫu nhiên thích nghi (adapted stochastic processes). Sau đó định nghĩa tích phân của quá trình ngẫu nhiên là tích của một quá trình ngẫu nhiên độc lập tức thì và một quá trình ngẫu nhiên thích nghi. Điểm cốt yếu của ý tưởng này là sử dụng điểm đầu mút bên phải là điểm ước lượng cho quá trình ngẫu nhiên độc lập tức thì và điểm đầu mút bên trái là điểm ước lượng cho quá trình ngẫu nhiên thích nghi. Cuối cùng, đưa ra một số kết quả mới và ví dụ về công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên cho tích phân mới. 3 Chương 1 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.1 Kiến thức cơ sở Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm • Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử w ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó. • F là một họ con nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ -trường các tập con của Ω. Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. • P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, F). Định nghĩa 1.1.1 (Biến ngẫu nhiên). Cho không gian xác suất (Ω, F, P ). Không giảm tổng quát ta có thể giả thiết (Ω, F, P ) là không gian xác suất đủ tức là nếu A là biến cố có P (A) = 0 thì mọi tập con B ⊂ A cũng là biến cố (tức B ∈ F ). 1. Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Ω → E được gọi là một biến ngẫu nhiên với giá trị trên E (hay biến ngẫu nhiên E - giá trị) nếu với mỗi tập Borel B của E ta có X −1 (B) ∈ F . 2. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên E = Rn ta nói X là véctơ ngẫu nhiên n-chiều. 3. Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên tập số thực R ta nói X là biến ngẫu nhiên. 4 Định nghĩa 1.1.2 (Hàm ngẫu nhiên). Cho T là một tập nào đó. Một ánh xạ X : T × Ω → R sao cho mỗi t ∈ T ánh xạ w ∈ X(t, w) là đo được gọi là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {Xt , t ∈ T }. Như vậy một hàm ngẫu nhiên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên X = Xt , t ∈ T được chỉ số hóa bởi tập tham số T . Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc). Một bộ lọc {Ft }t∈T trong không gian xác suất (Ω, F, P ) là một dãy tăng các σ -trường con của F . Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình ngẫu nhiên thích nghi). Một quá trình ngẫu nhiên {Xt }t∈T được gọi là thích nghi với bộ lọc {Ft }t∈T nếu với mọi t ∈ T , biến ngẫu nhiên Xt là Ft -đo được. Định nghĩa 1.1.5 (Kì vọng có điều kiện). Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng (X ∈ L1 ). Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên khả tích X đối với A ∈ F ký hiệu là E(X|A) là một biến ngẫu nhiên M thỏa mãn: 1. M là A- đo được, 2. Với mọi A ∈ A ta có M dP = A XdP. A Định lý sau đây cho ta các tính chất của E(X|A). Định lý 1.1.6. E(X|A) có các tính chất sơ cấp sau 1. E(aX + bY |A) = aE(X|A) + bE(Y |A), 2. E(X) = E(E(X|A)), 3. Nếu X và A độc lập thì E(X|A) = E(X), 4. Nếu Y là A- đo được thì E(XY |A) = Y E(X|A), 5. Nếu D ⊂ A thì E(E(X|A)|D). Định nghĩa 1.1.7 (Martingale). Cho Xt là một quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc {Ft } và E|Xt | < ∞ với ∀t ∈ T . Khi đó Xt được gọi là một martingale đối với bộ lọc {Ft } nếu với s ≤ t ∈ T bất kỳ, E{Xt |Fs } = Xs (h. c.c). (1.1) 5 Định nghĩa 1.1.8 (Thời điểm dừng). Một biến ngẫu nhiên τ : Ω → [a, b] được gọi là thời điểm dừng đối với bộ lọc {Ft , a ≤ t ≤ b} nếu {w; τ (w) ≤ t} ∈ Ft với ∀t ∈ [a, b]. Định nghĩa 1.1.9 (Martingale địa phương). Một quá trình ngẫu nhiên {Fn }thích nghi Xt , a ≤ t ≤ b được gọi là một martingale địa phương đối với {Ft } nếu tồn tại một dãy thời điểm dừng τn , n = 1, 2, ... thỏa mãn (1) τn đơn điệu tăng tới b hầu chắc chắn khi n → ∞; (2) Với mỗi n, Xt∧τn là một martingale đối với {Ft , a ≤ t ≤ b}. Dễ thấy, một martingale là một martingale địa phương vì ta có thể chọn τn = b với mọi n. Tuy nhiên, một martingale địa phương thì có thể không là một martingale. Định nghĩa 1.1.10 (Không gian hàm cơ bản D(Ω)). Không gian D(Ω) là không ∞ gian gồm các hàm ϕ ∈ C0 (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ các hàm j=1 ∞ ∞ trong C0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0 (Ω) nếu • (i) có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ..., • (ii) limj→∞ supx∈Ω |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn . + Định nghĩa 1.1.11 (Không gian hàm suy rộng D (Ω) ). Ta nói rằng f là hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ . Hai hàm suy rộng f, ϕ ∈ D (Ω) được gọi là bằng nhau nếu f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω). Tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gian D (Ω). Định nghĩa 1.1.12 (Không gian các hàm giảm nhanh (Schwartz) S(Rn ) ). Không gian S(Rn ) là tập hợp S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) |xα Dβ ϕ(x)| < cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn } + với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: dãy {ϕk }∞ trong S(Rn ) được gọi k=1 là hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn ) trong S(Rn ) nếu lim sup |xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ(x)| = 0, ∀α, β ∈ Zn . + k→∞ x∈Rn 6 1.2 Quá trình Wiener Giả sử (Ω, F, P ) là một không gian xác suất. Định nghĩa 1.2.1. Cho quá trình W = {Wt , t ∈ [0; ∞)}. Ta nói rằng W là quá trình Wiener nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau 1. W0 = 0. 2. W có gia số độc lập tức là: Với 0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu nhiên Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 , ..., Wtn − Wtn−1 là độc lập. 3. Với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên Wt − Ws có phân bố chuẩn N (0, t − s). 4. W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo Wt của W là hàm liên tục. Sự tồn tại của quá trình Wiener được lập luận như sau. Vì K(s, t) = min(s, t) là covariance của quá trình Poisson nên min(s, t) là hàm xác định không âm. Do đó tồn tại hàm ngẫu nhiên Gauss W = {Wt , t ∈ [0; ∞)} sao cho EWt = 0, ∀t ∈ [0, ∞), EWt Ws = min(s, t) ∀s, t ∈ [0, ∞). Nói riêng EXt2 = t. Ta chứng minh W là hàm ngẫu nhiên Wiener. 2 • Đặt t = 0 ta có EW0 = 0, suy ra W0 = 0. • Giả sử 0 = t0 < t1 < ... < tn . Đặt ξi = Wti − Wti−1 , i = 1, 2, ..., n. Khi đó với i < j thì j − 1 ≥ i nên ti−1 < ti ≤ tj−1 < ti suy ra cov(ξi , ξj ) = EWti Wtj − EWti Wtj−1 − EWti−1 Wtj + EWti−1 Wtj−1 = ti − ti − ti−1 − ti−1 = 0. Do đó ma trận covariance là ma trận đơn vị. Vậy ξ1 , ..., ξn độc lập. • Vì W là quá trình Gauss nên Xt − Xs có phân bố Gauss với E(Xt − Xs ) = 0 và V ar(Xt − Xs ) = E(Xt − Xs )2 2 = EXt2 − 2EXt Xs + EXs = t − 2s + s = t − s. Định lý 1.2.2. 1. Hàm ngẫu nhiên Wiener có bản sao liên tục. (1.2) 7 2. Với mỗi phân hoạch I : a = t0 < t1 < ... < tn = b của đoạn [a, b] đặt n−1 (Wti+1 − Wti )2 . S(I) = i=0 Khi đó S(I) hội tụ bình phương trung bình tới (b − a) khi |I| → 0, ở đó |I| = max{ti+1 − ti , i = 0, 1, ..., n − 1}. 3. Đặt n−1 |Wti+1 − Wti |. V (I) = i=0 Khi đó V (I) hội tụ theo xác suất tới +∞ khi |I| → 0. 4. Trên đoạn [a; b], hầu hết các quỹ đạo của hàm ngẫu nhiên Wiener không có biến phân giới nội. Ta chú ý một vài tính chất đặc sắc của quá trình Wiener • Tồn tại bản sao mà tất cả các quỹ đạo của nó là hàm liên tục nhưng không đâu khả vi. • Luật loga lặp P lim sup √ t→∞ |Wt | 2t ln ln t =1 = 1. • Điều kiện Holder   |Wt+h − Wt | P lim sup = 1 = 1. 1 h→0 2h ln ln h • Nguyên lý phản xạ P max Ws ≥ x 0≤s≤t = 2P (Wt ≥ x) = √ 2 2πt ∞ e−y 2 /2t dy. x Định lý 1.2.3. Quá trình Wiener là một martingale đối với bộ lọc Ft = σ(Ws , s ≤ t). Chứng minh. • Rõ ràng, Wt là Ft đo được. • E(|Wt |) < ∞ do (E(|Wt |))2 ≤ E(|Wt |2 ) = t < ∞. 8 • Với s < t ta có E(Wt |Fs ) = E(Wt − Ws + Ws |Fs ) = E(Wt − Ws |Fs ) + E(Ws |Fs ) = Ws . Vậy quá trình Wiener là một martingale đối với Ft = σ(Ws , s ≤ t). 1.3 Tích phân Wiener Ta xét tích phân dưới đây b f (t)dWt , a trong đó f là một hàm tất định và Wt là quá trình Wiener. 1.3.1 Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản Giả sử (Ω, F, P ) là một không gian xác suất cơ sở. Ký hiệu L2 (Ω) là không gian của các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, tức là L2 (Ω) = |X(w)|2 dP (w) < ∞ , X:Ω→R: Ω L2 ([0, T ]) là không gian các hàm bình phương khả tích, nghĩa là T L2 ([0, T ]) = |f (t)|2 dt < ∞ f : [0, T ] → R : . 0 Định nghĩa 1.3.1. Hàm f : [0, T ] → R là hàm số đơn giản trên [0, T ], nếu nó có dạng n−1 λk 1Ak , f= (1.3) k=0 trong đó 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch hữu hạn của [0, T ], λk , k = 0, 1, ..., n − 1 là các số hữu hạn, Ak = [tk , tk+1 ), k = 0, 1, ..., n − 1 và 1A là hàm chỉ tiêu của tập A. 9 Kí hiệu S là không gian các hàm số đơn giản trên [0, T ]. Ta biết rằng S là không gian tuyến tính và là tập trù mật trong không gian Hilbert của các hàm bình phương khả tích L2 ([0, T ]). Nếu f ∈ S có dạng (1.3), đặt n−1 λk (Wtk+1 − Wtk ). I(f ) = (1.4) k=0 trong đó {Wt , t ∈ [0, T ]} là quá trình Wiener. Khi đó, ta gọi I(f ) là tích phân Wiener của f trên đoạn [0, T ], và dùng ký hiệu n−1 T I(f ) = λk (Wtk+1 − Wtk ). f (t)dWt := 0 (1.5) k=0 Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T , ta đặt t t f (u)dWu − f (t)dWt = s 1.3.2 s 0 f (u)dWu . 0 Tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản Tính chất 1.3.2. Với f ∈ S , I(f ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai bằng ||f ||2 2 ([0,T ]) , tức là L 1. E T 0 f dWt = 0, T 0 2. E 2 f dWt = ||f ||2 2 ([0,T ]) := L T 0 |f (t)|2 dt. Chứng minh. Do Wt là quá trình Wiener nên Wtk+1 − Wtk (k =0, 1, ..., n-1) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 0 và phương sai tk+1 − tk . Khi đó ta có n−1 T E λk (Wtk+1 − Wtk ) = f dWt = E 0 n−1 k=0 λk E(Wtk+1 − Wtk ) = 0. k=0 n−1 λk (Wtk+1 − Wtk ) V ar(I(f )) = V ar k=0 n−1 λ2 V ar(Wtk+1 − tk ) k = k=0 n−1 T λ2 (tk+1 k = k=0 f 2 (t)dt. − tk ) = 0 10 Tính chất 1.3.3. Ánh xạ I : S → L2 (Ω) là ánh xạ tuyến tính, tức là T T T (af + bg)dWt = a f dWt + b 0 gdWt . 0 0 Chứng minh. Tính chất này hiển nhiên. Tính chất 1.3.4. Ánh xạ I : S → L2 (Ω) đẳng cự, bảo toàn tích vô hướng của hai không gian Hilbert L2 ([0, T ]), L2 (Ω) tức là ||I(f )||L2 (Ω) = ||f ||L2 ([0,T ]) và T < I(f ), I(g) >L2 (Ω) := E T f (t)dWt 0 g(t)dWt = 0 T < f, g >L2 (Ω) := f (t)g(t)dt. 0 Chứng minh. +) Chứng minh tính chất đẳng cự. Ta có T ||I(f )|| = < I(f ), I(f ) > = E T f (t)dWt 0 f (t)dWt 0 T = E(I(f )2 ) f 2 (t)dt = = 0 ||f ||2 2 ([0,T ]) = ||f ||L2 ([0,T ]) . L +) Chứng minh tính bảo toàn tích vô hướng Từ đẳng thức hình bình hành, tính tuyến tính và tính đẳng cự của I ta có: ||I(f + g)||2 − ||I(f − g)||2 ||I(f ) + I(g)||2 − ||I(f ) − I(g)||2 < I(f ), I(g) > = = 4 4 ||f + g||2 − ||f − g||2 = =< f, g > . 4 11 1.3.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích Ta xây dựng tích phân Wiener cho hàm số (không ngẫu nhiên) f ∈ L2 ([0, T ]). Do S là tập trù mật trong L2 ([0, T ]) nên từ ánh xạ I : S → L2 (Ω) ta thác triển thành một ánh xạ I : L2 ([0, T ]) → L2 (Ω) tuyến tính, đẳng cự, bảo toàn vô hướng. Xét hàm f ∈ L2 ([0, T ]), khi đó tồn tại dãy fn ∈ S sao cho ||fn − f ||L2 ([0,T ]) → 0. Đặc biệt, {fn } là dãy Cauchy trong L2 ([0, T ]). Thật vậy ||fn − fm ||L2 ([0,T ]) ≤ ||fn − f ||L2 ([0,T ]) + ||fm − f ||L2 ([0,T ]) . Do đó khi m, n → ∞ ta có: ||fn − fm ||L2 ([0,T ]) → 0. Theo tính chất (1.3.3) và (1.3.4), ta suy ra ||I(fn ) − I(fm )||L2 ([0,T ]) → 0. Suy ra, {I(fn )} là dãy Cauchy trong L2 (Ω) (là không gian đủ), nên tồn tại giới hạn (theo nghĩa bình phương trung bình) T T f (t)dWt := l.i.mn→∞ 0 fn (t)dWt (1.6) 0 (l.i.m là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình). Ta gọi biến ngẫu nhiên trong (1.6) là tích phân ngẫu nhiên Wiener của f hoặc tích phân Wiener, và kí hiệu là I(f ). Hơn nữa, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta định nghĩa t t s s f (u)dWu − f (u)dWu = 0 f (u)dWu . (1.7) 0 Dễ dàng chứng tỏ rằng I(f ) không phụ thuộc vào cách chọn dãy {fn } (ở trên), và I(f ) có tính chất: • I(f ) là biến ngẫu nhiên Gauss có trung bình bằng 0 và phương sai bằng ||f ||2 = T 0 |f (t)|2 dt; • I là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng giữa không gian Hilbert L2 ([0, T ), L2 (Ω). 12 1.4 Tích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Wiener là tích phân của hàm tất định theo độ đo Wiener, ta sẽ mở rộng hàm dưới dấu tích phân là một hàm ngẫu nhiên f : [0, T ] × Ω → R, với T không âm. Ta sẽ định nghĩa tích phân dạng T I(f ) = f (t, w)dWt 0 cho một lớp các hàm ngẫu nhiên. Kí hiệu Ft = σ(Ws , s ≤ t) là sigma trường tự nhiên sinh ra từ quá trình Wiener {Wt , t ∈ [0, T ]}. Ta gọi đó là lọc tự nhiên sinh từ quá trình (Wt ). 1.4.1 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito Bây giờ ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên f : [0, T ]×Ω → R. Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên f : [0, T ] × Ω → R sao cho (i) f (t, w) là hàm đo được theo hai biến. (ii) ft là tương thích đối với Ft , tức là, với mỗi t ∈ [0, T ] hàm w → f (t, w) là Ft đo được. (iii) T 0 E|f (t, w)|2 dt < ∞. Việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô cũng tương tự như việc xây dựng tích phân Wiener. Do đó để xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên thuộc lớp NT trước hết ta xét các hàm sơ cấp đơn giản. Định nghĩa 1.4.1. Hàm φ ∈ NT được gọi là hàm sơ cấp nếu nó có dạng n−1 φ(t, w) = λk (w)1Ak (t) (1.8) k=0 trong đó 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là một phân hoạch hữu hạn của [0, T ], λk (w) là biến ngẫu nhiên Ftk -đo được, Ak = [tk , tk+1 ), k = 0, 1, ..., n − 1 và 1A là hàm chỉ tiêu của tập A. 13 Nếu φ có dạng (1.8), đặt n−1 T I(φ) = λk (w)(Wtk +1 − Wtk ). φ(t, w)dWt := 0 (1.9) k=0 Tính chất 1.4.2. (1) T T (aφ + bψ)dWt = a T φdWt + b 0 0 ψdWt 0 (2) T E[I(φ)] = E φ(t, w)dWt = 0 0 (3) T 2 E (I(φ)) φ(t, w)2 dt . =E 0 Ta cần đến kết quả xấp xỉ sau: Bổ đề 1.4.3. (1) Với g ∈ NT bị chặn và g(., w) liên tục với mỗi w, thì tồn tại dãy hàm sơ cấp φn ∈ NT sao cho T (φn − g)2 dt = 0. lim E n→∞ 0 (2) Với h ∈ NT bị chặn thì tồn tại một dãy hàm gn ∈ NT bị chặn sao cho gn (., w) liên tục với mỗi w và T (gn − h)2 dt = 0. lim E n→∞ 0 (3) Với f ∈ NT tồn tại hãy hàm hn ∈ NT sao cho hn (., w) bị chặn với mỗi n và T (hn − f )2 dt = 0. lim E n→∞ 0 Nhờ các kết quả xấp xỉ trên ta kết luận: Với f ∈ NT tồn tại dãy hàm sơ cấp φn ∈ NT bị chặn sao cho T (φn − f )2 dt = 0. lim E n→∞ 0 14 Khi đó, I(φn ) = T 0 φn dWt là dãy Cauchy trong L2 (Ω). Do L2 (Ω) là không gian đầy đủ nên I(φn ) hội tụ đến một giới hạn nào đó trong. L2 (Ω), kí hiệu là I(f ). Khi đó, ta định nghĩa một tích phân ngẫu nhiên Ito theo công thức sau T I(f ) = T f (t, w)dWt := limn→∞ 0 φn dWt (1.10) 0 Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau Ví dụ 1.4.4. 1. I = b dWt . a Tích phân này có f ≡ 1 nên theo định nghĩa b I= n − 1(Wti+1 − Wti ) = Wb − Wa dWt = a i=0 trong đó, a = t0 < t1 < ... < tn = b là một phân hoạch của đoạn [a, b]. 2. Với W = {Wt , t ∈ [0, T ]} là một chuyển động Brown bắt đầu từ 0, xét t I= Ws dWs 0 Ta đi xấp xỉ W bởi một hàm sơ cấp. Với mỗi n, đặt ti = i t , i = 0, 1, ...., 2n − 1. n 2 Đặt 2n −1 φn (t) = Wti 1[ti ,ti+1 ) i=0 15 Ta đi kiểm tra xem φn (t) có hội tụ đến Wt khi n → ∞ hay không. Ta có: 2n −1 T ti+1 (Wti − Ws )2 ds (φn (s) − Wt )2 ds = E E 0 ti i=0 2n −1 ti+1 (Wti − Ws )2 ds E = ti i=0 2n −1 ti+1 E(Wti − Ws )2 ds = i=0 2n −1 ti i=0 2n −1 ti ti+1 (s − ti )ds = 2−n sds = 0 = i=0 2n −1 2 s i=0 2n −1 2 2−n 0 2−2n−1 = i=0 = 2−n−1 →0 khi n→∞ Do đó t t Ws dWs = lim n→∞ 0 φn (s)dWs 0 2n−1 Wti (Wti+1 − Wti ) = lim n→∞ i=0 2n−1 Wti ∆Wti = lim n→∞ i=0 trong đó ∆Wti = Wti+1 − Wti . Tương tự, đặt Wt2 = Wt2 − Wt2 . i i+1 i 2 Do W0 = 0 = W0 nên ta có 2n−1 ∆Wti Wt = i=0 2n−1 ∆Wt2 i Wt2 = i=0 16 Mặt khác ∆Wt2 = Wt2 − Wt2 i i+1 i = (∆Wti + Wti )2 − Wt2 i = (∆Wti )2 + 2∆Wti Wti + Wt2 − Wt2 i i = (∆Wti )2 + 2∆Wti Wti Từ đó 2n −1 [(∆Wti )2 + 2∆Wti Wti ] Wt2 = i=0 n 2 −1 i=0 1 1 ∆Wti Wti = Wt2 − 2 2 2n −1 (∆Wti )2 i=0 Theo tính chất của chuyển động Brown, 2n −1 (∆Wti )2 = t lim E n→∞ i=0 Vì vậy 2n −1 t Ws dWs = lim 0 n→∞ Wti ∆Wti i=0 2n −1 1 2 1 W − 2 t 2 = lim n→∞ i=0 1 1 = Wt2 − lim 2 2 n→∞ 2n −1 (∆Wti )2 i=0 2n −1 (∆Wti )2 i=0 1 t = Wt2 − 2 2 1.4.2 Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Ito Định lý 1.4.5. Cho f, g ∈ NT . Khi đó (1) T T [f (t, w) + g(t, w)]dWt = 0 T f (t, w)dWt + 0 g(t, w)dWt 0