Tài liệu Thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức leja (lv02265)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ MỪNG THÁC TRIỂN YẾU HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU VỚI ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC LEJA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VŨ THỊ MỪNG THÁC TRIỂN YẾU HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU VỚI ĐIỀU KIỆN ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC LEJA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sau đại học, các giảng viên chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tổ chức và giảng dạy để em hoàn thành khóa học đào tạo chuyên ngành thạc sỹ toán học. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Vũ Thị Mừng Lời cam đoan Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Vũ Thị Mừng Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Pôla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Đa thức trên không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . 20 1.5 Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . 32 1.7 Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 35 2 Thác triển yếu các hàm chỉnh hình 38 2.1 Điều kiện đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Thác triển yếu hàm chỉnh hình với điều kiện đa thức Leja 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài. Trong những vấn đề được quan tâm của giải tích, người ta thường đề cập đến bài toán về thác triển giải tích. Một trong những vấn đề đó cũng phải kể đến bài toán thác triển chỉnh hình yếu như sau: Cho U là tập con mở trong không gian lồi địa phương F và A là tập con của U. Giả sử f là ánh xạ từ tập A vào không gian lồi địa phương F. Ta nói rằng ánh xạ f được thác triển chỉnh hình yếu lên U nếu với mọi hàm u ∈ F , không gian đối ngẫu của F , nếu tồn tại hàm chỉnh hình u ◦ f trên U sao cho u ◦ f |A = u ◦ f . Quan tâm đến vấn đề này, trước hết phải kể đến công trình của Leja [7]. Năm 1933, ông đưa ra bổ đề sau này được gọi là “Bổ đề đa thức” phát biểu như sau: Giả sử A là một tập con của mặt phẳng phức C và a là một điểm trong mặt phẳng phức C. Nếu tồn tại một số m > 0 sao cho A ∩ {z ∈ C : |z − a| = t} = ∅; với mọi t ∈ [0, m], thì A thỏa mãn điều kiện (L0 ) tại a. Nghĩa là, với mọi họ các đa thức (Pi )i∈I bị chặn tại mọi điểm của A thì với mọi ε > 0 tồn tại hằng số M > 0 và δ > 0 sao cho |Pi (z)| ≤ M (1 + ε)deg Pi ; với mọi i ∈ I và mọi z ∈ {ξ ∈ C : |ξ − a| < δ} . Theo Siciak [12] ta nói rằng tập A thỏa mãn điều kiện (L) tại điểm a nếu 2 Ar = {z ∈ C : |z − a| < r} ∩ A thỏa mãn điều kiện (L0 ) tại a với mọi số r > 0. Để hoàn thành khóa đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, em chọn đề tài luận văn “Thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày hệ thống một số kiến thức lý thuyết căn bản về hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều. Nghiên cứu về bài toán thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều và vấn đề thác triển yếu hàm chỉnh hình với điều kiện Leja. 4. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp phân tích và tổng hợp, vận dụng kiến thức về giải tích để phục vụ cho mục đích nghiên cứu. 5. Dự kiến các đóng góp của đề tài. Đề tài hệ thống một số kiến thức căn bản về hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều. Nghiên cứu về bài toán thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều liên quan đến điều kiện Leja. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1. Cho E là một không gian véc tơ và A là một tập con của E . Ta nói (i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx + (1 − λ)y ∈ A; với mọi λ ≥ 0. (ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta có λx ∈ A; với mọi |λ| ≤ 1. (iii) Tập A được gọi là lồi tuyệt đối nếu nó đồng thời lồi và cân. (iv) Tập hợp các điểm có dạng n n λi xi ; với mọi λi ≥ 0, i=1 λi = 1 và mọi xi ∈ A i=1 được gọi là bao lồi của A. 4 (v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn n n λi xi với λi ≥ 0, i=1 λi ≤ 1 và với mọi xi ∈ A (là tập tuyệt đối lồi nhỏ i=1 nhất chứa A ). (vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ A, tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ µA với mọi µ mà |µ| ≥ λ. Định nghĩa 1.2. Một không gian véc tơ có một cơ sở gồm những lân cận cân lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ lồi địa phương (không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương. Định nghĩa 1.3 a) Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường K (với K = R, C. ). Một hàm p xác định trên E có giá trị thực và không âm (hữu hạn) được gọi là nửa chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E va λ ∈ K thỏa mãn các điều kiện sau + p(x) ≥ 0 + p(λx) = |λ| .p(x) + p(x + y) ≤ p(x) + p(y) b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A được gọi là hàm cỡ của tập A. Mệnh đề 1.1. Trong một không gian lồi địa phương E một nửa chuẩn p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc. Chứng minh. Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước thì tồn tại một lân cận V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V. Do đó, với a là một 5 điểm tuỳ ý của E ta có p(x) − p(a) ≤ p(x − a) < ε; khi x ∈ a + V. Định nghĩa 1.4. Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn nếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p. Mệnh đề 1.2. Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được. Tô pô của một không gian khả metric luôn có thể xác định được bởi một metric, bất biến đối với các phép tịnh tiến. Chứng minh. Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc. Ngược lại, Giả sử E có một cơ sở lân cận đếm được. Khi đó, bởi vì mỗi lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (un ) những lân cận tuyệt đối lồi. Gọi pn là hàm cỡ của un . Đặt ∞ 2−n inf {pn (x), 1}. f (x) = n=1 Thế thì f (x + y) ≤ f (x) + f (y), f (−x) = f (x). Hơn nữa, bởi vì E là tách nên nếu f (x) = 0 thì pn (x) = 0, với mọi n và x = 0. Đặt d(x, y) = f (x − y) thì d là một metric và 6 d(x + z, y + z) = d(x, y). Như vậy d là bất biến đối với các phép tịnh tiến. Trong tô pô metric, các tập hợp Vn = {x : f (x) < 2−n } lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng Vn là mở đối với tô pô xuất phát bởi mỗi pn và cả f là liên tục. Hơn nữa Vn ⊂ Un bởi vì nếu x ∈ Un thì / pn (x) ≥ 1, vậy f (x) ≥ 2−n . Thành thử d xác định tô pô xuất phát của E. Định nghĩa 1.5. Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ(x) (trong không gian thực hay phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ(αx) = |α| ϕ(x) với mọi x ∈ X và mọi số α ∈ K. Mệnh đề 1.3. Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đường thẳng nào. Chứng minh. Nếu B là một tập lồi, cân và hút thì hàm cỡ pB của nó thỏa mãn đẳng thức pB (−x) = pB (x). Do đó pB (αx) = −αpB (−x); với mọi α < 0. Điều đó chứng tỏ rằng pB (αx) = α pB (x) với mọi α và pB là một sơ chuẩn. 7 Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p(x) < 1} lồi vì với x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có p αx + (1 − α)y ≤ αp (x) + (1 − α)p (y) < 1. Hơn nữa B cân vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) = p(x) < 1 và B cũng là tập hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p p(x) x = < 1. λ λ Dễ thấy p(x) = inf λ > 0 : x ∈ λB cho nên p(x) = pB (x). Sau cùng, nếu p là một sơ chuẩn thì với mọi x = 0, p(x) > 0 cho nên p(αx) = αp(x) ≥ 1 (với α đủ lớn), tức là αx = B, chứng tỏ B không chứa trọn đường thẳng nào qua 0 và x. Mệnh đề 1.4. Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn Γ tuỳ ý. Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số, trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng {x : sup pi (x) < ε}; ε > 0, pi ∈ Γ. (1.1) 1≤i≤n Tô pô được xác định như trên là tô pô Hausdorff khi và chỉ khi (∀x = 0)(∃p ∈ Γ) p(x) > 0. 8 (1.2) Chứng minh. Cho B0 là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p(x) < 1}, với p ∈ Γ. Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tương thích với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức là theo mệnh đề 1.3, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng n Vi ; ε > 0, Vi ∈ B0 . ε i=1 Nhưng rõ ràng n ε Vi = εx : pi (x) < 1; i = 1, 2, 3, ..., n i=1 = εx : pi (x) < ε; i = 1, 2, 3, ..., n = x : sup pi (x) < ε . 1≤i≤n n Vi ; ε > 0, Vi ∈ B0 chính là các tập (1.1). Mặt khác, X Nghĩa là tập ε i=1 là không gian Hausdorrff khi và chỉ khi giao của tất cả các tập (1.1) là {0} , mà điều này lại tương đương với: bất kỳ x = 0, tồn tại một tập (1.1) không chứa x, tức là tồn tại một số ε > 0 và một p ∈ Γ sao cho p(x) > ε. Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.6 a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xác định bởi một họ sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được và thoả mãn điều kiện tách (1.2), gọi là không gian đếm được chuẩn. 9 b) Một không gian đếm được chuẩn và đầy đủ gọi là không gian Frechet. Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ ) đều là không gian Frechet. c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồi địa phương gọi là một thùng. Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của điểm gốc gọi là không gian thùng với mọi không gian Frechet là không gian thùng. Định nghĩa 1.7. Cho I là tập chỉ số định hướng tuỳ ý. Với mỗi α ∈ I, và υα : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vào không gian lồi địa phương Eα . Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu nhất trên E sao cho tất cảc các ánh xạ υα là liên tục. Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính η : G → E của một không gian véc tơ G vào E là liên tục khi và chỉ khi υα ◦ η là liên tục với mọi α ∈ I. Định nghĩa 1.8. Cho I là tập chỉ số định hướng. Với mỗi α ∈ I, cho Eα là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eα → Eβ sao cho (i) uαα là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I. (ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ ; với mọi α ≤ β ≤ γ. Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính Eα , uαβ một hệ xạ ảnh. Không gian con 10 được gọi là E = {xα } ∈ Eα : uαβ (xβ ) = xα ; với mọi α ≤ β α∈I Eα với tô pô cảm sinh được gọi là giới hạn xạ ảnh của Eα , uαβ của α∈I và ta viết là E = limproj Eα . α Mệnh đề 1.5. Mỗi không gian lồi địa phương là giới hạn xạ ảnh của một họ không gian định chuẩn. Chứng minh. Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là một họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X . Ta biết trong một không gian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập bị chặn nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1 (0) là một không gian con của X và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1 (0). Khi ấy, gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử x ∈ Xp ( x là lớp các ˜ ˜ x ∈ X với p(x − x) = 0 ) và theo mệnh đề 1.4 ta thấy X chính là giới hạn xạ ảnh của các Xp đối với up . Mệnh đề 1.6. Giới hạn xạ ảnh của họ các không gian lồi địa phương đầy là đầy. Mệnh đề 1.7. Nếu E là không gian lồi địa phương Hausdorff và đầy thì E = limproj E/ ker α, α ở đây α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E. 11 Mệnh đề 1.8. Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi địa phương Eα đối với các ánh xạ υα . Một tập M trong E bị chặn khi và chỉ khi υα (M ) cũng bị chặn. Định nghĩa 1.9. Cho I là một tập chỉ số định hướng tuỳ ý. Với mỗi α ∈ I, cho υα : Eα → E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa phương Eα vào không gian véc tơ E = υα (Eα ). Tô pô quy nạp trên E là tô pô α mạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ υα là liên tục. Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính η : E → C là liên tục khi và chỉ khi η ◦ υα là liên tục với mọi α ∈ I. Định nghĩa 1.10. Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ các không gian lồi địa phương {Eα } được định hướng bởi quan hệ bao hàm và mỗi ánh xạ bao hàm Eα → Eβ là liên tục. Khi đó, E được trang bị bởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα → E được gọi là giới hạn quy nạp của các không gian con Eα và được ký hiệu bởi E = limind Eα . α Ví dụ 1.1.1. Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là không gian thương. Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là một không gian tuyến tính con của X0 và X = X0 /M. Gọi υ là ánh xạ chính tắc từ X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tương đương x chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địa phương ˜ 12 mạnh nhất để η liên tục. Định nghĩa 1.11. Cho E = limind Eα là giới hạn quy nạp của các không α gian con Eα . Khi đó ta nói rằng (i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu Eα có tô pô cảm sinh của Eβ mỗi khi Eα ⊂ Eβ . (ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ. (iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bị chứa và bị chặn trong Eα . (iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E bị chặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ra mọi lưới {xα } ⊂ B là E -Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα -Cauchy. Mệnh đề 1.9. ([10], p.58-59, proposition 6.4). Cho E = limind En là giới n hạn quy nạp chặt của một dãy các không gian con En thì (i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E. (ii) Nếu En là đóng trong En+1 với mọi n thì E = limind En là giới hạn n quy nạp chính quy Cauchy. (iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy thì E cũng Hausdorff và đầy. 13 1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu Định nghĩa 1.12. Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; • ) hoặc viết (E, F ) trong đó (i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường vô hướng. (ii) • : E × F → K là dạng song tuyến tính thoả mãn (DE ) nếu x, u = 0 với mọi u ∈ F thì x = 0. (DF ) nếu x, u = 0 với mọi x ∈ E thì u = 0. Ta có • : E × F → K là song tuyến tính nếu a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x → x, u là dạng tuyến tính trên E. b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u → x, u là dạng tuyến tính trên F. Một số ví dụ Ví dụ 1.2.1. Nếu E, F là cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) → x, u xác định cặp đối ngẫu F, E . Ví dụ 1.2.2. Giả sử E là không gian véc tơ và E ∗ là đối ngẫu đại số của nó. Khi đó dạng (x, u) → u(x); x ∈ E, u ∈ E ∗ xác định cặp đối ngẫu E, E ∗ . Ví dụ 1.2.3. Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đối ngẫu tô pô E . Khi đó dạng (x, u) → u(x); x ∈ E, u ∈ E cho ta cặp đối ngẫu E, E . 14 Định nghĩa 1.13. Giả sử E, F là cặp đối ngẫu. Với mọi u ∈ F xác định nửa chuẩn pu trên E pu (x) = x, u ; x ∈ E. Tô pô lồi địa phương trên sinh bởi các nửa chuẩn pu , u ∈ F ký hiệu là σ(E, F ) gọi là tô pô yếu trên E của cặp đối ngẫu E, F . Mệnh đề 1.10. Nếu E, F là cặp đối ngẫu thì σ(E, F ) là tô pô lồi địa phương Hausdorff yếu nhất trên E thoả mãn E, σ(E, F ) = F. Chứng minh. Do DE , σ(E, F ) là Hausdorff. Bởi vì pu liên tục với mọi u ∈ F, suy ra F ⊂ E, σ(E, F ) . Mặt khác giả sử f ∈ E, σ(E, F ) , khi đó tồn tại u1 , u2 , ..., un và ε > 0 sao cho f (x) ≤ 1; với mọi x ∈ W (u1 , u2 , ..., un , ε). Đặc biệt f (x) = 0; với mọi x ∈ E. Do đó u1 (x) = u2 (x) = ... = un (x) = 0. Vậy f là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , ..., un , tức là f ∈ F. Từ đó suy ra σ(E, F ) là tô pô lồi dịa phương yếu nhất trên E để E, σ(E, F ) 15 ∈ F. Định nghĩa 1.14. Giả sử E, F là cặp đối ngẫu. Tô pô lồi địa phương ξ trên E gọi là tô pô của cặp đối ngẫu E, F nếu (E, ξ) = F. Mệnh đề 1.11. Nếu E, F là cặp đối ngẫu và A là tập con lồi của E thì A có cùng bao đóng trong mọi tô pô của cặp đối ngẫu E, F . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng tỏ c ξA = c σ(E,F ) A, với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu. Trong đó c ξ A ký hiệu bao đóng của A đối với ξ. Trước hết do σ(E, F ) ≤ ξ nên c ξ A = c σ(E,F ) A. Giả sử a ∈ c ξ A, chọn / lân cận lồi mở U của 0 ∈ E đối với tô pô ξ sao cho (a + U ) ∩ A = ∅. Do đó, tồn tại f ∈ (E, ξ) = F sao cho f (a + U ) ∩ f (A) = ∅. Do đó f (U ) là mở, nên f (a) ∈ f (A). Suy ra tồn tại δ > 0 để / f (x − a) = f (a) − f (x) ≥ δ; với mọi x ∈ A. Vậy nếu W = x ∈ E : f (x) < δ thì a + W là lân cận của a đối với σ(E, F ) không giao với A. 1.3 Pôla Định nghĩa 1.15. Giả sử (E, E ) là một cặp đối ngẫu, A ⊂ E. Khi đó tập hợp x ∈ E : sup { x, x 16 1 : x ∈ A}