Mô tả:
Thầy Nhân sdt: 01696904010
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
Bài tập : Tích phân
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
2
Câu 1.
I
1
x2
dx
x2 7x 12
2
16
9
I 1
dx = x 16ln x 4 9ln x 3 1 = 1 25ln2 16ln3.
x 4 x 3
1
2
2
Câu 2.
I
1
dx
x5 x3
1
1 1
x
x x3 x2 1
x3( x2 1)
Ta có:
2
1
1
3
1
3
I ln x 2 ln( x2 1) ln2 ln5
2
2
2
8
2x
1
5
Câu 3.
I
4
Câu 4.
I
3x2 1
x 2x 5x 6
3
2
dx
2 4 13 7 14
I ln ln ln2
3 3 15 6 5
xdx
1
( x 1)3
x
x 1 1
1
1
( x 1)2 ( x 1)3 I ( x 1)2 ( x 1)3 dx
Ta có:
3
3
0
8
( x 1)
( x 1)
0
Dạng 2: Đổi biến số
Câu 5.
I
1
Câu 6.
I
( x 1)2
(2x 1)4
dx
7x 199
101
0 2x 1
7x 1
I
2x 1
0
1
99
1 x 1
Ta có: f ( x) .
3 2x 1
I
5x
2
0 (x
1
Câu 8.
I
4)
2
x7
0 (1
x2 )5
99
7x 1
1 1 7x 1
d
2x 12 9 0 2x 1 2x 1
dx
100
Câu 7.
3
x 1
1 x 1
.
I
C
9 2x 1
2x 1
dx
1 1 7x 1
9 100 2x 1
1
2
1 100
1
2 1
0 900
1
8
dx
Đặt t x2 4 I
dx
Đặt t 1 x2 dt 2xdx I
Trang 1
1 2 (t 1)3
1 1
dt .
2 1 t5
4 25
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
1
Câu 9.
I x5(1 x3)6dx
0
Đặt t 1 x3 dt 3x2dx dx
4
Câu 10. I
3
1
x( x4 1)
1
2
2
x(1 x7 )
1
3
11 6
1 t 7 t8
1
t
(1
t
)
dt
30
3 7 8 168
1
2
3
1
t
1
3
t t 2 1 dt 4 ln 2
1
1 32 dt
I
. Đặt t x I
5 10
2
5 1 t(t 2 1)2
1 x .( x 1)
2
1 x7
Câu 12. I
Câu 13. I
2
x.( x10 1)2
1
3x2
I
Đặt t x2 I
dx
dx
Câu 11. I
dt
I
dx
1
x4.dx
(1 x7 ).x6
x7.(1 x7 )
5
dx . Đặt t x7 I
1 128 1 t
dt
7 1 t(1 t )
dx
x (1 x2 )
6
1
Đặt : x
1
I
t
3
3
1
t6
dt
t2 1
4 2
117 41 3
1
t t 1 2 dt =
135
12
t
1
3
1
3
2
x2001
Câu 14. I
2 1002
1 (1 x )
2
2
x2004
I
.dx
3
2 1002
1 x (1 x )
Cách 2: Ta có: I
.dx
1
1002
1 3
1
x 2 1
x
1000
2
1 x2
4
1 1 x
Ta có:
3
2
1 x
2
1 x4
1
x2
1 dt
2
x3
dx .
11
x2000.2xdx
. Đặt t 1 x2 dt 2xdx
2
2000
2
2
2 0 (1 x )
(1 x )
1 2 (t 1)1000
1 2 1
I 1000 2 dt 1
21 t
2 1 t
t
Câu 15. I
.dx . Đặt t
1
1
d 1
t 2002.21001
dx
1
1
x2 . Đặt t x 1 dt 1 1 dx
2
1
x
2
x
x 2
x
3
2
3
2 1
1
t 2
1
dt
.ln
ln
I 2
2
2 2
t 2 1 2 2 2 1
1 t 2 2 2 1 t 2 t 2
dt
1
1
1
Trang 2
Thầy Nhân sdt: 01696904010
2
Câu 16. I
1 x2
1 1
x4
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
Bài tập : Tích phân
dx
1
5
2
1
dt
1
1
. Đặt t x dt 1 dx I
.
x
2
2
1
x
2
t
2
x
1 x
2
x 2
x
du
5
5
Đặt t 2 tan u dt 2
; tan u 2 u1 arctan2; tan u u2 arctan
2
2
2
cos u
1 x
Ta có:
2
2
4
u
2 2
2
2
5
I
du
(u2 u1)
arctan arctan2
2 u
2
2
2
1
2
Câu 17. I
1 x
3
1 x x
1
Câu 18. I
0
1
1
2
1
4
x
dx . Đặt t x I ln
Ta có: I
1
x
5
1
x
x
2
x4 1
x6 1
2
dx
dx
x4 1 ( x4 x2 1) x2
x4 x2 1
x2
1
x2
Ta có: 6
x 1
x6 1
( x2 1)( x4 x2 1) x6 1 x2 1 x6 1
1 1 d( x3)
1
I 2 dx 3 2 dx .
3 0 (x ) 1
4 3 4 3
0 x 1
1
Câu 19.
1
3
3
x2
I
x4 1
0
I
3
3
0
x
2
( x 1)( x 1)
2
1
2
xdx
Câu 20. I
0x
Câu 21. I
dx
4
x 1
2
1 5
2
x2 1
x 1
2
x x 1
4
2
1
2
0
1
1
1
2
dx ln(2 3)
2
4
12
x 1 x 1
Đặt t x2 I
.
x 4 x2 1
1
Ta có:
dx
3
3
1 1 dt
11
2 0 t 2 t 1 2 0
I
0t
dt
2
1
2
1 3
t
2 2
dx
1
x2
1
x2
1
x2
. Đặt t x
1
1
1
dt 1 dx
x
x2
1
dt
. Đặt t tan u dt
4
du
2
cos u
I du
Trang 3
0
4
2
6 3
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
x
Câu 22. I
dx
3x 9x2 1
x
I
dx x(3x 9x2 1)dx 3x2dx x 9x2 1dx
2
3x 9x 1
3
+ I 1 3x dx x C1
2
3
1
1
+ I 2 x 9x 1dx 9x2 1 d(9x2 1) (9x2 1) 2 C2
18
27
2
3
1
(9x2 1) 2 x3 C
27
x2 x
Câu 23. I
dx
1 x x
I
x2 x
1 x x
x2
dx
1 x x
x
dx
1 x x
dx .
x2
4
dx . Đặt t= 1 x x t 2 1 x x x3 (t 2 1)2 x2dx t(t 2 1)dt
3
1 x x
+ I1
3
4
4
4 2
4 3 4
=
1
x
x
1 x x C1
(
t
1)
dt
t
t
C
3
9
3
9
3
2 d(1 x x)
x
4
dx =
+ I2
=
1 x x C2
3
3
1 x x
1 x x
Vậy: I
4
9
4
1 x x
2x 1
Câu 24. I
0 1
2x 1
6
3
C
dx
dx
Câu 25. I
2 2x 1
4x 1
1
Câu 26. I x3 1 x2 dx
Đặt t 2x 1 . I =
Câu 27. I
t2
1 t dt 2 ln2 .
1
3 1
Đặt t 4x 1 . I ln
2 12
1
Đặt: t 1 x2 I t 2 t 4 dt
0
0
1
3
1 x
0 1
2
.
15
dx
x
1
t t
2
11
Đặt t x dx 2t.dt . I = 2
dt = 2 t 2 t 2
4ln2 .
dt =
t 1
1 t
3
0
0
1 3
3
Câu 28. I
x3
dx
3
x
1
x
3
0
Trang 4
Thầy Nhân sdt: 01696904010
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
2
2
2t 3 8t
Bài tập : Tích phân
2
1
3
dt (2t 6)dt 6
dt 3 6ln
t 1
2
1 t 3t 2
1
1
Đặt t x 1 2tdu dx I
0
x.
Câu 29. I
3
2
x 1dx
1
1
t7 t4
9
Đặt t x 1 t x 1 dx 3t dt I 3(t 1)dt 3
28
7 4 0
0
3
3
5
x2 1
Câu 30. I
1 x 3x 1
1
2
3
dx
2
t2 1
1
4 3
2tdt
2tdt
.
Đặt t 3x 1 dx
I 2
3
3
t 1
2
.t
3
4
4
2 1 3
t 1
100
9
t t ln
ln .
9 3
t 1 2 27
5
2
3
Câu 31. I
2x2 x 1
x 1
0
Đặt
4
24 2
dt
(
t
1)
dt
2
2
92
2 t 1
dx
x 1 t x t 2 1 dx 2tdt
2
2(t 2 1)2 (t 2 1) 1
I
2tdt
t
1
1
2
4t 5
54
2 (2t 4 3t 2 )dt
2t 3
5
1 5
1
2
x2dx
Câu 32. I 2
0 ( x 1)
x 1
Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx
I
2
(t 2 1)2
t3
1
4
Câu 33. I
0
2
.2tdt 2
1
x 1
1
2
1 2x
2
2
t3
1
1
16 11 2
t
dt
2
2t
t 1
3
t
3
dx
t 2 2t
Đặt t 1 1 2x dt
dx (t 1)dt và x
2
1 2x
dx
Ta có: I =
1 4 (t 2 2t 2)(t 1)
1 4 t 3 3t 2 4t 2
1 4
4 2
dt
dt
t 3 dt
22
22
2 2
t t2
t2
t2
=
Câu 34. I
8
3
1 t2
2
1
3t 4ln t = 2ln2
2 2
t
4
x 1
dx
x 1
2
Trang 5
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
x
1
I
dx = x2 1 ln x x2 1
2
x2 1
3 x 1
8
8
3
= 1 ln
3 2 ln 8 3
1
Câu 35. I ( x 1)3 2x x2 dx
0
1
I ( x 1)
1
2x x dx ( x2 2x 1) 2x x2 ( x 1)dx . Đặt t 2x x2 I
3
2
0
0
2
Câu 36. I
2x3 3x2 x
x2 x 1
0
2
I
( x2 x)(2x 1)
x2 x 1
0
2
Câu 37. I
0
2
.
15
dx
3
dx . Đặt t x2 x 1 I 2 (t 2 1)dt
1
4
.
3
x3dx
3
4 x2
3
Đặt t 4 x2 x2 t 3 4 2xdx 3t 2dt I
3 2 4
3 8
(t 4t )dt 43 2
23
2 5
4
Câu 38. I
1
dx
11
x 1 x2
1
1 11
1 x 1 x2
1 x2
dx
dx
dx 1 dx
Ta có: I
2
2
2 1 x
2x
2x
1 (1 x) (1 x )
1
1
1
+ I1
+ I2
1
1 x 1 x2
1 11
1
1
1 dx ln x x |1 1
2 1 x
2
1
1
1 x2
dx . Đặt t 1 x2 t 2 1 x2 2tdt 2xdx I2=
2x
2
t 2dt
2
2 2(t 1)
0
Vậy: I 1.
Cách 2: Đặt t x x2 1 .
1
Câu 39. I
1
3
2
Câu 40. I
1
1
3 3
x
x
3
4 x2
dx
x
2
Ta có: I
4 x2
1
I=
0
3
dx
x4
1
1
3 1
1
Ta có: I 2 1 . 3 dx . Đặt t 2 1 I 6 .
x
x
1 x
1
t (tdt )
4 t2
x
2
xdx . Đặt t =
4 x2 t 2 4 x2 tdt xdx
t 2
dt (1
)dt t ln
2
2
t2
t
4
t
4
3
3
0
t2
0
4
Trang 6
0
2 3
= 3 ln
2
3
3
Thầy Nhân sdt: 01696904010
Câu 41. I
2 5
27
x 2
3
x x
1
5
x
( x2 1) x2 5
2
Câu 42. I
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
1
x2 x 1
dx
Đặt t x x x 1 I
2
1 3
1
2dt
ln(2t 1)
1
2t 1
1
3
x2
Câu 44. I
0 (1
4
t3 2
1
0
2
1 x )2(2 1 x )2
3
ln
3 2 3
3
dx
4
42 36
4
Đặt 2 1 x t I 2t 16 dt 12 42ln
t
3
t2
3
3
x2
Câu 45. I
0 2( x 1) 2 x 1 x x 1
2
Đặt t x 1 I
2t(t 2 1)2 dt
t(t 1)2
1
Câu 46. I
3
2 2
x x3 2011x
x4
1
Ta có: I
3
2 2
1
M
2 2
3
N
2011
x3
1
I
2
dx
2
2 2
2
2 (t 1)2 dt (t 1)3
1
3
3
1
dx
1
1
2 2
2011
x2
dx
dx M N
3
x
x3
1
1
x
x3
1
2 2
1
dx . Đặt t
dx
2 2
1
3
1
x2
1 M
3
2
2 2
2011
2011x dx
2 x2 1
3
3
7
2
t 3dt
0
14077
16
3
14077 21 7
.
16
128
1
dx
Câu 47. I
0 (1
3
x3 ). 1 x3
3
3
Đặt t 1 x I
3
1 15
ln .
4 7
3
2
2 5
2t
1
dt 5 1
dt 5 3 1 ln
3 12
t t 2 1 t 2 1
t (t 2 1)
1
3
Câu 43. I
3t
dt
dx
2
Đặt t 6 x I 5
1
Đặt t x2 5 I
dx
Bài tập : Tích phân
2
t2
2
1 4 3
t .(t 1) 3
3
dt
2
dt
1
2
t .(t
Trang 7
3
2
1) 3
213 7
128
Bài tập Tích phân
3
3
2
dt
1
1
t 2. t 3 1 3
t
Câu 48. I
1
t3
2 2
3
1
du
3
2
dt
2
3
Đặt u 1
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
3dt
t4
2
3
1
t 4 1 3
t
0
3
1
t
t4
2 1 3
1
1
2
2
u 3
I
du
2
3
dt
1
2
1 2 3
u du
3
0
1
1 u3
1
2
3 1
3 0
1
1 2
u3
0
1
3
2
x4
dx
1 2
x x x 1
Đặt t x2 1
3
I
2
(t 2 1)2
t2 2
3 4
dt =
t 2t 2 1
t2 2
2
3
3
2
2t
dt t 2dt
1
2
2
dt
19
2 4 2
ln
3
4 4 2
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
1
2
x
ln
1
x
dx
1 x
0
Câu 49. I
1 x
1
Tính H
0
1 x
1 x
dx . Đặt
x cost; t 0; H 2
2
2
1
u ln(1 x)
1
Tính K 2x ln(1 x)dx . Đặt
K
2
dv 2xdx
0
Câu 50. I
2
(x
5
x2 ) 4 x2 dx
2
I=
2
(x
5
x ) 4 x dx =
2
2
x
5
4 x dx +
2
2
x
2
4 x2 dx = A + B.
2
x
5
4 x2 dx . Đặt t x . Tính được: A = 0.
x
2
4 x2 dx . Đặt x 2sin t . Tính được: B = 2 .
2
2
+ Tính B =
2
2
2
+ Tính A =
2
2
Vậy: I 2 .
Trang 8
Thầy Nhân sdt: 01696904010
3
2
Câu 51. I
Bài tập : Tích phân
4 x2 dx
2x 4
1
2
Ta có: I
2
3
4
1 2x
2
+ Tính I 1 =
3
1 2x
2
+ Tính I 2
1
4
4 x2
dx
2x4
1
4 x2
2x4
dx .
3 2 4
7
x dx .
21
16
dx =
dx . Đặt x 2sin t dx 2costdt .
I2
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
1 cos tdt 1
12
3
2 1
cot
t
dt
cot 2 t.d(cot t )
2
4
8 sin t
8
8
8
sin t
2
2
2
6
Vậy: I
1
7 2 3 .
16
1
x2dx
0
4 x6
Câu 52. I
6
6
Đặt t x3 dt 3x2dx I
1 1 dt
.
3 0 4 t 2
16
Đặt t 2sin u, u 0; dt 2cosudu I dt .
2
30
18
2
Câu 53. I
0
2 x
dx
x2
1
Câu 54. I
0
2
0
x2dx
3 2 x x2
1
Ta có: I
0
x2dx
22 ( x 1)2
. Đặt x 1 2cost .
2
3
I
2
2
3
1
2
Câu 55.
t
2
Đặt x 2cost dx 2sin tdt I 4 sin2 dt 2 .
(1 2cost ) 2sin t
2
4 (2cost )2
dt =
3 4cost 2cos2t dt =
2
3 3
4
2
2
1 2x 1 x2 dx
6
Đặt x sin t I (cost sin t ) costdt
0
0
Trang 9
12
3 1
8 8
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 56. I
3
x2 1dx
2
x
u x2 1 du
dx
2
Đặt
x
1
dv dx
v x
I x x2 1
5 2
3
2
I
3
2
3
x.
2
x2 1dx
x
x2 1
3
dx 5 2
dx
x 1
2
2
2
x 1
2
3
dx
2
x 1
1
5 2 I ln x x2 1
3
2
5 2
1
ln 2 1 ln2
2
4
1
vì 2;3 1;1
cost
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x
Dạng 1: Biến đổi lượng giác
8cos2 x sin2x 3
dx
sin x cos x
(sin x cos x)2 4cos2x
I
dx sin x cos x 4(sin x cos x dx
sin x cos x
3cosx 5sin x C .
cot x tan x 2tan2x
Câu 58. I
dx
sin4x
2cot 2x 2tan2x
2cot 4x
cos4x
1
dx
dx 2
dx
C
Ta có: I
2
sin4x
sin4x
2sin4x
sin 4x
Câu 57. I
cos2 x
8
Câu 59. I
dx
sin2x cos2x 2
1 cos 2x
1
4 dx
Ta có: I
2 2 1 sin 2x
4
cos 2x
1
dx
4
dx
2
2 2 1 sin 2x
sin x cos x
4
8
8
Trang 10
Thầy Nhân sdt: 01696904010
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
Bài tập : Tích phân
cos 2x
1
dx
4 dx 1
2 2
3
2 2 1 sin 2x
sin x
4
8
1
3
ln 1 sin 2x cot x
C
4
8
4 2
Câu 60. I
dx
2
3sin x cos x
I
3
dx
1
dx
1
= I
=
.
4
4
3
2 x
1 cos x
2sin
3
3
3
2 6
1
2
Câu 61. I
6
1
2sin x
dx
3
0
6
1
Ta có: I
20
cos
6
1
sin x sin
3
dx
6
dx
1
2
6
dx
0 sin x sin
3
3
x x
cos
2 6 2 6
dx
x
x
0 sin x sin
0 2cos
2 6 .sin 2 6
3
x
x
cos
sin
2 6
2 6
16
16
dx ln sin x
dx
2 6
20
x
20
x
sin
cos
2 6
2 6
6
0
x
ln cos
2 6
6
0
Câu 62. I
2
(sin
4
x cos4 x)(sin6 x cos6 x)dx .
0
Ta có: (sin4 x cos4 x)(sin6 x cos6 x)
33
33 7
3
.
cos4x cos8x I
128
64 16
64
Câu 63. I
2
cos2x(sin
4
x cos4 x)dx
0
2
0
1
1 2
0
1
I cos2x 1 sin2 2x dx 1 sin2 2x d(sin2x) 0
2
2
2
Câu 64. I
2
(cos
3
x 1) cos2 x.dx
0
Trang 11
.....
Bài tập Tích phân
2
2
A =
5
cos xdx
0
2
1 sin x
2
d(sin x) =
0
8
15
2
2
cos x.dx
B=
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
0
12
(1 cos2x).dx =
20
4
8
– .
15 4
Vậy I =
2
cos
Câu 65. I
2
x cos 2 xdx
0
2
2
I cos2 x cos2xdx
0
1
12
(1
cos2
x
)
cos2
xdx
(1 2cos2x cos4x)dx
2 0
4 0
2
1
1
( x sin2x sin4x)
4
4
8
0
3
2 4sin x dx
0 1 cos x
Câu 66. I
4sin3 x 4sin3 x(1 cos x)
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin2x
1 cos x
sin2 x
I 2 (4sin x 2sin2x)dx 2
0
2
Câu 67. I
1 sin xdx
0
I
2
2
x
x
x
x
x
sin cos dx sin cos dx 2 sin dx
2
2
2
2
2 4
0
0
2
2
0
3
2
2
x
x
2 sin dx sin dx 4 2
2 4
2 4
0
3
2
Câu 68. I
4
0
dx
6
cos x
4
Ta có: I (1 2tan2 x tan4 x)d(tan x)
0
Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
Câu 69. I
sin2xdx
3 4sin x cos2x
Trang 12
28
.
15
Thầy Nhân sdt: 01696904010
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
Bài tập : Tích phân
2sin x cos x
1
dx . Đặt t sin x I ln sin x 1
C
sin x 1
2sin x 4sin x 2
dx
Ta có: I
2
Câu 70. I
sin3 x.cos5 x
dx
dx
8 3
I 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
3
1
3
1
Đặt t tan x . I t 3 3t t 3 dt tan4 x tan2 x 3ln tan x
C
t
4
2
2tan2 x
2t
Chú ý: sin2x
.
1 t2
dx
Câu 71. I
sin x.cos3 x
dx
dx
dx
2t
; sin2x
2
I
. Đặt t tan x dt
sin x.cos x.cos2 x
cos2 x
sin2x.cos2 x
1 t2
I 2
dt
2t
t2 1
1
t2
tan2 x
dt (t )dt ln t C
ln tan x C
t
t
2
2
1 t2
Câu 72. I
2011
sin2011 x sin2009 x
sin5 x
1
2011 1
sin2 x cot xdx
sin4 x
Ta có: I
Đặt t cot x I
2
2011
t
(1 t 2 )tdt
4024
=
cot xdx
2011
cot 2 x
sin4 x
4024
cot xdx
8046
2011 2011 2011 2011
t
t
C
4024
8046
8046
2011 2011
2011 2011
cot
x
cot
xC
4024
8046
Câu 73. I
2
sin2x.cos x
dx
1
cos
x
0
2
sin x.cos2 x
(t 1)2
dx . Đặt t 1 cosx I 2
dt 2ln2 1
1
cos
x
t
0
1
2
Ta có: I 2
Câu 74. I
3
sin
2
x tan xdx
0
3
Ta có: I sin2 x.
0
sin x
dx
cos x
(1 cos2 x)sin x
dx . Đặt t cos x
cos
x
0
3
1
2
1 u2
3
du ln2
u
8
1
I
Trang 13
Bài tập Tích phân
sin
Câu 75. I
2
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
x(2 1 cos2x )dx
2
Ta có: I 2sin2 xdx sin2 x 1 cos2xdx H K
2
2
2
2
2
+ H 2sin2 xdx (1 cos2x)dx
2
2
2
2
+ K sin2 x 2cos2 x 2 sin2 x cos xdx 2 sin2 xd(sin x)
I
2
3
2
Câu 76. I
3
dx
sin2 x.cos4 x
4
3
I 4.
dx
2
2
sin 2x.cos x
. Đặt t tan x dt
dx
cos2 x
.
4
I
3
(1 t 2 )2 dt
t2
1
3
1
3
1
1
t3
8 34
2
2
t
dt
2
t
2
3 1
3
t
t
Câu 77. I
2
sin 2 x
2 sin x dx
2
0
Ta có: I
2
sin2x
(2 sin x)2
2
dx 2
2
0 (2 sin x)
0
3
I 2
2
t 2
t2
sin x cos x
dx . Đặt t 2 sin x .
3
1 2
2
3 2
dt 2 dt 2 ln t 2ln
2
t t
t 2
2 3
2
3
Câu 78. I
6
sin x
cos2x dx
0
I
6
6
sin x
cos2x dx
0
sin x
2cos2 x 1 dx . Đặt t cosx dt sin xdx
0
Đổi cận: x 0 t 1; x
6
t
3
2
Trang 14
2
3
Thầy Nhân sdt: 01696904010
3
2
Ta được I
1
2t 1
2
1
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
1
dt
ln
2 2
2t 2
2t 2
1
1
=
3
2
2 2
ln
Bài tập : Tích phân
3 2 2
5 2 6
Câu 79. I
2
2
Đặt t sin2 x I =
sin x
3
e .sin x.cos x. dx
0
11 t
1
e (1 t )dt = e 1.
20
2
2
Câu 80. I sin x sin2 x
1
dx
2
Đặt t cos x . I
3
( 2)
16
6
Câu 81. I
4
sin4x
sin x cos x
6
0
6
dx
4
sin4x
I
1
4
3
1 sin2 2x
4
0
2 1
3
dx . Đặt t 1 sin2 2x I =
3 t
4
1
4
t
dt =
3
1
1
4
2
.
3
Câu 82. I
2
sin x
sin x
0
3
3 cos x
dx
Ta có: sin x 3 cos x 2cos x
;
6
3
1
sin x sin x =
sin x cos x
6 6
2
6 2
6
sin x dx
2
6
3
1 2
dx
3
I=
=
16 0
6
16 0
cos3 x
cos2 x
6
6
Câu 83. I
4
sin x 1 cos2 x
cos2 x
3
4
4
I
dx
sin x
2
1 cos2 x .dx
cos x
3
sin x
2
sin x dx
cos x
3
=
0
2
sin x
2
cos x
4
dx
0
sin2 x
2
cos x
dx
7
3 1.
12
3
Trang 15
0
3
sin x
2
cos x
sin x dx
4
sin x
2
0 cos x
sin x dx
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
6
sin x
Câu 84. I
0
1
dx
3 cos x
sin x
1
1
1
1
3 dx .
dx =
I
dx =
20
20
0 sin x 3 cos x
1 cos2 x
sin x
3
3
6
6
6
1
2
1
1
1
dt ln3
Đặt t cos x dt sin x dx I
2
3
3
2 0 1 t
4
2
Câu 85. I
1 3sin2x 2cos2 xdx
0
I
2
3
sin x 3 cos x dx = I
0
sin x 3 cos x dx
2
sin x
3 cos x dx 3 3
0
3
Câu 86. I
2
sin xdx
(sin x cos x)3
0
Đặt x
2
t dx dt I
2
costdt
0
2
cos xdx
(sin t cost )3 (sin x cos x)3
0
12
dx
1
4
1
cot( x ) 1 I
2I
2
20 2
2
4 0
2
0 (sin x cos x)
sin ( x )
4
2
dx
Câu 87. I
2
7sin x 5cos x
(sin x cos x)3 dx
0
Xét: I 1
0
Đặt x
2
2
sin xdx
sin x cos x
3
I2
;
2
0
cos xdx
sin x cos x
3
t . Ta chứng minh được I1 = I2
2
Tính I1 + I2 =
0
I1 I 2
dx
sin x cos x
2
2
dx
0
2cos2 ( x )
4
1
I 7I 1 – 5I 2 1.
2
Câu 88. I
2
.
3sin x 2cos x
(sin x cos x)3 dx
0
Trang 16
1
tan( x ) 2 1
2
4 0
Thầy Nhân sdt: 01696904010
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
Đặt x
2
t dx dt I
3cost 2sin t
2
(cost sin t )3
2I I I
Câu 89. I
2
3cos x 2sin x
(cos x sin x)3 dx
0
3sin x 2cos x
(sin x cos x)3
dx
0
dt
0
2
Bài tập : Tích phân
2
3cos x 2sin x
(cos x sin x)3
dx
0
2
1
(sin x cos x)2 dx 1
I
0
x sin x
1 cos2 xdx
0
Đặt x t dx dt I
0
sin t
2I
2
0 1 cos t
( t )sin t
1 cos2 t
dt
sin t
2
0 1 cos t
dt I
2
I
2
4 4
8
0 1 cos t
d(cost )
dt
cos4 x sin x
2
cos3 x sin3 x dx
Câu 90. I
0
Đặt x
2
0
t dx dt I
4
sin t cost
cos3 t sin3 t
dt
2
sin4 x cos x
cos3 x sin3 xdx
0
2
2
2I
cos x sin x sin x cos x
4
4
sin3 x cos3 x
0
dx
2
0
sin x cos x(sin x cos x)
3
sin3 x cos3 x
3
dx
12
1
sin2xdx
20
2
1
I .
4
2
1
cos2 (sin x) tan
Câu 91. I
2
0
Đặt x
2
(cos x) dx
t dx dt
2
1
tan2 (sin t ) dt
tan2 (sin x) dx
2
2
cos (cost )
cos (cos x)
0
0
2
1
I
2
1
1
tan2 (cos x) tan2 (sin x) dx = 2 dt
Do đó: 2I 2
2
cos (sin x) cos (cos x)
0
0
2
I
2
.
Câu 92. I
4
0
cos x sin x
3 sin2x
dx
Trang 17
1
.
2
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
2
Đặt u sin x cosx I
1
du
4 u
2
. Đặt u 2sin t I
4
2costdt
4 4sin t
2
4
12
dt
6
6
Câu 93. I
3
sin x
0
cos x 3 sin x
2
Đặt t 3 sin2 x =
I=
4 cos2 x . Ta có: cos2 x 4 t 2 và dt
3
3
0
=
dx
sin x
.dx =
cos x 3 sin2 x
15
2
1 t2
ln
4 t 2
3
2
3
3
2
sin x
2
3
+ Tính I 1
3
2
3
+ Tính I 2=
3
3
dt
4t
2
=
1
4
dx .
15
2
3
1
1
dt
t 2 t 2
2
3
x
Vậy: I
cos2 x 3 sin2 x
dx =
3 sin2 x
1
15 4
32
1
ln
=
ln
ln 15 4 ln 3 2 .
4
2
15
4
3
2
sin3 x sin2 x
2
3
3
0
sin x.cos x
x ( x sin x)sin x
Câu 94. I
I
=
15
2
sin x cos x
dx
3
dx
dx
.
1 sin x
u x
du dx
dx . Đặt
dx
I1
2
dv
v cot x
sin x
3
sin2 x
x
2
dx
3
1 sin x
3
2
dx
dx
3
4 2 3
x
2
1 cos x
3 2cos
2
4 2
4 2 3.
3
2
Câu 95.
I
0
I
2
sin2x
cos2 x 4sin2 x
dx
2
udu
22
2
du
dx . Đặt u 3sin2 x 1 I 3
u
31
3
1
3sin2 x 1
2
2sin x cos x
0
tan x
4 dx
Câu 96. I
cos2x
0
6
tan x
6
1
tan2 x 1
4
dx (tan2 x 1)dx
I
dx
dx . Đặt t tan x dt
2
2
cos2x
cos x
0
0 (tan x 1)
6
Trang 18
.
Thầy Nhân sdt: 01696904010
1
3
I
0
fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)
Bài tập : Tích phân
1
1 3 1 3
.
2
t 10
2
(t 1)
dt
Câu 97. I
3
cot x
dx
sin x.sin x
4
6
3
cot x
sin2 x(1 cot x)
I 2
1
dx . Đặt 1 cot x t
sin2 x
dx dt
6
I 2
3 1
3 1
2
2
ln 3
3
3 1
t 1
dt 2 t ln t
t
3 1
3
3
Câu 98. I
3
dx
sin2 x.cos4 x
4
3
Ta có: I 4.
dx
2
. Đặt t tan x dx
2
sin 2x.cos x
dt
1 t2
4
3
3
3 (1 t 2)2 dt
3 1
1
t
8 34
( 2 t 2)dt ( 2t )
I
2
t
3
3
t2
1
1 t
1
Câu 99. I
4
sin x
5sin x.cos2 x 2cos xdx
0
Ta có: I
4
tan x
1
5tan x 2(1 tan2 x) . cos2 x dx . Đặt t tan x ,
0
1 1 2
1
1
2
dt
dt ln3 ln2
2
3 0 t 2 2t 1
2
3
0 2t 5t 2
1
t
I
4
sin2 xdx
cos4 x(tan2 x 2tan x 5)
Câu 100. I
4
Đặt t tan x dx
1
Tính I 1
1 t
dt
2
2t 5
dt
1 t2
. Đặt
I
t 1
2
1
t 2dt
1
2
dt
2
ln
3
2
2
3 1 t 2t 5
1 t 2t 5
tan u I 1
1
2
0
du
4
Trang 19
2 3
. Vậy I 2 ln
.
8
3 8
Bài tập Tích phân
Trần Sĩ Tùng
hoctoancapba.com
Câu 101. I
sin2 x
sin3x dx .
2
6
I
2
2
sin x
3sin x 4sin3 x
dx
2
sin x
4cos2 x 1 dx
6
6
Đặt t cosx dt sin xdx I
0
3
2
Câu 102. I 2
sin x cos x
1 sin2x
4
dt
4t 1
2
1
4
3
2
0
dt
t2
1
4
1
ln(2 3)
4
dx
Ta có: 1 sin2x sin x cosx sin x cos x (vì x ; )
4 2
sin x cos x
dx . Đặt t sin x cos x dt (cos x sin x)dx
sin x cos x
I 2
4
21
I
1
t
2
dt ln t
2
1
1
ln2
2
6
Câu 103. I 2 1 cos3 x .sin x.cos5 xdx
1
6
Đặt t 1 cos3 x t 6 1 cos3 x 6t 5dt 3cos2 x sin xdx dx
2t 5dt
cos2 x sin x
1
t 7 t13
12
I 2 t 6 (1 t 6 )dt 2
7 13 0 91
0
1
Câu 104. I
4
tan xdx
0
cos x 1 cos2 x
Ta có: I
3
4
tan xdx
0
cos2 x tan2 x 2
tdt
I
t
2
. Đặt t 2 tan 2 x t 2 2 tan 2 x tdt
tan x
dx
cos 2 x
3
dt
3 2
2
Câu 105. I
2
cos2x
(cos x sin x 3)3
4
dx
t 3
1
dt .
3
32
2 t
Đặt t cosx sin x 3 I
0
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
41 
268 
96 
