Tài liệu Đề thi thử đại học môn toán thpt trần phú với thang điểm 20

SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (4,0 điểm).Cho hàm số y = 2x − 1 , gọi đồ thị là (C). x +1 a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số. b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x + 3 y + 2 = 0 . x Câu 2 (2,0 điểm). Giải phương trình: 2 sin 2   = cos5x + 1 2 Câu 3 (2,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f ( x) = x. (5 − x)3 trên đoạn [ 0;5] Câu 4 (2,0 điểm). a) Giải phương trình sau : 2 log 2 3 (2 x − 1) − 2 log 3 (2 x − 1)3 − 2 = 0 b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ, .Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. Câu 5 (2,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ∆ABC có A ( 4;8 ) , B ( −8; 2 ) , C ( −2; −10 ) . Chứng tỏ ∆ABC vuông và viết phương trình đường cao còn lại. Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a .Góc
= 600 ,hình chiếu của S trên mặt ( ABCD ) trùng với trọng tâm của tam giác ∆ABC . BAC Mặt phẳng ( SAC ) hợp với mặt phẳng ( ABCD ) góc 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) theo a . Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3x + 5 y − 8 = 0, x − y − 4 = 0 . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D ( 4; −2 ) . Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3. 2 y 3 + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x Câu8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình:  (x, y ∈ ℝ) 2 2 2  9 − 4 y = 2 x + 6 y − 7 Câu 9 (2,0 điểm). Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a ≥ b ≥ c và a 2 + b 2 + c 2 = 5 . Chứng minh rằng: (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ − 4 ---------HẾT-------Thí sinh không được sử dụng tài liệu .Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên:………………………………………………..SBD:…………………… 1 SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Câu 1. (4 điểm) Điểm Nội dung 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) +Tập xác định D = ℝ \ {−1} 2đ 0.25 +Sự biến thiên • Chiều biến thiên: y ' = 3 ( x + 1) 2 > 0 ∀x ≠ −1 . 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) • Cực trị : Hàm số không có cực trị. • Giới hạn tại vô cực và tiệm cận: 2x −1 = 2 ,đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang x +1 2x −1 2x −1 lim = +∞; lim+ = −∞ , đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng x →−1− x + 1 x →−1 x + 1 lim y = lim x →±∞ x →±∞ 0.5 • Bảng biến thiên : x y' y - ∞ + +∞ -1 || + 2 0.5 +∞ || 2 −∞ +Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A  ; 0  2  Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B ( 0; −1) Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là I ( −1; 2 ) làm tâm đối xứng ( Đồ thị ) 1 0.5 2 2, Viết phương trình tiếp tuyến 2đ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ta có : k = f ' ( x0 ) = 0.5 3 ( x0 + 1)2 Lại có k .  −  = −1 ⇒ k = 3  3 0.5 1 hay  x =0 3 =3⇔  0 2 ( x0 + 1)  x0 = −2 0.5 Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = 3x − 1 Với x0 = −2 ⇒ y0 = 5 Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = 3x + 11 0.5 Câu 2. (2 điểm) Nội dung x 2 sin 2   − 1 = cos5x ⇔ −cosx = cos5x 2 ⇔ cos ( x ) = cos (π − 5x ) π kπ  x= +   x = π − 5 x + k 2π 6 3 ⇔ ⇔ là nghiệm của phương trình.  x = 5 x − π + k 2π  x = π + kπ  4 2 Điểm 0.5 0.5 1.0 Câu 3. (2 điểm) Nội dung f(x) = x (5 − x)3 hàm số liên tục trên đoạn [0; 5] f(x) = x(5 − x)3/ 2 ∀x ∈ (0;5) 5 2 f’(x) = 0 ⇒ x = 5; x = 2 . Ta có : f(2) = 6 3 , f(0) = f(5) = 0 f ’(x) = 5 − x (5 − x) Vậy Max f(x) = f(2) = 6 3 , Min f(x) = f(0) = 0 x∈[0;5] x∈[0;5] Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4. (2 điểm) 3 Đề Thi Thử Đại Học Nội dung Điểm a) 2 log 2 3 (2 x − 1) − 2 log 3 (2 x − 1)3 − 2 = 0 1 2 2 PT ⇔ 8log 3 (2 x − 1) − 6 log 3 (2 x − 1) − 2 = 0 Điều kiện : x ≥ 0,25 0,25  log 3 (2 x − 1) = 1 ⇔ 4 log (2 x − 1) − 3log 3 (2 x − 1) − 1 = 0 ⇔  log 3 (2 x − 1) = − 1  4 0,25  x=2 4 ⇔  3 + 1 là nghiệm của phương trình đã cho. x= 3  2 3 0,25 2 3 b) Tính xác suấtt www.mathvn.com Ta có : Ω = C164 = 1820 Gọi A= “ 2nam toán ,1 lý nữ, 1 hóa nữ” B= “ 1 nam toán , 2 lý nữ , 1 hóa nữ “ C= “ 1 nam toán , 1 lý nữ , 2 hóa nữ “ Thì H= A ∪ B ∪ C = ” Có nữ và đủ ba bộ môn “ P( H ) = C82C51C31 + C81C52C31 + C81C51C32 3 = 7 Ω 0.25 0.5 0.25 Câu 5. (2 điểm) Nội dung  Điểm  Ta có : AB = ( −12; −6 ) ; BA = ( 6; −12 )   Từ đó AB.BC = 0 Vậy tam giác ABC vuông tại B 0,5 0,5 * Viết phương trình đường cao BH: Ta có đường cao BH đi qua B ( −8; 2 ) và  nhận AC = ( −6; −18 ) = −6 (1;3) làm vecto pháp tuyến 0,5 Phương trình BH : x + 3 y + 2 = 0 0,5 Câu 6. (2 điểm) 4 S E A D H O B C Nội dung
= 600 * Gọi O = AC ∩ BD Ta có : OB ⊥ AC , SO ⊥ AC ⇒ SOB Xét tam giác SOH vuông tại H : tan 600 = SH a 3 a ⇒ SH = OH .tan 600 = . 3= HO 6 2 0.25 0.25 a2 3 2 0.25 1 a a 2 3 a3 3 = (đvtt) 3 2 2 12 0.25 Ta có : tam giác ABC đều : S ABCD = 2.S ABC = 1 3 Điểm Vậy VSABCD = .SH .S ABCD = . . * Tính khỏang ang cách FB.com/thithudaihoc Trong ( SBD) kẻ OE  SH khi đó ta có : OC; OD; OE đôi một vuông góc Và : OC = 0.5 3a a a 3 ; OD = ; OE = 2 2 8 Áp dụng công thức : 1 1 1 1 3a = + + ⇒d = 2 2 2 d (O, SCD) OC OD OE 112 2 0.5 Mà d ( B, SCD ) = 2d ( O, SCD ) = 6a 112 Câu 7. (2,0 điểm) 5 A E H B K M C D Nội dung Điểm Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC,Klà giao điểm  của BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu nd , ud lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d. Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ ng trình www.mathvn.com của M là nghiệm của hệ phương 0,5 7  x=  x − y − 4 = 0  7 1 2 ⇔ ⇒ M  ;−   2 2 3 x + 5 y − 8 = 0 y = − 1  2   AD vuông góc với BC nên nAD = uBC = (1;1) , mà AD đi qua điểm D suy ra phương trình của AD :1( x − 4 ) + 1( y + 2 ) = 0 ⇔ x + y − 2 = 0 . Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 0,5 3 x + 5 y − 8 = 0 x = 1 ⇔ ⇒ A (1;1)  x + y − 2 = 0 y =1 Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình: x − y − 4 = 0 x = 3 ⇔ ⇒ K ( 3; − 1)  x + y − 2 = 0  y = −1
= KCE
, mà KCE
= BDA
(nội tiếp chắn cung Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK 
= BDK
, vậy K là trung điểm của HD nên H ( 2; 4 ) . AB ) Suy ra BHK 0,25 0,25 (Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ 0.25 điểm) Do B thuộc BC ⇒ B ( t; t − 4 ) , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C ( 7 − t ;3 − t )   HB (t − 2; t − 8); AC (6 − t ; 2 − t ) . Do H là trực tâm của tam giác ABC nên   t = 2 HB. AC = 0 ⇔ ( t − 2 )( 6 − t ) + ( t − 8 )( 2 − t ) = 0 ⇔ ( t − 2 )(14 − 2t ) = 0 ⇔  t = 7 0,25 Do t ≤ 3 ⇒ t = 2 ⇒ B ( 2; −2 ) , C ( 5;1) . Ta có     AB = (1; −3) , AC = ( 4; 0 ) ⇒ nAB = ( 3;1) , nAC = ( 0;1) 0,25 Suy ra AB : 3x + y − 4 = 0; AC : y − 1 = 0. Câu 8. (2,0 điểm) 6 Điểm Nội dung Điều kiện: x ≤ 1; y ∈  − ;  . Ta có  2 2 3 3 0.25 (1) ⇔ 2 y 3 + y = 2 1 − x − 2 x 1 − x + 1 − x 0.25 ⇔ 2 y 3 + y = 2(1 − x) 1 − x + 1 − x Xét hàm số www.mathvn.com hàm s f (t ) = 2t 3 + t , ta có f '(t ) = 6t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t ) đồng biến trên ℝ . Vậy y ≥ 0 (1) ⇔ f ( y ) = f ( 1 − x ) ⇔ y = 1 − x ⇔  2  y = 1− x Thế vào (2) ta được : 4x + 5 = 2x2 − 6x −1 Pt ⇔ 2 4 x + 5 = 4 x 2 − 12 x − 2 ⇔ ( 4 x + 5 + 1) = ( 2 x − 2 ) 2  4 x + 5 = 2 x − 3(vn) ⇔ 4x + 5 = 1 − 2x  0.25 0.25 2 1  x≤  2  ⇔  x = 1 + 2(l )     x = 1 − 2 0.5 0.5  y=42 Với x = 1 − 2 ⇒  Vậy hệ có hai nghiệm.  y = − 4 2 Câu 9. (2,0 điểm) Nội dung Điểm Ta có (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ − 4 ⇔ (a − b)(b − c)(a − c)(ab + bc + ca) ≤ 4 (*). Đặt vế trái của (*) là P Nếu ab + bc + ca < 0 thì P ≤ 0 suy ra BĐT T dethithudaihoc.com đã được chứng minh 0.25 Nếu ab + bc + ca ≥ 0 , đặt ab + bc + ca = x ≥ 0 0.25 2 (a − c)3  a − b + b − c  (a − c) (a-b)(b-c) ≤  ⇒ (a - b)(b - c)(a - c) ≤ (1)  = 2 4 4   0.25 2 Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2 2 2 2 2 2 ≥ 2(a - c) + [(a - b) + (b - c)] = 2(a - c) + (a - c) = 3(a - c) 4 (5 − x) (2) . Suy ra 4(5 - x) ≥ 3(a - c)2 ,từ đây ta có x ≤ 5 và a − c ≤ 3 0.25 7 3 1 2 3 4  Từ (1) , (2) suy ra P ≤ x.  (5 − x)  = x (5 − x)3 (3) 4 9 3  Theo câu a ta có: f(x) = x (5 − x)3 ≤ 6 3 với x thuộc đoạn [0; 5] nên suy ra www.mathvn.com P P≤ 2 3 .6 3 ⇒ P ≤ 4 . Vậy (*) được chứng 9 1.0 minh. Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 ………. Hết………. 8