I-
Néi dung cña ®Ò tµi
Tªn ®Ò tµi: Sö dông h×nh häc ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè
1- Lý do chän ®Ò tµi:
Trong ch¬ng tr×nh THPT, m«n To¸n ®îc chia thµnh ba ph©n m«n: H×nh
häc, §¹i sè vµ Gi¶i tÝch. Sù ph©n chia ®ã còng chØ mang tÝnh chÊt t¬ng ®èi.
Bëi lÏ, cã nhiÒu phÇn to¸n häc cã néi dung, ®Æc ®iÓm, ý nghÜa hay h×nh thøc
thuéc hai hoÆc c¶ ba ph©n m«n trªn. Cã nhiÒu bµi to¸n cã thÓ gi¶i ®îc b»ng
c¸c c«ng cô h×nh häc, ®¹i sè hay gi¶i tÝch. NhiÒu bµi to¸n h×nh häc cã thÓ
dïng ®¹i sè ®Ó gi¶i vµ ngîc l¹i nhiÒu bµi to¸n ®¹i sè cã thÓ dïng h×nh häc ®Ó
gi¶i. Trong s¸ng kiÕn kinh nghiÖm lÇn nµy, t«i ®Ò cËp ®Õn viÖc vËn dông c«ng
cô h×nh häc trong bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè.
Trong trong ch¬ng tr×nh to¸n 10 vµ to¸n 11, häc sinh ®· ®îc häc c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc còng nh c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt nh lµ sö dông biÕn ®æi s¬ cÊp, bÊt ®¼ng thøc c¬ së, tÝnh
®¬n ®iÖu cña hµm sè, dùa vµo tËp gi¸ trÞ cña hµm sè v.v...Tuy nhiªn, ®«i khi
viÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc sö dông c¸c ph¬ng ph¸p ®¹i sè g©y nªn nhiÒu
khã kh¨n cho häc sinh v× c¸c phÐp biÕn ®æi qu¸ dµi dßng, c¸c suy luËn qu¸
phøc t¹p.
Qua ®©y t«i muèn ®em ®Õn c¸ch nh×n kh¸c nh»m lµm phong phó h¬n vÒ
ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc §¹i sè, lîng gi¸c, ®ã chÝnh lµ sö dông
h×nh häc nh mét c«ng cô h÷u Ých cho viÖc gi¶i quyÕt vÊn ®Ò ®· nªu. Lêi gi¶i
bµi to¸n ®¹i sè cã chøa yÕu tè h×nh häc nhiÒu khi thùc sù bÊt ngê bëi rÊt gän,
dÔ hiÓu bëi cã c¸i nh×n trùc quan do h×nh häc ®em l¹i.
§iÒu quan träng lµ qua ®©y t«i muèn gióp c¸c em hoµn thiÖn h¬n vÒ ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc, thÊy ®îc c¸i mu«n mµu mu«n vÎ cña bÊt
®¼ng thøc vµ c¸c em sÏ thÊy ®îc mèi liªn hÖ gi÷a ®¹i sè vµ h×nh häc ®ång thêi
t¹o nªn sù høng thó cho c¸c em trong qu¸ tr×nh häc To¸n.
2. Ph¹m vi - thêi gian thùc hiÖn ®Ò tµi:
Trong phạm vi đề tài tôi đi nghiên cứu, t«i ®Ò cËp ®Õn viÖc vËn dông c«ng
cô h×nh häc trong bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè.
Thực nghiệm đối với học sinh lớp 10A14,10A15
III - Qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi, kh¶o s¸t thùc tÕ
1. Qua viÖc kh¶o s¸t thùc tÕ ë mét sè líp 10, trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, t«i
nhËn thÊy
a, ThiÕu tµi liÖu nghiªm träng:
1
VÒ ®a sè häc sinh ®· cã s¸ch gi¸o khoa nhng tµi liÖu tham kh¶o vÒ bµi tËp
chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc lµ rÊt Ýt, mÆt kh¸c mét sè Ýt häc sinh còng su
tÇm ®îc s¸ch hay c¸c bµi tËp vÒ c¸c bµi tËp chøng minh bÊt ®¼ng thøc nhng
kh«ng ®ång bé vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i, tøc lµ kh«ng ph¶i lêi gi¶i nµo còng ®îc sö
dông c«ng cô h×nh häc ®Ó gi¶i quyÕt dÉn c¸c em cha ®îc kh¾c s©u vÒ mét ph¬ng ph¸p gi¶i nhÊt ®Þnh. §èi víi gi¸o viªn còng vËy nÕu kh«ng chÞu khã su
tÇm, tham kh¶o thªm th× còng rÊt khã truyÒn ®¹t tèt ®îc kiÕn thøc phÇn nµy
cho häc sinh dÔ hiÓu.
b, Sù hiÓu biÕt cßn h¹n chÕ:
§a sè häc sinh theo häc t¹i trêng lµ con em n«ng th«n nªn cßn vÊt v¶ trong
cuéc sèng hµng ngµy, viÖc dµnh thêi gian tho¶ ®¸ng ®Ó häc to¸n nãi chung vµ
gi¶i bµi tËp vÒ bÊt ®¼ng thøc b»ng ph¬ng ph¸p h×nh häc nãi riªng lµ cha ®îc
tèt.
2. Sè liÖu ®iÒu tra:
VÒ t×nh h×nh s¸ch gi¸o khoa vµ tµi liÖu cña häc sinh phôc vô cho viÖc
häc gi¶i to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc ( líp 10) theo ®iÒu tra nh sau:
Líp
SÜ sè
S¸ch gi¸o khoa
Tµi liÖu tham kh¶o
Sè lîng
TØ lÖ
Sè lîng
TØ lÖ
10A14
38
32
84%
05
13%
10A15
42
36
86%
07
17%
3. Nh÷ng biÖn ph¸p thùc hiÖn:
I. Sö dông tÝch v« híng cña hai vect¬,
chøng minh BÊt ®¼ng thøc
®é dµi vÐc t¬ vµo
A. C¬ së lý thuyÕt
=
1. Cho hai vect¬ kh¸c 0 : a vµ b , ta cã a
.b
2. a.b a . b (do cosa, b 1)
(
)
a . b . cos a.b
3. VÐc t¬ a, b cïng ph¬ng, cïng híng nÕu a kb k 0; b 0
a, b cïng ph¬ng, ngîc híng nÕu a kb k 0; b 0
(VÐc t¬ 0 cïng ph¬ng, híng víi mäi vÐc t¬)
4. a b a b
B. C¸c bµi to¸n ¸p dông
2
Bµi to¸n 1.
Cho 2n sè thùc a 1, a2,...an, b1, b2,... bn. Chøng minh r»ng:
2
a12 b12 a22 b22 ... an2 bn2 a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
2
(BÊt ®¼ng thøc Minkèpsky).
Gi¶i. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, xÐt c¸c vÐc t¬ Ui ai , bi
Víi i = 1, 2,..., n. Khi ®ã U1 U2 ... Un = (a1 + a2 + ... + an; b1 + b2 + ... + bn)
Ta cã: U1 U2 ... Un U1 U2 ... Un
a12 b12 a22 b22 ... an2 bn2 a1 a2 ...an 2 b1 b2 ... bn 2
Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
§¼ng thøc x¶y ra khi c¸c vÐc t¬ Ui cïng ph¬ng, cïng chiÒu
a1 a2
a
... n
b1 b2
bn
Bµi to¸n 2. Cho ba sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n x + y + z 1. Chøng minh r»ng:
x2
1
1
1
y 2 2 z2 2 82
2
x
y
z
(1)
(C©u V - §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi A n¨m 2003)
1
1
1
Gi¶i. Trªn hÖ to¹ ®é §Òcac vu«ng gãc, xÐt a x; ; b y; ; c z;
x
z
y
1
1 1
Khi ®ã a b c x y z;
x y z
Ta cã: a b c a b c
1
1
1
x 2 y 2 2 z2 2
x
y
z
2
1 1 1
x y z
x y z
2
2
(2)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n cho ba sè
d¬ng x, y, z ta cã:
1 x y z 3 3 xyz
1 1 1
3
3
x y z
xyz
3
1
xyz
3
1
9
§Æt t 3 xyz 2 ta cã 0 t
3
2
1 1 1
9
9
2
9t
x y z 9 3 xyz
2
t
3
x y z
xyz
2
§Ó chøng minh(1), ta chØ cÇn chøng minh
9
1
9t 82 víi 0 t
t
9
9t2 - 82t + 9 0
(9t - 1) (t - 9) 0
BÊt ®¼ng thøc ®óng do 9t - 1 0; t - 9 < 0
§¼ng thøc (1) x¶y ra x = y = z =
1
3
Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta lu«n cã:
cos A + cosB + cosC 3 .
2
Gi¶i: ChÝnh sù xuÊt hiÖn cña gi¸ trÞ cosin mµ gîi ý cho ta sö dông tÝch v« híng.
Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ABC.
§Æt 3 vÐc t¬ ®¬n vÞ cã gèc I, híng vu«ng gãc víi c¸c c¹nh lÇn lît lµ
e1 , e 2 , e 3 .
A
Ta cã ( e1 + e2 + e3 ) 2 0
e12 + e22 + e32 + 2( e1e2 + e2 e3 + e3 e1 )
3 - 2 (cosA + cosB + cosC) 0
cosA + cosB + cos C
B
I e
e3 1
e2
3
2
C
Chó ý: Tõ c¸ch chøng minh ta thÊy:
1. I cã thÓ chän bÊt kú vÞ trÝ nµo
2. e1 , e 2 , e3 cïng híng vµo trong hoÆc híng ra ngoµi miÒn .
3. e1 , e 2 , e3 cã thÓ chän trªn 3 c¹nh cña (híng cïng chiÒu hoÆc ngîc
chiÒu quay kim ®ång hå).
Tõ bµi to¸n (3) ta cã bµi to¸n (4):
Bµi to¸n 4: Chøng minh r»ng trong ABC ta lu«n cã:
sin
A
B
C
+ sin + sin
2
2
2
3.
2
Gi¶i: §a bµi to¸n (4) vÒ bµi to¸n (3)
(3)
cos
A C
A B
B C
cos
cos
2
2
2
3
2
4
Do B + C ; A + C ; A + B lµ sè ®o ba gãc cña mét tam gi¸c ®iÒu ph¶i chøng
2
2
2
minh.
Nh vËy ®èi víi c¸c bÊt ®¼ng thøc liªn quan ®Õn gi¸ trÞ cosin ta nghÜ ®Õn sö
dông tÝch v« híng.
Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng víi mäi ABC vµ 3 sè thùc bÊt kú x, y, z ta
lu«n cã:
x 2 + y2 + z2
2xy.cos C + 2xz.cosB + 2yz .cosA
C¸ch gi¶i: Lùa chän c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ chung gèc e1 , e 2 , e3 nh bµi to¸n 3 råi
sö dông tÝch v« híng cho c¸c vÐc t¬ xe1 , ye 2 , ze3 ta cã:
( xe1 + ye2 + ze3 ) 2 0
x 2 + y 2 + z 2 + 2( xye
0
1 e 2 + yze 2 e 3 + xze1 e 3 )
x 2 y 2 z 2 2 xy. cos C yz. cos A xz. cos B
0.
Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng víi mäi ABC vµ víi c¸c sè thùc d¬ng m, n, p
bÊt kú, ta lu«n cã: m sin A + n sin B + p sin C
2
2
2
1
1
1
1
m.n.p
+ 2+ 2
2
2
m
n
p
(5)
C¸ch gi¶i:
1. sin cã thÓ ®a vÒ cosin råi ¸p dông (3)
2. BiÕn ®æi vÕ ph¶i cña (5)
VP = 1 m.n.p (
2
(
1
1
1
1
+
+
)=
m2p2 + m2n 2 + n 2p2
2 m.n.p
m2 n 2 p2
(5) m sin A + n sin B + p sin C
2
2
m2n 2 + m2p2 + n 2p2
2
(
1
m2p2 + m2 n 2 + n 2 p2
2 mnp
)
)
2mnp(m sin A + n sin B + p sin C ) (5')
2
2
2
Do B + C ; A + C ; A + B lµ 3 gãc cña mét tam gi¸c nªn ¸p dông (4) ta
2
2
2
cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
Qua ®©y ta thÊy b»ng ph¬ng ph¸p sö dông tÝch v« híng vµ ®é dµi vect¬
nhiÒu bµi to¸n nªn gi¶i b»ng c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c tëng rÊt phøc t¹p dµi dßng
thÕ mµ b»ng ph¬ng ph¸p nµy ®· trë nªn nhÑ nhµng trong viÖc tr×nh bµy chøng
minh.
ii. sö dông BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c chøng minh BÊt ®¼ng thøc
®¹i sè
5
A. C¬ së lý thuyÕt
Víi ba ®iÓm A, M, B ta lu«n cã
1. AM + MB AB.
(§¼ng thøc x¶y ra A, M, B th¼ng hµng, M n»m gi÷a A vµ B).
2. MA MB AB .
(§¼ng thøc x¶y ra A, M, B th¼ng hµng vµ M n»m ngoµi A, B).
B. C¸c bµi to¸n ¸p dông
Bµi to¸n 1: Cho x, y, z tuú ý. Chøng minh r»ng:
x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 >
y 2 + yz + z 2
C¸ch gi¶i: Gi¶ sö A (xA, yA) ; B(xB, yB); C(xC, yC)
AB =
2
xA xB y A
2
yB ; BC =
2
xC xB yC
yB
2
VËy víi 3 ®iÓm A, B, C bÊt kú ta cã:
2
x A xB y A
2
yB
2
xB xC yB
2
yC
2
x A xC y A
yC
2
*
BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh cã d¹ng gièng (*). Tõ ®ã cã c¸ch gi¶i.
Híng dÉn:
2
y 3
2
2
x xy y x
y
2 2
2
2
2
z 3 Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é xÐt c¸c ®iÓm:
2
2
x xz z x
z
2 2
y 3
3
3 y z
A x ;
z ; B 0,
y
z ;C , 0
2
2
2
2
2 2
AB =
x 2 xy y 2 ; AC x 2 xz z 2 ; BC y 2 yz z 2
Do AB + AC BC (1) ®óng
x A 0
xC 0
DÊu b»ng x¶y ra A, B, C th¼ng hµng hay x A 0; xC 0
yB y A y A yC
x
x
B A x A xC
6
y z 2 x
y z y 2 x 0
x y z yz
Chó ý: ViÖc chän to¹ ®é A, B, C kh«ng ph¶i lµ duy nhÊt mµ cã rÊt nhiÒu c¸ch
chän A, B, C tho¶ m·n ph¬ng ph¸p nµy sao cho:
AB x 2 xy y 2 ; BC y 2 yz z 2 ; AC x 2 xz z 2
y 3
z 3
VÝ dô nh: A 0, 0 ; B x ;
y ; C x ;
z
2
2
2
2
Tuy nhiªn nÕu xem
x 2 xy y 2 kh«ng ph¶i lµ d¹ng ®é dµi cña mét ®o¹n
th¼ng mµ coi ®ã lµ d¹ng tµng Èn cña ®Þnh lý cosin th× ta sÏ ®îc g×? Ph¶i bæ
sung g×?
1
x 2 xy y 2 x 2 2 xy y 2 = x 2 2cos1200 xy y 2
2
B
x 2 xz z 2 x 2 2cos1200 xz z 2
Tõ ®ã: §Æt OA = x; OB = y; OC = z (x, y, z, 0)
vµ AOB = 1200, AOC = 1200 BOC = 1200
AB x 2 y 2 2 xycos1202 x 2 xy y 2 C
1200 1200
1200
A
AC x 2 z 2 2 xzcos1202 x 2 xz z 2
BC y 2 z 2 2 xz cos1200 y 2 z 2 yz
Vµ AB + AC BC (®iÒu ph¶i chøng minh)
Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng:
a 2 a 1 a 2 a 1 2, a R (1)
2
Bµigi¶i: (1)
2
1 3
1 3
a 2 4 a 2 4 2
1 3
§Æt A = ;
2 2 ;
B ( a; 0);
1
3
C = ;
;
2
2
7
2
2
1 3 ;
BC = a 1 3 ;
AC =2
a 2 4
2 4
BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi AB + BC AC, ®©y lµ bÊt
®¼ng thøc ®óng .
§¼ng thøc xÈy ra khi vµ chØ khi A, B, C th¼ng hµng vµ B n»m gi÷a A vµ C
a = 0.
Nh vËy ®èi víi c¸c bÊt ®¼ng thøc tëng chõng nh qu¸ tÇm ®èi víi c¸ch
gi¶i th«ng thêng th× l¹i thËt gän nhÑ víi ph¬ng ph¸p sö dông vµ xem bµi to¸n
®o¸n ®ã b»ng con m¾t h×nh häc.
*/ Trªn ®©y lµ mét sè kinh nghiÖm cña b¶n th©n khi trùc tiÕp tham gia
gi¶ng d¹y. Thùc tÕ cho thÊy ®a sè häc sinh rÊt høng thó khi ®îc häc nh÷ng
d¹ng to¸n trªn. C¬ së trùc quan cña h×nh häc phÇn nµo ®· gi¶m nhÑ ®îc ®é
khã cña bµi to¸n. VËn dông h×nh häc trong bµi to¸n ®¹i sè, gióp häc sinh ®ì
ph¶i tÝnh to¸n cång kÒnh phøc t¹p.
Qua thùc tÕ kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cña b¶n th©n t¹i trêng THPT Chóc
§éng víi néi dung vµ ph¬ng ph¸p nªu trªn ®· gióp häc sinh cã c¸i nh×n toµn
diÖn h¬n vÒ m«n to¸n vµ h×nh thµnh ë häc sinh c¸ch nh×n mét bµi to¸n ®¹i sè
díi con m¾t h×nh häc, ®ång thêi qua chuçi c¸c bµi to¸n gióp c¸c em häc to¸n
chñ ®éng vµ s¸ng t¹o h¬n, kh«ng b»ng lßng víi nh÷ng g× m×nh ®· lµm ®Ó mét
bµi to¸n kh«ng dõng l¹i ë mét c¸ch gi¶i mµ biÕt xung quanh bµi to¸n ®ã lµ c¸c
kiÕn thøc liªn quan, kÝch thÝch c¸c em t×m tßi nhiÒu c¸ch gi¶i quyÕt cho mét
vÊn ®Ò.
Trong phÇn nµy, cßn nhiÒu d¹ng bµi øng dông h×nh häc trong bµi to¸n
®¹i sè mµ t¸c gi¶ cha tr×nh bµy ë ®©y. T¸c gi¶ hy väng cã ®iÒu kiÖn ®Ó tr×nh
bµy trong nh÷ng n¨m tiÕp theo .
MÆc dï b¶n th©n còng ®· cè g¾ng nhiÒu, song nh÷ng ®iÒu viÕt ra cã thÓ
kh«ng tr¸nh khái sai sãt. Chóng t«i rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña c¸c ®ång
nghiÖp còng b¹n ®äc nh»m n©ng cao hiÖu qu¶ gi¶ng d¹y vµ häc tËp.
IV – KÕt qu¶ thùc hiÖn cã so s¸nh ®èi chøng:
1. Sau nh÷ng cè g¾ng, nç lùc kÕt hîp ®ång bé nh÷ng biÖn ph¸p thùc
hiÖn ®Æc biÖt lµ ®æi míi ph¬ng ph¸p khi ®i vµo gi¶ng d¹y tõng bµi cô thÓ, thùc
tÕ cho thÊy kÕt qu¶ thu ®îc kh¸ kh¶ quan. NhiÒu em ®· thÓ hÖn sù høng thó
häc tËp ph©n m«n nµy. ChÝnh sù yªu thÝch, høng thó häc tËp lµ ®éng lùc thóc
®Èy c¸c em t×m tµi liÖu, chuÈn bÞ bµi vë, h¨ng h¸i th¶o luËn trong c¸c g׬ häc.
Sù cè g¨ng phÊn ®Êu khiÕn kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c em tiÕn bé h¬n.
Khi ®ã: AB =
8
2. Sau ®©y lµ b¶ng so s¸nh ®èi chøng kÕt qu¶ ®iÒu tra qua hai häc k× cña
2 líp:
Líp
SÜ
Kh¸ giái
Sè lTØ lÖ
10A14
10A15
sè
38
42
îg
09
10
24%
24%
Häc k× I 2009- 2010
Trungb×nh
YÕu kÐm
Sè lTØ lÖ
Sè lTØ lÖ
îng
15
16
39%
38%
îng
14
16
37%
38%
Kh¸ giái
Sè l- TØ lÖ
îg
11
13
29%
31%
Häc k× I 2009- 2010
Trungb×nh
YÕu kÐm
Sè lTØ lÖ
Sè lTØ lÖ
îng
16
19
42%
45%
îng
11
10
29%
24%
3. Thêi ®¹i ngµy nay lµ thêi ®¹i cña c«ng nghÖ th«ng tin, cña khoa häc kÜ
thuËt . Trong bèi c¶nh Êy nhiÒu häc sinh kh«ng chó ý ®Çu t vµ mÆn mµ víi
viÖc mua s¸ch tham kh¶o, tù gi¶i bµi tËp to¸n, tù t×m tßi häc hái còng lµ ®iÒu
dÔ hiÓu.
Tr¸ch nhiÖm nÆng nÒ cña ngêi gi¸o viªn gi¶ng d¹y to¸n ë trêng phæ
th«ng lµ ®em t©m huyÕt cña m×nh, ®¸nh thøc, kh¬i gîi niÒm say mª, høng thó
häc tËp m«n to¸n, gãp phÇn vµo chiÕn lîc ®µo t¹o con ngêi – nh÷ng chñ nh©n
t¬ng lai cña ®Êt níc ngµy mai .
V. C¸c kiÕn nghÞ sau qóa tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi
Khi thùc hiÖn xong s¸ng kiÕn nµy , t«i còng xin kiÕn nghÞ víi c¸c cÊp
cña ngµnh mét vµi ý kiÕn nh sau: - Cung cÊp, bæ sung nhiÒu h¬n, thiÕt thùc
h¬n n÷a cho ngêi d¹y vµ ngêi häc nh÷ng tµi liÖu , s¸ch tham kh¶o m«n to¸n
§¹i sè cña líp 10, s¸ch tham kh¶o vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng nhiÒu
ph¬ng ph¸p .
Ch¬ng Mü,ngµy 10 th¸ng 5 n¨m 2010
T¸c gi¶ ký tªn
NguyÔn ThÞ KiÒu Anh
9
ý kiÕn ®¸nh gi¸ nhËn xÐt
cña héi ®ång khoa häc c¬ së
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
ý kiÕn ®¸nh gi¸ nhËn xÐt
cña héi ®ång khoa häc cÊp trªn
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
10
- Xem thêm -
.DOC 
10 
151 
119 
