Tài liệu Skkn rèn luyện kỹ năng phân tích tìm lời giải bài toán về phương trình đường tròn trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRUNG TÂM GDTX TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG (Đối với lớp 10) Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trung tâm GDTX Triệu Sơn SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán THANH HÓA NĂM 2016 1 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Ở LỚP 10 Mục lục trình bày: 1.Mở đầu 2. Nội dung 2.5 Củng cố lý thuyết 2.5.1 Phương trình đường tròn 2.5.2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2.6 Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải 2.6.1 Bài toán về viết phương trình đường tròn Dạng 1: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng… Dạng 2: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, đường tròn cho trước. 2.6.2 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm trên đường tròn Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Dạng 3: Bài toán liên quan đến tiếp tuyến 2.7. Một số bài toán để học sinh tự luyện tập 2.8. Theo dõi đánh giá kết quả thực hiện. 3. Kết luận và kiến nghị 3.1. Kết luận. 3.2. Đề xuất và kiến nghị Trang 1 2 3 3 4 4 4 4 6 9 9 9 10 11 12 12 12 13 2 1.Mở đầu 1.1.Lý do chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 10; ôn tập cho học sinh lớp 12 và ôn luyện thi vào Đại Học- Cao Đẳng, Ở phần Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng: (phương trình đường thẳng; phương trình đường tròn), tôi thấy nhiều em không làm được những bài tập hoặc chỉ làm được những bài có tính chất áp dụng công thức đơn thuần. Những bài có tính chất tính chất tổng hợp thì không phân tích được bài toán nên không tìm được hướng giải, mặc dù đã được ôn lại lý thuyết. Trong khi đó bài toán có liên quan đến phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn của phần toạ độ trong mặt phẳng lại là một vấn đề quan trọng trong chương trình và luôn có mặt trong các đề thi vào các trường Đại học-Cao Đẳng của các khối thi A, A1, B, D nên rất cần ôn tập tốt cho học sinh vấn đề này. Trong chương trình toán phổ thông; phần “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” các em được học ở lớp 10; cả năm lớp 11, cả năm lớp 12 không được gặp lại. Trong một thời gian dài không học nên khi ôn tập các em gần như đã quên hết. Hơn nữa khi học phần này ở lớp 10, chương trình sách Giáo khoa do thời lượng ít nên chưa đề cập được hết các vấn đề mà chỉ dừng lại ở vận dụng và áp dụng công thức, chỉ giải được những bài toán đơn giản; chưa chú ý đến tự bồi dưỡng kiến thức, khi gặp bài toán có tính chất tổng hợp, khó hơn thì không phân tích được bài toán, không thấy được quan hệ giữa hình học phẳng thuần túy và tọa độ trong mặt phẳng, không thể chuyển bài toán tọa độ sang bài toán hình học thuần túy để tìm được cách giải. Hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đề này,đồng nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết khắc phục. Đây là lý do mà tôi đà lựa chọn vấn đề này để viết sáng kiến kinh nghiệm là cấp thiết. 1.2.Mục đích nghiên cứu Giải quyết những khó khăn mà học sinh thường gặp phải khi giải loại bài tập này.Đưa ra các phương pháp giải mới mà học sinh dễ tiếp cận nhất. Giúp học sinh phát triển tư duy toán học sau phần bài tập này. Điều quan trọng là: học sinh sẽ có đủ năng lực cũng như sự say mê khi tìm tòi lời giải của những bài toán liên quan cần tư duy cao hơn. 1.3.Đối tượng nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu phương trình đường tròn trong mặt phẳng. Ôn tập về các dạng bài toán thiết lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng. 1.4.Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết. Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin. Phương pháp thống kê xử lý số liệu. 2.Nội dung: 2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm. 3 Rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp giải bài toán phương trình đường tròn được thực hiện trên cơ sở củng cố, phân loại các dạng và thông qua các bài toán cụ thể với thời gian bốn tiết học trên tuần, cùng với việc các em tự giải các bài tập khác. 2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh học hình là một nhu cầu bức thiết có ý nghĩa quan trọng. Tuy nhiên vấn đề này ít được học sinh quan tâm vì nhiều lý do cả khách quan và chủ quan, từ đó dẫn tới một thực tế là: Đối với giáo viên: Do nhu cầu hứng thú học hình của học sinh không có nhưng giáo viên vẫn phải lên lớp tiến hành dạy cho hết bài. Đối với học sinh: Tâm lý chung là không thích học hình, thờ ơ coi thường môn học chỉ chú trọng vào học Đại số không nghiêm túc trong học tập, không khí học tập không có, thậm chí giáo viên mà lơ là thì học sinh lôi sách môn khác ra học. Từ những lý do trên dẫn tới hậu quả là học sinh thì ngày càng lười học, học không chỉ để đối phó vì điểm tổng kết ... Tâm lý coi thường môn học, những hiểu biết về bài tập phương trình đường tròn học sinh rất là mơ hồ. Việc giảng dạy của giáo viên ngày càng buồn tẻ, nhàm chán không muốn đầu tư vào chuyên môn do học sinh không muốn học. Kinh nghiệm này tôi đã thực hiện ngay sau khi dạy xong phương trình đường tròn trong mặt phẳng ở chương trình toán lớp 10 . Cụ thể: Ôn tập về các dạng bài toán thiết lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng. 2.3.Giải pháp để giải quyết vấn đề. Hướng dẫn rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải thông qua các ví dụ , các bài toán ở các dạng viết phương trình đường tròn; xác định toạ độ điểm qua tương giao của đường thẳng và đường tròn... Một số bài toán chọn lọc để các em tự giải. Giáo viên đưa ra câu hỏi nêu vấn đề, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh, học sinh đọc sách giáo khoa và theo dõi các tài liệu do giáo viên trình bày. Muốn học sinh hứng thú say mê học môn học phải đổi mới phương pháp truyền tải. Thực hiện bồi dưỡng, hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với kỹ năng phân tích, tìm phương pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay sau khi học xong lý thuyết “Phương trình đường tròn” ở lớp 10. Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn nhiều; khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở lớp 12 sau này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học xong chương trình lớp 12 mới ôn tập ; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có kết quả học tập tốt hơn. Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn đồng nghiệp bàn luận và tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn. 4 Giáo viên đưa ra câu hỏi nêu vấn đề, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh, học sinh đọc sách giáo khoa và theo dõi các bài tập do giáo viên trình bày, học sinh sau ít phút đọc tài liệu rồi đưa ra đáp án trả lời. Sau đó giáo viên chốt ý. Tạo nhu cầu hứng thú trong học tập ở mỗi mục cụ thể phải có hình thức dạy học thích hợp vừa sức từng đối tượng học sinh. Tạo nhu cầu hứng thú bằng cung cấp cho học sinh các thông tin mới một cách sinh động, mở rộng bài học. Rèn luyện kỹ năng, mục tiêu học sinh chủ động tích cực trong học tập. Tạo nhu cầu hứng thú trong bài học đến phần kết thúc bài học giáo viên củng cố lại kiến thức đã học và ra bài tập về nhà cho học sinh và chuẩn bị bài học mới cho tiết sau. 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản thân,đồng nghiệp, nhà trường. Chính vì vậy rút kinh nghiệm từ vấn đề này tôi đã thực hiện bồi dưỡng, hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với kỉ năng phân tích, tìm phương pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay sau khi học xong lý thuyết “Phương trình đường tròn” ở lớp 10. Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn nhiều; khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở lớp 12 sau này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học xong chương trình lớp 12 mới ôn tập ; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có kết quả học tập tốt hơn. Tổ chức thực hiện. Sau đây là những nội dung của sáng kiến kinh nghiệm tôi vận dụng dạy ở các lớp theo hai phương pháp dạy khác nhau để kiểm chứng kết quả nhận thức và sự hứng thú học của học sinh. 2.5. CỦNG CỐ LÝ THUYẾT: ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Sau khi học xong bài phương trình của đường tròn thì cho các em ôn tập, rèn luyện kỉ năng giải các loại bài toán có liên quan đến đường tròn: Cần củng cố lại các vấn đề sau: 2.5.1. Phương trình đường tròn. Người ta thường dùng 2 dạng sau để viết phương trình đường tròn: - Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R thì phương trình là: ( x  a ) 2  ( y  b ) 2 R 2 Hoặc có dạng khai triển: x 2  y 2  2ax  2by  c 0 với a 2  b 2  c ; Tâm I(-a; -b) bán kính R  a 2  b2  c 2 2 2 - Phương trình dường tròn(C): ( x  a )  ( y  b) R ; đường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0 thì khoảng cách từ I(a, b) đến (d) là: 5 h Aa  Bb  C A2  B 2 Nếu h > R thì (d) không cắt (C) - Nếu h = R thì (d) tiếp xúc (C); (d) được gọi là tiếp tuyến - Nếu h < R thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. 2.5.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. 2 2 2 Đường tròn (C) : ( x  a)  ( y  b) R ; điểm M(x0; y0) 1. Nếu  M nằm trên (C) thì tiếp tuyến là đường thẳng (d) đi qua M có pháp tuyền là IM ( x0  a; y0  b) nên phương trình tiếp tuyến của (C): ( x0  a)( x  a)  ( y0  b)( y  b) R 2 2 2 Đường tròn (C) : x  y  2ax  2by  c 0 thì phương trình tiếp tuến của (C) tại M : xx0  yy0  a ( x  x0 )  b( y  y0 )  c 0 2. Nếu N là điểm nằm ngoài đường tròn (C) Phương pháp 1: Phương trình đường thẳng (d) đi qua N(xN; yN) có dạng A( x  xN )  B ( y  y N ) 0; A2  B 2 0 (d) là tiếp tuyến của (C) khi d(I ; (d)) = R A(a  xN )  B(b  y N )  R 2 2 A B Giải phương trình này để tìm A ; B Phương pháp 2: Gọi M nằm trên (C) thì tiếp tuyến của (C)tại M là đường thẳng (d) có phương trình : ( x0  a)( x  a)  ( y0  b)( y  b) R 2 đường thẳng (d) đi qua N ( x0  a)( xN  a )  ( y0  b)( y N  b) R 2  2 2 2 ( x0  a)  ( y0  b) R 2.6. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH BÀI TOÁN ĐỂ TÌM CÁCH GIẢI Việc rèn luyện kỹ năng phân tích và giải bài toán hình giải tích kinh nghiện bản thân cho thấy: Phải luôn xác định cho học sinh quan niệm coi việc viết phương trình của một đường nào đó như vẽ một đường cụ thể trong hình phẳng. Như các em đã quen làm, muốn dựng một hình thì phải phân tích trên hình giả sử có được để tìm cách dựng và thứ tự các bước. Chính vì vậy nên khi rèn luyện kỹ năng giải toán hình giải tích, tôi luôn thực hiện theo hướng này. Tôi luôn hướng các em vẽ nháp hình giả sử có được để phân tích tìm cách và thứ tự các bước giải. Việc thực hiện được thông qua phân dạng và các loại bài toán sau: 2.6.1.Các bài toán về viết phương trình đường tròn Dạng 1: Bài toán về thiết lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng. Đây là loại bài toán cơ bản nhất, ta có thể sử dụng cả hai phương pháp để giải bài tập loại này. Thông qua các bài toán cụ thể để hướng dẫn cho học sinh l 6 uyện tập. Bài 1: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1 ;-3) Nhận xét: Đường tròn xác định khi biết tâm I và bán kính R. Nên các em nghĩ ngay đến việc đi tìm tâm và bán kính bằng việc giải hệ: IA = IB = IC = R. Việc giải hệ này là phức tạp. Nên có thể sử dụng ngay dạng khai triển của phương trình đường tròn. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên có một đường tròn duy nhất đi qua 3 điểm này. Phương trình có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c 0 2a  4b  c 5  Đi qua A, B , C , ta có hệ : 10a  4b  c 29 2a  6b  c 10  29 13 Giải hệ ta có a  ; b  1; c  8 4 29 13 x  2 y  0 Vậy phương trình đường tròn cần tìm : x 2  y 2  4 4 Bài 2:(ĐTĐHQG96) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết 3 cạnh AB, BC, AC làn lượt có phương trình x - 5y – 2 = 0; y =x +2; y = 8 –x Nhận xét: Đây là bài toán viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng , nhưng chưa có tọa độ 3 điểm. Việc đầu tiên là tìm tọa độ của A, B và C và đưa về bài toán trên. Cạnh AB cắt AC tại A ; giải hệ ta có A(-3; -1) Cạnh AB cắt BC tại B ; giải hệ ta có B(3; 5) -Cạnh AC cắt BC tại C; Ta có thể giải hệ tìm tọa độ C và viết phương trình đường tròn theo phương pháp trên. Tuy nhiên từ đề bài nhận thấy AC và BC là 2 đường thẳng vuông góc với nhau (Tam giác ABC vuông tại C) để giải thì bài toán giải nhanh hơn. Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm I cạnh AB; 1 I(0; 2) ; bán kính R = AB 6 2 2 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x 2  ( y  2) 2 72 Bài 3:(ĐTĐHKA-2007) Cho tam giác ABC với A(0; 2), B(-2; -2), C(4 ; -2), H là chân đường cao kể từ B . M, N là trung điểm cạnh AB, BC. Viết phương trình đường tròn đi qua H,M,N. Nhận xét, giải: Tìm tọa độ H; M; N Có thể dễ dàng tìm tọa độ trung điểm M(-1; 0) , N(1; -2) H là chân đường cao kể từ B nên BH vuông góc AC tại H; H nằm trên AC. 7    BH  AC  x 1   H (1;1) Gọi H(x;y) =>   H  AC  y 1 Giải theo cách trên ta có: Phương trình có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c 0 Đi qua A, B , C , ta có hệ phương trình: 2a  2b  c  1   2a  c  1 2a  4b  c  5  1 1 Giải hệ ta có a  ; b  ; c  2 2 2 B N M A H C Vậy phương trình đường tròn là : x 2  y 2  x  y  2 0 Bài 4 : (ĐTCĐ Công Nghiệp Hà Nội -2004) : Trong hệ Oxy cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC lần lượt có phương trình x + y – 2 = 0 ; 2x + 6y + 3 = 0. Cạnh BC có trung điểm M(-1 ; 1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải : tìm tọa độ A,B,C : A Xác định ngay được tọa độ A là nghiệm của hệ : P  15  x  4  x  y  2 0 15  7 C   A( ; )  M 4 4 B 2 x  6 y  3 0  y  7  4 Gọi P là trung điểm cạnh AC; MP//AB ; MP có phương trình : x + y + m = 0; MP đi qua M nên => m = 0 3  x    x  y 0 4  P( 3 ;  3 )  Tọa độ P là nghiệm của hệ:  4 4 2 x  6 y  3 0  y   3  4 9 1 1 7 P là trung điểm AC  C ( ; ) . Vì M là trung điểm BC  B ( ; ) 4 4 4 4 Viết phương trình đường tròn đi qua A,B, C theo cách trên ta có kết quả : 65 x2  y2  x  3 y  0 8 Dạng 2 : Viết phương trình đường tròn tiếp xúc đường thẳng, đường tròn cho trước. Để làm bài tập loại này cần lưu ý cho học sinh : 8 - Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi cách tâm đường tròn một đoạn bằng bán kính. - Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính : I1I 2 R1  R2 - Hai đường tròn tiếp xúc trong khi khoảng cách hai tâm bằng trị tuyệt đối hiệu hai bán kính : I1I 2  R1  R2 - Đường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0 thì khoảng cách từ I(a, b) đến (d) là: Aa  Bb  C h A2  B 2 Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 2) và hai đường thẳng (d) : x – 3y – 2 = 0; (d’): x – 3y + 18 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A , tiếp xúc với (d) và (d’) . Nhận xét và giải: Để viết được phương trình đường tròn cần xác định được tâm I(a,b), bán kính R. Khi đó d đường tròn (C) có phương trình: I(a;b) A(4;2) 2 2 2 ( x  a)  ( y  b) R Vì (C) đi qua A d'  (4  a) 2  (2  b) 2 R 2 IA2 (1) (C) tiếp xúc với (d) và (d’) . d(I ;(d)) = d(I,(d’)) a  3b  2 a  3b  18 R  a  3b  8;(2) 10 10 Ở đây ta nhận thấy rằng nếu ta chọn hệ (1) và (a – 3b - 2)2 = 10R2 Để giải thì bài toán phức tạp và khó hơn nhiều. Tuy nhiên ta nhận thấy (d) // (d’) nên 2R = d((d); (d’)). Chọn M(5; 1) trên (d) => d((d);(d’)) = d(M,(d’)) = 2 10  R  10  a 1; b 3 (4  a ) 2  (2  b) 2 10  Ta có hệ:  29 23  a  ;b  a  3b  8 5 5  29 2 23 2 2 2 ) (y  ) 10 Vậy có 2 kết quả là: ( x  1)  ( y  3) 10; ( x  5 5 Bài 2 : (ĐTĐH Huế-1997) Trong hệ tọa độ Oxy.Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết A(-1 ;7), B(4 ;-3) ; C(-4 ; 1). Phân tích và giải : Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm được để phân tích Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác, có  9 tâm I là giao điểm các phân giác trong, bán kính R = d(I,AB) = d(I,AC) = d(I,BC) d ( I ; AB) d ( I , AC ) Vậy tìm I trước hết tìm AB; BC; AC sau đó giải hệ  d ( I , AB) d ( I , BC ) Ta cũng giải được bằng cách lấy giao của 2 phân giác trong. Cụ thể : tìm được phương trình các cạnh : AB : 2x+y-5=0; BC: x +2y +2 =0; AC; 2x – y+ 9 = 0 Phân giác trong góc B : x + y – 1 = 0 ; của góc C: x- 3y +7 = 0  x  y  1 0 Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ   x  3 y  7 0 => I(-1;2) ; R = d(I; AB) = 5  x  y  1 0 Phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  1) 2  ( y  2) 2 5 Bài 3. (ĐTĐHKB-2005) Trong hệ tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(2;0) và B(6; 4). Viết phương trình đường tròn ( C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. Phân tích và giải : Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm được để phân tích Gọi I(a,b)là tâm của (C) tiếp xúc với Ox tại A(2;0) => a = 2 và bán kính R  b  I (2; b)  IB 2 25 (b  2) 2  (4  b) 2  b 2  8b  7 0  b 1; b 7 Với a = 2; b = 1  R 1  (C ) : ( x  2) 2  ( y  1) 2 1 Với a = 2; b = 7  R 7  (C ) : ( x  2) 2  ( y  7) 2 49 Bài 4(ĐTĐHKB-2009): 4 2 2 Trong hệ Oxy cho đường tròn (C)có phương trình ( x  2)  y  va hai 5 đường thẳng d1 : x  y 0; d 2 : x  7 y 0 .Viết phương trình đường tròn có tâm I mằm trên (C) và đồng thời tiếp xúc với d1; d2 . Phân tích và giải : Dùng hình vẽ giải sứ với kết quả đã tìm được để phân tích Tương tự trên , Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C’) cần tìm d2 4 2 2 I(a.b) Vì I trên (C)  (a  2)  b  ; (*) 5 (C') (C) (C’) có phương trình: d1 ( x  a) 2  ( y  b) 2 R 2 10 b  a   2 a  b a  7b   R  a 2b 2 5 2 Vì (C’) đồng thời tiếp xúc với d1; d2 b Nếu a = thay vào (*) ta được : 25a2 – 20a + 16 = 0 (vô nghiệm) 2 4 8 4 2 2 Nếu a = 2b thay vào (*) ta được : b  và ta có: I ( ; ); R 5 5 5 5 8 2 4 2 8 Vậy phương trình của (C’) : ( x  )  ( y  )  5 5 25 2.6.2 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm trên đường tròn. Cần lưu ý cho học sinh là : Tiếp tuyến (d) của đường tròn (C) là đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Vì vậy khi làm bài loại này trước tiên cần xác định tâm và bán kính của đường tròn. Ví dụ: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 tại M(2 ; 1) Giải : (C) : (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 => (C) có tâm I(-2 ; -2) và R = 5 Tiếp tuyến (d) vuông góc IM => (d) có véc tơ pháp tuyến là IM (4;3) Vậy : phương trình tiếp tuyến (d) : 4(x - 2) + 3(y - 1) = 0 4x + 3y – 11 = 0 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước. Để giải bài toán loại này: Nếu N là điểm nằm ngoài đường tròn (C). Ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp sau : Phương pháp 1: Phương trình đường thẳng (d) đi qua N(xN; yN) có dạng A( x  xN )  B ( y  y N ) 0; A2  B 2 0 (d) là tiếp tuyến của (C) khi d(I ; (d)) = R A(a  xN )  B(b  y N )  R 2 2 A B Giải phương trình này để tìm A ; B Phương pháp 2: Gọi M nằm trên (C) thì tiếp tuyến của (C)tại M là đường thẳng (d) có phương trình : ( x0  a)( x  a)  ( y0  b)( y  b) R 2 đường thẳng d đi qua N 2 ( x0  a)( xN  a )  ( y0  b)( y N  b) R  2 2 2 ( x0  a)  ( y0  b) R Bài toán 1: 11 Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 biết tiếp tuyến đi qua N(2 ; 0). Giải : (C) có tâm I(-1 ;-1); bán kính R = 1 Phương trình đường thẳng (d) đi qua N(2; 0) có dạng: A( x  2)  By 0  Ax  By  2 A 0; A2  B 2 0 d là tiếp tuyến khi d(I ;(d)) = 1  A 0 1  8 A2  6 AB 0   A2  B 2  4 A  B 0  3A  B Nếu A = 0 chọn B = 1 ta có tiếp tuyến (d) : y = 0 Nếu 4A + 3B = 0 chọn A = 3 ; B = - 4 ta có tiếp tuyến (d) : 3x – 4y + 6 = 0. Bài toán 2: Cho đường tròn (C)có phương trình x 2  y 2  2 x  6 y  5 0 và đường thẳng (d) : x – 2y – 1= 0, Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với (d). Giải : Xác định dạng của  : Vì   ( d )     : 2 x  y  m 0 ; (m  1) 2 3m  m 6  5   là tiếp tuyến khi d(I ;  ) = R  22  12  m  4 Vậy ta được hai tiếp tuyến là 2x + y + 6 = 0 và 2x + y – 4 = 0 Dạng 3 : Bài toán liên quan đến tiếp tuyến. Bài 1 : (ĐTĐHKB-2006). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3 ; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2. Giải : Vẽ hình minh họa để phân tích bài toán : Từ giả thuyết ta có T1 (C) có tâm I(1 ; 3) và bán kính R = 2 M M nằm ngoài (C) vì IM = 2 5  R I Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1; MT2 Đối xứng nhau qua MI  MI  T1T2 Gọi T1(x1 ;y1) ; MT1 đi qua M và T1 có véc tơ T2 pháp tuyến IT1 ( x1  1; y1  3)  Phương trình MT1 : (x1 - 1)(x1 + 3) + (y1 - 3)(y1 - 1) = 0 T1 thuộc (C) ta có hệ phương trình : ( x1  1)( x1  3)  ( y1  1)( y1  3) 0  2 x1  y1  3 0  2 2 x  y  2 x  6 y  6  0  1 1 1 1 Tiếp điểm T2(x2 ; y2) có vai trò tương tự tac có 2x2 + y2 – 3 = 0 Vậy phương trình đường thẳng T1T2 là : 2x + y – 3 = 0 12 Nhận xét : Bài toán này có tính chất đặc biệt là tâm I(1, 3) , bán kính R =2 và điểm M(-3 ; 1) nên nhận thấy y = 1 là một tiếp tuyến . tiếp điểm là T1 => T1(1;1) Khi đó đường thẳng T1T2 là đường thẳng đi qua T1 với véc tơ pháp tuyến  MI (4;2) => phương trình đường thẳng T1T2 : 4(x - 1) + 2(y – 1) = 0 hay 2x + y – 3 = 0. 2.7. CÁC BÀI TOÁN CHO HỌC SINH TỰ LUYỆN TẬP Bài 1 : (ĐTĐHKB-2003) Trong hệ tọa độ Oxy. Cho đường thẳng d: x -7y +10 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d’: 2x + y=0 và tiếp xúc với d tại A(4 ; 2) Bài2 : Trong hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết ba cạnh nằm trên ba đường thẳng: d: 4x+3y-12=0, d’: 4x -3y -12 = 0; d’’: x = 0 2 ĐS 4 16  (C):  x    y 2  3 9  Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB với A(4; 0); và B(0; 3). Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(1; 2) ; B(2; 1) và đường thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A; B có tâm nằm trên (d). Bài 5: (ĐTĐHKA-2010) : Trong hệ tọa độ Oxy. Cho hai đường thẳng d1: 3x  y 0; d2: 3x  y 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2: tại điểm B và Csao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình đường 3 tròn (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ 2 dương. Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): x  y  1  2 0 và điểm A(-1; 1). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng (d). Bài 7: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường (C): x 2  y 2 1 . Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm I(2; 2) và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB  2 Bài 8:(ĐTĐHKB-2012): Trong hệ tọa độ Oxy, Cho đường tròn (C1): x2 + y2 = 4: (C2) : x 2  y 2  12 x  18 0 và đường thẳng d: x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. Bài 9(ĐTĐHKA,A1-2013): Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : 13 x – y = 0, đường tròn (C) có bán kính R  10 cắt  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm trên tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C). Bài 10: Trong hệ tọa độ Oxy, Cho đường tròn (C) : x 2  y 2  2 x  4 y  4 0 và A(3;5). Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A của (C). Gọi M, N là hai tiếp điểm. Tính khoảng cách MN. Bài 11: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1; 1 4 ) và đường thẳng (d):2x - 5y + 2 = 0.lập phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt (d) theo dây cung AB = 29 ?. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và B. 2.8. THEO DÕI ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ SAU THỰC HIỆN Qua nhiều năm thực hiện bồi dưỡng chuyên đề này cho học sinh tôi thấy kết quả thu được ở những lớp được học cao hơn nhiều so với những lớp để đến cuói năm lớp 12 mới học. Kết quả cụ thể cho thấy ở các bài thi học kì tập trung; trong bài có câu về phương trình của đường tròn, bài toán liên quan đến mặt phẳng toạ độ thì chỉ có các em ở lớp thực hiện chuyên đề mới làm được, còn các học sinh khác thì hoặc bỏ không làm hoặc làm sai, và điểm chung toàn bài luôn thấp hơn, điểm bình quân về môn toán cũng thấp hơn. Bảng theo dõi kết quả môn toán ở các lớp qua một số năm mà bản thân tôi thực hiện, cũng như cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn cùng thực hiện: Năm học Những lớp thực hiện Lớp Loại khá,giỏi % 12A1 24/32 75% 12A2 28/44 63% 12B1 27/41 66% 12B2 29/41 71% 12C8 30/49 61% 12C3 20/35 62% Những lớp không thực hiện Lớp Loại khá,giỏi % 12A4 11/44 25% 12A5 9/41 22% 12B5 13/44 30% 12B6 14/45 31% 12C4 10/42 24% 12C2 10/40 25% 20112012 20122013 20132014 201410A1 30/46 65% 10A7 12/44 27% 2015 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận. Vấn đề ứng dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng để giải bài tập toán là một vấn đề rất cần thiết cho các em trong ôn tập hình ở lớp 10, cũng như ôn tập để thi vào các trường Đại học, Cao đẳng. Để các em làm tốt bài tập loại này, trên đây chỉ là một phần rất nhỏ rèn luyện kỹ năng giải bài toán về phương trình đường tròn, còn phần liên quan đến đường tròn, đường Conic chưa xét được. Theo kinh nghiệm của bản thân, tôi nêu lên một số ý kiến của mình mong được 14 cùng trao đổi, bổ sung thêm của các đồng nghiệp để hoàn thiện hơn về nội dung; về phương pháp nhằm thu được kết quả tốt hơn. Sau khi thực hiện vấn đề này bằng một số giải pháp mà tôi đã áp dụng trong quá trình giảng dạy qua nhiều khoá học với nhiều lớp tôi thấy kết quả học tập của các em tốt hơn nhiều khi học phần “Tọa độ trong không gian” ở lớp 12 sau này, cũng như các đợt thi tuyển Đại Học so với những lớp để khi học xong chương trình lớp 12 mới ôn tập; các em cũng tiếp thu dễ dàng hơn và có kết quả học tập tốt hơn. Tôi thấy rằng cách dạy này đã mang lại hiệu quả nhất định, học sinh có sự hứng thú học bài và kết quả học tập có nhiều chuyển biến theo chiều hướng tích cực. Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn đồng nghiệp bàn luận và tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn. 3.2. Đề xuất kiến nghị Để tạo hứng thú cho học sinh học môn lịch sử ở trường THPT trong năm học tiếp theo đạt kết quả cao, tôi xin có một số kiến nghị sau. 1. Đối với tổ - nhóm chuyên môn. Phải tăng cường đổi mới về phương pháp và trang thiết bị, hình thành được một hệ thống câu hỏi nêu vấn đề. Tiến hành trao đổi thường xuyên về chuyên môn, chia sẻ thông tin, dự giờ để đóng góp ý kiến cho nhau, bổ sung kinh nghiệm tạo hứng thú cho đối tượng học sinh. Thống nhất với nhau về cách dạy ở từng lớp để làm sao tạo ra hứng thú học môn Hình cho học sinh lớp 10.Phải định hình cho các em phương pháp học mới hướng vào đối tượng lấy học sinh làm trung tâm để phát huy sự tìm tòi, sáng tạo của học sinh. Trong tổ cũng phải thống nhất với nhau về cách ra đề thi, giảm bớt các dạng đề chỉ yêu cầu học sinh trình bày về sự kiện và ngày tháng, mà cần hướng cho học sinh làm các dạng đề như đánh giá về một sự kiện lịch sử, một nhân vật lịch sử, rút ra được các ý nghĩa, bài học kinh nghiệm. Những dạng đề thi giúp cho cac em có sự liên tưởng và áp dụng vào cuộc sống hiện tại. ( Với mục tiêu học lịch sử để biết quá khứ để phục vụ cho cuộc sống hiện tại tốt đẹp hơn). 2. Đối với Ban Giám Đốc Ủng hộ giáo viên dạy theo các phương pháp đổi mới . Đưa nội dung vào đề thi tập trung bắt buộc ở 3 khối cả giữa kỳ và học kỳ để cho các em phải có ý thức phải lo học từ đầu không thì lúc thi khó mà đạt được điểm cao. Trang bị đầy đủ tài liệu dạy học và các phương tiện dạy học hiện đại cho giáo viên, như sách tham khảo, trang bị đầy đủ các máy chiếu ở các phòng học để học sinh không mất công di chuyển phòng học. XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM ĐỐC Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2016. Cam kết không cóppi 15 Người viết Nguyễn Thị Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa, sách bài tập hình học lớp 10 Nhà xuất bản Giáo Dục -Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 10-Tác giả Lê Hoành Phò. 16 Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. -Để học tốt Hình học-Tác giả : Lê Hồng Đức-Nhóm Cự Môn; Nhà xuất bản Tổng hợp T.P Hồ Chí Minh. - Bộ đề tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng - Đề thi vào các trường Đại học Cao đẳng của một số năm. - Tài liệu bồi dưỡng ôn thi tốt nghiệp, Đại học. 17