Tài liệu Skkn rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 và có trong các đề thi THPT Quốc gia hằng năm. Quá trình giải một phương trình lượng giác thường gồm các bước: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình cơ bản và so sánh với điều kiện xác định (nếu có) rồi kết luận nghiệm của phương trình. Việc biến đổi phương trình lượng giác đòi hỏi học sinh không những nắm vững công thức lượng giác mà còn biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo các công thức đó. Tuy nhiên, vì các công thức lượng giác được học ở lớp 10 nên phần nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn khi tự củng cố các kiến thức về công thức lượng giác. Do đó, hoạt động củng cố về công thức lượng giác cho học sinh là rất cần thiết. Khi biến đổi phương trình lượng giác, một số học sinh dù đã rất thuộc các công thức lượng giác nhưng vẫn lúng túng trong việc lựa chọn công thức lượng giác để áp dụng hoặc lúng túng không biết cách áp dụng công thức sao cho hợp lý, hiệu quả. Những khó khăn này là do học sinh chưa vận dụng linh hoạt, thuần thục các công thức lượng giác. Còn đối với các phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức, sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, nhiều học sinh thấy khó khăn trong việc so sánh nghiệm của phương trình cơ bản này với điều kiện xác định của phương trình. Học sinh Trung tâm GDTX càng gặp nhiều khó khăn trong các bước giải phương trình lượng giác. Vì thế, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” để góp một số kinh nghiệm cho việc dạy và học về phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11 hiệu quả hơn. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: + Xây dựng hê ̣ thống và phân loại các bài tâ ̣p về giải phương trình lượng giác từ dể đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, giúy học sinh lớp 11 hiểu và nắm vững và có kỹ năng giải phương trình lượng giác. + Hình thành phương pháp và các bước giải, kỹ năng giải các dạng bài tâ ̣p đó. + Rèn cho học sinh kỹ năng huy đô ̣ng, vâ ̣n dụng kiến thức đã học để giải toán. + Đưa ra hệ thống bài tâ ̣p nhằm cung cố cho học sinh kỹ năng vâ ̣n dụng khi gă ̣p dạng toán giải phương trình lượng giác. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: + Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm là học sinh lớp 11 GDTX Thọ Xuân năm học 2015-2016 IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết về kiến thức lượng giác khối 10, giải các phương trình lượng giác cơ bản khối 11, các công thức lượng giác cơ bản, kỹ năng biến đổi lượng giác, kỹ năng giải phương trình lượng giác. Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán, đă ̣c biê ̣t là phương pháp giảng dạy bài tâ ̣p toán. + Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiê ̣p, dự giờ đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu sự phản hồi từ học sinh. + Phương pháp thực nghiệm: thực hiện kiểm tra đánh giá ở các lớp 11A1, 11A2 sau quá trình học tập. B. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN: I. CƠ SỞ LÝ LUẬN + Bài tập toán có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao kiến thức phần lý thuyết còn thiếu do thời lượng phân phối chương trình quy định. + Bài tập toán giúy học sinh hiểu sâu hơn lý thuyết, cung cố rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán, kỹ năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn … + Bài tập toán còn giúy cho học sinh phát triển tư duy tích cực, tạo tiền đề nâng cao năng lực tự học, cung cố khả năng sử dụng ngôn ngữ, cách trình bày lời giải, khả năng khám phá và tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu quả. + Thông qua bài tập toán giáo viên giảng dạy có một kênh thông tin thu thập, đánh giá chính xác năng lực học tập của học sinh. II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN + Trước khi áp dụng sáng kinh nghiệm này, để giải được một phương trình lượng giác, nhiều học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu, bất đầu như thế nào. Học sinh cần phải trang bị những kiến thức cơ bản nào, kỹ năng cơ bản gì để cơ thể tiếp cận và giải được các phương trình lượng giác. + Khi gặp phương trình lượng giác học sinh thường có tâm lý sơ khó nên không chịu suy nghĩ để giải quyết. + Một số giáo viên trẻ khi giảng dạy chưa nắm chắc mối quan hệ của kiến thức lớp dưới và lớp trên nên việc chuẩn bị kiến thức nền, kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm và các kỹ năng tối thiểu cần đạt để học sinh có thể tiếp cận kiến thức lớp sau bị hổng, bị thiếu. III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN Để giải được một phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi phương trình về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . Các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác được biến đổi về dạng cơ bản mà không cần áp dụng công thức lượng giác. Còn hầu hết các phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng một hoặc nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ bản, hoặc dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, học sinh áp dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x về dạng cơ bản; áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x . Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chủ yếu là rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải. Ngoài ra, nếu phương trình 2 lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức thì sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, phải so sánh nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản này với điều kiện xác định để kết luận nghiệm của phương trình ban đầu. Học sinh cần một hệ thống bài tập vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có). Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” nêu một số kinh nghiệm tích luy trong quá trình dạy học phương trình lượng giác như sau: 1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác. 2. Hệ thống bài tập rèn kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có). 1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác khi biến đổi phương trình lượng giác Các công thức lượng giác : - Công thức cơ bản - Công thức cộng - Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc - Công thức biến đổi tổng thành tích - Công thức biến đổi tích thành tổng Mỗi công thức lượng giác có dạng A B . Khi vận dụng công thức dạng này vào biến đổi phương trình lượng giác, nếu có A thì đa số học sinh thường nhận biết ngay việc thay A bằng B, nhưng ngược lại, nếu có B thì không ít học sinh thấy khó nhận ra việc thay B bằng A. Hoạt động 1 và ví dụ 1 sau đây giúp cho học sinh củng cố và vận dụng công thức lượng giác theo hai chiều A B và B  A . Lưu ý rằng vì có khá nhiều công thức lượng giác nên có thể hướng dẫn cho học sinh tự thực hiện hoạt động 1 ở nhà rồi kiểm tra các công thức học sinh đã viết được trên lớp. Hoạt động 1. Viết mỗi công thức lượng giác theo chiều ngược lại là từ vế phải sang bằng vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b theo chiều ngược lại là : sin a cos b  cos a sin b sin  a  b  . Ví dụ 1. Giải các phương trình sau   a) 2sin  x    3sin x 1 (1a) 6  b) sin x.cos 4 x  cos x.sin 4 x sin 2 x (1b) Hướng dẫn : Áp dụng công thức cộng : sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b (*) 3 - Đối với phương trình (1a), áp dụng công thức (*) ta có:     sin  x   sin x.cos  cos x.sin . 6 6 6  - Đối với phương trình (1b), áp dụng công thức (*) theo chiều ngược lại là : sin a cos b  cos a sin b sin  a  b  , ta có: sin x.cos 4 x  cos x.sin 4 x sin  x  4 x  Lời giải ví dụ 1:   a) 2sin  x    3sin x 1 6      2  sin x.cos  cos x.sin   3 sin x 1 6 6   cos x 1  x k 2 , k  Z b) sin x.cos 4 x  cos x.sin 4 x sin 2 x  sin  x  4 x  sin 2 x  sin 5 x sin 2 x  5 x 2 x  k 2  , k Z 5 x    2 x  k 2   2   x k 3  , k Z  2  x k  7 7 Một công thức lượng giác có thể áp dụng cho nhiều góc khác nhau. Đa số học sinh trung bình, yếu không nhận ra được công thức lượng giác cần áp dụng hoặc không biết áp dụng công thức sao cho hợp lý khi biến đổi phương trình lượng giác là vì chưa từng viết lại công thức lượng giác bằng cách thay góc trong công thức bởi một góc khác. Nếu cho học sinh viết lại mỗi công thức lượng giác dưới nhiều hình thức khác nhau ứng với các góc khác nhau thì các em sẽ không thấy khó khăn khi vận dụng các công thức này vào biến đổi phương trình lượng giác. Hoạt động 2 và ví dụ 2 sau đây giúp cho học sinh nhận biết công thức lượng giác cần áp dụng và áp dụng một công thức lượng giác cho các góc khác nhau. Hoạt động 2. Viết lại các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc khi thay góc x x  trong các công thức bởi một góc khác như 2x, ,  x , …, chẳng hạn, thay 2 4 x góc x trong công thức nhân đôi sin 2 x 2sin x .cos x bởi góc ta được 2 x x sin x 2sin .cos . 2 2 Ví dụ 2. Giải phương trình x x     2cos .sin cos 2   x   sin 2   x  2 2 4  4  Hướng dẫn: 4 Áp dụng các công thức nhân đôi biến đổi phương trình về dạng cơ bản. x - Thay góc x trong công thức sin 2 x 2sin x.cos x bởi góc , ta được: 2 x x sin x 2sin .cos 2 2   - Thay góc x trong công thức cos 2 x cos 2 x  sin 2 x bởi góc   x  , ta được : 4        cos   2 x  cos 2   x   sin 2   x  2  4  4  Lời giải ví dụ 2. x x     2cos .sin cos 2   x   sin 2   x  2 2 4  4     sin x cos   2 x  2   2 x x  k 2  sin x sin 2 x   , k Z  2 x   x  k 2  x k 2  2  , k Z  2 , k  Z  x   k x  k 3 3 3 3  2. Hệ thống bài tập rèn kỹ năng giải phương trình lượng giác cho học sinh, qua đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có). Các bài tập sau đây giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về mỗi công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . Lưu ý các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình dạng cơ bản rồi so sánh với điều kiện xác định của phương trình, từ đó kết luận nghiệm của phương trình. i) Các bài tập áp dụng công thức cơ bản Bài 1. Giải các phương trình : a) cos3 x  sin 2 x.cos x 1 (1a) 2 2 b) 2sin x  sin x.cos x  3cos x 2 (1b) Hướng dẫn: 2 2 Dùng công thức cos x  sin x 1 , biến đổi phương trình (1a) về dạng cơ bản, phương trình (1b) về dạng tích. Lời giải: 3 2 a) cos x  sin x.cos x 1 5  cos x  cos 2 x  sin 2 x  1  cos x 1  x k 2 , k  Z b) 2sin 2 x  sin x.cos x  3cos 2 x 2  2sin 2 x  sin x.cos x  3cos 2 x 2  sin 2 x  cos 2 x   sin x.cos x  cos 2 x 0  cos x  sin x  cos x  0   x   k   cos x 0  cos x 0 2    ,k   sin x  cos x 0  tan x  1,cos x 0  x    k  4 1  tan x 3 Bài 2. Giải các phương trình : cos 2 x Hướng dẫn: 1 tan 2 x  1 , với cos x 0 , biến đổi phương trình về dạng Dùng công thức 2 cos x bậc hai đối với tan x . Lời giải: 1  tan x 3 cos 2 x   tan 2 x  1  tan x 3  tan 2 x  tan x  2 0   x   k  tan x 1    4 , k Z  tan x  2   x arctan   2   k Nhận xét: 1 bằng tan 2 x  1 thì được phương trình tương đương vì không cos 2 x làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình. 1  sin x 0 Bài 3. Giải phương trình : cot 2 x  1 Hướng dẫn: 1 2 Tìm điều kiện xác định, dùng công thức cot x  1  2 , với sin x 0 , biến sin x đổi phương trình về dạng bậc hai đối với sin x , so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình. Lời giải: Điều kiện xác định: sin x 0 . Với điều kiện trên, ta có : (1)  sin 2 x  sin x 0  sin x 0 (loại) hoặc sin x  1 Nếu thay 6  x    k 2 , k  Z 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x    k 2 , k  Z 2 ii) Các bài tập áp dụng công thức cộng     Bài 4. Giải phương trình : 3 sin  x   cos  x   . (4) 6 6   Hướng dẫn: Dùng các công thức sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b và cos  a  b  cos a cos b  sin a sin b biến đổi phương trình về dạng cơ bản. Lời giải:  3  1 3 1 sin x  cos x   cos x  sin x (4)  3  2 2  2  2  sin x 0  x k , k  Z . Bài 5. Giải phương trình: sin 3 x.cos x  cos3x.sin x  3 cos 2 x  1 (5) Hướng dẫn: Dùng công thức sin a cos b  cos a sin b sin  a  b  , biến đổi về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x . Lời giải:  1  (5)  sin 2 x  3 cos 2 x 1  sin  2 x    3 2       2 x    k 2  x   k   3 6 4   ,k Z   ,k Z  2 x   5  k 2  x  7  k   3 6 12 Bài 6. Giải phương trình: cos3 x.cos 2 x  sin 3x.sin 2 x sin 5 x  2 cos x Hướng dẫn: Dùng công thức: cos a cos b  sin a sin b cos  a  b  , biến đổi phương trình về dạng cơ bản. Lời giải: cos3 x.cos 2 x  sin 3 x.sin 2 x sin 5 x  2 cos x 1 1 cos5 x  sin 5 x cos x  cos5 x  sin 5 x  2 cos x  2 2    cos  5 x   cos x 4    5 x  x  k 2 , k  Z 4 7    x   k  16 2  , k Z    x  k  24 3 Chú ý: Công thức tan a  tan b tan  a  b   1  tan a.tan b Điều kiện xác định của vế trái cos  a  b  0 Điều kiện xác định của vế phải cos a.cos b 0  cos  a  b  0 cos a.cos b 0  cos  a  b  0 tan a  tan b Khi áp dụng công thức cộng, chỉ được thay tan  a  b  bởi hoặc 1  tan a.tan b tan a  tan b thay tan  a  b  bởi với điều kiện tan a và tan b cùng tồn tại, tức 1  tan a.tan b   a   k  2 là: cos a.cos b 0   , k  Z, l  Z0 .  b   l  2   5tan x  1  Bài 7. Giải phương trình: tan  x    (7) 4  1  tan 2 x  Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định của phương trình dùng công thức tan a  tan b tan  a  b   biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với tan x . 1  tan a.tan b Lời giải:    cos  x   cos x 0 4 Điều kiện xác định :    tan x 1  tan x  1 5tan x  1 2    tan x  1 5 tan x  1 Với điều kiện trên, ta có : (7)  2 1  tan x 1  tan x 2  tan x  3tan x  2 0  tan x 1 (loại) hoặc tan x 2  x arctan 2  k , k  Z Vậy nghiệm của (7) là x arctan 2  k , k  Z .   tan   x   tan x tan x  3 6   Bài 8. Giải phương trình: (8) 1  3 tan x 1  tan    x  .tan x   6  tan a  tan b tan  a  b   1  tan a.tan b cos  a  b  0 8 Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định của phương trình, dùng các công thức tan a  tan b tan a  tan b tan  a  b  và tan  a  b  biến đổi phương trình 1  tan a.tan b 1  tan a.tan b về dạng cơ bản. Lời giải: cos x 0  Điều kiện xác định :      1  3 tan x 1  tan  x .tan x     0  6      Với điều kiện trên, ta có :        (8)  tan  x   tan   x  x   tan  x   tan 3 3 6  6     x   k , k  Z (không thỏa điều kiện cos x 0 ) 2 Vậy phương trình (8) vô nghiệm. iii) Các bài tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc x x x x 2 Bài 9. Giải phương trình: 2sin .cos .cos 2cos     1 (9) 4 4 2  4 2 Hướng dẫn: 2sin a.cos a sin 2a Áp dụng các công thức nhân đôi và 2cos 2 a  1 cos 2a , biến đổi phương trình về dạng cơ bản. Lời giải: x x   (9)  sin .cos cos   x  2 2 2  1  sin x sin x 2  sin x 0  x k , k Z   2 tan x tan 2 x  3  (10) 1  tan 2 x 1  tan 4 x Hướng dẫn: Bài 10. Giải phương trình: tan 2 x  2 tan x Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức nhân đôi: tan 2 x  biến đổi 1  tan 2 x phương trình về dạng bậc hai đối với tan x . Lời giải: cos x 0 Điều kiện xác định :   tan x 1 Với điều kiện trên, ta có : 2 tan x 2tan x tan 2 x  3   (10)  1  tan 2 x 1  tan 2 x 1  tan 4 x 9  2 tan x  1  tan 2 x   2 tan x  1  tan 2 x  tan 2 x  3  tan 2 x  4 tan x  3 0  tan x 1 (loại) hoặc tan x 3 (thỏa điều kiện)  x arctan 3  k , k  Z Vậy nghiệm của phương trình (10) là x arctan 3  k , k  Z . x Bài 11. Giải phương trình: cos 2 x  6sin 2  1 0 2 Hướng dẫn: 1  cos 2a Áp dụng công thức hạ bậc sin 2 a  biến đổi phương trình về dạng bậc 2 hai đối với cos x . Lời giải: x cos 2 x  6sin 2  1 0 2 1  cos x  cos 2 x  6  1 0 2  cos 2 x  3cos x  2 0  cos x 1   cos x 2  x k 2 , k  Z iv) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích   Bài 12. Giải phương trình: sin x  sin  x    3 sin 2 x 3  Hướng dẫn: a b a b cos Áp dụng công thức sin a  sin b 2sin đưa phương trình về dạng 2 2 cơ bản. Lời giải:   sin x  sin  x    3 sin 2 x 3      2sin  x   .cos  3 sin 2 x 6 6     sin  x   sin 2 x 6       x  6 2 x  k 2  x  6  k 2  ,k Z   ,k Z 7  2    x    2 x  k 2 x k   18 3 6 10     Bài 13. Giải phương trình: cos3x  cos x sin  2 x    sin  2 x   8 8   Hướng dẫn: a b a b cos Áp dụng các công thức: cos a  cos b 2cos 2 2 a b a b sin và sin a  sin b 2cos đưa phương trình về dạng tích. 2 2 Lời giải:     cos3x  cos x sin  2 x    sin  2 x   8 8       2cos 2 x.cos x 2cos 2 x.sin  cos 2 x  cos x  sin  0 8 8     x   k  cos 2 x 0  4 2  ,k Z 3    cos x cos  x 3  k 2 8   8  3  Bài 14. Giải phương trình: cos x  cos  x   sin 2 x  3 2  Hướng dẫn: a b a b 3  sin Thế sin , áp dụng các công thức : cos a  cos b  2sin 2 2 2 3 a b a b sin a  sin b 2cos sin 2 2 biến đổi phương trình về dạng tích. Lời giải:  3  cos x  cos  x   sin 2 x  3 2        2sin  x   .sin sin 2 x  sin 6 6 3          sin  x   2cos  x   sin  x   6 6  6          sin  x    2cos  x    1  0 6  6        sin  x  6  0         2cos  x  6   1 0        sin  x  6  0      1   cos  x  6   2    11   x  k  6  ,k Z  2   x    k 2  6 3   x   k  6      x   k 2 ,k Z  2    x  5  k 2 6   v) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng Bài 15. Giải phương trình: sin 3 x.cos x  cos 7 x.sin 5 x 0 . Hướng dẫn: 1 Áp dụng các công thức : sin a cos b   sin  a  b   sin  a  b   2 1 cos a sin b   sin  a  b   sin  a  b   2 biến đổi phương trình về dạng cơ bản. Lời giải: sin 3 x.cos x  cos 7 x.sin 5 x 0 1 1   sin 4 x  sin 2 x    sin12 x  sin 2 x  0  sin12 x sin   4 x  2 2   x  k   12 x  4 x  k 2 8  , k Z   , k Z  12 x   4 x  k 2  x   k   8 4   x k , k  Z . 8 Bài 16. Giải phương trình: cos 4 x.cos x  sin 3 x.sin 2 x cos3x . Hướng dẫn: 1 Áp dụng các công thức : cos a cos b   cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a sin b   cos  a  b   cos  a  b   2 biến đổi phương trình về dạng cơ bản. Lời giải: cos 4 x.cos x  sin 3 x.sin 2 x cos3 x 1 1   cos5 x  cos3 x    cos x  cos5 x  cos3 x 2 2  cos3 x cos x  3x x  k 2 , k  Z 12  x k   , k  Z  x k , k  Z   x k 2  2 vi) Các bài tập áp dụng nhiều công thức lượng giác   Bài 17. Giải phương trình: 2cos3x sin 2 x cos  x   . 6  Hướng dẫn: Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và công thức cộng đưa phương trình về dạng cơ bản. Lời giải:   2cos3x sin 2 x cos  x   6  3 1  sin 5 x  sin x  cos x  sin x 2 2 3 1  sin 5 x  cos x  sin x 2 2    sin 5 x sin  x   3    5 x  x   k 2  3  , k Z  5 x    x     k 2    3     x   k  12 2  , k Z  x   k   9 3 x Bài 18. Giải phương trình: cos 2 x  2sin 2 3  cos 2 x  sin 2 x  2 Hướng dẫn: Áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc đưa phương trình về dạng bậc hai đối với cos x . Lời giải: x cos 2 x  2sin 2 3  cos 2 x  sin 2 x  2 2  2cos x  1   1  cos x  3.1  2cos 2 x  cos x  3 0  cos x  1  x   k 2 , k  Z   cos x  3  2 13 Bài 19. Giải phương trình: 2cos5 x.cos 2 x  2cos3 x  sin 4 x 0 . Hướng dẫn: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, công thức nhân đôi, đưa phương trình về dạng tích. Lời giải: 2cos5 x.cos 2 x  2cos3x  sin 4 x 0  cos7 x  cos3 x  2cos3 x  sin 4 x 0  cos7 x  cos3 x  sin 4 x 0   2sin 5 x.sin 2 x  2sin 2 x.cos 2 x 0  sin 2 x  cos 2 x  sin 5 x  0  sin 2 x 0  2 x k  sin 2 x 0    ,       cos 2 x cos   5 x  2 x   5 x   k 2  cos 2 x sin5 x   2  2     x k 2   2  k Z    x   k , k  Z.  14 7    x   k 2   6 3     2 x Bài 20. Giải phương trình: cos  2 x    6cos  3cos  x    1 0 3 2 3   Hướng dẫn: Áp dụng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức nhân   đôi, đưa phương trình về dạng bậc hai đối với sin  x   . 6  Lời giải:  x    cos  2 x    6cos 2  3cos  x    1 0 3 2 3     1  cos x     cos  2 x    6  3cos  x    1 0 3 2 3          cos  2 x    3  cos x  cos  x     4 0 3 3           cos  2 x    6sin  x   .sin  4 0 3 6 6         2sin 2  x    3sin  x    5 0 6 6   14     sin  x  6  1 2     x   k 2 , k  Z .   3  5  sin  x  6   2    Bài 21. Giải phương trình:   tan 2 x  2 tan  x   2  1  tan 2 2 x  cos 2 2 x 4  Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi, công thức cộng. Lưu ý: cos 2 x 0  Điều kiện xác định của phương trình:    cos x   0   4   Điều kiện trên không đảm bảo tồn tại tan x nên phải xét hai trường hợp   x   k và x   k ,  k Z . 2 2  Với điều kiện x   k ,  k Z thì tan x tồn tại, khi đó mới được thế tan 2x 2 2 tan x bằng . 1  tan 2 x Lời giải: cos 2 x 0  Điều kiện xác định:    cos  x  4  0      2 2 Ta có: tan 2 x  2 tan  x   2  1  tan 2 x  cos 2 x  4    tan 2 x  2 tan  x   2 (21) 4   * Thế x   k , với k  Z , vào phương trình (21) ta được: 2  3  tan    k 2   2 tan   k  2  0  2.  1 2 đúng  4   Do đó x   k , với k  Z , là nghiệm của phương trình (21). 2  * Với điều kiện x   k ,  k  Z , ta có: 2 15 (21)  2 tan x tan x  1  2. 2 2 1  tan x 1  tan x  tan x   tan x  1 2 1  tan 2 x   tan x 1  tan x  2  x arctan   2   l , với l Z  Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x   k , với k  Z ; 2 x arctan   2   l , với l Z . cos 4 x  cos 2 x 6cos x  sin x (22) Bài 22. Giải phương trình: sin x Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức, áp dụng công thức nhân đôi, công thức lượng giác cơ bản đưa về phương trình bậc hai đối với sin 2x , so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình. Lời giải: Điều kiện xác định: sin x 0  x l , l  Z Với điều kiện trên, ta có: (22)  cos 4 x  cos 2 x 3sin 2 x  sin 2 x  3sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x 0  3sin 2 x  1  cos 4 x 0  2sin 2 2 x  3sin 2 x 0 (*)  sin 2 x 0  3  sin 2 x   2   x k , k  Z 2 Kết hợp với điều kiện xác định, ta có nghiệm của phương trình (22) là  x   k , k  Z . 2 Chú ý :  Các cách so sánh họ nghiệm x k , k  Z 2 y với điều kiện xác định của phương trình B.2 (22) : 1 - Cách 1: biểu diễn nghiệm và điều kiện trên đường tròn lượng giác. Trên đường tròn lượng giác, họ nghiệm 0  X X x k , k  Z được biểu diễn bởi bốn 1A x O A’ -1 2 điểm : A(1;0),  -1. 3 B’ 2 16 A’(-1;0), B(0;1) và B’(0;-1). Các góc không thỏa điều kiện x l , l  Z được biểu diễn bởi hai điểm A(1;0) và A’(-1;0). Do đó, nghiệm của phương trình (22) là số đo radian của các góc được biểu diễn bởi hai điểm B và B’. Vì hai điểm B và B’ có khoảng cách bằng  và điểm B  là điểm biểu diễn của góc nên chúng biểu diễn cho các góc có số đo 2   x   k , k  Z . Vậy nghiệm của (22) là: x   k , k  Z . 2 2  - Cách 2: Tìm điều kiện của số nguyên k để x k thỏa điều kiện xác định của 2 phương trình (22).  Ta có: k l  k 2l (với l  Z, k  Z ). 2  Vậy nghiệm của phương trình (22) là: x k ,với k 2l , l  Z, k  Z . 2 2 Bài 23. Giải phương trình: cos 4 x  2cos 2 x  cos x sin x.cot 5 x (23) Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với sin 5x , áp dụng công thức nhân đôi, công thức cộng đưa về phương trình cơ bản, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình. Lời giải:  Điều kiện xác định: sin 5 x 0  x l , l  Z 5 Với điều kiện trên, ta có: (23)   2cos2 2 x  1  2cos 2 2 x  cos x  sin 5 x sin x.cos5 x   cos x  1 sin 5 x sin x.cos5 x  cos x sin 5 x  sin x.cos5 x sin 5 x  sin 4 x sin 5 x  x  k 2  4 x 5 x  k 2  , với k  Z    2 , với k  Z . x  k 4 x    5 x  k 2   9 9  Ta có: * x  k 2 , k  Z , không thỏa điều kiện vì sin   5.k 2  0 , k  Z .  2 * x  k (với k  Z ) là nghiệm của phương trình (23) khi: 9 9  2   1 9l k l (với k  Z , l Z )  k   9 9 5 2 10  1 9  10m  r  k  , với l 10m  r , m Z , r   và r  10 2 10 17 9r  5 , với m Z , r   và r  10 10  k 9m  4 , với m Z . Vây nghiệm của phương trình (23) là:  2 x  k , với k 9m  4 , k  Z , m Z 9 9 IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Các hoạt động, ví dụ và bài tập nêu trong đề tài giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, biết cách so sánh nghiệm với điều kiện xác định của các phương trình chứa ẩn ở mẫu. Từ đó, học sinh tự tin hơn khi giải phương trình lượng giác, tránh được kiểu học công thức lượng giác cách máy móc, không đạt hiệu quả khi áp dụng vào biến đổi phương trình lượng giác. Trong năm học 2015-2016 tôi đã áp dụng và hướng dẫn học sinh các lớp 11A1, 11A2 học theo hệ thống bài tập này so với lớp 11A3 không áp dụng thì kết quả có sự tiến bộ rõ rệt trên các mặt tỷ lệ học sinh hiểu bài, học sinh có kỹ năng giải toán, học tích cực xây dựng bài. Sau đây là kết quả khảo sát:  k 9m  Lớp Sĩ số Học sinh hiểu bài SL TL (%) Học sinh có kĩ năng SL TL (%) Học sinh tích cực SL TL (%) 11A1 45 40 88,9 25 55,6 15 33,3 11A2 44 41 93,2 28 63,6 14 31,8 11A3 45 23 51,0 5 11,1 4 8,9 C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN - Giải phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng của chương trình hình học lớp 11, là một dạng toán thường gặp trong các đề thi THPT Quốc gia hàng năm. Vì vậy trong quá trình giảng dạy phải yêu cầu học sinh nắm được các kiến thức cơ bản, trọng tâm, có kỹ năng thanh thạo giải được dạng toán này. - Trong dạy học giải bài tập toán việc phân dạng, loại bài tập các bước giải là vô cùng cần thiết hơn nữa việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn bài tập dạy sát đối tượng là những yếu tố cơ bản đảm bảo thành công. Để dạy học sinh học nắm vững kiến thức giải phương trình lượng giác ta cần trang bị các công thức lượng giác cơ bản, kỹ năng giải các phương trình lương giác thường gặp và kỹ năng biến đổi linh hoạt các phương trình về các dạng cơ bản đó. - Kinh nghiệm sáng kiến này là một tư liệu bổ ích cho giáo viên tham khảo dạy cho các đối tượng đại trà, khá, giỏi. - Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy việc phân dạng và làm rõ kỹ năng giải phương trình lượng giác đã giúy học sinh nắm vững bài, không còn lúng túng, lo sợ khi học phần này, bước đầu các em đã có định hướng phương pháp để giải các bài toán này. Với kết quả thực nghiệm ở hai lớp tôi dạy học sinh đã say mê, tích cực và hiểu bài đạt tỷ lệ cao. Đó cung là động lực để tôi cố gắng hơn nữa để tiếp tục bổ sung hoàn thiện sáng kiến này. 18 - Thông qua kinh nghiệm này bản thân cung rút ra nhiều kinh nghiệm quý báu trong quá trình giảng dạy và mạnh dạn trao đổi với các đồng nghiệp để góp ý, xây dựng cho sáng kiến hoàn chỉnh hơn. II. KIẾN NGHỊ - Qua thực tế giảng dạy nhất là đối tượng học sinh đại trà trong các Trung tâm giáo dục thường xuyên, tôi nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức cơ bản, vận dụng được kiến thức để giải toán cần lưu ý một số nội dung sau: * Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu rõ kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm, cốt lõi của từng chương, từng bài lựa chọn phương pháp thích hợp với đối tượng. * Biết phân loại, dạng bài tập phù hợp các đối tượng trong lớp, kiên trì uốn nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh đã có, bổ sung hoàn thiện kiến thức học sinh thiếu, hổng trong từng tiết dạy. * Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thông qua các tiết bài tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúy học sinh dể hiểu bài học. * Trước khi giảng dạy phần này nói riêng cung như các nội dung khác nói chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội dung mới. Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân phần nào giúy học sinh có kỹ năng giải phương trình lượng giác được dể ràng hơn, hướng thú học tập hơn. Đây là một sáng kiến thực tế, thiết thực cho mỗi trường học. Học sinh khối giáo dục thường xuyên năng lực học tập còn hạn chế, đồng thời trong sáng kiến này cung gợi mở cho các em khá, giỏi con đường, cách thức để giải những bài toán khó hơn. Tôi cung nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, không gian còn nhỏ nên sáng kiến này không trách khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các đồng nghiệp, chuyên viên Sở Giáo dục và Đào tạo. Tôi xin trân thành cám ơn. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ Xuân, ngày 10 tháng 5 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác 19