Tài liệu Skkn rèn kỹ năng cho học sinh qua việc giảng dạy phần

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NAM TRỰC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ NAM MỸ BÁO CÁO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Rèn kỹ năng cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai Tác giả : Ngô Thị Thúy Mai Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán Chức vụ : Giáo Viên Nơi công tác : THCS Nam Mỹ Nam Trực, ngày.01 .tháng.02..năm 2016 1 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1.Tên sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm : Rèn kỹ năng cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai 2.Lĩnh vực áp dụng Học sinh lớp 9 trường THCS Nam Mỹ 3.Thời gian áp dụng Từ ngày 1 tháng 2 năm 2016 đến ngày 10 tháng 4 năm 2015 4.Tác giả Họ và tên : Ngô Thị Thúy Mai Sinh năm 1980 Nơi thường trú: Số nhà 11/3/139 Đường Lưu Hữu Phước - TP.Nam Định Trình độ chuyên môn: ĐHSP Chức vụ: Giáo viên Nơi làm việc :Trường THCS Nam Mỹ Địa Chỉ liên hệ trường THCS Nam Mỹ Điện thoại: 0942559299 5. Đồng tác giả (nếu có): Họ và tên: .......................................................... Năm sinh: .......................................................... Nơi thường trú: ................................................... Trình độ chuyên môn:.................................................. Chức vụ công tác: ............................................... Nơi làm việc:.......................................................... Điện thoại: ........................................................ Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: …….% 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị:Trường THCS Nam Mỹ Địa chỉ :Trường THCS Nam Mỹ huyện Nam Trực tỉnh Nam Định - Điện thoại 03503829926 2 I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến Năm học 2015-2016 là năm học toàn ngành GD tiếp tục thực hiện Nghị quyết 29 BCHTW 8- Khóa XI về đổi mới căn bản và toàn diện GD hướng tới sự hội nhập và phát triển trong đó chú trọng việc đổi mới về PPDH và KTĐG theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Đặc biệt năm học 2015-2016 trường THCS Nam Mỹ được chọn thí điểm áp dụng mô hình trường học mới với nhiều khó khăn và thử thách, song vượt lên trên hết thầy và trò nhà trường luôn quyết tâm cao, tích cực học hỏi để hoàn thành những nhiệm vụ giáo dục của cấp trên và ngành giao phó. Ngay từ đầu năm học sau khi được tham gia các lớp tập huấn chúng tôi đã có các buổi sinh hoạt chuyên môn để cùng trao đổi, thảo luận xây dựng kế hoạch dạy học đáp ứng mục tiêu giáo dục. Là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS Nam Mỹ tôi luôn suy nghĩ để làm sao kiến thức truyền đạt đến các em một cách đơn giản, dễ hiểu nhưng chắc chắn, các em có những kiến thức cơ bản vững vàng, tạo điều kiện cho các em yêu thích môn Toán, tránh cho các em có suy nghĩ môn toán là khô khan và khó tiếp cận.Tuy vậy, trong việc truyền đạt kiến thức cho các em và qua những giờ luyện tập, giảng dạy trên lớp, kiểm tra bài tập về nhà… tôi nhận thấy một điều có những kĩ năng giải toán mà học sinh rất dễ bị ngộ nhận và mắc sai lầm trong khi giải (kể cả học sinh giỏi). Từ đó tôi đã đi sâu vào tìm tòi để tìm ra những nguyên nhân rồi từ đó có những biện pháp hữu hiệu để hạn chế những sai lầm mà học sinh hay mắc phải. Trong chương trình toán ở THCS với lượng kiến thức lớn và chặt chẽ, yêu cầu học sinh cần phải ghi nhớ, thì môn đại số 9 học sinh khi giải toán cần phải nắm chắc kiến thức cơ bản, biết vận dụng hợp lí đối với từng dạng bài tập, từ đó hình thành kĩ năng và là cơ sở nắm bắt được các kiến thức nâng cao hơn. Với bản thân tôi được giao trọng trách giảng dạy Môn Toán 9 tôi luôn xác định mình phải cố gắng nỗ lực để không phụ niềm tin của nhà trường và phụ huynh học sinh gửi gắm.Tôi nhận thấy việc “ khắc phục những sai lầm cho học sinh khi giải toán đại số 9 ” là rất quan trọng. Vì đó là những công việc thường xuyên diễn ra khi người giáo viên lên lớp, chính vì vậy tôi quyết định chọn đề tài “Rèn kỹ năng cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai” 3 II . Mô tả giải pháp 1. Giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến 1.1. Thực trạng Thực tiễn dạy và học môn Toán ở trường THCS Nam Mỹ còn có một số ưu nhược điểm sau 1/ Học sinh: Ưu điểm : Đại đa số các em ngoan , có ý thức và động cơ học tâp , trên lớp chú ý nghe giảng , về nhà có học bài và làm bài theo yêu cầu của GV Hạn chế : a, Kiến thức: - Một số Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới như: + Cộng, trừ, nhân, chia số nguyên + Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỷ + Cộng, trừ, nhân, chia phân thức + Cộng, trừ, nhân, chia đa thức, đơn thức. + Các phép tính về lũy thừa + Các bước giải một số phương trình như phương trình bậc nhất 1 ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích. + Các bước giải bất phương trình. - Chưa thuộc công thức, định lý để áp dụng vào giải bài tập. b. Kỹ năng: - Kỹ năng tính toán của học sinh còn yếu. Học sinh biết áp dụng công thức để giải nhưng thường bỏ dở vì tính toán sai, hoặc kết quả sai. - Kỹ năng trình bày yếu còn nhầm lẫn giữa các phép biến đổi “<=>” ; “ =>”. Thiếu điều kiện tồn tại phương trình và đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện để nhận nghiệm. - Trình bày cẩu thả, con số viết không rõ ràng. - HS còn thiếu năng lực hợp tác , tư duy sáng tạo chưa cao 2/ Giáo viên: Qua các năm giảng dạy, tôi thấy việc định hướng các năng lực cho HS của giáo viên còn hạn chế, khi cho học sinh tìm hiểu đầu bài, phân tích bài toán, rồi cho học sinh tìm cách chứng minh. Học sinh tích cực suy nghĩ trả lời câu hỏi của giáo viên, phát hiện và giải quyết vấn đề. Kết quả là học sinh thuộc bài nhưng vận dụng 4 máy móc , không linh hoạt khi gặp những câu hỏi khó thì lúng túng chưa nêu bật được vấn đề Vì vậy việc giúp học sinh hiểu ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức phương trình bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. Thông qua việc dự giờ đồng nghiệp và trao đổi chuyên môn nghiệp vụ tôi đã hướng dẫn học sinh một số phương pháp học hiệu quả: Quan sát hiện tượng thực tế liên quan đến bài học, làm nhiều dạng bài tập, rèn kỹ năng thông qua việc kiểm tra đánh giá và làm bài tập ở nhà của học sinh và trong những năm học trước tôi đã bắt đầu hướng dẫn cách học cho các em .Giáo viên không cung cấp, áp đặt kiến thức có sẵn mà hướng dẫn học sinh phát hiện và chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng thông qua các hoạt động, hình thành thói quen vận dụng kiến thức toán học vào học tập và vào thực tiễn Đặc biệt trong năm học này, ngay từ đầu năm học tôi đó đúc rút kinh nghiệm từ những năm học trước và điều cân thiết là việc tạo cho các em niềm hứng thú khi làm dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai cũng như tạo niềm yêu thích say mê học tập môn toán. Chính vì lí do đó, nên tôi chọn để tài: “Rèn kỹ năng cho học sinh qua việc giảng dạy phần phương trình bậc hai” để nghiên cứu và bước đầu tôi thấy hiệu quả. 2. Giải pháp sau khi có sáng kiến 2.1 Mô tả và giới thiệu các nội dung biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề đặt ra a.Học sinh phải nắm bắt được mục tiêu của mỗi bài học: - Mục tiêu kiến thức ngoài các yêu cầu về mức độ như nhận biết, tái hiện kiến thức cần có những mức độ cao hơn như vận dụng kiến thức trong các tình huống, các nhiệm vụ gắn với thực tế. - Với các mục tiêu về kĩ năng cần yêu cầu HS đạt được ở mức độ phát triển kĩ năng thực hiện các yêu cầu cơ bản đến nâng cao dần ở mỗi bài học - Về tình cảm, thái độ: Học sinh bước đầu được làm quen với cách học tập mới, cá nhân độc lập suy nghĩ làm việc theo nhóm, tranh luận ở lớp. Không khí học 5 sôi nổi, vui vẻ, thoải mái, hào hứng hơn. Song giáo viên vẫn phải uốn nắn đưa vào nề nếp. Yêu cầu học sinh trung thực, tỷ mỉ, cẩn thận trong khi làm việc cá nhân. Khuyến khích học sinh mạnh dạn nêu ý kiến của mình, không dựa dẫm vào bạn. Có tinh thần cộng tác phối hợp với các bạn trong hoạt động chung của nhóm. Phân công mỗi người một việc, mỗi lần một người trình bày ý kiến của tổ, biết nghe ý kiến của bạn, thảo luận một cách dân chủ. Biết kiềm chế mình, trao đổi trong nhóm đủ nghe không gây ồn ào ảnh hưởng đến toàn lớp. b. Về phương pháp dạy học: Ngoài cách dạy học thuyết trình , dạy học giải quyết vấn đề cung cấp kiến thức cần tổ chức hoạt động dạy học thông qua việc giải quyết những nhiệm vụ thực tiễn. Như vậy qua mỗi hoạt động học tập, HS sẽ được hình thành và phát triển không phải 1 loại năng lực mà là được hình thành đồng thời nhiều năng lực trong quá trình dạy học. c. Về nội dung dạy học: Cần xây dựng các hoạt động , chủ đề, chủ điểm và các dạng bài tập đa dạng nhằm rèn kỹ năng cho HS . d. Hình thức dạy học chủ yếu vẫn là học tập theo lớp, theo nhóm , cả nhóm cùng nghiên cứu một vấn đề, đạt đến cùng một kết luận. GV Sử dụng rộng rãi có hiệu quả hình thức làm việc theo nhóm ở lớp nhằm: - Tạo điều kiện khuyến khích học sinh làm việc tự lực. - Tạo điều kiện, không khí thuận lợi để mỗi học sinh phát biểu ý kiến cá nhân, phát huy sáng tạo rèn luyện ngôn ngữ. - Rèn luyện thói quen phân công, hợp tác giúp đỡ nhau trong hoạt động tập thể, trong cộng đồng: Vừa tự do nêu ý kiến riêng (dù chưa được đầy đủ, chính xác). Biết sửa lỗi sai , chỉ ra nhưng sai lầm trong tính toán và trình bày lời giải cho bạn để cùng sửa ... Biết tranh luận để bảo vệ ý kiến của mình, vừa biết lắng nghe ý kiến của bạn. Nhờ có ý kiến của bạn trong nhóm mà sửa lại ý kiến sai của mình và gợí ýcho mình những suy nghĩ mới. e. Kiểm tra, đánh giá trong quá trình dạy học Về bản chất đánh giá năng lực cũng phải thông qua đánh giá khả năng vận dụng kiến thức và kĩ năng thực hiện nhiệm vụ của HS trong các tình huống khác nhau. 6 2.2 Các biện pháp cụ thể : Khi giảng dạy phần chuyên đề phương trình bậc II. Chúng tôi chia thành các dạng. Ở mỗi dạng tôi hướng dẫn học kỹ lý thuyết , hướng dẫn các em học tập theo cá nhân , theo nhóm để dễ dàng HS tự tìm ra những lỗi học sinh hay mắc , sai lầm trong lời giải và tìm cách khắc phục qua đó giúp các em không những nắm bắt tốt kiến thức, nhớ lâu mà lại không nhàm chán và xây dựng một thói quen học tập khoa học . * Dạng 1: Giải phương trình bậc II. Trước hết yêu cầu HS nắm vững lý thuyết và cách giải phương trình bậc II. 1.1 Cách giải phương trình bậc hai khuyết c dạng : ax2+ bx = 0 Phương pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phương trình tích Ví dụ : Giải phương trình 3 x 2  6 x  0  3x( x  2)  0  3x  0  x  0 x2 0 x  2 1.2 Cách gải phương trình bậc hai khuyết b dạng : ax2+ c = 0 Phương pháp : Biến đổi về dạng Hoặc x 2  m(m  0)  x m 2 x 2  m  0  ( x  m )( x  m )  0  x m 0 x  m x m 0 x  m Ví dụ : Giải phương trình 4x 2  8  0  x 2  2  x   2 GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng giải phương trình bậc hai khuyết a) 7x2 - 5x = 0 ; b) 3x2 +9x = 0 ; c) 5x2 – 20x = 0 d) -3x2 + 15 = 0 ; e) 3x2 - 3 = 0 ; f) 3x2 + 6 = 0 1.3 Cách giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a  0) Công thức nghiệm Phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0)   b 2  4ac 7 * Nếu  > 0 phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 = -b -  -b +  ; x2 = 2a 2a * Nếu  = 0 phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1 = x2 = -b 2a * Nếu  < 0 phương trình bậc hai vô nghiệm ( Hoăc hướng dẫn HS sử dụng công thức nghiệm thu gọn khi hệ số b = 2 b / Đây là những bài tập không khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc phải sai lầm. Chẳng hạn đối với ví dụ VD: Giải phương trình x2 – (1 + + Học sinh nhầm lẫn b = (1 + )x+ =0 ) dẫn tới kết quả sai Giáo viên yêu cầu học sinh xác định rõ hệ số a, b,c chú ý dấu của chúng. + Học sinh nhầm lẫn khi tính = b2 – 4ac = - (1 + = - (1 + 2 =-4-2 )2 - 4 + 3) - 4 -4 Giáo viên phải chỉ rõ cho học sinh thấy bình phương của 1 số âm phải là 1 số dương. Yêu cầu học sinh học lại quy tắc lũy thừa của 1 số âm. + Khi tính = học sinh không biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn dưới dạng bình phương của 1 đa thức. Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại hằng đẳng thức bình phương của 1 tổng, bình phương của một hiệu và hướng dẫn học sinh phân tích. - Khi sử dụng công thức nghiệm thu gọn học sinh chú ý hệ số b = 2 b/ Những lưu ý đối với HS : - Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nghiệm của phương trình bậc II và công thức nghiệm thu gọn. Trong quá trình giảng giáo viên kiểm tra học sinh và nhắc lại nhiều lần. 8 - Trước khi giải phương trình cần xác định rõ các hệ số a,b,c. GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng giải phương trình bậc hai Bài 1: 1.a) 2x2 - 7x + 3 = 0 c) 6x2 + x - 5 = 0 b)y2 – 8y + 16 = 0 ; d) 6x 2 + x + 5 = 0 ; Bài 2: a/ 2x2 - 5x + 1 = 0 b/ 5x2- x + 2 = 0 c/ -3x2 + 2x + 8 = 0 d/ 4x2 - 4x + 1 = 0 e/ - 2x2 - 3x + 1 = 0 f/ 5x2 - 4x + 6 = 0 Bài 3: a/ (x + 2)2 - 3x - 5 = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)2 - x + 1 = (x - 1)(x - 2) c/ 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15 d/ x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1 Bài 4 a, 2x2 - 2 2 x + 1 = 0 c, b, 2x2 - (1-2 2 )x - 2 = 0 1 2 2 x - 2x - = 0 3 3 7 d, 3x2 - 2 2 x = 3 * Dạng 2: Tìm tham số để phương trình bậc II có nghiệm hoặc vô nghiệm. Giải và biện luận phương trình ax 2  bx  c  0 (1) Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau B1  Xét a = 0 m = ? Thay trực tiếp vào (1) x = ? B2  Xét a  0 . Ta tính  = b2 – 4.a.c B3    < 0: phương trình vô nghiệm.   = 0: phương trình có nghiệm số kép x 1 = x2 =  b = thay m vào tính 2a nghiệm.   > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 , 2 =  b  2a Từ đó ta suy ra: a  0 1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là    0 a  0   0 2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là  9  a  0   b  0 3. Điều kiện để phương trình có đúng một nghiệm là  a  0     0 Vì vậy khi GV dạy dạng bài này trước tiên phải yêu cầu HS : - Học sinh nắm được điều kiện tồn tại phương trình bậc II. - Học sinh phải nắm được số nghiệm của phương trình bậc hai phụ thuộc vào dấu của - Học sinh phải nắm chắc quy tắc giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, quy tắc giải bất phương trình tích, bất phương trình thương VD1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt. 4x2 + 3x + m - 1 = 0 = 9 – 16 (m - 1) = 25 – 16m Học sinh giải sai: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt <=> >0 <=> 25 -16m > 0 <=> m> Giáo viên yêu cầu học sinh phát hiện lỗi sai khi chia 2 vế của bất phương trình cho số âm BPT không đổi chiều. Giáo viên ôn lại cho học sinh các phép biến đổi tương đương Bất phương trình. Yêu cầu học sinh giải lại. VD2: Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt. x2 – mx + m + 3 = 0 = m2 – 4 (m+3) = m2 – 4m – 12 Phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> m2 – 4m – 12 > 0 Học sinh không biết phân tích biểu thức m2 – 4m – 12 thành nhân tử. 10 Giáo viên ôn lại cho học sinh cách phân tích đa thức thành nhân tử đã học ở lớp 8. m2– 4m – 12 = (m-2)2 – 16 = (m-16). (m + 2) Giáo viên đặt câu hỏi tích của 2 đa thức dương khi nào ? VD3: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm kép. mx2 - 4x+4m = 0 Học sinh giải sai: + Phương trình có nghiệm kép => + Phương trình đã cho có nghiệm kép <=> / =0 / =0 Giáo viên sửa lỗi sai đặt câu hỏi phương trình bậc II tồn tại khi nào ? (Hệ số a 0) Sửa lại phương trình đã cho có nghiệm kép <=> m 0 / 0 GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng giải phương trình bậc hai Bài 1. Tìm m để mỗi phương trình sau có 2 nghiệm. a/ x2 + 3x + 3m + 5 = 0 b/ x2 - 2x + 4m - 1 = 0 c/ - x2 + 4x + m + 2 = 0 d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + 1 = 0 Bài 2 Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép. a/ x2 – 4x + k = 0 b/ x2 + 5x + 8m + 4 = 0 c/ - x2 - 5x + 3m + 1 = 0 d/ x2 – (k + 2)x + k2 + 1 = 0 Bài 3: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0 1/Giải phương trình khi m = 1 2/Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Bài 4: Cho phương trình: kx2 – (2k-1)x + k + 1 = 0 1/Giải phương trình khi m = 1 2/Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó ?  Dạng 3: Chứng minh PT có nghiệm Phương pháp: - Tính  11 Biện luận cho   0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi  về - dạng  = ( A  B) 2  m Với m  0 Ví dụ Cho phương trình x 2  ( m  2) x  m  5  0 Chứng minh rằng PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Ta cã: a  1; b  ( m  2); c  m  5      ( m  2)  4.1.(m  5)  ( m 2  4m  4)  4m  20 2  m 2  8m  24  m 2  2.m.4  4 2  8  ( m  4) 2  8  0 Vì   0 với mọi giá trị của m nên PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Những lưu ý , yêu cầu đối với HS - Hs nhận được dạng PT bậc nhất một ẩn, PT bậc II một ẩn - Nắm được điều kiện tồn tại PT bậc nhất một ẩn, PT bậc II một ẩn. - Rèn kỹ năng giải PT. VD: Cho PT (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 Chứng minh rằng PT đã cho có nghiệm với mọi m. Hs giải sai: + Chỉ giải trường hợp PT đã cho là PT bậc II. (Thiếu trường hợp Pt bậc I) + Thiếu điều kiện hệ số a 0 để tồn tại PT bậc II. Gv hướng dẫn giải: + Pt đã cho cần điều kiện gì để là PT bậc I ? Cần điều kiện gì để là PT bậc hai. + Nêu điều kiện tồn tại PT bậc II. + Hướng dẫn Hs chia hai trường hợp: * m + 2 = 0 <=> m = -2 PT trở thành 5x – 5 = 0 <=> x = 1 *m+2 Tính 0 <=> m -2 PT trở thành PT bậc II = (1- 2m)2 – 4 (m + 2). (m - 3) = 25 > 0 với mọi m Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 12 -2 KL: Vậy với mọi m PT luôn có nghiệm. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh: N xét x = 1 luôn là nghiệm của PT suy ra PT luôn có nghiệm với mọi m. GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng Bài 1. Cho phương trình: 2x2 – mx + m – 2 = 0 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Bài 2 Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – 3 = 0 1/Giải phương trình khi k = 2 2/Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi k. Bài 3: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0 Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m. *Dạng 4: Tìm tham số để PT có nghiệm cho trước. Phương pháp Cách tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước +) Ta thay x = x1 vào phương trình đã cho rồi tìm giá trị của tham số Cách tìm nghiệm thứ 2 Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình Hoặc cách Muốn tính nghiệm còn lại Dùng Viet cho tích số x 2.x1 = P suy ra nghiệm còn lại Ví dụ Cho phương trình: x2 – x + 2m – 6 = 0. (1) a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1 = 1. b) Tìm nghiệm còn lại Giải a/ Thay x1 = 1 vào phương trình (1) ta có 12  1  2m  6  0  2m  6  m  3 Vậy với m = 3 thì phương trình có nghiệm x1 = 1. b/ Thay m = 3 Vào PT (1) Ta có : x 2  x  2.3  6  0  x 2  x  0  x ( x  1)  0 Vậy nghiệm thứ hai của phương trình (1) lµ x = 0 x0 13  x 1 Những lưu ý , yêu cầu đối với HS - Học sinh nắm được định nghĩa thế nào là nghiệm của 1 PT - Nắm chắc cách giải PT bậc nhất, PT bậc II. GV tổ chức cho HS làm bài tập áp dụng Bài 1Tìm m để phương trình có một nghiệm cho trước, tính nghiệm kia? a/ 2x2  (m + 3)x + m  1 = 0 ; x1 = 3 b/ mx2  (m + 2)x + m  1 = 0 ; x1 = 2 c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 ; x1 = 2 d/ (4  m)x2 + mx + 1  m = 0 ; x1 = 1 e/ (2m  1)x2  4x + 4m  3 = 0 ; x1 = 1 f/ (m  4)x2 + x + m2  4m + 1 = 0; x1 = 1 g/ (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 ; x1 = 2 h/ x2  2(m  1)x + m2  3m = 0 ; x1 = 0 Bài 2Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + m – 1 = 0 a)Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt ? b)Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = 3. Tính nghiệm x2 còn lại ? Bài 3 Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ? b)Xác định m để phương trình có nghiệm x1 = 2; tính nghiệm x2 còn lại ? Bài 4 ; Cho phương trình : (m + 2)x2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép ? b)Định m để phương trình có nghiệm là 1 ? Tính nghiệm còn lại ? * Dạng 5: Hệ thức Viet và ứng dụng: Phương pháp: Định lý Vi-ét : Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì S = x1 + x2 = p = x1x2 = b a c a * Đảo lại : Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số là nghiệm của phương trình bậc hai : x2 – S x + p = 0 14 Yêu cầu đối với HS - Học sinh phải thuộc hệ thức Viet, và công thức nhẩm nghiệm. - Rèn kỹ năng tính toán. - Trước khi sử dụng hệ thức Viet phải kiểm tra xem phương trình bậc II đó có nghiệm không. Nếu phương trình đó có chứa tham số thì phải tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm. VD1: Không giải phương trình, dùng hệ thức viết tính tổng và tích các nghiệm của phương trình sau. ( ) x2 + 2x + ( Học sinh giải sai: x1 + x2 = )=0 = và x1 x2 = = Giáo viên cho học sinh kiểm tra xem phương trình có nghiệm không. Bằng cách tính / / = 12 - ( )( ) = - 2 < 0 PT vô nghiệm Giáo viên chốt: Ta chỉ sử dụng được hệ thức Viet khi phương trình bậc hai đó có nghiệm. VD2: Dùng công thức nhẩm nghiệm để nhẩm nghiệm mỗi PT sau: 3x2 – (3 + )x+ a + b + c = 3 + [-(3+ =3-3- =0 )] + + =0 Học sinh hay nhầm lẫn khi phá ngoặc có dấu “-” đứng trước. Giáo viên ôn lại quy tắc phá ngoặc có dấu cộng, dấu trừ đứng trước. VD3: Hãy chứng tỏ rằng phương trình 2x2 + 5x + 2 = 0 có nghiệm là -2. Hãy tìm nghiệm kia ? Học sinh không biết chứng minh x = -2 là một nghiệm của phương trình. Giáo viên nhắc lại cho học sinh khái niệm thế nào là nghiệm của phương trình. Và hướng dẫn học sinh tìm nghiệm còn lại theo hệ thức Viet. 15 Cách 1: x1 + x2 = Cách 2: x1 . x2 = VD4:Tìm hai số u, v trong các trường hợp sau: u – v = -2 và u . v =80 Học sinh giải sai: u và v là hai nghiệm của phương trình x2 + 2x + 80 = 0 Giáo viên chỉ rõ cho học sinh lỗi sai: Đầu bài không cho u+v mà cho u - v Vậy ta coi u là số thứ nhất và – v là số thứ hai. Ta có u + (-v) = -2 Vậy u.(-v) = -80 Ta có u và –v là 2 nghiệm của phương trình x2 + 2x + 80 = 0 VD5: Tìm m để phương trình sau có tích các nghiệm bằng 6 x2+ (2m + 1)x + m2 + 5m = 0 Học sinh giải sai: Phương trình đã cho có x1 x2 =6 <=> m2 +5m= 6 <=> m1 = 1 và m2 = -6 Giáo viên sửa lỗi sai: Chưa tìm điểu kiện để phương trình đã cho có nghiệm. Phương trình đã có nghiệm <=> 0 <=> - 16m -1 <=> m Đối chiếu điều kiện m1 = 1 > loại; m = -6 < thỏa mãn VD6: Tìm a để PT (a - 2) x 2 – (a - 4)x – 2 = 0 có nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.. Hs giải sai: - Không đặt điều kiện tồn tại phương trình bậc II. - Hs không phân tích để tìm được mối liên hệ giữa 2 nghiệm x1 và x2. Gv hướng dẫn Hs giải: - Tìm điều kiện để PT đã cho là PT bậc II: a – 2 16 <=> a 2 - Tìm điều kiện để PT có nghiệm: / = a2 0 với mọi a. - PT có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia : <=> x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1 <=> x1 – 2x2 = 0 hoặc x2 – 2x1 = 0 <=> (x1 – 2x2). (x2 – 2x1) = 0 Giáo viên chốt cách giải: + B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm + B2: Áp dụng hệ thức Viet tính tổng, tích các nghiệm. + B3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm rổi giải theo yêu cầu để xác định giá trị của tham số. + B4: Đối chiếu giá trị của tham số vừa tìm được để đưa ra kết luận * Dạng 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình. - Học sinh phải nắm chắc các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. - Khi giải chú ý chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn và viết đơn vị nếu có. - Biết tìm được các mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán để lập phương trình. - Chia thành các dạng toán: Toán tìm số, toán chuyển động, toán công việc… VD: Một tàu thủy xuôi dòng sông từ A đến B dài 48 km rồi ngược dòng từ B về A hết 5 giờ. Tính vận tốc của tàu thủy. Biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h. Học sinh giải sai: +Gọi vận tốc của tàu thủy là x (km/h) ĐK x Z + Khi giải phương trình được x1 = 20, x2 = -4. Không loại nghiệm x = -4 Giáo viên sửa lỗi sai: Khi chọn ẩn chú ý đặt điều kiện cho ẩn. + Nếu đại lượng chọn làm ẩn là các đại lượng đo lường thì đặt điều kiện x > 0 + Nếu đại lượng chọn làm ẩn là các đại lượng chỉ con người, con vật, đồ vật, cây cối… thì đặt điều kiện x Z+ hoặc x N* . + Trong quá trình tìm các mối liên hệ giữa các dữ kiện để lập phương trình, nếu cần ta có thể bổ sung điểu kiện cho ẩn. * Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai. 1. Phương trình tích: là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích của các nhân tử chứa ẩn. 17 A1 ( x ). A2 ( x )... An ( x)  0   A1 ( x)  0 (1)  A ( x )  0 (2)  2 ............   An ( x )  0 (n) Ta giải n phương trình (1), (2), . . ., (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng. Ví dụ 1 Giải các phương trình: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1 Giải: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1  (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = 0  (2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0 2x 2 +3x - 5 = 0 (1)  (2x + 3x - 5)(2x - x - 3) = 0   2 2x - x - 3 = 0 (2) 2 2 Giải các phương trình (1) và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5 Vậy S =  x1 = 1; x 2 = -2,5; x 3 = -1; x 4 = 1,5 Nhận xét:- Loại phương trình này các em HS đã được làm quen từ lớp 8 - THCS. Lên lớp 9, sau khi học xong về phương trình bậc hai một ẩn, để giải một phương trình bậc cao (bậc lớn hơn 2), đối với HS THCS thường dùng phương pháp biến đổi đưa về phương trình tích. Muốn vậy HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ cần phân tích thành tích các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai). - Chú ý tới các tính chất của phương trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 Nếu a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1. - Đa thức bậc n có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hệ số tự do (Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên).Khi đã nhận biết được nghiệm (chẳng hạn x = x 0), ta phân tích được vế trái của phương trình thành nhân tử (chứa một nhân tử là x – x 0). *Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 x3  7 x 2  3 x  8  0 (*) Hướng dẫn: Chú ý 2 – 7 + (- 3) – (- 8) = 0 => (*) có một nghiệm là x = -1, 3 2 3 2 2 từđóphântíchđược: 2 x  7 x  3 x  8   2 x  2 x    5 x  5 x   (8 x  8) 2  2 x 2 ( x  1)  5 x( x  1)  8( x  1)   x  1  2 x  5 x  8  . Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: x1 = -1; x2  18 5  89 5  89 ; x3  4 4 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:Loại phương trình này, HS cũng đã được làm quen từ lớp 8 và đây cũng là một dạng phương trình thường gặp trong chương trình toán THCS. 2.1. Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường giải theo 4 bước sau:Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình; Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức; Bước 3. Giải phương trình nhận được; Bước 4. Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn ĐKXĐ, các giá trị thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho. 2.2. Ví dụ: Giải phương trình: 3x 1 x2  2   2 2x  2 x 1 x 1 Giải:- ĐKXĐ: x   1. Khi đó (*)  (*) 3x 1 x2  2   2( x  1) x  1 ( x  1)( x  1)  3 x( x  1)  2( x  1)  2( x 2  2)   3x 2  3x  2 x  2  2 x 2  4  0  3x 2  3x  2 x  2  2 x 2  4 x 2  x  2  0 (**) Giải phương trình (**), ta được x1 = 1 (không thoả mãn ĐKXĐ) x2 = - 2 (thoả mãn ĐKXĐ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 2 2.3. Lưu ý: + Trong thực hành, cần luôn lưu ý việc kiểm tra giá trị tìm được của ẩn (sau bước 3). Một phương trình chứa ẩn ở mẫu sẽ vô nghiệm nếu ở bước 3 không tìm được giá trị của ẩn và cũng sẽ vô nghiệm nếu các giá trị tìm được ở bước 3 đều không thoả mãn ĐKXĐ. + Cách giải trên là cách giải thường dùng nhưng chỉ nên áp dụng với các phương trình mà sau khi ta quy đồng, khử mẫu 2 vế thì được phương trình bậc không lớn hơn 2, không phức tạp. Đối với một số dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu đặc biệt, ta phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải. Ví dụ: Giải phương trình: 2x x 3  2  2 x  3x  1 2 x  x  1 2 2 Giải: -ĐKXĐ: x  1; x  1 .Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. 2 Chia của cả tử và mẫu mỗi phân 19 thức cho x  0, ta được: 2 1 2x  3  x  1 1 2x 1 x  3 2 .Đặt 2x  1 = x t, phương trình trở thành: 2 1 3   (*) (ĐK: t  - 1; t  3) t  3 t 1 2 => 4t + 4 – 2t + 6 = -3(t2 – 2t – 3) <=> 3t2 - 4t + 1 = 0 <=> t1 = 1; t2 = 1 (đều 3 thoả mãn ĐK của t). -Với t1 = 1, ta có: 2x  1 1 1 1 = 1 (vô nghiệm) ; với t2 = , ta có: 2x  = (vô x 3 x 3 nghiệm).Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. *Chú ý : Dùng phương pháp giải ở trên, chúng ta cũng giải được các phương trình có dạng sau : Dạng1: mx nx  2 c. ax  px  b ax  qx  b 2 ax 2  mx  b ax 2  nx  b ax 2  mx  b nx  2  0 .Dạng 3:  2 0 Dạng2 : 2 2 ax  px  b ax  qx  b ax  px  b ax  qx  b 3. Phương trình trùng phương: 3.1. Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0, trong đó a, b, c là các số cho trước, a  0. 3.2. Cách giải:-Khi giải dạng phương trình này, ta thường đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ x2 = t (t  0), ta có phương trình bậc hai trung gian : at2 + bt + c = 0. -Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t. Nếu những giá trị tìm được của t thoả mãn t  0, ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu. 3.3. Ví dụ: *Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x 4  2 x 2  1  0 (1) Giải: Đặt x2 = t, ĐK: t  0. Phương (1) trở thành 3t2 - 2t - 1 = 0 (1’) Giải (1’) ta được: t1 = 1 (thoả mãn ĐK); t2 = Với t1= 1 => x2 = 1 => x =  1;Với t2 = 1 (thoả mãn ĐK) 3 1 1 => x2 = <=> x =  3 3 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x1  1; x2  1; x3  1 3 1 1 ; x4   3 3 3.4. Nhận xét : Về số nghiệm của phương trình trùng phương, ta thấy: 20