A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Giải phương trình là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Toán học. Có
nhiều phương pháp giải phương trình và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài
toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán giải phương trình có thể
áp dụng nhiều cách giải, phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp
nhiều phương pháp một cách hợp lí.
Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và
biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trong quá trình khảo sát hàm
số… Và được sử dụng nhiều trong quá trình ôn tập, đặc biệt là trong quá trình học
THPT… Vì vậy học sinh cần phải nắm được những kiến thức cơ bản về giải
phương trình.
Trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Đại số 10 nói
riêng chúng ta đã làm quen với phương trình bậc bốn. Tuy nhiên các em học sinh
mới gặp các phương trình bậc bốn dạng đơn giản như phương trình trùng phương,
phương trình quy hồi... qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một cách
dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em
tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải được.
Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phải biết vân
dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kỹ năng biến đổi từ dạng
phức tạp và dạng đơn giản một cách linh hoạt.
Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy lôgíc, khả
năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân
tử, biến đổi đồng nhất cũng như các kiến thức về bất đẳng thức.
Thông qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng tưởng tượng, phát
huy được cao độ tính tích cực, chủ động và vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Trong quá trình tìm tòi, tôi đã tìm đọc một số sách của các tác giả viết về vấn
đề phương trình bậc bốn, tuy nhiên vấn đề mà tôi trình bày còn khá mới mẻ và
chưa được tìm hiểu cụ thể. Sau đây tôi xin giới thiệu vài cách giải các phương trình
bậc bốn dạng x 4 ax3 bx 2 cx d 0 (Trong đó a, b, c, d là các số thực khác 0).
Từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài “ Phân loại và phương pháp giải
phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn
Toán”. Tôi xin trình bày để các độc giả tham khảo.
2. Mục đích nghiên cứu
Thông qua đề tài này giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn các phương pháp
giải phương trình bậc bốn. Từ đó nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao chất
lượng học tập môn toán trong trường THPT, đặc biệt đạt kết quả cao trong các
cuộc thi học sinh giỏi.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Học sinh lớp 10A1, 10A2, 10A3 THPT Đinh Chương Dương – Hậu Lộc.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các phương pháp cơ bản về giải phương trình bậc bốn, đưa ra các
ví dụ minh hoạ cụ thể, các dạng bài tập củng cố và rèn luyện kỹ năng cho học sinh.
- Tìm hiểu các đề thi mà trong đó có dạng bài tập giải phương trình bậc bốn
nhằm đưa ra phương pháp giải và dạng tổng quát cho các dạng bài tập thường gặp
làm tài liệu bổ ích cho học sinh và giáo viên tham khảo và học tập.
Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu cách giải phương
trình bậc bốn dạng tổng quát x 4 ax3 bx 2 cx d 0 (Trong đó a, b, c, d là các số
thực khác 0).
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bản thân tôi đã tìm
hiểu và tích luỹ được.
- Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm để rút ra
kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh.
- Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Bài toán giải phương trình bậc bốn rất được chú trọng trong các đề kiểm tra,
các kỳ thi học sinh giỏi các cấp cũng như trong tất cả các tài liệu nâng cao và nó
cũng xuất hiện rất nhiều trong các đề tài nghiên cứu khoa học cũng như các tạp chí
toán học hiện nay.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Kỹ năng giải phương trình bậc bốn của học sinh còn nhiều hạn chế, chưa được
rèn luyện thường xuyên. Học sinh mới tiếp cận các phương trình bậc bốn dạng đơn
giản, như phương trình trùng phương, phương trình quy hồi... qua vài phép biến đổi
học sinh có thể giải quyết một cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc
bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như đều không giải
được.
Các tài liệu viết về dạng toán giải phương trình bậc bốn còn tản mạn, tuỳ thuộc
nhiều vào người viết cũng như cách hướng dẫn học sinh. Do đó chưa có những
phương pháp cụ thể, rõ ràng và chưa khắc sâu được kiến thức cho học sinh.
Từ thực trạng như trên việc chọn chuyên đề “ Phân loại và phương pháp giải
phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết quả học tập môn
Toán” là cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo
viên cũng như của học sinh.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Vấn đề nghiên cứu được trình bày thông qua nội dung 3 bài:
Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc bốn
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Để giải phương trình bậc bốn dạng: ax bx cx dx e 0 (1). Ta có thể đưa
phương trình về dạng phương trình tích mà các nhân tử ở vế trái của phương trình
là các đa thức bậc nhất và bậc hai. Ta có thể dự đoán nghiệm của phương trình (1)
bằng cách như sau:
- Nếu a + b +c +d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1.
- Nếu a - b +c - d +e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1.
p
- Nếu a, b,c ,d ,e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ
thì p, q theo thứ tự là ước
q
của e và a.
- Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng ta có thể vận dụng
kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử.
Ý tưởng thường được sử dụng là chuyển đa thức bậc bốn về dạng:
4
3
2
A 2 B 2 0 A B A B 0 khi đó ta được tích của hai tam thức bậc hai. Do đó
việc giải phương trình bậc bốn quy về việc giải phương trình bậc hai. Đây cũng
chính là cách để giải mọi phương trình bậc bốn.
Ví dụ1: Giải phương trình
x 4 4 x 3 x 2 16 x 12 0
(1)
Giải:
Ta thấy a + b + c + d + e = 1 - 4 - 1 + 16 - 12 = 0 Do đó phương trình (1) có
nghiệm x 1 . Khi đó phương trình (1) viết được dưới dạng:
x 1 x3 3x 2 4 x 12 0
(2)
3
2
Ta thấy x 2 là nghiệm của phương trình x 3 x 4 x 12 0 .
2
Do đó : (2) � x 1 x 2 x x 6 0
�
x 1 0
x 1
�
�
�
��
x20
� x2
�
2
�
x 3; x 2
x x60 �
�
�
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3}.
Ví dụ2: Giải phương trình
x 4 3x 2 4 x 3 0 (1)
Ta thấy phương trình (1) không áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm, nên ta
vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
(1) � x 4 2 x 2 1 x 2 4 x 4 0
� x 2 1 x 2 2 0
2
2
� x 2 x 3 x 2 x 1 0
�
x 2 x 3 0 (2)
� �2
x x 1 0 (3)
�
� 1 13
x1
�
2
Giải phương trình (2) ta được �
� 1 13
x2
�
�
2
Giải phương trình (3) vô nghiệm.
�
1 13 1 13 �
;
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S �
�
2 �
� 2
Ví dụ3: Giải phương trình
2 x 4 3 x3 16 x 2 3 x 2 0
(1)
Ta thấy hệ số của những số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau, đây
là phương trình đối xứng bậc bốn.
Chia cả hai vế cho x 2 ( khác không ) ta có:
3 2
(1) � 2 x 2 3x 16 2 0
x x
1
1
� 2( x 2 2 ) 3( x ) 16 0
x
x
1
1 2
1
2
2
2
Đặt t x � t ( x ) � x 2 t 2
x
x
x
Ta được phương trình:
2t 2 3t 20 0
� 1
�
t 4 �
x 4
�
x 2 � 3
2
�
x
4
x
1
0
x
�
�
�
�� 2
�
5 ��
1
�
�
1
5
t
2
x
5
x
2
0
x
;x 2
�
�
x
�
� 2
2
� x 2
1
Vậy phương trình có nghiệm: x 2 � 3; x ; x 2
2
Như vậy với các Ví dụ 1, 2, 3 ta giải được phương trình nhờ các phép biến đổi
sáng tạo phương trình để dẫn tới việc giải phương trình tích, và phương trình quen
thuộc.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
Bài 1: 2x4 - 6x3 - x2 + 12x - 10 = 0.
Bài 2: 2x4 - 6x2 - 8x - 6 = 0.
Bài 3: x3 – 2x2 + 6x – 12 = 6.
-------------------o0o-------------------
BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Dạng 1: Phương trình trùng phương
Giải phương trình: ax 4 bx 2 c 0 (1)
Phương pháp:
Bước 1: Đặt t = x2 với t 0.
Khi đó (1) � at 2 bt c 0 (2)
Đó là phương trình bậc hai theo ẩn t.
Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1)
Nếu (2) có nghiệm t0 0 thì (1) có nghiệm
x � t0
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 4 4 x 2 5 0 (1)
Giải: Đặt x2 = t với t 0
Ta được: t 2 4t 5 0 (2) có 2 nghiệm: t1 1; t2 5
Kết hợp với điều kiện t 0 ta có: t1 = -1 không thoả mãn
Với t2 = 5 ta có: x 2 5 � x � 5
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x � 5
2. Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng
ax 4 bx3 cx 2 dx e 0 ;
( a �0;
e
d
( ) 2 ; e �0)
a
b
Phương pháp:
Bước 1:
Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Chia cả hai vế
của phương trình cho x2 0 ta được:
�2 e 1 � � d 1 �
b x
(1) a �x
� c 0 (2)
2 � �
� a x � � b x�
Bước 2:
d
� d 1� 2 e 1
t2 2
Đặt t �x
�� x
2
ax
b
� b x�
d
2
Khi đó: (2) � at bt c 2a. 0 (3)
b
Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1).
*Chú ý:
- Trong trường hợp đặc biệt e a 1 tức là đối với những phương trình có dạng:
ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 ta cũng có cách giải tương tự.
- Nhiều phương trình ở dạng ban đầu không phải là phương trình hồi quy, tuy
nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta có thể đưa chúng về dạng phương trình hồi
quy. Từ đó áp dụng phương pháp đã biết để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình x 4 9 x3 28 x 2 36 x 16 0 (1)
Giải: Nhận thấy
16 36 2
(
) 22 do đó phương trình này là phương trình quy
1
9
hồi
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của
phương trình cho x ta có:
36 16
x 4 9 x3 28 x 2 36 x 16 0 � x 2 9 x 28 2 0
x x
16
36
� x2 2 9x
28 0
x
x
4
2
Đặt t x � t 9t 20 0 � t 4; t 5
x
4
2
Với t 4 � x 4 � x 4 x 4 0 � x 2
x
4
2
Với t 5 � x 5 � x 5 x 4 0 � x 1; x 4
x
Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = 2; x = 4
3. Dạng 3: Phương trình có dạng
x a x b x c x d m
DK : a b c d
Phương pháp:
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng:
[ x 2 (a b) x ab][ x 2 (c d ) x cd ] m
Bước 2:
t x 2 a b x ab
� x 2 c d x cd t ab cd
Khi đó ta có:
t t ab cd m
� t 2 ab cd t m 0
Đây là phương trình bậc hai quen thuộc.
Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình ( x 1)( x 2)( x 4)( x 5) 10
Giải:
( x 1)( x 2)( x 4)( x 5) 10
� ( x 2 6 x 5)( x 2 6 x 8) 10
Đặt: t x 2 6 x 5 ta có phương trình:
t (t 3) 10 � t 2 3t 10 0 � t 5; t 2
t 5 � x 2 6 x 5 5 � x 2 6 x 10 0 Phương trình này vô nghiệm
�
x 3 6
t 2 � x2 6 x 5 2 � x2 6 x 3 0 � �
x 3 6
�
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 3 6; x 3 6
4. Dạng 4: Phương trình có dạng x a x b c
4
Phương pháp:
4
a b
�
xat
�
ab �
2
��
Bước 1: t x
2
�x b t a b
�
2
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
2
4
a b 2
a b
2t 12
.t 2
c
2
2
4
Đó là phương trình trùng phương đã biết cách giải.
Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải phương trình ( x 4) 4 ( x 6) 4 0
Giải:
Đặt t x 5 � x t 5 Phương trình trở thành:
(t 1)4 (t 1) 4 0 � t 4 6t 2 1 0
�
X 3 8 0
2
X
6
X
1
0
�
�
Đặt t X ( X �0) ta được phương trình:
X 3 8 0
�
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2
* Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rất phong phú và đa dạng
tuỳ thuộc vào đặc thù mỗi bài toán, phương pháp được trình bày ở trên chỉ minh
hoạ được một vài dạng thường gặp.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
Bài 1: a) 2x 4 – 8x 2 – 10 0.
b) –x 4 – 2x 2 – 26 13.
c) 2,6x 4 1,8x 2 0.
Bài 2: a) x 2 x 1 x 1 x 2 6.
b) y – 6 y 5 y – 2 y 1 2.
c) 12 y y – 9 y – 6 y 9 7.
Bài 3: a) x 2
4
b) x – 2
4
x
x
6 3.
4
– 3 10.
4
10
c) 2 – x 3 – 6 100.
4
4
Bài 4: Cho phương trình x 4 – 2x 3 6x – 5 m.
a) Giải phương trình với m = -1.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình với giá trị m.
c) Tìm m để phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 1.
-------------------o0o------------------
BÀI 3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn
f ( x) x 4 ax3 bx 2 cx d 0 (1)
Trong đó a, b, c, d là các số thực.
Phương pháp:
Biến đổi đa thức về dạng
1
1
1
1
1
f ( x ) ( x 2 ax h)2 bx 2 cx d a 2 x 2 h 2 hx 2 ahx
2
2
4
4
2
1
1
1
1
1
( x 2 ax h)2 [(h+ a 2 -b)x 2 ( ah c) x ( h 2 d )]
2
2
4
2
4
2
Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: Ax Bx C
2
2
Ax 2 Bx C có thể viết dưới dạng Ax Bx C ( Px Q)
Khi và chỉ khi :
B 2 4 AC 0 � 4 AC B 2 0
1
1
1
� 4(h+ a 2 -b)( h 2 d ) ( ah c) 2 0 (2)
4
4
2
Đây là phương trình bậc ba đối với h nên có ít nhất một nghiệm thực. Khi đó:
1
1
f ( x) ( x 2 ax h) 2 ( Px Q ) 2
2
2
1
1
1
1
( x 2 ax h Px Q)( x 2 ax h Px Q) 0
2
2
2
2
1
�2 1
x ax h Px Q 0
(3)
�
2
2
��
1
1
�
x 2 ax h Px Q 0
(4)
� 2
2
Giải (3) và (4) để tìm tập nghiệm của phương trình.
11
Ví dụ: Giải phương trình x 4 x3 7 x 2 x 6 0
Giải: Dựa vào công thức (2) ta xác định được h:
29 1
1
4(h+ )( h 2 6) ( h 1) 2 0
4 4
2
3
2
� h 7 h 25h 175 0
Phương trình có 1 nghiệm là h = 5
7
1
Với h = 5, a = -1, b = -7, c = 1, d = 6 ta tính được: P ; Q
2
2
1
5
7
1
( x 2 x )2 ( x )2 0
2
2
2
2
1
5 7
1
1
5 7
1
� ( x 2 x x )( x 2 x x ) 0
2
2 2
2
2
2 2
2
5 7
1
�2 1
x
x
x
0 � 2
� 2
2x 6x 4 0
2
2
2
��
�� 2
1
5 7
1
2 x 8x 6 0
�
x2 x x 0 �
� 2
2 2
2
x 1; x 2
�
��
x 1; x 3
�
Vậy phương trình có 4 nghiệm: x = -1, x= -2, x=1, x= 3
Như vậy với việc tìm ra số h từ công thức (2) ta có thể giải các phương trình
bậc bốn không có dạng đặc biệt như đã phân loại ở bài 1 và bài 2.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau:
12
1)
x 4 4 x3 3 x 2 2 x 1 0
2) x 4 2 x3 5 x 2 4 x 12 0
3)
6 x 4 5 x 3 38 x 2 5 x 6 0
4)
x 4 5 x3 12 x 2 5 x 1 0
5)
x 4 2 x3 2 x 2 6 x 15 0
-------------------o0o------------------
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. Những kết quả đạt được
Qua quá trình tìm tòi nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy, đề tài “Phân loại và
phương pháp giải phương trình bậc bốn cho học sinh lớp 10 nhằm nâng cao kết
quả học tập môn Toán” đã tác động tích cực đến học sinh. Phát huy được tính tích
cực, sáng tạo tư duy logic của các em. Học sinh không cảm thấy lung túng khi gặp
các phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt, từ đó các em các em thích thú
hơn với bài toán giải phương trình, đặc biệt là phương trình bậc bốn.
Đối với bản thân, nhờ quá trình thường xuyên trau dồi, học hỏi đồng nghiệp,
nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã thường xuyên nâng cao chất lượng của
chuyên đề nghiên cứu thành một chuyên đề có hiệu quả và chất lượng.
* Thống kê kết quả lớp bồi dưỡng
13
Như vậy rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả học tập của học sinh
có sự tiến bộ rõ rệt.
II. Bài học kinh nghiệm
Qua quá trình trực tiếp giảng dạy do đối tượng học sinh trong một lớp không
đồng đều về mức độ nhân thức nên giáo viên nên đưa ra các dạng đi từ dễ đến khó,
kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh.
Nội dung kiến thức về đề tài là kiến thức mở do đó giáo viên nên đưa vào
cuối các giờ luyện tập, hoặc buổi học phụ đạo bồi dưỡng.
Sau khi hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến
thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học sinh những kĩ năng làm bài tập cho học
sinh.
Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, mỗi giờ học chỉ nên giới thiệu một
dạng toán, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà kết quả
đạt được không cao.
III. Những kiến nghị và đề xuất
Học sinh cần có đầy đủ dụng cụ học tập,sách giáo khoa, sách tham khảo và các
bài toán nâng cao trên các tạp chí của bộ môn toán.
Với giáo viên cần có nhiều nguồn tài liệu nghiên cứu, học hỏi trên nhiều kênh
thông tin, tự nghiên cứu trau rồi kiến thức, tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân.
Thường xuyên quan tâm đến việc giải các bài tập theo các dạng ở trên.
14
Trong quá trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu những cách
giải mới, các lời giải hay. Biết khắc sâu kiến thức cơ bản, các bài tập thường gặp
nhằm đưa về dạng tổng quát hoá.
Đối với các cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên đi học tập các lớp nâng
cao trình độ, tổ chức các lớp bồi dưỡng thường xuyên nâng cao chuyên môn,
nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn kinh phí cung cấp cho thư viện trường các đầu sách có giá
trị, đúng trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo.
Đề tài này đã được các đồng nghiệp góp ý bổ sung, nhưng chắc chắn không
tránh khỏi thiếu sót. Trong pham vi khuôn khổ, đề tài còn ít ví dụ minh hoạ cũng
như chưa đi hết các cách giải. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến cũng
như các nhận xét của tất cả các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để tôi sửa chữa
nhưng chỗ sai, những chỗ còn thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng của chuyên đề
nghiên cứu thành một chuyên đề thiết thực và có hiệu quả cao.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày tháng năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Toán bậc THPT, NXB GD, 2006
[2]. Sách giáo viên Toán bậc THPT, NXB GD, 2006
[3]. Phạm Văn Điều, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, NXB
ĐHQGHN, 2000.
[4]. Thiết kế bài giảng toán bậc THCS.
15
[5]. Tạp chí toán học tuổi trẻ.
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ...................................................................................
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ....................................................................
I. Cơ sở lý luận........................................................................................
II. Thực trạng vấn đề..............................................................................
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện..........................................................
Bài 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử…………..............
Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ…………………………………………
16
Trang
1
3
3
3
3
4
7
Bài 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc bốn…………………..
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT..............................................................
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO. ………………………………………
17
11
13
15
- Xem thêm -