1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Thế giới đã bước sang thời kỳ phát triển kinh tế tri thức và thế kỷ này được
mệnh danh là thế kỷ của khoa học công nghệ. Sự vận động và phát triển không
ngừng của khoa học, kinh tế, giáo dục, công nghệ khiến thế giới thay đổi từng
ngày. Trên con đường hội nhập vào nền kinh tế tri thức này đòi hỏi mỗi quốc gia
phải có đội ngũ nhân lực đủ trình độ, am hiểu. Để đáp ứng được yêu cầu này thì
giáo dục giữ vai trò quan trọng và quyết định trong sự nghiệp chung của đất
nước.
Giáo dục thường xuyên là một ngành học quan trọng của ngành giáo dục,
nó dành cho mọi đối tượng có nhu cầu học tập từ học nghề đến học văn hoá. Do
đó các học viên hệ GDTX có độ tuổi và trình độ không đồng đều trong cùng một
lớp. Đa số học viên có học lực từ trung bình trở xuống, một bộ phận vừa học,
vừa làm nên thời gian tự học ở nhà rất ít, nhiều học viên nghỉ học đã lâu nên
kiến thức cũ quên nhiều, một bộ phận không nhỏ các học viên có khả năng nhận
thức, vốn hiểu biết, vốn kiến thức kỹ năng toán học, tư duy lô gíc rất yếu, nhiều
em không xác định được đúng đắn mục đích học và động cơ học tập, ý thức học
tập và ý thức tổ chức kỷ luật kém.
Thời gian có hạn, kiến thức lại nhiều và với đặc điểm học viên như trên, đòi
hỏi giáo viên cần chọn kiến thức và phương pháp truyền đạt cho phù hợp để dẫn
dắt học viên đến với khoa học. Giáo viên không chỉ là người cung cấp kiến thức
bằng phương pháp thuyết trình, giảng giải mà bằng việc tổ chức các hoạt động
dạy học để học sinh có khả năng khám phá ra tri thức mới. Đó là một trong
những hoạt động sáng tạo của học sinh. Tư tưởng đại số hoá hình học thể hiện
trong SGK hiện nay là rất khó đối với trình độ học sinh lớp 10.
Cái khó thứ nhất chính là khó về mặt thuật ngữ trong việc xoá bỏ một
thói quen đã được hình thành sẵn. Tại sao lại gọi là hình học khi giải các bài
toán hình học bằng công cụ vectơ có thể không dùng hình vẽ làm công cụ trợ
giúp ban đầu. Tính "công cụ"của vectơ phải thông qua rất nhiều ví dụ và phải
một thời gian dài học sinh mới cảm nhận được.
Cái khó thứ hai là do thời lượng phân bố hạn chế nên khó có thể hoàn
thiện được kỹ năng. Vectơ trong trương trình THPT hiện nay là khái niệm được
định nghĩa, việc giải toán bằng công cụ vectơ cần thiết phải được liên hệ với các
đối tượng dùng để định nghĩa nó. Vì vậy trong cuốn sáng kiến kinh nghiệm này
tôi xin trình bày một đề tài nhỏ mà tôi đã nghiên cứu và áp dụng trong những
năm gần đây đó là: “ Một số dạng toán về véc tơ trong hình học lớp 10” với
mong muốn giúp học sinh khắc sâu kiến thức về vectơ và vận dụng được trong
quá trình giải và làm toán.
1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp
cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo
cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng toán về véc tơ
1
trong hình học lớp 10 nhằm mục tiêu giúp học viên hệ thống được các kiến thức
cơ bản về vectơ như sau:
- Nắm được các đối tượng cấu thành véctơ, quan hệ cơ bản giữa hai véctơ.
- Dựng được một véctơ bằng một véctơ nếu biết điểm đầu hoặc điểm cuối.
- Biết cách dựng tổng, hiệu của hai véctơ và các tính chất của phép toán.
- Biết phân tích một véctơ thành tổng, hiệu của hai véctơ khác.
- Nắm được quy tắc hợp thành của tích một số thực với một véctơ, điều kiện đủ
để hai véctơ cùng phương.
- Biết cách chuyển đổi ngôn ngữ từ bài toán hình học thông thường thành hệ
thức véctơ tương ứng (trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, điểm chia
đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước).
- Biết cách sử dụng phương pháp véctơ trong giải toán hình học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài tập trung nghiên cứu các phép toán trên vectơ. Đó là các phương
pháp biến đổi các véc tơ dựa vào các phép toán, tính chất và đặc trưng của nó.
Thông qua các bài tập ví dụ hình thành nên kĩ năng, tính nhuần nhuyễn cho học
viên trong quá trình xử lí các bài toán về véctơ.
- Bài toán sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng và phép trừ vectơ. Cách
sử dụng quy tắc hình bình hành thông qua một số dạng bài tập
- Bài toán xác định vị trí của một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước
- Bài toán chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài.
- Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song.
- Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
- Bài toán chứng minh hai điểm trùng nhau. Những bài toán liên quan đến trọng
tâm của một hệ điểm
- Bài toán chứng minh một số đẳng thức véctơ khác nhau để thể hiện mối quan
hệ giữa đối tượng hình học và đẳng thức véctơ. Cách chuyển đổi từ ngôn ngữ
hình học sang ngôn ngữ véctơ.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Thu thập và xử lý các tài liệu có liên quan
đến véctơ và ứng dụng các phép toán về véctơ.
- Phương pháp thực tiễn: Đánh giá chất lượng học sinh qua các bài giảng trên
lớp đại trà, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi và các bài kiểm tra hình học có liên quan
đến véc tơ đối với học sinh lớp 10, 11.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
Ở sáng kiến kinh nghiệm năm 2011 với đề tài “Hướng dẫn học sinh cách
thành lập ngôn ngữ véctơ và vận dụng các phép toán trên véctơ để giải toán
hình học chương I-Hình học 10” tôi mới chỉ ra cho học sinh cách tiếp cận với
kiến thức véctơ và thành lập ngôn ngữ véctơ. Bước đầu cho học viên làm quen
và bớt đi cảm giác bỡ ngỡ trong việc học toán về véctơ. Trong đề mới năm nay
(2019) với đề tài “Một số dạng toán về véc tơ trong hình học lớp 10” tôi cụ thể
hóa bằng cách dang toán cụ thể về véctơ để học viên được rèn luyện, qua đó
2
thuần thục trong kĩ năng nhận dạng và vận dụng các phép toán trên véctơ trong
quá trình giải các bài toán.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Các phép toán trên vectơ:
a, Phép cộng các véctơ:
Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: AB BC AC
Quy tắc hình bình hành: Chohình
hành ABCD ta luôn có:
bình
AB AD AC
Các
tính
chất:
Cho
ba
véctơ
a , b , c tuỳ ý ta có:
a + b = b + a ( Tính chất giao hoán)
(a + b ) +c = a +( b + c ) (Tính chất kết hợp)
a + 0 = 0 + a (Tính chất của véctơ-không)
b, Phép trừ các véctơ:
Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: AB AC CB
c, Phép nhân một véctơ
với một số:
Cho ba véctơ
a , b tuỳ ý, với mọi số h, k ta có
k( a + b ) =k a + k b
(h+k)
a = ha + ka
h(k a) = (hk)
1.
a
a = a
(-1) a = - a
a.b
a
b
.cos
a,b
d, Tích vô hướng của hai vectơ:
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.
Sở GD ĐT Thanh Hoá hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chuyên môn,
bồi dưỡng và hướng dẫn phương pháp dạy học. Nhờ đó mà giáo viên chúng tôi
có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy. Sự chỉ đạo sát sao của Sở giáo
dục, sự đôn đốc và tạo điều kiện của ban giám đốc trung tâm, tổ bộ môn cùng
với sự nhiệt tình của các thầy cô giáo là động lực để đổi mới phương pháp dạy
học có hiệu quả. Phong trào thao giảng dự giờ rút kinh nghiệm diễn ra sôi nổi,
đặc biệt là phong trào thi giáo viên giỏi cấp trường hàng năm cũng như thi giáo
viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ. Qua đó tôi cũng như các đồng nghiệp rút ra được
nhiều điều bổ ích về chuyên môn. Đời sống giáo viên ngày một được nâng cao,
được Đảng, nhà nước quan tâm đãi ngộ, chế độ lương đảm bảo cho cuộc sống.
Bên cạnh những thuận lợi nói trên thì công tác giảng dạy và học tập môn toán
của học viên trong trường còn vấp phải những khó khăn đáng kể. Đầu vào kiến
thức của các học viên quá yếu, tư tưởng xác định mục tiêu học tập của nhiều học
viên và phụ huynh còn nhiều lệch lạc. Tình hình đạo đức của học viên có biểu
hiện xuống cấp (ở một số không nhỏ) nhất là ở những học viên học yếu.
Với thực trạng như trên thì một tiết hình học của học viên trôi qua một
cách nặng nhọc và khó khăn. Các em thường có tâm lý “sợ” phải học hình. Qua
hình thức trắc nghiệm mức độ thích học đối với môn hình học thì có tới 80%
học viên không thích (thậm chí là không muốn) học môn hình học. Khi chưa
thực sự khắc sâu và hình thành đc kĩ năng về giải các bài toán vectơ, dẫn tới các
3
giờ học hình học uể oải, chất lượng không cao. Vì thế kết quả kiểm tra đánh giá
chưa được như mong muốn, tỉ lệ học sinh yếu kém còn cao, cụ thể là: Qua khảo
sát chất lượng lớp 10A-Trung tâm GDNN- GDTX Hà Trung (năm học 20172018) như sau:
Sự hứng thú học đối với bộ môn hình học:
Thích học
Bình thường
Không thích
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
10A 20
01
5
3
15
12
80
Kết quả bài kiểm tra hình học:
Yếu
TB
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
10A 20
9
45
9
%
45
Khá
SL
1
%
5
Giỏi
SL
1
%
5
Qua thực tế và kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng:
- Về sự hứng thú đối với môn hình học kết quả chủ yếu vẫn là mức bình
thường và không thích chiếm tỷ lệ cao, tỷ lệ học sinh thích học vô cùng ít.
- Về kết quả bài kiểm tra hình học thì còn ở mức độ yếu kém cao, số lượng
học sinh đạt điểm khá giỏi còn khá hạn chế.
2.3. Các giải pháp tổ chức thực hiện
2.3.1. Bài toán sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng và phép trừ
vectơ. Cách sử dụng quy tắc hình bình hành thông qua một số dạng bài tập
Dạng 1: Bài tập thay tổng đại số của nhiều vec tơ bởi một véc tơ
Ví dụ 1 : Đơn giản biểu thức
a) ON OM AD NP EK EP MD .
b) AD CP AF CD .
Trong bài tập dạng này giáo viên phải gợi cho học sinh về các phép toán sẽ sử
dụng nhằm mục đích thay đổi vị trí và nhóm ghép được các véctơ lại với nhau
tạo thành các biểu thức véctơ đơn giản hơn. Chẳng hạn như câu a, ta sẽ nhóm
theo cặp các véctơ ON và OM ; EK và EP ; AD và MD để sử dụng quy tắc
trừ hoặc quy tắc ba điểm.
Ta có thể giải ví dụ trên như
sau:
a, ON - OM + AD + NP + EK -EP - MD
ON - OM )+( AD - MD )+ NP +( EK - EP ) = MN + ( AD + DM ) + NP +
=(
PK
= MN + AM + NK
= AM + MN + NK = AK
b, AD + CP - AF - CD = ( AD - AF )+( CP - CD ) = FD + DP = FP
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Xác định điểm M, biết rằng hệ
thức véctơ sau thỏa mãn :
a) OM = OA OB OC , O .
b) OM = OA OB OC , O .
Trong ví dụ 2 này thì học sinh ngoài kỹ năng vận dụng phép cộng, trừ các
véctơ ra còn phải hình thành được kỹ năng định hướng và dựng véctơ để chỉ ra
điểm cần tìm. Muốn làm được như vậy, trước hết giáo viên phải định hướng
4
được cho học sinh là sẽ nhóm những véctơ nào lại với nhau và sử dụng những
phép toán nào trên véctơ để làm cơ sở lý luận cho việc giải bài toán. Ta có thể
giải ví dụ 2 như sau:
A
a, Dựng hình bình hành OADB ta có: OA OB OD
Dựng
hình bình hành ODMC ta lại được:
O
D
OD + OC = OM
B
Vậy điểm M là đỉnh của hình bình hành ODMC.
C
M
b, Tương tự câu a, ta có:
OM = OA OB OC OA - OM + CB = 0 MA + CB = 0
Vậy M là đỉnh của hình bình hành ACBM.
Dạng 2 : Bài tập biểu một vectơ thành tổng đại số của nhiều vectơ .
Ví dụ 1:
a) Biểu diễn vectơ AB dưới dạng tổng đại số của ba vectơ AC ,CD , DB .
b) Biểu diễn vectơ AB dưới dạng tổng đại số của ba vectơ AD , DC , CB .
Ở ví dụ này sẽ hướng học sinh tới việc phải đảo vị trí các điểm trong
véctơ để có phép toán mình mong muốn và thực hiện
được
kết quả cuối cùng. Ở
đây các em sẽ nhìn thấy điểm chung của hai véctơ CD và DB , đảo vị trí của điểm
C và điểm D cho nhau ta được quy tắc trừ , sau đó áp dụng quy tắc ba điểm ta sẽ
được kết quả của bài toán. Ta cũng có thể làm tương tự như vậy cho câu b. Dựa
trên cơ sở đó ta sẽ giải
trên như sau:
ví dụ
a, AB = AC +DB +CD = AC + DB - DC
b, AB = CB + AD + DC = DC - DA + CB
Ví dụ 2: Cho OAB . Gọi M,N lần lượt là trung điểm OA, OB . Tìm các số m,
n thích hợp trong các đẳng thức sau :
a) OM = m OA + n OB ;
b) MN
= m OA + n OB
c) AN = m OA + n OB ;
d) MB = m OA + n OB .
Nhận dạng ban đầu có thể nói đây là dạng bài tập phân tích một véctơ
thành tổng đại số của các véctơ không cùng phương. Yêu cầu của bài toán dạng
này là học sinh phải định hướng được là sẽ phải phân tích các véctơ ở vế trái
thành tổng đại số của các véctơ ở vế phải hoặc tối thiểu thì cũng phải là các
véctơ cùng phương với các véctơ ở vế phải đó. Từ đó ta có thể giải ví dụ 2 như
sau:
A
M
O
N
B
1
2
1
1
1
1
1
1
b, MN = AB = (OB OA) = OB OA ( m= ; n= )
2
2
2
2
2
2
1
1
c, AN = ON - OA = OB OA ( m=-1; n= )
2
2
a, Vì M là trung điểm của OA nên:
OM
= OA ( n = 0)
5
d, MB =
OB OM
=
OM
-
1
OA
2
( m=
1
; n=1)
2
MA MB MC 0
Ví dụ 3 : Cho ABC , M là điểm thỏa hệ thức vectơ
a, Xác định vị trí của điểm M .
b, Phân tích vectơ AM theo vectơ AB, AC
Tương tự như các ví dụ ở trên, khi học sinh đã nắm bắt được bản chất của
bài toán thì việc giải các ví dụ này dựa trên quy tắc ba điểm và quy tắc trừ là
hoàn toàn đơn giản.
A
M
a, Áp dụng quy tắc trừ: MA MB MC 0
BA + MC = 0
Vậy M là đỉnh của hình bình hành ABCM.
C
B
b, Vận dụng câu a, ta có: AM = BC = AC - AB
Hai dạng bài tập ở trên chúng ta thường chú ý ở dạng thứ nhất. Lý do khá
đơn giản đó là thay “nhiều” bằng “một”. Kết quả của vế này có vẻ đơn giản hơn
vế kia. Tuy thế cũng cần trao đổi một điều là, dạng bài tập thứ nhất sẽ là tiền đề
cần thiết cho việc nghiên cứu việc giải toán hình học bằng phương pháp tâm tỷ
cự của một hệ chất điểm, dạng bài tập thứ hai sẽ là cơ sở cho phép biểu diễn
véctơ và giải toán hình học bằng phương pháp tọa độ. Với kết cấu và yêu cầu
chung của chương trình hiện nay, việc giải toán bằng công cụ tọa độ nhấn mạnh
nhiều hơn. Đối với học sinh có năng khiếu Toán, giáo viên có thể phối hợp cả
hai loại trên giúp học sinh có thêm công cụ giải toán .
2.3.2. Bài toán xác định vị trí của một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ
cho trước
Phương
pháp: Sử dụng các khẳng định và các công thức sau:
*/ AB 0 A B
*/ Cho
điểm A và
cho
a . Có duy nhất điểm M sao cho AM a
*/ AB AC B C ; A1B AB A1 A
Ta biến
đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng OM a . Trong đó điểm O
và véc tơ a đã biết.
Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ a
khi đó điểm ngọn của véc tơ này chính là điểm M
Ví
dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho
GA GB GC GD 0
Giải
Ta có
GA
GB 2GI Trong đó I là trung điểm của AB B
Và GC GD 2GK
Trong đó K là trung điểmcủaCD
Vậy theo
giả
thiết ta có 2GI 2GK 0
I
hay GI GK 0
Do đó G là trung điểm của đoạn thẳng IK
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC gọi M là trung điểm của AB
và N là một điểm trên cạnh AC, sao cho NC = 2NA
C
K
G
A
D
6
a.
b.
Xác định điểm K sao cho: 3AB 2 AC 12AK 0(1)
Xác định điểm D sao cho: 3 AB 4 AC 12 KD 0(2)
Giải
a, Từ giả thiết ta có
AB 2 AM
AB 2 AM (3)
AB AM
AC 3 AN
AC 3 AN (4)
AC CN
Thay (3); (4) vào (1) ta được
1
6 AM 6 AN 12 AK 0 AK ( AM AN ) <=> K là trung điểm MN
2
1
(1)
1
b.Ta có KD AD AK AD ( AB AC ) (5)
4
6
Thay (5) vào (2) ta được
1
1
1
3 AB 4 AC 12 AD ( AB AC ) 0 AD ( AB AC )
4
6
2
<=>D là trung điểm của BC
Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung
điểm
của BC và N là trung điểm AM.
Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó AP x AC thì giá trị của x là:
2
1
1
A. x = 2
B. x
C. x
D. x
3
3
2
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm được xác đinh: 4 BM 3BC 0 . Khi
đó vectơ AM bằng:
1
2
3
1
1
1
AB
AC
AB
AC
AB
AC
AB AC
2
3
3
3
4
4
A.
B.
C.
D.
2.3.3. Bài toán chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Phương pháp chung:
*/ Với các biểu thức về tích vô hướng ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của
tích vô hướng, cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véc tơ để
biến đổi.
2
2
*/ Với các biểu thức về độ dài ta thường sử dụng AB AB
Ví dụ: Cho tam giác ABC, H là trực tâm,
A
M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
1
a.MH .MA BC 2
4
1
b.MH 2 MA2 AH 2 BC 2
2
Giải
a. Ta có
H
B
M
A1
C
7
MH .MA (CH CM ).( BA BM )
CH .BA CH .BM CM .BA CM .BM (1)
Gọi A là chân đường
vuông góc hạ từ Axuống
BC,ta được
1
CH .BM CA1.BM CA1.CM (2); CM .BA CM .BA1 (3)
Thay
(2);
(3)
vào (1) ta được
MH .MA CA1.CM CM .BA1 CM .BM (CA1 BA1 )CM CM .BM
BC BC BC 1
CB.CM CM .BM BC .
.
BC 2
2
2 2
4
b. Ta có:
AH 2 AH 2 ( MH MA) 2 MH 2 MA2 2MH .MA
1
1
MH 2 MA2 2. BC 2 MH 2 MA2 AH 2 BC 2
4
2
(đpcm)
Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho tam giác đều
ABC
cạnh a có I, J, K lần lượt là trung điểm BC, CA và
AB . Tính giá trị của | AI BJ CK |
3a 3
a 3
A. 0
B.
C.
D. 3a
2
2
Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a, có G là trọng tâm, khi đó: AG bằng.
2 3
3
D. a
3
3
2
2
2
2
Bài 3: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng: AB BC CD DA 2 AC.DB
A. a
B. a 3
C. a
2.3.4. Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc và hai đường thẳng
song song
Phương pháp: Chứng minh tính vuông góc ta dùng định lý
a 0
a b a.b 0 a b cos ( a; b) 0 b 0
cos
(
a
; b ) 0
Ngoài ra, ta còn sử dụng tính chấtcủa tích vô hướng: Nếu AB kCD và hai
đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có
E
góc A nhọn. Vẽ bên ngoài tam
giác ABC các tam giác vuông
D
cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi
M là trung điểm của BC. Chứng
A
minh AM vuông góc DE
Giải
Ta chứng minh AM .DE 0
ta có
B
M
C
8
2 AM .DE ( AB AC )( AE AD )
AB. AE AB. AD AC. AE AC . AD
AB. AE AC. AD
(vì AB=AD;AE=AC)
AB. AE.cos (900 A) AC. ADcos(900 A) 0
vậy AM DE AM DE
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD với các cạnh đáy là AB cà CD (các cạnh bên
không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm M nằm giữa hai
điểm A, D thì có một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB
Giải
O
A
M
D
B
N
C
Gọi O là giao
điểm
của
hai đường thẳng
và BC
AD
Chọn OA a; OB b; OD k a . Khi đó OC kb (vì AB//DC). Giả sử OM ma
ta xác định điểm N trênBC sao cho AN//CM
.Ta chứng minh rằng DN//BM
nb khi đó AN ON OA nb a
Vì N nằm trên BC
ON
nên
Mặt khác CM OM OC ma
kb .
Vì AN//CM nên hai véc tơ AN ; CM cùng phương
k
n 1
k
k
hayn vậy ON b . Từ đó DN ON OD b ka
k m
m
m
m
m k
m
Lại có BM OM OB ma b ( b ka ) DN
k m
k
Vậy BM ; DN cùng phương hay DN//BM
Bài tập làm thêm
Bài 1: Cho 2 điểm cố định A, B, I là trung điểm AB. Tập hợp các điểm M thoả:
MA MB MA MB là:
A. Đường tròn đường kính AB
B. Trung trực của AB.
C. Đường tròn tâm I, bán kính AB.
D. Nửa đường tròn đường kính AB
Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ba đương cao đồng quy
2.3.5. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng
9
Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng
hàng, sử dụng mệnh đề sau
AB; AC cùng phương
Ba điểm phân biệtA, B,
C thẳng hàng <=>
<=> AB k AC (1) ( hay AB k BC..., k R )
Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai cách
Cách 1: Biến đổi đẳng thức vectơ đã có về dạng (1) bằng các quy tắc biến đổi
quen thuộc
Cách 2: Tính các vectơ AB; AC theo hai vectơ không cùng phương đã chọn, rồi
rút ra (1)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và
K là điểm trên cạnh AC sao cho AK=1/3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng
hàng
A
K
u
B
I
C
v
M
Giải
Chọn u BA; v BC Ta phân tích BK ; BI theo u; v
1 1
1
2
1
BK BA AK u AC u ( BC BA) u (v u ) u v (1)
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
BI ( BA BM ) (u v) u v (2)
2
2
2
2
4
4
Từ (1) và (2) suy ra 2u v 3BK ; 2u v 4 BI .Vậy 3BK 4 BIhayBK BI
3
Do đó ba điểm B, I, K thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại
tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng
hàng.
Giải
A
H
B
G
O
C
E
A1
10
1
3
Chọn tổ hợp hai véc tơ OA; OB và OC . Khi đó: OG (OA OB OC ) (1)
Gọi E là trung điểm BC và A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta được BH//CA 1
cùng vuông góc với AC1; CH//BA1 cùng vuông góc với AB
=>A1BHC
là
hình
bình
hành
=>
A
,
E,
H
thẳng
hàng
=>
AH 2OE
1
Ta có OH OA AH OA 2OE OA OB OC (2)
1
Từ (1) và (2) suy ra OG OH O, G, H thẳng hàng
3
Bài tập làm thêm
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC
theo thứ tự tại M, N.Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm
P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.
2.3.6. Bài toán chứng minh hai điểm trùng nhau. Những bài toán liên quan
đến trọng tâm của một hệ điểm
Phương pháp
Muốn chứng minh hai điểm
A1 và A2 trùng nhau ta lựa chọn một trong hai cách
Cách 1: Chứng minh A1 A2 0
Cách 2: Chứng minh OA1 OA2 với O là điểm tuỳ ý
Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Giải:
B
M
N
A
C
Q
D
Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ
C
P
OA ON OP 3OG1
(1)
và O là một điểm tuỳ ý ta có
OC OM OQ 3OG 2
Mặt khác
1 1
1
OA ON OP OA (OB OC ) (OC OD ) OA OC (OB OD )(2)
2
2
2
1 1
1
OC OM OQ OC (OA OB ) (OA OD ) OC OA (OB OD)(3)
2
2
2
Từ (1)(2)(3) suy ra OG1 OG2 vậy G1 và G2 trùng nhau
11
Ví dụ 2: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các
cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có
cùng trọng tâm.
Giải
B
M
A
R
N
E
C
Q
P
D
Với điểm G bất kỳ ta có
1
1
1
1
1
GM GP GE (GA GB ) (GC GD) GE (GB GC ) (GD GE ) (GE GA)
2
2
2
2
2
GN GQ GR
Vậy GM GP GE 0 GN GQ GR 0
Suy ra trọng tâm hai tam giác MPE và NQR trùng nhau
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng
AB, BC, CA theo cùng tỉ số k 1. Chứng minh rằng ABC và MNP có cùng
trọng tâm.
Bài 2: Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các
cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có
cùng trọng tâm.
2.3.7. Bài toán chứng minh một số đẳng thức véctơ khác nhau để thể hiện
mối quan hệ giữa đối tượng hình học và đẳng thức véctơ. Cách chuyển đổi
từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ véctơ.
Muốn giải được bài toán hình học bằng công cụ vectơ thì các bài toán
chuyển đổi ngôn ngữ học sinh phải làm thành thạo. Giáo viên cần có chiến lược
giúp học sinh thực hiện thành thạo cách chuyển đổi cơ bản giữa hai ngôn ngữ
hình học và véctơ như sau:
Điểm A trùng với điểm B khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau thỏa mãn :
a) AB 0
b) OA OB , O .
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi một trong các điều kiện
sau thỏa mãn :
a) AM MB
b) AM MB = 0
12
c)
OM
=
1
( OA
2
+
OB
) O .
d) OM 2 =
1
( 2+ 2
2 OA OB
)-
1
2 , O .
4 AB
Hai điểm M và M’đối xứng với trung điểm I của AB khi và chỉ khi
MM ' = AM MB .
G là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi :
a) GA GB GC 0
b) 3OG OA OB OC
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi :
a) AB = k AC .
b) OC =k. OB +(1-k) OA , O , k R.
c)
OA =
OB OC
, O ,
1 k
k R, k 1.
d)
OC
= k. OA +l. OB , k+l=1, O .
Ví dụ 1 : Cho ABC. Chứng minh rằng :
a)G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0
b) I là tâm đường tròn nội
tiếp tan giác ABC thì :
a. IA +b. IB +c. IC = 0 .
E
A
A
G
C
D
B
M
F
B
(H1)
I
C
(H2)
Có khá nhiều cách để chứng minh các đẳng thức vectơ nêu ở ví dụ trên .
Ta có thể chọn cách chứng minh tương đối nhất quán là tạo ra các hình bình
hành, sử dụng các hệ thức trong tính chất của đường phân giác.
Giải:
a, Kẻ trung tuyến AD, G thuộc trung tuyến AD ( hình H1)
Lấy điểm F đối xứng với G qua D. Khi đó ta có BGCF là hình bình
hành nên:
GB + GC = GF
Hơn nữa G là trung điểm của đoạn thẳng AF nên: GA + GF = 0
Vậy GA GB GC = 0
Ngược lại, giả sử GA GB GC = 0 , ta vẽ hình bình hành BGCF có D
là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó: GB + GC = GF
Suy ra GA + GF = O nên G là trung điểm của đoạn thẳng AF, do đó 3 điểm
A, G, D thẳng hàng và GA = 2GD
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
13
b, Kẻ đường phân giác AM của tam giác ABC
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là đường phân giác
của tam giác ACM (hình H2)
BM CB a
AB AM a
AM CA b
AM
b
AB a
bc
1 AM =
AM b
a b
Theo tính chất đường phân giác ta có:
b
Hơn nữa ta suy ra MA = - MB
a
b
b
Ta có: CM = CA + AM = CA + MB = CA + (CB CM )
a
a
b
CA CB
a
b
a
Từ đó suy ra: CM =
=
+
CA
CB
b
a b
a b
1
a
Xét tam giác ACM có AI là đường phân giác
a b
CM
a b c
a b
CM
Mặt khác: AI AC CI = AC +
a b c
a b
a
b
= AC +
(
CA +
CB )
a b c a b
a b
b
c
AB
AC
=
+
a b c
a b c
b
c
( IB IA) +
( IC IA)
=
a b c
a b c
b c
b
c
) IA +
IB +
IC = 0
Suy ra được: (1
a b c
a b c
a b c
Hay: IA +b. IB +c. IC = 0 .
Tương tự như trên ta cũng có: CI
Vậy bài toán của ta đã được chứng minh.
Mức độ cao hơn có thể hướng dẫn học sinh chứng minh hệ thức vectơ
tổng quát (để tránh khái niệm định hướng của mặt phẳng chỉ cần lấy các điểm
M nằm ở miền trong của tam giác) từ đó áp dụng vào các trường hợp cụ thể với
các điểm M đặc biệt.
M mp( ABC ) S ( MBC ) .MA S MCA .MB S MAB .MC 0
Đặc điểm của những bài toán loại này là học sinh không thấy có giả thiết
véctơ trong bài toán, nhưng khi giải lại sử dụng công cụ vectơ. Do đó giáo viên
cần hướng dẫn học sinh chia làm bốn bước mà ta có thể gọi là giải thuật hóa:
Giải toán hình học bằng công cụ véc tơ
Bước 1: Chuyển giả thiết hình học sang giả thiết véctơ.
Bước 2: Chuyển kết luận hình học sang kết luận véctơ.
Bước 3: Thực hiện phép biến đổi trên các vectơ từ giả thiết véctơ đến
kết luận véctơ.
14
Bước 4: Kết luận véctơ đã được chứng minh cho ta kết luận hình học
tương ứng.
Hai bước 1 và 2 là hết sức quan trọng, không có được kĩ năng tốt ở giai
đoạn này không thể đạt được đến kết quả của bước 4.
Ví dụ 2: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là
trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Chứng minh MPR và NQS có cùng trọng tâm.
M
A
B
N
S
G
F
C
R
P
E
D
Q
Ta muốn dạy học sinh sử dụng công cụ vectơ để giải bài toán, trước hết
cần để cho họ thấy cái khó khăn của bài toán khi giải bằng phương pháp tổng
hợp, qua đó sẽ làm nổi bật vai trò của phương pháp vectơ khi phép giải hoàn
thiện.
Vị trí, đặc điểm của bài toán: Đây là một bài toán thuộc thể loại chuyển
đổi ngôn ngữ, ở bậc THCS học sinh đã biết khái niệm và tính chất hình học của
trọng tam tam giác. Bài toán có thể dùng làm cho các ví dụ khởi đầu cho việc
chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ. Từ đặc điểm hình học rút
biểu thức vectơ tương ứng.
Ta có thể thực hiện các phép giải của ví dụ 2 như sau:
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR
Bước 1: Chuyển giải thiết hình học sang giả thiết về biểu thức vectơ.
Thông qua các hoạt động nêu câu hỏi, giáo viên định hướng để học sinh
thiết lập được các hệ thức vectơ liên quan đến
Trọng tâm tam giác MPR: GM GP GR 0
1
2
1
2
Trung điểm đoạn thẳng: GM GA GB , GN GB GC ....
Bước 2: Chuyển kết luận hình học sang kết luận về biểu thức vectơ.
Chứng minh: GN GQ GS 0
Bước 3: Thực hiện phép biến đổi trên các vectơ
GM GP GR 0
=>
1
( GA GB )
2
1
+ 2 ( GC GD )+
1
( GE GF )
2
=
0
Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép toán cộng vectơ ta có:
1
1
GA GB ) +
(
( GC GD ) +
2
2
1
1
GB GC ) +
(
( GD GE ) +
2
2
1
( GE GF )
2
1
( GF GA )
2
=0
=0
15
A
A
A
GN GQ GS 0 (Sử dụng tính chất vectơ của trung điểm)
Bước 4: Kết luận hình học.
Từ GN GQ GS 0 suy ra G là trọng tâm NQS Hay hai tam giác MPR
và NQS có cùng trọng tâm.
Trở lại giả thiết và kết luận của bài toán. Các công cụ đã sử dụng sẽ cho ta
các hướng để phát triển bài toán.
+ Dựa vào tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, trừ véctơ. Tìm
ra các tam giác có cùng trọng tâm với tam giác MPR.
HĐ1. Giáo viên chỉ ra một vài các nhóm mẫu, ví dụ như:
1
GA GC GT
2
Thì yêu cầu người học phải nêu được tính chất hình học của điểm T.
HĐ 2: Từ biểu thức
1
( GA GC )
2
+
1
( GD GE )
2
+
1
( GB GF
2
) =
0
có thể chỉ ra tam giác nào có cùng trọng tâm với tam giác MPR (học sinh phát
biểu bằng lời thành thạo có nghĩa họ đã thành thạo về từ điển vectơ).
Một phương pháp giải được coi là tốt nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy
trước và sau đó khẳng định được rằng theo phương pháp đó sẽ đạt được đến
đích. Quá trình giải một bài toán là tìm kiếm một lối ra nhằm thoát khỏi khó
khăn vượt qua trở ngại đó là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn thì
dường như ta không thể đạt ngay. Các bài toán cơ bản nhưng chứa đựng đầy đủ
các hàm nghĩa mà ta có thể khai thác như: tính toán độ dài trung tuyến theo các
cạnh của một tam giác, độ dài đường phân giác trong, khoảng cách giữa các
điểm đặc biệt. Học viên có năng lực tu duy tốt khi học toán thường có thói quen
xem nhẹ hoặc coi thường việc học lý thuyết, thường hiểu không rành rọt và lơ
mơ định nghĩa những khái niệm mới. Đặc biệt, những vấn đề nào tuy có được
trình bày trong SGK, nhưng thiếu hoặc không có bài tập đi kèm thì chỉ hiểu hời
hợt hoặc quên ngay. Giáo viên nên tự mình đào sâu suy nghĩ soạn ra hệ thống
câu hỏi, bài tập riêng để củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh.
Khi dạy kiến thức vectơ ở mức độ cao hơn có thể khai thác tìm hiểu đào
sâu quanh các nội dung sau:
- Tính chất đặc trưng của vectơ 0
- Định lý cơ bản của đại số vectơ về phép biểu diễn vectơ trong mặt
phẳng và trong không gian.
- Nghệ thuật sử dụng vectơ đơn vị vào một số bài toán mà bề ngoài
không thể hiện rõ nội dung vectơ.
- Sử dụng vectơ vào việc xác định điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Qua quá trình rèn luyện cho học sinh khắc sâu và nhuần nhuyễn các dạng
toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tôi nhận thấy các tiết bài tập
về phần này thay đổi một cách rõ rệt:
16
- Giờ học sinh động lôi cuốn, kích thích tính khám phá học tập của học sinh.
- Học sinh không còn ngủ gật uể oải trong các giờ toán như thường gặp mà thấy
thời gian trôi thật nhanh.
- Cách làm bài của học sinh đã có sự lôgic giữa các bước theo đúng trình tự rõ
ràng.
- Trong quá trình dự giờ thăm lớp và công tác giảng dạy mẫu được các thầy cô
trong nhà trường đánh giá cao về độ tiếp cận kiến thức linh hoạt của học sinh.
- Bản thân cũng thấy hăng say hơn trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu và giảng
dạy.
- Chất lượng môn học: Tại Trung tâm GDNN - GDTX Hà Trung:
+ Qua khảo sát tại 3 lớp khối 10 (lớp 10B, 10C, 10D năm học 2018 -2019 ),
tổng số 106 HS, kết quả như sau :
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Sĩ
Lớp
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
B, C, D 106 18
17
38
35,8
30
28,3 20
18,9
3. Kết luận và kiến nghị.
3.1. Kết luận:
Xã hội ngày càng phát triển thì giáo viên càng phải đóng vai trò quan
trọng. Việc đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng luôn là việc làm
thường xuyên liên tục của người giáo viên nói chung và giáo viên môn toán nói
riêng. Sử dụng nhuần nhuyễn và sáng tạo phương pháp dạy học giúp học viên
tiếp thu kiến thức tốt.
Sự tiếp thu không chỉ là ghi nhớ máy móc các kiến thức toán học mà phải
được nâng cao khả năng tư duy và suy nghĩ của học viên. Tạo cho các em có
thái độ, động cơ học tập đúng đắn có những vốn kiến thức, kĩ năng thiết yếu
trong quá trình học môn toán. Phương pháp dạy học kiến thức về vectơ chỉ là
một phần trong chương trình toán THPT, tuy nhiên nó cũng giữ một vai trò
tương đối quan trọng. Để khắc sâu và tạo hứng thú cho học sinh khám phá
những kiến thức liên quan đến những phép toán của vectơ và cách vận dụng
chúng đòi hỏi người giáo viên phải chuẩn bị chu đáo và có sự sáng tạo cho phù
hợp với đối tượng học sinh. Và để truyền tải đến học sinh những điều đó, mỗi
giáo viên phải luôn trả lời những câu hỏi như:
- Tôi sẽ tạo ra những gì?
- Có những cách gì để giải quyết?
- Dùng cách giải quyết nào là tốt nhất, hiệu quả nhất?
Đó là then chốt để kích thích và nâng cao tinh thần học tập của học viên
để nâng cao chất lượng dạy học và hướng tới giáo dục toàn diện cho học viên.
3.2. Ý kiến đề xuất
- Trung tâm cần tham mưu với các cấp các ngành, mua sắm thêm đồ dùng trang
thiết bị mô hình thực tiễn của môn toán .
17
- Tổ chức nhiều hơn nữa các giờ dạy mẫu theo từng chuyên đề để nâng cao
phương pháp dạy học cho giáo viên mà mục đích cuối cùng là nâng cao chất
lượng học tập của học sinh .
Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ mang tính chủ quan của cá nhân tôi.
Mong nhận được sự động viên góp ý của các cấp lãnh đạo và đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Phạm Thị Quế
18
- Xem thêm -
.DOC 
18 
30 
84 
