Tài liệu Skkn một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) MỤC LỤC I. Phần mở đầu. 2 1. Lí do chọn đề tài 2 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu 2 5. Phương pháp nghiên cứu 2 II. Phần nội dung 3 1. Cơ sở lí luận 3 2. Thực trạng 3 3. Giải Pháp, biện pháp. 18 4. Kết quả 19 III. Phần kết luận, kiến nghị 19 1. Kết luận. 19 2. Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 19 21 1 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ (PHẦN ĐẠI SỐ) I. PHẦN MỞ ĐẦU: 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Môn toán là môn khoa học tự nhiên, đây là môn học khó dạy, khó học, mà toán cực trị là một dạng bài tập khó mà học sinh khi gặp thường e ngại, hay bỏ bài tập dạng này. Vì thế tôi viết đề tài này nhằm giúp học sinh hệ thống kiến thức và phương pháp giải bài toán cực trị, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải bài toán cực trị một cách nhanh chóng và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập. 2. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 và luyện cho học sinh thi vào lớp 10. Tôi nhận thấy cần phải viết đề tài phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số. Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số). 4. GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU: - Khuôn khổ nghiên cứu:Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số) chương trình THCS. -Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 7; 8; 9 trường THCS Lê Qúy Đôn. -Thời gian: năm học 2013-2014; 2014-2015. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Trao đổi với đồng nghiệp về phương pháp giải toán cực trị. - Nghiên cứu và trao đổi với học sinh giỏi toán khối 7; 8; 9. - Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh. Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 2 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) II. PHẦN NỘI DUNG 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN: Làm cho học sinh hiểu được giá trị lớn nhất của một biểu thức ( GTLN hay Max ), và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (GTNN hay Min). Những bài toán như vậy gọi là bài toán cực trị. Trong hình học hay trong đại số đều có những dạng toán cực trị. Vì nội dung về bài toán cực trị vô cùng phong phú và đa dạng nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến dạng toán cực trị (phần đại số). 2. THỰC TRẠNG : 2.1. Thuận lợi -khó khăn: -Thuận lợi: Toán cực trị rất đa dạng và phong phú ngay từ khi học lớp 6;7 đã có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn làm cho học sinh càng hứng thú khi giải bài tập. Do đó tôi khá tâm đắc với đề tài . -Khó khăn: Bài toán cực trị là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng và phong phú. Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó học sinh thường lúng túng chưa biết giải như thế nào. Trong sách giáo khoa hay sách bài tập cũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị... 2.2. Thành công - hạn chế : -Thành công: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng toán cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụng giải toán cực trị tốt hơn rất nhiều. Đó chính là sự thành công mà đề tài mang lại. -Hạn chế: Đề tài tôi chỉ bồi dưỡng học sinh giỏi chưa dạy đại trà cho học sinh yếu kém. 2.3 Mặt mạnh - mặt yếu: -Mặt mạnh: Đề tài tôi sắp xếp từ các dạng bài tập từ dể đến khó,từ đơn giản đến phức tạp, từ lớp dưới đến lớp trên một cách khoa học, giúp người đọc dễ hiểu. -Mặt yếu: Dùng từ trong đề tài hơi khô khan,hơn nữa vốn tin học của tôi còn hạn chế nên viết đề tài khá lâu. 2.4 Các nguyên nhân,các yếu tố . Với loại bài tập tìm GTNN ,GTLN tuy khó song một khi đã giải được học sinh thích thú, tích cực xây dựng bài học giải được nhiều bài tập hơn, từng bước giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn. -Giúp học sinh phát triển tư duy toán học,tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tốt môn toán cũng như các môn học khác. -Ngoài ra khi giải các dạng bài tập về cực trị học sinh dễ mắc sai lầm khi giải. Do đó tôi thấy sự cần thiết viết đề tài này. 2.5 Phân tích ,đánh giá các vấn đề: Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 3 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Qua đề tài này để giúp học sinh tìm ra được cách giải và có lời giải hoàn hảo về dạng toán cực trị. Học sinh giải các dạng toán từ dễ đến khó vì thế tôi sắp xếp cách giải các dạng toán từ lớp 7, lớp 8 sau đó đến lớp 9. Trứớc hết ta cần hiểu rõ toán cực trị là gì ? Ta hiểu khái niệm là: Cho biểu thức P( x); P( x; y;...) ta nói m là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức P( x); P( x; y;...) được kí hiệu maxP=m . Nếu thõa mãn hai điều kiện sau: + Với mọi x hay x; y để P( x); P( x; y...) được xác định thì P( x)  m; P( x; y;...)  m (m là hằng số) (1) + Tồn tại ( x );( x ; y ; ...) sao cho P( x)  m; P( x; y;...)  m (2) 2. Cho biểu thức Q( x); Q( x; y;...) ta nói n là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức Q( x); Q( x; y;...) được kí hiệu minQ=n . Nếu thõa mãn hai điều kiện sau : + Với mọi x hay x; y để Q( x); Q( x; y;...) được xác định thì Q( x)  n; Q( x; y;...)  n ( n là hằng số ) (3)1. + Tồn tại ( x );( x ; y ; ...) sao cho Q( x)  n; Q( x; y;...)  n (4) Lưu ý : Trong tiếng latinh : Minimus (min) là nhỏ nhất Maximus (Max) là lớn nhất. Nội dung của đề tài chia ra 5 phần chính như sau : Phần 1. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 7. Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Giáo viên cho học sinh nắm vững về khái niệm giá trị tuyệt đối. x khi x  0 {-x khi x<0 Ta có : x = Và lưu ý : x  0, x   x Thường thì nhữngbài toán dạng này đầu đề bài thường cho giá trị m, n là hằng số không đổi. Nên học sinh rất dễ tìm ra kết quả của bài toán cực trị. Ở lớp 7 các em làm quen dần với dạng toán cực trị, để sau này các em lên lớp trên tiếp cận nhanh với dạng toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Ví dụ 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau : a) A  2014  x  2015 b) B   2014 3  2x  2015 4 Giải Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 4 Sáng kiến kinh nghiệm a) Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Do 2014  x  0 với mọi x  2014  x  2015  2015 . Dấu "  " xảy ra khi 2014  x  0 hay x  2014 . Vậy GTNN của A là 2015 khi x  2014 . Với ví dụ b tôi sẽ hướng dẫn học sinh dùng kí hiệu toán học để trình bày bài làm. 3 2014 3 2014  0 B    2x    . Dấu "  " xảy ra khi 4 2015 4 2015 3 3 2x   0  x  . 4 8 Do 2 x  Vậy Bmin   2014 3  x . 2015 8 Ví dụ 2. Tìm GTLN của các biểu thức sau : a) C  3 x  2020  2015 b) D  2015 2014  x 2017 2015 Giải a) Do 3 x  2020  0  C  3 x  2020  2015  2015. Dấu "  " xảy ra khi x  2020  0  x  2020 . Vậy Cmax  2015  x  2020 . 2014 2015 2014 2015  0 D   x  . Dấu "  " xảy ra khi 2015 2017 2015 2017 2014 2014 x 0 x . 2015 2015 b) Do  x  Vậy Dmax  2015 2014  x . 2017 2015 * Bài tập tự rèn : Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức a) M  2020  3x  309 b) N  2 2 x  4  2015 3 Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức a) P   0,75  x  3,67 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 5 Sáng kiến kinh nghiệm b) Q  2015  Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) 5 2 x 27 Đối với biểu thức có 2 hay nhiều giá trị tuyệt đối thì giải bài toán cực trị như thế nào? Vấn đề đặt ra ở đâu? Học sinh cần nắm vững kiến thức về giá trị tuyệt đối, tôi xin trình bày dạng 2. Dạng 2. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CÓ HAI GIÁ TRI TUYỆT ĐỐI Để giải quyết vấn đề này, học sinh nắm vững tính chất. Với mọi x, y thuộc R thì: x  y  x y x  y  x y Dấu "  " xảy ra khi x. y  0 ( tức là x, y cùng dấu ) Ví dụ 3. Tìm GTNN của các biểu thức sau : a) E  x  2014  x  2015 b) F  x  2013 2014  x 2015 2015 Giải a) Ta có E  x  2014  x  2015  2014  x  x  2015  2014  x  x  2015  4029  x  2015  0 Vậy Emin  4029 khi   2014  x  0 b)  x  2015    x  2014  2015  x  2014 Tương tự như trên học sinh trình bày cách giải. Kết quả : 4027 Fmin =  2015 2013 2015 x 2014 2015 Ví dụ 4. Tìm GTLN của biểu thức sau : G  x  1008  x  1007 Giải Ta có G  x  1008  x  1007  x  1008  x  1007  2015  2015  x  1008 Vậy Gmax  2015 khi   x  1007 * Bài tập tự rèn : Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức a) A  x  2014  x  2015 b) B  2015 2 x  2 x  2014 Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 6 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) a) C  3x  2015  3x  2014 b) D  x  2015  x  2020 Phần 2. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 8. Sau khi học xong phần những hằng đẳng thức đáng nhớ, giáo viên cần cho học sinh rèn luyện giải các bài toán cực trị. Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THƯC DẠNG NGUYÊN 1. Tìm GTNN (min) của biểu thức 2 Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức về dạng T   f  x    k ( k là hằng số ) 2 2 Vì  f  x    0   f  x    k  k . Dấu ‘ = ’ xảy ra khi f  x   0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là k khi f  x   0 hay TMIN  k  f  x   0 Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A  4 x 2  16 x  1024 Giải Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số Ta có     2 A  4 x 2 16 x  1024  4( x 2  4 x  256)  4 x 2  4 x  4  252  4 x  2  1008 Vì  x  2   0  4  x  2   1008  1008 2 2 Vậy AMIN  1008  x  2 2.Tìm GTLN ( max ) của biểu thức 2 Phương pháp giải : Đưa biểu thức về dạng T    f  x    k 2 2 ( k là hằng số) 2 Vì  f  x    0    f  x    0    f  x    k  k . Dấu ‘ = ’ xảy ra khi f  x  0 . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là k khi f  x   0 hay TMAX  k  f  x   0 Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức B  3x 2  6 x  4 Giải Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số     Ta có B  3x 2  6 x  4  3( x 2  2 x  4 )  3 x 2  2 x  1  7  3 x 1  7 3 3 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 2 3 7 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) 7 3 Vì  x  1  0  3  x  1  0  3  x  1   2 2 2 7 3 7 3 Vậy BMAX   x  1 3.Tìm GTLN, GTNN của đa thức cao hơn bậc hai Phương pháp giải : Ta có thể đặt ẩn phụ, hoặc biến đổi đưa về dạng 1, 2. Ví dụ 3. Tìm GTNN của C   x  7   x  4   x  3 x Giải   C   x  7  x   x  4   x  3   x 2  7 x x 2  7 x  12  2 Đặt y  x 2  7 x thì C  y  y  12   y 2  12 y   y  6   36  36 x  1 7 1 2 BMAX   x  1 Vậy CMIN  36  y  6  x  7 x  6  0   3 x2  6 * Bài tập tự rèn : Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức a)  x  1  x  2   x  3  x  4  b)  2 x 1  x  2   x  3  2 x  1 Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức  x  1  x  2   x  3  x  4  2.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa nhiều biến Phương pháp giải : Tìm GTLN, GTNN lưu ý hằng đẳng thức 2 2  a  b  c  ,  a  b  c  ,... Ví dụ 4. Tìm x, y sao cho A  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x 12 y  2015 có GTNN Giải Ta có A  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x  12 y  2015    x 2  6 xy  9 y 2  4 x  12 y  4  x 2  10 x  25  1986 2 2   x  3 y   4  x  3 y   4   x  5   1986 2 2   x  3 y  2    x  5  1986  1986 Vậy AMIN x  5 x 5  0   1986     7  x  3y  2  0  y  3 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 8 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Ví dụ 5. Tìm GTLN của biểu thức B   x 2  2 xy  4 y 2  2 x  10 y  2010 Giải Ta có B   x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  1  3 y 2  12 y  12  2007        x 2  2 xy  y 2  2  x  y   1  3 y 2  4 y  4  2007       x  y   2  x  y   1  3  y  2   2007  2 2   2 2    x  y  1  3  y  2   2007  2007 y2 0 Vậy BMAX  2007    x  y 1  0 y 2   x  3 Dạng 2. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Thường để giải những bài toán dạng này, ta cần hướng dẫn cho học sinh biến đổi biểu thức mới có chứa biến biểu thức ta tìm GTLN ; GTNN. Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A  x3  y 3  xy biết x  y  1 Giải Ta sử dụng điều kiện để rút gọn biểu thức A A  x3  y 3  xy   x  y   x 2  xy  y 2   xy  x 2  xy  y 2  xy  x 2  y 2 Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối vớ x Thay y = 1 – x vào biểu thức A Ta có A  x   1  x  2 Vậy AMIN 2 2 1 1 1   2  x  x  1  2  x     2 2 2  2 1  x   1 2    2 y  1  2 Ví dụ 2. Cho 2 số x, y thõa mãn x  2 y  3 . Tìm GTNN của B  x 2  2 y 2 Giải Từ x  2 y  3  x  3  2 y thế vào B Ta có B   3  2 y   2 y 2  9  12 y  4 y 2  2 y 2 2  6 y 2  12 y  9  6  y  1  3  3 2 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 9 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Vậy GTNN của B là 3 khi y=1, x=1 Ví dụ 3. Cho các số x, y, z thõa mãn x  y  z  3 . Tìm GTLN của biểu thức C  xy  yz  xz Giải Từ x  y  z  3  z  3  x  y thay vào C Ta có C  xy  y  3  x  y   x  3  x  y   xy   x  y   3  x  y   xy  3  x  y    x  y     3x  2 2 y 3 3 2    y  1  3 2  4 Vậy GTLN của C là 3 khi x=1, y=1, z=1 Bài tập áp dụng : Bài 1. Cho x, y  R thõa mãn x  2 y  1 . Tìm GTLN của A  xy Bài 2. Cho x, y là hai số dương thõa mãn x + y = 100. Tìm GTNN của biểu 1 1 thức P  x  y Bài 3. Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức   E  2 x4  y 4  1 4 xy Bài 4. Cho a, b là hai số dương thõa mãn 3a + 5b = 12. Tìm GTLN của M = a.b Bài 5. Cho x, y là hai số dương có tích x. y  216 . Tìm GTNN của biểu thức F  6x  4 y Bài 6. Cho x, y, z là các số không âm thõa mãn đồng thức 3x + 2z = 51 và z + 5y = 21. Tìm GTLN của biểu thức G = x + y + z Dạng 3. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC *Chú ý : Đối với hai mệnh đề sau: 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 10 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)  Chứng minh mệnh đề trên. Ta sử dụng bất đẳng thức  a  b   4ab  * Nếu hai số a và b có tổng a + b = S ( hằng số ) thì từ  a  b   4ab ta có ab  k2 k2 do đó  ab  Max   a  b 4 4  * Nếu hai số a và b có tích ab  P ( hằng số ) thì a + b nhỏ nhất khi  a  b  nhỏ nhất do đó  a  b   MIN  4P  a  b 2 2 Ví dụ 1. Tìm GTLN của biểu thức Q    x  3x  21  x  3x  1 . Giải Để giải bài toán này ta thấy các biểu thức  x 2  3x  21 và x 2  3x  1 có tổng không đổi ( bằng 22 ) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi  x 2  3x  21  x 2  3x  1  x 2  3x  10  0   x  5  x  2   0  x  5  x  2  Khi đó Q  11.11  121 x  5 Vậy QMax  121    x  2 Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức P  5 x  180 (với x > 1) x 1 Giải Ta có P  5 x  180 180  5  x  1   5 ( do x > 1 ) x 1 x 1 Hai số 5  x  1 và 180 là hai số dương có tích không đổi (bằng 900) nên tổng x 1 của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 180  x 2  2 x  35  0 x 1  x  7(TM )   x  7   x  5  0    x  5( KTM ) 5  x  1  Khi đó PMin  65  x  7 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 11 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức R   x  4  x  9 x (với x > 0) Giải Biến đổi biểu thức R Ta có R   x  4  x  9 x  x 36  13 (do x > 0) x 36 Hai số x và là hai số dương có tích không đổi (bằng 36) nên tổng của chúng x nhỏ nhất khi và chỉ khi x 36  x6 x Do đó RMIN  25  x  6 * Bài tập áp dụng : Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức A  1  4 x  16 x 2 (với x > 0) 2x Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức B   x  100  x Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức C  x  2 (với x > 0) 9 3 x 1 x Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức D  x  100 2   Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức E  3 x 2  6 x  10 x2  2x  3 Trên đây là một số dạng toán tìm GTLN, GTNN thường gặp ở học sinh lớp 8. Phần 3. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 9 Việc giải bài toán tìm GTLN, GTNN là một bài toán khó cần nhiều phương pháp tùy thuộc vào dạng của bài toán, đặc trưng của đề bài, mà người giải phải năng động phối hợp nhịp nhàng các giải pháp để giải quyết bài toán. Sau đây là một số phương pháp dành cho học sinh lớp 9. Dạng 1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÓ SẴN ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC 1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Ta luôn có : a  a ; a  R x  a  a  x  a (với a > 0) Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 12 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)  x  a x  a  x  a ( với a > 0 ) 2. Bất đẳng thức cô -si ( cauchy ) cho các số không âm  Nếu a, b là các số không âm thì a b  ab . Dấu "  " khi a = b 2  Nếu a, b, c là các số không âm thì a bc  3 abc . Dấu "  " khi a = b = c 3 Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A  x  2 (với x > 1) x 1 Giải Vì x > 1 nên x – 1 và không âm A x 2 là 2 số dương. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số x 1 2 2  1  x 1   1 2 x 1 x 1 Dấu‘ =’ xảy ra khi x – 1 =  x  1 2 1 2 2 x 1 2  x  1  2  TM  x 1 Vậy AMIN  1  2 2  x  1  2 1 x Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức B  3x 2  ( với x > 0) Giải Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dương. 1 x Biến đổi biểu thức B  3x 2   3x 2  1 1 1 1 1 3   3 3 3x 2 . .  33 2x 2x 2x 2x 4 1 1 3 Dấu‘ =’ xảy ra khi 3x 2 = 2 x  x  6  x  3 6 Vậy BMIN  3. 3 3 1  x 3 4 6 Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức P  xy z  1  yz x  2  zx y  3 ( với xyz x  2, y  3, z  1 ) Giải Rút gọn P  z 1 x2   z x y 3 y Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho từng cặp số x  2 và 2; y  3 và 3 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk z  1 và 1; 13 Sáng kiến kinh nghiệm Ta có Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) 1   z  1 2 z  1 1 z 1 x  2 2 y  3 3 1  x  2 2  y  3 3 z 1 z z 2 2   x  2 x 2 2 2 2 3   y  3 y 2 3 2 3 1 2 x2 x 1 2 2 y 3 y 1 2 3 1  1 Vậy PMax  1     x  4, y  6, z  2 2 2 3 Ví dụ 4. Tìm GTNN của biểu thức Q  1  4 x  4 x 2  4 x 2  12 x  9 Giải Các biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức, do đó Q  1 2x 2   3  2x  2  1 2x  3  2x Mà 1  2 x  3  2 x  1  2 x  3  2 x  4 1  2 x  0 Dấu ‘ = ’ xảy ra khi  3  2x  0 Vậy QMIN  4   1 x 2 3 2 1 3  x 2 2 * Bài tập áp dụng : Bài 1. Cho biết x + y = 4. Tìm GTLN của biểu thức E  x  1  y  2 Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức F  x 1  x y2 y 1 1 Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức M  x 2  y 2  xy (với x, y > 0 và x  y  1 ) 1 2 Bài 4. Cho x, y >0 và x  y  1 . Tìm GTNN của biểu thức N  x 2  y 2  xy  4 xy x y z Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức H  x  1  y  1  z  1 Dạng 2. ĐỔI BIẾN VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐỐI VỚI BIẾN MỚI Đổi biến để tìm cực trị là một trong những cách giải hay để chúng ta tìm cực trị mới nhanh, dễ dàng cho học sinh tiếp cận, sau đây là một số ví dụ. 4 4 Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức A   x  1  y  1 Biết x; y  0 , x  y  10 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 14 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Giải 4 4 4 4 4 4 Để giải bài toán cần biến đổi biểu thức A   x  1  y  1  x  y  x y  1 Và ta có: x  y  10  x 2  y 2  10  2 xy  x 4  y 4  2 x 2 y 2  100  40 xy  4 x 2 y 2  x 4  y 4  100  40 xy  2 x 2 y 2 Đặt t = xy do đó A  t 4  2t 2  40t  101 * Tìm GTNN của A A  t 4  2t 2  40t  101   t 2  4   10  t  2   45  45 2 2 Vậy AMIN  45  t  2 khi đó xy = 2 và x  y  10 Nên x và y là nghiệm của phương trình x 2  10 x  2  0  x  10  2 10  2  y 2 2 * Tìm GTLN của A 2 x y xy   Ta có 0    2  2  10     2  5 2 0 t 3 Ta có A  t  t  2t  40   101 do  1 nên t 3   t 3  2t  40  5 2  1 125 và 2t  5 8 125  5  40  0 8 Còn t  0 nên A  101 Vậy AMax  x  0   y  10  101  t  0 tức là   x  10  y  0  Ví dụ 2. Với a>1, b>1. Tìm GTNN của biểu thức B  a2 b2  a 1 b 1 Giải Đặt a  1  x  0; b  1  y  0 Ta có :  x  1 B x 2  y  1  y 2  x2  2x  1 y 2  2 y  1  1  1    x    y   4 x y x  y  1 1 x y Với x>0, y>0 theo bất đẳng thức cô-si: x   2 ; y   2 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 15 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Nên B  8 .Vậy BMIN  8  x  y  1  a  b  2 Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức C  5  3x 1  x2 Giải Đặt 1  x  a; 1  x  b ta có a>0 ; b>0 Ta có : C  5  3x 1  x2  1 x  4  1 x 1  x. 1 x  2 2 Vậy CMIN  4  a  4b khi đó x  a 2  4b 2 a 2 .4b 2 2.2ab 2  4 ab ab ab 3 5 * Bài tập áp dụng : Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức D  x x  y y biết Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức E  x  y 1 x2  y2 với x > y > 0 x y 1 1 Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức F  x3  y 3 với x, y  0 Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức G  x3  3 với x  R x2 Dạng 3. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y  x2 x2  5x  7 (1) Giải Để giải bài toán này ta xét điều kiện xác định của y 2 5 3 3  Ta có : x 2  5 x  7   x     do đó TXĐ là x  R  2 4 4 Phương trình ( 1) biến đổi về dạng( có ẩn là x)  1  yx 2  5 xy  7 y  x 2   y  1 x 2  5 xy  7 y  0 (2) * Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2)  5 x  7  0  x  7 5 * Trường hợp 2 : Với y  1 khi đó phương trình (2) có ngiệm khi và chỉ khi y  1   V 0 y  1   2  25 y  28 y  y  1  0 y  1  28   0  y  3 Đến đây ta thấy y  0  x  0 vậy yMIN  0  x  0 Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 16 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) Ta có y  28 14 28 14  x vậy yMax   x  3 5 3 5 Giải bài toán này học sinh cần nắm vững cống thức ngiệm của phương trình bậc hai. Coi y là tham số, x là ẩn số. Nhận xét : Phương pháp giải trên gọi là phương pháp miền giá trị của  hàm số. Đoạn 0; 28  là tập giá trị của hàm số.  3  Ví dụ 2. Cho hàm số y  x2  x  1 (1). Tìm GTNN, GTLN của y x2  x  1 Giải 3 4 Vì x 2  x  1   x  1   2 3 nên TXĐ là x  R 4 Do đó y có nghiệm khi phương trình (1) theo ẩn x có nghiệm  1  yx 2  xy  y  x 2  x  1   y  1 x 2   y  1 x   y  1  0 (2) * Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2) có nghiệm x = 0 * Trường hợp 2 : Với y  1 khi đó phương trình (2) có ngiệm, điều kiện cần và đủ V 0 4  y 1 � 1  tức là  y  2 1 3 2 0  3 y 1  y 3 0 1 3 y 3 1 3 Với y   x  1 vậy yMIN   x  1 y  3  x  1 vậy yMax  3  x  1 Tóm lại tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị. * Bài tập áp dụng : x2  8x  7 Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x2  1 Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  20 x 2  10 x  3 3x 2  2 x  1 Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  2x 1 x x4 2 x2  4 2 x  3 Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x2  1 Phần 4. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ  Sai lầm khi không chú ý đến điều kiện Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A  x  x  1 Cách giải sai : Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 17 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) 2 1 3 3  Biến đổi biểu thức A  x  x  1   x     2 4 4  Vậy GTNN của A là 3 khi 4 x 1 0 2 x  1 (vô lí) 2 Cách giải đúng : Vì x  0 và x  0 nên A  x  x  1  0  0  1  1 với x  0 Vậy GTNN của A là 1 khi x = 0 Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức B  1 x  6 x  11 2 Lời giải sai : Phân thức B có tử không đổi nên B có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị nhỏ nhất. Ta có x 2  6 x  11  x 2  6 x  9  2   x  3  2  2 2 1 2 Do đó GTNN của x 2  6 x  11 là 2 khi x  3 . Vậy BMax   x  3 Phân tích sai lầm : Tuy đáp số bài toán không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định phân thức B có tử không đổi nên B đạt GTLN khi mẫu nhỏ nhất. Mà phải đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương. Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức C  1 x  25 2 Lời giải sai : Phân thức C có tử không đổi nên C có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị nhỏ nhất. Mà x 2  25  25 nên BMax   Điều này không đúng vì  thì B  1  x0 25 1 không phải là giá trị lớn nhất. Chẳng hạn x = 6 25 1 1  11 25  Những sai lầm trong phương pháp giải bài toán cực trị khi sử dụng bất đẳng thức cô-si Ví dụ 4. Cho a>0 ; b> 0 và x>0. Tìm GTLN của biểu thức D   x  a  x  b x Lời giải sai : Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số không âm, ta có : x  a  2 ax ( 1) x  b  2 bx ( 2) Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 18 Sáng kiến kinh nghiệm Do đó Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)  x  a  x  b x  2 ax.2 bx  4 ab x Vậy DMIN  4 ab  x  a  b Phân tích sai lầm : Ở ( 1), ( 2) dấu đẳng thức ra khi x = a và x = b như vậy bài toán đòi hỏi a = b nếu a  b thì không có được D  4 ab Lời giải đúng : Ta thực hiện phép tính và tính các hằng số D  x  a  x  b x  x 2  ax  bx  ab  ab    x     a  b x x   ab ab Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số x và . Ta có x   2 ab x Nên D  2 ab  a  b   a  b  Vậy DMIN   a  b  2 x 2 ab  x    x  x  ab  x  0 Khi giải bài toán cực trị thường mắc những sai sót, sai lầm không đáng có. Nên tôi xin nhấn mạnh một số sai lầm trên mong đồng nghiệp góp ý thêm. Ngoài ra để bổ sung việc dạy và học tốt vấn để giải toán cực trị thì tôi xin đưa ra phương pháp giải toán cực trị bằng máy tính bỏ túi. Phần 5. GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI Giáo viên nên sử dụng máy tính fx-570VN PLUS, máy tính này có nhiều chức năng mới. Ta có thể vận dụng để giải bài toán cực trị. Ví dụ 1. Cho hàm số A  1, 4 x  5,3 ( 1). Tìm GTNN, GTLN của biểu 3, 7 x 2  0, 2 x  3 thức A( làm tròn 4 chữ số thập phân) Giải Đặt y  1, 4 x  5,3 ( 2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có 3, 7 x 2  0, 2 x  3 ẩn x, còn y là tham số  2  3, 7 yx 2   0, 2 y  1, 4  x    3 y  5,3  0 ( 3) * Trường hợp 1 : Với y = 0 khi đó phương trình ( 3) có nghiệm x  53 14 * Trường hợp 2 : Với y  0 khi đó phương trình ( 3) có ngiệm, điều kiện cần và đủ V 0 tức là Ấn trên máy  0, 2 y  1, 4    0, 2 2 2  4.3, 7 y    3 y  5,3  0  4.3, 7. 3 y 2   2.0, 2.1, 4  4.3, 7.5,3  y  1, 42  0 (INEQ) Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 19 Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số) 0, 22  4.3, 7. 3    2.0, 2.1, 4  4.3, 7.5,3  1, 42  Kết quả 3,1112  y  0,0246 Vậy AMIN  3,1112 AMax  0, 0246 x2  2 Ví dụ 2. Cho hàm số B  2 (1). Tìm GTNN, GTLN của biểu thức B x x2 Giải Đặt y  x2  2 (2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có ẩn x, y x2  x  2 là tham số  2    y  1 x 2  yx   2 y  2   0 (3) * Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (3) có nghiệm x  0 * Trường hợp 2 : Với y  1 khi đó phương trình (3) có ngiệm, điều kiện cần và đủ V 0 tức là y 2  4.  y  1  2 y  2   0  7 y 2  6 y  8  0 Ấn trên máy (INEQ) 7  16  8  Kết quả 82 2 82 2  y 7 7 Vậy BMIN  BMax  82 2 7 82 2 7 * Bài tập áp dụng : Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức C  Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức D  x3 x  2x  3 2 2014, 2015 x 2  2 x  2016, 2017 2018, 2019 x 2 Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  2x 1 x x4 2 Tóm lại để giải được các bài tập trên, học sinh phải nắm chắc công thức nghiệm phương trình bậc hai và giải bất phương trình bậc hai bằng máy tính thành thạo. 3. Giải pháp, biện pháp : 3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp : Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk 20