Tài liệu Skkn hình học giải tích trong không gian với maple ( toán thpt

SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN 1. Họ và tên TRẦN VĂN TOÀN 2. 3. 4. 5. 6. Ngày tháng năm sinh: 10 – 09 – 1 972 Giới tính: Nam Địa chỉ: 22 tổ 91, khu phố 13, phường Hố Nai, Biên Hoà, Đồng Nai. Điện thoại: 0917907948 Chức vụ: Giáo viên 7. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO  Trình độ chuyên môn cao nhất: Thạc sĩ Toán.   Năm nhận bằng: 2007 Chuyên ngành đào tạo: Toán Giải tích III.    KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Phần mềm Toán học Số năm có kinh nghiệm: 14 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Cách giải đơn giản cho bài toán quen thuộc (2007 - 2008); Một số cách giải phương trình, bất phương trình (2008 - 2009); Vài dạng bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối (2009 - 2010); Bài tập Mặt cầu (2010 2011)  1 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Lương Thế Vinh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI Năm học 2011 2012 Tên đề tài: HÌNH HỌC GIẢI TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE Họ và tên tác giả: TRẦN VĂN TOÀN Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Tổ Toán Phương pháp dạy học bộ môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Tính mới  Có giải pháp hoàn toàn mới  Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 2. Hiệu quả  Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao    Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 3. Khả năng áp dụng  Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách Tốt  Đạt Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống Tốt  Khá Khá Đạt Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Tổ trưởng chuyên môn THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu) 2 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, với sự trợ giúp của các phần mềm toán học, người giáo viên đã giảm bớt công việc của mình trong việc soạn hệ thống bài tập. Hình học giải tích, nói chung và Hình giải tích trong không gian, nói riêng ngoài việc suy luận ta cần phải tính toán rất nhiều. Maple là phần mềm Toán hỗ trợ cho môn học này rất tốt. Đề tài này được viết cách nay tám năm, nhưng viết dưới dạng đơn giản. Cách đây ít tháng, tôi có tham gia vào diễn đàn Mapleprimes và học hỏi được rất nhiều từ diễn đàn này. Một bài toán lớn, với nhiều bước tính toán, sau khi được viết mã, thì kết quả của nó sẽ được hiển thị bằng một lần bấm Enter. Hơn thế nữa, ta có thể thay thế giả thiết của bài toán một cách tuỳ ý và dễ dàng nhận được đáp số một cách nhanh chóng. Tác giả của đề tài này đã dùng nó để soạn hệ thống bài tập cho cả cuốn sách và thu được kết quả thật tuyệt vời. Nhờ nó, mà đáp số của từng bài toán được soạn gọn hơn. Maple đã được nhiều tác giả viết sách, nhưng viết cho phần Hình học giải tích thì không thấy có sách nào giới thiệu. Ở một số bài toán, đề toán được trích nguyên văn bằng tiếng Anh mà tôi đặt câu hỏi tại diễn đàn Mapleprimes. Chắc chắn không thể có sai sót. Mong quý thầy cô và các em học sinh sửa chữa cho tôi. Đồng Nai, 2012 Trần Văn Toàn 3 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Truớc khi làm việc với hình giải tích trong không gian ta phải bắt đầu bằng lệnh with(geom3d); I. VÀI CÁCH NHẬP THÔNG DỤNG 1) Nhập một điểm. Để nhập điểm M(x; y; z), ta nhập như sau: point(M, x, y, z); 2) Nhập mặt phẳng Để nhập phương trình mặt phẳng P : Ax + By + Cz + D = 0, ta nhập : Plane(P, A*x + B*y + C*z + D = 0, [x, y, z]); 3) Nhập một đường thẳng . a) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tham số  x x0  ta1 ,   y y0  ta2 ,  z z  ta .  0 3 Khi nhập vào maple, ta làm như sau: line(d, [x0 + t*a1, y0 + t*a2 , z0 + t*a3], t ); b) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng chính tắc x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3  Giả sử d đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có véctơ chỉ phương là a (a1; a2 ; a3 ) , khi nhập vào maple, ta nhập như sau: line(d,[point(M, x0; y0; z0),[a1,a2,a3]],t); c) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tổng quát :  a1x  b1y  c1z  d1 0,   a2 x  b2 y  c2 z  d2 0. d là giao tuyến của hai mặt phẳng: P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 và P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 4 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE khi nhập vào maple, ta nhập như sau: [> plane(P1, [a1*x + b1*y + c1*z + d1 = 0 [x, y, z]): plane(P2, [a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, [x, y, z]): line(d,[P1, p2]; 4) Khai báo một vectơ khi biết toạ độ hai điểm ta dùng cú pháp sau: dsegment(AB,[A,B])  Để nhập vectơ u = (x; y; z), ta nhập : u:=([x, y, z]); 5) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ.   Để tính tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ u và v . Trước hết, ta phải mở gói [> with(linalg); Sau đó, ta dùng lệnh : crossprod(u,v); để tính tích có hướng và lệnh dotprod(u,v); để tính tích vô hướng.   Ví dụ : Cho các vectơ u = (1; 2; 3) và v = (3; 5; 7).     Tìm u . v và [ u , v ] [> u:=([1,2,3]),v:=([3,5,7]); u := [ 1, 2, 3 ] v := [ 3, 5, 7 ] [> with(linalg); [> crossprod(u,v); [ -1, 2, -1 ] [> dotprod(u,v); 34 6) Một số lệnh kiểm tra Tên lệnh Cú pháp AreCollinear AreCollinear(P, Q, R, cond) Chức năng Kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm P, Q, R. AreConcurrent AreConcurrent(l1, l2, l3, cond ) Kiểm tra tính đồng quy của ba đường thẳng l1, l2, l3. *AreCoplanar(A, B, C, D ) * Kiểm tra tính đồng phẳng của bốn điểm A, B, C, D. AreCoplanar * Kiểm tra tính đồng phẳng của hai đường thẳng l1 và l2. *AreCoplanar(l1, l2 ) 5 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE * AreParallel(l1, l2, cond) * Kiểm tra tính song song của hai đường thẳng l1, l2. * AreParallel(l1, p1, cond) * Kiểm tra tính song song của đường thẳng l1 và mặt phẳng P1. Kiểm tra tính song song của hai mặt * * AreParallel(p1, p2, cond) phẳng p1 và p2. AreParallel * ArePerpendicular(l1, l2, cond) * Kiểm tra tính vuông góc của hai đường thẳng l1, l2. * Kiểm tra tính vuông góc của đường thẳng l1 và mặt phẳng p1 ArePerpendicular *ArePerpendicular(l1, p1, cond) * Kiểm tra tính vuông góc của hai mặt phẳng p1 và p2 . * ArePerpendicular(p1, p2, cond) IsEquilateral IsEquilateral(ABC, cond ) Xét xem tam giác ABC có đều hay không ? IsOnObject(f, obj, cond) IsOnObject Kiểm tra xem điểm hoặc tập hợp điểm f có thuộc obj hay không ? Trong đó, obj có thể là đường thẳng, mặt phẳng hay mặt cầu. IsRightTriangle IsRightTriangle(ABC, cond ) Kiểm tra tính vuông góc của tam giác ABC. MẶT PHẲNG plane(p, [A, dseg1]) plane(p, [dseg1, dseg2]) Một mặt phẳng trong Maple có thể được khai báo với cú pháp và chức năng như sau: 6 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE Cú pháp plane(P, [A, v] ) Chức năng Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có pháp vectơ là v. plane(p, [A, dseg1]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có đoạn thẳng định hướng 1. plane(p, [dseg1, dseg2]) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và có hai đoạn thẳng định hướng dseg1 và dseg2 plane(P, [l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua hai đường thẳng l1 và l2. plane(P, [A, B, C] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. plane(P, [A, l1, l2] ) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với hai đường thẳng l1 và l2. Plane(P,a*x + b*y +c*z + d = 0,[x, y, z] Khai báo P là mặt phẳng có phương trình a*x + b*y +c*z + d = 0. Parallel(P, M, alpha) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mặt phẳng alpha. Parallel(P, M, l) Khai báo P là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng l. Parallel(P, l1, l2) Khai báo P là mặt phẳng chứa đường thẳng l1 và song song với đường thẳng l2. parallel(w, u, v) Parameters w - name of the object to be created u - point or a line v - line or plane; v can be a plane only if u is a point Description  If u is a point and v is a line (or plane), the parallel(w, u, v) function defines w as the line (or plane) that passes through u and is parallel to v.  If u is a line, and v is a line, the parallel(w, u, v) function defines w as the plane that contains u and is parallel to v. Một vài cách xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng: 1. Cho mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0. vector pháp tuyến của (P) xác định bằng lệnh > NormalVector(P); 7 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE 2. Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A, B. Thì vector pháp tuyến của (P) là vector chỉ phương của đường thẳng AB. Để xác định vector chỉ phương của đường thẳng có tên là AB, ta dùng lệnh > ParallelVector(AB); Ví du 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB và phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A và nhận vector AB làm vector pháp tuyến. > point(A,1,2,3); A > point(B,4,5,6); B > v:=dsegment(AB,[A,B]); v := AB > line(Delta,[A,v],t);  > Equation(Delta); [ 1 3 t, 23 t, 3 3 t] > plane(P,[A,v]); P > Equation(P,[x,y,z]);  18 3 x3 y3 z 0 Ví dụ 2. Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M0(1; – 2; 1) và vuông góc với đường thẳng  x  2y  z  3 0,   x  y  z  2 0. Chú ý rằng vector chỉ phương của đường thẳng là vector pháp tuyến của mặt phẳng. Lệnh [>ParallelVector(D); để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng D. [> plane(P1, x-2*y + z - 3 = 0, [x, y, z]); [> plane(P2, x + y – z + 2 = 0, [x, y, z]), point(M0,1,-2,1); P1, P2, M0 [> line(D, [P1, P2]); D [> v:=ParallelVector(D); v := [ 1, 2, 3 ] [> Equation(plane(P, [M0, v], [x, y, z])); 8 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE x 2 y 3 z 0 Ví dụ 3: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm A(3; – 1; 2), B(4; – 1; – 1) và C(2; 0; 2). [> point(A, 3, -1, 2), point(B, 4, -1, -1), point(C, 2, 0, 2); A, B, C [> plane(ABC,[A,B,C],[x,y,z]); ABC [> Equation(ABC);  8 3 x 3 y z 0 Ví dụ 4 :Viết phương trình của mặt phẳng đi qua đường thẳng  x 3t  1,   y 2t  3,  z  t  2   2 x  y  z  3 0, và song song với đường thẳng   x  2y  z  5 0. ĐS. 13x – 14y + 11z + 51 = 0. [> line(L1,[3*t+1,2*t+3,-t-2],t): plane(P1,2*x-y+z-3=0,[x,y,z]): plane(P2,x+2*y-z-5=0,[x,y,z]): line(L2,[P1,P2]): parallel(P,L1,L2): Equation(P); Ví dụ 5. Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M1(1; 2; – 3) và song song với các đường thẳng x  1 y 1 z  7 x  5 y  2 z  3   ,   2  3 3 3  2 1 ĐS. 9x + 11y + 5z – 16 = 0. [> line(D1, [point(A, 1, -1, 7), [2,-3,3]]); [> line(D2, [point(B, -5, 2, -3), [3,-2,-1]]); [> point(M1, 1, 2, -3); D1, D2, M1 [> plane(P, [M1, D1, D2]); P 9 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE [> Equation(P, x, y, z]);  16 9 x 11 y 5 z 0 Ví dụ 6: Chứng minh rằng bốn điểm A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) nằm trên cùng mặt phẳng. Prove that the four points A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; 2 ; 1), D(2; 1; 3) lies in the same plane. * Cách 1: [> point(A, 1, 2, -1), point(B, 0, 1, 5), point(C, -1, 2, 1), point(D, 2, 1, 3); A, B, C, D [> AreCoplanar(A,B,C,D); true * Cách 2: [> point(A,1,2,-1), point(B,0,1,5), point(C,-1,2,1), point(D,2,1,3); A, B, C, D [> plane(P,[A,B,C],[x,y,z]); P [> Equation(P); 202 x10 y2 z 0 [> IsOnObject(D,P); true Lệnh IsOnObject(D, P) ; để kiểm tra xem điểm P có nằm trên mặt phẳng P hay không ? Ví dụ 7 : Xác định các giá trị của l và m dể hai mặt phẳng có phương trình sau là song song nhau: mx + 3y – 2z – 1 = 0, 2x – 5y – lz = 0. [> plane(P1,m*x+3*y-2*z-1=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x-5*y-l*z=0,[x,y,z]); P1 , P2 [> AreParallel(P1,P2,'cond'); FAIL [> cond; &and (  3 l10 0,  4 m l 0,  5 m6 0) [> solve({-3*l-10 = 0,-4+m*l = 0,-5*m-6 = 0},{m,l}); -6 -10 { m , l } 5 3 Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai mặt phẳng 10 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE (P1): x+ y + z – 1 = 0 và (P2): 2x + 3y + 4z - 1 = 0 [> point(A, 1, 2, 3 ); A [> plane(P1, x+ y + z - 1 = 0, [x, y, z]); P1 [> plane(P2, 2*x + 3*y + 4*z - 1 = 0,[x,y,z]); P2 [> v1:= NormalVector(P1); v1 := [ 1, 1, 1 ] [> v2:= NormalVector(P2); v2 := [ 2, 3, 4 ] [> with(linalg); [> v:=crossprod(v1,v2); v := [ 1, -2, 1 ] [> plane(P,[A,v],[x,y,z]); P [> Equation(P); x2 y z 0 Ví dụ 9. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1, 2, 3), B(-2,5,6) và vuông góc với mặt phẳng alpha: x - y + z - 1 = 0. > restart; with(geom3d); > point(A, 1, 2, 3); A > point(B,-2,5,6); B > line(AB, [A,B],t); AB > a:=ParallelVector(AB); a := [ -3, 3, 3 ] > plane(alpha, x - y + z - 1 = 0,[x,y,z]);  11 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE > n:=NormalVector(alpha); n := [ 1, -1, 1 ] > with(linalg); > v:=crossprod(a,n); v := [ 6, 6, 0 ] > plane(P,[A,v],[x,y,z]); P > Equation(P);  186 x 6 y 0 ĐƯỜNG THẲNG Maple cho phép khai báo đường thẳng theo các cách sau: Cú pháp line(l, [A, u] ) Khai báo đường thẳng l đi qua hai điểm A và B. Chức năng  Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và có VTCP là u . line(l, [A, B] ) line(l, [A, p1] ) line(l, [a1+b1*t, a2+b2*t, a3+b3*t ], t)Khai báo l là giao tuyến của hai mặt phẳng p1 và p2. Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng p1. Khai báo đường thẳng l là đường thẳng có phương trình tham số x = a1+b1*t, y = a2+b2*t, z = a3+b3*t line(l, [p1, p2] ) parallel(l, A, d) Khai báo đường thẳng l đi qua điểm A song song với đường thẳng d. Ví dụ 1 : Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 1; 2) và B(4; – 1; –1). 12 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE [> point(A,3,-1,2),point(B,4,-1,-1),line(l,[A,B]); A, B, l [> Equation(l,t); [ 3 t, -1, 23 t ]  x 3  t,  Chú ý: Đáp số cho phương trình tham số của đường thẳng l là  y  1,  z 2  3t.  Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(5; – 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2x – 3y + z – 1 =0 [> point(M,5,-2,3),plane(P,2*x-3*y+z-1=0,[x,y,z]); M, P [> Equation(line(l, [M,P])); enter name of the independent variable > t; [ 5 2 t,  23 t, 3 t] Ví dụ 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng : 2 x  3y  4 z  5  0, � � 5x  4 y  4z  5  0 � [> plane(P1,2*x-3*y+4*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,5*x+4*y-4*z+5=0,[x,y,z]), line(D,[P1,P2]); P1, P2, D [> Equation(D); enter name of the independent variable > t;  5 4 t,  35 28 t, 23 t   23 23  [> FixedPoint(M,D); M [> coordinates(M);  5 , -35, 0   23 23  Chú ý: Lệnh FixedPoint(M,D); cho ta một điểm M cố định thuộc đường thẳng đã cho. Ví dụ 4 : Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC với A(2; – 3; 4), B(3; 2; 7) và C( – 2; 5; 5). [> with(geom3d); 13 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE [> triangle(ABC,[point(A,2,-3,4),point(B,3,2,7), point(C,-2,5,5)]), altitude(AH,A,ABC); ABC, AH [> Equation(AH,t); 29 89 61  2 t,  3 t, 4 t   19 19 19   KHOẢNG CÁCH Trong Maple cho phép tính các khoảng cách sau: Cú pháp distance(A, B) Chức năng Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B. distance(l1, l2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng l1 và l2. distance(p1, p2) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng p1 và p2. distance(A, p1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng p1. distance(A, l1) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng l1. distance(l1, p1) Tính khoảng cách giữa đường thẳng l1 và mặt phẳng p1. Ví dụ : Cho các điểm A(1; 2; 3), B( – 1; 4; -7); các mặt phẳng P : 2x + 3y – 9z + 1 = 0 và Q : 2x + 3y – 9z + 9 = 0 �x  3t  1, � và đường thẳng l : �y  4t  6, �z  t. � Tính : 1) Khoảng cách giữa hai điểm A và B. 2) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P. 3) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng l. 4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và l. 14 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE 5) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q. 6) Khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng Q. [> point(A,1,2,3), point(B,-1,4,-7),plane(P,2*x+3*y-9*z+1=0,[x,y,z]),line(l,[3*t-1,4*t+6,t],t),plane(Q,2*x+3*y-9*z+9=0,[x,y,z]); A, B, P, l, Q [> distance(A,B); 6 3 [> distance(A,P); 9 94 47 [> distance(B,l); 9 17 26 26 [> line(AB,[A,B]); AB [> Equation(AB,t); [ 12 t, 2 2 t, 310 t ] [> distance(AB,l); 27 74 74 [> distance(P,Q); 4 94 47 [> distance(AB, Q); Error,(in geom3d/distancelp)the line and plane intersect Lưu ý : Đường thẳng AB và mặt phẳng Q cắt nhau. HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG Vấn đề Cú pháp Chức năng projection(Q, A, l ) Tìm hình chiếu Q của điểm A lên đường thẳng l. projection(Q, A, P) Tìm hình chiếu Q của điểm A lên mặt phẳng P 15 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE HÌNH CHIẾU Tìm hình chiếu Q của đường thẳng l lên mặt phẳng P. Q - the name of the object to be created P - a geometric object ĐỐI XỨNG reflection(Q, P, c ) c - a point, a line, or a plane Ví dụ 1 : Tìm hình chiếu Q của điểm P(2; –1; 3) lên đường thẳng  x 3t,  D:  y  7  5t ,  z t.  [> with(geom3d); [> point(P,2,-1,3),line(D,[3*t,-7+5*t,2+2*t],t); P, D [> projection(Q,P,D); Q [> coordinates(Q); [ 3, -2, 4 ] Ví dụ 2 .Tìm hình chiếu H của điểm P(5; 2; –1) lên mặt phẳng Q: 2x – y + 3z + 23 = 0 [> with(geom3d); [> point(P,5,2,-1), plane(Q,2*x- y+3*z+23=0,[x,y,z]); P, Q [> projection(H,P,Q); H [> coordinates(H); [ 1, 4, -7 ] Ví dụ 3 . Tìm hình chiếu của điểm C(3; – 4; – 2) trên mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song x  5 y  6 z 3 x  2 y  3 z 3   ,   13 1  4 13 1  4 16 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE [> point(C,3,-4,-2),line(D1,[point(M,5,6,-3),[13,1,-4]]),line(D2,[point(N,2,3,-3),[13,1,-4]]),plane(P, [D1,D2],[x,y,z]); C, D1, D2, P [> Equation(P); 120 12 x12 y 36 z 0 [> projection(H,C,P); H [> coordinates(H); [ 2, -3, -5 ]  5x  4 y  2z  5 0, Ví dụ 4 . Tìm hình chiếu của đường thẳng   x  2z  2 0 lên mặt phẳng 2x – y + z – 1 = 0. Giải : [> plane(p1,5*x-4*y-2*z-5=0,[x,y,z]), plane(p2,x+2*z-2=0,[x,y,z]),line(l,[p1,p2]); p1, p2, l [> plane(Q,2*x-y+z-1=0,[x,y,z]); Q [> projection(R,l,Q); R [> Equation(R,t);  178 t, 3712 t,  7  4 t   12 24 24   Ví dụ 5 .Tìm điểm M1 đối xứng với điểm M2(8; – 9) qua đường thẳng đi qua hai điểm A(3; – 4) và B( – 1; – 2). Giải [> point(M2,8,-9),point(A,3,-4),point(B,-1,-2); M2, A, B [> line(AB,[A,B],[x,y]); AB [> Equation(AB);  102 x4 y 0 [> reflection(M1,M2,AB); 17 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE M1 [> coordinates(M1); [ 10, -5 ] Ví dụ 6 .Tìm điểm Q đối xứng với điểm P( 4; 1; 6) qua đường thẳng  x  y  4z 12 0,   2 x  y  2z  3 0. [> with(geom3d); [>point(P,4,1,6),plane(P1,x-y-4*z+12=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x+y-2*z+3=0,[x,y,z]); P, P1, P2 [> line(l,[P1,P2]); l [> reflection(Q,P,l); Q [> coordinates(Q); [ 2, -3, 2 ] Ví dụ 7. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P( 2; –5; 7) qua đường thẳng đi qua hai điểm M1( 5; 4; 6) và M2( – 2; – 17; – 8). [>point(P,2,-5,7),point(M1,5,4,6),point(M2,-2,-17,-8),line(M1M2,[M1,M2]); P, M1, M2, M1M2 [> reflection(Q,P,l); Q [> coordinates(Q); [ 8, -1, 3 ] Ví dụ 8. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(1; 3; –4) qua mặt phẳng 3x + y – 2z = 0. [> point(P,1,3,-4),plane(anpha,3*x+y-2*z=0,[x,y,z]); P, anpha [> reflection(Q,P,anpha); Q [> coordinates(Q); 18 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE [ -5, 1, 0 ] Ví dụ 9. Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(3; –4; –6) qua mặt phẳng đi qua các điểm M1( –6; 1; –5), M2(7; –2; –1), M3(10; –7; 1). [> point(P,3,-4,-6), point(M1,-6,1,-5), point(M2,7,-2,-1), point(M3,10,-7,1), plane(anpha, [M1, M2, M3], [x,y,z]); P, M1, M2, M3, anpha [> reflection(Q,P,anpha); Q [> coordinates(Q); [ 1, -2, 2 ] [> detail(anpha); name of the object: anpha form of the object: plane3d equation of the plane: -182+14*x-14*y-56*z = 0 Ví dụ10 . Tìm điểm Q đối xứng với điểm P(–3; 2 ; 5) qua mặt phẳng đi qua các đường thẳng  x  2y 3z 5 0, 3x  y 3z7 0,    x  2y  4z3 0; 5x  3y 2z5 0. [> point(P,-3,2,5), plane(P1,x-2*y+3*z-5=0, [x,y,z]), plane(P2,x-2*y-4*z+3=0, [x,y,z]), plane(P3,3*x+y+3*z+7=0, [x,y,z]), plane(P4, 5*x-3*y+2*z+5=0, [x,y,z]), line(L1, [P1, P2]), line(L2, [P3,P4]); P, P1, P2 , P3, P4 , L1, L2 [> plane(anpha,[L1,L2],[x,y,z]); anpha [> Equation(anpha); 9898 x 196 y 49 z 0 [> reflection(Q,P,anpha); Q [> coordinates(Q); [ 1, -6, 3 ] 19 SKKN: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MAPLE GÓC Cú pháp Chức năng FindAngle(l1, l2) Tìm góc của hai đường thẳng l1 và l2. FindAngle(p1, p2) Tìm góc của hai mặt phẳng p1 và p2. FindAngle(l1, p1) Tìm góc của đường thẳng l1 và mặt phẳng p1. FindAngle(A, T) Tìm số đo góc trong ở đỉnh A của tam giác T. > assume(a<>0, b<>0, c<>0); > point(P, [a, b, c]): > point(o, 0, 0, 0), point(X, 1, 0, 0), point(Y, 0, 1, 0), point(Z, 0, 0, 1): > plane(oxz, [o, X, Z]), plane(oxy, [o, X, Y]): > projection(M, P, oxz): projection(N,P,oxy): > plane(p,[o,M,N]); > Equation(p,[x,y,z]); > line(OP, [o,P]): > FindAngle(OP,p); Ví dụ 1 : Tìm góc tạo bởi hai đường thẳng: ( Find the acute angle between the lines: ) x  3 y2 z x  2 y  3 z 5   ,   . 1 1 1 1 2 2 [> with(geom3d); [> line(D1, [point(M,3,-2,0), [1,-1,sqrt(2)]]); D1 [> line(D2, [point(N,-2,3,-5),[1,1,sqrt(2)]]); D2 [> FindAngle(D1,D2); 20 (ĐS. 600)