Tài liệu Skkn giới hạn hàm số 2015 2016

z NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 SỞ GD&ĐT HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Môn: Toán Cấp học: GDTX NĂM HỌC 2015 - 2016 1/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 MỤC LỤC I.ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………………3 1.1.Lí do đề xuất sáng kiến kinh nghiệm……………………………………….3 1.2.Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm……………………………………….3 1.3.Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….3 1.4.Các phương pháp nghiên cứu……………………………………………….3 II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………………...4 2.1.Cơ sở lý luận của vấn đề…………………………………………………….4 2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu…………………………………………..6 2.3.Nội dung nghiên cứu………………………………………………………..6 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………………………34 2.5. Hạn chế……………………………………………………………………34 III.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ…………………………………………………..35 IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………36 2/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: Giới hạn là một trong những khái niệm cơ bản nhưng rất quan trọng của Giải tích . Những khái niệm và các phép toán về giới hạn và liên tục là cơ sở cho việc nghiên cứu các nội dung khác của Giải tích như đạo hàm, tích phân….Đặc biệt, chúng cho phép giải quyết nhiều bài toán của khoa học và thực tiễn, mà ta không thể giải quyết được nếu chỉ dùng các kiến thức của Đại số. Đó là những bài toán liên quan tới sự vô hạn. Sau khi học sinh học xong bài giới hạn của hàm số, học sinh có thể tính được giới hạn của các hàm số đơn giản tương tự các ví dụ trong sách giáo khoa. Song học sinh bị gặp khó khăn bởi việc nhớ các dạng toán và phương pháp giải, đôi khi có cả sự chồng chéo. Sách giáo khoa và một số sách tham khảo đưa ra cách giải các bài toán nhận dạng theo kết quả của phép toán, hay đôi khi cả về mặt trực quan nhưng điều đó vẫn gây nên sự khó khăn trong nhận dạng và đưa ra phương pháp giải đúng hướng. Do đó sau nhiều năm giảng dạy thấy được tầm quan trọng của các bài toán tính giới hạn hàm số, để vận dụng cho các khái niệm về sau; và thấy được sự khó khăn cũng như các sai lầm thường mắc phải của học sinh trong việc tìm giới hạn hàm số. Tôi đã nghiên cứu và đưa ra nhưng các phương pháp nhằm giúp nâng cao hiệu quả việc tính giới hạn hàm số. Vì vậy tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “ Nâng cao hiệu quả tính giới hạn hàm số trong đại số và giải tích 11 ” . 1.2.Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm: Xuất pháp từ yêu cầu của chương trình học cùng với thực tiễn giảng dạy, tôi mong muốn có thể giúp học sinh nâng cao được hiệu quả giải các bài toán tính giới hạn hàm số. Đồng thời giúp các em hình thành tư duy thuật toán và hệ thống hóa được kiến thức. 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Chương IV : Giới hạn – sách giáo khoa Đại số và giải tích 11. 1.4.Các phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu liên quan để xây dựng cơ sở lý luận của đề tài. - Phương pháp hồi cứu tài liệu: thu thập, phân tích các tư liệu khoa học đã có trong nước. - Phương pháp chuyên gia: tham khảo ý kiến đồng nghiệp về những vấn đề liên quan đến đề tài. - Phương pháp điều tra khảo sát: tổng hợp đánh giá kết quả học tập của học sinh. 3/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1.Cơ sở lý luận của vấn đề Có thể nói chương Giới hạn là một trong các chương khó của Giải tích ở trường THPT. Các khái niệm về giới hạn là mới và trừu tượng. Đồng thời cách tiếp cận các khái niệm toán học khác với trước đây làm cho học sinh khó có thể hiểu được mọi vấn đề một cách thấu đáo. Vì vậy trên tinh thần giảm tải của chương trình và lí do sư phạm, để tránh khó khăn cho học sinh nên chương trình yêu cầu trình bày các khái niệm giới hạn hàm số thông qua giới hạn dãy số. Ta cần nắm các kiến thức sau: I.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 1.Định nghĩa 1 Cho khoảng 𝐾 chứa điểm 𝑥0 và hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐾 hoặc 𝐾\{𝑥0 }. Ta nói hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có giới hạn là số 𝐿 khi 𝑥 dần tới 𝑥0 nếu với dãy số (𝑥 𝑛 ) bất kì, 𝑥 𝑛 ∈ 𝐾\{𝑥0 } và 𝑥 𝑛 → 𝑥0 , ta có 𝑓(𝑥 𝑛 ) → 𝐿. Kí hiệu : lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 hay 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) → 𝐿 khi 𝑥 → 𝑥0 . 2. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1 a) Giả sử lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 và lim 𝑔(𝑥) = 𝑀. Khi đó     𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 lim [ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐿 + 𝑀 𝑥→𝑥0 lim [ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 − 𝑀 𝑥→𝑥0 lim [ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝐿 . 𝑀 𝑥→𝑥0 lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) = 𝐿 𝑀 (nếu 𝑀 ≠ 0) b) Nều 𝑓(𝑥) ≥ 0 và lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, thì 𝑥→𝑥0 c) 𝐿 ≥ 0 và lim √𝑓(𝑥) = √ 𝐿 𝑥→𝑥0 ( Dấu của 𝑓(𝑥) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với 𝑥 ≠ 𝑥0 ) 3.Giới hạn một bên Định nghĩa 2  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑥0 , 𝑏). Số 𝐿 được gọi là giới hạn bên phải của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) khi 𝑥 → 𝑥0 nếu với dãy số (𝑥 𝑛 ) bất kì, 𝑥0 < 𝑥 𝑛 < 𝑏 và 𝑥 𝑛 → 𝑥0 , ta có 𝑓(𝑥 𝑛 ) → 𝐿. Kí hiệu : lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑥0  Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎, 𝑥0 ). 4/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Số 𝐿 được gọi là giới hạn bên trái của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) khi 𝑥 → 𝑥0 nếu với dãy số (𝑥 𝑛 ) bất kì, 𝑎 < 𝑥 𝑛 < 𝑥0 và 𝑥 𝑛 → 𝑥0 , ta có 𝑓(𝑥 𝑛 ) → 𝐿. Kí hiệu : lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑥0 Định lí 2 lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 khi và chỉ khi lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 II.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực 𝑥→𝑥0 Định nghĩa 3 a) Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎, +∞). Ta nói hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có giới hạn là số 𝐿 khi 𝑥 → +∞ nếu với dãy số (𝑥 𝑛 ) bất kì, 𝑥 𝑛 > 𝑎 và 𝑥 𝑛 → +∞, ta có 𝑓(𝑥 𝑛 ) → 𝐿. Kí hiệu : lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 hay 𝑓(𝑥) → 𝐿 khi 𝑥 → +∞. 𝑥→+∞ b) Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (−∞, 𝑎). Ta nói hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có giới hạn là số 𝐿 khi 𝑥 → −∞ nếu với dãy số (𝑥 𝑛 ) bất kì, 𝑥 𝑛 < 𝑎 và 𝑥 𝑛 → +∞, ta có 𝑓(𝑥 𝑛 ) → 𝐿. Kí hiệu : lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 hay 𝑓(𝑥) → 𝐿 khi 𝑥 → −∞. 𝑥→−∞ Chú ý Với 𝑐, 𝑘 là các hằng số và 𝑘 nguyên dương, ta luôn có : 𝑐 𝑐 lim 𝑐 = 𝑐; lim 𝑐 = 𝑐; lim 𝑘 = 0; lim 𝑘 = 0. 𝑥→+∞ 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→−∞ 𝑥 III.Giới hạn vô cực của hàm số Định nghĩa 4 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎; +∞). Ta nói hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có giới hạn là −∞ khi 𝑥 → +∞ nếu với dãy số (𝑥 𝑛 ) bất kì, 𝑥 𝑛 > 𝑎 và 𝑥 𝑛 → +∞, ta có 𝑓(𝑥 𝑛 ) → −∞. Kí hiệu : lim 𝑓(𝑥) = −∞ hay 𝑓(𝑥) → −∞ khi 𝑥 → +∞. 𝑥→+∞ Một vài giới hạn đặc biệt a) lim 𝑥 𝑘 = +∞ với 𝑘 nguyên dương . 𝑥→+∞ b) c) lim 𝑥 𝑘 = −∞ với 𝑘 là số lẻ 𝑥→−∞ lim 𝑥 𝑘 = +∞ với 𝑘 là số chẵn 𝑥→−∞ Và một vài quy tắc về giới hạn vô cực, tôi sẽ nêu trong phần sau. 2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Giới hạn là một nội dung khó trong phần giải tích của THPT như đã nêu trên và cùng với đối tượng học sinh là học sinh của trung tâm giáo dục thường xuyên nên khi học về phần này học sinh gặp những khó khăn sau: 5/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 1. Đa số các em có lực học trung bình, nên các em bị rỗng kiến thức, kĩ năng làm bài chưa tốt, kĩ năng tính toán yếu, tính toán bị phụ thuộc vào máy tính , thiếu máy tính ( thậm chí nhiều em chưa ý thức được phải mua máy tính) . Những điều đó gây khó khăn cho việc làm bài. 2. Khi học về phần Giới hạn, các khái niệm đưa ra được tiếp cận theo một cách khác so với Đại số, nên học sinh bị gặp khó khăn ngay từ khâu đầu tiên là khái niệm. Tiếp đó trong bài giới hạn hàm số các dạng bài tập trong các khái niệm được nêu ra theo kết quả của phép toán. Vì vậy khi một đề bài đưa ra học sinh chưa thể phán đoán được kết quả phép toán, nếu tốt hơn là chỉ nhớ được cách làm tương tự. Dẫn tới học sinh bị mông lung khi phân biệt các dạng toán, nên hay bị làm sai phương pháp, cùng với việc làm bài phải dựa theo các quy tắc nên kĩ năng trình bày bài yếu. 3. Số tiết phân phối cho nội dung này không nhiều, nên việc giải toán chưa đi sâu để giải quyết lỗi nêu trên. 2.3.Nội dung nghiên cứu Với thực trạng của việc học và giải bài toán “ tính giới hạn của hàm số” như đã nêu và những khó khăn mà học sinh gặp phải . Tôi đã nghiên cứu và đổi mới bài học trong các tiết bài tập nhằm “Nâng cao hiệu quả giải bài toán tìm giới hạn hàm số” với các đổi mới sau: 1. Đưa ra các dạng toán một cách rõ ràng, nêu rõ đặc điểm nhận dạng từ đó nêu phương pháp giải ứng với các trường hợp cụ thể. 2. Nhấn mạnh các lỗi thường gặp và cách biểu diễn đúng của phép toán. 3. Kết hợp sử dụng máy tính để phát triễn kĩ năng giải bài, cũng như đảm bảo độ chính xác của kết quả bài toán. 4. Đưa ra các ví dụ đặc trưng cơ bản, có phân loại mức độ và phù hợp với trình độ của học sinh. 5. Có sự so sánh giữa các ví dụ, để từ đó học sinh biết so sánh tổng hợp để có thể kết luận về dạng toán, phán đoán được kết quả và dần hình thành tư duy thuật giải, cùng khả năng tổng hợp kiến thức. Và đổi mới đầu tiên là tôi đưa ra cách phân chia dạng toán không phải theo ± các khái niệm giới hạn, mà chia bài toán theo giá trị 𝑥 → 𝑥0 , 𝑥 → 𝑥0 và 𝑥 → ±∞. Tôi chia bài toán “ Tìm giới hạn hàm số” thành ba dạng cơ bản như sau: DẠNG 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Dấu hiệu nhận dạng : 𝑥 → 𝑥0 , tôi gọi dạng này là giới hạn tại một điểm 𝑓(𝑥) 2. Dạng toán : có 2 dạng tính giới hạn lim 𝑓(𝑥) và lim 𝑥→𝑥0  Dạng 1.1 Giới hạn hàm đa thức : 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒙 𝟎 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) Cách giải : thay trực tiếp 𝑥 = 𝑥0 vào biểu thức 𝑓(𝑥) 6/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Ví dụ 1. Tính giới hạn lim( 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5) 𝑥→1 Giải lim( 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5) = 13 − 3. 12 + 5 = 3 𝑥→1 Lỗi hay gặp khi giải bài :thay 𝒙 = 𝟏 vẫn viết 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙 𝟎 Chẳng hạn lim( 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5) = lim (13 − 3. 12 + 5) = 3 cách viết sai 𝑥→1 𝑥→1 Ví dụ 2. Tính giới hạn lim ( 𝑥 2 + 4𝑥 − 1) 𝑥→−2 Giải lim ( 𝑥 2 + 4𝑥 − 1) = (−2)2 + 4. (−2) − 1 = −5 𝑥→−2 Lỗi hay gặp khi giải bài : thay “-2” ko đóng ngoặc lim ( 𝑥 2 + 4𝑥 − 1) = −22 + 4. −2 − 1 = −13 kết quả sai 𝑥→−2 Ví dụ 3. Tính giới hạn lim √𝑥 2 + 2𝑥 − 1 𝑥→−3 Giải lim √𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = √(−3)2 + 2. (−3) − 1 = √2 𝑥→−3 Lỗi hay gặp khi giải bài : -thay “-3” ko đóng ngoặc lim √𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = √−32 + 2. −3 − 1 = √−16 kết quả sai 𝑥→−3 Hay lim √𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = (−3)2 + 2. (−3) − 1 = 2 kết quả sai vì thiếu căn 𝑥→−3 bậc hai Như vậy khi tiếp cận với các ví dụ đầu tiên vần lưu ý nhấn mạnh cho học sinh những điều sau : - Khi thay giá trị 𝑥 = 𝑥0 vào biểu thức 𝑓(𝑥) ta bỏ từ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙 𝟎 - Thay 𝑥 = 𝑥0 < 0 phải mở ngoặc, đóng ngoặc nhất là thay vào hạng tử chứa lũy thừa để tránh gây ra sai dấu và nhầm lẫm giữa các phép toán cộng, trừ , nhân và chia …. - Học sinh tuy thay giá trị 𝑥0 vào đúng nhưng tính toán sai, vậy nên nhắc học sinh dùng máy tính ấn biểu thức 𝑓(𝑥) rồi ấn CALC 𝑥0 = Để đảm bảo kết quả đúng 𝒇(𝒙)  Dạng 1.2 Giới hạn hàm phân thức : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙 𝟎 𝒈(𝒙) Phương pháp : thay trực tiếp 𝑥 = 𝑥0 vào phân thức Ví dụ 4. Tính giới hạn lim 𝑥 2 −4 𝑥→4 𝑥+1 Giải lim 𝑥 2 −4 𝑥→4 𝑥+1 = 42 −4 4+1 = 12 5 7/36 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Trong dạng này ta có dạng toán đặc biệt sau: 𝟎  Dạng 1.2.1 Giới hạn hàm vô định ( ) 𝟎 Nếu 𝑓(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ) = 0 ta có dạng ( 0 0 ) ta gọi đó là dạng vô định Cách giải: Khử biểu thức (𝐱 − 𝐱 𝟎 ) trong phân thức 𝐟(𝐱) 𝐠(𝐱) bằng cách phân tích đa thức 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) thành nhân tử thông qua các phương pháp + áp dụng hằng đẳng thức + tách , nhóm các hạng tử + nhân liên hợp Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃) 𝒂 𝟑 − 𝒃 𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 ) 𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 ) Trường hợp 1: Nếu biểu thức 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙) là các đa thức Ví dụ 5. Tính giới hạn 𝑥 2 −9 lim 𝑥→3 𝑥−3 = lim (𝑥−3)(𝑥+3) 𝑥−3 𝑥→3 = lim(𝑥 + 3) = 3 + 3 = 6 𝑥→3 Ví dụ 6. Tính giới hạn lim 4−𝑥 2 𝑥→−2 𝑥+2 = lim 𝑥→−2 (2−𝑥)(2+𝑥) 𝑥+2 = lim (2 − 𝑥) = 4 𝑥→−2 Ví dụ 7. Tính giới hạn lim 𝑥−4 𝑥→4 𝑥 2 −16 = lim 𝑥−4 𝑥→1 (𝑥−4)(𝑥+4) = lim 1 𝑥→4 (𝑥+4) = 1 8 Ví dụ 8. Tính giới hạn lim 1−𝑥 2 𝑥→1 𝑥−1 = lim 𝑥→1 (1−𝑥)(1+𝑥) 𝑥−1 = lim −(1 + 𝑥) = −2 𝑥→1 Qua các ví dụ trên cần lưu ý cho học sinh các lỗi sau : + thiếu lim 𝑥→𝑥0 , hay không viết 𝑥 → 𝑥0 + áp dụng sai hằng đẳng thức + rút gọn biểu thức nhầm trên tử và dưới mẫu, thiếu dấu + thay số sai, tính toán sai 8/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Ta xét hàm số bậc 3, cho các học sinh khá hơn Ví dụ 9. Tính giới hạn lim 𝑥 3 +27 𝑥→−3 𝑥 2 −9 (𝑥+3)(𝑥 2 −3𝑥+9) = lim (𝑥−3)(𝑥+3) 𝑥→−3 𝑥 2 −3𝑥+9 = lim 𝑥→−3 𝑥−3 =− 9 2 Ví dụ 10. Tính giới hạn Lim 𝑥 3 −8 𝑥→2 4−2𝑥 = lim (𝑥−2)(𝑥 2 +2𝑥+4) −2(𝑥−2) 𝑥→2 = lim 𝑥 2 +2𝑥+4 −2 𝑥→2 =−6 Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử Bằng cách đặt nhân tử chung, tách nhóm các hạng tử… - Đặt nhân tử chung Ví dụ 11. Tính giới hạn lim 𝑥→1 𝑥 2 −𝑥 𝑥 2 −1 𝑥(𝑥−1) = lim (𝑥−1)(𝑥+1) = lim 𝑥 𝑥→1 (𝑥+1) 𝑥→1 = 1 2 - Tách nhóm để phân tích thành nhân tử, hoặc áp dụng tính chất của tam thức bậc hai học từ lớp 9 Biểu thức 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 có nghiệm 𝒙 𝟏 , 𝒙 𝟐 thì 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒙 𝟏 )(𝒙 − 𝒙 𝟐 ) + Nếu hệ số 𝒂 = 𝟏 Ví dụ 12. Tính giới hạn lim 𝑥 2 −5𝑥+4 𝑥−4 𝑥→4 Phân tích Bằng cách dùng máy tính hoặc nhẩm nghiệm, phương trình 𝒙= 𝟏 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 − 𝟏) 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 có 2 nghiệm [ 𝒙 = 𝟒 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 − 𝟒) 𝟐 Nên 𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟒) Giải lim 𝑥→4 𝑥 2 −5𝑥+4 𝑥−4 = lim (𝑥−1)(𝑥−4) 𝑥−4 𝑥→4 = lim(𝑥 − 1) = 3 𝑥→4 Tương tự với ví dụ sau: Ví dụ 13. Tính giới hạn lim 𝑥→−3 𝑥+3 𝑥 2 +2𝑥−3 Phân tích Bằng cách dùng máy tính hoặc nhẩm nghiệm, phương trình 𝒙= 𝟏 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 − 𝟏) 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 có 2 nghiệm [ 𝒙 = −𝟑 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 + 𝟑) 𝟐 Nên 𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟑) 9/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Giải lim 𝑥→−3 𝑥+3 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥+3 = lim 𝑥→−3 (𝑥−1)(𝑥+3) = lim 1 𝑥→−3 (𝑥−1) =− 1 4 + Nếu hệ số 𝒂 ≠ 𝟏, 𝒂 > 𝟎 Ví dụ 14. Tính giới hạn lim 𝑥→−2 2𝑥 2 −𝑥+10 𝑥+2 Phân tích Cách 1: Bằng cách dùng máy tính , phương trình 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 có 2 𝟓 𝟓 𝒙= 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 − ) 𝟐 𝟐 nghiệm [ 𝒙 = −𝟐 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 + 𝟐) Vậy 𝟓 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟐(𝒙 − )(𝒙 + 𝟐) 𝟐 Giải 5 2(𝑥 − )(𝑥 + 2) 2𝑥 2 − 𝑥 + 10 5 2 lim = lim = lim 2 (𝑥 − ) = −9 𝑥→−2 𝑥→−2 𝑥→−2 𝑥+2 𝑥+2 2 Cách 2: Bằng cách dùng máy tính , phương trình 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 có 2 𝟓 𝒙= ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟓 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝟐𝒙 − 𝟓) 𝟐 nghiệm [ 𝒙 = −𝟐 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 + 𝟐) 𝟐 Vậy 𝟐𝒙 − 𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝟐𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟐) cách phân tích này gọn hơn cách 1 Giải 2𝑥 2 − 𝑥 + 10 (2𝑥 − 5)(𝑥 + 2) lim = lim = lim (2𝑥 − 5) = −9 𝑥→−2 𝑥→−2 𝑥→−2 𝑥+2 𝑥+2 Ví dụ 15. Tính giới hạn lim 𝑥 2 −2𝑥−3 𝑥→1 2𝑥 2 +𝑥−1 Giải Ta có 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) Nên lim 𝑥 2 −2𝑥−3 𝑥→1 2𝑥 2 +𝑥−1 = lim (𝑥+1)(𝑥−3) 𝑥→1 (𝑥+1)(2𝑥−1) = lim (𝑥−3) 𝑥→1 (2𝑥−1) = −2 Nhưng nếu làm theo cách 2 sẽ có vài những hạn chế như : Ví dụ 16. Tính giới hạn lim 𝑥 2 −4𝑥−5 𝑥→5 2𝑥 2 +8𝑥−10 10/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Bằng cách dùng máy tính , phương trình 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 có 2 nghiệm 𝒙= 𝟏 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 − 𝟏) [ 𝒙 = −𝟓 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 + 𝟓) Học sinh sẽ phân tích 2𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟓) nên sai Cách đúng 2𝑥 2 + 8𝑥 − 10 = 2(𝑥 − 1)(𝑥 − 5) Giải 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 (𝑥 + 1)(𝑥 − 5) (𝑥 + 1) 3 lim 2 = lim = lim = 𝑥→5 2𝑥 + 8𝑥 − 10 𝑥→5 2(𝑥 − 1)(𝑥 − 5) 𝑥→5 2(𝑥 − 1) 4 Nhận xét: Như vậy cách 1 vẫn chiếm ưu thế hơn , nên dùng cách 1 cho mọi trường hợp, cách 2 chỉ nên áp dụng khi ước (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 1 và hệ số 𝑎 > 0 + Nếu hệ số 𝒂 ≠ 𝟏, 𝒂 < 𝟎 Ví dụ 17. Tính giới hạn lim 𝑥→−1 −𝑥 2 +3𝑥+4 𝑥 2 −1 Bằng cách dùng máy tính hoặc nhẩm nghiệm, phương trình −𝑥 2 + 3𝑥 + 4 = 𝟎 có 2 nghiệm [ Nên Giải 𝒙 = −𝟏 𝒙= 𝟒 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 + 𝟏) 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 − 𝟒) −𝑥 2 + 3𝑥 + 4 = −(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟒) −𝑥 2 + 3𝑥 + 4 −(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟒) −(𝑥 − 4) 5 lim = lim = lim = 𝑥→−1 𝑥→−1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑥→−1 𝑥2 − 1 𝑥−1 2 Lưu ý :Nhấn mạnh cho hs cách kiểm tra kết quả phép toán bằng máy tính vinacal 570 plus Với đa thức bậc cao như bậc 3 ta cũng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các phương pháp đã nêu trên. Ví dụ 18. Tính giới hạn lim 𝑥→−2 𝑥 3 +3𝑥 2 +2𝑥 𝑥 2 −𝑥−6 Ta phân tích 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥(𝑥 2 + 3𝑥 + 2) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) Giải Ta có 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥(𝑥 2 + 3𝑥 + 2) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 𝑥(𝑥 + 1) 2 lim = lim = lim =− 𝑥→−2 𝑥→−2 (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) 𝑥→−2 (𝑥 − 3) 𝑥2 − 𝑥 − 6 5 11/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 𝑥 3 +1 Ví dụ 19. Tính giới hạn lim 𝑥→−1 2𝑥 2 −𝑥−3 Ta phân tích 𝑥 3 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) Bằng cách dùng máy tính , phương trình 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 có 2 nghiệm 𝟑 𝒙= ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟑 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟐 [ 𝒙 = −𝟏 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 + 𝟏) Vậy 𝟐𝒙 𝟐 − 𝒙 − 𝟑 = (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏) Giải (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) (𝑥 2 − 𝑥 + 1) −3 𝑥3 + 1 lim = lim = lim = 𝑥→−1 2𝑥 2 − 𝑥 − 3 𝑥→−1 (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏) 𝑥→−1 (𝟐𝒙 − 𝟑) 5 Ví dụ 20. Tính giới hạn lim 𝑥 4 −16 𝑥→2 𝑥 2 −6𝑥+8 Giải Ta có 𝑥 4 − 16 = (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 + 4) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 4) 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 4) Nên lim 𝑥 4 −16 𝑥→2 𝑥 2 −6𝑥+8 = lim (𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥 2 +4) (𝑥−2)(𝑥−4) 𝑥→2 = lim (𝑥+2)(𝑥 2 +4) 𝑥→2 (𝑥−4) = −16  Với những hàm số bậc 3 chỉ có một hoặc hai nghiệm nguyên ta dùng phương pháp chia đa thức cho đa thức, hoặc dùng lược đồ Hooc-ne Ví dụ 21. Tính giới hạn lim 𝑥 3 −3𝑥 2 +2 𝑥→1 𝑥−1 Bằng cách dùng máy tính , phương trình 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐 = 𝟎 có 3 𝒙 = 𝟏 𝒕𝒂 𝒄ó 𝒃𝒊ể𝒖 𝒕𝒉ứ𝒄 (𝒙 − 𝟏) nghiệm [ 𝒙= 𝟏−√ 𝟑 𝒙= 𝟏+√ 𝟑  Ta chỉ quan tâm tới biểu thức (𝑥 − 1) vì chỉ cần khử biểu thức đó để làm 0 mất dạng ( ) , nên ta chia đa thức cho đa thức hoặc dùng lược đồ Hooc-ne 0 Ta phân tích được 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 2𝑥 − 2) Giải Ta có 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 2𝑥 − 2) Nên lim 𝑥→1 𝑥 3 −3𝑥 2 +2 𝑥−1 = lim 𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥 2 −2𝑥−2) 𝑥−1 12/36 = lim (𝑥 2 − 2𝑥 − 2) = − 3 𝑥→1 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Trường hợp 2: Nếu biểu thức 𝒇(𝒙), 𝒈(𝒙) chứa căn Cách 3: Nhân liên hợp Nếu biểu thức 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) có chứa căn thức, ta dùng phương pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp như sau: Biểu thức liên hợp √𝐴 + 𝐵 𝐴 + √𝐵 √𝐴 + √𝐵 Biểu thức √𝐴 − 𝐵 𝐴 − √𝐵 √𝐴 − √𝐵 Ví dụ 22. Tính giới hạn Kết quả 𝐴 − 𝐵2 𝐴2 − 𝐵 𝐴− 𝐵 √ 𝑥+3−3 𝑥−6 𝑥→6 lim Giải (√ 𝑥 + 3 − 3)(√ 𝑥 + 3 + 3) √𝑥+3−3 = lim 𝑥→6 𝑥→6 𝑥−6 (𝑥 − 6)(√ 𝑥 + 3 + 3) 𝑥+3−9 = lim 𝑥→6 (𝑥 − 6)(√ 𝑥 + 3 + 3) 𝑥−6 1 1 = lim = lim = 𝑥→6 (𝑥 − 6)(√ 𝑥 + 3 + 3) 𝑥→6 (√ 𝑥 + 3 + 3) 6 lim Ví dụ 23. Tính giới hạn √ 𝑥+1−2 𝑥→3 9−𝑥 2 lim Giải (√ 𝑥 + 1 − 2)(√ 𝑥 + 1 + 2) √𝑥+1−2 = lim 𝑥→3 𝑥→3 9 − 𝑥2 (9 − 𝑥 2 )(√ 𝑥 + 1 + 2) 𝑥+1−4 𝑥−3 = lim = lim 𝑥→3 (9 − 𝑥 2 )(√ 𝑥 + 1 + 2) 𝑥→3 (3 − 𝑥)(3 + 𝑥)(√ 𝑥 + 1 + 2) −1 1 = lim =− 𝑥→3 (3 + 𝑥)(√ 𝑥 + 1 + 2) 24 lim Ví dụ 24. Tính giới hạn lim 𝑥+2 𝑥→−2 √𝑥 2 +5−3 Giải lim 𝑥+2 = lim (𝑥+2)(√𝑥 2 +5+3) = 𝑥→−2 √𝑥 2 +5−3 𝑥→−2 (√𝑥 2 +5−3)(√𝑥 2 +5+3) 2 +5+3) (𝑥+2)(√𝑥 (𝑥+2)(√𝑥 2 +5+3) = lim 𝑥→−2 = lim 𝑥 2 +5−9 𝑥→−2 Ví dụ 25. Tính giới hạn lim (𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥+1 𝑥→−1 √𝑥 2 +3+2𝑥 Giải 13/36 = lim 𝑥→−2 √𝑥 2 +5+3 𝑥−2 =− 3 2 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 (𝑥 + 1)(√𝑥 2 + 3 − 2𝑥) lim = lim 𝑥→−1 √𝑥 2 + 3 + 2𝑥 𝑥→−1 𝑥 2 + 3 − 4𝑥 2 𝑥+1 (𝑥 + 1)(√𝑥 2 + 3 − 2𝑥) (𝑥 + 1)(√𝑥 2 + 3 − 2𝑥) = lim = lim 𝑥→−1 𝑥→−1 3 − 3𝑥 2 3(1 − 𝑥)(1 + 𝑥) (√𝑥 2 + 3 − 2𝑥) 2 = lim = 𝑥→−1 3(1 − 𝑥) 3 Ví dụ 26. Tính giới hạn lim 3−√5+𝑥 𝑥→4 1−√5−𝑥 Giải 3−√5+𝑥 (3−√5+𝑥)(3+√5+𝑥)(1+√5−𝑥) (9−(𝑥+5))(1+√5−𝑥) = lim = lim 1−√5−𝑥 (1−√5−𝑥)(1+√5−𝑥)(3+√5+𝑥) (1−(5−𝑥))(3+√5+𝑥) 𝑥→4 𝑥→4 𝑥→4 (4−𝑥)(1+√5−𝑥) −(1+√5−𝑥) 1 = lim = lim =− 3 𝑥→4 (−4+𝑥)(3+√5+𝑥) 𝑥→4 (3+√5+𝑥) lim Ví dụ 27. Tính giới hạn lim = √𝑥 2 +𝑥+1−√ 𝑥+1 𝑥 2 (𝑥−1) 𝑥→0 Giải lim √𝑥 2 +𝑥+1−√ 𝑥+1 𝑥 2 (𝑥−1) 𝑥→0 = lim 𝑥→0 = 𝑥→0 𝑥 2 (𝑥−1)(√𝑥 2 +𝑥+1+√ 𝑥+1) 1 𝑥2 𝑥 2 (𝑥−1)(√𝑥 2 +𝑥+1+√ 𝑥 2 +𝑥+1−(𝑥+1) lim 𝑥+1) = lim 𝑥→0 = (𝑥−1)(√𝑥 2 +𝑥+1+√ 𝑥+1) =− 1 2 Lưu ý :Cần nhấn mạnh cho học sinh khi nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp + nhân một biểu thức liên hợp khi chỉ có tử hoặc mẫu chứa căn + nhân hai biểu thức liên hợp khi cả tử và mẫu chứa căn ( để tránh cồng kềnh và nhầm lẫn có thể làm tắt ) Dạng 1.2.2 Giới hạn hàm phân thức : 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒙 𝟎 𝒈(𝒙) với { Cách giải :Ta áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương Quy tắc tìm giới hạn của thương lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑥0 f(x) g(x) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) Dấu của 𝑔(𝑥) lim 𝒙→𝒙 𝟎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)  0   𝐿>0 𝐿<0 𝒇(𝒙 𝟎 ) ≠ 𝟎 𝒈(𝒙 𝟎 ) = 𝟎      14/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Ví dụ 28. Tính giới hạn lim 4𝑥−2 𝑥→1 (𝑥−1)2 Giải Ta có lim (4𝑥 − 2) = 2 > 0 𝑥→1 lim (𝑥 − 1)2 = 0 và (𝑥 − 1)2 > 0 ∀𝑥 ≠ 1 𝑥→1 Vậy lim 4𝑥−2 𝑥→1 (𝑥−1)2 = +∞ Ví dụ 29. Tính giới hạn lim 𝑥+3 𝑥→−4 (𝑥+4)2 Giải Ta có lim (𝑥 + 3) = −1 < 0 𝑥→−4 lim (𝑥 + 4)2 = 0 và (𝑥 + 4)2 > 0 ∀𝑥 ≠ −4 𝑥→−4 Vậy lim 𝑥+3 𝑥→−4 (𝑥+4)2 = −∞ Lưu ý : học sinh khá bị lúng túng và khó nhớ dạng toán này, vì vậy với dạng này cần nhấn mạnh cho học sinh + tính chất không âm của lũy thừa bậc chẵn + học sinh bị sai cách trình bày khi thay vào phân thức, ghi mẫu bằng 0 + ghi kết quả phép tính bằng 0 luôn. Dạng 2: GIỚI HẠN MỘT BÊN Dạng 2.1 Xác định sự tồn tại giới hạn tại một điểm Dạng bài : Cho hàm số 𝑓(𝑥) = { 𝑓1 (𝑥) 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 𝑥0 𝑓2 (𝑥) 𝑛ế𝑢 𝑥 < 𝑥0 Tìm lim− 𝑓(𝑥), lim+ 𝑓(𝑥) và lim 𝑓(𝑥) ( nếu có ) 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 Cách giải : áp dụng định lí 2 Định lí 2 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 khi và chỉ khi 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 − + 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙→𝒙 𝟎 Để nâng cao hiệu quả giải bài toán tôi nêu cách giải dạng toán này theo các bước sau: Bước 1: nếu 𝑥 ≥ 𝑥0 ta có lim+ 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓1 (𝑥) = 𝐿1 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 Bước 2: nếu 𝑥 < 𝑥0 ta có lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓2 (𝑥) = 𝐿2 15/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Bước 3: kết luận + nếu 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) thì 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝟏 = 𝑳 𝟐 − + 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙→𝒙 𝟎 + nếu 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) ≠ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) thì không tồn tại 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) − + 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙→𝒙 𝟎 𝒙→𝒙 𝟎 Ví dụ 30. Cho hàm số 𝑓(𝑥) = { 3𝑥 + 4 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 2 𝑥 2 − 1 𝑛ế𝑢 𝑥 < 2 Tìm lim 𝑓(𝑥), lim+ 𝑓(𝑥) và lim 𝑓(𝑥) ( nếu có ) − 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 Giải Nếu 𝑥 ≥ 2 ta có lim+ 𝑓(𝑥) = lim (3𝑥 + 4) = 3.2 + 4 = 10 + 𝑥→2 𝑥→2 Nếu 𝑥 < 2 ta có lim− 𝑓(𝑥) = lim+(𝑥 2 − 1) = 22 − 1 = 3 𝑥→2 𝑥→2 Vì lim 𝑓(𝑥) ≠ lim+ 𝑓(𝑥) nên không tồn tại lim 𝑓(𝑥) − 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 Ví dụ 31 . Tìm 𝑎 để tồn tại lim 𝑓(𝑥) 𝑥→1 Với 𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥 + 1 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 1 𝑥 2 + 𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 1 Giải Nếu 𝑥 ≥ 1 ta có lim 𝑓(𝑥) = lim (𝑎𝑥 + 1) = 𝑎. 1 + 1 = 𝑎 + 1 + + 𝑥→1 𝑥→1 Nếu 𝑥 < 1 ta có lim 𝑓(𝑥) = lim (𝑥 2 + 𝑥) = 2 + + 𝑥→1 𝑥→1 Để tồn tại lim 𝑓(𝑥) khi và chỉ khi lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) − + 𝑥→1 𝑥→1 𝑥→1 ⇔ 𝑎+1=2⇔ 𝑎 =1 Lưu ý : học sinh bị khó hiểu hoặc chưa nhanh chóng phân biệt được lim− 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 và lim+ 𝑓(𝑥), nêu cần nhấn mạnh 𝑥 ≥ 𝑥0 , 𝑥 < 𝑥0 𝑥→𝑥0 Dạng 2.2 Giới hạn của hàm phân thức (dạng chính của giới hạn một bên) Dấu hiệu nhận dạng : lim + 𝑓(𝑥) 𝒙→𝒙 𝟎 𝑔(𝑥) 𝑣à lim − 𝑓(𝑥) 𝒙→𝒙 𝟎 𝑔(𝑥) Khi thay 𝑥 = 𝑥0 thì { ( kí hiệu chung là lim± 𝑓(𝑥0 ) ≠ 0 𝑔(𝑥0 ) = 0 16/36 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) ). NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Ta áp dụng Quy tắc tìm giới hạn của thương lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) lim Dấu của 𝑔(𝑥) 𝒙→𝒙 𝟎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)    𝐿<0   0   𝐿>0  Từ bảng trên tôi nêu cách giải với 3 bước Cách giải Bước 1: Tính lim± 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑥0 ± Bước 2: Tính lim± 𝑔(𝑥) = 0 và xét dấu biểu thức 𝑔(𝑥) khi 𝑥 → 𝑥0 𝑥→𝑥0 Bước 3: Kết luận + Nếu 𝐿 và 𝑔(𝑥) cùng dấu thì lim+ 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) + Nếu 𝐿 và 𝑔(𝑥) trái dấu thì lim+ 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) = +∞ = −∞ Để nâng cao hiệu quả giải bài toán tôi nhấn mạnh những điều sau: ± 1. Cần nhận dạng được khi gặp bài toán nhờ kí hiệu 𝑥 → 𝑥0 , tôi gọi dạng này là giới hạn một bên. 2. Nêu cách giải với các bước rõ ràng. 3. Giải thích tính chất một bên, để từ đó học sinh biết cách xét dấu 𝑔(𝑥) 4. Lưu ý cho học sinh các lỗi thường hay mắc như : thay số với giá trị 𝑥0 > 0, 𝑥0 < 0 , kí hiệu phép toán, thiếu bước , kết luận sai về phép toán… 5. Đưa ra các bài tập ứng với các trường hợp, phong phú đa dạng về bài tập. 6. Phân loại mức độ từ dễ đến khó, yêu cầu học sinh cần nắm được dạng cơ bản. 7. Động viên học sinh bài toán chỉ giải từ 3 - 4 dòng. Các bài toán dạng cơ bản Ví dụ 32. Tính giới hạn lim + 𝑥→1 2𝑥+3 𝑥−1 Giải Ta có lim (2𝑥 + 3) = 2.1 + 3 = 5 > 0 𝑥→1+ lim (𝑥 − 1) = 0 và khi 𝑥 → 1+ ⇒ 𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 − 1 > 0 𝑥→1+ 17/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Vậy 2𝑥+3 lim + 𝑥−1 𝑥→1 = +∞ Ví dụ 33. Tính giới hạn lim − 𝑥→−3 5𝑥+6 𝑥+3 Giải Ta có lim (5𝑥 + 6) = 5. (−3) + 6 = −9 < 0 𝑥→−3− lim (𝑥 + 3) = 0 và khi 𝑥 → −3− ⇒ 𝑥 < −3 ⟺ 𝑥 + 3 < 0 𝑥→−3− Vậy lim− 5𝑥+6 𝑥−3 𝑥→3 = +∞ Lưu ý: vì đối tương học sinh yếu nên tôi rất mạnh tính chất một bên để từ đó suy ra dấu của biểu thức dưới mẫu. Đồng thời với cách viết trên lời giải trở nên rõ ràng và dễ hiểu. Bài toán dạng nâng cao hơn: đòi hòi sự đảo dấu, nhân 2 vế phương trình với một số , lũy thừa …. Ví dụ 34. Tính giới hạn lim − 𝑥→2 𝑥 2 −7 2−𝑥 Giải lim (𝑥 2 − 7) = −3 < 0 Ta có 𝑥→2− lim−(2 − 𝑥) = 0 và khi 𝑥 → 2− ⇒ 𝑥 < 2 ⟺ 𝑥 − 2 < 0 ⟺ 2 − 𝑥 > 0 𝑥→2 Vậy 𝑥 2 −7 lim− 2−𝑥 𝑥→2 = −∞ Ví dụ 35. Tính giới hạn lim + 𝑥→−1 −5𝑥−4 2𝑥+2 Giải Ta có lim (−5𝑥 − 4) = −5(−1) − 4 = 1 > 0 𝑥→−1+ lim (2𝑥 + 2) = 0 𝑥→−1+ và khi 𝑥 → −1+ ⇒ 𝑥 > −1 ⟺ 𝑥 + 1 > 0 ⟺ 2𝑥 + 2 > 0 −5𝑥−4 Vậy lim + = +∞ 𝑥→−1 2𝑥+2 Ví dụ 36. Tính giới hạn lim + 𝑥→ 1 2 𝑥 2 −1 2𝑥−1 Giải Ta có 3 lim (𝑥 2 − 1) = − < 0 + 𝑥→ 1 2 4 18/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 lim (2𝑥 − 1) = 0 + 𝑥→ 1 2 Vậy lim + 𝑥→ 1 2 𝑥 2 −1 2𝑥−1 1+ khi 𝑥 → 2 1 ⇒ 𝑥 > ⟺ 2𝑥 − 1 > 0. 2 = −∞ Ví dụ 37. Tính giới hạn lim − 2𝑥 2 −5𝑥−3 𝑥→−3 (𝑥+3)2 Giải Ta có lim − (2𝑥 2 − 5𝑥 − 3) = 30 > 0 𝑥→−3 lim −(𝑥 + 3)2 = 0 và (𝑥 + 3)2 > 0 ∀𝑥 ≠ −3 𝑥→−3 Vậy lim − 𝑥→−3 2𝑥 2 −5𝑥−3 (𝑥+3)2 = +∞ DẠNG 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Dấu hiệu nhận dạng : căn cứ vào đặc điểm 𝒙 → +∞ , 𝒙 → −∞ Dạng 3.1. Giới hạn của hàm phân thức Gồm dạng : lim 𝑓(𝑥) 𝒙→+∞ 𝑔(𝑥) 𝑣à lim 𝑓(𝑥) 𝒙→−∞ 𝑔(𝑥) Phương pháp giải : Chia cả tử và mẫu của phân thức 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) cho lũy thừa cau nhất của 𝑥 (hay chia cho 𝑥 𝑘 với 𝑘 lớn nhất) sau đó áp dụng tính chất sau để tính giới hạn. Tính chất :Với 𝑐, 𝑘 là các hằng số và 𝑘 nguyên dương, ta luôn có : 𝐥𝐢𝐦 𝒄 = 𝒄; 𝐥𝐢𝐦 𝒙→±∞ 𝒄 𝒙→±∞ 𝒙 𝒌 = 𝟎 Để nâng cao hiệu quả giải bài toán tôi chia thành các bước sau: Bước 1: Quan sát phân thức 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) chứa 𝑥 𝑘 với 𝑘 lớn nhất là bao nhiêu ? Sau đó lấy từng hạng tử của biểu thức của tử và mẫu chia cho 𝑥 𝑘 với 𝑘 lớn nhất ( hay gọi là chia cho lũy thừa cao nhất của 𝑥). Bước 2: Rút gọn từng phân thức nhỏ, nhấn mạnh tối giản phân thức để áp tính chất 19/36 NÂNG CAO HIỆU QUẢ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 𝐥𝐢𝐦 𝒄 = 𝒄; 𝐥𝐢𝐦 𝒄 𝒙→±∞ 𝒙 𝒌 𝒙→±∞ = 𝟎 Bước 3 : tính chính xác kết quả. Dạng 3.1. 1Giới hạn của hàm phân thức với 𝒇(𝒙)và 𝒈(𝒙) là các đa thức 2𝑥 2 −4 Ví dụ 38 . Tính giới hạn lim 𝒙→+∞ 𝑥 2 −3𝑥 Giải 2𝑥 2 4 4 2− 2 2𝑥 − 4 2 − 𝑥2 𝑥 =2 lim 2 = lim 𝑥2 = lim 3 𝒙→+∞ 𝑥 − 3𝑥 𝒙→+∞ 𝑥 𝒙→+∞ 3𝑥 1− 2 − 𝑥2 𝑥 𝑥 2 Ví dụ 39. Tính giới hạn lim 2𝑥 3 −3𝑥+1 𝑥 2 −6𝑥 3 𝒙→−∞ Giải 2𝑥 3 3𝑥 1 3 1 2− 2+ 3 2𝑥 − 3𝑥 + 1 3 − 𝑥3 + 𝑥3 𝑥 𝑥 = −1 lim = lim 𝑥 2 = lim 1 𝒙→−∞ 𝒙→−∞ 𝒙→−∞ 𝑥 6𝑥 3 𝑥 2 − 6𝑥 3 3 −6 − 3 3 𝑥 𝑥 𝑥 3 Ví dụ 40 . Tính giới hạn lim 𝑥−1 𝒙→−∞ 2𝑥 2 −7𝑥−3 Giải 𝑥 1 1 1 − 𝑥−1 0 2 − 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥 lim = lim = lim = =0 7 3 𝒙→−∞ 2𝑥 2 − 7𝑥 − 3 𝒙→−∞ 2𝑥 2 𝒙→−∞ 7𝑥 3 2− − 2 2 2 − 𝑥2 − 𝑥2 𝑥 𝑥 𝑥 Ví dụ 41. Tính giới hạn lim 𝒙→+∞ −5𝑥 2 +4𝑥−1 𝑥 3 +3𝑥 Giải −5𝑥 2 4𝑥 1 5 4 1 − + 2− 3 −5𝑥 + 4𝑥 − 1 3 + 𝑥3 − 𝑥3 𝑥 𝑥 𝑥 = 0 lim = lim 𝑥 = lim 3 𝒙→+∞ 𝒙→+∞ 𝒙→+∞ −𝑥 3 3𝑥 𝑥 3 + 3𝑥 −1 −1 + 2 3 + 𝑥3 𝑥 𝑥 =0 2 Qua 4 ví dụ trên tôi nêu lên vấn đề cho học sinh: nhận xét kết quả của phép toán trong các trường hợp + trường hợp 1: bậc của tử bằng bậc của mẫu + trường hợp 2: bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu 20/36