Sáng tạo các bài toán mới từ bài toán gốc
PHO
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT
=====***=====
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI
TỪ BÀI TOÁN GỐC
GIÁO VIÊN: LÊ THANH HOÀ
THÁNG: 4/2008
Nàm hoüc 2007 - 2008
PHOØNG GIAÙO DUÏC THANH CHÖÔNG
Tröôøng THCS Toân Quang Phieät
HÖÔÙNG DAÃN HOÏC SINH KHAÙ GIOÛI TOAÙN
SAÙNG TAÏO CAÙC BAØI TOAÙN MÔÙI TÖØ BAØI
TOAÙN GOÁC
Ngöôøi vieát: Leâ Thanh Hoaø
Giaùo vieân toaùn tröôøng THCS Toân Quang Phieät
Naêm hoïc: 2007 - 2008
I. ÑAËT VAÁN ÑEÀ:
1.Lyù do choïn ñeà taøi
ÔÛ tröôøng THCS daïy toaùn laø daïy hoaït ñoäng toaùn hoïc cho hoïc sinh, trong ñoù giaûi toaùn laø ñaëc tröng chuû yeáu
cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc cuûa HS. Ñeå reøn luyeän kyõ naêng giaûi toaùn cho HS ngoaøi vieäc trang bò toát kieán thöùc cô
baûn cho HS giaùo vieân caàn höôùng daãn cho HS bieát caùch khai thaùc, môû roäng keát quaû caùc baøi toaùn cô baûn ñeå
HS suy nghó tìm toøi nhöõng keát quaû môùi sau moãi baøi toaùn .
Nhöng thaät tieác laø trong thöïc teá chuùng ta chöa laøm ñöôïc ñieàu ñoù moät caùch thöôøng xuyeân. Phaàn lôùn GV chuùng
ta chöa coù thoùi quen khai thaùc moät baøi toaùn thaønh moät chuoãi baøi toaùn lieân quan, trong giaûi toaùn chuùng ta chæ
döøng laïi ôû vieäc tìm ra keát quaû cuûa baøi toaùn. Ñieàu ñoù laøm cho HS khoù tìm ñöôïc moái lieân heä giöõa caùc kieán thöùc
ñaõ hoïc. Cho neân khi baét ñaàu giaûi moät baøi toaùn môùi HS khoâng bieát phaûi baét ñaàu töø ñaâu? caàn vaän duïng kieán
thöùc naøo? baøi toaùn coù lieân quan ñeán nhöõng baøi toaùn naøo ñaõ gaëp?
Hình hoïc khoâng ñôn thuaàn ""Chæ veõ hình laø ra"".Noù cuõng ñoøi hoûi caàn phaûi coù suy luaän, phaân tích, töôûng töôïng
caùi ñöùc tính caàn coù cuûa ngöôøi laøm toaùn. Caùc baïn ñaõ bao giôø töï hoûi, taïi sao nhieàu ngöôøi töï mình saùng taïo ra
ñöôïc raát nhieàu baøi toaùn trong caùc lónh vöïc nhö ñaïi soá, giaûi tích, soá hoïc, ....nhöng trong hình hoïc laïi quaù ít
nhö vaäy hay chöa? Neáu xem xeùt moät caùch nghieâm tuùc thì trong hình hoïc khoâng phaûi khoù tìm ra söï saùng taïo
maø vaán ñeà laø chuùng ta ñaõ daønh cho hình hoïc söï quan taâm ôû möùc naøo.
Trong quaù trình daïy toaùn vaø boài döôõng HS gioûi toaùn toâi thaáy raèng vieäc tìm toøi môû roäng caùc baøi toaùn quen
thuoäc thaønh caùc baøi toaùn môùi, tìm caùc caùch giaûi khaùc nhau cho 1 baøi toaùn ñeå töø ñoù khaùc saâu kieán thöùc cho
HS laø moät phöông phaùp khoa hoïc vaø hieäu quaû.Quùa trình naøy baét ñaàu töø caùc baøi toaùn ñôn giaûn ñeán baøi taäp
khoù laø laø böôùc ñi phuø hôïp ñeå reøn luyeän naêng löïc tö duy cho HS.
Moät ñieàu chaéc chaén raèng vieäc tìm toøi môû roäng baøi toaùn seõ kích thích höùng thuù hoïc taäp vaø oùc saùng taïo cuûa
HS .
Töø ñoù giuùp HS coù cô sôû khoa hoïc khi phaân tích , ñònh höôùng tìm lôøi giaûi cho aùc baøi toaùn khaùc. Hôn nöõa laø
cuûng coá cho HS loøng tin vaøo khaû naêng giaûi toaùn cuûa mình.
Chæ vaäy thoâi, chuùng ta ñaõ nhen nhoùm leân trong caùc em moät tình yeâu toaùn hoïc, moät moân hoïc ñöôïc coi laø quaù
khoâ khan.
Trong baøi vieát naøy toâi xin ñöa ra 2 baøi toaùn goácï ñeå giôùi thieäu caùch khai thaùc keát quaû vaø môû roâng baøi toaùn
nhö theá naøo
2.Muïc ñích nghieân cöùu
Ñaây laø moät ñeà taøi roäng vaø aån chöùa nhieàu thuù vò baát ngôø theå hieän roõ veû ñeïp cuûa moân hình hoïc, ñaëc
bieät noù giuùp phaùt trieån khaû naêng tö duy saùng taïo cuûa hoïc sinh, neáu vaán ñeà naøy ñöôïc quan taâm thöôøng
xuyeân trong daïy hoïc cuûa caùc thaày coâ giaùo thì chaéc chaén ñeà taøi seõ laø kinh nghieäm boå ích trong vieäc ñaøo
taïo vaø boài döôõng ñoäi nguõ hoïc sinh khaù gioûi toaùn. Vì trong thöïc teá daïy hoïc toaùn raát nhieàu baøi toaùn maø
trong khi giaûi ta coù theå tìm ñöôïc nhieàu yù töôûng hay ñoäc ñaùo ñeå töø ñoù coù theå saùng taïo neân chuoãi baøi
taäp lieân quan vôùi nhau, coù theå toång quaùt hoaù baøi toaùn...
nhöng trong khuoân khoå cuûa baøi vieát naøy toâi chæ xin pheùp ñöa ra 2 baøi toaùn maãu ñeå minh hoaï cho 1 yù
töôûng daïy hoïc toaùn ""Daïy toaùn laø daïy cho hoïc sinh bieát caùch saùng taïo toaùn""
3.Ñoái töôïng vaø phaïm vi aùp dung:
Ñeà taøi naøy ñöôïc vieát trong quaù trình daïy vaø hoïc cuûa toâi taïi tröôøng THCS Toân Quang Phieät laø 1 tröôøng
troïng ñieåm cuûa huyeän neân coù nhieàu hoïc sinh coù khaû naêng tieáp thu hoïc taäp moân toaùn, hoïc sinh raát
ham hoïc vaø tìm toøi caùi môùi. Vieäc theå hieän ñeà taøi khaù thuaän lôïi.
BAØI TOAÙN XUAÁT PHAÙT 1:( ñeà thi HSG lôùp 9 tænh ngheä an naêm 2008)
Cho ñöôøng troøn O ñöôøng kính AB vaø daây cung CD( C,D khoâng truøng vôùi A,B). Goïi M laø giao ñieåm caùc tieáp tuyeán
cuûa ñöôøng troøn taïi C,D ; N laø giao ñieåm caùc daây cung AC vaø BD. Ñöôøng thaúng qua N vaø vuoâng goùc NO caét AD,BC
taïi E,F. Chöùng minh:
a. MN vuoâng goùc vôùi AB
N'
b. NE = NF
Lôøi giaûi :
a.Goïi N' laø giao ñieåm cuûa AD vaø BC, thì N'N vuoâng goùc AB
ta chöùng minh M thuoäc N'N. Laáy M' laø trung ñieåm N'N ta deã
chöùng minh M'D vuoâng goùc DO vaø M'C vuoâng goùc CO => M' laø B'
M
giao ñieåm 2 tieáp tuyeán keû töø D,C => M' truøng M => MN vuoâng
C
goùc AB
D
b. CAÙCH 1.(hình 1)
F
N
Goïi B' laø ñieåm ñoái xöùng cuûa b qua N thì B'A // NO => B'A
vuoâng goùc NE => B'E vuoâng goùc AN => B'E // BF .Töø ñaây deã
chöùng minh B'NE = BNF (g.c.g) => NE = NF
E
CAÙCH 2.(hình 2)
A
B
Keû OH vuoâng goùc AD ; OI vuoâng goùc BC
O
Töø söï ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc:
DAN vaø CBN
Laïi coù caùc töù giaùc ONHE ; ONFI noäi tieáp ta suy ra:
EOF caân taïi O
goùcNHO = goùcNEO = goùcNIO = goùcNFO =>
=> NE = NF
Hình 1
Nhaän xeùt:
Sau khi giaûi baøi toaùn toâi thaáy raèng baøi toaùn coù theå ñöôïc xaây
döïng thaønh caùc baøi toaùn khaùc ôû möùc ñoä khoù hôn.
N'
Sau ñaây toâi xin neâu 1 soá suy nghó ñoù:
HÖÔÙNG KHAI THAÙC THÖÙ NHAÁT (saùng taïo ra caùc baøi
toaùn môùi vôùi giaû thieát roäng hôn )
1.TÌNH HUOÁNG1:Tröôùc khi ñöa ra baøi toaùn môùi GV caàn ñöa ra
caâu hoûi gôïi môû ñeå HS suy nghó vaø phaùt hieän vaán ñeà, ví duï nhö:
?. Haõy xaùc ñònh xem GT naøo cuûa baøi toaùn laø giaû thieát HEÏP, coù
theå thay baèng moät GT ROÄNG hôn nhö theá naøo?
? vôùi GT môùi keát quaû baøi toaùn seõ nhö theá naøo?
Baøi 1.1:
Cho ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB. Caùc daây cung AC,BD caét
nhau taïi N. Qua N veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc NO, ñöôøng
úthaúng naøy caét caùc ñöôøng thaúng AD,BC laàn löôït taïi E, F.
Chöùng minh NE = NF
N'
Lôøi giaûi: (Hình 3)
M
C
D
F
N
I
H
E
A
B
O
Hình 2
E
D
K
N
C
B
A
O
Goïi K laø tröïc taâm AEN thì NK = NB(do AK // ON; O laø
trung ñieåm AB) => EK // BF (vì cuøng vuoâng goùc vôùi AC).
Töø ñoù ta deã chöùng minh:
EKN = FBN (g.c.g) => NE = NF
F
Hình 3
2.TÌNH HUOÁNG 2: Vôùi 1 thay ñoåi nhoû trong GT ta coù ñöôïc baøi toaùn 1.1 laø 1 baøi toaùn maïnh hôn.
Baây giôø ta haõy ñeå yù ñeán vò trí cuûa ñieåm N laø giao ñieåm 2 daây cung AC ; BD
Ñeå saùng taïo ra baøi toaùn môùi, ta thay GT N laø giao ñieåm cuûa AC; BD thaønh GT N laø giao ñieåm cuûa
AD vaøØ BC. Vôùi GT môùi naøy ta seõ coù baøi toaùn sau:
Baøi1.2:
Cho ñöôøng troøn taâm (O) ñöôøng kính AB. 2 daây cung AD , BC caét nhau taïi ñieåm N ôû ngoaøi (O)
Qua N keû ñöôøng vuoâng goùc vôùi NO, ñöôøng thaúng naøy caét caùc ñöôøng thaúng BD, AC laàn löôït taïi E, F
Chöùng minh raèng : NE = NF
Lôøi giaûi:(Hình 4)
Laáy B' ñoái xöùng vôùi B qua N. Khi ñoù B'A // NO => B'A ⊥ NF
vì B'N vuoâng goùc AF => N laø tröïc taâm cuûa B'AF => AN vuoâng goùc
B'F => BE // B'F
(vì cuøng vuoâng goùc vôùi AN)
E
B'NF = BNE (g.c.g)
Töø ñaây deã daøng chöùng minh ñöôïc:
neân => NE = NF
3.TÌNH HUOÁNG 3:
Caàn chuù yù raèng trong baøi toaùn goác AB laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn
neáu xem ñaây laø GT HEÏP, thì GT ROÄNG hôn laø xeùt AB nhö laø 1 daây
cung baát kyø ta seõ coù 4 baøi môùi toaùn sau laø söï toång quaùt cuûa baøi toaùn
1.1 vaø baøi 1.2
A
Baøi 1.3:
Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn taâm (O).Caùc ñöôøng cheùo AC,
BD caétnhau taïi N . Qua N veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc NO , ñöôøng
thaúng naøy caét caùc ñöôøng thaúng AD, BC taïi E, F
Chöùng minh NE = NF
Lôøi giaûi: (Hình 5)
keû OQ vuoâng goùc AD vaø OR vuoâng goùc BC => Q,R laø trung ñieåm
cuûa AD, BC.
Chuù yù raèng: DNA ñoàng daïng
CNB neân suy ra DNQ ñoàng daïng
CNR
=> goùcDQN = goùcCRN
=> goùcNQO = goùcNEO
(1)
caùc töù giaùc EQON, FRNO noäi tieáp neân:
goùcNQO = goùcNEO vaø goùcNRO = goùcNFO (2)
EOF caân taïi F => NE = NF
Töø (1) vaø (2) => goùcNEO = goùcNFO =>
A
Baøi 1.4:
Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O).Caùc ñöôøng thaúng
AD, BC caét nhau taïi N ôû ngoaøi (O). Ñöôøng thaúng qua N vuoâng
goùc NO caét caùc ñöôøng thaúng AC, BD taïi E,F.
Chöùng minh: NE = NF
B'
N
F
D
C
B
O
Hình 4
E
D
Q
C
N
O
R
B
Hình 5
F
F
N
E
C
D
Hình 6
P
A
Q
O
B
Lôøi giaûi: (hình 6)
Keû OP vuoâng goùc AC ; OQ vuoâng goùc BD khi ñoù caùc töù giaùc OQNE;
OPNF
noäi tieáp neân ta coù: goùcNOF = goùcNPF (1)
goùcNOE = goùcNQE (2)
NCA ñoàng daïng
NDB (g.g) laïi coù P; Q laø trung ñieåm cuûa AC;
NQD => goùcNQD = goùcNPC hay
BD neân => NPC ñoàng daïng
laø
goùcNQE = goùcNPF (3). töø (1);(2);(3) => goùcNOE = goùcNOF
keát hôïp vôùi NO vuoâng goùc EF ta suy ra EOF caân taïi O => NE = NF
Baøi 1.5:
Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp (O). Caùc ñöôøng thaúng AD, BC caét
nhau tai N. Ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc vôùi NO caét caùc
ñöôøng thaúng AB, CD taïi E, F
E
Chöùng minh : NE = NF
Lôøi giaûi:(Hình 7)
Keû OP vuoâng goùc AB; OQ vuoâng goùc CD khi ñoù ta coù:
caùc töù giaùc OPEN; OQNF noäi tieáp
cho neân: goùcNOF = goùcNQF (1)
goùcNOE = goùcNPE (2)
Töù giaùc ABCD noäi tieáp neân:
NCD ñoàng daïng
NBA ( Goùc N chung; goùcNBA =
goùcNDC)
Do P; Q laø trung ñieåm cuûa AB, CD neân:
NQC ñoàng daïng
NPA ( c.g.c)
=> goùcNQC = goùcNPA hay laø goùcNQF = goùcNPE (3)
Töø (1) ; (2) ; (3) => goùcNOF = goùcNOE
=> EOF caân tai O, keát hôïp vôùi ON vuoâng goùc EF
=> NE = NF
Baøi 1.6:
Cho ñöôøng troøn taâm (O). Daây cung AB I laø trung ñieåm
cuûa AB, qua I veõ caùc daây MN,PQ sao cho MP caét AB taïi
E, NQ caét AB taïi F.
Chöùng minh : IE = IF
Lôøi giaûi:(Hình 8)
Keû OL vuoâng goùc PM; OK vuoâng goùc QN khi ñoù ta coù caùc töù giaùc
OIEL; OIFK noäi tieáp
=> goùcOLI = goùcOEI vaø goùcOKI = goùcOFI (1)
IMP ñoàng daïng
IQN vaø L;K laø trung
Töø söï ñoàng daïng cuûa
ñieåm cuûa PM; QN neân => ILM ñoàng daïng
IKQ
=> goùcILM = goùcIKQ => goùcOLI = goùcOKI (2)
EOF caân tai O (3)
Töø (1) vaø (2) => goùcOEI goùcOFI =>
I laø trung ñieåm AB neân OI vuoâng goùc EF (4)
Töø (3) vaø (4) => IE = IF
NHAÄN XEÙT:
Baèng nhöõng thay ñoåi trong GT cuûa baøi toaùn goác ta ñaõ saùng taïo
theâm nhöõng baøi toaùn môùi ôû 1 cung baäc cao hôn, toång quaùt hôn.
Ñöa ra nhaän xeùt naøy toâi muoán neâu leân 1 khaúng ñònh raèng moïi baøi
toaùn ñeàu baét nguoàn töø nhöõng baøi cô baûn, cuõng nhö bieån caû phaûi
baét nguoàn töø nhöõng doøng soâng.
HÖÔÙNG KHAI THAÙC THÖÙ 2:( Saùng taïo ra baøi
toaùn môùi laø heä quaû cuûa baøi toaùn goác)
Baøi 1.7:
Cho ñöôøng troøn taâm (O). Daây cung AB
I laø trung ñieåm cuûa AB, qua I veõ caùc
daây MN,PQ sao cho MP caét AB taïi E,
NQ caét AB taïi F.
Chöùng minh: EM. EP = FN.FQ
N
F
C
D
Q
A
O
P
Hình 7
B
N
O
P
K
L
A
I
E
B
F
Hình 8
Q
M
N
P
O
E
I
F
B
A
M
Q
Hình 8b
Lôøi giaûi:(Hình 8b)
Töø keát quaû cuûa baøi toaùn 1.6 ta coù:
IE = IF vaø IA = IB => AE = FB vaø AF = BE (1)
Töù giaùc AMBP noäi tieáp neân EM.EP = EA.EB (2)
Töù giaùc ANQB noäi tieáp neân: FN.FQ = FB.FA (3)
Töø (1) => EA.EB = FA.FB (4)
Töø (2) ; (3) ;(4) => EM.EP = FN.FQ
Baøi 1.8:
Cho tam giaùc ABC coù AB + AC = 2BC noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Goïi I laø taâm
ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc, B', C' laø ñieåm chính giöõa caùc cung AB khoâng
chöùa C vaø cung AC khoâng chöùa B cuûa (O). B'C' caét AI taïi N, ñöôøng thaúng AI
caét BC taïi M
Chöùng minh: IM = IN
Lôøi giaûi:
Goïi A' laø giao ñieåm cuûa AI vaø (O). AM laø phaân giaùc goùcA
A
neân:
MC
MA + MB
BC
1
MB
=
=
=
=
(1)
N
AC
AB + AC
AB + AC
2
AB
C'
IM MB
I
=
(2)
BI laø tia phaân giaùc cuûa ABM =>
IA AB
AI
Töø (1) vaø (2) => IM =
(3)
M
B
2
AB'I caân taïi B' vaø B'N laø phaân giaùc goùcAB'I
AI
neân => NI = NA =
(4)
2
Töø (3) vaø (4) => IM = IN
B'
O
C
Chuù yù raèng
A'
Hình 9
HÖÔÙNG KHAI THAÙC THÖÙ 3 (Saùng taïo ra caùc baøi toaùn môùi khoù hôn ,
trong caùch giaûi caàn söû dung keát quaû cuûa baøi toaùn goác )
Baøi 1.9:
Cho ñöôøng troøn (o) ñöôøng kính AB, daây cung CD; daây AD caét BC taïi N, AC caét BD taïi N'. Ñöôøng thaúng qua
N vuoâng goùc vôùi NO caét BD, AC taïi E, F
ñöôøng thaúng qua N' vuoâng goùc vôùi N'O caét caùc ñöôøng thaúng AD, BC taïi E', F',. Chöùng minh raèng EE' = FF'
Lôøi giaûi: (Hinh 10)
Veõ OT vuoâng goùc BD vaø OK vuoâng goùc BC => TK
// CD => goùcBKT = goùcBCD (1)
Ta coù goùcOTN = goùcOEN ( vì töù giaùc OTEN noäi
tieáp) (2)
goùcN'Kx = goùcOF'N' (vì töù giaùc OF'N'K noäi
tieáp) (3)
Vì goùcBCD = goùcNN'D (2) (Do töù giaùc NCN'D
noäi tieáp)
Töø (1) vaø (2) => goùcBKT = goùcNN'D = goùcNN'T
=> Töù giaùc KNN'T noäi tieáp
=>goùcNKN' = goùcNTN' (4)
Laïi coù: goùcNKN'+ goùcN'Kx = 90
0
O
F
K
T E
Hinh 10
N
C
D
F'
(5)
E'
goùcNTN' + goùc OTN = 90 0 (6)
Töø (4) ; (5) ; (6) => goùcN'Kx = goùcOTN (7)
Töø (2); (3) ;(7) =>goùcOEN = goùcOF'N' (8)
Söû duïng keát quaû baøi toaùn 1.1 vaø 1.2 ta coù caùc
OEF vaø OE'F'
laø caùc tam giaùc caân taïi O keát hôïp vôùi (8) ta coù
goùcEOFù = goùcE'OF' => goùcFOF' = goùcEOE' (9)
Do OE = OF; OE' = OF' neân cuøng vôùi (9) suy ra:
OEE' = OFF' (c.g.c) => EE' = FF'
A
B
N'
x
HÖÔÙNG KHAI THAÙC THÖÙ 4: saùng taïo ra caùc baøi toaùn veà chöùng minh caùc ñöôøng thaúng
ñoàng qui, chöùng minh caùc ñöôøng thaúng song song nhôø vaän dung keát quaû baøi toaùn
goác
Baøi 1.10:
Cho ñöôøng troøn (o) ñöôøng kính AB, daây cung CD. AC caét BD taïi N, AD caét BC taïi N'.
Ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc vôùi NO caét AD, BC taïi E, F
ñöôøng thaúng qua N' vuoâng goùc vôùi N'O caét caùc ñöôøng thaúng BD, AC taïi E', F',. Chöùng
minh raèng 3 ñöôøng thaúng AB, EE', FF' ñoàng qui taïi 1 ñieåm
O
A
I
K
B
F
N
E
C
D
F'
E'
N'
Hình 11
Lôøi giaûi: caùch 1: Goïi K laø giao ñieåm cuûa EE' vaø FF'
Ta chöùng minh K; O; B thaúng haøng
Töø keát quaû cuûa baøi toaùn 1.9: OEE' = OFF'
=> goùcOE'E = goùcOF'F => Töù giaùc OKF'E' noäi tieáp
chuù yù raèng N laø tröïc taâm N'AB neân NN' vuoâng goùc AB
=> goùcON'N + goùcN'OB = 90 0 (1)
Trong töù giaùc OKF'N' coù:
goùcON'F' + goùcN'OK +goùcOKF' +goùcKF'N' = 360 0
=> goùcN'OK +goùcOKF'+goùcKF'N'=270 0 (vì goùcON'F'= 900 )
=> goùcN'OK + goùcOKF' + goùcKF'O + goùcOF'N' = 270 0
=>(goùcOF'K +goùcN'OK) + goùcOKF' + goùcOF'N' =270 0 (2)
vì goùcOKF' + goùcOF'N' = goùcOKF' + goùcOE'F' = 180 0 (3)
(4)
Töø (2) ; (3) => goùcOF'K +goùcN'OK = 90 0
Chuù yù raèng OEF ñoàng daïng
OE'F' (g.g) neân:
ON
OF
=
(5) vaø goùcNOF = goùcN'OF' (6) => goùcN'ON = goùcF'OF (7)
ON'
OF'
FOF' (c.g.c)
Töø (5) vaø (7) => ONN' ñoàng daïng
=> goùcON'N = goùcOF'F = goùcOF'K (8)
Töø (1); (4); => goùcON'N + goùcN'OB = goùcOF'K +goùcN'OK (9)
Töø (8) ; (9) => goùcN'OK = goùcN'OB chöùng toû K thuoäc ñöôøng thaêng OB vaäy EE'; FF' AB ñoàng qui
b. Chöùng minh EF'; E'F, CD ñoàng qui
Goïi giao ñieåm cuûa CD vaø EF' laø I
ADC vaø 3
Söû duïng ñònh lyù Menelauyt cho
ñieåm E; I ;F' thaúng haøng ta coù:
ID EA F'C
.
.
= 1 (19)
IC ED F'A
ED F'C
FC E'B
Töø (17) =>
.
=
.
(20)
EA F'A
FB E'D
Töø (19) vaø (20) ta coù:
ID FC E'B
. .
= 1 (21)
IC FB E'D
Heä thöùc 21 cuøng vôùi ñònh lyù ñaûo Menelauyt ta suy
ra E'; I; F thaúng haøng töø ñoù suy ra E'F; EF', CD
ñoàng qui taïi I
CAÙCH 2 (Töông töï caùch giaûi 2 baøi toaùn 10)
a. Chöùng minh EE'; FF'; AB ñoàng qui
goïi K laø giao ñieåm cuûa FF' vaø AB
Theo ñònh lyù Menelauyt cho
N'
E'
D
E
F'
I
C
N
F
B
O
K
A
ABC vaø 3 ñieåm E' ; E; K thaúng haøng ta coù :
Hinh 16
FB F'C KA
.
.
= 1 (22)
FC F'A KB
Tieáp tuïc söû duïng ñònh lyù Menelauyt cho caùc tam giaùc:
FC EN' NA
.
.
= 1 (23)
* CAN' vaø 3 ñieåm F; N; E ta coù:
FN' EA NC
ED FN' NB
*Vôùi DBN' vaø F; N; E ta coù:
.
.
= 1 (24)
EN' FB ND
N'D E'N F'A
.
.
= 1 (25)
Vôùi AND vaø 3 ñieåm F'; E'; N' ta coù:
N'A E'D F'N
N'C F'N E'B
*Vôùi BNC vaø 3 ñieåm F'; E'; N' ta coù:
.
.
= 1 (26)
N'B F'C E'N
nhaân töøng veá cuûa (22);(23);(24);(25);(26) ta coù:
FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'C F'N E'B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
=1
FC F'A KB FN' EA NC EN' FB ND N'A E'D F'N N'B F'C E'N
NA NB N'D N'C ED E'B KA
=>(
.
.
.
).(
.
.
) = 1 (27)
NC ND N'A N'B EA E'D KB
BN N'D AC
*Vôùi AND vaø 3 ñieåm N'; B; C ta coù:
.
.
= 1 (28)
BD N'A NC
AN N'C DB
*Vôùi BNC vaø 3 ñieåm D; A; N' ta coù:
.
.
= 1 (29)
AC N'B DN
BN N'D AC NA N'C DB
NB N'D NA N'C
Nhaân töøng veá cuûa (28) vaø (29) ta coù:
.
.
.
.
.
= 1 =>
.
.
.
= 1 (30)
BD N'A DN AC N'B DN
ND N'A NC N'B
ED E'B KA
.
.
= 1 (31)
EA E'D KB
Heä thöùc (31) cuøng vôùi ñònh lyù ñaûo Menelauyt => 3 ñieåm E'; E; K thaúng haøng töø ñoù suy ra 3 ñöôøng thaúng EE';FF'
AB ñoàng qui taïi K
b.Chöùng minh E'F; EF'; CD ñoàng qui:
Chöùng minh töông töï nhö caùch 1
TöøØ (27) vaø (30) ta coù:
Caùch 2: baøi 1.10
Goïi K laø giao ñieåm cuûa AB vaø FF' ñeå chöùng minh
EE'; FF' AB ñoàng qui ta caân chöùng minh K; E;E'
thaúng haøng
ABC vôùi 3 ñieåm K;
Söû duïng ñònh lyù Menelauyt cho
A
F; F' thaúng haøng ta coù:
FB F'C KA
.
.
= 1 (1)
FC F'A KB
*Vôùi CAN' vaø 3 ñieåm F; N; E ta coù:
FC EN' NA
.
.
= 1 (2)
FN' EA NC
* Vôùi DBN' vaø 3 ñieåm F; N; E ta coù:
ED FN' NB
E'
.
.
= 1 (3)
EN' FB ND
* Vôùi ADN vaø 3 ñieåm F'; E'; N' ta coù:
N'D E'N F'A
.
.
= 1 (4)
N'A E'D F'N
O
I
K
B
F
N
E
C
D
F'
N'
Hình 11
N'B F'N E'B
.
.
= 1 (5)
N'C F'C E'N
Nhaân töøng veá cuûa 5 ñaúng thöùc treân ta coù:
FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'B F'N E'B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
=1
FC F'A KB FN' EA NC EN' FB ND N'A E'D F'N N'C F'C E'N
NA NB N'D N'C ED E'B KA
=> (
.
.
.
).(
.
.
) = 1 (6)
NC ND N'A N'B EA E'D KB
BN N'D CA
*Vôùi AND vaø 3 ñieåm N'; B; C ta coù:
.
.
= 1 (7)
BD N'A CN
AN N'C DB
*Vôùi BNC vaø 3 ñieåm D; A; N' ta coù:
.
.
= 1 (8)
AC N'B DN
BN N'D CA AN N'C DB
Nhaân töøng veá cuûa (7) vaø (8) ta coù:
.
.
.
.
.
=1
BD N'A CN AC N'B DN
NB N'D NA N'C
ED E'B KA
=>
.
.
.
= 1 (9) ; Töø (6) vaø (9) =>
.
.
= 1 (10)
ND N'A NC N'B
EA E'D KB
Heä thöùc (10) cuøng vôùi ñònh lyù ñaûo Menelauyt ta suy ra 3 ñieåm K; E; E' thaúng haøng
töø ñoù suy ra EE' ; FF' AB ñoàng qui taïi K
*Vôùi
BNC vaø 3 ñieåm F'; N'; E' ta coù:
Töø keát quaû cuûa baøi toaùn 1.9 khi ñaõ chöùng minh ñöôïc EE' = FF' ta chuù yù raèng EE'; FF' laø caëp caïnh ñoái
cuûa töù giaùc EE'F'F neân coù theå ñöa ra baøi toaùn sau:
Baøi 1.11:Cho ñöôøng troøn (o) ñöôøng kính AB, daây cung CD. AC caét BD taïi N, AD caét BC taïi N'.
Ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc vôùi NO caét AD, BC taïi E, F
ñöôøng thaúng qua N' vuoâng goùc vôùi N'O caét caùc ñöôøng thaúng BD, AC taïi E', F'.goïi K laø giao ñieåm
cuûa EE' vaø FF'. Chöùng minh NN'// vôùi tia phaân giaùc goùc E'KF'.
O
A
K
B
F
N
E
C
D
Q
P
F'
N'
E'
j
Hình 12
Lôøi giaûi:(Hình 12)
Söû duïng keát quaû cuûa caùc baøi toaùn 1; 2; 9 ta coù:
NE = NF; N'E' = N'F' vaø EE' = FF',
goïi P; Q laø trung ñieåm cuûa E'F vaø EF' khi ñoù ta coù:
1
1
NP // EE' vaø NP = EE'; N'Q // EE' vaø N'Q = EE'
2
2
1
1
NQ // FF' vaø NQ = FF'; N'P // FF' vaø N'P = FF'
2
2
töø ñoù suy ra : Töù giaùc NQN'P laø hình thoi => NN' laø phaân giaùc goùcPNQ
Do goùcPNQ = goùcE'KF' (goùc coù canh töông öùng song song) => NN' // Kj laø tia phaân
giaùc goùcE'KF'
Baøi 1.12: Cho ñöôøng troøn (o) ñöôøng kính AB, daây cung CD. AC caét BD taïi N, AD caét BC taïi N'. Ñöôøng
thaúng qua N vuoâng goùc vôùi NO caét AD, BC taïi E, F
ñöôøng thaúng qua N' vuoâng goùc vôùi N'O caét caùc ñöôøng thaúng BD, AC taïi E', F',. goïi K laø giao ñieåm cuûa
EE' vaø FF'.
Chöùng minh raèng CD, EF', E'F ñoàng qui
Lôøi giaûi: ( Hình 12 )
Söû duïng keát quaû baøi 1.10 ta coù EE'; FF'; AB
F'
ñoàng qui taïi K. Theo ñònh lyù Mene'lauyt cho tam
N'
giaùc ABC vôùi 3 ñieåm E'; E; K thaúng haøng ta
E'
coù:
KA E'B ED
.
.
=1 (1)
I
C
KB E'D EA
D
Theo ñònh lyù Mene'lauyt cho tam giaùc ABC vôùi 3
F
ñieåm F'; F; K thaúng haøng ta coù:
N
E
KA FB F'C
. .
=1
(2)
A
B
KB FC F'A
O
K
Töø (1) vaø (2) ta coù:
Hình 13
FB F'C
E'B ED
.
=
.
(3)
FC F'A
E'D EA
E'B.FC
F'C.EA
=>
=
(4)
E'D.FB
F'A.ED
Goïi I laø giao ñieåm cuûa E'F vaø CD . aùp dung
ñònh lyù Menelauyt cho tam giaùc BCD vôùi 3 ñieåm
E'; I; F thaúng haøng ta coù:
ID E'B FC
.
. =1 (5)
IC E'D FB
ID F'C EA
Töø (4) vaø (5) =>
.
.
= 1 (6)
O
B
IC F'A ED
A
Töø (6) vaø ñònh lyù ñaûo Menelauyt ñaûo ta suy ra
E
N
E; I; F' thaúng haøng
Vaäy 3 ñöôøng thaúng E'F; CD; EF' ñoøng qui taïi I.
F
Hình 14
D
R
C
Baøi 1.13: Cho ñöôøng troøn (o) ñöôøng kính
AB, daây cung CD. AC caét BD taïi N, AD caét
BC taïi N'. Ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc
vôùi NO caét AD, BC taïi E, F
ñöôøng thaúng qua N' vuoâng goùc vôùi N'O caét
caùc ñöôøng thaúng BD, AC taïi E', F.
Goïi P;Q;R;S laàn löôït laø trung ñieåm cuûa
E'F; EF';EE'; FF'
Chöùng minh: PQ; RS; NN' ñoøng qui
E'
Q
P
S
N'
F'
Lôøi giaûi: (Hình 14)
Ta deã chöùng minh ñöôïc caùc töù giaùc NPN'Q vaø
PRQS laø caùc hình bình haønh
neân suy ra NN'; PQ; RS caét nhau taïi trung ñieåm
moãi ñöôøng => NN'; PQ; RS ñoàng qui
HÖÔÙNG KHAI THAÙC THÖÙ 4: saùng taïo ra caùc baøi toaùn veà töù giaùc noäi tieáp
Baøi 1.14:
Cho ñöôøng troøn (o) ñöôøng kính AB, daây cung CD. AC caét BD taïi N, AD caét BC taïi N'. Ñöôøng thaúng qua
N vuoâng goùc vôùi NO caét AD, BC taïi E, F
ñöôøng thaúng qua N' vuoâng goùc vôùi N'O caét caùc ñöôøng thaúng BD, AC taïi E', F',. goïi K laø giao ñieåm cuûa
EE' vaø FF'. Goïi T laø giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng thaúng EF vaø E'F'
T
Chöùng minh raèng caùc töù giaùc OKEF; OTF'F laø caùc töù giaùc noäi tieáp
F'
N'
E'
C
D
F
N
E
B
A
O
K
Hình 15
Lôøi giaûi: (Hình 15)
EE'O = FF'O => goùcEOE' = goùcFOF' ; goùcEE'O = goùcFF'O (1)
Söû duïng keát quaû baøi toaùn 1.9 ta coù:
Ta coù : goùcOEK = goùcEE'O + goùcEOE' (2)
goùcOFK = goùcFF'O + goùcFOF'
(3)
Töø (1) => goùcEE'O + goùcEOE' = goùcFF'O + goùcFOF' (4)
Töø (2); (3); (4) => goùcOEK = goùcOFK (5)
Töø (5) vaø chuù yù raèng E;F cuøng phía so vôùi KO neân töù giaùc OKEF noäi tieáp.
Cuõng töø keát quaû EE'O = FF'O vaø caùc tam giaùc EOF vaø E'OF' laø caùc tam giaùc caân taïi O
cho neân ta coù keát quaû sau: goùcEOE' = goùcNON' = goùcFOF' (6)
Töù giaùc ONN'T coù : goùcONT = goùcON'T = 90° => ONN'T laø töù giaùc noäi tieáp => goùcNON' = goùcNTN' (7)
Töø (6) vaøØ (7) => goùcFOF' = goùcNTN' = goùcFTF' (8)
töø (8) vaø chuù yù raèng O, T cuøng phía so vôùi FF' neân töù giaùc OTF'F noäi tieáp
XAÂY DÖÏNG BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT
BAØI 1.15
(toång quaùt baøi 1.10 vaø 1.12):(hình 16)
Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O).
caùc ñöôøng cheùo AC; BD caét nhau taïi N; caùc
ñöôøng thaúng AD; BC caét nhau taïi N'.
Ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc vôùi NO caét caùc
ñöôøng thaúng AD; BC taïi E; F. Ñöôøng thaúng
qua N' vuoâng goùc vôùi N'O caét caùc ñöôøng
thaúng BD; AC taïi E'; F'. Chöùng minh raèng:
a. Caùc ñöôøng thaúng EE'; FF'; AB ñoàng qui
b. Caùc ñöôøng thaúng E'F; EF'; CD ñoàng qui
E'
N'
D
E
F'
I
C
N
F
B
O
A
K
Hình 16
Lôøi giaûi:CAÙCH 1 (Hình 16)
a.Chöùng minh EE'; FF' AB ñoàng qui
Goïi K laø giao ñieåm cuûa FF' vaø AB, ta chöùng minh K, E; E' thaúng haøng
Söû duïng ñònh lyù Menelauyt cho tam giaùc ABC;
ADB; F'NE'; AN'C.
KB F'A FC
.
. =1
(1)
*Vôùi ABC vaø 3 ñieåm K; F; F' thaúng haøng ta coù:
KA F'C FB
N'F' BE' CN
*Vôùi E'NF' vaø 3 ñieåm B ; C; N' thaúng haøng ta coù:
.
.
=1 (2)
N'E' BN CF'
BN CF'
BE' CN
.
= 1 =>
.
= 1 (3)
Söû duïng keát quaû baøi toaùn 5 thì: N'E' = N'F' neân töø (2) =>
CN BE'
BN CF'
DE NF BN'
*Vôùi EN'F vaø 3 ñieåm B; N; D thaúng haøng ta coù:
.
.
= 1 (4)
DN' NE BF
Söû duïng keát quaû baøi toaùn 1 thì: NE = NF neân töø
DE BN'
(4) =>
.
=1
(5)
DN' BF
DA BN' NC
*Vôùi AN'C vaø 3 ñieåm B; N; D thaúng haøng ta coù:
.
.
=1
(6)
DN' BC NA
ND
AD
AD NB
NA
=
=
=>
.
=1 (7)
Töø söï ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc AND vaø BNC ta suy ra:
NC
BC
BC NA
NB
AD NB NC
Töø (7) =>
.
.
= 1 (8)
BC NA NC
N'B
NB
Töø (6) vaø (8) =>
=
(9)
E'
N'
N'D
NC
DE
CF'
Töø (3);(5) vaø (9) suy ra:
=
(10)
BF
BE'
BF
BE'
TÖØ (10) => (
)2 = (
)2 (11)
C
D I
DE
CF'
Töø keát quaû baøi toaùn 7b ta coù:
E
ED.EA = FC.FB
(12)
N
F
F'C.F'A = E'D.E'B
(13)
FB
EA
B
O
Töø (12) =>
=
(14)
K
DE
FC
A
E'B
F'A
Töø (13) =>
=
(15)
F'C
E'D
Töø (11);(14);(15) sy ra:
Hinh 16
E'B F'A
FB EA
.
=
.
(16)
F'C E'D
DE FC
EA E'D
F'A FC
Töø (16) =>
=
(17)
ED E'B
F'C FB
KB
Nhaân 2 veá cuûa (17) vôùi
vaø töø (1) ta coù:
KA
KB EA E'D
KB F'A FC
=
= 1 (18)
KA ED E'B
KA F'C FB
Heä thöùc (18) cuøng vôùi ñònh lyù ñaûo Menelauyt ta suy ra 3 ñieåm K; E; E' thaúng haøng töø ñoù suy ra
3 ñööøng thaúng EE'; FF' AB ñoàng qui taïi K
F'
BAØI TOAÙN XUAÁT PHAÙT 2:
Cho goùc xOy vaø 1 ñieåm I coá ñònh treân tia phaân giaùc Ot . Ñöôøng thaúng d thay ñoåi luoân ñi qua I, caét caùc
1
1
tia Ox, Oy taïi M, N. Chöùng minh raèng giaù trò cuûa bieåu thöùc :
+
coù giaù trò khoâng thay ñoåi khi d thay ñoåi nhöng luoân qua I
OM
ON
Lôøi giaûi: ( Hình 17)
Qua I veõ caùc ñöôøng thaúng song song vôùi Ox , Oy
y
caùc ñöôøng thaúng naøy caét Ox, Oy taïi D, E. Khi ñoù
N
caùc ñieåm D, E coá ñònh vaø OEID laø hình thoi. Ta
ñaët OD = a khoâng ñoåi.
Ta coù:
EI
ID
NI
MI
NI +MI
+
=
+
=
=1
OM ON
NM NM
NM
a
1
1
1
a
+
= 1 =>
+
= = const
=>
OM
ON
a
OM ON
E
I
t
O
Töø caùch giaû cuûa baøi toaùn treân ta coù caùc höôùng môû roâng baøi toaùn
nhö sau:
HÖÔÙNG MÔÛ ROÄNG THÖÙ 1: Thay ñoåi vò trí cuûa ñieåm I baèng caùch laáy
I laø 1 ñieåm baát kyø naèm trong goùc xOy ta seõ coù baøi toaùn sau:
Baøi toaùn 2.1:
Cho goùc xOy vaø ñieåm I coá ñònh naèm ôû mieàn trong goùc xOy. Ñöôøng
thaúng d thay ñoåi luoân qua I caét Ox , Oy taïi M, N.
Qua I veõ caùc ñöôøng thaúng song song vôùi Ox , Oy, chuùng caét Ox, Oy
taïi D, E.
OD OE
Chöùng minh raèng bieåu thöùc:
+
coù giaù trò khoâng ñoåi
OM ON
LÔØI GIAÛI: (Hình 18)
Baïn ñoïc haõy giaûi baøi toaùn nhö caùch giaûi baøi toaùn 2.
OD OE
+
= 1 => (ñpcm)
Keát quaû laø:
OM ON
HÖÔÙNG MÔÛ ROÄNG THÖÙ 2: Thay ñoåi vò trí cuûa I baèng caùch laáy
I laø 1 ñieåm baát kyø naèm ngoaøi goùc xOy
Baøi 2.2: Cho 2 ñöôøng thaúng xx' vaø yy' caét nhau taïi O
x'
ñieåm I coá ñònh naèm ngoaøi goùc xOy. Ñöôøng thaúng d thay ñoåi
luoân qua I caét caùc tia Ox, Oy taïi M, N. Qua I veõ caùc ñöôøng
thaúng song song vôùi xx' vaø yy' chuùng caét xx', yy' taïi D, E
OE
OD
coù giaù trò khoâng
Chöùng minh raèng bieåu thöùc:
OM ON
ñoåi
Lôøi giaûi: (Hình 19)
OD
OE
IE
ID
IN
IM
Ta coù:
=
=
= -1
OM ON
OM ON
NM NM
y'
OE
OD
= -1
=>
OM ON
D
M
Hình 17
x
d
y
N
E
I
O
D
M
Hình 18
x
d
d
y
I
D
E
N
O
M
Hình 19
HÖÔÙNG MÔÛ ROÄNG THÖÙ 3:
Laät ngöôïc vaán ñeà cuûa baøi toaùn goác ta seõ coù baøi toaùn chöùng minh ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm coá ñònh sau:
Baøi 2.3:
1
1
Cho goùc xOy. Ñöôøng thaúng d thay ñoåi caét caùc tia Ox, Oy taïi M, N. Bieát raèng giaù trò bieåu thöùc
+
coù giaù trò
OM
ON
khoâng ñoåi khi d thay ñoåi. Chöùng minh d luoân ñi qua ñieåm coá ñònh.
x
Lôøi giaûi:(Hình 20)
1
1
1
Gæa söû:
+
=
(1)
(a > 0 cho tröôùc)
OM
ON
a
Laáy D treân Ox sao cho OD = a thì OD < OM . Qua D keû song song vôùi Oy caùt MN taïi I. Laáy E treân Oy sao cho OE = ID khi ñoù OEID laø
hình bình haønh
OD OE
1
OE
1
1
aùp duïng keát quaû baøi 2.1 ta coù:
+
= 1 =>
+
=
=
(2)
OM ON
OM
OD.ON
OD
a
1
1
OE
OE
1
+
=
+
=>
= 1 => OE = OD (3)
Töø (1) vaø (2) =>
ON
OM
OD.ON
OD
OM
Heä thöùc (3) cuøng vôùi chuù yù D coá ñònh ta suy ra E coá ñònh => I coá ñònh ( vì OEID laø hình bình haønh)
vaäy ñöôøng thaúng d luoân ñi qua ñieåm coá ñònh I
Saâu hôn 1 chuùt töø baøi 2.3 ta coù theå ñöa ra baøi toaùn toâng quaùt hôn
nhö sau:
Baøi 2.4
Cho goùc xOy. 1 ñöôøng thaúng d thay ñoåi luoân caét Ox, Oy taïi
M, N.
k
1
+
coù giaù trò khoâng ñoåi.
Gæa söû toàn taïi soá thöïc k sao cho
ON
OM
O
Chöùng minh raèng d luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh.
Lôøi giaûi: (Hình 20)
Hình 20
d
N
E
I
D
1
k
1
+
=
(1) (a > 0 cho tröôùc)
ON
a
OM
Laáy D treân Ox sao cho OD = a thì OD < OM . Qua D keû song song vôùi Oy caùt MN taïi I.
Laáy E treân Oy sao cho OE = ID khi ñoù OEID laø hình bình haønh
OD OE
1
OE
1
1
aùp duïng keát quaû baøi 2.1 ta coù:
+
= 1 =>
+
=
=
(2)
OM ON
OM
OD.ON
OD
a
k
1
OE
OE
1
+
=
+
=> k =
=> OE = K.OD (3)
Töø (1) vaø (2) =>
ON
OM
OD.ON
OD
OM
Heä thöùc (3) chöùng toû E coá ñònh. Hình bình hanh OEID coù E, O, D coá ñònh neân I cuõng laø
ñieåm coá ñònh
Töông töï caùch giaûi baøi 2.3 ta ñaët
x
HÖÔÙNG MÔÛ ROÄNG THÖÙ 4: Thay giaû thieát goùc xOy baèng tam giaùc ABC vaø ñieåm coá
ñònh I naèm trong tam giaùc ABC ta coù baøi toaùn sau:
Baøi 2.5
Cho tam giaùc ABC. I laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc trong, ñöôøng thaúng d thay
ñoåi luoân qua I caét caùc caïnh AB, AC vaø tia CB taïi M, N, P. Chöùng minh giaù trò cuûa
AB
AC
BC
bieåu thöùc:
+
coù giaù trò khoâng ñoåi khi d thay ñoåi vaø
AM.BM
AN.CN
BP.CP
luoân qua I
Lôøi giaûi: (Hình 21)
Qua I veõ caùc ñöôøng thaúng song song vôùi caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC chuùng caét
AB,BC,CA taïi G, F, E, S, R, K. Khi ñoù ta coù AGIK, BEIF, CRIS laø caùc hình thoi
Ta coù: goùcBMP = goùcFMI > goùcMBI = goùcIBE = goùcBIF > goùcFIM = goùcBPM
Suy ra: BP > BM
Ñaët AG = a; BE = b; CR = c
aùp duïng keát quaû baøitoaùn goác vaø caùc baøi 2.2 vaø 2.3 ta coù:
1
1 1
1
1 1
1
1
1
+
= ;
+
= ;
=
AN
a CN
CP
b BM BP
c
AM
P
B
Coäng töøng veá caùc ñaúng thöùc naøy ta coù:
1
1
1
1
1
1
1 1 1
+
+
+
+
= + +
AM
AN
CN
CP
BM BP
a b c
1
1
1
1
1 1
1 1 1
=> (
+
)+(
+
)+(
)= + +
AM BM
AN CN
CP BP
a b c
AB
AC
BC
1 1 1
=>
+
= + + = Const
AM.BM AN.CN BP.CP
a b c
M
y
A
K
G
I
F
d
N
R
M
E
Hình 21
S
C
HÖÔÙNG MÔÛ ROÄNG THÖÙ 5: Ñaëc bieät hoaù baøi 2.5 baèng caùch cho tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng a ta seõ coù
baøi toaùn môùi sau ñaây
Baøi 2.6
Cho tam giaùc ABC ñeàu caïnh baèng 3. I laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc, ñöôøng thaúng d thay ñoåi luoân qua I caét AB,
AC, vaø tia CB taïi M, N, P
1
1
1
+
=1
a.Chöùng minh:
AM.BM AN.CN BP.CP
1
1
1
+
+
=2
b.Chöùng minh:
IN2
IP2
IM2
* Baïn ñoïc töï giaûi theo caùch giaûi baøi 2.5
Baøi 2.7
Cho hình bình haønh ABCD, ñöôøng thaúng d thay ñoåi caét caùc ñöôøng thaúng AB, AD, AC tai M, N, P.
AD
AC
AB
+
=
Chöùng minh raèng:
AN
AP
AM
A
F
d
M
B
G
N
P
C
D
Hình 22
PHAÀN 3. KEÁT LUAÄN VAØ BAØI HOÏC RUÙT RA
KEÁT LUAÄN :
Qua phaàn noäi dung ñaõ trình baøy ôû treân ta thaáy vieäc khai thaùc caùc baøi taäp hoïc sinh seõ :
-Ñöôïc cuûng coá 1 heä thoáng kieán thöùc cô baûn vaø naâng cao
-Ñöôïc phaùt trieån tö duy, kyõ naêng saùng taïo
-caûm thaáy raát höùng thuù trong quaù trình hoïc taäp
-Töï tin hôn khi phaûi ñoái maët vôùi nhöõng baøi toaùn khoù, nhöõng baøi toaùn laï
-Khoâng xem thöôøng nhöõng baøi toaùn cô baûn bôûi vì caùc baøi toaùn ñôn giaûn laø baét ñaàu cuûa söï saùng taïo
-Coù thaùi ñoä tích cöïc hôn khi hoïc taäp toaùn, say söa tìm toøi khaùm phaù nhöõng goùc khuaát trong moãi baøi
toaùn ñeå saùng taïo neân baøi taäp môùi
-Kieán thöùc toaùn ñöôïc naâng cao
BAØI HOÏC RUÙT RA:
*Ñoåi môùi daïy hoïc laø 1 quaù trình, song moãi giaùo vieân caàn coù yù thöùc tìm toøi nhöõng phöông phaùp daïy
hoïc phuø hôïp vôùi töøng loaïi baøi taäp vaø töøng ñoâi töôïng HS theo phöông phaùp daïy hoïc môùi laø laáy HS
laøm trung taâm, tích cöïc hoaù caùc hoaït ñoäng cuûa HS trong quaù trình hoïc taäp
*Hoïc sinh THCS coøn ôû ñoä tuoåi thieáu nieân, khaû naêng tö duy, khaùi quaùt coøn haïn cheá. Do ñoù khi ñöùng
tröôùc caùc baøi toaùn khoù vieäc tìm ra lôøi giaûi ñaõ khoù chöù chöa noùi gì ñeán vieäc saùng taïo. Vì vaäy
ngöôøi giaùo vieân caàn coù söï ñaàu tö ñeå coù phöông phaùp daïy thích hôïp ñeå moãi HS ñeàu coù theå töï tin
trong hoïc taäp vaø saùng taïo
*Chuyeân ñeà""Reøn luyeän naêng löïc tö duy vaø khaû naêng saùng taïo thoâng qua vieäc khai thaùc keát quaû baøi
toaùn goác ñeå saùng taïo ra caùc baøi toaùn môùi"" laø moät ví duï nhoû minh hoaï cho 1 yù töông khoâng nhoû
theo moät nghóa naøo ñoù.Qua chuyeân ñeà naøy toâi mong muoán göûi ñeán ñoàng nghieäp 1 chuùt kinh nghieäm
nhoû maø toâi ñaõ thöïc hieän cuøng vôùi nhöõng HS khaù gioûi toaùn cuûa tröôøng THCS Toân Quang Phieät
trong naêm hoïc 2007 -2008
*Cuoái cuøng xin toùm laïi ñieàu quan troïnh nhaát: ""Trong cuoäc soáng cuõng nhö trong daïy hoïc toaùn khoâng
coù caùi taàm thöôøng vaø cuõng khoâng coù baøi toaùn naøo taàm thöôøng caû, tröôùc moãi baøi toaùn haõy daønh thôøi
gian naém baét caùc yeáu toá vaøø ñònh höôùng trong suy nghó, chöù ñöøng caûm nhaän quaù nhieàu""
Thieát nghó ñoù laø 1 kinh nghieäm daïy hoïc moân toaùn./.
PHAÀN ÑAÙNH GIAÙ NHAÄN XEÙT CUÛA HOÄI ÑOÀNG XEÙT SKKN CAÁP TRÖÔØNG
A. ÑAÙNH GIAÙ XEÁP LOAÏI
B. ÑEÀ NGHÒ:
Thay maët hoäi ñoàng xeùt SKKN
PHAÀN ÑAÙNH GIAÙ NHAÄN XEÙT CUÛA HOÄI ÑOÀNG XEÙT SKKN CAÁP HUYEÄN
A. ÑAÙNH GIAÙ XEÁP LOAÏI
B. ÑEÀ NGHÒ:
Thay maët hoäi ñoàng xeùt SKKN
- Xem thêm -