Tài liệu Sáng kiến kinh nghiệm giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hình học là phần khó của chương trình toán, nhất là phần hình hoc không gian, đa số học sinh rất sợ khi học về hình học không gian. Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình học không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả phương pháp hình học thuần tuý và cả phương pháp tọa độ. Việc giải toán Hình học không gian bằng phương pháp hình học thuần túy gặp rất nhiều khó khăn cho học sinh vừa học xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quen kiến thức, kỹ năng chứng minh, dựng hình ...trong không gian. Việc giải bằng phương pháp toạ độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học sinh cũng gặp không ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này không được đề cập nhiều trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thông ít được tiếp cận. Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán Hình học không gian, chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp. Trong phạm vi đề tài Sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi xin trình bày một số kỹ năng giải giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. 2. Phạm vi nghiên cứu Sau khi học sinh học hết chương trình lớp 12 chuẩn bị thi đại học. 3. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận, đọc tài liệu liên quan hình học không gian bằng phương pháp tọa độ 4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Chương 1 Phương pháp nghiên cứu lý luận Chương 2 Cở sở thực tiễn Chương 3 Một số kỹ năng giải giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. 1 PHẦN NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đ ến đ ỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực. Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm : • Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán • Bước 2 : Xây dựng thuật giải • Bước 3 : Thực hiện thuật giải • Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau : • Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích • Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên. 2 • Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng. Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. Các dạng toán thường gặp : • Độ dài đoạn thẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng • Khoảng cách giữa hai đường thẳng • Góc giữa hai đường thẳng • Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng • Góc giữa hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc. II. Cở sở thực tiễn a. Thuận lợi Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian. b. Khó khăn 3 Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quy ết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không như mong đợi. Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra đ ược phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò III. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài A. Các bài toán về hình chóp tam giác: Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a đ ể hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau. z Gọi H là tâm của tam giác ABC S vì M là trung điểm của BC ° Ta có: SA = SB = SC HA = HB = HC (∆ABC ñeà u) C A ° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az H z đôi một vuông góc A(0; 0; 0), �a a 3 � � a a 3 � � a 3 � � a 3 � B� ; ; 0� , C �− ; ; 0� , H� 0; ; 0� , S� 0; ; h�. 2 2 2 2 2 3 � � � � � � � � uuur � a 3 �uur �a a 3 �uuur � a a 3 � 0; ; h� , SB = � ; ; − h� , SC = � − ; ; − h� ° SA = � � 3 � �2 6 � �2 6 � uuur uur � ah 3 ah a2 3 � a ar − ; ;− �= − (3h 3; − 3h; a 3) = − .n1, ° [SA; SB] = � 2 6 � 6 6 � 2 r với n1 = (3h 3; − 3h; a 3) 4 M B y uuur uuur � ah 3 ah a2 3 � a ar [SA; SC] = − ;− ; � �= − (3h 3; 3h; − a 3) = − .n2, ° 2 6 � 6 6 � 2 r với n2 = (3h 3; 3h; − a 3) . uuur uur ° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SB nên có pháp vectơ uuur uuur ° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SC nên có pháp vectơ r r ° (SAB) ⊥ (SAC) � cos(n1; n2) = 0 r n1 . r n2 . ⇔ 3h 3.3h 3 − 3h.3h + a 3(−a 3) = 0 ⇔ 27h2 − 9h2 − 3a2 = 0 ⇔ 18h2 = 3a2 ⇔ h =  Vậy: h = a 6 . 6 a 6 . 6 Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh tam giác MAB cân và tính diện tích tam giác MAB theo a. ° Tam giác ABC vuông tại B có: 2 2 2 2 z 2 2a 2 AC = AB + BC = a + 4a = 5a S � AC = a 5 ° Dựng BH ⊥ AC (H AC), ta có: ⋅ AB2 a2 a AH = = = AC a 5 5 ⋅ 1 1 1 5 = + = 2 2 2 2 BH AB BC 4a � BH = ° M H A a 5 K x a B 5 2a 5 Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc với �2a a � A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B � ; ; 0� �5 5 � 5 C y ° � a 5 � 0; ; a� Tọa độ trung điểm M của SC là M � � 2 � ° uuuur � a 5 � 3a 0; ; a�� MA = Ta có: MA = � � 2 � 2 uuur � 2a 3a MB = � − ; ; � 5 2 5 3a � a�� MB = . 2 � suy ra: MA = MB ⇒tam giác MAB cân tại M. ° ° uuuur uuur �a2 uuuur uuur 2a2 2 � ; a �� [MA; MB] = a2 2 Ta có: [MA; MB] = � ; − 5 �5 � Diện tích tam giác MAB: SMAB Bài toán 3: 1 uuuur uuur 1 2 a2 2 = [MA; MB] = .a 2 = . 2 2 2 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông có AB=AC=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 . 2 a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung điểm của cạnh BC.  Lời giải: Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho a 2 O ≡ A(0;0;0) , B(a;0;0), C(0;a;0), S (0;0; ) 2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC): S z Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là i = (1;0;0) Mặt SB = (a;0;− phẳng (SBC) có a 2 a 2 ); SC = (0; a;− ) 2 2 cặp vectơ chỉ phương: C A 6 I B x y [ ]  a2 2 a2 2 2  a2 2 ; ; a  = (1;1; 2 ) 2 2  2  Ta cĩ SB, SC =  nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến n = (1;1 2 ) Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) ta có: cos ϕ = i.n i.n = 1 1+1+ 2 = 1 ⇒ ϕ = 60 0 2 a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC: a a 2 2   Vì I là trung điểm của BC ⇒ I  ; ;0  nên ta có: [ ]   a2 2 a2 2 a2   a 2 a 2 a a  , AI , SC =  −  AI =  ; ;0 , SC =  0; a;− ; ; , AS =  0;0;    2 2 2 4 4 2 2         [ ] a3 2 ⇒ AI , SC . AS = 4 [ AI , SC ] = a4 a4 a4 a2 + + = 8 8 4 2 Vậy khoảng cch giữa hai đường thẳng AI và SC là: [ AI , SC ].AS a3 2 2 a d ( AI , SC ) = = . 2 = 4 2 a  AI , SC    Bài toán 4: ( Trích đề thi Đại học khối A năm 2002 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt lượt trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích c ủa tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).  Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuôg góc của S trên mặt phẳng (ABC) thì H là tr ọng tâm ( cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp ) của tam gic ABC. Giả sử SH = h. Gọi K là trung điểm của BC ta có: AK = 7 a 3 a 3 a 3 ; AH = ; HK = 2 3 6