Tài liệu Rèn luyện kỹ năng giải bài tập liên quan đến đường tròn bằng hình thức trắc nghiệm khách quan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM '' RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN BẰNG HÌNH THỨC TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN " Người thực hiện: Vũ Thị Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực ( môn) : Toán THANH HÓA NĂM 2020 MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU...............................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài................................................................................................1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................1 3. Đối tượng nghiên cứu:.......................................................................................2 4. Phương pháp nghiên cứu:..................................................................................2 5. Cấu trúc của đề tài.............................................................................................2 PHẦN 2: NỘI DUNG...........................................................................................3 I. KHÁI QUÁT LÍ THUYẾT CƠ BẢN................................................................3 1) Phương trình đường tròn...................................................................................3 2) Nhận dạng phương trình đường tròn.................................................................3 3) Phương trình tiếp tuyến.....................................................................................3 II. Một số dạng bài tập minh họa thường gặp về đường tròn và các phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề.............................................................................3 II.1. Dạng 1: * Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn..........................3 * Tìm điều kiện để một phương trình là đường tròn.............................................3 * Tìm quỹ tích tâm của đường tròn.......................................................................3 II.2. Dạng 2: Lập phương trình đường tròn...........................................................7 II.3. Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Đường thẳng đi qua hai tiếp điểm..............................................................................................................11 II.4. Dạng 4: Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn. Bài toán tương giao......................................................................................................................15 PHẦN 3: TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ................18 3.1 Mục đích, tổ chức thực nghiệm.....................................................................18 3.2 Nội dung dạy thử:..........................................................................................19 3.3 Kết quả thử nghiệm và những kết luận rút ra từ thử nghiệm........................19 KẾT LUẬN.........................................................................................................20 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................20 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình THPT, môn Toán có một vai trò rất quan trọng. Là môn học đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgic, sáng tạo và khả năng tự nghiên cứu học hỏi cao. Với học sinh lớp 10 thì không ít em gặp nhiều khó khăn đối với môn Toán. Một cấp học mới, một môi trường mới, cần một phương pháp mới, nhiều em rất lúng túng không tìm được phương pháp học hiệu quả cho mình dẫn đến kết quả giảm sút so với các năm học trước. Hơn nữa, với sự đổi mới về cách thức thi cử, kiểm tra, đánh giá học sinh thì càng yêu cầu cao hơn khả năng thích ứng của các em. Từ năm học 2016 - 2017, bộ Giáo dục đã thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan với môn Toán. Do đó, ngay từ khi học lớp 10, học sinh phải có kiến thức, kĩ năng và phương pháp cần thiết để học và làm tốt bài thi theo hình thức này. Qua một năm học vừa rồi, thực tế khi giảng dạy học sinh lớp 10 tôi thấy các em rất lúng túng, lo lắng với kiểu thi trắc nghiệm khách quan, vì các em quen làm bài kiểu tự luận, tỉ mỉ, chậm rãi. Nay chuyển sang phải làm nhiều, làm nhanh, làm đúng. Nhiều em rất khó khăn. Đặc biệt với môn toán hình học. Để các em có được phương pháp tư duy nhanh, khả năng giải quyết vấn đề và kĩ năng làm bài tốt, việc dạy học theo phương pháp mới, rèn luyện kĩ năng giải bài tập theo hình thức trắc nghiệm ngay từ năm lớp 10 là rất cần thiết cho học sinh. Nhưng trước hết, học sinh vẫn phải thành thạo các bài toán ở dạng tự luận và biết chọn cách làm nhanh vào bài toán trắc nghiệm. Các em phải được trang bị các kiến thức cơ bản, phương pháp mới làm toán trắc nghiệm, kĩ năng giải toán nhanh, kĩ năng sử dụng máy tính thành thạo. Khi đó, các em sẽ tự tin, hứng thú trong học tập và đạt được các kết quả cao. Với lí do trên, tôi chọn đề tài " Rèn luyện kĩ năng giải bài tập về đường tròn bằng hình thức trắc nghiệm khách quan" trong chương trình hình học cơ bản lớp 10. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Đề tài đưa ra một số hướng suy nghĩ, tư duy, phương pháp nhanh, hiệu quả trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải bài tập liên quan đến đường tròn trong chương trình hình học lớp 10 ( ban cơ bản ). Nhiệm vụ nghiên cứu: + Hệ thống hóa lí thuyết về đường tròn + Đưa ra một số phương pháp khả thi và hiệu quả trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải bài tập về đường tròn. + Tổ chức kiểm tra, đánh giá kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 1 3. Đối tượng nghiên cứu: + Nghiên cứu các bài dạng bài toán về đường tròn trong chương trình hình học lớp 10 ( ban cơ bản) + Mẫu khảo sát: các lớp 10A1, 10A2, trường THPT Lê Hồng Phong năm học 2019 - 2020. 4. Phương pháp nghiên cứu: + Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các nội dung có trong đề tài với phương pháp là: Với mỗi dạng toán đều có ví dụ minh họa dạng tự luận sau đó cho bài tập dạng trắc nghiệm. + Triển khai dạy thực nghiệm một số giáo án để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. + Kiểm tra, đánh giá, thống kê. 5. Cấu trúc của đề tài + Phần 1: Mở đầu + Phần 2: Nội dung : I. Khái quát lí thuyết cơ bản. II. Đưa ra một số dạng bài tập minh họa thường gặp về đường tròn và các phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề. Trong mỗi dạng, tác giả nêu các kiến thức và kĩ năng cơ bản mà học sinh cần nắm được, các lưu ý quan trọng. Một số ví dụ chọn lọc và có hệ thống bài tập vận dụng. * Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn * Dạng 2: Lập phương trình đường tròn * Dạng 3: Tiếp tuyến của đường tròn * Dạng 4: Tương giao của đường thẳng với đường tròn * Dạng 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn + Phần 3: Tổ chức thực nghiệm và đánh giá kết quả. 2 PHẦN 2: NỘI DUNG y I. KHÁI QUÁT LÍ THUYẾT CƠ BẢN M y 1) Phương trình đường tròn I b * Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) R có tâm I(a ; b) và bán kính R. Điểm M(x ; y) x O a x thuộc đường tròn (C) 2 2 2 ↔ ℑ=R↔(x −a) +( y−b) =R (1) Phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính R. 2) Nhận dạng phương trình đường tròn * Phương trình: x 2+ y 2+2 ax +2 by +c=0 , với điều kiện a 2+ b2+ c >0 là phương trình của đường tròn có tâm I(-a ; -b) và bán kính R=√ a2+ b2−c 3) Phương trình tiếp tuyến * Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I, bán kính R ↔ d ( I , ∆ )=R Đường thẳng ∆ là một tiếp tuyến của đường tròn. II. Một số dạng bài tập minh họa thường gặp về đường tròn và các phương pháp khác nhau để giải quyết vấn đề. II.1. Dạng 1: * Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn * Tìm điều kiện để một phương trình là đường tròn * Tìm quỹ tích tâm của đường tròn 1.1 Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn Kiến thức cơ bản: + Đường tròn ( x−a)2 +( y−b)2=R 2 có tâm I(a ; b) , bán kính R + Phương trình x 2+ y 2+2 ax +2 by +c=0 ,(a 2+ b2+ c >0) là phương trình của đường tròn có tâm I(-a ; -b) và bán kính R=√ a2+ b2−c Kĩ năng: Nắm rõ dạng phương trình đường tròn để tìm đúng tâm và bán kính Ví dụ 1: Điền vào ô trống Đường tròn 2 Tâm I 2 1.( x−2) +( y +3) =10 2. x 2+( y−5)2=16 3. x 2+ y 2=3 4. x 2+ y 2−8 x−2 y+ 4=0 5. 3 x 2+3 y 2 +6 x−3 y−1=0 Đáp án: 3 Bán kính R Đường tròn 2 Tâm I I(2 ; -3) I(0 ; 5) I(0 ; 0) I(4 ; 1) 2 1.(x−2) +( y +3) =10 2. x 2+( y−5)2=16 3. x 2+ y 2=3 4. x 2+ y 2−8 x−2 y+ 4=0 5. 3 x 2+3 y 2 +6 x−3 y−1=0 1 I(−1 ; 2 ¿ Bán kính R R=√ 10 R=4 R=√ 3 R=√ 13 19 R= 12 √ Lưu ý: Trong câu 5, phải chia cả hai vế của phương trình cho 3 để đưa về đúng dạng cơ bản rồi mới tìm tâm và bán kính theo công thức. 1.2 Tìm điều kiện để một phương trình là đường tròn Kiến thức cơ bản: Phương trình x 2+ y 2+2 ax +2 by +c=0 , ( a 2+ b2+ c >0) là phương trình của đường tròn có tâm I(-a ; -b) và bán kính R=√ a2+ b2−c Kĩ năng: Nắm được dấu hiệu để nhận biết nhanh phương trình nào là của đường tròn. Chẳng hạn khi c < 0 luôn đúng. Và sẽ không là đường tròn khi: hệ số của x và y không đồng nhất, hoặc có chứa tích x.y, hoặc vi phạm điều kiện 2 2 a + b + c >0. Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây là của đường tròn A. x 2+ y 2−2 x + y + 4=0 B. x 2+ y 2+3 x−5 y −1=0 C. x 2+ y 2+ 6 xy −2 x −4=0 D. x 2− y 2−4 x+ 2 y −3=0 Đáp án: B ( dùng phương pháp loại trừ ta được kết quả B ) Ví dụ 3: Phương trình nào sau đây không phải của đường tròn A. 2 x2 +2 y 2−4 x+ 6 y+ 3=0 B. x 2+ y 2−5=0 C. x 2+ y 2+5 y +1=0 D. x 2+ y 2−4 x + y +6=0 Đáp án: D ( vi phạm điều kiện a 2+ b2+ c >0 ¿ Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 2+ y 2−2(2 m−1) x +2 my+2 m=0 là phương trình của một đường tròn? 2 B. m<0 hoặc m> 4 A. m←2 hoặc m> 3 D. m<1 hoặc m>2 1 C. m< 5 hoặc m>1 Đáp án: C ( dùng điều kiện a 2+ b2+ c >0 ¿ Ví dụ 5: Tìm m để x 2+ y 2−2 mx− ( m−1 ) y +2 m+1=0 là phương trình đường tròn có bán kính R=3 √2. A. m∈ {−4 ; 2 } B. m∈ {−3 ; 5 } {1 } C. m∈ 3 ; 3 −3 D. m∈ 2 ; 4 { 4 } Đáp án: B ( dùng công thức R=√ a2+ b2−c ) 1.3 Tìm quỹ tích tâm của đường tròn Kiến thức cơ bản: Cách tìm quỹ tích của điểm M(x ; y) trong mặt phẳng tọa độ + Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để điểm M tồn tại. + Bước 2: Tính tọa độ (x ; y) của điểm M theo tham số ( chẳng hạn là m ). + Bước 3: Khử tham số m giữa x và y ( ta gọi là tìm hệ thức liên hệ giữa x và y mà không phụ thuộc tham số). + Bước 4: Giới hạn quỹ tích ( căn cứ vào điều kiện ở bước 1) Chú ý: + Nếu x M hoặc y M không phụ thuộc tham số thì không phải làm bước 3. + Nếu điểm M luôn tồn tại thì không phải làm bước 4. Kĩ năng: Thực hiện đúng phương pháp tìm quỹ tích để hoàn thiện tốt bài làm. Ví dụ 6: Tìm quỹ tích tâm của đường tròn x 2+ y 2−2 mx+2 ( m+ 2 ) y +2(m2 +m+1)=0 Bài giải: Bước 1: Tìm điều kiện của m Để phương trình đã cho là đường tròn thì a 2+ b2+ c >0 , suy ra m > -1. { x =m I Bước 2: Gọi I là tâm đường tròn, y =−m−2 I Bước 3: Cộng các vế ta được x I + y I =−2. Vậy tâm I thuộc đường thẳng cố định x + y +2 = 0 Bước 4: giới hạn: do m>−1nên x I >−1 Kết luận, vậy quỹ tích các điểm I là nửa đường thẳng ∆ : x + y +2=0 ( thỏa mãn x > - 1). Ví dụ 7: Tâm của đường tròn x 2+ y 2−mx−2 (1−3 m ) y−1=0 thuộc đường thẳng cố định nào ? A. x−3 y−2=0 B. 4 x+ y+2=0 C. 3 x−2 y−4=0 D. 6 x + y−1=0 Đáp án: D Bài tập vận dụng: Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn A. x 2+ y 2−x− y +9=0 B. x 2+ y 2−x=0 C. x 2+ y 2−2 xy −1=0 D. x 2− y 2−x +3 y−1=0 5 Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là của đường tròn A. x 2+ y 2−x− y +9=0 B. x 2+ y 2− y=0 C. x 2+ y 2=2 D. x 2+ y 2−10 x+1=0 Câu 3. Đường tròn (C): x 2+ y 2−6 x−8 y=0 có bán kính là: A. 10 B. 25 C. 5 D. √ 10 Câu 4. Đường tròn (C): x 2+ y 2−5 y=0 có bán kính là: 5 A. √ 5 B. 2 C. 25 1 2 2 Câu 5. Đường tròn (C): x + y + x−√ 3=0 có tâm là: √2 √3 −√ 2 ;0 A. 0 ; B. C. ( √ 2 ; √ 3 ) D. ( 2 ) ( 4 ) D. √ 5 2 ( 21√2 ; 0) Câu 6. Đường tròn (C): 2 x2 +2 y 2−8 x +4 y−1=0 có tâm là: A. (-2 ; 1) B. (8 ; -4) C. (-8 ; 4) D. (2 ; -1) 2 2 Câu 7. Cho đường tròn (C): (x−2) + y =2. Tìm mệnh đề sai: A. (C) có tâm I(2 ; 0) B. (C) có bán kính R=√ 2 C. (C) cắt trục Ox tại hai điểm D. (C) cắt trục Oy tại hai điểm 2 2 Câu 8. Cho đường tròn (C): 2 x +2 y −4 x+ 8 y+1=0. Tìm mệnh đề đúng. A. (C) không cắt trục Oy B. (C) cắt trục Ox tại một điểm C. (C) có tâm I(2 ; -4) D. (C) không đi qua điểm M(2 ; 5) Câu 9. Tìm m để phương trình x 2+ y 2−2 ( m+1 ) x−2 ( m+ 2 ) y +6 m+7=0 là phương trình của đường tròn. A. m<0 B. m>1 C. m<1 D. m < -1 hoặc m > 1 Câu 10. Với giá trị nào của m thì phương trình x 2+ y 2−2 mx+4 y+ 8=0 không phải là phương trình của đường tròn . A. m < - 2 hoặc m > 2 B. m > 2 C. −2 ≤ m≤ 2 D. m < -2 2 2 Câu 11.Tìm m để ( C m ) : x + y −mx−2 ( 1−3 m ) y−1=0là đường tròn có bán kính bằng 7 A. m = 4 B. m = 8 C. m = - 8 D. m = - 4 2 2 Câu 12. Quỹ tích tâm các đường tròn ( C m ) : x + y −2 ( 2 m−1 ) x+2 my+ 2m=0 thuộc đường thẳng nào sau đây. A. x +2 y +1=0 B. x−2 y−1=0 C. 2 x+ y +1=0 D. x−2 y +1=0 6 II.2. Dạng 2: Lập phương trình đường tròn Kiến thức cơ bản: + Tìm tâm I(a ; b), bán kính R, có phương trình ( x−a)2 +( y−b)2=R 2 + Đường tròn đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng thì nên dùng phương trình x 2+ y 2+2 ax +2 by +c=0 . + Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I, bán kính R ↔ d ( I , ∆ )=R Đặc biệt: + Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với trục Ox thì R=|b| ( h.1) + Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với trục Oy thì R=|a| ( h. + Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy thì R=|a|=|b| . ( h.3) y y b y b I R I I R O b R a x a O a x O x ( h.1) ( h.2) ( h.3) Kĩ năng: Nắm vững các dạng cơ bản về viết phương trình đường tròn ( thường là đi tìm tâm và tính bán kính ). Liên hệ các kiến thức về đường tròn ở lớp 9 để giải quyết nhanh gọn bài toán. Chẳng hạn: + Khi đường tròn đi qua hai điểm A, B thì tâm I luôn nằm trên đường trung trực của đoạn AB. + Khi đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm M thì tâm I luôn nằm trên thẳng vuông góc với ∆ , tại điểm M. + Khi đường tròn tâm I, bán kính R cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm A, B thì IH vuông góc AB tại trung điểm H của AB và IH = d(I , ∆ ). A I I R H R B M Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-1;3), B(-1 ; -2), C(3 ; -2) Bài giải: Bài toán này ta có thể làm theo ba cách. Cách 1: + Gọi phương trình dạng: x 2+ y 2+2 ax +2 by +c=0 . + Thay tọa độ ba điểm A, B, C ta được hệ phương trình ba ẩn a, b, c. 7 + Giải hệ tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện a 2+ b2+ c >0 rồi thay giá trị của a, b, c vào phương trình ban đầu ta được kết quả. Cách 2: + Gọi I(a ; b) là tâm ta có IA = IB = IC + Giải hệ hai ẩn a, b ta tìm được tâm và tính R = IA + Viết phương trình đường tròn Cách 3: + Tâm I là giao của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. + Tính R = IA + Viết phương trình đường tròn. Giáo viên lưu ý học sinh với hình thức trắc nghiệm thì học sinh nên dùng cách 1, sử dụng máy tính sẽ nhanh và chính xác hơn. Đáp án: x 2+ y 2−2 x − y−9=0 Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên trục tung và đi qua hai điểm A(3 ; -3), B(5 ; 1). Bài giải: bài toán này có thể làm theo ba cách Cách 1: + Gọi tâm I(0 ; b), cho IA = IB, tìm được b, tìm được tâm I + Tính R = IA, viết phương trình đường tròn Cách 2: + Viết phương trình đường trung trực ∆ của AB + Cho ∆ giao trục tung tìm được tâm I + Tìm R = IA, viết phương trình đường tròn Cách 3: + Gọi tâm I(0 ; b) , có phương trình x 2+( y−b)2=R2 + Thay tọa độ A, B vào phương trình , giải hệ ta tìm được được b và R, suy ra phương trình đường tròn. Giáo viên lưu ý học sinh, ba cách trên gần tương đương nhau, học sinh chọn theo kĩ năng của mình. Đáp án: x 2+( y−1)2=25 Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : x+ 2 y −1=0 và tiếp xúc với đường thẳng d ' : x −6 y−22=0 tại điểm A(-2 ; - 4). Bài gải: bài toán này được làm theo ba cách Cách 1: + Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với d' + Tâm I là giao của ∆ và d + Tính R = IA, viết phương trình đường tròn Cách 2: + Gọi tâm I(1-2t ; t) thuộc d, giải phương trình IA = d(I , d') tìm được t, tìm được tâm I + Tính R = IA, viết phương trình đường tròn. Cách 3: + Gọi phương trình đường tròn (x−a)2 +( y−b)2=R 2 8 a+2 b−1=0 (−2−a)2+(−4−b)2=R2 + Giải hệ phương trình |a−6 b−22| =R √ 37 { + Tìm được a, b, R, viết phương trình đường tròn. Giáo viên lưu ý học sinh chọn cách 1 là dễ nhất, hai cách còn lại phải giải phương trình và hệ phương trình đều phức tập dễ nhầm lẫn. Đáp án: (x +3)2+( y−2)2=37 Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn có tâm I(- 4 ; 1) và cắt đường thẳng ∆ :2 x− y−6=0 tại hai điểm A, B sao cho AB=8 √ 5. Bài giải: + Khi đường tròn cắt đường thẳng thì chỉ nên làm theo một hướng mà rất quen ở lớp 9 là lấy trung điểm H của AB, ta có AB =4 √ 5 2 |2. (−4 )−1−6| IH =d ( I , ∆ )= =3 √ 5 √5 { HA =HB= I R A H B + R =IA =IH + HA =125 + Đáp án: ( x +4 )2 +( y−1)2=125 Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn có tâm I(2 ; - 4) và cắt đường thẳng ∆ : x +3 y−5=0 tại hai điểm A, B sao cho IA IB. Bài giải: + Gọi H là trung điểm AB, do tam giác IAB vuông cân tại I nên ta có 2 IH = 2 2 2 AB R √ 2 = 2 2 + Mặt khác, IH =d ( I , ∆ )= |2+3. (−4 )−5| 15 = √ 10 √ 10 + Tìm được R=3 √ 5 + Đáp án: ( x−2)2+( y + 4)2=45 Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(-3 ; 0) và đi qua điểm B(- 4 ; 1). Bài giải: + Do đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại A(-3 ; 0) nên tâm I thuộc đường thẳng x = -3, do đó gọi tâm I(-3 ; b). + Cho IA = IB tìm được b = 1, suy ra R = |b|=1. + Đáp án: ( x +3)2+( y−1)2=1 Ví dụ 7: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0 ; 1) và có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 4 x−3 y +5=0. Bài giải: + Vì đường tròn tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0 ; 1) nên tâm I thuộc đường thẳng y = 1, do đó gọi I(a ; 1). 9 −1 + Mà tâm I thuộc ∆ , thay tọa độ I vào phương trình ∆ tìm được a= 2 , 1 R = |a|= 2 . 2 1 1 + Đáp án: (x + ) +( y−1)2= . 2 4 Ví dụ 8: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm thuộc đường thẳng ∆ : x + y−2=0. Bài giải: + Gọi tâm I và thuộc ∆ : x + y−2=0 nên I(t ; 2-t) + Vì đường tròn tiếp xúc với hai trục nên |t |=|2−t|, tìm được t = 1 + Đáp án : (x−1)2+( y−1)2=1. Bài tập vận dụng: Câu 1. Đường tròn tâm I(3;-1), bán kính R = 2 có phương trình là: A. (x +3)2+( y−1)2=4 B. (x−3)2 +( y −1)2=4 C. (x−3)2 +( y +1)2=4 D. (x +3)2+( y +1)2=2 Câu 2. Đường tròn tâm I(-1 ; 2) và đi qua M(2;1) có phương trình là: A. x 2+ y 2+2 x−4 y−5=0 B. x 2+ y 2+2 x−4 y−3=0 C. x 2+ y 2−2 x −4 y −5=0 D. x 2+ y 2+2 x +4 y−5=0 Câu 3. Cho A(5 ; -1), B(-3 ; 7), đường tròn đường kính AB có phương trình là: A. x 2+ y 2+2 x−6 y −22=0 B. x 2+ y 2−2 x −6 y +22=0 C. x 2+ y 2−2 x − y+ 1=0 D. x 2+ y 2+ 6 x +5 y +1=0 Câu 4. Đường tròn có tâm I(4 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x−4 y +5=0 có phương trình là: A. (x +4 )2 +( y−3)2=1 B. (x−4)2+( y −3)2 =1 C. (x +4 )2 +( y +3)2=1 D. (x−4)2+( y +3)2=1 Câu 5. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;3) , B(3;1) và có tâm thuộc đường thẳng ∆ :2 x− y +7=0 có phương trình là: A. (x−7)2 +( y−7)2=102 B. (x +7)2+( y +7)2=164 C. (x−3)2 +( y −5)2=25 D. ( x +3)2+( y +5)2=25 Câu 6. Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0 ; - 2) và đi qua điểm B(4 ; - 2) có phương trình là: A. (x−2)2+( y +2)2=4 B. (x +2)2 +( y−2)2=4 C. (x−3)2 +( y −2)2 =4 D. ( x−3)2 +( y +2)2=4 Câu 7. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(0 ; 2) , B(2 ; 2) , C(1 ; 1+ √ 2¿ có phương trình là: A. x 2+ y 2+2 x +2 y−√ 2=0 B. x 2+ y 2−2 x −2 y =0 C. x 2+ y 2−2 x −2 y −2=0 D. x 2+ y 2+2 x−2 y + √ 2=0 Câu 8. Đường tròn nào sau đây đi qua ba điểm A(- 1 ; 1), B(3 ; 1) , C(1 ; 3): 10 A. x 2+ y 2−2 x −2 y −2=0 B. x 2+ y 2−2 x −2 y +2=0 C. x 2+ y 2−2 x +2 y=0 D. x 2+ y 2+2 x +2 y−2=0 Câu 9. Đường tròn đi qua điểm A(2 ; 4) và tiếp xúc với hai trục tọa độ có phương trình là: A. (x−2)2+( y −2)2=4 hoặc ( x−10)2 +( y −10)2 =100 B. (x +2)2 +( y +2)2 =4 hoặc (x−10)2 +( y −10)2 =100 C. (x +2)2 +( y +2)2 =4 hoặc (x +10)2+( y +10)2=100 D. (x−2)2+( y −2)2=4 hoặc (x +10)2+( y +10)2=100 Câu 10. Cho hai điểm A(- 4 ; 2), B(2 ; - 3). Tập hợp điểm M(x ; y) thỏa mãn 2 2 MA + MB =31 có phương trình là: A. x 2+ y 2+2 x +6 y +1=0 B. x 2+ y 2−6 x−5 y +1=0 C. x 2+ y 2−2 x −6 y−22=0 D. x 2+ y 2+2 x +6 y +22=0 II.3. Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Đường thẳng đi qua hai tiếp điểm. Kiến thức cơ bản: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆ . Điều kiện cần và đủ để ∆ tiếp xúc với (C) là d ( I , ∆ )=R. (*) * Dạng toán: Tiếp tuyến tại điểm: +Tiếp tuyến của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua điểm M và nhận vecto ⃗ℑ làm pháp tuyến * Dạng toán : Tiếp tuyến có phương cho trước: + Nếu tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng ax +by +c =0 thì phương trình ∆ có dạng ax +by +m=0, m là tham số. Dùng điều kiện tiếp xúc (*) tìm được m. + Nếu tiếp tuyến tuyến ∆ của (C) vuông góc với đường thẳng ax +by +c =0 thì phương trình ∆ có dạng bx−ay+ m=0, m là tham số. Dùng điều kiện tiếp xúc (*) tìm được m. + Đặc biệt: khi tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân thì hệ số góc của tiếp tuyến là 1 hoặc - 1. * Dạng toán: Tiếp tuyến đi qua điểm M ( x 0 ; y 0 )cho trước. + Gọi phương trình tiếp tuyến là: a ( x−x 0 ) + b ( y− y 0 ) =0, với n⃗ =(a ,b)≠ ⃗0 + Điều kiện tiếp xúc d ( I , ∆ )=R, quy đồng phương trình, bình phương, chọn n⃗ =(a ,b)≠ ⃗0 + Kết luận phương trình tiếp tuyến. * Chú ý: + Từ điểm M nằm trong đường tròn (C) không có tiếp tuyến nào với (C). + Từ điểm M nằm trên (C) kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C). 11 + Từ điểm M nằm noài (C) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). Khi đó gọi A, B là các tiếp điểm thì đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng IM tại trung điểm H của AB. Kĩ năng: + Thành thạo các dạng phương trình tiếp tuyến + Vận dụng các tính chất của tiếp tuyến với đường tròn để xử lí các bài toán liên quan đến tiếp tuyến. Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x 2+ y 2−4 x +8 y +10=0 tại điểm A(-1;-3). Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; -4), bán kính R = √ 10 đi qua A (−1 ;−3) { + Gọi ∆ là tiếp tuyến tại A(-1 ; -3), ∆ : có vecto pháp tuyến ⃗n=⃗ AI =(3 ;−1) + Phương trình ∆ :3 x− y =0 Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): x 2+ y 2+ 6 x −2 y −10=0 . Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2 x−4 y+1=0. Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 1), bán kính R = √ 20 + Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C), vì ∆ // d nên phương trình ∆ : x−2 y +c=0 , c ≠ 1 + d ( I , ∆ )=R, tìm được c=−5 hoặc c=15 . + Đáp án: x−2 y−5=0 , x−2 y+15=0 Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x 2+ y 2+ 6 x + 4=0. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 4 x+2 y−7=0 . Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 0), bán kính R = √ 5 + Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C), vì ∆ vuông góc d nên phương trình ∆ : x−2 y +c=0 + d ( I , ∆ )=R, tìm được c=4 hoặc c=8. + Đáp án: x−2 y +4=0 , x−2 y +8=0. Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x +1)2 +( y−2)2=5 biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M ( √ 5−1 ; 1) . Bài giải: + (C) có tâm I(-1 ; 2), bán kính R = √ 5 + Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình a ( x− √ 5+1 ) +b ( y −1 )=0 , a2 +b 2 ≠ 0. |a (−1− √5+1 ) +b (2−1)| |−√ 5 a+b| = + d ( I , ∆ )= 2 2 2 2 √ a +b +Để∆ là tiếp tuyến của (C) thì √ a +b |− √5 a+ b| 2 √a + b 2 =√ 5 ↔|− √ 5 a+ b|=√ 5 a 2+5 b 2 + Từ đó, b ( 2 b+ √ 5 a ) =0, suy ra b=0 hoặc 2 b+ √ 5 a=0 + Nếu b = 0, ta chọn a = 1 và được tiếp tuyến ∆ 1 : x− √ 5+1=0 12 + Nếu 2 b+√ 5 a=0, ta chọn a=2, b=−√5 , được tiếp tuyến ∆ 2 :2 x−√ 5 y+ 2−√ 5=0 . Giáo viên nhấn mạnh học sinh, bài toán tiếp tuyến đi qua điểm phải làm như phương pháp nêu trên. Nếu học sinh gọi tiếp tuyến theo dạng y=k ( x−x 0 ) + y 0 ( k là hệ số góc ) thì sẽ làm mất tiếp tuyến dạng x=x 0 vì đường thẳng x=x 0 không có hệ số góc. Ví dụ 5: Biết rằng từ điểm M(0 ; - 1) ta vẽ được hai tiếp tuyến đến(C): 2 2 x + y + 6 x −4 y + 4=0. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm. Bài giải: + (C) có tâm I(-3 ; 2) và R = 3. Gọi A ( x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2) là hai tiếp điểm. đi qua điểm A ( x 1 ; y 1 ) + Tiếp tuyến AB ⃗ { có vtpt IA =( x 1+ 3; y1 −2) Phương trình tiếp tuyến AB là: ( x 1 +3 ) ( x−x 1 ) + ( y 1−2 ) ( y − y 1) =0 + Tiếp tuyến AB đi qua M(0 ; - 1) nên ( x 1 +3 ) ( 0−x1 ) + ( y 1−2 ) (−1− y 1 ) =0 hay x 21+ y 21+3 x 1− y 1−2=0 (1) Mà A ( x 1 ; y 1 ) ∈(C) nên x 21+ y 21+ 6 x 1−4 y 1 +4=0 (2) + Lấy (2)-(1) ta được x 1− y 1 +2=0 . Vậy A ( x 1 ; y 1 ) ∈ ∆ : x− y+ 2=0 Tương tự ta có B( x 2 ; y 2 ) ∈ ∆ : x− y+ 2=0. + Vậy đường thẳng AB là x− y +2=0. Giáo viên lưu ý học sinh: + Dùng bài toán tiếp đi qua điểm M ta tìm được hai tiếp tuyến. + Xét tương giao của một tiếp tuyến với đường tròn ta tìm được một tiếp điểm A + Viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với IM. Ví dụ 6: Cho đường tròn (C): ( x−2)2+( y +3)2=4 và điểm M ở trên đường thẳng y + 5 = 0. Xác định tọa độ của M để từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; - 3) , bán kính R = 2 + Gọi M(m ; -5) thuộc đường thẳng y + 5 = 0 + Yêu cầu bài toán dẫn đến tứ giác MAIB là hình vuông cạnh bằng R (A, B là hai tiếp điểm) nên ta có ℑ=R √ 2 , giải phương trình tìm được m = 0 hoặc m = 4. + Kết luận M(0 ; - 5) , M(4 ; - 5). Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆ : x− y+1=0 và đường tròn (C): ( x +1)2 +( y−2)2=5 . 13 Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ để từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) và ^ AMB=60 0. Bài giải: + (C) có tâm I(- 1 ; -2) , bán kính R = √ 5 + Gọi M(t ; t+1) thuộc đường thẳng ∆ + Yêu cầu bài toán dẫn đến tam giác MAB đều (A, B là hai tiếp điểm) nên ta có ℑ=2 R , giải phương trình tìm được t =± 3 + Kết luận M(3 ; -4) , M(- 3 ; - 2). Ví dụ 8: Biết rằng từ điểm M(1 ; 3) kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C): x 2+ y 2+ 8 y−9=0 và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Viết phương trình đường thẳng AB. Bài giải: + (C) có tâm I(0 ; - 4) , bán kính R = 5 + Vì tứ giác MAIB là hình vuông nên IM vuông góc với AB tại trung điểm H 1 1 đi qua điểm H ( ;− ) 2 2 + Khi đó đường thẳng AB: có vtpt n⃗ =⃗ ℑ=(1; 7) { + Đáp án: x +7 y +3=0 Giáo viên lưu ý học sinh: nếu giải quyết bài toán này theo Ví dụ 5 thì sẽ rất dài, ở đây sử dụng tính chất của tiếp tuyến và yêu cầu của bài toán ta suy ra có tâm 1 1 H ( ;− ) của hình vuông MAIB vì vậy giải quyết nhanh chóng ra đáp án. 2 2 Thưc tế, khi dạy học và ra bài tập này, học sinh Đạt lớp 10A1 đã làm theo cách đi viết phương trình tiếp tuyến đia qua điểm M, sau đó mới viết đường thẳng AB. Tôi đã định hướng cho em và các học sinh khác để nhớ và biết cách làm ngắn gọn. Với bài toán này, học sinh Phong lớp 10A1 đã dùng bài toán tiến tuyến đi qua điểm M để tìm hai tiếp điểm A, B rối mới tính đoạn AB. Tôi nhấn mạnh với học sinh, tất cả các bài toán tiếp tuyến của đường tròn, ta phải có hình vẽ và sử dụng tính chất của tiếp tuyến đã học ở lớp 9 để vận dụng và làm theo cách nhanh nhất. Bài tập áp dụng: Câu 1. Từ điểm A(2 ; - 1) vẽ được mấy tiếp tuyến với đường tròn 2 2 x + y −6 x−4 y +8=0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 2. Tìm để từ điểm A(m ; 0) vẽ được hai tiếp tuyến đến (C): x 2+ y 2+ 4 x−2 y−5=0 . 14 A. m < - 4; m > - 1 B. m < - 5 ; m > 1 C. 0 < m < 4 D. - 1 < m < 3 Câu 3. Tìm m để đường thẳng ∆ : x + y−m+3=0 cắt (C): 2 2 (x−3) +( y +1) =16 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B vuông góc với nhau. A. m = 1 ; m = 9 B. m = - 1 ; m = - 9 C. m = 1 D. m = 9 Câu 4. Cho đường tròn (C): (x−3)2 +( y −1)2=10 . Tiếp tuyến của (C) tại A(4 ; 4) là: A. x-3y+5=0 B. x+3y-4=0 C. x-3y+16=0 D. x+3y-16=0 Câu 5. Cho đường tròn (C): ( x−2)2+( y −2)2=9. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(- 5 ; 1) là: A. x+y-4=0; x-y-2=0 B. x=5; y=-1 C. 2x-y-3=0;3x+2y-2=0 D. 3x-2y-2=0; 2x+3y+5=0 2 2 Câu 6. Cho (C): x + y +2 x−6 y +5=0. Tiếp tuyến của (C) song song với d: x+2y-5=0 là: A. x+2y=0; x+2y-10=0 B. x-2y=0; x+2y+10=0 C. x+2y-1=0; x+2y-3=0 D. x-2y-1=0; x-y-3=0 2 2 Câu 7. Cho (C): x + y −6 x+ 2 y +5=0 và d: 2 x+( m−2 ) y −m−7=0. Tìm m để d là tiếp tuyến của (C). A. m = 3 B. m = 15 C. m = 13 D. m = 3 ; m = 13 Câu 8. Đường tròn (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d: 3x-4y+5=0 tại điểm H. Tìm tọa độ H? ( −1 7 ) (1 7) (1 7) ( −1 7 ) A. 5 ;− 5 B. 5 ; 5 C. 5 ;− 5 D. 5 ; 5 Câu 9. Đường tròn (C): x 2+ y 2=1 tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây: A. x+y=0 B. 3x+4y-1=0 C. 3x-4y+5=0 D. x+y-1=0 Câu 11. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x 2+ y 2+ 4 x +4 y−17=0 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x-4y+1=0. A. 4x+3y+12=0; 4x+3y-7=0 B. 4x+3y+39=0; 4x+3y-11=0 C. 3x-4y+39=0; 3x-4y-11=0 D. 4x+3y-21=0; 4x+3y+13=0 II.4. Dạng 4: Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn. Bài toán tương giao Kiến thưc cơ bản: Để tìm vị trí tương đối của đường thẳng ∆ với đường tròn (C) có tâm I, bán kính R ta có hai cách. 15 Cách 1: So sánh khoảng cách d(I; ∆ )=IH với R I I I R A H H B H Cách 2: Giải hệ phương trình của ∆ và (C), từ số nghiệm ta suy ra số giao điểm, suy ra vị trí tương đối. ( Theo kiến thức lớp 9) Kĩ năng: + Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn, ta giải hệ phương trình. + Với bài toán đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B ta luôn quy về tính khoảng cách từ tâm của đường tròn tới đường thẳng. + Vận dụng tốt kiến thức tương giao của đường thẳng và đường tròn, tính chất đường kính và dây cung để giải toán. Lưu ý: + Dây cung lớn nhất của đường tròn đi qua tâm của đường tròn. + Dây cung dài nhất khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây cung là ngắn nhất và ngược lại. + Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến hai dây cung bằng nhau. + Từ điểm M nằm trong đường tròn (C), kẻ dây cung AB qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất khi và chỉ khi AB đi qua M và vuông góc với IM, vậy M là trung điểm của AB. {đi qua điểm M Khi đó dây AB: có vtpt n⃗ =⃗ℑ Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): x 2+ y 2−2 x +6 y −10=0 Điền số thích hợp vào ô trống: Đường thẳng Số giao điểm 2 x−3 y−1=0 3 x+ 4 y −18=0 x +2 y −5=0 Đáp án: Đường thẳng Số giao điểm 2 0 1 2 x−3 y−1=0 3 x+ 4 y −18=0 x +2 y −5=0 Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : x−4 y +6=0 2 2 x + y +2 x +6 y−7=0 . 16 và (C): x−4 y +6=0 { Bài giải: + Giải hệ phương trình x2 + y 2 +2 x+ 6 y−7=0 bằng phương pháp thế. + Đáp án :( - 2 ; 1) Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng ∆ : x + y +m=0 cắt (C): x 2+ y 2=1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt lớn nhất ( I là tâm )? 1 1 2 Bài giải: + S IAB= 2 IA . IB . sinI = 2 R . sinI + Do đó diện tích lớn nhất khi sin ^I =1 ↔ ^I =90 0 2 + d ( I , ∆ )=IH=R . sin 45 0= √ 2 + Đáp án: m=± 1 Lưu ý học sinh nhớ dùng công thức tính trên để tính diện tích tam giác trong bài toán này. Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): x 2+ y 2−4 x +2 y−8=0. Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-3;1) và cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6? Bài giải: + (C) có tâm I(2 ; -1) , R = √ 13 { đi qua M (−3; 1) + Đường thẳng ∆ : có vtpt ⃗n=(a ; b)≠ ⃗0 A ∆ có dạng: a ( x +3 ) +b ( y−1 )=0 I R H B + Gọi H là trung điểm AB ta có IH =√ R 2−HB 2=2 |5 a−2 b| + Mặt khác, IH =d ( I , ∆ )= 2 2 √a +b + Có |5 a−2 b| √ a 2 + b2 =2 , tìm được a=0 hoặc 21 a=20 b + Chọn cặp số (a ; b) ta được đáp số: y−1=0 ; 20 x+21 y +39=0 Bài tập vận dụng: Câu 1. Cho đường tròn (C): x 2+ y 2+ 4 x−6 y +5=0. Đường thẳng d đi qua điểm A(3;2) và cắt (C) theo dây cung dài nhất có phương trình là: A. x+y-5=0 B. x-y-5=0 C. x+2y-5=0 D. x-2y+5=0 2 2 Câu 2. Cho đường tròn (C): (x +1) +( y−3) =4 . Đường thẳng d' song song với d: 3x-4y+5=0 và d' chắn trên (C) dây cung có độ dài lớn nhất. Phương trình d' là: A. 4x+3y+13=0 B. 3x-4y+25=0 C. 3x-4y+15=0 D. 4x+3y+20=0 Câu 3. Cho đường tròn (C): x 2+ y 2+ 4 x−6 y +5=0. Đường thẳng d đi qua điểm A(3;2) và cắt (C) theo dây cung ngắn nhất có phương trình là: A. 2x-y+2=0 B. x+y-1=0 C. x-y-1=0 D. x+y+1=0 17 Câu 4. Cho đường tròn (C): x 2+ y 2+ 6 x −2 y +5=0 và đường thẳng d đi qua điểm M(-4;2), d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. Phương trình của d là: A. x-y+6=0 B. 7x-3y+34=0 C. 7x-3y+30=0 D. 7x-y+35=0 Câu 5. Đường tròn (x−a)2 +( y−b)2=R 2 cắt đường thẳng d: x+y-a-b=0 theo một dây cung có độ dài là: R 2 A. 2R B. R√ 2 C. √ D. R 2 Câu 6. Tọa độ giao điểm của ∆ : x + y−7=0 và (C): x 2+ y 2−25=0 là: A. (3;4); (-4;3) B. (4;3) C. (3;4) D. (3;4); (4;3) 2 2 Câu 7. Tìm m để đường thẳng ∆ :2 x− y +m=0 cắt (C): x + y + 4 x +6 y−7=0 tại hai điểm phân biệt. A. 00 D. |m|>3 Câu 8. Tìm m để đường thẳng ∆ : 4 x +3 y−m=0 cắt (C): x 2+ y 2−6 x+ 8 y−24=0 theo dây cung có độ dài bằng 10. A. ± 5 √ 6 B. ± 10 √6 C. 2 D. không tồn tại m PHẦN 3: TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 3.1 Mục đích, tổ chức thực nghiệm Mục đích thực nghiệm: Bước đầu kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các kĩ năng trong việc giải các bài toán về đường tròn trong chương trình hình học lớp 10 - Trung học phổ thông. Tổ chức thử nghiệm: * Lớp thử nghiệm : Đối tượng thử nghiệm là học sinh ban cơ bản trong năm học 2019 - 2020. Tôi chọn lớp10A1, 10A2 trường THPT Lê Hồng Phong tx Bỉm Sơn . Trong đó, lớp 10A1 là lớp thử nghiệm và lớp 10A2 là lớp đối chứng. * Quá trình thử nghiệm: Tiến hành đợt thử nghiệm trong hai tháng là tháng 5 và tháng 6 năm 2020. Đối với tiết thử nghiệm, giáo viên trực tiếp giảng dạy đã thống nhất với mục đích, yêu cầu, nội dung chuyên môn, các kiến thức và kĩ năng phù hợp với từng bài. Đối với lớp đối chứng, giáo viên dạy với các kiến thức và kĩ năng kĩ năng cơ bản đã thống nhất trong chương trình cơ bản. Việc dạy thử nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo phân phối chương trình. 3.2 Nội dung dạy thử: Các tiết dạy thử đối với các lớp 10A1, 10A2 trong chương " Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng" của hình học cơ bản lớp 10. 3.3 Kết quả thử nghiệm và những kết luận rút ra từ thử nghiệm 18