Tài liệu Quá trình phân nhánh và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TẠ NGỌC ÁNH HÀ NỘI - 2017 Mục lục Mở đầu 2 1 Quá trình Galton-Watson 1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mômen . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tính chất cơ bản của hàm sinh . . 1.4 Xác suất tuyệt chủng . . . . . . . 1.5 Các định lý giới hạn . . . . . . . . 1.5.1 Các định lý về tỉ lệ . . . . 1.5.2 Trường hợp dưới tới hạn . 1.5.3 Trường hợp tới hạn . . . . 1.5.4 Trường hợp siêu tới hạn . . 1.5.5 Tính chất cấp 2 của Zn /mn 1.6 Quá trình Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Quá trình phân nhánh Markov thời gian liên 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Xác suất tuyệt chủng và mômen . . . . . . . 2.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Nhúng vào quá trình Galton - Watson . . . . 2.7 Định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Trường hợp trên tới hạn λ > 0 . . . . 2.7.2 Trường hợp tới hạn λ = 0 . . . . . . . 2.7.3 Trường hợp dưới tới hạn . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 6 8 10 13 14 16 19 21 23 . . . . . . . . . . 26 26 27 29 30 32 33 35 35 36 38 3 Quá trình phụ thuộc tuổi 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Xác suất tuyệt chủng . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mômen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Tiệm cận của F (s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Không tới hạn : trường hợp Malthusian . . 3.4.3 Không tới hạn: trường hợp sub-exponential 3.5 Các định lý giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Trường hợp tới hạn . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Trường hợp dưới tới hạn . . . . . . . . . . 3.5.3 Trường hợp trên tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ứng dụng 4.1 Chuỗi phản ứng PCR và quá trình phân nhánh . . . . 4.1.1 Cơ chế hoạt động của PCR . . . . . . . . . . . 4.1.2 Mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Ước lượng thống kê của tỉ lệ đột biến . . . . . 4.2 Khuếch đại gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Khuếch đại gen và kháng thuốc . . . . . . . . . 4.2.2 Quá trình Galton - Watson cho mô hình khuếch và suy giảm gen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Mô hình toán học của mất sức đề kháng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . đại . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 41 43 44 44 45 46 46 46 47 48 . . . . . . 50 50 50 51 52 53 53 . 54 . 55 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 2 Mở đầu Quá trình phân nhánh là một quá trình ngẫu nhiên mô tả sự phát triển của một quần thể. Các cá thể sinh sản và chết đi độc lập với nhau theo một số phân bố xác suất nào đó. Quá trình phân nhánh có nhiều ứng dụng trong sinh học quần thể, sinh học phân tử, sinh y, dân số học,... Có nhiều kiểu quá trình phân nhánh: thời gian không liên tục (quá trình Galton - Watson), thời gian liên tục (quá trình Markov, quá trình phụ thuộc tuổi, quá trình Bellman - Harris). Nhưng trong khuôn khổ luận văn em trình bày ba quá trình phân nhánh cơ bản là: quá trình Galton Watson, quá trình Markov, quá trình phụ thuộc tuổi và một số ứng dụng đơn giản của quá trình phân nhánh. Luận văn “Quá trình phân nhánh và ứng dụng” gồm: Mở đầu, bốn chương nội dụng, kết luận và tài liệu tham khảo. Em xin cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, khóa học 2013 - 2015 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn TS. Tạ Ngọc Ánh người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành luận văn thạc sĩ này. Hà Nội, ngày 29 tháng 11 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thu 3 Chương 1 Quá trình Galton-Watson 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Quá trình Galton - Watson (G - W) là một xích Markov {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .} trên tập các số nguyên không âm. Hàm chuyển được định nghĩa thông qua phân bố xác suất cho trước {pk ; k = 0, 1, 2, . . .}, pk ≥ 0, pk = 1 như sau   ∗i p nếu i ≥ 1, j ≥ 0 j P (i, j) = P {Zn+1 = j | Zn = i} = (1.1)  δ0j nếu i = 0, j ≥ 0 trong đó: - {p∗ i ; k = 0, 1, 2, . . .} là tích lặp i lần của {pk ; k = 0, 12, . . .}. k - δij là ký hiệu delta Kronecker. - Phân bố xác suất {pk } là toàn bộ dữ liệu của bài toán. Quá trình có thể được miêu tả như là sự phát triển thành quần thể của các cá thể. Bắt đầu tại thời điểm 0 với số lượng cá thể là Z0 , mỗi cá thể (sau một đơn vị thời gian) sẽ phân tách độc lập thành các cá thể khác, tạo ra được một lượng ngẫu nhiên con theo quy luật xác suất {pk }. Như vậy, số lượng các cá thể ở thế hệ thứ nhất Z1 là tổng của Z0 biến ngẫu nhiên(bnn) độc lập có phân bố xác suất {pk }. Cũng như vậy, thế hệ thứ 2, 3, ... được sinh ra. Tất cả các cá thể là độc lập với nhau. Số lượng cá thể trong thế hệ thứ n là bnn Zn . 4 Từ (1.1) ta thấy nếu Zn = 0 thì Zn+k = 0 ∀k ≥ 0. Do đó 0 là trạng thái ổn định và khi đó thì quá trình trở thành tuyệt chủng. Chú ý 1.1.2. Khi muốn chú ý đến số lượng cá thể khởi đầu, chúng ta sẽ đặt (i) {Zn , n = 0, 1, 2, . . .} là quá trình phân nhánh với i cá thể khởi đầu. Để cho thuận lợi, ta thường (1) giả sử Z0 = 1, và nếu không có gì đặc biệt ta viết Zn = Zn . Hàm sinh: Một công cụ giải tích quan trọng để nghiên cứu quá trình phân nhánh là hàm sinh: ∞ pk s k , f (s) = |s| ≤ 1 (1.2) k=0 và các hàm lặp của nó: f0 (s) = s; f1 (s) = f (s); fn+1 (s) = f [fn (s)] trong đó s là số thực. Ta thấy P (1, j)sj = f (s); j P (i, j)sj = [f (s)]i với i ≥ 1. (1.3) j Giả sử Pn (i, j) là xác suất chuyển để ở thế hệ thứ n có j cá thể từ i cá thể ban đầu, sử dụng phương trình Chapman - Kolmogorov, ta có Pn+1 (1, j)sj = j Pn (1, k)P (k, j)sj j k = P (k, j)sj Pn (1, k) j k Pn (1, k)[f (s)]k . = k Nếu ta giả sử Pn (1, j)sj = f(n) (s), chúng ta chỉ ra rằng f(n+1) (s) = f(n) [f (s)] Suy ra f(n) (s) = fn (s), 5 (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta có ∞ Pn (i, j)sj = [fn (s)]i . (1.5) j=0 (i) • Tính cộng tính: Quá trình {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .} là tổng của i bản sao độc lập của quá trình phân nhánh {Zn ; n = 0, 1, 2, . . .}. Nói cách khác, nếu Pi được định nghĩa là độ đo trên F tương đương với độ đo ban đầu P {Z0 = i} = 1 thì Pi là tích lặp i lần của P1 . Vậy sự phân bố (i) (i) của (Zn1 , . . . , Znk ) với 1 ≤ n1 ≤ . . . ≤ nk là tích lặp i lần của phân bố (Zn1 , . . . , Znk ). • Giả sử rằng p0 + p1 < 1 và pj = 1 ∀j và pj = 1 ∀j. 1.2 Mômen Môment của quá trình (nếu tồn tại) được biểu diễn qua các đạo hàm của f (s) tại s = 1, từ đó ta có E(Z1 ) = P (1, j)j = f (1) = m trong đó m là số con cái trung bình của một cá thể. Từ quy luật của chuỗi ta có EZn = Pn (1, j)j = fn (1) = fn−1 (1)f (1) = · · · = [f (1)]n = mn . (1.6) Tương tự từ công thức fn+1 (1) = f (1)[fn (1)]2 + f (1)fn (1) chúng ta có fn (1) = f (1) m2n−2 + m2n−3 + . . . + mn−1 , và do đó, đặt σ 2 = Var(Z1 ) ta có  2 n−1 n  σ m (m − 1)  m−1 Var(Zn ) =  2 nσ 6 nếu m = 1 nếu m = 1. 1.3 Tính chất cơ bản của hàm sinh Các tính chất của hàm sinh fn (s) chứa các tính chất của hàm chuyển Pn (i, j), do đó thay vì nghiên cứu giới hạn của {fn (s)} ta nghiên cứu giới hạn của {Zn }. Chúng ta bắt đầu nghiên cứu các vấn đề này bằng các tính chất cơ bản sau: Cho t là một số thực. Từ định nghĩa f (t) là một chuỗi với các hệ số không âm {pk } và p0 + p1 < 1 suy ra f (t) có các tính chất sau 1. f (s) là lồi và tăng trong [0, 1] 2. f (0) = p0 ; f (1) = 1 3. nếu m ≤ 1 thì f (t) > t với t ∈ [0, 1) 4. nếu m > 1 thì f (t) = t có một nghiệm trong [0, 1). Đặt q là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f (t) = t với t ∈ [0, 1]. Từ những tính chất trên cho thấy phương trình có một nghiệm, hơn nữa: Bổ đề 1.3.1. • Nếu m ≤ 1 thì q = 1. • Nếu m > 1 thì q < 1. Hình 1.2: m ≤ 1 Hình 1.1: m > 1 7 Bổ đề 1.3.2. • Nếu t ∈ [0, q) thì fn (t) ↑ q khi n → ∞ • Nếu t ∈ (q, 1) thì fn (t) ↓ q khi n → ∞ • Nếu t = q hoặc t = 1 thì fn (t) = t ∀n. Một ví dụ quan trọng: Trường hợp hàm tuyến tính là một ví dụ mà chúng ta có thể tính toán được hàm lặp fn (s). Giả sử pk = bpk−1 k = 1, 2, . . . ∞ pi = [1 − b − p][1 − p]−1 . p0 = 1 − i=1 Dễ dàng tính được f (s) = 1 − và m= b bs + 1 − p 1 − ps (1.7) b . (1 − p)2 Cho hai điểm bất kỳ u, v f (s) − f (u) s − u 1 − pv = + . f (s) − f (v) s − v 1 − pu (1.8) Phương trình f (s) = s có nghiệm q và 1. • Nếu m > 1 thì q < 1 • Nếu m = 1 thì q = 1 • Nếu m < 1 thì q < 1. Nếu ta đặt u = q và v = 1 ⇒ với m = 1 thì phương trên trở thành f (s) − q 1−p = lim 1 − pq s→1 s−q f (s) − 1 s−1 −1 = 1 m và do đó (1.8) trở thành f (s) − q 1 s−q = . f (s) − 1 m s − 1 8 (1.9) Lặp lại ta có 1 s−q fn (s) − q = n . fn (s) − 1 m s − 1 (1.10) Suy ra, nếu m = 1 1−q 2 m s mn − q . + mn − 1 s 1− mn − q n fn (s) = 1 − mn 1 − s0 mn − s0 (1.11) Nếu m = 1 thì b = (1 − q)2 và q = 1 nên f (s) = p − (2p − 1)s . 1 − ps Suy ra fn (s) = 1.4 np − (np + p − 1)s . 1 − p + np − nps (1.12) Xác suất tuyệt chủng Định nghĩa 1.4.1. Xác suất tuyệt chủng của quá trình là q=P lim Zn = 0 . n→∞ Định lý 1.4.2. Xác suất tuyệt chủng của quá trình {Zn } là nghiệm không âm, nhỏ nhất q của phương trình s = f (s) và q = 1 nếu m ≤ 1; q < 1 nếu m > 1. Chứng minh. Từ bổ đề 1.3.2 suy ra fn (0) → q khi n → ∞ Vì fn+1 (0) = f [fn (0)] và lim fn (0) = lim fn+1 (0) = q n→∞ n→∞ nên q = f (q) 9 . Từ bổ đề 1.3.1 ta suy ra: m ≤ 1 thì q = 1 m > 1 thì q < 1 Định lý trên cho thấy xác suất tuyệt chủng phụ thuộc vào tham số m số lượng con trung bình của một cá thể. Quá trình G - W là một xích Markov, trạng thái của nó là số lượng cá thể hiện tại. Chúng ta chia ra làm hai trạng thái “tạm thời” (transient) và “lặp” (recurrent). Định lý 1.4.3. lim P {Zn = k} = 0 với 1 ≤ k Hơn nữa n→∞ P lim Zn = 0 = 1 − P n→∞ lim Zn = ∞ = q. n→∞ Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng mỗi trạng thái k = 1, 2, ... là tạm thời, nghĩa là: Nếu ta đặt Rk = P {Zn+j = k, j ≥ 1|Zn = k} thì Rk < 1 . Thật vậy: Nếu p0 = 0 thì Rk = pk < 1 1 Nếu p0 > 1 thì Rk ≤ 1 − P (k, 0) = 1 − pk < 1 0 Do đó với mỗi k = 1, 2, ... ta có: lim P {Zn = k} = 0 n→∞ Vì Zn → 0 hoặc ∞ khi n → ∞ mà theo định lí 1.4.3thì q là xác suất khi Zn → 0. Do đó P lim Zn = 0 = 1 − P lim Zn = ∞ = q n n 10 Định nghĩa 1.4.4. Nếu m < 1, m = 1, m > 1 thì quá trình được gọi tương ứng là dưới tới hạn (subcritical), tới hạn (critical) và siêu tới hạn (supercritical). Vậy theo Định lý 1.4.2 thì: • Trường hợp siêu tới hạn, m > 1 ⇒ q < 1. • Trường hợp tới hạn, m = 1 ⇒ q = 1. • Trường hợp dưới tới hạn, m < 1 ⇒ q = 1. 1.5 Các định lý giới hạn Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các định lý giới hạn của Zn . Từ đó cho thấy sự phân bố của quần thể trong tương lai. Chúng ta bắt đầu với việc trình bày cách dạng định lý giới hạn sẽ được nghiên cứu. Từ tính chất cộng tính đã được đề cập đến trong Mục 1.1, cụ thể cho Zn = i, quá trình ngẫu nhiên {Zn+k , k = 0, 1, 2, . . .} là tổng của i bản sao độc lập của quá trình {Z0 = 1, Z1 , Z2 , . . .}. Sử dụng tính chất Markov ta có: E(Zn+k | Zn = in , Zn−1 = in−1 , . . . , Z1 = i1 , Z0 = i0 ) = E(Zn+k | Zn = in ) = in E(Zk | Z0 = 1) = in mk . Do đó nếu đặt Wn = Zn m−n (1.13) thì ta có định lí sau: Định lý 1.5.1. Nếu 0 < m ≡ f (1−) < ∞, Wn = Zn m−n và Fn là σ -đại số sinh bởi Z0 , Z1 , . . . , Zn thì chuỗi {Wn , Fn ; n = 0, 1, 2, . . .} là một mac-tin-gan. Hơn nữa, từ Wn ≥ 0, tồn tại một bnn W sao cho lim Wn = W h.k.n n→∞ Chứng minh. Ta có E (Zn+1 |Zn ) = mZn n=0,1,... 11 (1.14) suy ra E (Zn+k |Zn ) = E [(Zn+k |Zn+k−1 , ..., Zn ) |Zn ] = E [(Zn+k |Zn+k−1 ) |Zn ] = E (mZn+k−1 |Zn ) = ... = mk Zn ; n,k=0,1,... Chia cả hai vế của phương trình trên cho mn+k ta được: E (Wn+k |Wn ) = E (Wn+k |Wn , Wn−1 , ..., W0 ) = Wn ; n,k=0,1,2,... suy ra {Wn } là một Mac-tin-gan. Áp dụng định lí Mac-tin-gan [Doob(1953)] suy ra: lim Wn = W (h.k.n) n→∞ Như vậy, trong trường hợp tới hạn và dưới tới hạn W = 0 vì q = 1. Do đó, W chỉ có thể không suy biến khi m > 1. Điều này là đúng nếu ta bổ sung giả thiết phương sai của số lượng con cháu là hữu hạn. Định lý 1.5.2. Nếu m > 1, σ 2 < ∞ và Z0 ≡ 1 thì (i) lim E(Wn − W )2 = 0. n→∞ σ2 (ii) E(W ) = 1, Var(W ) = 2 . m −m (iii) P {W = 0} = q ≡ P {Zn = 0}. Chứng minh. Từ (1.13) 2 EWn 2 EZn = 2n = m σ 2 (1 − m−n ) m2 − m +1 và do σ2 = = 2 +1<∞ m −m dựa vào định lý Mac-tin-gan [Doob (1953), p. 319] dễ dàng có (i) và (ii). 2 sup EWn n 2 lim EWn n Nếu r = P {W = 0} thì EW = 1 ⇒ r < 1. Hơn nữa từ điều kiện của Z1 ⇒ r phải thỏa mãn P {W = 0 | Z1 = k}P {Z1 = k} r= k 12 pk [P {W = 0}]k = f (r) = k và do đó r phải trùng với q . Nếu trong Định lý 1.5.2 ta xét giả thiết yếu hơn (tức là σ 2 < ∞ là không cần thiết). Từ công thức (1.4) ta có u Ee−uWn = fn (e− mn ) = f fn−1 exp −u 1 m mn−1 . (1.15) Cho n → ∞ chúng ta thấy rằng ϕ(u) = Ee−uW thỏa mãn phương trình Abel u (1.16) ϕ(u) = f ϕ( ) . m Phương trình này hữu ích chỉ khi P (W = 0) < 1. Khi đó phương trình (1.16) có thể được sử dụng để chỉ ra rằng phân bố của W là liên tục tuyệt đối trên khoảng mở (0, ∞). Trong trường hợp dưới tới hạn, có hai cách để nghiên cứu Zn với n lớn. Rõ ràng nhất là giả sử quá trình là một trường hợp không suy biến bởi điều kiện tuyệt chủng của quá trình. Ta có ∞ ∞ P (Zn = k | Zn = 0) = k=0 k=1 P (Zn = k) k fn (s) − fn (0) s = . P (Zn = 0) 1 − fn (0) (1.17) Ở phần sau chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm này hội tụ tới một hàm sinh, và sẽ nghiên cứu tính chất của giới hạn. Trường hợp tới hạn đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết. Trong trường hợp này chúng ta sẽ thấy điều kiện để hàm sinh dần tới 0 khi n → ∞, tức là điều kiện để chuỗi {Zn | Zn > 0} dần tới ∞ theo phân bố. Một ý tưởng như tỉ lệ phân kì được đưa ra bởi việc tính mômen: 1 = EZn = E(Zn | Zn > 0)P (Zn > 0) + 0 · P (Zn = 0), tức là E(Zn | Zn > 0) = 1 P (Zn > 0) . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng P (Zn > 0) = 1 − P (Zn = 0) ∼ 13 c n và do đó kì vọng có điều kiện là tăng tuyến tính. Điều này dẫn đến nghiên cứu điều kiện của quá trình Zn | Zn > 0 , n > 0. n Thật vậy, chúng ta sẽ thấy rằng quá trình này hội tụ tới một phân bố mũ âm. Những vấn đề trên là nội dung chính của luật giới hạn cổ điển cho quá trình G-W. Ngoài ra chúng ta chứng minh một số kết quả có liên quan đến các điều kiện giới hạn. Chúng ta cũng sẽ thấy rằng có một lớp các điều kiện của luật giới hạn trong trường hợp siêu tới hạn có quan hệ mật thiết với trường hợp dưới tới hạn. Để chứng minh các định lí giới hạn ta cần một số kết quả của hàm chuyển Markov P (i, j) . 1.5.1 Các định lý về tỉ lệ Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra các định lý về tỉ lệ của hàm chuyển. Và nó sẽ là công cụ hữu ích để chứng minh các định lí giới hạn trong phần tiếp theo. (j) Bổ đề 1.5.3. Đạo hàm cấp j (dj /dsj )fn (s) ≡ fn (s) thỏa mãn (j) (j) fn (s) = an,j (s) + f [fn−1 (s)]fn−1 (s) với n, j ≥ 1 trong đó an,j (s) là một chuỗi với các hệ số không âm. Bổ đề 1.5.4. (Tỉ lệ Monotone) Giả sử rằng pj = 0 thì Pn (1, j) ↑ πj ≤ ∞, j ≥ 1. Pn (1, 1) Với πj được định nghĩa như trên và giả sử rằng: γ = f (q) (1.18) ∞ πn s n P(s) = n=1 và p1 > 0. ta có kết quả sau: 14 (1.19) Định lý 1.5.5. {πj , j = 1, 2, . . .} luôn thỏa mãn phương trình ∞ πk P (k, j), j ≥ 1 (1.20) P[f (s)] = γP(s) + P(p0 ) (1.21) γπj = k=1 và P(·) thỏa mãn trong đó s và p0 thuộc miền hội tụ của P. Định lý 1.5.6. (Định lý tỉ lệ) τi πj Pn+m (i, j) = γm n→∞ Pn (k, l) τ k πi lim với τi = iq i−1 . 1.5.2 Trường hợp dưới tới hạn Khi m < 1 thì xác suất tuyệt chủng là bằng 1. Để mô tả các giới hạn trong trường hợp này Kolmogorov (1938) và Yaglom (1947) đã đưa ra những điều kiện của Zn để {Zn > 0}. Kết quả chính của mục này là hệ quả của định lí 1.5.14. Nó phát biểu rằng khi m < 1 thì phân bố của {Zn | Zn > 0} hội tụ tới một phân bố chính xác. Đặt T là thời gian tuyệt chủng của quá trình G-W, tức là T = k ⇔ Zk−1 > 0, Zk = 0. Định lý 1.5.7. Giả sử q > 0 thì (i) lim P {Zn = j | n < T < ∞} = bj tồn tại. n→∞ (ii) Nếu m = 1 thì bj là một hàm xác suất và hàm sinh của nó B(s) = bj sj là nghiệm duy nhất của phương trình B f (sq) q = γB(s) + (1 − γ). Chứng minh. Giả sử m ≤ 1 thì P {T < ∞} = 1 và do đó Bn (s) = E(sZn | n < T < ∞) = E(sZn | n < T ) 15 (1.22) = Đặt Gn (s) = 1 − fn (s) fn (s) − fn (0) =1− . 1 − fn (0) 1 − fn (0) 1 − fn (s) 1 − f (s) và Γ(s) = thì 1 − fn (0) 1−s Gn (s) = Γ[fn−1 (s)] Gn−1 (s). Γ[fn−1 (0)] Vì Γ(s) và fn (s) là tăng đối với s do đó Gn (s) là tăng đối với n. Như vậy lim Gn (s) = G(s) và lim Bn (s) = B(s) n→∞ n→∞ là tồn tại và B(s) = 1 − G(s). Từ định nghĩa của bn và Γ: Gn (f (s)) = Gn+1 (s)Γ(fn (0)) với fn (0) ↑ 1 khi n → ∞ và Γ(x) ↑ m khi x → 1. Suy ra G(f (s)) = mG(s) (1.23) B(f (s)) = mB(s) + (1 − m). (1.24) hay Nếu m < 1 thì γ = m và q = 1, như vậy (1.22) được thiết lập. Từ (1.23) cho s ↑ 1 thì G(1−) = m(G(1−)) và khi m < 1 thì G(1−) = 0 hoặc B(1−) = 1. Như vậy {bj } là một hàm xác suất. Nếu m > 1 thì ∞ j j=1 s P {Zn ∞ = j, n < T < ∞} P {n < T < ∞} j s P {Zn = j | n < T < ∞} = j=1 P {Zn = j}q j sj fn (sq) − fn (0) = = q − fn (0) P {Zn = j}q j ∗ f ∗ (s) − fn (0) = n ∗ 1 − fn (0) ∗ trong đó fn (s) là tích lặp lần thứ n của f ∗ (s) = q −1 f (qs). Chú ý rằng f ∗ (s) là một hàm sinh với nghĩa m∗ = f ∗ (1−) = f (q) = γ < 1. 16 Do đó những lập luận trong trường hợp dưới giới hạn cho f (s) cũng đúng cho f ∗ (s). Thay f bởi f ∗ vào (1.24) được (1.22). Hệ quả 1.5.8. (Định lý Yaglom) Nếu m < 1 thì P {Zn = j | Zn > 0} hội tụ khi n → ∞ tới một phân bố xác suất có hàm sinh B(s) thỏa mãn phương trình B[f (s)] = mB(s) + (1 − m). 1.5.3 Trường hợp tới hạn Khi m = 1 thì Zn → 0 với xác suất 1. Hay giới hạn xác suất bj của chuỗi phân bố có điều kiện {Zn | Zn > 0} là 0 và do đó quá trình này phân kì tới ∞. Chúng ta sẽ thấy rằng cần thêm điều kiện để quá trình hội tụ tới một giới hạn không suy biến. Cách tiếp cận của chúng ta là dùng giải tích để nghiên cứu kĩ các giới hạn của fn (t). Chúng ta đã biết fn (t) ↑ 1, và bây giờ ta sẽ tìm hiểu về tỉ lệ hội tụ. Chúng ta bắt đầu bằng một bổ đề cơ bản quan trọng. Bổ đề 1.5.9. Nếu m = E(Z1 ) = 1 và σ 2 = Var(Z1 ) < ∞ thì 1 1 σ2 1 − = ∀t ∈ [0, 1). lim n→∞ n 1 − fn (t) 1−t 2 Chứng minh. (Kesten, Ney, Spitzer (1966)) Cách chứng minh này liên quan đến phương pháp ước lượng trực tiếp. Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có f (1) − t f (t) − 1 f (1) = lim = ≡ a. t→1 (1 − t)2 t→1 2(t − 1) 2 lim Đặt ε(t) = a − f (t) − t ta thấy (1 − t)2 ε(t) ≥ 0 và ε(1) ↓ 0 khi t → 1. Do đó (1.25) 1 1 − . 1 − f (t) 1 − t (1.26) f (t) − t ≤ a. (1 − t)2 Đặt δ(t) = a − 17 Vì t ≤ f (t) suy ra 1 f (t) − t 1 − ≥ . 1 − f (t) 1 − t (1 − t)2 Do đó δ(t) ≤ ε(t). (1.27) Thay t bởi fi (t) trong (1.27), lấy tổng theo i và sử dụng (1.25) ta được 1 1 an− − = 1 − fn (t) 1 − t n−1 ≤ n−1 S(fi (t)) i=0 n−1 ε[fi (t)] ≤ i=0 ε[fi (0)] = 0(n) (1.28) i=0 trong đó ε[fi (0)] → 0 khi i → ∞. Mặt khác ta thấy 1 − f (s) f (s) − s δ(s) = a − 1−s (1 − s)2 Từ định nghĩa của ε(s), 1 − f (s) 1−s −1 ≥a s − f (s) . 1 − f (s) f (s) − s = (1 − s)(a − ε(s)), bất đẳng thức trên 1−s trở thành f (s) − s 1−s 1−s · = −a(1 − s)(a − ε(s)) 1−s 1 − f (s) 1 − f (s) 1−s 1 ≥ −a2 (1 − s) ≥ −a2 (1 − s) . 1 − f (s) 1 − f (0) S(s) ≥ −a Vì 1−s là giảm và dương trên [0, 1]. Do đó 1 − f (s) n−1 a2 S[fk (t)] ≥ − 1 − f (0) k=0 a2 ≥− 1 − f (0) n−1 1 − fk (t) k=0 n−1 1 − fk (0) = o(n). (1.29) k=0 Chia (1.28) và (1.29) cho n, sau đó cho n → ∞ ta được đpcm. Dựa vào bổ đề trên, tỉ lệ mà tại đó quá trình trở thành tuyệt chủng có thể được ước tính. Chúng ta biết rằng P {Zn > 0} → 0 khi n → ∞. Trong 18