Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Phương trì nh chứa ẩn ở căn thức
Ví dụ : Giải phương trì nh: 1
2
x x2 x 1 x
3
Giải: ĐK 0 x 1.
Để giải phương trì nh này thì rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ căn thức. Có những cách
nào để loại bỏ căn thức ? Điều đầu tiên chúng ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế
của phương trì nh đã cho luôn không âm nên bì nh phương hai vế ta thu được phương
trì nh tương đương.
2
2
(1) 1
x x2
3
x 1 x
2
1
4
4
x x 2 (x x 2 ) 1 2 x x 2
3
9
2(x x 2 ) x x 2 0 x x 2 2 x x 2 3 0
x x2 0
x 0; x 1
.
3
2
VN
0
x x 4
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trì nh: x 0;x 1.
Qua lời giải trên ta thấy được
thức
x 1 x
2
x x 2 sẽ biểu diến được qua
x 1 x nhờ vào đẳng
1 2 x x 2 (*) .Cụ thể nếu ta đặt t x 1 x thì
t2 1
xx
và khi đó phương trì nh đã cho trở thành phương trì nh bậc hai với ẩn là
2
t2 1
t: 1
t t 2 3t 2 0 t 1; t 2 .
3
2 x x 2 0
x 1 x 1
x 0; x 1 .
Vậy ta có:
x 1 x 2 VN 0 (VT 2)
2
Việc thay thế biểu thức x 1 x bằng một ẩn mới là t (mà ta gọi là ẩn phụ) là một
suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( chúng ta nhớ lại là chúng ta đang tì m cách
làm mất căn thức !). Cách làm như thế này ta thường gặp trong cuộc sống hằng ngày của
chúng ta, chẳng hạn khi chúng ta đi xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta có thể
đổi qua đô la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng như việc chuyển đổi tiền ở trên, để làm mất căn
thức ta tìm cách đặt một biểu thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao
cho phương trì nh ẩn mới có hình thức kết cấu đơn giản hơn phương trì nh ban đầu. Đặt
biểu thức chứa căn nào bằng biểu thức ẩn mới như thế nào là vấn đề quan trọng nhất,
bước làm này quyết định đến có được lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở. Để
chọn được được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ của các
biểu thức tham gia trong phương trì nh như ở cách giải trên ta đã tạo được mối quan hệ
đó là đẳng thức (*). Có nhiều cách để tạo ra mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
1
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
trong phương trì nh chẳng hạn ở phương trì nh trên ngoài đẳng thức (*) ta còn có mối
quan hệ giữa các biểu thức tham gia trong phương trì nh:
x
2
1 x
2
x 1 x 1 (**) mà từ phương trì nh ta rút được một căn thức qua
3 1 x 3
3t 3
. Do đó nếu đặt t 1 x x
thay vào
2t 3
2 1 x 3
(**) và biến đổi ta thu được phương trì nh
t(t 1)(2t 2 4t 3) 0 t 0,t 1 hay x 0,x 1 là nghiệm của phương trì nh.
Phương trì nh đã cho chỉ chứa tổng và tích của hai căn thức, đồng thời hai căn thức thỏa
mãn (**) do vậy ta có thể đặt a x , b 1 x thì từ phương trì nh đã cho kết hợp với
2
1 ab a b
(**) ta có hệ phương trì nh: 3
đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ này ta
a 2 b 2 1
được nghiệm của phương trì nh là x=0 và x=1. Bản chất cách giải này chính là cách đặt
ẩn phụ t 1 x mà ta đã giải ở trên .
Tiếp tục nhận xét thì đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức nào mà ta biết ?
Chắc hẳn các bạn sẽ dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác: sin 2 cos 2 1 .
Điều này dẫn đến cách giải sau:
Đặt x sin 2 t, t [0; ] (Điều này hoàn toàn hợp lí vì x [0;1] ). Khi đó phương trì nh
2
đã cho trở thành:
2
1 sin t.cos t sin t cos t 3(1 sin t) (1 sin t)(1 sin t)(2sin t 3) 0
3
sin t 1 x 1
x 1
x 1
.
2
x
0
3
1
sin
t
(3
2sin
t)
1
sin
t
sin
t(4sin
t
6sin
t
8)
0
Qua ví dụ trên ta thấy có nhiều cách để giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ. Mọi
phương pháp đều chung một tưởng đó là tì m cách loại bỏ căn thức và đưa phương trì nh
đã cho về phương trì nh mà ta đã biết cách giải. Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng phương
pháp giải cụ thể.
căn thức còn lại: x
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
2
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
I. Phương pháp biến đổi tương đương :
Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến
đổi tương đương của phương trì nh, bất phương trì nh biến đổi phương trì nh, bất phương
trì nh ban đầu về phương trì nh, bất phương trì nh đã biết cách giải.
Ta nhơ lại các tính chất của lũy thừa và phép biến đổi tương đổi đối với phương trì nh
và bất phương trì nh.
1) ( n a ) n a ( Nếu n chẵn thì cần thêm điều kiện a 0 ).
2) a b a 2n b 2n với a và b cùng dấu
3) a b a 2n 1 b 2n 1 với mọi a,b.
4) a b 0 a 2n b 2n (Chú ý nếu a,b<0 thì a b a b khi đó hai vế cùng
không âm và lúc đó ta mới lũy thừa bậc chẵn hai vế).
5) a b a 2n 1 b 2n 1 a, b .
Ví dụ 1: Giải phương trì nh: 2x 1 3x 1 .
Giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương trì nh vô nghiệm nên ta
1
chỉ cần giải phương trì nh khi 3x 1 0 x . Khi đó hai vế đều không âm và bì nh
3
1
phương ta thu được phương trì nh tương đương: 2x 1 (3x 1)2 nếu x 0 là
3
2
nghiệm của phương trì nh này thì 2x 0 1 (3x 0 1) 2x 0 1 0 do vậy ta không cần
đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Vậy :
1
1
x
3x 1 0
4
x
3
3
Pt
x 0, x .
2
9
2x 1 (3x 1)
9x 2 4x 0 x 0, x 4
9
Nhận xét: * Phương trì nh trên có dạng tổng quát: f (x) g(x) , khi gặp dạng này ta
biến đổi tương đương như sau:
cần đặt đk f (x) 0? .
g(x) 0
f (x) g(x)
. Ở đây vì sao ta không
2
f (x) g (x)
* Ở bài toán trên ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ t 2x 1 .
Ví dụ 2: Giải phương trì nh: x 4 1 x 1 2 x .
1
Giải: Đk: 4 x (*)
2
Pt x 4 1 2x 1 x x 4 1 2x 2 (1 2x)(1 x) 1 x
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
3
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
1
2x 1 0
x
2
2x 1 (1 2x)(1 x)
x0
2
(2x
1)
(1
2x)(1
x)
2
2x 7x 0
Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy x=0 thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt đã cho là x=0.
Chú ý : Ở phương trì nh trên vì sao chúng ta lại chuyển 1 x qua rồi mới bình phương?
Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trì nh luôn cùng dấu để sau khi
bì nh phương ta thu được phương trì nh tương đương.
Ví dụ 3: Giải bất phương trì nh:
Giải:
2x 2 6x 1 x 2 0 .
Bất phương trì nh 2x 2 6x 1 x 2 (1)
Vì VT của (1) luôn không âm nên nếu VP(1) 0 thì Bất phương trì nh vô nghiệm, do đó
ta chỉ giải Bất phương trì nh khi x 2 0 x 2 . Bì nh phương hai vế ta được Bpt:
2x 2 6x 1 (x 2) 2 . Nếu x 0 bất phương trì nh này thì ta chưa thể khẳng định được
2x 02 6x 0 1 0 do đó ta phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Vậy bất
phương trì nh đã cho tương đương với hệ gồm ba bất phương trì nh sau:
x 2
x 2
x 2 0
2
3 7
3 7
3 7
3 7
x
x
Vx
Vx
2x 6x 1 0
2
2
2
2
2
2
2x
6x
1
(x
2)
x 2 2x 3 0
1 x 3
3 7
x 3 là nghiệm của bất phương trì nh đã cho.
2
g(x) 0
Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trì nh trên là: f (x) g(x) f (x) 0
2
f (x) g (x)
Giải hệ bất phương trì nh này ta được nghiệm của bất phương trì nh đã cho.
Ví dụ 4: Giải bất phương trì nh :
Giải: ĐK: x 4 .
2(x 2 16)
x 3
x 3
7x
(ĐH Khối A – 2004 ).
x 3
Bpt 2(x 2 16) x 3 7 x 2(x 2 16) 10 2x (2)
Ta có VT (2) 0 nên nếu VP(2) 0 x 5 thì (2) luôn đúng. Nếu VP(2) 0 x 5
thì bpt (2) 2(x 2 16) (10 2x) 2 . Nếu x 0 bất phương trì nh này thì ta có
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
4
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
2(x 02 16) 0 do đó ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn
Vậy để giải bất phương trì nh (2) ta chia làm hai trường hợp
x 4 (ñk)
TH1:
x 5.
10
2x
0
10 2x 0
4 x 5
TH2: 2
10 34 x 5 .
2
2
2(x 16) (10 2x)
x 20x 66 0
Lấy hợp hai trường hợp ta có nghiệm bất phương trì nh là: x 10 34 .
Nhận xét: Dạng tổng quát của bất phương trì nh (2) là:
chia làm hai trường hợp:
f (x) 0
TH 1:
g(x) 0
f (x) g(x) . Để giải bpt này ta
g(x) 0
TH 2:
2
f (x) g (x)
Ví dụ 5: Giải phương trì nh: 2x 6x 2 1 x 1 .
Giải:
x 1 0
x 1
Pt
2
2
2
2
2x 6x 1 (x 1)
6x 1 x 1
x 1
x 1
2
x 0,x 2 .
2
2
4
2
6x 1 (x 1)
x 4x 0
Ví dụ 6: Giải phương trì nh:
x 1
Giải: ĐK: x 2 (*) .
x 0
x(x 1) x(x 2) 2 x 2 .
Phương trì nh 2x 2 x 2 x 2 (x 1)(x 2) 4x 2
2 x 2 (x 2 x 2) x(2x 1) 4x 2 (x 2 x 2) x 2 (2x 1) 2 (do đk (*) ).
x 0
x (8 x 9) 0
9 cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*).
x
8
9
Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là: x 0; x .
4
2
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
5
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Chú ý : 1) Bài toán trên cò n có cách giải khác như sau
* x 0 là một nghiệm của phương trì nh.
* x 1 PT x 1 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2x 1
9
4x 2 4x 8 4x 2 4x 1 x (nhận).
8
* x 2 PT x(1 x) x( x 2) 2 ( x)( x)
9
1 x x 2 2 x 2 x 2 x 2 2x 1 x (loại).
8
9
Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là: x 0; x .
4
2) Khi biến đổi như trên chúng ta sai lầm khi cho rằng a.b a. b ! Nên nhớ đẳng
thức này chỉ đúng khi a,b 0 ! Nếu a,b 0 thì ab a. b .
3
3
3
Ví dụ 7: Giải phương trì nh: x 1 x 2 2x 3 .
Giải:
Phương trì nh 2x 3 3 3 (x 1)(x 2)( 3 x 1 3 x 2) 2x 3
3 x 1 3 x 2 3 2x 3
(*)
3 (x 1)(x 2)(2x 3) 0
3
x 1;x 2;x .
2
Chú ý :
* Khi giải phương trì nh trên chúng ta thường biến đổi như sau
2x 3 3 3 (x 1)(x 2)( 3 x 1 3 x 2) 2x 3 3 (x 1)(x 2)(2x 3) 0 !?
Phép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta đã
thừa nhận phương trì nh ban đầu có nghiệm !. Do đó để có được phép biến đổi tương
đương thì ta phải đưa về hệ như trên. Chẳng hạn ta xét phương trì nh sau
1 x 3 1 x 1 2 3 3 1 x 2 ( 3 1 x 3 1 x ) 1 3 1 x 2 1 x 0 .
Nhưng thay vào phương trì nh ban đầu ta thấy x=0 không thỏa mãn phương trì nh !
* Với dạng tổng quát 3 a 3 b 3 c ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức
(a b)3 a 3 b3 3ab(a b) ta có phương trì nh tương đương với hệ
3
3 a 3 b 3 c
. Giải hệ này ta có được nghiệm của phương trì nh.
3
a b 3 a.b.c c
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
6
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Ví dụ 8: Giải phương trì nh: 4 3 10 3x x 2 (HSG QG 2000).
Giải:
x 2
x 2
Phương trì nh
2
2
4 3 10 3x x 4x 4 4x x 3 10 3x
2 x 4
2 x 4
4
3
2
3
2
x 8x 16x 27x 90 0 (x 3)(x 5x x 30) 0
2 x 4
x 3.
2
(x 3)(x 2)(x 7x 15) 0
Ví dụ 9: Giải phương trì nh:
Giải:
4x y 2 y 2 4x 2 y .
Phương trì nh 4x y 2 4x 2 y y 2
4x y 2 4x 2 4y 2 2 (y 2)(4x 2 y)
1
x
(2x 1) (y 2) 2 (y 2)(4x y) 0
2 .
y 2
Thử lại ta thấy cặp (x;y) này thảo mãn phương trì nh.
1
x
Vậy nghiệm của phương trì nh đã cho là:
2 .
y 2
Ví dụ 9: Giải phương trì nh:
x3
1) x 2 x 7 7 .
2) 4x 1 3x 2
.
5
Giải:
1) Phương trì nh x 2 (x 7) (x x 7) 0 (x x 7 )(x x 7 1) 0
2
2
2
x 7 x (1)
x 7 x 1 (2)
x 0
1 29
x
* (1) 2
.
2
x x 7 0
x 1
* (2) 2
x 2.
x x 6 0
Vậy phương trì nh đã cho có hai nghiệm x 2;x
1 29
.
2
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
7
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
2) Phương trì nh 5( 4x 1 3x 2) (4x 1) (3x 2)
5( 4x 1 3x 2) ( 4x 1 3x 2)( 4x 1 3x 2)
4x 1 3x 2 0
x 2.
4x 1 3x 2 5
Nhận xét: *Với bài 1 ta có thể giải như sau: Đặt y x 7 ta có hệ phương trì nh
y 2 x 7
trừ vế theo vế hai phương trì nh ta được: (y x)(y x 1) . Từ đây giải ra ta
2
x
y
7
tì m được x.
* Câu 1 có dạng tổng quát như sau: x 2 x a a .
* Với bài toán 2 ta còn có cách giải khác như sau
x2
Phương trì nh ( 4x 1 3) ( 3x 2 2)
5
x 2
4(x 2)
3(x 2)
x2
3x 2 4x 1 1
1
(*)
5
4x 1 3
3x 2 2
( 4x+1 3)( 3x 2 2) 5
2
Vì VT(*) 0 (do x ) nên (*) vô nghiệm.
3
Ví dụ 10: Giải bất phương trì nh :
x2
1)
x4
2) (x 2 3x) 2x 2 3x 2 0 .
2
(1 1 x )
Giải:
1) ĐK: x 1
* Với x 0 ta thấy Bpt luôn đúng
* Với x 0 1 x 1 0 . Nhận lượng liên hợp ở VT của Bpt ta được
x 2 (1 x 1)2
x 4 (1 x 1) 2 x 4 x 1 3 x 8
2
2
(1 x 1) (1 x 1)
Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T [ 1;8) .
2) Ta xét hai trường hợp
1
TH 1: 2x 2 3x 2 0 x 2,x . Khi đó BPT luôn đúng
2
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
8
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
1
2
1
2x 3 2 0 x V x 2
TH 2: Bpt
x V x 3.
2
2
2
x 0 V x 3
x 3x 0
1
Vậy nghiệm của Bpt đã cho là: T (; ] {2} [3; ) .
2
Chú ý : * Ở bài toán 2 ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng
ta thường gặp trong giải phương trì nh và bất phương trì nh vô tỉ.
* Khi giải bất phương trì nh nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế cảu bất phương trì nh cho
một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó. Nếu chưa xác định được
dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm hai trường hợp.
Ví dụ 11: Giải bất phương trì nh :
2
2
1) (x 3) x 4 x 9
51 2x x 2
2)
1.
1 x
Giải:
1)
* Với x 3 bất phương trì nh đúng.
x 3
x 3
* Với x 3 Bpt
2
2 x 3.
2
x 4 x 3 x 4 x 3
x 3
x 3
5
3 x 3 x .
* Với x 3 Bpt
2
6
x 4 x 3 6x 5 0
5
Vậy nghiệm của bất phương trì nh dã cho là: x V x 3 .
6
2)
x 1
x 1
* Nếu 1 x 0 x 1 Bpt 51 2x x 2 0
1 52 x 1 52
2
2
x 25
51 2x x 1 x
1 52 x 5 .
*Nếu x 1 luôn đúng vì VT 0 1 .
Vậy nghiệm bất phương trì nh đã cho là : 1 52 x 5 V x 1 .
Ví dụ 12: Tì m m để phương trì nh x 2 2mx 1 m 2 có nghiệm.
Giải:
* Nếu m 2 phương trì nh vô nghiệm
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
9
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
* Với m 2 Phương trì nh
x 2 2mx 1 m 2 4m 4 x 2 2mx m 2 4m 3 0
Phương trì nh có nghiệm ' 2m 2 4m 3 0 đúng mọi m
Vậy m 2 là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 13: Tì m m để phương trì nh: 2x 2 mx 3 x 1 có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
x 1
Phương trì nh 2
.
x (m 2)x 4 0 (*)
Phương trì nh (*) luôn có hai nghiệm :
2 m m 2 4m 8
2 m m 2 4m 8
x1
0 ; x2
0
2
2
Phương trì nh đã cho có hai nghiệm (*) có hai nghiệm phân biệt 1
m 4
x 2 1 4 m m 2 4m 8
m 2.
2
2
(4
m)
m
4m
8
Vậy m 2 là những giá trị cần tìm.
2x 2 mx x 2 4 0 có nghiệm.
Ví dụ 14: Tì m m để phương trì nh
Giải:
x 2 4 0
(1)
Phương trì nh 2x mx x 4
2
x mx 4 0 (2)
(2) có nghiệm m 2 160 0 | m | 4 (*) . Khi đó (2) có hai nghiệm là:
2
x1,2
2
m m 2 16
.
2
Nghiệm x1 thỏa mãn (1) (m m 2 16)2 16 0 m 2 m m 2 16 16 0
m 4
m 4
2
2
.
m 16( m 16 m) 0
2
m 4
m 16 m
Nghiệm x2 thỏa mãn (1) (m m 2 16)2 16 0 m 2 m m 2 16 16 0
m 4
m 4
.
m 2 16( m 2 16 m) 0
2
m
4
m 16 m
Vậy | m | 4 thì phương trì nh đã cho có nghiệm.
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
10
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Chú ý : Bài toán trên ta có thể giải ngắn ngọn hơn như sau: Nếu (2) có nghiệm thì
| x | 2
| x1x 2 | 4 1
nên phương trì nh đã cho có nghiệm 0 | m | 4 .
|
x
|
2
2
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trì nh sau
2) 8 x 2 6 x 1 4 x 1 0
36
4
4)
28 4 x 2 y 1
x2
y 1
1) 3 x 3 5 x 2 x 4
3) ( x 5)(3x 4) 4( x 1)
5)
x2
(1 1 x )
2
6) x 2 x 1 x ( x 1) x 2 x 0
x4
8) ax 4 x 4 x 2 a x 2 a(a 1)
7)
x x 1 x 1
9)
(x 2)(2x 1) 3 x 6 4 (x 6)(2x 1) 3 x 2 .
12)
4
1
5
x x 2x .
x
x
x
13) x x 5 5
x 1 x3 x 2 x 1 1 x 4 1 .
10)
3
2x 1 x 3 16 3 2x 1
11)
14) x 4 2x 2 x 2 2x 16 2x 2 6x 20 0 .
15) 4x 2 5x 1 2 x 2 x 1 9x 3 .
Bài 2: Giải các bất phương trì nh sau:
2) x 2 x 1 x
1) 4(x 1)2 (2x 10)(1 3 2x ) 2
3) (x 5)(3x 4) 4(x 1)
4) 7x 13 3x 9 5x 27
5) 1 x 1 x x
6)
3x 4 x 3 4x 9
7) x 2 4x 3 2x 2 3x 1 x 1
25 x 2 x 2 7x 3
2x
9) x 2 8x 15 x 2 2x 15 4x 2 18x 18 10)
2x 1 1
2x 9
1
1
2
11) x 2 x 2
12) x 2 3x 2 x 2 4x 3 2 x 2 5x 4
x
x
x
13)
3x 2 x 4 2
2
x
8)
14) 1 2x 1 2x 2 x 2
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
11
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức chứa căn thức bằng một biểu thức
ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trì nh ẩn phụ vừa đặt. Giải phương trì nh
ẩn phụ tì m nghiệm rồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm ẩn ban đầu.
Với phương pháp này ta thường tiến hành theo các bước sau
B1: Chọn cách đặt ẩn phụ, tìm điều kiện xác định của ẩn phụ
Bước này là bước quan trọng nhất. Ta cần phải chọn biểu thức thích hợp để đặt ẩn phụ,
để làm tốt bước này ta phải nhận xét được mối quan hệ của các biểu thức có mặt trong
phương trì nh, bất phương trì nh. Cụ thể là ta phải tìm được sự biểu diễn của các biểu thức
chứa ẩn trong phương trì nh qua một đại lượng khác.
B2: Chuyển phương trì nh (bpt) ban đầu về phương trì nh (bpt) ẩn phụ vừa đặt.
Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì phương trì nh thu được thường là những phương
trì nh (bpt) mà ta đã biết cách giải. Khi tì m được nghiệm ta cần chú ý đến điều kiện của
ẩn phụ để chọn những nghiệm thích hợp.
B3: Giải phương trì nh (bpt) với ẩn phụ vừa tì m được và kết luận tập nghiệm.
Có rất nhiều cách để đặt ẩn phụ. Ta đi xét một số dạng phương trì nh (bpt) mà ta thường
hay gặp.
Dạng 1: F( n f (x)) 0 , với dạng này ta đặt t n f (x) (nếu n chẵn thì phải có điều kiện
t 0 ) và chuyển về phương trì nh F(t) 0 giải phương trì nh này ta tì m được t x .
Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: af (x) b f (x) c 0 .
Ví dụ 1: Giải phương trì nh
1)x 2 x 2 11 31
Giải:
2)(x 5)(2 x) 3 x 2 3x
1) Đặt t x 2 11, t 0 . Khi đó phương trì nh đã cho trở thành:
t 2 t 42 0 t 6 x 2 11 6 x 5 .
2) Phương trì nh x 2 3x 3 x 2 3x 10 0
Đặt t x 2 3x , t 0 . Phương trì nh đã cho trở thành
t 2 3t 10 0 t 5 x 2 3x 5 x 2 3x 25 0 x
Ví dụ 2: Giải bất phương trì nh :
1) x 2 2x 22 x 2 2x 24 0
Giải:
2)
3 109
.
2
x 9 x x 2 9x 6
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
12
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
1) Đặt t x 2 2x 24, ( t 0) x 2 2x 24 t 2 x 2 2x 22 2 t 2
Bất phương trì nh trở thành: 2 t 2 t 0 t 2 t 2 0 0 t 1
x 2 2x 24 0 4 x 6
2
x 2x 24 1
2
x 1 2 6 V x 1 2 6
x 2x 23 0
4 x 1 2 6
là nghiệm của bất phương trì nh đã cho.
1
2
6
x
6
2) ĐK: 0 x 9
Bất phương trì nh đã cho 9 2 9x x 2 x 2 9x 6
9x x 2 2 9x x 2 3 0 9x x 2 3 x 2 9x 9 0
93 5
93 5
x
.
2
2
93 5
93 5
x
.
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trì nh là:
2
2
Ví dụ 3 : Tì m m để các phương trì nh sau có nghiệm: x 2 2x 2m 5 2x x 2 m 2 .
Giải:
Đặt t 5 2x x 2 6 (x 1) 2 t [0; 6] và x 2 2x 5 t 2
Khi đó phương trì nh đã cho trở thành: t 2 2mt m 2 5 0 (*) t m 5
Phương trì nh đã cho có nghiệm (*) có nghiệm t [0; 6] hay
0 m 5 6
5 m 6 5
.
0 m 5 6
5 m 6 5
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với m 0 thì phương trì nh sau luôn có nghiệm:
5
x 2 (m 2 ) x 2 4 2 m3 0 .
3
Giải:
Đặt t x 2 4 t 2 . Khi đó phương trì nh đã cho trở thành
5
f (t) t 2 (m 2 )t m3 2 0 (*).
3
5
Vì m 0 (*) luôn có hai nghiệm t phân biệt (Do (m 2 ) 2 4(m3 2) 0 ) và
3
4
f (2) (m3 2m 2 )
3
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
13
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
4
Ta sẽ chứng minh m3 2m 2 0 m 0 (1) .
3
3
2
* Nếu m 2 m 2m 0 (1) đúng
32
2
4
32
* Nếu 0 m 2 m3 2m 2
(m )(m )2 0 m3 2m 2
27
3
3
27
4 32 4
m3 2m 2
0 (1) đúng.
3 27 27
f (2) 0 (*) luôn có một nghiệm t 2 hay phương trì nh đã cho luôn có nghiệm.
Chú ý : * Nếu tam thức f (x) ax 2 bx+c thỏa mãn af () 0 tam thức luôn có
nghiệm và nếu a>0 thì nghiệm đó nếu a<0 thì nghiệm đó .
4
* Để chứng minh m3 2m 2 0 ta có thể sử dụng phương pháp hàm số hoặc BĐT
3
Dạng 2: m( f (x) g(x)) 2n f (x).g(x) n(f (x) g(x)) p 0 .
Với dạng này ta đặt t f (x) g(x) .Bì nh phương hai vế ta sẽ biểu diễn được những
đại lượng còn lại qua t và chuyển phương trì nh (bpt) ban đầu về phương trì nh (bpt) bậc
hại đối với t.
Ví dụ 1: Cho phương trì nh: 3 x 6 x m (3 x)(6 x) .
1) Giải phương trì nh khi m=3.
2) Tì m m để phương trì nh đã cho có nghiệm.
Giải:
Đặt t 3 x 6 x t 2 9 2 (3 x)(6 x) (*)
Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 (3 x)(6 x) 9 nên từ (*) 3 t 3 2 .
t2 9
t 2 2t 9 2m (1)
2
2
1) Với m 3 ta có phương trì nh: t 2t 3 0 t 3 thay vào (*) ta được
x 3
(3 x)(6 x) 0
.
x 6
Phương trì nh đã cho trở thành: t m
2) Phương trì nh đã cho có nghiệm (1) có nghiệm t [3;3 2] .
Xét hàm số f (t) t 2 2t 9 với t [3;3 2] , ta thấy f(t) là một hàm đồng biến
6 f (3) f (t) f (3 2) 9 6 2 t [3;3 2]
Do vậy (1) có nghiệm t [3;3 2] 6 2m 9 6 2
6 2 9
m 3.
2
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
14
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Vậy
6 2 9
m 3 là những giá trị cần tìm.
2
Chú ý : Nếu hàm số xác định trên D và có tập giá trị là Y thì phương trì nh f (x) k có
nghiệm trên D k Y .
Ví dụ 2: Giải phương trì nh: 2x 3 x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16 .
Giải: Đk: x 1.
Đặt t 2x 3 x 1, t 0 t 2 3x 2 (2x 3)(x 1) 4 (*)
Khi đó phương trì nh trở thành: t t 2 20 t 2 t 20 0 t 5
Thay t 5 vào (*) ta được:
1 x 7
21 3x 2 2x 2 5x 3
2
2
441 126x 9x 8x 20x 12
1 x 7
2
x 3 là nghiệm của phương trì nh đã cho.
x 146x 429 0
Ví dụ 3: Giải phương trì nh: x 3 35 x 3 (x 3 35 x 3 ) 30 .
Giải:
t 3 35
Đặt t x 35 x t 35 3x 35 x (x 35 x ) x 35 x
(*)
3t
t 3 35
Phương trì nh đã cho trở thành:
.t 30 t 5 thay vào (*) ta có:
3t
x 3
x 3 35 x 3 6 x 3 (35 x 3 ) 216 x 6 35x 3 216 0
.
x 2
3
3
3
3
3
3
3
3
1
x2
5 1 x2
x
Ví dụ 4: Giải phương trì nh: 2
(
) 2 0.
2
x
x
1 x2 2
1 x
Giải: ĐK: 1 x 1 .
1 x2
x
1
x2
2
Đặt t
t 2
1.
2
2
x
x
1
x
1 x
1
Phương trì nh đã cho trở thành: 2t 2 5t 2 0 t 2; t .
2
1 x 0
1 x2
x
1
2
2 1
x
* t 2
.
x
2
x
3
2
1 x
2
1 x2
x
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
15
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
1 x 0
1 x2
x
1
1
* t 2
x2
3 vô nghiệm.
2
x
2
1 x
2
4
1 x2
x
1
Vậy phương trì nh đã cho có nghiệm duy nhất x
.
2
Ví dụ 4: Giải bất phương trì nh :
6
Giải: ĐK x
7
7x 7 7x 6 2 49x 2 7x 42 181 14x .
Đặt t 7x 7 7x 6, (t 0) 14x 2 49x 2 7x 42 t 2 1
Bất phương trì nh đã cho trở thành: t t 2 1 181 t 2 t 182 0 0 t 13
7x 7 7x 6 13 (*)
Vì hàm số f (x) 7x 7 7x 6 là hàm đồng biến và f (6) 13 (*) x 6
6
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trì nh : x 6 .
7
5
1
Ví dụ 5: Giải bất phương trì nh : 5 x
2x
4.
2x
2 x
Giải: ĐK: x 0 .
1
1
) 2(x ) 4 .
Bpt 5( x
4x
2 x
1
1
Đặt t x
, (t 2) x
t 2 1 và bất phương trì nh trở thành:
4x
2 x
5t 2(t 2 1) 4 2t 2 5t 2 0 t 2 (do t 2 )
32 2
0x
1
2
3 4x 2 12x 1 0
là nghiệm của bất phương
t2x
4x
32 2
x
2
trì nh đã cho.
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trì nh sau
1)
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 2 5x 2
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
16
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
2) (x 3)(x 1) 4(x 3)
4)
6)
8)
4
x 1
30
x 3
3)
x2 x 2 x2 x
x x 7 2 x 2 7x 35 2x
4
1
5
7) x x 2x
x 2 x 4 x 2 x 1 2x 2 2x 9
x
x
x
x x2 1 x x2 1 2
5)
4x 3 2x 1 6x 8x 2 10x 3 16
9) 18x 2 18x 5 3 3 9x 2 9x 2
10) x 2 x 12 x 1 36 .
Bài 2: Giải các bất phương trì nh sau:
2) 2x 2 x 2 5x 6 10x 15
1) 5x 2 10x 1 7 2x x 2
3) x 2 2x 8 4 (4 x)(x 2) 0
4) 3 24 x 12 x 6
1
3x
5) 2x 1 x 2 x
6)
1
2
2
1 x
1 x
1
x2
5 1 x2
x
(
)20
2
2
2
2
x
x
1 x
1 x
12 x
x 2 82
9) (12 x)
(x 2)
x2
12 x 3
7)
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
17
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Dạng 3: F( n f (x), n g(x)) 0 , trong đó F(t) là một phương trì nh đẳng cấp bậc k.
Với dạng này ta xét hai trường hợp:
TH1: g(x)=0 thay vào phương trì nh ta kiểm tra,
f (x)
TH2: g(x) 0 chia hai vế phương trì nh cho g k (x) và đặt t n
ta được phương
g(x)
trì nh F1 (t) 0 là phương trì nh đa thức bậc k.
Ta thường gặp dạng: a.f (x) b.g(x) c. f (x)g(x) 0
Ví dụ 1: Giải phương trì nh: 5 x 3 1 2(x 2 2) .
Giải: ĐK: x 1.
Phương trì nh 5 (x 1)(x 2 x 1) 2(x 2 x 1) 2(x 1)
2
x 1
x 1
5 2
2 0 (Do x 2 x 1 0 x ).
x x 1
x x 1
2
t 2
x 1
2
Đặt t
, t 0 , ta có phương trì nh: 2t 5t 2 0 1 .
2
t
x x 1
2
x 1
* t2 2
4 4x 2 5x 3 0 phương trì nh vô nghiệm.
x x 1
1
x 1
1
5 37
x 2 5x 3 0 x
* t 2
.
2
2
x x 1 4
Nhận xét: Qua cách giải trên ta thấy được cơ sở của phương pháp giải dạng toán này và
cũng là con đường để sáng tác ra những bài toán thuộc dạng trên là xuất phát từ phương
trì nh đẳng cấp hai ẩn dạng a 2 ab b 2 0 (có thể bậc cao hơn) ta thay thế a,b bằng
các biểu thức chứa x và biến đổi đi chút ít để che dấu đi bản chất sao cho phương trì nh
thu được dễ nhìn về mặt hình thức và mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong
phương trì nh càng khó nhận ra thì bài toán càng khó. Do đó với dạng toán này chúng ta
cần biết nhận xét mối quan hệ giữa các biểu thức có mặt trong phương trì nh. Tuy nhiên
nếu khéo léo giấu đi mối quan hệ đó thì việc tìm ra lời giải là một vấn đề hết sức khó
khăn. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2: Giải phương trì nh:
Giải: ĐK x 5 .
5x 2 14x 9 x 2 x 20 5 x 1 .
Phương trì nh 5x 2 14x 9 x 2 x 20 5 x 1
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
18
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
5x 2 14x 9 x 2 24x 5 10 (x 1)(x 2 x 20)
2x 2 5x 2 5 (x 1)(x 2 x 20) 5 (x 1)(x 4)(x 5)
2(x 2 4x 5) 3(x 4) 5 (x 2 4x 5)(x 4)
x 2 4x 5
x 2 4x 5
2
5
30.
x4
x4
x 2 4x 5
3
Đặt t
, t 0 , ta có phương trì nh: 2t 2 5t 3 0 t 1; t .
2
x4
5 61
5 (n)
x
2
2
* t 1 x 5x 9 0
.
5 61
5 (l)
x
2
x 8 (n)
3
2
* t 4x 25x 56 0
x 7 (l)
2
2
5 61
Vậy phương tì nh đã cho có hai nghiệm: x
;x 8 .
2
Chú ý : Trong nhiều bài toán ta có thể đưa vào những ẩn phụ khác để làm đơn giản hình
thức bài toán và từ đó ta dễ dàng tìm được lời giải.
Ví dụ 3: Giải phương trì nh:
x 2 2x 2x 1 3x 2 4x 1 .
Giải: Đặt a x 2 2x , b 2x 1 3x 2 4x 1 3a 2 b 2
Phương trì nh trở thành: a b 3a 2 b 2 a 2 ab b 2 0
1 5
1 5
a
b x 2 2x
2x 1 . Giải phương trì nh này ta được nghiệm
2
2
1 5
x
và đây là nghiệm duy nhất của phương trì nh đã cho.
2
Ví dụ 4: Giải phương trì nh: (x 2 6x 11) x 2 x 1 2(x 2 4x 7) x 2 .
Giải: ĐK: x 2 . Đặt a x 2;b x 2 x 1 , ta có:
x 2 6x 11 (x 2 x 1) 5(x 2) b 2 5a 2
x 2 4x 7 x 2 x 1 3(x 2) b 2 3a 2
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
19
Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh
Do vậy phương trì nh đã cho trở thành: (b 2 5a 2 )b 2(b 2 3a 2 )a
a
1
1
6a 3 5a 2 b 2ab2 b3 0 6t 3 5t 2 2t 1 0
(t ) t 1, t , t .
b
2
3
* t 1 a b x 2 2x 3 0 phương trì nh vô nghiệm.
1
* t b 2a vô nghiệm do a,b 0 .
2
1
* t b 3a x 2 10x 19 0 x 5 6 .
3
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trì nh là: x 5 6 .
Nhận xét: Xuất phát từ phương trì nh : (a b)(2a b)(3a b) 0 ta thay
a x 2;b x 2 x 1 và biến đổi ta thu được phương trì nh trên.
Ví dụ 5: Giải phương trì nh: 18x 2 13x 2 3(81x 4 108x 3 56x 2 12x 1) .
Giải:
Ta có: 18x 2 13x 2 2(2x 1) 2 x 2a x (a (3x 1) 2 )
81x 4 108x 3 56x 2 12x 1 (3x 1)4 2x 2 a 2 2x 2
Vậy phương tì nh đã cho trở thành:
a 2x
a 2x
2a x 3(a 2 2x 2 ) 2
2
a 4ax 5x 0 a x;a 5x
x 2x
* a x 2
vô nghiệm.
9x 5x 1 0
5x 2x
11 85
x
* a 5x 2
.
18
9x 11x 1 0
11 85
.
18
Ví dụ 6: Tì m m để phương trì nh sau có nghiệm:
1 x
1 x
1 m 4
2 4 1 - m2 .
1 m4
1 x
1 x
Vậy phương trì nh đã cho có hai nghiệm: x
Giải: ĐK: 1 x 1 .
GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai
20
- Xem thêm -
.PDF 
50 
151 
58 
