ĐỀ 1
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A 1; 3; 4 , B 2; 5; 7
và C 6; 3; 1 . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là:
x 1 t
A. d : y 1 3t
z 8 4t
x 1 3t
B. d : y 3 2t
z 4 11t
x 1 t
C. d : y 3 t
z 4 8t
x 1 3t
D. d : y 3 4t
z 4 t
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SA a
tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, AB 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V
B. V 2a 3
a3
2
C. V
a3
6
D. V
2a 3
3
Câu 3: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên có bảng biến thiên sau:
x
1
y'
y
0
3
+
0
1
1
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1
B. Hàm số có đúng một cực trị
C. Hàm số đạt cực đại tại x 3 và đạt cực tiểu tại x 1
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 và giá trị lớn nhất bằng 1
Câu 4: Cho hai số phức z1 2 3i, z2 4 5i . Số phức z z1 z2 là:
A. z 2 2i
B. z 2 2i
C. z 2 2i
D. z 2 2i
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;0 và bán kính
R 3 . Phương trình mặt cầu S là:
A. x 1 y 2 z 2 3
B. x 1 y 2 z 2 9
C. x 1 y 2 z 2 9
D. x 1 y 2 z 2 3
2
2
2
2
2
2
2
2
4x 1
bằng bao nhiêu?
x x 1
Câu 6: Giới hạn lim
A. 2
C. 1
B. 4
D. 4
Câu 7: Với các số thực a, b bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 3a 3a b
b
B. 3a 3a b
b
C. 3a 3ab
b
D. 3a 3a
b
b
Câu 8: Một tổ gồm 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Tính số cách chọn cùng lúc 3 học sinh trong tổ
đi tham gia chương trình thiện nguyện.
A. 56
B. 336
C. 24
D. 36
Câu 9. Nguyên hàm của hàm số f x tan 2 x là:
f x dx tan x C
C. f x dx x tan x C
f x dx tan x x C
D. f x dx tan x x C
A.
B.
Câu 10: Trục đối xứng của parabol y x 2 5 x 3 là đường thẳng có phương trình là:
A. x
5
4
5
2
B. x
C. x
5
4
D. x
5
2
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 9 x 2 25 y 2 225 . Hỏi diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại
tiếp E là:
A. 15
B. 30
C. 40
D. 60
Câu 12: Cho khối trụ có bán kính hình tròn đáy bằng r và chiều cao bằng h. Hỏi nếu tăng chiều cao
lên 2 lần và tăng bán kính đáy lên 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng lên bao nhiêu lần?
A. 18 lần
B. 6 lần
C. 36 lần
D. 12 lần
Câu 13: Số nghiệm của phương trình 3x 2 2 x 1 là:
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Câu 14: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên tập \ 1 và có bảng biến thiên:
x
1
y'
+
y
+
2
2
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \ 1
B. Hàm số đồng biến trên tập ;1 1;
C. Hàm số đồng biến trên tập ;
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;
Câu 15: Đạo hàm của hàm số y
A. y '
1 1 x ln 2
4x
C. y '
x 1
là:
2x
B. y '
x
4x
1 x 1 ln 2
2x
D. y '
x
2x
Câu 16: Xem giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có u1 3 . Khi đó u5 bằng:
A. 72
B. 48
C. 48
D. 48
Câu 17: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình z 2 4 z 3 z 2 4 z 40 0 . Khi đó,
2
2
2
2
giá trị H z1 z2 z3 z4
A. P 4
2
bằng:
B. P 42
D. P 24
C. P 16
ACB 30 . Thể tích khối
Câu 18: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB a và
nón sinh ra khi quay tam giác ABC quanh trục AC là:
B. 3 a 3
3 a 3
3
A.
C.
D. a 3
3 a 3
9
Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng P song song với hai đường thẳng
x 2 t
x 2 y 1 z
d1 :
, d 2 : y 3 2t . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng P ?
2
3
4
z 1 t
A. n 5; 6;7
B. n 5; 6;7
C. n 5;6; 7
D. n 5;6;7
Câu 20: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA 2a . Thể tích khối chóp S.ABCD theo a là:
A.
a 3 15
6
B.
a 3 15
12
C.
D. 2a 3
2a 3
3
Câu 21: Biết hàm số y f x có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số y 3x qua đường thẳng x 1 .
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. f x
1
3.3x
B. f x
1
9.3x
C. f x
1 1
3x 2
D. f x 2
1
3x
Câu 22: Nguyên hàm F x của hàm số f x sin 2 x.esin
2
x
là:
A. F x 2esin x C
esin x 1
C
B. F x 2
sin x 1
C. F x esin x C
D. F x esin x C
2
2
1
2
2
2
Câu 23: Một đề thi môn Toán có 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả
lời, trong đó có đúng một phương án là đáp án. Học sinh chọn đúng đáp án được 0,2 điểm, chọn sai
đáp án không được điểm. Một học sinh làm đề thi đó, chọn ngẫu nhiên các phương án trả lời của tất
cả 50 câu hỏi, xác suất để học sinh đó được 5,0 điểm bằng:
A.
1
2
B.
A5025 . A31
A
1 50
4
25
C.
1
16
D.
C5025 . C31
C
1 50
4
25
Câu 24: Cho cấp số cộng un có u5 15, u20 60 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
này là:
A. S10 125
B. S10 250
C. S10 200
D. S10 200
Câu 25: Cho hàm số y x3 3x 2 2m 1 x 2m 3 có đồ thị Cm . Với giá trị nào của tham số m
thì tiếp tuyến của hệ số góc lớn nhất của đồ thị Cm vuông góc với đường thẳng : x 2 y 4 0 ?
A. m 2
B. m 1
C. m 0
D. m 4
x
1
Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng: :
y 1 z 2
và mặt
1
1
phẳng P : x 2 y 2 z 4 0 . Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P sao cho d cắt
và vuông góc với đường thẳng Δ là:
x 3 t
A. d : y 1 2t
z 1 t
x 3t
B. d : y 2 t
z 2 2t
x 2 4t
C. d : y 1 t
z 4 t
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số f x
f x dx
x5
là:
x2 1
x4 x2
ln x 2 1 C
4 2
A.
C.
f x dx x
4
x 1 t
D. d : y 3 3t
z 3 2t
x 2 ln x 2 1 C
B.
f x dx x
D.
f x dx
3
x
x
C
x 1
2
x4 x2 1
ln x 2 1 C
4 2 2
Câu 28: Cho hàm số y f x liên tục trên , có đạo hàm f ' x x 1 x 2 2 x 4 4 . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số f x có 3 điểm cực trị.
B. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2; 2
C. Hàm số f x đạt cực tiểu tại x 1
D. Hàm số f x đạt cực tiểu tại x 2
Câu 29: Cho phương trình 9 x x 12 .3x 11 x 0 . Phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 . Giá trị
S x1 x2 bằng bao nhiêu?
A. S 0
B. S 2
C. S 4
D. S 6
Câu 30: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau:
x
y'
+
y
0
1
0
+
+
2
1
0
+
1
2
Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 1 m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm
phân biệt là:
A. m 2 hoặc m 2
B. m 2
C. m 1 hoặc m 2
D. m 1 hoặc m 3
Câu 31: Số nghiệm chung của hai phương trình 4 cos 2 x 3 0 và 2sin x 1 0 trên khoảng
3
; bằng:
2 2
A. 2
B. 4
C. 3
D. 1
Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và tma giác ABD đều. SO vuông
góc mặt phẳng ABCD và SO 2a . M là trung điểm của SD. Tang góc giữa CM và ABCD là:
A. 4 13
B.
4 13
13
C.
13
4
D.
13
13
Câu 33: Biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 1 Cnn 2 78 , số hạng chứa x8 trong khai triển
n
3 2
x là:
x
A. 10176x8
B. 101376
C. 112640
D. 101376x8
Câu 34: Cho số phức z a bi ( a, b ) thỏa mãn z 1 2i 1 i z 0 và z 1 . Tính giá trị của
biểu thức P a b .
A. P 3
C. P 1
B. P 7
Câu 35: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2
A. 1 m 1
B. m 0
D. P 5
4x 1
m có nghiệm thực.
4x 1
C. 1 m 0
D. m 1
Câu 36: Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình
bên. Hàm số y f 1 x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
3;
C. 1; 3
A.
B. 3; 1
D. 0;1
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M,
N, P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là:
32
108
64 2
A. V
C. V
V
B.
3
3
3
D. V
125
6
3a
ABC 60, SA ABCD , SA
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a,
.
2
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Khoảng cách từ điểm O đến SBC bằng:
A.
3a
4
B.
3a
8
C.
5a
8
D.
5a
4
Câu 39: Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 12 m / s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm
đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 2t 12 m / s (trong đó t là thời gian tính
bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian 8 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô
đi được quãng đường bao nhiêu?
A. 16m
B. 60m
C. 32m
D. 100m
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :
x 1 y z 2
và hai điểm
2
1
1
A 0; 1;3 , B 1; 2;1 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MA2 2 MB 2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
A. M 5; 2; 4
B. M 1; 1; 1
C. M 1;0; 2
D. M 3;1; 3
Câu 41: Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A ' cách đều ba điểm
A, B, C. Cạnh bên AA ' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là:
A. a 3 3
B.
a3 3
2
C.
a3 3
6
D.
a3 3
4
Câu 42: Cho đồ thị hàm số C : y x 4 3m 1 x 2 m 2 (m là tham số). Để C cắt trục hoành tại
bốn phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì giá trị của m là:
1
19
C. m 3
A. m
B. m
5
3
D. m 3, m
3
3
19
Câu 43: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;3 thỏa mãn f 3 0 , f ' x dx
2
0
3
0
f x
x 1
A.
dx
7
. Tích phân
3
7
3
B.
7
và
6
3
f x dx bằng:
0
97
30
C.
7
6
D.
7
6
Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M 2;1;1 và mặt phẳng
: x y z 4 0 và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 6 x 6 y 8 z 18 0 . Phương trình đường thẳng d đi
qua M và nằm trong mặt phẳng cắt mặt cầu S theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là:
A. :
x 2 y 1 z 1
1
2
1
B. :
x 2 y 1 z 1
1
2
1
C. :
x 2 y 1 z 1
1
2
3
D. :
x 2 y 1 z 1
1
2
1
Câu 45: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp
12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng
cạnh nhau bằng:
A.
11
630
B.
1
126
C.
1
105
D.
1
42
Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A và có đỉnh C 4;1 . Đường
phân giác trong góc A có phương trình là x y 5 0 . Biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh
A có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm B.
A. B 4; 5
B. B 4;7
C. B 4;5
D. B 4; 7
Câu 47: Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. Gọi S là điểm đối xứng của A qua
BC ' . Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' là:
a3 3
A.
3
B. a 3 3
C.
a3 3
6
D.
a3 3
2
Câu 48: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ bên.
Đặt y g x f x x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y g x đạt cực đại tại x 1
B. Đồ thị hàm số y g x có 3 điểm cực trị
C. Hàm số y g x đạt cực tiểu tại x 1
D. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng 1; 2
Câu 49: Cho phương trình 5x m log 5 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m 20; 20 để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 20
B. 19
C. 9
D. 21
Câu 50: Cho số phức z 1 i . Biết rằng tồn tại các số phức z1 a 5i, z2 b (trong đó a, b , b 1
) thỏa mãn 3 z z1 3 z z2 z1 z2 . Tính b a .
A. b a 5 3
B. b a 2 3
C. b a 4 3
D. b a 3 3
ĐÁP ÁN
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án
C
D
C
B
B
D
C
A
B
D
Câu
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Đáp án
D
A
C
D
B
D
B
A
D
A
Câu
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Đáp án
B
C
D
A
A
C
D
C
B
D
Câu
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Đáp án
A
B
A
B
B
C
A
B
B
B
Câu
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Đáp án
D
D
B
A
A
B
A
A
B
D
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn đáp án C.
Gọi M là trung điểm của BC M 2; 4; 4 . Đường trung tuyến AM
đi qua A 1; 3; 4 và nhận AM 1; 1; 8 làm vecto chỉ phương.
x 1 t
Phương trình đường thẳng AM là: y 3 t .
z 4 8t
Câu 2. Chọn đáp án D.
Tam giác ABC vuông cân nên AB AC 2a .
Diện tích tam giác ABC là: S ABC
1
1
AB. AC .2a.2a 2a 2 .
2
2
1
3
1
3
Thể tích khối chóp S.ABC là: VS . ABC SA.S ABC .a.2a 2
2a 3
.
3
Câu 3. Chọn đáp án C.
Dựa vào bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 Loại đáp án A.
Hàm số có hai điểm cực trị Loại đáp án B.
lim y ; lim y Nên hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Đáp án D sai.
x
x
Hàm số đạt cực đại tại x 3 và đạt cực tiểu tại x 1 Đáp án C đúng.
Câu 4. Chọn đáp án B.
Ta có: z z1 z2 2 3i 4 5i 2 2i .
Câu 5. Chọn đáp án B.
Mặt cầu S tâm I a; b; c , bán kính R có phương trình dạng:
S : x a y b z c
2
2
2
R2 .
Với tâm I 1; 2;0 và bán kính R 3 .
Phương trình mặt cầu S : x 1 y 2 z 2 9 .
2
2
Câu 6. Chọn đáp án D.
1
4
4x 1
x 4 .
lim
Ta có: lim
x x 1
x
1
1
x
Câu 7. Chọn đáp án C.
Công thức lũy thừa a n a nm 3a 3ab .
m
b
Câu 8. Chọn đáp án A.
Số cách chọn cùng lúc 3 học sinh trong tổ đi tham gia chương trình thiện nguyện là C83 56 .
Câu 9. Chọn đáp án B.
Ta có:
f x dx tan
2
1
xdx
1 dx tan x x C
2
cos x
Câu 10. Chọn đáp án D.
Trục đối xứng của parabol y ax 2 bx c là đường thẳng x
5
2
b
.
2a
Trục đối xứng của parabol y x 2 5 x 3 là đường thẳng x .
Câu 11. Chọn đáp án D.
Phương trình chính tắc của E :
x2 y 2
1.
25 9
a 2 25 a 5
Ta có: 2
.
b 3
b 9
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp E là S 4ab 60 .
Câu 12. Chọn đáp án A.
Tăng chiều cao lên 2 lần thì h2 2h1 .
Tăng bán kính đáy lên 3 lần thì R2 3R1 .
Tỉ lệ thể tích:
V1 R12 .h1
R12 .h1
1
V2 18V1 .
2
2
V2 R2 .h2 3R1 .2h1 18
Vậy khối trụ mới sẽ tăng 18 lần thể tích.
Câu 13. Chọn đáp án C.
1
x 1
2 x 1 0
x
Ta có: 3x 2 2 x 1
2
3 (Thỏa mãn)
2
2
3
x
2
2
x
1
5 x 2 8 x 3 0 x
5
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 14. Chọn đáp án D.
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; D đúng.
Câu 15. Chọn đáp án B.
x
/
x
x
x 1 2 x 1 2 ln 2 2 1 x 1 ln 2 1 x 1 ln 2
Ta có: y ' x
22 x
22 x
2x
2
Câu 16. Chọn đáp án D.
Ta có: u1 3 và u9 768 nên 768 3.q8 q8 256 q 2 .
Do đó u5 u1.q 4 3.24 48 .
Câu 17. Chọn đáp án B.
Đặt: t z 2 4 z .
Khi đó phương trình trở thành: t 2 3t 40 0 .
z 2 i
z 2 i
z 4z 5 0
t 5
2
.
t
8
z 22 3
z 4z 8 0
z 2 2 3
2
2
2
2
2
2
2
Khi đó: H z1 z2 z3 z4 5 5 2 2 3 2 2 3 42 .
Câu 18. Chọn đáp án A.
Khi quay tam giác ABC quanh trục AC thì bán kính đường tròn
đáy là AB, chiều cao của hình nón là CA.
Bán kính hình nón: r AB a .
Chiều cao của hình nón: h
1
3
AB
a
a 3.
tan
ACB tan 30
1
3
Thể tích khối nón là: V r 2 h a 2 .a 3
Câu 19. Chọn đáp án D.
3 a 3
.
3
Đường thẳng d1 , có một vecto chỉ phương là ud 2; 3; 4 .
1
Đường thẳng d 2 , có một vecto chỉ phương là ud2 1; 2; 1 .
Ta có: ud1 ; ud2 5;6;7 .
Vì mặt phẳng P song song với hai đường thẳng 1 và 2 nên nhận
ud , ud 5;6;7 làm vecto pháp tuyến.
1 2
Câu 20. Chọn đáp án A.
Diện tích hình vuông ABCD là: S ABCD AB 2 a 2 .
Gọi H là trung điểm AB.
Do tam giác SAB cân tại S do đó SH AB .
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD .
SH AB
2
a 15
a
SH SA AH 2a
2
2
2
2
2
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
1
1 a 15 2 a 3 15
VS . ABCD SH .S ABCD .
.a
.
3
3 2
6
Câu 21. Chọn đáp án B.
Trên đồ thị hàm số y 3x lấy M x0 ; y0 và gọi N x; f x là điểm thuộc đồ thị hàm số f x và đối
xứng với M qua đường thẳng x 1 .
x x0
1 x0 x 2
Khi đó: 2
y0 f x
f x y0
Thay vào hàm số y 3x ta được: f x 3 x 2
1
.
9.3x
Cách khác:
Ta có điểm A 0;1 C : y 3x B 2;1 là điểm đối xứng với
A qua đường thẳng y 1 .
Trong 4 đáp án chỉ có đáp án B là f x
1
đi qua điểm
9.3x
B 2;1 .
Câu 22. Chọn đáp án C.
Ta có: F x sin 2 x.esin x dx 2sin x.cos x.esin x dx esin x d sin 2 x esin x x C .
2
2
2
Câu 23. Chọn đáp án D.
Số phần tử không gian mẫu: n C41 .
50
Gọi A là biến cố học sinh chỉ chọn đúng đáp án của 25 câu hỏi.
Khi đó n A C5025 . C31 .
25
25
1
n A C50 . C3
Xác suất cần tìm là: P A
.
1 50
n
C
25
4
2
Câu 24. Chọn đáp án A.
Gọi u1 , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
u5 15 u1 4d 15 u1 35
.
d 5
u1 19d 60
u20 60
Ta có:
Vậy S10
10
. 2u1 9d 5. 2. 35 9.5 125 .
2
Câu 25. Chọn đáp án A.
Tập xác định: D .
Ta có:
y ' 3 x 2 6 x 2m 1 3 x 2 2 x 1 2m 2 3 x 1 2m 2 2m 2, x
2
Do đó: GTLN của y ' là 2m 2 , đạt tại x0 1 .
Với x0 1 y0 4m 2 .
Phương trình tiếp tuyến của Cm tại M 1; 4m 2 là:
d : y 4m 2 2m 2 x 1 y 2m 2 x 2m 4 .
1
2
Theo đề ra ta có: : x 2 y 4 0 hay y x 2 .
Khi đó: d 2m 2 2 m 2 .
Câu 26. Chọn đáp án C.
Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là ud 1;1; 1 .
Mặt phẳng P có một vecto pháp tuyến là n P 1; 2; 2 .
ud 1;1; 1
Ta có:
ud , n P 4; 3;1 .
n P 1; 2; 2
d
Đường thẳng d nhận ud , n P 4; 3;1
d P
Vì
làm vecto chỉ phương.
Giả sử: M P M M t ;1 t ; 2 t .
Mặt khác M P t 2 1 t 2 2 t 4 0 t 2 M 2; 1; 4 .
x 2 4t
Khi đó phương trình đường thẳng d là: d : y 1 3t .
z 4 t
Câu 27. Chọn đáp án A.
Ta có:
2
x5
x
x 4 x 2 1 d x 1
3
f x dx 2
dx x x 2 dx
C .
x 1
x 1
4 2 2
x2 1
x4 x2 1
ln x 2 1 C .
4 2 2
Câu 28. Chọn đáp án C.
Tập xác định: D .
Ta có: f ' x x 1 x 2 2 x 4 4 0 x 1 x 2 2 x 2 2 0 .
2
x 1 x 2
x 2 x
2
2
2
x 1
2
.
x
2
Bảng xét dấu f ' x :
x
y'
1
2
0
0
2
+
0
+
Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và đồng biến trên khoảng 1; .
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và không có cực đại.
Tại x 2 không phải điểm cực trị vì y ' không đổi dấu nên hàm số chỉ có 1 điểm cực trị.
Câu 29. Chọn đáp án B.
Đặt t 3x 0
t 1
t 11 x
Khi đó 9 x x 12 .3x 11 x 0 t 2 x 12 t 11 x 0
3 x 1
x 0
x
x
3 x 11 *
3 11 x
Xét hàm f x 3x x trên .
f ' x 3x ln 1 0; x .
Do đó hàm số f x đồng biến trên .
Mà f 2 11 f x 11 f x f 2 x 2 .
x 0
x1 x2 2 .
Vậy hai nghiệm của phương trình là
x 2
Câu 30. Chọn đáp án D.
Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng y 1 m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt
1 m 2
m 1
.
1 m 2
m 3
x
y'
+
y
0
1
0
+
+
0
+
2
1
1
2
Câu 31. Chọn đáp án A.
x k 2
1
6
Phương trình 2sin x 1 0 sin x
2
x 7 k 2
6
7
3
Trên khoảng ; có hai nghiệm là và
.
6
6
2 2
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình 4 cos 2 x 3 0 .
Vậy hai phương trình có 2 nghiệm chung.
Lưu ý: Hoặc giải phương trình:
x k
1
6
4 cos 2 x 3 0 2 cos 2 x 1 0 cos 2 x
2
x k
6
5
7
3
Trên khoảng ; có nghiệm là ; ;
và
.
6 6 6
6
2 2
Do đó trùng với 2 nghiệm của phương trình 2sin x 1 0 .
Câu 32. Chọn đáp án B.
Gọi I là trung điểm OD MI là đường trung bình tam giác SOD MI
MI / / SO MI ABCD .
IC là hình chiếu của MC lên mặt phẳng ABCD .
.
Góc giữa MC với ABCD là MCI
1
4
Tam giác ABD đều BD a OI BD
OC OA
a 3
.
2
Xét tam giác OCI vuông tại O:
2
a 3 a 2 a 13
CI CO OI
.
4
2 4
2
2
Xét tam giác CMI vuông tại I:
tan MCI
MI
a
4 13
.
CI a 1
13
4
Câu 33. Chọn đáp án A.
a
.
4
SO 2a
a và
2
2
Ta có: Cnn 1 Cnn 2 78
n 1 n 78 .
n!
n!
78 n
2
n 1 !.1! n 2 !.2!
n 12
n 2 n 156 0
n 12 (vì n là số nguyên dương).
n 13
12
k
12
12
12 k 2
2
k
k
Ta có: x3 1 C12k x3 1 C12k .2k .x36 4 k
x
x k 0
k 0
Số hạng chứa x8 khi 36 4k 8 k 7 .
12
2
Vậy số hạng chứa x8 trong khai triển x3 là C127 .27.x8 101376 x8 .
x
Câu 34. Chọn đáp án B.
Cách 1:
Ta có: z 1 2i 1 i z 0 z z 1 z 2 i .
z 5
Lấy môđun hai vế ta được: z z 1 z 2 z 6 z 5 0
2
2
2
2
z 1 l
.
z z 1 z 2 i 4 3i P 4 3 7 .
Cách 2:
Gọi z a bi a, b .
Ta có z 1 2i 1 i z 0 a bi 1 2i 1 i a 2 b 2 .
a 1 a 2 b 2
a 1 b 2 i a b i a b
b 2 a 2 b 2
2
2
2
a 1 b 2 a b 1 b 2
2
b 1
2
b2 .
b 2 0
b 1 a 0
.
2
2
b 2 2b 2b 1 b 3 a 4
Lại có z 1 a 2 b 2 1 nên a 4, b 3 thỏa mãn P 7 .
Câu 35. Chọn đáp án B.
Điều kiện:
4x 1
0 4x 1.
4x 1
Đặt t 4 x t 1 .
Khi đó phương trình trở thành log 2
t 1
m.
t 1
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm giữ đường thẳng y m và đồ thị hàm số
f t log 2
t 1
.
t 1
Xét hàm số f t log 2
Ta có: f ' t
t 1
với t 1 .
t 1
2
0; t 1 .
t 1 ln 2
2
Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng 1; .
Bảng biến thiên:
1
t
f t '
+
f t
0
ym
Dựa vào bảng biến thiên để phương trình có nghiệm m 0 .
Câu 36. Chọn đáp án C.
Ta có: y ' f 1 x 2 2 x. f ' 1 x 2 2 x. f ' t với t 1 x 2 .
/
Dựa vào đồ thị:
x2 1 2
x 1
t 2
2
t 4
x 3
x 1 4
f 't 0
1 x 1
x2 1 2
t 2
2
x 3
f 't 0
t 4
x 1 4
x 3
3 x 1
f ' t 0 2 t 4 2 x2 1 4 1 x2 3
1 x 3
Bảng xét dấu:
x
3
0
1
2x
f ' t
+
0
0
+
g ' x 2 x. f ' t
0
+
0
Vậy hàm số y f 1 x 2 nghịch biến trên khoảng 1; 3 .
Câu 37. Chọn đáp án A.
Ta có: CB SAB AM CB . Mà SC AM SC .
AM SBC AM MC
AMC 90 .
APC 90
Tương tự ta có
0
0
1
+
3
+
+
+
0
0
+
+
0
0
+
ANC 90
Mặt khác: AN SC
AMC
APC
APC 90
Ta có:
Khối cầu ngoại tiếp CMNP có tâm O là trung điểm AC.
Bán kính khối cầu: R
AC AB 2 2 2. 2
2.
2
2
2
4
3
4
3
Thể tích cầu ngoại tiếp: V R 3 2
3
32
.
3
Câu 38. Chọn đáp án B.
Ta có:
d O, SBC
d A, SBC
OC 1
1
d O, SBC d A; SBC
AC 2
2
ABC 60 , nên ABC đều.
Vì AB BC a,
Gọi M là trung điểm BC.
BC AM
BC SAM .
BC SA
Do đó:
Gọi H là hình chiếu của A lên SM.
AH SM
.
AH BC
Do đó:
AH SBC d A; SBC AH .
Xét tam giác SAM vuông tại A:
AH
SA. AM
SA2 AM 2
Vậy d O, SBC
3a a 3
.
2 2
2
3a a 3
2 2
2
3a
.
4
1
1 3a 3a
AH .
.
2
2 4
8
Câu 39. Chọn đáp án B.
Từ lúc phanh đến khi xư dừng lại hết thời gian là: 2t 12 0 t 6 s .
Vậy trong 8s cuối thì 2 giây đầu xe vẫn chuyển động đều quãng đường là: S1 12.2 24m .
6
6
0
0
Quãng đường vật đi được trong 6 giây cuối khi dừng lại là: S2 v t dt 2t 12 dt 36m
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là: S S1 S2 24 36 60m .
Câu 40. Chọn đáp án B.
Vì M thuộc đường thẳng Δ nên M 1 2t ; t ; 2 t .
2
2
2
2
2
2
Ta có MA2 2MB 2 2t 1 t 1 t 5 2 2t t 2 t 3 18t 2 36t 53
MA2 2 MB 2 18 t 1 35 35, t .
2
Vậy min MA2 2MB 2 35 t 1 hay M 1; 1; 1 .
Câu 41. Chọn đáp án D.
Ta có A ' A A ' B A ' C nên hình chiếu của A ' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do tam giác ABC đều nên trọng tâm G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A ' G ABC .
AG là hình chiếu của A ' A lên mặt phẳng ABC .
A ' AG .
Góc giữa A ' A với mặt phẳng ABC là:
Gọi H là trung điểm BC.
Ta có: AG
2
2 a 3 a 3
AH .
.
3
3 2
3
Xét tam giác A ' AG vuông tại G:
a 3
A ' G AG.tan
A ' AG
.tan 60 a .
3
Diện tích tam giác đều ABC là:
S ABC
AB 2 3 a 2 3
.
4
4
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là: VABC . A ' B 'C ' A ' G.S
/
ABC
a 2 3 a3 3
a.
.
4
4
Câu 42. Chọn đáp án D.
Phương trình hoành độ giao điểm của C và trục hoành: x 4 3m 1 x 2 m 2 0 (1)
Đặt t x 2 t 0 , ta có phương trình: t 2 3m 1 t m 2 0 2 .
C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi 2 có hai nghiệm dương phân biệt:
1
2
m 1 m
5
m
6
m
1
0
0
5
2
1
P 0 m 0
m 0
m
5
S 0
3m 1 0
1
m
3
m 0 * .
Gọi t1 , t2 là hai nghiệm của 2 , với 0 t1 t2 và x1 , x2 , x3 , x4 là bốn nghiệm của (1) với:
x1 x2 x3 x4 thì: x1 t2 , x2 t1 , x3 t1 , x4 t2 .
x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng khi:
t2 t1 2 t1
x1 x3 2 x2
t2 3 t1 t2 9t1 .
x
x
2
x
t
t
2
t
3
2 4
1
2
1
t1 t2 3m 1
Theo Vi-ét cho phương trình ta có:
2
t1t2 m
và t2 9t1 nên thế t1 ; t2 ta được:
m 3
.
19m 54m 9 0
m 3
19
2
Kết hợp với điều kiện (*) ta được giá trị m cần tìm là: m 3, m
3
.
19
Câu 43. Chọn đáp án B.
f x
3
Xét:
x 1
0
dx
7
3
u f x
du f ' x dx
Đặt:
1
dx v 2 x 1 1
dv
x 1
3
Khi đó:
0
3
0
f x
dx 2
x 1
x 1 1 . f ' x dx
3
Mặt khác:
0
Do đó: f x
3
Vậy:
0
2
3
3
x 1 1 f x 2
0
0
x 1 1 f ' x dx
7
6
3
x 1 1 dx x 2 2 x 1 dx
0
7
6
2
7
x 1 x 1 x .
3
3
3
7
97
2
.
f x dx x 1 x 1 x dx
3
3
30
0
Câu 44. Chọn đáp án A.
Mặt cầu S có tâm I 3;3; 4 , bán kính R 4 .
IM 1; 2; 3 IM
1 2 3
2
2
2
14 R .
M nằm trong mặt cầu S nên đường thẳng d luôn cắt mặt cầu tại hai điểm A, B phân biệt.
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d.
Ta có: AB 2 AH 2 R 2 IH 2 2 16 IH 2 .
Để AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất.
Mà IH IM . Vậy IH lớn nhất khi H M
Hay IM d .
d ud n 1;1;1
ud n , MI 1; 2;1 .
Ta có:
d MI
ud MI 1; 2;3
Đường thẳng d đi qua M 2;1;1 và có một vecto chỉ phương ud 1; 2;1 .
Phương trình đường thẳng d là:
x 2 y 1 z 1
.
1
2
1
Câu 45. Chọn đáp án A.
Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí: n 10! cách.
Gọi A là biến cố: “Trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”.
Sắp xếp 5 học sinh lớp 12C vào 5 vị trí có 5! Cách.
Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 12C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu
để xếp các học sinh còn lại.
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Trường hợp 1: Xếp 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa (không xếp vào hai đầu) có A43
cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn lấy 1 trong 2 học sinh lớp 12A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để hai học
sinh lớp 12C không được ngồi cạnh nhau) có C21 cách.
Học sinh lớp 12A còn lại có 8 vị trí để xếp.
Khi đó ta có 5!. A43 .C12 .8 cahcs.
Trường hợp 2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại xếp vào
hai đầu có A42 .C32 .2 cách.
Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp 2 học sinh lớp 12A vào vị trí đó, có 2
cách.
Khi đó ta có 5!.C32 .2. A42 .2 cách.
Do đó số cách xếp không có học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau là
n A 5!. A43 .C21 .8 5!.C32 .2. A42 2 63360 cách.
Vậy xác suất cần tìm là P A
n A 63360 11
.
n
10!
630
Vậy xác suất cần tìm là P A
n A 63360 11
.
n
10!
630
Câu 46. Chọn đáp án B.
Gọi Δ là phân giác trong của góc A.
Gọi D là điểm đối xứng của C qua Δ khi đó D AB .
Đường thẳng CD đi qua C và vuông góc Δ nên nhận n 1;1 làm vecto chỉ phương có phương
trình là:
x 4 y 1
x y5 0.
1
1
Gọi I CD I 0;5 .
Vì I là trung điểm CD D 4,9 .
Tam giác ACD vuông tại A nên AI IC 4 2 .
Gọi A 5;5 t ; t 0 .
- Xem thêm -
.PDF 
370 
370 
127 
