Tài liệu Phương trình toán lý

P H A N H U Y T H IỆ N PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Bản q u y ề n th u ộ c H E V O B C O - N h à x u ấ t b ả n G iáo d ụ c 155 - 2006/CXB/7 - 250/GD Mã số: 7K677M6 - DAI J lờ i n ó i ctầiL Nội dung chính cua cuốn P h ư ơ n g trình Toán lý này đcmg được tác gia giang dạy cho sinh viên cúc khoa Toán, Lý và các ngành kỹ thuật có liên quan cua Trườnq Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội. Ngoài ra, cuốn sách được bỏ sung và sưa đôi đẽ đáp ứng nhu câu học tập của sinh viên các inrờniỉ Dại hục Khua hục Tự nhiên và các trường Đại học Kỹ thuật tromí ca nước. Mối Hên hệ giữa các đại lượmỉ vật lý trong tự nhiên là phứ c tạp nhưng có quy luật, mục đích cua chúng tu là tìm ra được các mối liên hệ có quy luật dó. Chu đến nav, người tu phân loại các dạng p h ư ơ n g trình toán lý theo môn hục Phương trình đạo hàm riêng, vì nỏ p h ù hợp với p h ư ơ n g pháp giải. Cụ thê, có ba dạng phương trình đạo hàm riêng cơ bán: p hư ơ ng trình Hyperbolic, p h ư ơ n g trình Parabolic và p h ư ơ n g trình Elỉiptic. Nội dung của cuốn sách bao qỏm: - Chương I trình bày việc phân loại cúc p hư ơ ng trình đạo hàm riêng cắp 2; tóm tắt cách giải phư ơ ng trình vi p h â n cấp 2; khái niệm chuỗi Fourier và biêu diên các toán lư vi phân trong các hệ tọa độ cong trực giao. - Chương II trình bày về phương trình Hyperboìic, còn được gọi là phương trình sóng. Nó được thiết lập trên cơ sở nghiên cứu các dao động cua dầy, màng mong, sóng âm, sóng tạo ra do íhuỳ triều, sóng đùn hồi, sóng điện từ trường... - Chương III trình bày về phương trình Parabolic, còn được gọi là phương trình truyền nhiệt. Phương trình Parabolic không chỉ đặc trưng cho quá trình truyền nhiệt mà cồn mô tá các hiện tượng khuếch tán như khuếch tán chát khí, chất lỏng... - Chương IV trình bày về phương trình Elliptic, đặc biệt là lý thuyết thế. - Chương V đề cập đến các phép biến đôi tích phân, ỉà công cụ quan trọng đê giai p h ư ơ n g trình phư ơ ng trình vi p h â n đạo hàm riêng. - Chương VI trình bàv về p h ư ơ n g pháp hàm Green. 3 - Chương VII trình bày các hàm đặc biệt như các đa thức trực giao, hàm Gatnma, hàm trụ, hàm cầu, hàm siêu bội... và tỉnh trực giao cùa chúng. Cuốn sách có đưa vào một so bài giải mẫu và bài tập có hướn<ị dẫn. Mặc dù, tác giả đã có nhiêu cô'gắnẹ trong quá trình biên soạn sao cho nội dưng kiến thức troníỊ cuốn sách mang tính khoa học và thực tiễn cao nhất. Tuy nhiên, cuốn sách không tránh khỏi nhữnẹ thiếu sót. Tác ụ ả rất mong nhận dược những ỷ kiến đóng góp của độc giá đ ể lấn xuất bản sau cuốn sách được hoàn thiện liơn. Thư từ xin gửi về địa chỉ: Công ty c ổ phần Sách Đại học - Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội. TÁC GIẢ 4 > Chương Ị MỞ ĐÀU §1. PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CÁP 2 1. Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 Phươnti trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng v ÔXị' ’ ôx ’ ÔXị ’ õxtõx2 õxk\ ...ôxkn" J trong đó: F là hàm nhiều biến; ,T = (xp A': .....,v„) là vector trong không gian Euclide n chiều IR"; u (x) là hàm chưa biết; Ảr, + k2 +... + k n = m . Câp (bậc) của phương trình là câp của đạo hàm câp cao nhât trong phương trình. Phương trình tuyến tính có thể viết dưới dạng L u - b ( x ) , trong đó toán tử tuyến tính z có dạng k=I kị +ic2+...+klt=k .*„>0 Nếu /? ( X) = 0 , phương trình được gọi là phương trình thuần nhất. Nghiệm tống quát của phương trình phụ thuộc vào hàm tùy ý, khác với phương trình vi phân thường là nghiệm tông quát của phương trình vi phân thường phụ thuộc vào hằng số tùy ý. Trong các bài toán vật lý, phương trình thường gặp là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 (m = 2 ). Ví dụ 1: Xét phương trình trong mặt phẳng (*,>>) nó có nghiệm tổng quát u ( x , y ) = f ( y ) Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 với hai biến độc lập x , y là hệ thức liên hệ giữa hàm chưa biết u ( x , y ) và đạo hàm riêng của nó đến cấp 2 : (*) 5 Trường hợp sổ biến độc lập lớn hơn được mô tả tương tự. Phương trình vi phân (*) được gọi là tuyến tính đối với đạo hàm cấp 2 nếu nó có dạng ứ,, w„ + 2an uxy + aĩ2uyy + Fx( x , ) \ u , u x, u t ) = 0 . (1.1) trong đó: au , a]2, a22 là hàm củaX v à y. Nếu các hệ số au , a ]2, aĩ2 không chỉ phụ thuộc vào X và y mà còn phụ thuộc cả vào X, y , u, ux, u v giống như Fị thỉ (1.1) được gọi là phương trình chuân tuyên tính. Phương trình (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính cả với dạo hàm cấp 2 : uxx, uxv, u w và đạo hàm cấp 1 : wt , u v của nó, tức là nó có dạng í/,, IIxx + 2 a nuxv + a 22uyy + bxux + b2uy + CU + f = 0 , (1.2) trong đó: a n , a n , a 22, bv b2, c, f là các hàm chỉ phụ thuộc vào X v à y. Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào X, y thì nó là phương trình tuyến tính với hệ sổ hằng số. Phương trình được gọi là thuần nhất nếu f ( x , y ) = 0 . Nhờ phép đối biến: ệ = cp(x,_y), r\ = \ụ ( x , ^ ) và giả sử tồn tại phép biến đổi ngược, sẽ nhận được phương trình mới tương đương với phương trình xuất phát. Đương nhiên, vấn đề đặt ra là có thê chọn biến mới nhu thế nào sao cho sau khi đổi biển phương trình mới có dạng đơn gián nhất? Đế trả lời câu hỏi trên, xét phương trình (1.1) a\ Iw,v + 2an wv, + a 2 ĩ uyy + F ị x , y , u , u x, u v) = 0 . Sau khi đưa vào biến mới, các đạo hàm riêng có dạng UX = U Ậ X+ U Ĩ \ X\ uy = u Ặ y +u \\y M,v = + «nnTlỉ + + W„T1„ (1.3) uXy = u^ À y + uịn< Ẵ ^ y + ^ y ^ + un ^ \ +uA n ' + u ^ uyy = uụ£y + + uẬyy + u ^ y y Thay các giá trị đạo hàm (1.3) vào (1.1) thu được phương trình mới có dạng ã ,, uự_ + 2ãu uịn + ã22 wnn + F = 0 , 6 (1.4) t.-pnií đó: a \\ ~ Ll\ iSv + ~CI\2^>\^I + a2:^\ " 1: = " i i 4 tn t + " i : ( ^ n 1 + n ,4 ,) + " : ^ , n , : ã22 = É/nrpt + 2 ứi:r |vr|i + ^ 11^; /r là hàm không phụ thuộc vào đạo hàm cấp 2 . Nhận xét ràng, nếu phương trình xuất phát tuyến tính, tức là F ( x . y , u , u x, u v ) = b ị U y + b 2u } + C U + f \ thì F có dạng F ( ị , r \ , u . 11^11,^) = Ị3,»; + P :H11 +ỴỈ/ + Ô, tức là phương trìnli vẫn tuyến tính. Chọn biến £, và T| sao cho một trong các hệ số hệ số í7M,Ãl2 , ă 22 bằng không, plnrơns trình sẽ có dạng đơn giản. 2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp 2 Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã chi ra rằng, dấu của biểu thức u n2 - ciua 2ĩ xác định loại của phương trình í/,, ỉ/tv + 2an uxy + a22 uỵ> + F = 0 . (**) Phương trình (**) tại điểm M được phân loại như sau: - Loại Hyperbolic nếu a~2 - «, ,a 22 > 0; - Loại Elliptic nếu a 2n - í/, ,a 22 < 0; - Loại Parabolic nếu ct\2 - í/, = 0. Dễ dàng khắng định được tính đủng đắn cùa hệ thức : Í 7p với Clị Ị Cỉ-f-f I ^ í £> = ^ r i , - Ĩlvq, . Từ đó suy ra tính bất biến của loại phương trình khi thực hiện phép đổi biến, vì định thức hàm Jacobian D trong phép đổi biến là khác không. Tại mỗi điểm khác nhau trong miền đã cho, phương trình có thể thuộc các loại khác nhau. Xét miền G, tại các điểm trong vùng này phương trình có cùng một loại. Như vậy, qua mỗi điếm của miền G sẽ có 2 đường đặc trưng : - Hvperbolic có 2 đường đặc trưng thực và khác nhau; - Elliptic có 2 đường đặc trưng phức và khác nhau; - Parabolic có 2 đường đặc trưng thực và trùng nhau. 7 Trong mỗi trườns hợp trên, đưa được phương trình về dạng dơn giản sau : a) P hương trìnli loại Hyperbolic Nếu tìf|22 - ố/ị ta ĩ2 > 0, dặt ị = (ọ (x,y), I] = \ụ ( x ,y ) , đưa phương trình (1.1) về dạng (1.4). Chia hai vế của (1.4) cho hệ số của uịn phương trình thu được có dạng wtn = í \ F trong đó Z t/| 7 Đó là dạng chính tắc của phương trình loại Hyperbolic. Người ta thường sử dụng dạng chính tắc thứ hai cúa phương trình loại Hyperbolic như sau : Đặt £, = a + 13, r| = a - p , tức là: a = , [3 = , trong đó a và p là các biến mới. Ta có đạo hàm riêng của hàm u theo các biến mới là Uị = \ { K + ỉ / p ) ’ » n = ị ( M« - Wp ) ’ WỊn = ^ ( “ a a - “ pp ) ■ Thay vào dạng chính tắc của phương trình loại Hyperbolic ờ trên phương trình ( 1. 1) có dạng u^ ~ uw = o , ,t r o n g đ ỏ = 4 0 . ( 1 . 5 ) Đó là dạng chính tắc thứ hai của phương trình loại Hyperbolic. b) Phương trình loại Parabolic Nếu a ,22 - a na2ĩ = 0 suy ra an = .\Jaua22 . Đặt: £, = 0 (loại Hyperbolic): Hrv - u n = o hay uxv - ; - N ế u a,2, - o uơn < 0 (loại Elliptic): u +w ti = 0 ; - Neu aị2 - a ua22 = 0 (loại Parabolic): IIxx = 0 . 3. Các ví dụ Ví dụ ỉ: Đưa phương trình sau về dạng chính tắc X\ x - y \ - = 0 • Giai: Theo như phương trình (1 . 1) ta có au —x~, av_ = 0 , a22 = - y \ /’i = 0 , cí~2 - a na22 = x 2y 2 > 0 . Do đó phương trình thuộc dạng Hyperbolic. Lập phương trình đặc trưng 9 X2 (c(y)2 - y 2 ( d x ) 2 = 0 ==> ịx d v + y d x ^ x d y - y d x ) = 0 dy => dx +— =0 xdy + yd x = 0 XíỊy - yd x - 0 X ỉ n y + l n x = InCị dy dx ỉ n y - ỉ n x = ln C 2 ^ X Ta có hai họ đường cong đặc trưng: xy = c , z =c2 Thực hiện phép đối biến mới: £, = xy, r| = y Tính các đạo hàm riêng theo các biến cũ qua các đạo hàm riêng theo các biến mới: 11, = 11Ậ , + Mnn.v = 11 - 4 — y + 2-— — = 0 => ■ ■ - 4 - — = ( )= > - — — Ỡ^ỠĨỊ ỡr| X Ổ^ỠTỊ 2 ỡr| Ỡ^ỠT| Õ2U 1 ĩ~~ĩ ỡr\2 X = 0 1 du —- = 0 , 2 Ễ, ỡr| tức là phương trình được đưa về dạng chính tắc. Ví dụ 2: Đưa phương trình sau về dạng chính tắc Ô2Z 2 • Ổ2Z 2 Ổ2Z — r-sin x - 2 v s i n x - -----+ y ———= 0 . õx õxõy õy Gi ái: Ta có a n = sin 2 x; a 12 = - y s i n * ; a22 - y 2 => ứ ,22 - a ua22 = y 1 sin 2 X - y 2 sin 2 X = 0 Vậy phương trình đã cho thuộc dạng Parabolic. Phương trình đặc trưng có dạng: a]\dy2 - 2a n d xd y + a22dx2 = 0 10 sin” .Vch’2 + 2 v s in xiìxciy + y d x : = (sin xdy + ycixỴ = 0 sin XLỈy + vdx = 0 => — + -~X— = 0 => ln y + ln tg A = ln C' y sin.Y 2 v lg ~ = c là đường cone tích phân đặc trưng. Thực hiện phép đổi biến: Ẹ, = y tg - ; r\ = y (hàm tùy ý) Tính các đạo hàm theo biến mới: V dị T ^ - - — ; ® = ts -' ệ l = 0- ậ l õx ôx 2 sin: X õy 2 õy ’ 2 õ z __ ô z ÕẸ, õ z ỠTỊ _ 1 õ ịy õx d ị õx ồr\ à x 2 õx õz _ ■ 2x ' õy ô: õ ị d z õr\ _ õ z d ị õy dv\ õ v õy X k 2 dz ỡr| ’ 9 Õ 2 Z _ 1 ô 2: y 2 \ õz yV X — - = ------ — — + - — —— - t g — õx? 4 ỡ ^ \ . n , x 2 r Ị s i i r .V 2 Õ 2Z _ 1 ^ Õ 2Z X ^ Õ 2Z d xd y = 2 t ã p tg 2 + dÕ l2Z z Ô 2Z “ = — rtg ,y r í õz y 2 Ỡ2Z Thay các giá tri của — ôx Ổ2Z 4 ôt . b 4 X ôxôy õy b 2 ổz v s in x dt sin +y ^ 0 2 ' d2í 1 _2 X r, Õ2Z y 2 sin X ' sin 2 X •> \ X Ô2Z — T tg — + 2 — — tg -7 + -—4 aặ2 2 a^ỡĩi 2 an2 a ; Ổ 2Z ỡz -—7 - — ——— = 0<=>y — r = — sinx. ^ ^ sin2 ^ ^2 +y sin 2- X 2 * • 2 ì n v tg - - s in X 1 ờz y ơ“z —-7 tg —+ ------dự 2 ÕịỠTị . . •2 * sin — 2 ô ị X Ỡ2Z -------------------- sin - sin — — , — 7 vào phương trình đã cho ta đươc: * -xs i:n 2 X _ 1 32 -2 ! 3 vtg 1 0 z 1y/ 2- ----— sin-----X L--------------ét--------1 ỡz J & ? ------------------------------- + X Õ2Z - t g - + — -r ỡ ^ ỡ r) 2 ổ if Ô Õ 2Z 1 ỉ ) ~ 7 x _ + ãặ 2 n2 X _ — + 2 2 2 ỡ z ỡ z ^^ s ĩ________ n .v 11 X 2 t! Vì sin X X c 2tr\ _ 2 ĩ] ị- +T1“ , , ... t g — = — = > s i n x = —” — 7 , ta có dạng c h ín h tăc = 1+ tg ' cúa phương trình là Õ2Z _ ôz 2£, Ví dụ 3: Đưa phương trình sau về dạng chính tắc Õ 2Z Õ 2Z Õ 2Z — - 2 - — + 2 —Y = 0 . ổx ổxổy ỡy Giủi: Trong trường hợp này a u = 1. a ]2 = - 1, a 22 = 2 => ữ,2-, - ữ nữ l2 = -1 < 0 . Phương trình thuộc dạng Elliptic, có phương trình đặc trưng d y 1 + Id xd y + 2 d x 2 = 0 => ỳ 2 + 2 j / + 2 = 0 => (>'' + l) +1 = 0 => ỳ +1 = ± / =5- ý = - 1 ± /. Ta nhận được 2 họ đặc trưng ảo: y + x - ỉ x = Cị y ' = - 1 ± / <=> dy = ( - 1 ± / ) dx y + x + ix = C 2 Thực hiện phép đối biến: £,= y + x, r\ = X ta được õz _ õz ổ£, õx õx 2 dxõy õz õz _ õz ổ£, ổz ỠTỊ _ õz ổ£, ỡx Ổ2Z _ Ô 2Z õz dr\ _ õz _ ởn ổx ỡr| ’ ỡy Ổ2Z ổẽ, 5 2z ỡ tịn ^ Ỡ2Z ÕẸ, Ô2Z y õ ị 2 ôx ô t c r \ õx y Kõ£,õr]ôx dx\2 õx Õ 2Z ÕỊ, d 2z ổr| _ Õ 2Z õ ị 2 õx d ịd r\ ô x ~ ỡ£,2 Õ 2Z ởr|^ Ô2Z ~ ÕỊ,1 Õ 2Z _ Õ 2Z ổ£, õt,2õy ỡ£,ỡr|’ ỡy2 ổ£, ởy 2 d 2z Ô2Z ' ô^õr\ chỷ ’ Õ 2Z ỡr| __ Õ 2Z ô^ởr\ õy õ ị2 Thay các giá trị của đạo hàm riêng vào phương trình đã cho ta thu được Õ 2Z Õ 7Z Õ 2Z Õ 2Z Õ 2Z õịởn ỠT| õ ự õịỡr\ Õ 2Z _ Ô 2Z Ổ 2Z õ ự õị2 d ĩ ]1 — —-|- 2-------- 1----— — 2 — -— 2---- h2 — ——0 Đó là dạng chính tắc của phương trình Elliptic. 12 „ ——H---- — 0. ỞT| §2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Chúng ta nhắc lại một sô cách giai phương trình vi phân thường. Xét phươntĩ trinh vi phân tuyến tính có dạng L{y) = "<>(*)‘rLJ + a' +- + a" ' ( v) % + a " ( * ) - v = F (x ) - ( 1-8) trong đó: a0 ( x ) , É/, (x),..., an (x) là các hàm liên tục trone khoáng a < x < b và ứ0 (.x)* 0 trong khoảng a < X , ( x ) , y 2(.v).....v„(.v)Ị. nghiệm tổng quát y c của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập ntihiệm cơ bản: X = i x) + c 2y 2 (.v) +... + c > „ ( x ) , ( 1.9) trong đó: Cp C 2,...,C n là các hằng số tùy ý. Tiếp theo, tìm bất cứ nghiệm riêng y , nào của phương trình vi phân không thuần nhất L ( y ) = F ( x ) . Đe giải phưưng trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng. Khi đó nghiệm tống quát của phương trình (1.8) sẽ là y = yí +yPTrong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.8) đòi hòi phái thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Sô điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình. Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2 : a0 ( x ) ^ - y + ứl ( x ) — + ớ2( x ) = 0, a e In V _ = e - l * {wx ) + ( ' =e - H vx )fe( ' ___ V _ r* y = Cịứ \Cr *j = e — . ( Vậy nghiệm tổng quát (1.13) là y = C,e~/,( v>. Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng y p - w(x)ếT/» = u ( x ) = j d / ( ^ ) / U)í/^. = ■-)=> ế /v < 7A ' Suy ra nụhiệm riêng = i ' '/(' ) j í y ( s y (;l ’2 ( x ) | là tập nghiệm cơ bản cùa phương trình vi phân tuyến tính thuẩn nhất cấp 2 L ừ ) = ữ0 ( X) “ -T + a\ ( * ) “ + «2 ( x )>’ = °dx dx Suy ra nghiệm tống quát có dạng >- = ( > , ( i ) + c , v , ( . v ) . ( 1 . 1 7 ) trong dó Cp c \ là các hằng số tùy ý. Dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm một nghiệm riêng của phương Trình vi phân không thuần nhất L {y) = aÁ x ) ctx C Ọ ^ + aẢ x )dx íT +aÁ x )y = F (x ) í 1-18) 15 có dạng V , = ỉv(.v )^! (1-19) ( x ) + v ( x ) v2 ( x ) trong dó: ìi (x) và v(.y) là các hàm thay thế hằng số C r ( \ trong (1.17). Các hàm u, v cần tìm để thỏa mãn hệ phương trình ỉ/'(a')>ì ( x ) + v '( x )>’2 ( x) = 0 F(x) u ' ( x ) ú ( x ) + v '(x )y '2 ( X) = — ^ , . , a0 ( * ) * 0 aữ Dùng quy tắc Cramer giải hệ (1.20) đối với ù và v' ta được: 0 y\ ( x ) y 2(x) y'Áx ) y í ( X) \J đx du _ - y 2( x ) F ( x ) hay trong đó w ( x ) = y 'M 'ã0 (.v) yÁx) y 2{ x ) y'Á x ) y'2{ x ) d v _ V, ( x ) F ( x ) a0 ( x ) w / ( x ) ’ dx cix &-ISII (*) "o ừ ) X II /2 du 0 F(x) i•------- F (x) w'(x) = -V, (*) M *) ( 1.21) a0 ( x ) w ( x ) M *) y?ix ) là định thức Wronskian. y\(x ) y' ĩ(x ) Các phương trình (1.21) sau khi tích phân sẽ thu được các hàm n(.v) và v ( x ) : u = u (x) - - I a dị< % ($ )» '(4 ) ( 1.22 ) i " .( < ; ) » '( 5 ) trong đó a là hằng số nào đó. N hư vậy, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có một nghiệm riêng tìm được là y„ = y ,J A . ’ v,w’ti#£í5L* >2ìiam» V ,M J p(lw (ij ( X ) . V'| T 16 { 'Ĩp ÌÍm Iì { x ) y 2( j ) M p(%)w(ì) 0 (1.23) .(1.2 Vày nííhiệm tỏníi quát cua phương trình đã cho là \’ = V + r ................' r = c ( W . (a-) + C , , ^ , vf [^2 (-v) V, ( < ? ) - y ị { x ) y 2 ( ậ ) ] F ( ệ ) ( x ) + -------------------- --------------------- — ---------c/ệ ' ' ' ' ỉ p(ỉ)»'(4) (1.24) M ột tro nu nhữnu phươnu trình vi phân cấp 2 có cách giải đơn giản là Ự X +X F - 0 . U .! (1.25) 2 —1 ----- Phương trình này xuất hiện do việc nghiên cứu nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng trong tọa độ Đề-các (Descartesian) đối với các hiện tượng vật lý và kỹ thuật. Phương trình vi phân (1.25) chứa tham số X, vì thế ta sè xét 3 truừne họp của tham số : âm, dương và bằng không. • Trường hợp 1: /. = -co 2 (oo > o) Phương trình vi phân có dạng d 2 f / r _ n —— -co 2 F =0. dx là phương trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng số, vì thế người ta có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ F - e"'x ; ta có phương trình đặc trưng là , , m -co = 0 |t/ " \ ịm - co với nghiệm đặc trưng < và tập nghiệm cơ bản là [m = -(ứ . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản của các nghiệm, có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập vô hạn các nghiệm khác F ( x ) = c temx + C 2e-<ữX trong đó C\,C- 2 là các hằng số tùy ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. T ừ tính tùy ý của C \,C 2 có thể viết nghiệm dưới nhiều cách như: F( x) = c\em + c 2e-ax- ■ F ( x ) = Cị shcox + C 2 chcox; F (x) = c , sh 0) (x - x0) + C2 c h (0 Ọc"-x0.), với Cị , C 2, x0 là các hàng số tùy ý. 2-P TT L A 17 • Trường hợp 2: X = 0 d 2F Nghiệm phương trình vi phân —- 7- = 0 có các dạng sau: dx F ( x ) = c \ + C 2x ; F(x) = + K ĩ ( x - x ũ). • Trường hợp 3: À. = o r ( co > 0 ) c ỉ 2F Phương trình vi phân — — + co2F = 0 là phươne trình vi phân cấp 2 với dx hệ số hàng số, vì thế có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ F = e"ư , ta có l i , \m = /co phương trình đặc trưng m + CD = 0 với các nghiệm đặc trưng < [m = - ị 0) và tập nghiệm cơ bản là e~'“xỊ . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản có thế tạo nên một tố hợp tuyến tính cúa các nghiệm này và sinh ra một tập vô hạn các nghiệm khác F { x ) = c \e mx + c 2e~m\ trong đó C ị,C 2 là các hằng số tùy ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bố sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. Từ tính tùy ý của C p C , có thể viết nghiệm dưới nhiều cách nlhư sau : F ( x ) = C ie'ax + c 2e-mx] F ( x ) = C / ú{x-x") + C 2e-'M{x-x")' F ( x ) = c , sin (IH + c \ c os 0) x; / r (x) = c, s in c o ( x - x 0) + (l’2 c o s ư > ( x - x 0), với Cị, c , . x 0 là các hằng số tùy ý. 2. Phương trình Cauchy - Euler P hương trình Caachy - Euler là phương trình có dạng 2 d 2y d y dx dx aữx — Ỷ + aịx - +a-,y = 0 , , . . . (1.26) trong đó: au, a ], a ĩ là các hằng số tùy ý. Thực hiện phép biến đổi t = ìnX và biến đổi đạo hàm: 18 2-PTTL B dy dy dt ch' cỉx tỉí dx di \ X ) c p y _ d_ dy f 1 1 — (Jx~ 1 (Ằ V + T" , lì! 1 -v' ) X - c h ch' <--1 — — cix dí đưa ihươrm trình (1.26) về dạng a, d 2y / V dy - + [ax- a0)--- + 6/2v; = 0 . dr ..............- ìiá sứ phươna trình (1.27) có nshiệm dirứi dạng mũ (L 27) y = e "". ta có phưcnti trình dặc tnrng: aụn r + (í/, - a ít)m + tì? = 0 . (1.28) Miương trình này cũng có thế đưọc suy ra ngay từ (1.27) bằng cách giả RÍ niíhiệm có dạng V = x"‘ => >’ = e"" = e"1'"' = x'". Nghiệm của phương trình dặc trưníì xác định loại nghiệm có thê tồn tại do dạng của phương trình Cauíhy-Kuler. Xét các trường hợp sau: » Trường hợp 1: Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phâi biệt m = a và m = (3 thì phươnu trình vi phân (1.26) có tập nghiệm cơ bản tà vì thế nghiệm tổng quát có dạng y = CịXa + C 2x ữ, với Cị , ( ’2 là các han” số tùy ý. • Trường họp 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép m =a thì tập nghiệm cơ bản của phươnti trình (1.27) có dạng Phép bicn đổi I = lnx cho tập nghiệm cơ bản |.Yư, x a ln x ị của phương trình (1.2o). Nghiệm tổng quát có dạng y - ( \x " + C :x“ l n x , trong đó C ,,C 2 là các aànu số tùy ý. • Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức dạng m = a + /Ị3, m - a - / p thì tập nghiệm cơ ban của phương trình (1.27) có dạnf Ịt'ư'c o s P /. s i n p / | . Phép biến đổi / = lnx cho tập nghiệm cơ bản je u'c o s (p in x ), è " sin((31nx)| của phương trình (1.26). N ghiệm tổng quát có cạng y = c tx a c o s ( p in x ) + C 2x“ sin(pin.v). trong đó C p C 2 là các hàng số tuy ý . 19 §3. KHÁI NIỆM CHUÕI VÀ TÍCH PHÂN FO URIER 1. Khái niệm 'r» ' u- rập các hàm -í l.sin nnx rmx .cos L là các hàm riêng trực giao nhau L trong khoảng [ ~ L , L ) . Hàm / ( * ) được gọi là tron từng khúc trong một khoảng nào đó, có nghĩa là khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhô. mà trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm / ( x ) và đạo hàm f ' ( x ) liên tục. Tập các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc / ( x ) dưới dạng chuỗi w \ nnx L nlĩx ì J {x ) = a0 + ỵ jIV \ anc o s Lr +b" s ì n rL ) ’ /1 om (1 ) được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biếu diễn hàm / (x ) trong khoáng ( - L , L ) . Các hàng số a0,a n và bn được gọi là các hệ sổ Fourier của chuồi. Từ tính trực giao của tập jl,s in - ^ ^ - ,c o s — - 1 có thể tìm được các hệ số Fourier a0,an và bn như sau: aữ = ( / . 0 II1!2 / an = 1 7 ịf(x)dx\ 11 > MIX 1 ,COS--- \ nnx . co s—— dx\ L V 1 nnx (1.30) cos —L / „ . nnx \ / ,sin — L / - b. - V sin nnx rnix f s in —— đx. -ỉ. Ví dụ 1: Tìm biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier của hàm f ( x ) = e' trong khoảng xác định ( ~ L , L ) . Giải: Theo công thức (1.30), các hệ số Fourier của khai triển trên có dạng: 20