Tài liệu Phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TAM DƯƠNG II ---------- BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: PHƯƠNG TRÌNH_ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN Tác giả sáng kiến: Đặng Thị Huệ Mã sáng kiến:08.52.03 Vĩnh Phúc, năm 2019 1 SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, bất phương trình, các phép biến đổi đại số ... Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. “Phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. Phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là một dạng toán không thể thiếu được trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này. Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình. Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu. Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo ... tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Hy vọng đề tài “ Phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn” làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cho học sinh. Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp. 2. TÊN SÁNG KIẾN: Phương trình _ bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 2 Đặng Thị Huệ THPT Tam Dương II SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 3.TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: - Họ và tên: Đặng Thị Huệ - Địa chỉ tác giả sáng kiến:Trường THPT Tam Dương II - Số điện thoại:0385727998 . - E_mail: [email protected] 4.CHỦ ĐẦU TƯ SÁNG KIẾN: Đặng Thị Huệ. Giáo viên trường THPT Tam Dương II 5.LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Lĩnh vực giáo dục và đào tạo: sử dụng giảng dạy cho chuyên đề : Bồi dưỡng HSG Toán 10. Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán phương trình vô tỉ trong kì thi HSG Toán 10. 6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Ngày 17/11/2018 7.MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. D ạng cơ bản. 1) 2) f ( x ) g( x ) 3 f ( x ) g( x ) f(x) g(x) 3) 4) f ( x ) g( x ) 5) f ( x ) g( x ) 6) f ( x ) g( x ) 7) f ( x ) g( x ) Đặng Thị Huệ SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn g( x ) hoặc 9) 3 f ( x ) 3 g( x ) 0 f ( x ) g( x ) 2 f ( x ) g( x ) 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 1) 2x 5 2x1 Giải: Phương trình đã cho tương đương: x 2x1 0 x 2 2x 5 x Vậy PT có nghiệm x 2 2) Giải: x 2 Vậy PT đã cho có hai nghiệm x 3) 1 2 , x 3 2 x 1 x2 3 x 1 0 x 3 Giải: Phương trình đã cho tương đương: 2 x 1 x2 3 x 1 3 5 x Vậy PT đã cho có hai nghiệm x 1, x 2 4) Giải: Điều kiện xác định: Phương trình đã cho tương đương: 4 Đặng Thị Huệ THPT Tam Dương II SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn x x (2 x 1)( x 3) 1 x x x Vậy nghiệm của phương trình là: x 4 Nhận xét: Phương trình f ( x ) g ( x ) f(x) 0 Phương pháp: +) Đặt điều kiện: g( x ) 0 h( x ) 0 +) Bình phương hai vế đưa về dạng f ( x ) g( x ) . Lưu ý: Phép bình phương hai vế chỉ dẫn tới phương trình tương đương khi cả hai vế của phương trình cùng không âm hoặc không dương. 5) x 3 2 x 1 3 x 2 Giải: ĐK: Phương trình đã cho tương đương: 3x 2 2x1 x 3 3 x 2 2 x 1 2 (3 x 2(2 x 1) x 3 6 x2 7 x 2 2 x 3 x 2x Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm x = 1. Nhận xét: Phương trình dạng 3 Đặng Thị Huệ SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Phương pháp: Lập phương 2 vế của PT và sử dụng HĐT: ( a b) 3 a3 b3 3ab( a b) 3 Phương trình đã cho 3 f(x) 3 g( x ) h( x ) f ( x ) g( x ) 3 3 f ( x ). g ( x ) 3 f ( x ) 3 g( x ) h( x ) f ( x ) g( x ) 3 3 f ( x ). g ( x ) 3 h( x ) h( x ) Lưu ý: Cần thử lại nghiệm vì có bước biến đổi không tương đương. 6) 3 2 x 1 3 x 1 3 3 x 1 Giải: Phương trình đã cho tương đương: 2 x 1 x 1 3 3 (2 x 1)( x 1) 3 3 3 (2 2 x 1 x 1)( x 1). 3 3 x 1 3 (2 x 1)( 3 x1 3x1 3 x 1)(3 x 1) 1 (2 x 1)( x 1)(3 x 1) 1 (2 x2 3 x 1)(3 x 1) 1 x 0 6 x3 7 x2 0 x 7 6 Thử lại nghiệm ta thấy: Với x = 0 VT = -1 - 1 = -2; VP = 1 => x = 0 không là nghiệm của phương trình. 7 VT Với x 6 VP Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm x 7) 3 x 2 3 x 3 3 2x 1 Giải: Phương trình đã cho tương đương: 3 Thử lại nghiệm ta thấy cả 3 giá trị trên của x đều là nghiệm của PT ban dầu. 6 Đặng Thị Huệ THPT Tam Dương II SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x 2 ; x 3;x 1 2 Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: 1) x2 7 x 6 4 x Giải: Bất phương trình đã cho tương đương: x2 7x 6 4 x 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 2;6 . 2) Giải: x2 3x 0 Trường hợp 1: Trường hợp 2: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 3) 3 2 x x 1 1 Giải: ; 1 2 3; 2 Điều kiện xác định: (1) 3 2 x 1 2 x 1 x13 x 2 Nhận xét: x = 1 không là nghiệm của Đặng Thị Huệ SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn x 1 (1’) x 2 x 1 x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 1;2 x 10 10; . 2 x 4x 3 4) x Giải: (1)2 x 4 x 3 2x 2 x 4 x2 11x 7 0 Kết hợp với - suy ra x 0 . Xét 0 x 2 . Khi đó (1) tương đương: 2 x 4 x 3 2x 2 x 3 2x 0 x 2 3 2x 0 0 x 2 3 1 x 1 x 2 Kết hợp với x 0 suy ra tập nghiệm của bất phương trình là: S ( ;0) 1;2 5)( HSG Vĩnh Phúc 2015_2016) x 2 2 Giải: Điều kiện xác định: x ³ 2x 5 x 1. 9 12 x 4x2 Bất phương trình tương đương: x - 2 + x +1 ³ 2 x- 5 +2. Û 2 x- 1 + 2 ( x- 2)( x +1) ³ 2 x- 1 + 4 2 x- 5. Ûx 2 - 9x+ Đặng SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 5 Vậy nghiệm của bất phương trình là x ³ 6 hoặc 2 £ x £ 3. Bài tập tương tự: Giải các phương trình, bất phương trình sau : 1) CĐLTTP-2004: 2 x 2 x 1 7 Đs: x = 5 2) 1 x1 6 x Đs: x = 2. Đs: x = 8. Đs: x = -1/2. 5) 3x2 9x 1 x 2 Đs: x = -1/2. 0 7) x 13 11 9 x 8) ( x 2) x2 4 x2 4 9) 2( x 2)( x 5) x 3 10) 3 4 x2 9 2 x 3 11) 12) II/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. 1.Đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình bậc hai, bậc ba... Ví dụ 1: Giải các phương trình: 1) x2 3 x 3 x2 3 x 1 3 0 Giải: Đặt t Phương trình đã cho trở thành: t2 Với t=1, ta có Với t=2, ta có Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm: x 0, x 3, x 2) 2 x x2 6 x 2 12 x 7 0 Đặng Thị Huệ SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Giải: Đặt t 6x 2 12 x 7 (t 0 ) t 7 Phương trình đã cho trở thành: 2 6 t 2 Với t=7, ta có 6 x 6x 0 2 12 x 7 t 2 t x2 2x 2 0 6t 7 t2 7 t 6 1( otm) t 7(tm) x 1 22 12 x 42 0 x 1 22 Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm: x 1 2 2 ; x 1 2 2 . Nhận xét: PT dạng Af ( x ) B f ( x ) C 0 Phương pháp: Đặt t f(x) (t 0 ) t2 f(x) Phương trình đã cho trở thành: At2 Bt C 0 Ví dụ 2 : Giải các phương trình: x 1) 4x1 Giải: x Đặt t 4x t 2 2t 1 0 t 1(tmđk) Với t 1 ta có Kết hợp với ĐK được nghiệm của PT là: x 2 2) ĐHQGHN - A1995: 3 Giải: PT đã cho Đặt t 3 3 Phương trình đã cho trở thành: Với t 1 Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm: x 1 , ta có Nhận xét: Dạng Af ( x ) Bg ( x ) C 0 Phương pháp: Đặng Thị Huệ SKKN: Phương trình_ Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Đặt t f(x) g(x) 1 At B t C 0 At 2 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 2 1) 1 3 Giải: ĐK: 0 x 1. Đặt t Ta có t 2 x 2 x (1 x ) 1 x 2 x x 2 t 2 1 Phương trình trở thành: t 2 3t 2 0 x x2 Với t 1 Với t 2 2 x x 2 Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm: x = 0; x = 1. 2) 3 x 2 x 1 4 x 9 2 3 x 2 5 x 2 Giải: ĐK Đặt t 3x 2 3x x1 t2 4x 3 23x2 5x 2 t2 6 4x 9 23x2 5x 2 Phương trình trở thành: t t 2 6 t2 t 6 Với t 3 3x 2 3 x 2 x 1 2 3 x 2 5 x 2 9 2 3 x 2 5 x 2 12 4x 6 2x 0 3x2 5x x 3 x2 19 x 34 Vậy phương trình ban đầu có 1 nghiệm x = 2. 3) 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 10 3x Giải: ĐK 2 x 0 2 x Phương trình tương đương: 3( Đặng Thị Huệ