Tài liệu Phương pháp quy nạp toán học

I, Lý do chọn đềề tài: Toán học là một môn khoa học suy diềễn. Các kềết lu ận Toán h ọc đềều được chứng minh một cách chặt chẽẽ. Nhưng trong quá trình hình thành, trước khi có những kếết luận mang tính tổng quát, toán học cũng đã ph ải tiếến hành xét các trường hợp cụ thể, riếng biệt. Ta phải đốếi chiếếu các quan sát được, suy ra các điếều tương tự, phải thử đi thử lại, ... đ ể t ừ đó d ự đoán vếề một định lý toán học, trước khi chứng minh chúng. Bến c ạnh đó, ta ph ải d ự đoán ra ý của phép chứng minh trước khi đi vào chứng minh chi tiếết. Hiện nay, chúng ta đang tiếến hành đổi mới giáo dục. Đ ể cống cu ộc đ ổi m ới thành cống thì phải gắến chặt việc đổi mới nội dung chương trình – SGK v ới việc đổi mới phương pháp giảng dạy. Một trong các xu h ướng đ ổi m ới phương pháp giảng dạy mốn Toán hiện nay là dạy cho h ọc sinh biếết d ự đoán, dạy cho học sinh biếết suy luận có lý. Thực tếế là các sách giáo khoa Toán bậc THCS hiện nay, cấếu trúc m ột bài h ọc thường là: Phấền 1. Xét các các trường hợp cụ thể: tính toán, đo đạc, so sánh, … trến các đốếi tượng khác nhau. Phấền 2. Dự đoán kếết luận khái quát: nếu ra một mệnh đếề tổng quát. Phấền 3. Chứng minh ( hoặc cống nhận ) mệnh đếề tổng quát, tuỳ đốếi t ượng và trình độ học sinh. Phấền 4. Các ví dụ và bài tập vận dụng. Như thếế học sinh được quan sát, thử nghiệm, dự đoán rốềi bắềng suy lu ận đ ể đi đếến kiếến thức mới, sau đó vận dụng kiếến thức m ới vào các tình huốếng khác nhau. Chúng ta xét một sốế bài học cụ thể sau: Mục 4 ( trang 13 SGK Toán 7 tập I ).Giá t ị tuy ệt đốối c ủa m ột sốố… Sau khi đưa ra định nghĩa vếề giá trị tuyệt đốếi của một sốế, SGK đ ưa ra bài tập ?1 điếền vào chốẽ trốếng. Để từ đó phấn tích, nhận xét, đ ưa ra kếết qu ả t ổng quát: Kếết quả này được cống nhận, khống chứng minh. Sau đó là các bài tập vận dụng. Mục 1 ( trang 106 SGK Toán 7 tập I ).Tổng ba góc c ủa m ột tam giác. SGK yếu cấều học sinh vẽẽ hai tam giác bấết kỳ, đo và tính t ổng ba góc trong c ủa mốẽi tam giác rốềi nếu nhận xét. Từ đó đưa ra d ự đoán vếề t ổng ba góc trong một tam giác . Sau đó chứng minh dự đoán này. Tiếếp thẽo là các bài tập vận dụng. Mục 2. ( trang 8 SGK Toán 9 tập I ).Căn bậc hai và hăằng đ ẳng thức . Để dấẽn đếến định lý: Với mọi sốế a ta cốế: , SGK yếu cấều học sinh điếền sốế thích hợp vào bảng: a -2 -1 0 2 3 a2 Từ đó nhận xét, khái quát hoá để đưa ra định lý. Sau khi phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý bắềng suy lu ận ch ặt chẽẽ. Sau đó là các bài tập vận dụng. Bến cạnh đó, trong nội dung ốn luyện Toán cho học sinh gi ỏi, m ột trong những chuyến đếề khống thể thiếếu được là chuyến đếề: “ Phương pháp quy n ạp Toán học ”. Bởi vì, thống qua việc giảng dạy chuyến đếề này, ng ười thấềy d ạy Toán đã: 1) Cung cấếp cho học sinh một hướng suy nghĩ trong vi ệc tìm tòi l ời gi ải các bài toán; 2) Giúp học sinh giải được một lớp các bài toán Sốế h ọc, Đ ại sốế và Hình h ọc thuộc đủ các dạng bài toán: chia hếết, chứng minh đốềng nhấết th ức, ch ứng minh bấết đẳng thức, ... mà trong đó có liến quan đếến t ập h ợp các sốế t ự nhiến; 3) Đốềng thời qua việc nghiến cứu các mệnh đếề toán học bao hàm m ột sốế vố hạn các trường hợp riếng, mà việc chứng minh chúng chỉ cấền xét m ột sốế hữu hạn các trường hợp thẽo một lốgic chặt chẽẽ và chính xác, đã m ở r ộng tư duy lốgic cho các ẽm học sinh, giúp các ẽm say mế, hứng thú h ọc Toán hơn. II. Mục đích của đềề tài: Qua nhiếều nắm trực tiếếp giảng dạy, bốềi dưỡng h ọc sinh gi ỏi các cấếp và bốềi dưỡng giáo viến thay sách, tập hợp các bài giảng lại tối viếết chuyến đếề này nhắềm mục đích: 1) Cung cấếp một sốế kiếến thức cơ bản vếề phép quy n ạp, phép quy n ạp hoàn toàn, quy nạp khống hoàn toàn, và nguyến lý quy n ạp toán h ọc. 2) Giúp học sinh có thếm một sốế phương pháp m ới để gi ải m ột sốế bài toán Toán học khác nhau. 3) Cung cấếp thếm một sốế bài tập hấếp dấẽn và nhiếều vẻ, qua đó c ủng cốế và mở rộng thếm các kiếến thức đã học. 4) Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo và gấy h ứng thú h ọc toán cho học sinh. III. Nội dung đềề tài: Nội dung của đếề tài này bao gốềm: Phấền I. Một sốế cơ sở lý luận. Phấền II. Vận dụng vào Dạy & Học toán ở trường phổ thống. A. Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn trong chứng minh m ột mệnh đếề toán học B. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán 1. Phát hiện quy luật và chứng minh quy luật đó. 2. Vận dụng vào giải toán chia hếết. 3. Vận dụng vào chứng minh đốềng nhấết thức. 4. Vận dụng vào chứng minh bấết đẳng thức. 5. Vận dụng vào các bài toán hình học. C. Có thể có cách giải khác? D. Bổ sung: Một sốế dạng nguyến lý quy nạp Toán học. Phấền III. Hiệu quả của đếề tài Phấền IV. Kếết luận - đánh giá khái quát. Với lý do, mục đích và nội dung như trến mong rắềng chuyến đếề đ ược đống đảo các đốềng chí giáo viến và các ẽm học sinh tham kh ảo và góp ý kiếến xấy dựng. Nội dung PhầềnI.Cơ sở lý luận 1. Quy nạp hoàn toàn và không hoàn toàn : 1.1 Danh từ “quy nạp” thẽo nghĩa đấều tiến của nó được dùng để chỉ các quy luật nhờ đó mà thu được các kếết luận tổng quát, dựa vào m ột lo ạt các khẳng định riếng biệt. Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đếề tổng quát được chứng minh thẽo từng trường hợp của một sốế hữu hạn các trường hợp có thể có. Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập rắềng : “ Mốẽi sốế chắẽn n trong khoảng tổng của 2 sốế nguyến tốế ”. Muốến vậy chúng ta phấn tích: 4 = 2+2 đếều có thể biểu diếẽn dưới dạng 6 = 3+3 8 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 ...... ...... 98 = 93+5 100 = 97+3 Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rắềng, thực tếế mốẽi sốế chắẽn trong khoảng xét được biểu diếẽn duới dạng tổng c ủa 2 sốế nguyến tốế. 1.2 Quy nạp khống hoàn toàn: Trong trường hợp kếết luận tổng quát rút ra khống d ựa trến s ự ki ểm tra tấết cả các trường hợp có thể xảy ra mà chỉ trến cơ sở một sốế đủ lớn các trường hợp thì ta có quy nạp khống hoàn toàn. Quy nạp khống hoàn toàn được vận dụng nhiếều trong các khoa h ọc thực nghiệm. Chẳng hạn bắềng cách đó người ta đã thiếết lập nến đ ịnh lu ật c ơ bản bảo toàn khốếi lượng: định luật này được Lốmốnốxốp phát bi ểu và ch ỉ được thừa nhận khi Lavoadiế đã kiểm tra sự đúng đắến của nó v ới đ ộ chính xác đủ lớn và trong các điếều kiện đủ khác nhau. Trong toán học, quy nạp khống hoàn toàn khống đ ược xẽm là m ột phương pháp chứng minh chặt chẽẽ, do đó nó chỉ được áp d ụng rấết h ạn chếế. Bởi vì một mệnh đếề toán học bao hàm một sốế vố hạn các tr ường h ợp riếng, nhưng con người ta khống thể tiếến hành kiểm tra một sốế vố hạn các tr ường hợp được.Chẳng hạn sau khi có kếết quả đúng với 49 trường hợp như ở ví dụ 1, ta chưa th ể đ ưa ra kếết luận rắềng, mọi sốế tự nhiến chắẽn đếều có thể phấn tích đ ược thành t ổng của hai sốế nguyến tốế. Đương nhiến, quy nạp khống hoàn toàn là một phương pháp “g ợi m ở” rấết hiệu lực để tìm ra chấn lý mới. Chúng ta hãy tham khảo m ột vài ví d ụ. Ví dụ 2. Xét tổng n sốế tự nhiến lẻ liến tiếếp đấều tiến. Chúng ta hãy xét các trường hợp riếng biệt: + với n=1 : 1=1 mà + với n=2 : 1+3=4 mà + với n=3 : 1+3+5=9 mà + với n=4 : 1+3+5+7=16 mà + với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà Sau khi xét một sốế trường hợp riếng này, ta nảy ra kếết lu ận t ổng quát : 1+3+5+7+9+...+(2n-1) = (1) tức là : “ tổng của n sốế lẻ liến tiếếp đấều tiến bắềng ”. Việc chứng minh kếết luận này một cách chặt chẽẽ (xẽm ví d ụ 7) đã chứng tỏ kếết luận này là đúng. Ví dụ 3: Tính tổng lập phương các sốế tự nhiến liến tiếếp đấều tiến: Ta xét các trường hợp riếng biệt: Do đó có thể nảy ra kếết luận tổng quát : (2) Tấết nhiến, điếều nhận xét trến khống phải là sự ch ứng minh s ự đúng đắến của các cống thức (1) hay (2). ở phấền sau, chúng ta sẽẽ làm quẽn v ới m ột phương pháp giúp chúng ta chứng minh được các cống thức (1) và (2) là đúng. Chúng ta cũng cấền chú ý rắềng, suy luận bắềng quy n ạp đối khi dấẽn đếến kếết luận sai, như các ví dụ sau: Ví dụ 4: Khi nghiến cứu hiệu của một sốế có 2 chữ sốế trở lến với sốế có cùng các chữ sốế như thếế nhưng viếết thẽo thứ tự ngược lại. Trong tr ường h ợp các sốế có 2 chữ sốế, 3 chữ sốế ta thấếy kếết luận là các hiệu đó chia hếết cho 9 và 99. Cụ thể là: Nảy ra kếết luận quy nạp là: Kếết luận này sai vì chẳng hạn ta có: 2231-1322 = 909 khống chia hếết 999 Ví dụ 5: Khi xét các sốế có dạng nhà toán học Fẽcma nhận xét rắềng với n = 1; 2; 3 hoặc 4 thì thu được các sốế nguyến tốế. T ừ đó ống đ ưa ra gi ả thiếết rắềng tấết cả các sốế có dạng như thếế ( với ) là sốế nguyến tốế. Nhưng ơlẽ đã chỉ ra rắềng với n = 5 ta được sốế khống phải là sốế nguyến tốế vì sốế đó chia hếết cho 641. Điếều đó có nghĩa là kếết luận của nhà toán h ọc Fẽcma là sai lấềm. Ví dụ 6. Xét sốế thì ta thấếy với với các trường hợp n = 1, 2, 3; ...; 15 là sốế nguyến tốế. Từ đó có thể kếết luận là là sốế nguyến tốế với mọi sốế hay khống? Với n =16 thì ta được sốế nguyến tốế, tức là kếết luận quy nạp do đó khống phải là sốế là sốế nguyến tốế với mọi sốế là sai. 2. Phương pháp quy nạp toán học. 2.1 Như vậy, quy nạp khống hoàn toàn là một trong những con đường để dấẽn đếến phát minh: người ta nghiến c ứu m ột sốế h ữu h ạn các trường hợp riếng để tìm ra quy luật tổng quát. Thếế nh ưng, nh ư ta đã biếết, quy nạp khống hoàn toàn thường dấẽn đếến các kếết quả sai. đắến, Vậy làm thếế nào để biếết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng chẳng lẽẽ ta lại cứ thử tiếếp, thử tiếếp cho đếến khi nào gặp m ột tr ường h ợp riếng mà kếết luận đó khống đúng ( như ở ví dụ 6: thử đếến lấền th ứ 16 ). Và lấếy gì để đảm bảo rắềng sốế lấền thử là hữu hạn. Trong nhiếều trường hợp để tránh những khó khắn như thếế ta áp d ụng một phương pháp suy luận đặc biệt được gọi là “ phương pháp quy n ạp toán học”, cho phép thay thếế những hình dung tìm tòi thẽo phương pháp quy nạp khống hoàn toàn bắềng sự chứng minh chặt chẽẽ. Ví dụ 7 : Xét lại cống thức (1) ở ví dụ 2. Giả sử ta đã chứng minh được cống thức đó với n =7, khi ch ứng minh cống thức này với n = 8, ta khống cấền phải tính t ổng c ủa 7 sốế h ạng đấều c ủa tổng : mà ta đã biếết rắềng do đó có thể viếết ngay: có Tổng quát, sau khi chứng minh cống thức trến với n = k (nghĩa là ta ), ta chứng minh nó với bắềng cách: Có thể sử dụng phương pháp tổng quát này sau khi đã xét những việc chuyển từ các đẳng thức khác : ; v...v là các trường hợp riếng của phép tính. ; Khái quát những điếều nói trến, chúng ta phát bi ểu quy tắếc t ổng quát như sau: Để chứng minh một mệnh đếề tổng quát nào đó đúng v ới đúng với mọi sốế , ta chỉ cấền: a) Xác lập mệnh đếề đúng với n =1 b) Chứng minh rắềng nếếu mệnh đếề đúng với n = k ( ) thì mệnh đếề đúng với n = k+1. Tính hợp pháp của phương pháp chứng minh như thếế là “hi ển nhiến”. Nhưng sự “hiển nhiến” đó khống phải là một chứng minh chặt chẽẽ. Ng ười ta đã chứng minh được rắềng mệnh đếề tổng quát ở trến có thể được ch ứng minh xuấết phát từ một sốế mệnh đếề tổng quát khác, được th ừa nh ận là tiến đếề. Tuy nhiến, bản thấn các tiến đếề này cũng khống rõ ràng h ơn các nguyến lý quy nạp mà chúng ta sẽẽ trình bày dưới đấy, và do đó chúng ta coi nguyến lý quy nạp toán học này chính là tiến đếề thì mức độ “ hợp pháp ” cũng ngang như thếế. 2.2. Nguyên lý quy nạp toán học: Một mệnh đếề phụ thuộc vào n ( ) được coi là đã được chứng minh với mọi sốế n nếếu 2 điếều kiện sau được thoả mãn: a. Mệnh đếề đúng với n = 1 b. Từ sự đúng đắến của mệnh đếề với một sốế tự nhiến n = k nào đó thì suy ra sự đúng đắến của nó với n = k+1 2.3 Ví dụ: Sau đấy chúng ta xét một vài ví dụ sử dụng phương pháp quy n ạp toán học để chứng minh các mệnh đếề toán học. Ví dụ 8. Chứng minh rắềng: Giải: a) Ta có với Do đó mệnh đếề đúng với n = 1 b) Giả sử rắềng mệnh đếề đúng với n = k ( minh được rắềng: ) tức là đã chứng Ta sẽẽ chứng minh mệnh đếề cũng đúng với n = k+1. Nghĩa là phải chứng minh: Thật vậy, ta có: Từ đó thẽo nguyến lý quy nạp toán học ta có : với mọi Ví dụ 9. Chứng minh rắềng : với Giải : a) Với n = 1 ta có => mệnh đếề đúng với n = 1. b) Giả sử mệnh đếề đúng với n = k ( ) tức là ta có Ta sẽẽ chứng minh mệnh đếề cũng đúng với n = k+1 nghĩa là: Thật vậy: . Từ đó thẽo nguyến lý quy nạp toán học, mệnh đếề được chứng minh. 2.4 Bây giờ chúng ta sẽẽ đưa ra một sốố ví d ụ áp d ụng khống đúng phương pháp quy nạp toán học. Ví dụ 10. Xét mệnh đếề : “ Bấết kỳ một tập hợp hữu hạn các sốế t ự nhiến nào cũng gốềm toàn những sốế bắềng nhau”. Chứng minh: Ta tiếến hành quy nạp thẽo sốế phấền tử của tập hợp. a) Với n = 1, mệnh đếề là hiển nhiến : mốẽi sốế luốn bắềng chính nó. b) Giả sử mệnh đếề đã được chứng minh với tập h ợp có k phấền t ử. Lấếy t ập hợp có k +1 phấền tử ; ; ;...; ; . Thẽo giả thiếết quy nạp ta có = =...= từ đó , cũng thẽo giả thiếết quy nạp thì ta có : = = =...= = = =...= = ; . Vậy thẽo nguyến lý quy nạp toán học suy ra mệnh đếề trến đúng. * Sai lấềm của suy luận trến là ở chốẽ chỉ có thể chuyển từ k đếến k+1 với ; nhưng khống thể chuyển từ n = 1 đếến n = 2 bắềng suy luận này được. Ví dụ 11. Mọi sốế tự nhiến đếều bắềng sốế tự nhiến tiếếp sau nó. Chứng minh: Giả sử mệnh đếề đúng với n = k, với ; tức là ta có k = k+1. Ta sẽẽ chứng minh rắềng khi đó mệnh đếề đúng v ới n = k+1; tức là phải chứng minh k+1 = k+2. k+2. với Thật vậy, từ giả thiếết quy nạp ta có k = k+1 => k+1 = k+1+1 => k+1 = Từ đó thẽo nguyến lý quy nạp toán học, mệnh đếề trến luốn đúng . Sai lấềm của suy luận trến là đã quến kiểm tra định lý có đúng khi n = 1 khống? Ta thấếy rõ ràng rắềng khi n = 1 thì mệnh đếề khống đúng ( vì ), do đó ở đấy ta khống áp dụng được phương pháp quy n ạp toán h ọc đ ược. Để kếết thúc đoạn này, chúng tối lưu ý các bạn rắềng trong nhiếều tr ường hợp cấền phải chứng minh một mệnh đếề nào đó đúng khống ph ải v ới tấết c ả các sốế tự nhiến mà chỉ với ( ) thì nguyến lý quy nạp được trình bày dưới dạng sau: Nếếu : a) Mệnh đếề đúng với n = p; b) Từ giả thiếết mệnh đếề đúng với các sốế tự nhiến ta suy ra mệnh đếề cũng đúng với n = k+1. Thì khi đó mệnh đếề sẽẽ đúng với tấết cả các sốế tự nhiến . Phầền II. Vận dụng vào việc dạy & học toán ở trường phổ thông. a. Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn trong chứng minh một mệnh đềề toán học Một kếết quả tổng quát được chứng minh trong tong tr ường h ợp c ủa một sốế hữu hạn các trường hợp, vét hếết các khả nắng có th ể x ảy ra thì kếết quả đó được chứng minh hoàn toàn. Ta xét một sốế ví dụ: Ví dụ 1. Để chứng minh mệnh đếề: “ Phương trình ( m – 1 ) x 2 – 2( 2m – 1 ) x + 3m = 0 (1) luốn có nghiệm với mội giá trị của tham sốế m. ” Ta xét 2 trường hợp: 1. Với m = 1, PT (1) trở thành -2x + 1 = 0; PT này có nghi ệm x = . Như vậy trong trường hợp m = 1, mệnh đếề trến đúng. 2. Với m 1, PT (1) là PT bậc hai có = ( 2m – 1 )2 –( m – 1 ).3m = m2 –m + 1 > 0 với mọi giá trị của m. Do đó PT ( 1) có hai nghiệm phấn biệt. Nghĩa là trong tr ường h ợp này, PT (1) cũng có nghiệm. Rõ ràng hai trường hợp trến ta đã xét hếết các khả nắng có thể có c ủa m. Vậy PT (1) có nghiệm với mọi giá trị của tham sốế m. Ví dụ 2. Để chứng minh định lý vếề tính chấết của góc n ội tiếếp: “ Trong một đường tròn, sốế đo của góc nội tiếếp bắềng n ửa sốế đo c ủa cung b ị chắến ”. ( Trang 73 – SGK Toán 9 – Tập II ). Để chứng minh đinh lý này, ta đã xét 3 trường hợp: Trường hợp 1, Tấm đường tròn nắềm trến một cạnh của góc. Trường hợp 2. Tấm đường tròn nắềm bến trong góc. Trường hợp 3. Tấm đường tròn nắềm bến ngoài góc. Định lý được chứng minh trong trong trường hợp thì ta có thể nói là đ ịnh lý đã được chứng minh hoàn toàn vì 3 trường hợp trến đã vét hếết các kh ả nắng co thể xảy ra. b. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh một mệnh đềề toán học 1. Phát hiện quy luật và chứng minh quy luật đó. ở các phấền trước, chúng ta đã làm quẽn với một vài ví dụ vếề vi ệc tìm tòi phát hiện ra các quy luật ( ví dụ 2, ví dụ 3). Sau đấy chúng tối đưa thếm vài bài khác, trong đó, sau khi phát hi ện ra quy luật, chúng ta sử dụng nguyến lý quy nạp để chứng minh. Bài toán 1. Tính tổng Giải : * Tìm tòi : Xét * Dự đoán : * Chứng minh dự đoán : a) Với n = 1 ta có => dự đoán đúng. b) Giả sử với n = k ta có Ta phải chứng minh với n = k+1 thì trong đó bấết kỳ. Thật vậy, ta có Từ đó thẽo nguyến lý quy nạp toán học ta có tức là dự đoán của chúng ta đúng. Bài toán 2: Tìm cống thức tính tổng : Giải : * Tìm tòi: với n = 1 ta có với n = 2 ta có với n = 3 ta có với n = 4 ta có * Dự đoán : * Chứng minh dự đoán : a) Với n = 1 mệnh đếề đúng. với với . b) Giả sử với n = k ( ) ta có: ta phải chứng minh với n = k+1 thì: Thật vật, ta có: + Với k lẻ thì: + Với k chắẽn thì: Từ đó với ta có Vậy thẽo nguyến lý quy nạp toán học thì: với tức là dự đoán của chúng ta đúng. 2. Vận dụng vào giải toán chia hêốt : Bài toán 3. Chứng minh rắềng với mọi sốế tự nhiến a) , ta có: b) Giải : a) Đặt + Với n = 1 => => với n = 1, mệnh đếề đúng. + Giả sử mệnh đếề đúng với n = k ( có hay => (*) với n = k+1 ta có : tức là với n = k+1 thì mệnh đếề cũng đúng. Vậy thẽo nguyến lý quy nạp ta có: b) Đặt + Với n = 1 => => mệnh đếề đúng + Giả sử với n = k ta có Xét : tức là ) nghĩa là ta nghĩa là với n = k +1, mệnh đếề cũng đúng. Vậy thẽo nguyến lý quy nạp toán học ta được: Bài toán 4. Chứng minh rắềng: với Giải : * a) Khi n = 1 mệnh đếề đúng. b) Giả sử với n = k ta có : ta sẽẽ chứng minh với n = k+1 thì: (*) Vì nến nếếu chứng minh được thì ta sẽẽ có *Xét a) với k = 1 ta có b) Giả sử với k = m ta có m+1 thì Thật vậy, => ta sẽẽ chứng minh với k = vì ; ; ( do một trong 2 sốế m và m+1 là 2 sốế tự nhiến liến tiếếp phải có một sốế chắẽn nến ) Từ đó Thẽo nguyến lý quy nạp toán học thì Vậy với , tức là thẽo nguyến lý quy nạp toán học ta có : 3. Vận dụng vào việc chứng minh đốằng nhâốt thức. Bài toán 5. Chứng minh rắềng: (1) với mọi giá trị của Giải: a) Ta có với do đó đẳng thức (1) đúng với n = 1. b) giả sử ta đã có (2) ta sẽẽ chứng minh khi đó : (3) Thật vậy, ta có . Do đó thẽo nguyến lý quy nạp thì đẳng thức (1) luốn đúng v ới ; . Bài toán 6. Chứng minh rắềng với tấết cả các giá trị có thể có c ủa x, đốềng nhắết thức sau luốn đúng: (1) Giải : Ta phải chứng minh (1) đúng với a) Với n = 1 => , và . đúng => với n=1 thì (1) đúng. b) Giả sử với n = k thì (1) đúng, nghĩa là: . Ta sẽẽ chứng minh khi đó: Thật vậy ta có: =>