Tài liệu Phương pháp phân tích adomian giải gần đúng các phương trình vi phân thường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ADOMIAN GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ADOMIAN GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học PSG.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI – 2018 Líi c£m ìn Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n V«n Ninh PGS.TS. Khu§t - Ng÷íi trüc ti¸p tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o v  ành h÷îng cho em trong suèt qu¡ tr¼nh em l m b i khâa luªn cõa m¼nh. çng thíi em công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong tê Gi£i t½ch v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh tèt b i khâa luªn n y º câ k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay. M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  kinh nghi»m b£n th¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡c b¤n sinh vi¶n v  b¤n åc. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018 Sinh vi¶n é Thà Thu H  Líi cam oan Em xin cam oan khâa luªn n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng em d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y PGS.TS. Khu§t V«n Ninh . Trong khi nghi¶n cùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n T i li»u tham kh£o. Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i:   l  k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu v  né lüc håc tªp cõa b£n th¥n, khæng tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c. N¸u sai em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m. H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018 Sinh vi¶n é Thà Thu H  Möc löc Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 Mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 B¡n k½nh hëi tö v  kho£ng hëi tö cõa chuéi lôy thøa 1.2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi lôy thøa . . . . 4 1.1.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa . . . . . . 5 Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng . . . 6 1.2.1 Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët gi£i ÷ñc b¬ng c¦u ph÷ìng 1.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Mët sè t½nh ch§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 B i to¡n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 ành lþ tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 11 2 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng 12 ii É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc 2.1 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian 2.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh Riccati 2.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n bªc cao 2.4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n vîi c¡c i·u ki»n ban ¦u suy bi¸n . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian 29 35 46 3.1 Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 C¡c v½ dö 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn 57 T€I LI›U THAM KHƒO 58 iii É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Líi mð ¦u 1. Lþ do chån · t i To¡n håc l  mët mæn khoa håc tü nhi¶n g­n li·n vîi thüc ti¹n. Sü ph¡t triºn cõa to¡n håc ÷ñc ¡nh d§u bði nhúng ùng döng cõa to¡n håc v o vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n thüc ti¹n. Trong thüc ti¹n nhi·u b i to¡n cõa khoa håc, kÿ thuªt v  mæi tr÷íng,. . . d¨n ¸n vi»c gi£i b i to¡n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, ch½nh v¼ vªy, vi»c nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng âng mët vai trá quan trång trong to¡n håc. Trong c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, trø mët sè nhä lîp ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng ¢ ÷ñc håc: ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n t¡ch bi¸n, ph÷ìng tr¼nh Becnoulli, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n to n ph¦n,. . . cán l¤i nâi chung khæng t¼m ÷ñc nghi»m mët c¡ch ch½nh x¡c. Do vªy, mët v§n · °t ra l  t¼m c¡ch º x¡c ành nghi»m g¦n óng cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng â. Xu§t ph¡t tø nhu c¦u n y, c¡c nh  to¡n håc ¢ t¼m ra nhi·u ph÷ìng ph¡p º gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian l  mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p húu hi»u d¹ ¡p döng º gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Vîi mong muèn t¼m hiºu v  nghi¶n cùu s¥u hìn v§n · n y, d÷îi PGS.TS. Khu§t V«n Ninh Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng sü h÷îng d¨n cõa em ¢ nghi¶n cùu · t i:   º thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh. 1 É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Khâa luªn nghi¶n cùu v· ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. 3. èi t÷ñng nghi¶n cùu Nghi¶n cùu ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng phi tuy¸n. 4. Ph¤m vi nghi¶n cùu C¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët, c§p hai v  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p cao vîi i·u ki»n ban ¦u cho tr÷îc. 5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu S÷u t¦m, nghi¶n cùu c¡c t i li»u li¶n quan. Vªn döng mët sè ph÷ìng ph¡p cõa Gi£i t½ch v  Lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. Ph¥n t½ch, têng hñp v  h» thèng c¡c ki¸n thùc li¶n quan. 6. C§u tróc · t i Khâa luªn gçm ba ch÷ìng Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng 2: Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng Ch÷ìng 3: Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian 2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v  chuéi lôy thøa. Nëi dung ÷ñc tham kh£o trong t i li»u [1], [2]. 1.1 Mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch 1.1.1 B¡n k½nh hëi tö v  kho£ng hëi tö cõa chuéi lôy thøa Chuéi lôy thøa l  mët chuéi h m câ d¤ng ∞ X an (x − a)n = a0 + a1 (x − a) + . . . + an (x − a)n + . . . n=0 trong â a, an (n = 0, 1, 2, ...) l  c¡c h¬ng sè. Chuéi lôy thøa luæn luæn hëi tö t¤i iºm N¸u ngo i iºm x=a x = a. chuéi ph¥n ký th¼ ta nâi chuéi lôy thøa ph¥n ký kh­p nìi. N¸u chuéi lôy thøa khæng ph£i ph¥n ký kh­p nìi th¼ tçn t¤i sè sao cho trong kho£ng (a − R, a + R) 3 R>0 chuéi hëi tö, cán ngo i o¤n É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc [a − R, a + R] Kho£ng chuéi ph¥n ký. (a − R, a + R) ÷ñc gåi l  kho£ng hëi tö; sè d÷ìng R ÷ñc gåi l  b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa. B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc Cauchy - Hadamard p 1 = lim n |an |. R °c bi»t b¡n k½nh hëi tö cán ÷ñc x¡c ành theo c¡c cæng thùc    an   R = lim  n→+∞ an+1  1 R = lim p n→+∞ n |a | n n¸u c¡c giîi h¤n tr¶n tçn t¤i. 1.1.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi lôy thøa a. Têng cõa chuéi lôy thøa l  mët h m li¶n töc, hìn núa l  mët h m kh£ vi væ h¤n trong kho£ng hëi tö cõa nâ v  ta câ thº ¤o h m tøng sè h¤ng cõa chuéi "∞ X #0 n an (x − a) = ∞ X nan (x − a)n−1 . n=1 n=0 b. Câ thº l§y t½ch ph¥n tøng sè h¤ng cõa chuéi lôy thøa tr¶n o¤n [α, β] b§t måi ký n¬m ho n to n trong kho£ng hëi tö cõa nâ. Hìn núa vîi x ∈ (a − R, a + R) ta câ 4 É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Zx "X ∞ ∞ X an an (t − a) dt = (x − a)n+1 . n+1 n=0 n=0 a # n 1.1.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa a. N¸u h m f (x) kh£ vi væ h¤n trong kho£ng (a − R, a + R) câ thº khai triºn ÷ñc th nh chuéi lôy thøa trong kho£ng â th¼ chuéi lôy thøa n y ch½nh l  chuéi Taylor cõa h m f (x) ∞ X 1 (n) f (x) = f (a) .(x − a)n , x ∈ (a − R, a + R) . n! n=0 N¸u a=0 th¼ chuéi Taylor ÷ñc gåi l  chuéi Maclaurin f (x) = ∞ X f (n) (0) n=0 b. H m f (x) n! kh£ vi væ h¤n trong δ xn , x ∈ (−R, R) . - l¥n cªn cõa iºm x=a câ thº khai triºn ÷ñc th nh chuéi Taylor trong l¥n cªn â n¸u tçn t¤i mët sè M >0 sao cho    (n)  f (x) ≤ M, n = 0, 1, 2, . . . ; ∀x ∈ (a − δ, a + δ) . c. C¡c khai triºn lôy thøa cì b£n xn x2 + ... + + . . . , x ∈ (−∞, +∞) • e =1+x+ 2! n! x • sinx = x − x3 x5 x2n−1 + − . . . + (−1)n−1 + . . . , x ∈ (−∞, +∞) 3! 5! (2n − 1)! 2n x2 x4 n x • cosx = 1 − + − . . . + (−1) + . . . , x ∈ (−∞, +∞) 2! 4! (2n)! 5 É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc n x2 x3 n−1 x • ln (1 + x) = x − + − . . . + (−1) + . . . , −1 < x ≤ 1 2 3 n • (1 + x)m = 1+mx+ m (m − 1) . . . (m − n + 1) n m (m − 1) 2 x +. . .+ x 2! n! + . . . , −1 < x < 1 1.2 Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng 1.2.1 Mët sè kh¡i ni»m Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n l  mët ph÷ìng tr¼nh chùa bi¸n ëc lªp c¦n t¼m y = f (x) x, h m v  c¡c ¤o h m c¡c c§p cõa nâ. Nâi c¡ch kh¡c, mët ph÷ìng tr¼nh chùa ¤o h m ho°c vi ph¥n cõa h m c¦n t¼m ÷ñc gåi l  mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng câ d¤ng F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 trong â x l  bi¸n ëc lªp; y l  h m c¦n t¼m v  nh§t thi¸t ph£i câ ¤o h m (¸n c§p n o â) cõa ©n h m sè y (y l  h m sè cõa (1.2.1) y ; y 0 , y 00 , . . . , y (n) l  c¡c ¤o h m cõa x). C§p cõa ph÷ìng tr¼nh l  ¤o h m c§p cao nh§t câ m°t trong ph÷ìng tr¼nh. H m sè thay y = ϕ(x) ÷ñc gåi l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh y = ϕ(x), y 0 = ϕ0 (x), . . . , y (n) = ϕ(n) (x) th¼ ph÷ìng tr¼nh H m sè (1.2.1) (1.2.1) v o ph÷ìng tr¼nh n¸u (1.2.1) trð th nh çng nh§t thùc. y = ϕ(x, c) (c ∈ R) câ ¤o h m theo bi¸n 6 x ¸n c§p n ÷ñc É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc gåi l  nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh + Måi (x, y) ∈ D (D gi£i ra èi vîi + H m kh­p n¸u l  mi·n x¡c ành cõa ph÷ìng tr¼nh) ta câ thº c: c = ψ(x, y). y = ϕ(x, c) D, (1.2.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.2.1) khi (x, y) ch¤y c ∈ R. vîi måi ành ngh¾a 1.1. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n câ d¤ng F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 hay y (n)  0 = f x, y, y , . . . , y (n−1)  trong â x l  bi¸n ëc lªp; y l  h m c¦n t¼m; y 0 , y 00 , . . . , y (n) l  c¡c ¤o h m cõa h m sè y (y l  h m sè cõa x). 1.2.2 Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët gi£i ÷ñc b¬ng c¦u ph÷ìng a. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ bi¸n sè ph¥n ly + Ph÷ìng tr¼nh + Ph÷ìng tr¼nh + Ph÷ìng tr¼nh ⇔ R dy = f (x) câ nghi»m y = f (x)dx + c. dx Z dy dy = f (y) câ nghi»m = x + c. dx f (y) M1 (x).N1 (y)dx + M2 (x).N2 (y)dy = 0 M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 ((N1 (y).M2 (x) 6= 0) M2 (x) N1 (y) 7 É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc b. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët thu¦n nh§t Ph÷ìng tr¼nh dy = f (x, y) dx gåi l  ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t n¸u f (tx, ty) = tk .f (x, y) (t > 0) º gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta °t u= y x sau â ÷a v· vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ bi¸n sè ph¥n ly. c. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ÷a ÷ñc v· d¤ng ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t c§p mët dy =f dx + N¸u + N¸u c = c1 = 0  ax + by + c a1 x + b1 y + c1 (1.2.2) l  ph÷ìng      a b  = c= 6 0, c1 6= 0,   6 0 th¼  a1 b 1  th¼  (1.2.2) tr¼nh thu¦n nh§t c§p mët. °t   x=x +α 1  y =y +β vîi α, β 1 l  h¬ng sè. Khi â ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n thu¦n nh§t c§p mët èi vîi x1 , y1 . d. Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p mët D¤ng têng qu¡t dy + P (x).y = Q(x) dx + N¸u Q(x) 6= 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.2.3) (1.2.3) gåi l  ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t c§p mët. + N¸u Q(x) = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.2.3) gåi l  ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t c§p mët. + Cæng thùc nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh 8 É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc y = e− R P (x)dx Z . Q(x).e R P (x)dx  dx + c e. Ph÷ìng tr¼nh Becnulli D¤ng têng qu¡t dy + P (x).y = Q(x).y α dx + N¸u α=1 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.2.4) (1.2.4) l  ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t c§p mët. + N¸u α=0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.2.4) l  ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t c§p mët. + N¸u α 6= 0, α 6= 1 â °t z = y 1−α th¼ ta chia c£ hai v¸ cõa (1.2.4) cho yα sau v  ÷a v· ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t. 1.2.3 Mët sè t½nh ch§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t c§p n y (n) + p1 (x).y (n−1) + . . . + pn (x).y = 0. º ìn gi£n c¡ch vi¸t v· sau, ta kþ hi»u L(y) = y (n) + p1 (x).y (n−1) + . . . + pn (x).y 9 (1.2.5) É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc L(y) ÷ñc gåi l  to¡n tû vi ph¥n tuy¸n t½nh. Tø kþ hi»u tr¶n, trong â ph÷ìng tr¼nh (1.2.5) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng L(y) = 0. To¡n tû L(y) + èi vîi (1.2.6) câ c¡c t½nh ch§t sau y1 (x), y2 (x) kh£ vi n l¦n li¶n töc ta câ L(y1 + y2 ) = L (y1 ) + L (y2 ) + èi vîi h m kh£ vi li¶n töc n l¦n y(x) v  h¬ng sè c b§t ký ta câ L(cy) = cL(y) Düa v o t½nh ch§t cõa to¡n tû L ta suy ra c¡c t½nh ch§t v· tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t c§p + N¸u y(x) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n (1.2.5) th¼ h¬ng sè tòy þ công l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh + N¸u th¼ y1 (x), y2 (x) c.y(x) vîi c l  (1.2.5). l  hai nghi»m b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2.5) y(x) = y1 (x) + y2 (x) công l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2.5). + N¸u y1 (x), y2 (x), . . . , yk (x) l  c¡c nghi»m b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2.5) th¼ y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + ck yk (x) công l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2.5). 10 É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc 1.2.4 B i to¡n Cauchy Gi£ sû tø ph÷ìng tr¼nh (1.2.1) ta gi£i ra ÷ñc ph÷ìng tr¼nh èi vîi c§p cao nh§t y trong â f (n)  0 = f x, y, y , . . . , y l  h m x¡c ành tr¶n mi·n (n−1)  (1.2.7) D ⊂ Rn+1 . (x0 , y0 , y0 0 , . . . , y0 (n−1) ) ∈ D. Gi£ sû iºm ban ¦u Khi â b i to¡n 

 y (n) = f x, y, y 0 , . . . , y (n−1) , x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ∈ D  y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y (n−1) 0 0 gåi l  b i to¡n Cauchy hay b i to¡n gi¡ trà ban ¦u. C¡c i·u ki»n (n−1) y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y 0 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0 gåi l  i·u ki»n ban ¦u. 1.2.5 ành lþ tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Cauchy Gi£ sû trong mi·n G ⊂ Rn+1 m¢n i·u ki»n Lipsit theo (n−1) (x0 , y0 , y00 , . . . , y0 ph÷ìng tr¼nh f (x, u1 , u2 , . . . , un ) tçn t¤i duy nh§t nghi»m thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u (n−1) y00 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0 li¶n töc v  thäa u1 , u2 , . . . , un . Khi â vîi b§t ký iºm trong ) ∈ G (1.1.7) h m y = y(x) y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = . Nghi»m n y x¡c ành t¤i l¥n cªn n o â 11 cõa (x0 − h, x0 + h) cõa x0 . Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng Trong ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p Adomian v  ph÷ìng ph¡p Adomian c£i bi¶n º gi£i c¡c b i to¡n Cauchy èi vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o trong t i li»u [4], [5]. 2.1 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian biºu di¹n nghi»m d÷îi d¤ng chuéi væ h¤n, c¡c th nh ph¦n cõa chuéi câ thº ÷ñc x¡c ành mët c¡ch d¹ d ng thæng qua quan h» truy hçi. Trong tr÷íng hñp ch¿ x¡c ành ÷ñc húu h¤n th nh ph¦n th¼ ta thu ÷ñc nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta x²t d¤ng têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n nh÷ sau 12 É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Fy = f trong â F l  mët h m phi tuy¸n, Ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2.1.1) y v  (2.1.1) f l  c¡c h m sè cõa x. d÷îi d¤ng Ly + Ry + N y = f (2.1.2) trong â + L l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh kh£ nghàch, l  mët ph¦n ho°c to n bë ph¦n tuy¸n t½nh cõa F + R l  ph¦n tuy¸n t½nh cán l¤i cõa to¡n tû + N l  ph¦n phi tuy¸n t½nh cõa T¡c ëng to¡n tû nghàch £o L−1 F F v o hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1.2) ta câ L−1 Ly = L−1 f − L−1 Ry − L−1 N y. V½ dö, n¸u L l  mët to¡n tû vi ph¥n bªc mët th¼ to¡n tû (2.1.3) L−1 l  to¡n tû t½ch ph¥n ÷ñc cho bði cæng thùc L−1 = Zx (.)dx. (2.1.4) 0 Do â L−1 l  mët to¡n tû t½ch ph¥n ÷ñc x¡c ành bði L−1 (Ly) = Zx Zx Lydx = 0 y 0 dx = y (x) − y (0) . 0 13 (2.1.5) É THÀ THU H€ Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Thay ph÷ìng tr¼nh (2.1.5) (2.1.3) v o ph÷ìng tr¼nh v  chuyºn v¸ ta ÷ñc y (x) = y (0) + L−1 f − L−1 Ry − L−1 N y. (2.1.6) °t y0 = y (0) + L−1 f Khi â thay y0 v o ph÷ìng tr¼nh (2.1.6) ta câ y (x) = y0 − L−1 Ry − L−1 N y. T÷ìng tü, n¸u L (2.1.7) l  mët to¡n tû vi ph¥n bªc hai th¼ to¡n tû L−1 l  to¡n tû t½ch ph¥n hai lîp ÷ñc cho bði cæng thùc L−1 = Do â L−1 Z Z (.)dx1 dx2 . (2.1.8) l  mët to¡n tû t½ch ph¥n ÷ñc x¡c ành bði L−1 (Ly) = Zx Zx Zx Zx (Ly (x))dxdx = 0 0 0 y 00 (x)dxdx. (2.1.9) 0 Tø â ta t½nh ÷ñc L−1 Ly = y(x) − y(0) − xy 0 (0). Khi â thay ph÷ìng tr¼nh (2.1.10) (2.1.10) v o ph÷ìng tr¼nh (2.1.3) v  chuyºn v¸ ta câ y(x) = y(0) + xy 0 (0) + L−1 (f ) − L−1 (Ry) − L−1 (N y) . 14 (2.1.11)