Tài liệu Phương pháp dạy chuyên đề hình học cho học sinh lớp 5

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu: - Trong qúa trình dạy học bản thân tôi nhận thấy rằng trong chương trình Tiểu học thì tất cả các môn học đều đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển toàn diện trí tuệ học sinh tiểu học. Trong số các môn học dạy ở tiểu học thì môn Toán là một trong những môn có thể nói là khó đối với học sinh và cũng làm cho học sinh có thể dẫn đến chán nản việc học nếu như học sinh không hiểu rõ vấn đề, trong môn Toán ở Tiểu học nói chung và trong chương trình lớp 5 nói riêng thì chuyên đề “Hình học” được tôi đặc biệt chú ý nghiên cứu. Bởi hình học là một khái niệm trừu tượng nhưng nó cũng làm phát triển tư duy ở học sinh lên mức độ cao hơn. - Hình học là một lĩnh vực không phải là mới mẻ với học sinh và giáo viên, nhưng để dạy một chuyên đề (hay một tiết học) thành công thì không phải giáo viên nào cũng làm được. Bởi thế “Chuyên đề hình học” lâu nay vẫn là nỗi trăn trở của không ít giáo viên Tiểu học và phụ huynh quan tâm. - Chính vì vậy tôi tập trung nghiên cứu đề tài này với hi vọng mình sẽ giúp giáo viên của nhà trường tìm ra một phương pháp dạy phù hợp, học sinh nắm bắt bài một cách nhẹ nhàng, hứng thú (Học mà chơi- chơi mà học). - Khi học sinh đã nắm bắt được nội dung bài học sau những giờ hình học tôi tin rằng các em sẽ có óc tư duy sâu hơn khi học các môn học khác góp phần phát triển trí tuệ toàn diện cho học sinh để các em tiến xa hơn, sâu hơn vào kho tàng tri thức của nhân loại. - Với tư cách là một cán bộ quản lí, một thầy giáo Tiểu học tôi mạnh dạn đề xuất và áp dụng đề tài tại trường mình và cũng thu được những thành công nhất định. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong có sự tham gia góp ý của các đồng nghiệp. 2. Tên sáng kiến: Phương pháp dạy chuyên đề hình học cho học sinh lớp 5 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Nguyễn Chí cao – Trịnh Thị Thư - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường Tiểu học Nhân Đạo, Sông Lô, Vĩnh Phúc. 1 - Số điện thoại: 0915505886 - 0969488469 E_mail: [email protected]. 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên đề hình học trong môn Toán lớp 5 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 25/8/2019 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Về nội dung của sáng kiến: 7.1.1. Các biện pháp nâng cao chất lượng giảng dạy tính diện tích hình học lớp 5 theo hướng phân loại đối tượng học sinh. a/ Thực trạng của vấn đề dạy tính diện tích các hình lớp 5: - Việc dạy học các yếu tố hình học và đặc biệt là rèn luyện kỹ năng hình học còn tuỳ thuộc vào quan niệm, cách nghĩ, cách làm và tiềm lực của mỗi giáo viên nên hiệu quả chưa cao. - Tình trạng học sinh không biết ước lượng và sử dụng các dụng cụ hình học, không vẽ hoặc không giải thích được hình vẽ thoả mãn điều kiện đã cho, hoặc không thể lí giải được cách làm thực tiễn… còn phổ biến. - Còn số ít giáo viên cho rằng học sinh ở tiểu học chỉ cần nắm được các công thức tính chu vi, diện tích và thể tích các hình làm được còn việc vẽ hình, biến đổi hình, cắt ghép hình là việc đơn giản không có gì khó khăn do đó mà sao lãng không chú ý rèn luyện kỹ năng thao tác hình học. Đa số học sinh chỉ biết giải các bài toán hình học đơn giản chứ chưa biết kẻ vẽ thêm để đưa bài toán khó về bài toán đơn giản hơn. b/ Các biện pháp nâng cao chất lượng dạy chuyên đề hình học lớp 5: Trước thực trạng nêu trên và trước yêu cầu đổi mới giáo dục, trong đó có đổi mới nội dung, phương pháp cách thức tổ chức dạy học thì giải quyết vấn đề rèn luyện kỹ năng thao tác hình học, khai thác và tận dụng tiềm năng hoạt động hình học để phát huy đầy đủ tính tích cực của học sinh, có nhiều việc phải thực hiện. Cụ thể: b.1/ Giáo viên phải nắm chắc mục tiêu của từng bài, từng dạng bài để từ đó có phương pháp dạy đối với từng đơn vị kiến thức. Cụ thể: * Phần kiến thức và kĩ năng giáo viên cần đạt: 2 ** Phân biệt các hình hình học: - Nhận dạng các hình một cách “Tổng thể” không phân tích các yếu tố tạo nên hình. - Nhận dạng hình thông qua việc mô tả đặc điểm của hình: + Hình tam giác, hình tứ giác: Học sinh lớp 5 học về biểu tượng hình vuông, hình chữ nhật, hình thang…ngày càng chính xác bằng cách nêu đặc điểm về góc và cạnh, đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc. Vậy giáo viên dùng ngôn ngữ, thuật ngữ toán học để mô tả khái niệm hình vuông, hình chữ nhật… Hướng dẫn cách vẽ hình. + Hình tròn và đường tròn: Học sinh biết bằng trực giác, bằng việc xác định tâm, bán kính, đường kính. + Hình khối: Nhận biết bằng cách mô tả về số đỉnh, số cạnh, số mặt và so sánh độ dài các cạnh (xác định mặt) tương ứng. Nhận dạng hình qua phân tích và triển khai hình khối; hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là hình chữ nhật, gồm hai mặt đáy và bốn mặt bên, hai mặt đối diện là hai hình chữ nhật bằng nhau, có 3 kích thước, 12 cạnh và 8 đỉnh. + Hình lập phương: Có 6 mặt đều là hình vuông và bằng nhau. ** Vẽ hình, tái tạo hình hình học: - Vẽ hình liên kết với hình khác: Từ một hình vuông kéo dài một cặp cạnh và rút ngắn cặp cạnh khác để tạo thành một hình chữ nhật. Từ một hình chữ nhật kéo dài các cạnh để tạo thành hình vuông. Từ một hình chữ nhật kéo dài một cặp cạnh và rút ngắn cặp cạnh khác để tạo thành một hình vuông. Từ một hình tam giác vuông, vẽ một hình chữ nhật hoặc hình thang có 3 đỉnh là đỉnh của tam giác vuông đó. Từ một hình thang vẽ một hình chữ nhật có hai đỉnh là đỉnh của hình thang. Từ một hình tam giác vẽ một hình chữ nhật có một cạnh là cạnh của tam giác. - Cắt, ghép hình: - Ghép từ những mảng hình khác nhau: 3 + Cắt hình theo các đường đã cho rồi ghép các mảnh rời đó thành hình mới. + Cắt hình một cách hợp lí, rồi ghép các mảnh rời để thành hình mới. - So sánh hình, giải các bài tập về chu vi, diện tích, thể tích các hình. + Trong hình chữ nhật: Nếu diện tích hình chữ nhật không đổi thì chiều dài tỉ lệ nghịch với chiều rộng. Nếu chiều dài (rộng) hình chữ nhật không đổi thì diện tích tỉ lệ thuận với chiều rộng (dài). + Trong hình vuông: Chu vi hình vuông tỉ lệ thuận với cạnh của nó. + Trong hình tam giác: Hai tam giác có đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì diện tích của chúng cũng bằng nhau. Hai tam giác vuông có hai cạnh kề với góc vuông tương ứng bằng nhau từng đôi một thì diện tích của chúng bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy bằng nhau (hoặc đáy chung) thì chiều cao của chúng cũng bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau, chiều cao bằng nhau (hoặc chiều cao chung) thì đáy của chúng cũng bằng nhau. Khi chiều cao của hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng tỉ lệ thuận với hai đáy. Khi hai đáy của tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng tỉ lệ thuận với hai chiều cao. Khi diện tích không đổi thì đáy tỉ lệ nghịch với chiều cao. Hai hình tam giác có diện tích bằng nhau và có một phần diện tích chung thì hai phần còn lại sẽ bằng nhau. Khi tách một hình thành nhiều hình nhỏ thì diện tích hình ban đầu bằng tổng diện tích các hình nhỏ. Khi cộng (trừ) cùng một diện tích thứ ba vào hai diện tích bằng nhau thì ta vẫn được hai diện tích bằng nhau. + Trong hình thang: ta kẻ hai đường chéo thì ta được ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau (Tài liệu tham khảo: Toán nâng cao lớp 5). 4 b.2/ Các dạng bài tập, cách dạy, những sai lầm của học sinh và hướng khắc phục. * Dạng toán: Nhận dạng hình, đếm số hình - Yêu cầu: + Chỉ ra một loại hình hình học nào đó. + Đếm số hình các hình hình học nào đó được tạo thành. - Phương pháp dạy: Để giải toán về nhận dạng hình ta tiến hành theo các bước. Bước 1: Xác định yêu cầu của bài toán là nhận dạng các hình dựa vào hình dạng hay đặc điểm của hình. Bước 2: Nhắc lại định nghĩa các hình liên quan tới bài toán (Bằng cách mô tả hoặc bằng mẫu vật) và đặc điểm các hình đó. Bước 3: Giới thiệu một số phương pháp đếm: Đếm trực tiếp trên hình vẽ hay trên đồ vật. Sử dụng sơ đồ đếm rồi khái quát thành công thức tính số hình cần nhận dạng. Đánh số thứ tự các hình riêng lẻ dễ nhận biết. Sử dụng phương pháp suy luận logic. Dạy đếm số đoạn thẳng, đếm hình. Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB trên đoạn thẳng đã cho lấy ba điểm tùy ý không trùng với đầu mút. Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành. (1) (2) A C (3) D (4) E B Hỏi học sinh: Có hai điểm tạo nên mấy đoạn thẳng (1 đoạn thẳng). Có ba điểm tạo nên mấy đoạn thẳng (3 đoạn thẳng). Có 4 điểm tạo nên mấy đoạn thẳng (6 đoạn thẳng). Có 5 điểm tạo nên mấy đoạn thẳng (10 đoạn thẳng). Cách 1: Sử dụng sơ đồ cây: C D A E B 4 đoạn thẳng D E E B B B 3 đoạn thẳng 2 đoạn thẳng 1 đoạn thẳng 5 Từ đó suy ra số đoạn thẳng tạo thành là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng). Cách 2: Đánh số thứ tự các đoạn thẳng riêng lẻ. - Ghép đơn có 4 đoạn thẳng. - Ghép hai có 3 đoạn thẳng. - Ghép ba có 2 đoạn thẳng. - Ghép tư có 1 đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng được tạo thành là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng). Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chia cạnh BC thành 8 phần bằng nhau rồi nối đỉnh A với các điểm chia bằng các đoạn thẳng. - Có bao nhiêu tam giác được tạo thành. - Nếu chia tiếp cạnh AC thành hai phần bằng nhau, rồi nối đỉnh B với điểm chia trên AC bằng một đoạn thẳng. Có tất cả bao nhiêu tam giác được tạo thành? Hướng dẫn học sinh: - Đếm số đoạn thẳng trên cạnh BC: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 (đoạn thẳng). A B 1 2 3 4 5 6 7 8 C Nối điểm A với các điểm chia ta được ngay 36 tam giác. - Giáo viên làm như sau: A D B 1 2 3 4 5 6 7 8 C 6 Số tam giác có đỉnh A và các cạnh đáy trên BC là: 36 tam giác. Số tam giác có đỉnh A và các cạnh đáy trên BD là: 36 tam giác. Số tam giác có đỉnh B và các cạnh đáy là những đoạn thẳng bị chắn bởi các đoạn BC, BD là: 8 tam giác. Vậy số tam giác được tạo thành là: 36 + 36 + 8 = 80 (tam giác). Tương tự: Nếu có 100 điểm trên đáy BC ta có 99 khoảng cách (đáy tam giác). Ta có số tam giác tạo thành là: 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 = (1 + 99)  99 : 2 = 4950 (tam giác)  Công thức tính: n  (n - 1) : 2 Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 3 cm. Người ta chia chiều dài thành 4 phần bằng nhau, chiều rộng thành 3 phần bằng nhau rồi nối các điểm chia như hình vẽ. a- Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật. b- Tính tổng chu vi và tổng diện tích các hình vuông được tạo. Giải a- Nhận xét: Không có các hình chữ nhật gồm: 5; 7; 10; 11 ô vuông. Đếm số hình: Các hình chữ nhật gồm: 1 ô vuông có 12 hình 2 ô vuông có 17 hình 3 ô vuông có 10 hình 4 ô vuông có 9 hình 6 ô vuông có 7 hình 8 ô vuông có 2 hình 9 ô vuông có 2 hình 12 ô vuông có 1 hình Vậy có tất cả là: 12 + 17 + 10 + 9 + 7 + 2 + 2 + 1 = 60 (hình chữ nhật). b- Có 12 hình vuông cạnh 1cm. Có 6 hình vuông cạnh 2cm. Có 2 hình vuông cạnh 3cm. Tổng chu vi của các hình vuông là: 7 (1 4 )  12 + (2  4)  6 + (3  4)  2 = 120 (cm) Tổng diện tích các hình vuông đó là: (1  1)  12 + (2  2)  6 + (3  3)  2 = 54 (cm2) Những sai lầm khi đếm hình: Với bài toán trên đa số học sinh trả lời có 12 hình vuông, 40 hình chữ nhật, có em trả lời có 26 hình chữ nhật. - Nguyên nhân: Do khả năng tưởng tượng của các em còn hạn chế, chưa nắm chắc dấu hiệu đặc trưng và các yếu tố tạo thành hình học tương ứng, khả năng suy luận chưa tốt. - Biện pháp khắc phục: Cho học sinh giải nhiều bài tập về nhận dạng hình. Hướng dẫn học sinh phân loại các hình và vận dụng thành thạo các quy tắc tính. + Ví dụ về tên gọi các hình hình học: Cho tam giác ABC (hình vẽ) trong đó BH = HC; AM = MN = NH. a- Hãy ghi tên tất cả các hình tam giác có chung đỉnh A và tính diện tích của từng hình tam giác đó, biết diện tích tam giác BNC = 120 cm2 A M N B H C Giải - Tất cả các tam giác có chung đỉnh A là: ABC, ABM, ABN, ABH, ACM, ACN, ACH. Gọi S là diện tích. Bước 1: Cho học sinh nhắc lại kiến thức về so sánh hình: Hai tam giác có chung chiều cao, đáy bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau: Bước 2: Chỉ ra hai tam giác ABH và ACH có chung chiều cao hạ từ A xuống BC và đáy BH = HC. Suy ra S.ABH = S.ACH SABC = SABH  2 = SACH  2 Bước 3: Để tính được diện tích của từng tam giác theo đề bài: Ta gọi h1 là đường cao hạ từ B xuống AH; h2 là đường cao hạ từ C xuống AH. 1 1 Ta có 2  AH  h1 = 2  AH  h2  h1 = h2. 8 Các tam giác BAM, BMN, BNH có chung chiều cao là h2 và AM = MN = NH và h1 = h2. Nên: SBAM = SBMN = SBNH = SCAM = SCMN = SCNH = 1 2 SBAN = 1 2 SBNC Suy ra: SABM = SCAM = 120 : 2 = 60 (cm2); SABN = SACN = 60  2 = 120 (cm2). SABH = SACH = 60  3 = 180 (cm2); SABC = 60  6 = 360 (cm2). Sai lầm của học sinh khi viết tên các hình là tùy tiện đổi chỗ các chữ trong tên gọi một hình. Chẳng hạn: Các em coi cách đọc và viết hình tứ giác ABCD cũng như các hình tứ giác ACDB, ADBC, ADCB,… Cách khắc phục: Giáo viên nên phân tích trên hình vẽ cho học sinh thấy được khi đổi chỗ thứ tự trong kí hiệu tên gọi hình tứ giác, đoạn thẳng đóng vai trò yếu tố cạnh của hình tứ giác sẽ tạo tạo thành đường chéo của hình tứ giác đó. * Dạng toán tạo hình bằng cách cắt, ghép hình. - Nội dung yêu cầu: Cho trước một hoặc một số hình hình học. Học sinh cần cắt hình đã cho thành những hình đã học hoặc thành những mảng rời rồi ghép lại thành hình thỏa mãn yêu cầu nào đấy. - Phương pháp dạy: Ta có thể tiến hành các bước sau: + Nhắc lại định nghĩa và các tính chất của những hình hình học liên quan. + Nêu những dữ kiện đã cho và yêu cầu cần thực hiện. + Thiết lập mối quan hệ giữa giữ kiện đã cho và yêu cầu cần thực hiện. + Xác định phương pháp cắt, ghép hình thỏa mãn bài toán. Giáo viên làm mẫu và hướng dẫn học sinh các bài tương tự. Thí dụ 1: Một tấm bìa hình thang có đáy lớn dài gấp 3 lần đáy bé. Hãy cắt tấm bìa đó bằng hai nhát cắt thành 3 mảnh sao cho khi ghép lại được hai hình tam giác có diện tích bằng nhau. Hướng dẫn: - Bước 1: Tìm được diện - Diện tích hình thang là (AB + CD)  h : 2 tích hình thang. Gọi hình đó là A B ABCD Bước 2: Đặt DE = 1 / 3 DC, AF = FD ta có F D DE = AB và ABED là hình bình hành. Hơn nữa: h B E C 9 1 SBDA = SBDE = 2  h  DE = 1 4  h  EC = 1 2 1 2  h  ( 12 EC)= SBCE.  SBAF = SBDF = 1 2 SBCE Bước 3: Cắt hình thang theo hai nhát cắt: - Nhát 1: Cắt dọc theo đoạn thẳng BF. - Nhát 2: Cắt theo đoạn BE. Bước 4: ghép mảnh 1 với mảnh 2 ta được hai tam giác có diện tích bằng nhau A B F h B C E D Ví dụ 2: Từ tờ bìa hình thang, có thể cắt thành 3 phần và ghép 3 phần này (không chồng lên nhau) để được một hình chữ nhật. Em hãy vẽ hình thể hiện cách cắt ghép của mình. Các bước thực hiện: H A B K P M D N Q C Lấy M là điểm chính giữa của AD, P là điểm chính giữa của BC. + Từ M kẻ đoạn thẳng MN vuông góc với DC. Từ P kẻ đoạn thẳng PQ vuông góc với DC. + Cắt theo MN và PQ được 3 phần là hai tam giác MND, PQC và hình ABPQNM. + Ghép hình tam giác MND và hình tam giác PQC vào hình ABPQNM (như hình vẽ) ta được hình chữ nhật là HKQN. Ví dụ 3: Có một mảnh bìa hình vuông cạnh 5cm. Hãy chỉ ra cách cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh hình thang vuông , 4 mảnh hình tam giác vuông và 5 mảnh hình vuông có kích thước như hình vẽ: 10 1cm 2c m 1cm 2cm 2cm 2cm Hướng dẫn: Cách 1: + Bước 1: Chia hình vuông cạnh 5cm mỗi cạnh thành 5 phần bằng nhau. Theo bài rat a có 5 mảnh hình vuông có kích thước cạnh 1cm. Ta cắt 5 mảnh hình vuông trên cùng một hàng như hình vẽ. Bước 2: Cắt hai hình vuông có cạnh 2cm. 2 hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm (như hình vẽ). (Các cách cắt khác giáo viên tự tìm hiểu và hướng dẫn học sinh) Sai lầm khi chia tỉ lệ độ dài trên các cạnh học sinh thường đặt lệch thước hoặc ước lượng độ dài hạn chế, chỉ cần biết ta đã chia cạnh thành từng phần là được chứ không để ý đến điều kiện bằng nhau hoặc gấp nhau bao nhiêu lần. - Biện pháp khắc phục: Giáo viên làm mẫu tỉ mỉ, hướng dẫn cách sử dụng các dụng cụ phù hợp với từng loại hình. - Khi dạy cần khắc sâu cho các em các yếu tố tạo thành hình học tương ứng, đồng thời bồi dưỡng cho học sinh khả năng phân tích, tổng hợp bằng cách thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố trong từng hình và yêu cầu làm nhiều bài tập. - Vận dụng công thức tính chu vi, diện tích. + Cách chuyển dịch hình. Ví dụ: Trên sân trường hình vuông người ta dự tính xây một bệ sân khấu cũng hình vuông sao cho một cạnh bệ trùng với một cạnh sân trường ở chính giữa cạnh ấy. Khoảng cách ngắn nhất từ cạnh bệ đến cạnh sân trường là 17m, diện tích sân trường còn lại là 1564m 2. Hãy tính cạnh sân và cạnh bệ sân khấu dài bao nhiêu mét? Bài giải: Chuyển dịch hình vuông nhỏ vào chính giữa sân khấu: 11 A B 17m D C Cách 1: Chia phần diện tích còn lại thành bốn hình chữ nhật bằng nhau (có diện tích bằng nhau) các kích thước tương ứng bằng nhau. Diện tích mỗi hình chữ nhật là: 1564 : 4 = 391(m2) Cạnh AB dài là: 391 : 17 = 23 (m). Cạnh bệ sân khấu là: 23 – 17 = 6 (m). Cạnh sân trường là: 6 + 17  2 = 40 (m). Đáp số: cạnh sân khấu: 6m Cạnh sân trường: 40m. Lưu ý: Trên đây chỉ là một trong các cách giải bài toán đã cho. Các cách giải khác khi dạy giáo viên tự tìm hiểu và hướng dẫn cho học sinh (có thể chuyển sân khấu vào một góc sân trường …). - Cắt ghép hình để tính diện tích. Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu bớt chiều dài 15m và chiều rộng tăng 15m thì được hình chữ nhật mới có diện tích lớn hơn diện tích hình cũ là 1125m2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu. Bước 1: Phân tích đề: Hình chữ nhật cũ ABCD có AB = AD  3. Hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích bằng diện tích hình ABCD cộng 1125m2. E B A Bước 2: Vẽ hình ước lượng chiều dài gấp 3 chiều rộng. D Q H C B ớ t 11 25 m 2 T hê m G P K Bước 3: Cắt hình chữ nhật BECH rồi ghép vào vị trí hình chữ nhật GDQP thì phần diện tích tăng thêm chính là hình chữ nhật HKPQ có diện tích 1125m2. Chiều dài PK của hình chữ nhật HKPQ là 1125 : 15 = 75 (m). Chiều rộng AD của hình chữ nhật ABCD là: (75 + 15) : 2 = 45 (m). Chiều dài AB của hình chữ nhật ABCD là: 45  3 = 135 (m). Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 135  45 = 6075 (m2). 12 * Tìm diện tích hình bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ: Ví dụ 1: Cho tam giác vuông ABC, hai cạnh góc vuông AB = 40m, AC = 50m. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 10m rồi kẻ đoạn thẳng DE//AC (E ở trên BC). Tính diện tích tam giác BDE. B D A - Nếu dựa vào hình vẽ ta khó khăn tìm được diện tích tam giác BDE vậy ta kẻ thêm yếu tố phụ là AE. E C SABC = SAEC = - Nối AE ta có thể tính được diện tích và cạnh những hình nào? 50 40 1000 (m2). 2 50 10 250 (m2). 2 SABE= 1000 – 250 750 (m2). Vì DE song song với AC và vuông góc với AB nên nó chính là chiều cao của tam giác ABE. Vậy DE = 750  2 : 40 = 37,5 (m2). SBDE = 30  37,5 : 2 = 562,5 (m2) . Từ ví dụ trên có thể cho học sinh bài tập sau: Cho tam giác vuông ABC (vuông ở C) cạnh AC dài 20cm, BC dài 15cm. M là điểm trên AC. Từ M kẻ đường vuông góc AC cắt AB tại N. Đoạn MN dài 12cm. Nối NC. Hỏi: - Với những điều kiện đã cho ta có thể tính được những cạnh nào và diện tích những tam giác nào? - Từ N kẻ NH vuông góc với BC. Tứ giác MNHC là hình gì? - Tính đoạn MC và diện tích tứ giác MNHC? (Giáo viên hướng dẫn HS nếu có khó khăn). * Vận dụng kiến thức cơ bản để so sánh và tính diện hình. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Nếu kéo dài đáy BC về phía C một đoạn CD = ABC. 1 6 BC thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 35cm 2. Tính diện tích tam giác - Hướng dẫn vẽ hình: A - Vì không biết rõ đáy BC hay CD là bao nhiêu nên không thể tính được chiều cao AH. Nhưng B H C D 13 ta lại biết AH là chiều cao chung của hai tam giác ABC và ACD và biết tỉ số giữa hai đáy BC và CD nên ta tính được diện tích tam giác ABC. Bài giải: Hạ AH vuông góc với BC thì AH là chiều cao chung của hai tam giác 1 ABC và ACD. Vì đáy CD 6 BC nên BC CD 6. Vì phần diện tích tăng thêm là diện tích tam giác ACD = 35 cm2. Vậy SABC = 35 6 = 210 (cm2). Chú ý: Hai tam giác có chiều cao bằng nhau (chung chiều cao) thì diện tích của chúng tỉ lệ thuận với hai đáy. Ví dụ 3: Cho tam giác vuông ABC vuông ở C. Cạnh AC = 3cm, BC = 4cm. Tính cạnh AB. Phân tích: Từ các dữ kiện đã cho ta chỉ tính được diện tích tam giác ABC ngoài ra không tính được gì thêm. Vì vậy ta dùng phương pháp mượn, cắt, ghép hình như sau: Cắt 4 tam giác vuông bằng tam giác ABC rồi ghép lại như hình vẽ. - Hình tứ giác ABDE là hình vuông có cạnh AB là cạnh cần tính. A B - Diện tích hình vuông ABDE bằng tổng diện tích 4 tam giác vuông và diện tích hình vuông ở giữa (Hình vuông rỗng) C Bài giải: E D - Cạnh hình vuông rỗng là: 4-3=1 (cm). - Diện tích hình vuông rỗng là: 1  1 = 1 (cm2) Diện tích 4 tam giác vuông là: 4  3 : 2  4 = 24 (cm2). Diện tích hình vuông ABDE là: 24 + 1 = 25 (cm2) Mà 25 = 5  5 vậy AB = 5cm Cách 2: Ghép 4 hình tam giác bằng tam giác ABC để được hình vuông cạnh 7cm (giáo viên tự tìm hiểu và hướng dẫn). 14 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có D ở chính giữa cạnh AC và điểm E chính giữa AB. Hai đoạn thẳng BD và CE cắt nhau ở G. - So sánh diện tích tam giác GBE và GCD. - So sánh ba tam giác GAB, GBC, GCA với tam giác ABC. - Kéo dài AG cắt BC ở M so sánh đoạn MB với MC. Bài Giải: - Hai tam giác ABC và CEB có chung chiều cao hạ từ C xuống AB có đáy A E D G AB = EB  2  SCEB  2 SABC B C - Hai tam giác ABC và CEB có chung chiều cao hạ từ B xuống AC và đáy DC  2 = AC  SBDC  2 = SABC  SCEB = SBDC = SABC : 2 Hai tam giác có diện tích bằng nhau lại có chung phần diện tích tam giác BGC nên phần còn lại là hai tam giác BGE và CGD có diện tích bằng nhau: SBGE= SCGD - Ta kẻ AG và đánh số các tam giác như hình vẽ: A 2 E 1 B 3 G - Ta thấy S3 = S4 (vì có chung chiều cao hạ từ G xuống AC, và đáy AD = DC) D 4 C S1 = S2 (vì có chung chiều cao hạ từ G xuống AB, đáy AE = EB) Theo a thì S1 = S4 vậy S1 = S2 = S3 = S4 Suy ra: S1 + S2 = S3 + S4 hay SGAB = SGAC Mặt khác: SABD = SCBD (Chung chiều cao hạ từ B xuống AC, đáy AD = DC) mà S3 = S4 nên SABD – S3 = SCBD – S4 hay SGAB = SGBC Vạy SGBC = SGBA = SGAB = 1 3 SABC. - Hai tam giác GAB và GAC có diện tích bằng nhau (theo a) có chung đáy AG nên hai đường cao hạ từ B và C xuống GA bằng nhau. 15 - Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai tam giác GBM và GCM do đó A 2 E 3 1 4 G B SGBM = SGCM (Chung đáy GM và có hai đường cao vuông góc với đáy ấy bằng nhau). D C M Hai tam giác GBM và GCM có diện tích bằng nhau lại có chung chiều cao hạ từ G xuống BC nên hai đáy bằng nhau (MC = MB) - Dạy toán về tính chu vi, diện tích: + Các quy tắc tính chu vi, diện tích hình vuông và hình chữ nhật (SGK). Ví dụ: Cho một hình vuông và một hình chữ nhật. Cạnh hình vuông hơn chiều rộng hình chữ nhật là 7m và kém chiều dài 4m. Diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật 100m2. Tính cạnh của hình vuông. A B4 E M G - Nhìn hình vẽ ta thấy diện tích hình vuông ABCD hơn diện tích hình chữ nhật AEGM hai phần là hình vuông MLND và hình chữ nhật KICN D H C K N 7 L I SMLND = 7  7 = 49 (m2). SKICN = 100 – 49 = 51 (m2). Chiều rộng hình chữ nhật KICN là 7 – 4 = 3 (m). Chiều dài hình chữ nhật đó là: 51 : 3 = 17 (m). Cạnh của hình vuông ABCD là: 17 + 7 = 24 (m). - Hình tam giác và hình thang: + Các công thức và quy tắc (SGK). Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD, trên AB lấy điểm P, trên CD lấy điểm Q sao cho AP = CQ. 1- So sánh diện tích hai tứ giác APQD và PBCQ. 2- Gọi M là điểm chính giữa của BC. Tính diện tích tam giác PMQ biết AB = 10 cm, BC = 6cm. 16 Gợi ý: A P B 1- Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD. Suy ra: Hai tứ giác APQD và PBCQ là hình thang. SAPQD = (AP + QD)  AD : 2 M D Q C = (AP + PB)  AD : 2 (vì PB = QD) = AB  AD : 2 = SAPQD = SPBCQ = 2- SPMQ = SPBCQ – (SPBM + SMCQ) = SPBCQ – = SPBCQ - ( PB  CQ ) BM vì ( MB MC ) = 2 1 2 1 2 SABCD. SABCD. PB BM QC MC  )= 2 2 10 6 3 10  30  15 15 2 2 ( (cm2) Vậy SPMQ = 15cm2. Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh 20cm. M là điểm chính giữa BC, N là điểm chính giữa CD. Đoạn AM và BN cắt nhau tại O. Tính diện tích tứ giác AOND. So sánh diện tích hình NOMC với hình BOM. Giải O A B M Gợi ý: NC = DC : 2 = 20 : 2 = 10 (cm). D N C BM = BC : 2 = 20 : 2 = 10 (cm). SBMN = 10  10 : 2 = 50 (cm2). SABN = 20  20 : 2 = 200 (cm2). SABN : SBMN = 200: 50 = 4 nên chiều cao hạ từ A xuống BN gấp 4 lần chiều cao hạ từ M xuống BN. Hai tam giác AOB và BOM có chung đáy BO và chiều cao hạ từ A gấp 4 lần chiều cao từ M xuống đáy BO.  SAOB = SBOM  4  SAOB = SABM : (4 + 1)  4 = (20  10 : 2) : 5  4= 80 (cm2). SAOND = SABND – SAOB = (20 + 10)  20 : 2 – 80 = 220 (cm2). Đáp số: 220cm2 17 * Chu vi, diện tích hình tròn: - Công thức tính diện tích, chu vi (SGK). - Hai hình tròn có đường kính bằng nhau thì chu vi của chúng cũng bằng nhau. - Hai hình tròn có đường kính (bán kính) gấp nhau bao nhiêu lần thì diện tích của chúng gấp nhau một số lần bằng số lần gấp nhau của đường kính (bán kính) nhân với chính số ấy. Chẳng hạn hình tròn tâm O 1 có bán kính gấp 3 lần bán kính của hình tròn tâm O2 thì diện tích của hình tròn tâm O1 gấp diện tích của hình tròn tâm O2 số lần bằng: 3  3 = 9 (lần). Ví dụ 1: Tính diện tích 4 cánh hoa thị và diện tích phần còn lại. Biết cạnh AB của hình vuôncủa hình vuông ABCD là 4cm. A B 1 4 2 3 D C Phân tích đề: Diện tích 4 cánh hoa thị do 4 nửa hình tròn có đường kính bằng cạnh hình vuông phủ kín hình vuông và phủ lên các cánh hoa thị hai lần và tạo thành. Vậy diện tích hoa thị bằng diện tích 4 nửa hình tròn (hay hai lần diện tích hình tròn) trừ đi diện tích hình vuông. - Còn diện tích phần còn lại thì bằng diện tích hình vuông trừ đi diện tích 4 cánh hoa thị. Cánh 1: Diện tích hình vuông ABCD là: 4  4 = 16 (cm2). Bán kính các nửa hình tròn là: 4 : 2 = 2(cm). Diện tích 4 nửa hình tròn là: 2  2  3,14  2 = 25,12 (cm2). Diện tích 4 cánh hoa thị là: 25,12 – 16 = 9,12 (cm2). Diện tích phần còn lại là: 16 – 9,12 = 6,88 (cm2). Cách 2: Ta thấy diện tích hai tam giác cong (4 và 2) bằng diện tích hình vuông trừ đi 2 nửa hình tròn đường kính AB và CD (hay diện 1 tích hình tròn) ta giải như sau: Diện tích hình tròn đường kính AB là: 2  2  3,14 = 12,56 (cm2). Diện tích 4 tam giác cong 1, 2, 3, 4 là: (16 – 12,56)  2 = 6,88 (cm2). 18 Diện tích 4 cánh hoa thị là: 16 – 6,88 = 9,12 (cm2). Chú ý: Việc vẽ hình có tác dụng củng cố kiến thức về nhận dạng và cách biểu diễn các hình hình học, bồi dưỡng kĩ xảo sử dụng các dạng cụ thể, sử dụng các tính chất tương đương để tiến hành bài toán chứng minh mang nội dung hình học. Sai lầm của học sinh khi vẽ đường cao của hình tam giác xuất phát từ đỉnh góc tù, học sinh không xác định được, khả năng tưởng tượng còn hạn chế, hình vẽ thường không đúng tỉ lệ hoặc vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt nên dẫn đến ngộ nhận không có căn cứ logic. - Biện pháp khắc phục: Giáo viên kết hợp cho học sinh quan sát hình vẽ của giáo viên, luyện tập vẽ hình nhiều, thường xuyên tạo cho học sinh luyện tập ước lượng độ dài, đoạn thẳng, dạy tỉ mỉ nội dung tỉ lệ xích, thiết lập tỉ lệ xích thích hợp để chuyển số đo trong bài toán. Tránh vẽ hình rơi vào các trường hợp đặc biệt. - Hình khối: Công thức và quy tắc (SGK). Ví dụ: Người ta quét vôi một phòng học có kích thước: dài 8m, rộng 6m, cao 3m. Phòng học có trần và có 6 cửa sổ, mỗi cửa rộng 1,2m cao 2,2m (Chỉ quét phía trong lớp) giá tiền công quét vôi 1m 2 là 5000 đồng. Tính số tiền quét vôi của lớp học đó. Phân tích đề: Diện tích quét vôi bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích trần (1 đáy) trừ đi diện tích các cửa ra vào và cửa sổ. Bài giải: Chu vi lớp học là: (8 + 6)  2 = 28 (m). Diện tích xung quanh lớp học (kể cả cửa) và diện tích trần nhà: 28  3 + 6  8 = 132 (m2). Tổng diện tích các cửa sổ và cửa ra vào là: 1,2  1,5 6 + 1,2  2,2 = 13,44 (m2). Diện tích quét vôi là: 132 – 13,44 = 118,56 (m2). Tiền công quét vôi là: 118,56  5000 = 592.800 (đồng). Đáp số: 592.800 đồng. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 19 Bài 1: Một hình chữ nhật nếu giảm chiều dài 1 5 số đo của nó thì phải tăng chiều rộng bao nhiêu lần số đo của nó để diện tích của hình chữ nhật đó không thay đổi. Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích là 40cm2. Kéo dài cạnh AC về phía A một đoạn AA/ sao cho AA/ = AC, kéo dài cạnh AB về phía B một đoạn BB / = AB, kéo dài cạnh BC về phía C một đoạn CC / = BC. Nối AC/, BA/, CB/. Tính diện tích hình sao 3 cánh đó. Bài 3: Cho tam giác ABC. Kéo dài cạnh BC về phía B một đoạn BB / = CB, kéo dài cạnh BA về phía A một đoạn AA / = BA, kéo dài cạnh AC về phía C một đoạn CC/=AC. Nối A/B/, B/C/, C/A/. Hãy so sánh diện tích A/B/C/ với diện tích tam giác ABC. P Bài 4: Cho hình vẽ, trong đó 1 đoạn AN = 4 AC, đoạn BM = MC. a- Biết diện tích tam giác APN là 100cm2. Tính diện tích tam giác ABC. A N B b- So sánh đoạn PN và NM. M C - Giáo dục nhân thức, tình cảm toán học: - Giới thiệu ngoại khoá các nhà toán học, nhằm giáo dục tình cảm và lòng yêu thích môn Toán. Từ đó học sinh có hoài bão vươn lên. - Tổ chức thi giải toán tuổi thơ và động viên học sinh gửi bài cho tạp chí Toán tuổi thơ. - Bồi dưỡng cho các em phương pháp học Toán và tự học toán ở gia đình trên cơ sở của sách giáo khoa, sách bài tập và tài liệu về toán học. Kết hợp với gia đình tạo điều kiện cho các em học tập. - Chú ý bồi dưỡng khả năng sử dụng ngôn ngữ Tiếng việt trong quá trình học toán. 2. Phân loại nhóm đối tượng nhận thức của học sinh để từ đó có những phương pháp dạy đối với từng đối tượng học sinh. a) Đối với học sinh còn hạn chế về tư duy trừu tượng: Trước hết dạy cho học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, nắm được đặc trưng từng dạng bài. 20