Tài liệu Phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông tt

1 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Phát triển năng lực tư duy toán học là một trong những yêu cầu cần thiết trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông (THPT): Giáo dục theo định hướng phát triển năng lực (NL) người học với “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiế n thức sang phát triển toàn diện NL và phẩm chất người học” đã trở thành mục tiêu thiết yếu nhằm đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo hiện nay. Trong đó, NL giải quyết vấn đề (GQVĐ) toán học và NL sáng tạo là những NL đặc thù cần hình thành cho học sinh (HS) qua dạy học môn toán ở trường THPT. Trong dạy học, giáo viên (GV) cần thông qua dạy tri thức để dạy cho người học cách phát hiện và GQVĐ, dạy cách suy nghĩ, khả năng giải quyết các tình huống của đời sống thực tiễn. Tác giả Trần Kiều nhấn mạnh “cần lưu ý đến NL tư duy logic trong suy diễn, lập luận; đồng thời coi trọng tư duy phê phán, sáng tạo, cũng như các yếu tố dự đoán, tìm tòi, trực giác toán học, tưởng tượng không gian”. Vì thế phát triển NL tư duy toán học là một trong những yêu cầu cần quan tâm và chú trọng cho HS trong dạy học môn Toán ở trường THPT. 1.2. Nhận định về vai trò của trực giác và tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực liên quan đến trực giác: Trực giác (TG) đã được nghiên cứu nhiều trên thế giới, hầu hết các tài liệu về TG đều liên quan đến ý nghĩa, vai trò đa dạng và những biểu hiện đặc trưng cơ bản của nó. Một số tác giả xem TG là nguồn gốc của đổi mới sáng tạo, là bước đầu tiên và cần thiết cho giáo dục; có thể thấy qua các công trình của các tác giả: Wild (1938), Henri Poincaré (1958), Bunge (1962), Bruner (1965), Descartes và Spinoza (1967), Westcott (1968), Andrea DiSessa (1982). Một số tác giả cho rằng TG có thể đào tạo được và đã vận dụng TG vào quá trình giáo dục như Tall và Vinner (1980), Fischbein (1987), Tieszen (1989), Jagla (1994), Hogarth (2001), Giardino (2010), Young Hoan Cho và Seo Yon Hong (2015). Mặc dù trên thế giới đã có nhiều công trình nghiên cứu về TG và trực giác toán học (TGTH), thế nhưng ở Việt Nam vấn đề này chỉ trình bày về khái niệm TG trong phát triển tư duy toán học cho HS. Cho đến nay vẫn chưa có công trình nào nghiên cứu đầy đủ và hệ thống về TGTH, chưa làm sáng tỏ lí luận và bước đầu vận dụng vào thực tiễn dạy học ở Việt Nam. 1.3. Thực trạng dạy học toán ở trường THPT chú trọng suy diễn, lập luận chặt chẽ và mang tính hình thức, chưa quan tâm việc phát triển NL TGTH cho HS: Trong dạy học Toán ở trường THPT, khi HS phải đối mặt với những tình huống không quen thuộc, GV thường dành nhiều thời gian để trang bị cho HS những kiến thức mang tính quy trình, phần lớn các em có ít cơ hội được nỗ lực tư duy, khám phá để tự tìm tòi con đường GQVĐ. Điều này dẫn đến nhiều HS chủ yếu sử dụng kiến thức rập khuôn đó mà không biết hoặc ít vận dụng được kiến thức toán học vào GQVĐ trong cuộc sống thực tiễn. Mặt khác, hầu hết cách dạy của GV và cách trình bày của phần lớn nội dung trong sách giáo khoa, các định lí, quy tắc và chứng minh của chúng thường được trình bày như là sản phẩm có sẵn. Trong khi đó, TG đóng vai trò đặc biệt trong quá trình phát triển nhận thức của HS, TG giúp người học tích cực và sáng tạo hơn trong việc đưa ra các phán đoán, tự tìm kiếm, khám phá kiến thức mới, hình dung trước được đường lối, chiến lược GQVĐ, đưa ra quyết định trước khi bắt tay vào chi tiết cụ thể. Do đó, nếu có NL TGTH sẽ giúp HS có thói quen tò mò, thích tìm hiểu khám phá, suy ngẫm và phát hiện cách thức giải quyết, kết nối được trực quan với trừu tượng, từ đó có thể vận dụng cách thức nhận thức đó vào trong tình huống khác nhau hay trong bối cảnh mới không quen thuộc. Vì vậy, NL 2 TGTH là một trong những NL quan trọng cần rèn luyện cho HS tạo tiền đề cho họ biết cách nắm bắt được tri thức, nhận thấy trước định hướng GQVĐ, giúp phát triển các NL tư duy toán học. Chính những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài là “Phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề xuất quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS và cách thức tổ chức các HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán ở trường THPT, góp phần nâng cao hiệu quả trong dạy và học môn Toán. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Đề tài có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi sau: 3.1. Thế nào là NL TGTH của HS? NL TGTH của HS có những đặc trưng gì trong học tập môn Toán? Phát hiện những NL nào là NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán? Quy trình tổ chức HĐNT cho HS trong dạy học Toán nói chung và việc dạy học Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở trường THPT ra sao? Những cơ hội nào để phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT? 3.2. Tình hình dạy học môn Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở trường THPT hiện nay như thế nào? 3.3. Quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT gồm các bước như thế nào? Cách thức tác động nhằm phát triển từng NL thành tố cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT ra sao? 3.4. Quy trình đã đề xuất và các cách thức phát triển từng NL thành tố của NL TGTH có tính khả thi và hiệu quả trong quá trình thực nghiệm sư phạm hay không? 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4.1. Đối tượng nghiên cứu: quá trình tổ chức dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT. 4.2. Phạm vi nghiên cứu: các nội dung dạy học trong chương trình Toán lớp 10, 11 ở trường THPT và quá trình tổ chức các HĐNT các nội dung đó cho HS trong dạy học Toán. 5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: Nếu đề xuất được quy trình tổ chức HĐNT và cách thức phát triển từng NL thành tố của NL TGTH cho HS phù hợp với thực tiễn dạy học Toán ở trường THPT thì giúp HS vừa lĩnh hội được những tri thức toán học một cách tích cực và sáng tạo hơn, vừa góp phần phát triển NL TGTH cho HS, đáp ứng yêu cầu đổi mới theo định hướng phát triển NL người học trong giai đoạn hiện nay. 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lí luận, Phương pháp quan sát, điều tra, Phương pháp chuyên gia, Phương pháp thực nghiệm sư phạm và phương pháp nghiên cứu trường hợp 7. NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 7.1. Về mặt lí luận - Làm sáng tỏ được các đặc trưng và các NL thành tố của NL TGTH của HS trong quá trình dạy học Toán ở trường THPT. - Đề xuất được quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT. - Đề xuất được các cách thức tổ chức HĐNT phát triển từng NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán ở trường THPT. 3 7.2. Về mặt thực tiễn - Đưa ra được quy trình để GV tiến hành tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học một số nội dung Toán ở trường THPT. - Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng chú trọng phát triển NL TGTH cho HS. 8. NHỮNG VẤN ĐỀ CẦN ĐƯA RA BẢO VỆ - Những đặc trưng của NL TGTH của HS và các NL thành tố của NL TGTH của HS trong học tập môn Toán ở trường THPT. - Quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong quá trình dạy học Toán ở trường THPT. - Cách thức tổ chức HĐNT theo hướng phát triển các NL thành tố của NL TGTH trong dạy học Toán ở trường THPT. 9. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Chương 1. Cơ sở lí luận. Chương 2. Thực trạng dạy học theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT. Chương 3. Tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT. Chương 4. Thực nghiệm sư phạm. Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề 1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề về trực giác, trực giác toán học 1.1.1.1. Vấn đề trực giác, trực giác toán học trên thế giới Trên thế giới, vấn đề về TG đã được nghiên cứu qua những công trình trong nhiều lĩnh vực: triết học, toán học, tâm lí học, giáo dục học,... Một số thuyết trực giác trên lĩnh vực triết học có các đại diện như Kant, Hilbert và Bernays, Husserl, Godel, Parsons, Brouwer, Bergson. Trong tâm lí học nhận thức, các nhà tâm lí đã cống hiến cho việc nghiên cứu tiến trình nhìn thấu được bên trong sự vật, sự hiểu biết ngay lập tức được sự vật, kinh nghiệm “à há” sau khoảng thời gian giải quyết vấn đề không thành công. Quan niệm về TG của các nhà toán học như Poincaré, Descartes, Hadamard, Koliagin, Kônmôgôrôp... và trong lĩnh vực giáo dục học với công trình vận dụng TG và TGTH vào quá trình dạy học của các tác giả như Tall và Vinner, Fischbein, Tieszen, Jagla, Hogarth, Giardino, Young Hoan Cho và Seo Yon Hong. 1.1.1.2. Vấn đề trực giác, trực giác toán học trong nước Tại Việt Nam, một số tác giả cũng đề cập đến khái niệm TG và TGTH trong các tài liệu về phát triển tư duy toán học, NL toán học như tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Văn Lộc, Phạm Gia Đức và Phạm Đức Quang, Trần Luận, Nguyễn Phú Lộc, Chu Cẩm Thơ. 1.1.1.3. Một số nhận định rút ra từ các kết quả nghiên cứu về TGTH trong và ngoài nước: Từ các tác phẩm và công trình nghiên cứu trên thế giới, chúng tôi nhận thấy vấn đề về TG và TGTH được nghiên cứu khá sâu sắc dưới góc độ khác nhau và đã có những vận dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực của Toán học và giáo dục Toán. Thế nhưng vai trò to lớn của TGTH, đặc trưng của TGTH trong dạy học Toán ở Việt Nam vẫn chưa được khai thác và chưa có những 4 công trình nghiên cứu hướng tới việc vận dụng TGTH vào trong thực tiễn dạy học. 1.1.2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề về tổ chức hoạt động nhận thức Vấn đề về dạy học một số nội dung toán ở trường THPT theo hướng tích cực hóa HĐ nhận thức đã được nghiên cứu qua các luận án tiến sĩ của các tác giả Phạm Minh Tiến, Nguyễn Mạnh Chung, Trần Trung; nghiên cứu về quy trình tổ chức HĐ nhận thức cho HS cũng được quan tâm trong dạy học toán qua tài liệu của tác giả Đào Tam và Trần Trung, tuy nhiên vẫn chưa có tài liệu nào nghiên cứu cụ thể về tổ chức HĐ nhận thức nhằm phát triển TGTH cho HS qua dạy học môn Toán ở trường THPT. 1.1.3. Các kết quả tiếp thu từ việc nghiên cứu tổng quan vấn đề Tóm lại, vấn đề phát triển TGTH trong dạy học toán ở Việt Nam còn chưa được khai thác, do đó chúng tôi tiếp thu các kết quả như sau: - Nghiên cứu về khái niệm TGTH, các yếu tố ảnh hưởng và liên quan đến sự hình thành, phát triển TGTH. - Nghiên cứu sự vận dụng TGTH trong quá trình dạy học. - Nghiên cứu quy trình tổ chức HĐ nhận thức cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT. Từ các kết quả đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu nhằm đề xuất khái niệm NL TGTH của HS và đưa ra một số biểu hiện của NL TGTH của HS trong học tập môn Toán, xác định một số NL thành tố của NL TGTH, từ đó hướng tới xây dựng quy trình tổ chức HĐ nhận thức cho HS nhằm phát triển NL TGTH qua dạy học Toán ở trường THPT. 1.2. Năng lực trực giác toán học của HS trong học tập Toán ở trường THPT 1.2.1. Trực giác, trực giác toán học 1.2.1.1. Quan niệm về trực giác: Tuy có nhiều quan niệm theo những phạm trù khác nhau, nhưng hầu hết khái niệm TG đều liên quan đến “nhận thức”, có hai đặc trưng “trực tiếp nắm bắt kiến thức một cách nhanh chóng” và “không cần đòi hỏi sự giải thích, lập luận rõ ràng”. Trong quá trình tìm hiểu và phân tích, chúng tôi lựa chọn cách tiếp cận khái niệm TG theo phạm trù nhận thức. Bởi vì, giữa nhận thức và tư duy có mối quan hệ hết sức chặt chẽ, nhận thức cũng gắn liền với HĐ nhằm đạt được hiệu quả trong việc giải quyết vấn đề tạo những tác động tích cực đến quá trình nhận thức của người học hướng tới việc tổ chức HĐNT phát triển NL cho HS trong quá trình dạy học ở phổ thông. Do đó, chúng tôi đã thừa nhận theo hướng tiếp cận xem TG như là nhận thức của con người và mang hai đặc trưng trên. Vì vậy, kế thừa theo quan niệm của tác giả Piaget, cách hiểu TG của chúng tôi là: “Trực giác là nhận thức trực tiếp nắm bắt sự vật, đối tượng một cách nhanh chóng mà không cần dựa trên phân tích và lập luận chứng minh rõ ràng”. 1.2.1.2. Phân loại trực giác + Theo Fischbein, căn cứ trên nguồn gốc xuất hiện TG phân thành: TG sơ cấp và TG nhị cấp. Còn căn cứ theo vai trò TG: TG khẳng định, TG suy đoán, TG lường trước và TG kết luận. Dựa trên mối quan hệ với các loại nhận thức: TG hoạt động và TG định hướng nội dung. + Theo Piaget, TG gồm TG kinh nghiệm và TG hoạt động. + Theo Bahm, TG chia thành TG khách quan, TG chủ quan và TG tổ chức. + Theo Baylor, phân loại TG gồm TG chưa chín muồi và TG chín muồi. 1.2.1.2. Trực giác toán học: Nếu hiểu TG, TGTH diễn ra trong tiềm thức, vô thức theo quan niệm của một số nhà toán học, nhà tâm lí học thì việc nghiên cứu rèn luyện cho HS khả 5 năng TGTH thật sự gặp nhiều khó khăn và không khả thi trong quá trình dạy học Toán. Hơn nữa, TGTH có những đặc trưng của TG và cũng chứa những đặc thù của Toán học. Do đó, chúng tôi thừa nhận tính chất “nhận thức trực tiếp” của TGTH được thực hiện qua “NL tư duy bằng các cấu trúc rút gọn”, không làm chi tiết hoặc bỏ qua một số khâu trung gian, gần như đưa ra được sản phẩm hay kết quả nhận thức dựa trên cơ sở “NL KQH các đối tượng, các quan hệ, các phép toán học”, đó là “quá trình quy nạp và hoàn toàn có ý thức” giống theo quan niệm của tác giả Krutexki. Với quan niệm này, TGTH hoàn toàn có thể nghiên cứu vào trong lĩnh vực giáo dục, hay nói cách khác hoàn toàn có thể đào tạo khả năng TGTH được cho HS trong quá trình dạy học Toán. Trên cơ sở phân tích đó, chúng tôi hiểu rằng “TGTH là nhận thức trực tiếp các đối tượng, các quan hệ toán học một cách nhanh chóng do có sự rút gọn quá trình lập luận hoặc không dựa trên sự phân tích, chứng minh đúng đắn rõ ràng”. 1.2.2. Tư duy trực giác trong dạy học Toán Theo tác giả Koliagin, TDTG là một trong những thành phần cơ bản của tư duy toán học trong đó “TDTG là phương pháp đặc biệt của nhận thức, đặc trưng bởi việc tìm ra chân lý một cách trực tiếp, liên quan đến TG đó là những hiện tượng như việc giải quyết vấn đề một cách bất ngờ, chớp nhoáng, không tuân thủ theo các yêu cầu logic, kết quả tìm được bằng phương pháp này rất nhanh chóng”. Nguyễn Văn Lộc cho rằng “TGTH là một yếu tố của một phương thức tư duy được gọi là TDTG, đó là tư duy dựa trên sự tri giác toàn bộ vấn đề ngay lập tức, có khả năng thực hiện dưới dạng biến đổi đột ngột, chuyển hóa nhanh, lược bỏ các khâu bộ phận”. Do đó, TDTG đặc trưng bởi sự thiếu vắng các bước lập luận rõ ràng, loại tư duy này đặc trưng bởi tri giác thu gọn một cách nhanh chóng, ngay lập tức, giúp cho chủ thể nhận thức có được kết luận trực tiếp về vấn đề, hoàn toàn bỏ qua khâu trung gian, đó là quá trình tư duy nhảy vọt, người có TDTG lập tức trả lời ngay cho câu hỏi, khả năng hình dung ra kết quả của một vấn đề hoàn toàn không có quá trình lập luận dài dòng. 1.2.3. Năng lực trực giác toán học của học sinh 1.2.3.1. Năng lực và năng lực của học sinh trong học tập môn Toán Chúng tôi thừa nhận rằng “NL là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân, bao gồm kiến thức, kĩ năng và thái độ, phù hợp với yêu cầu của một HĐ nhất định, đảm bảo cho HĐ đó có hiệu quả”. Từ đó chúng tôi cho rằng “NL của HS trong học tập môn Toán là khả năng huy động các kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và thái độ như sự hứng thú, niềm tin, ý chí, … của người học để thực hiện hiệu quả các HĐ trong quá trình học tập môn Toán”. 1.2.3.2. Năng lực tư duy và NL toán học của HS trong học tập Toán ở trường THPT Trước hết, “NL tư duy được xem là trình độ vận dụng HĐ trí tuệ, nó rất đa dạng trong việc sử dụng thông tin để đạt kết quả. NL tư duy bao gồm các yếu tố như GQVĐ, ra những quyết định, tư duy phê phán, phát triển lập luận và sử dụng các chứng cớ chứng minh cho lập luận của mình. NL tư duy là cốt lõi của nhiều HĐ trí tuệ”. Theo tác giả Krutexki “những NLTH được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm HĐ trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học”. 1.2.3.3. Năng lực trực giác toán học của HS trong học tập Toán ở trường THPT 6 Cho đến nay, trên thế giới và Việt Nam vẫn chưa có tài liệu nào đề cập đến khái niệm NL TGTH. Trên cơ sở phân tích về quan niệm TGTH và NLTH, NL TGTH của HS trong học tập môn Toán hiển nhiên cũng là một trong những thành phần của NLTH của HS, trong đó chứa đựng các yếu tố, đặc điểm tâm lí, khả năng TGTH của người học, gắn cụ thể hơn với việc dạy học môn toán, do đó chúng tôi quy NL TGTH của HS về NL tư duy của HS. “NL TGTH của HS là NL tư duy của chủ thể người học vận dụng được các HĐ trí tuệ nhằm nhận thức nhanh chóng những đặc điểm, thuộc tính bên trong của các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học mà chưa cần thực hiện quá trình phân tích, chứng minh rõ ràng trong những tình huống nhận thức cụ thể của quá trình học tập Toán”. NL TGTH xem như là sự kết hợp của nhiều NL tư duy toán học, là kết quả của quá trình HĐ trí tuệ một cách nhuần nhuyễn mà chưa cần dựa vào những lý giải rõ ràng hay trình tự nghiêm ngặt của quá trình suy diễn. Hơn nữa, NL TGTH cũng phụ thuộc vào quá trình tích lũy về hệ thống kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng cùng với thái độ, tình cảm và tố chất của mỗi cá nhân HS. Khi đối mặt cùng một vấn đề, đối với HS này khả năng TGTH có thể xảy ra một cách nhanh chóng nhưng HS khác lại diễn ra chậm hơn. Trong thực tiễn, chúng tôi nhận thấy khả năng TGTH của HS là tồn tại, hiển nhiên ở mức độ ít nhiều khác nhau tùy vào trình độ tích lũy kiến thức của mỗi cá nhân (đối với HS có trình độ, năng khiếu toán, HS chuyên, HS giỏi toán là thấy rõ ràng nhất, đối với HS trung bình, yếu thì trực giác ở mức độ trực quan, đơn giản hơn), kết quả trực giác của HS đôi khi là tốt hoặc chưa tốt, có khi lại là trực giác sai lầm. Do đó, trong quá trình dạy học, trên cơ sở phát hiện và khai thác những yếu tố liên quan đến trực giác cũng như các đặc trưng của NL TGTH thì thông qua quá trình rèn luyện cho HS trong dạy học Toán hoàn toàn có thể bồi dưỡng và phát triển NL TGTH cho các đối tượng HS. NL TGTH của HS có mối liên hệ chặt chẽ với các NL tư duy như suy đoán và tưởng tượng, liên tưởng, phán đoán và KQH như sau: a) Suy đoán và tưởng tượng: Theo Nguyễn Văn Lộc, “trong nghiên cứu hình học, TG hình học được hiểu là NL tưởng tượng như nhìn thấy các hình và những biến đổi của chúng”. NL TGTH được thể hiện qua NL tưởng tượng như nhìn thấy các hình và các tính chất của chúng, nhìn thấy được những biến đổi, quan hệ của giữa các đối tượng, NL hình dung ra được đường lối giải quyết vấn đề hay NL thấy được kết quả của bài toán. Trong dạy học toán, TGTH được thể hiện ở khả năng hình dung ra được kết quả biến đổi của các biểu thức trong trí óc bằng việc rút gọn một số bước biến đổi nào đó mà không cần thực hiện đầy đủ, chi tiết các bước biến đổi đó, khả năng hình dung ra được tri thức toán học đang xét với mô hình thực tế, khả năng hình dung ra được đường lối giải quyết trước khi tiến hành thực hiện. b) Liên tưởng: Liên tưởng có vai trò đặc biệt trong quá trình phát triển NL TGTH của HS do sự phát triển nhận thức của người học tùy thuộc vào sự tích lũy các mối liên tưởng và trình độ nhận thức phụ thuộc vào số lượng các mối liên tưởng và tốc độ hoạt hóa các liên tưởng đó. Vì vậy, liên tưởng là nền tảng để HS thực hiện được khả năng TGTH, nếu không có năng lực liên tưởng tốt thì sẽ không có TG, khả năng GQVĐ cũng hạn chế. Trong học tập Toán của HS, để việc huy động kiến thức có hiệu quả cũng như có cơ sở để tiến hành TGTH tốt thì phải có sự sàng lọc liên tưởng. Khi đó, HS cần có NL liên tưởng nhanh chóng với tốc độ và chất lượng của các liên tưởng ở mức độ nhuần nhuyễn, thành thạo mới tạo điều kiện cho TG tốt và chính xác. Việc 7 bồi dưỡng NL này góp phần phát triển, mở rộng kiến thức và bồi dưỡng phương thức khám phá cho HS, cần luyện tập cho HS HĐ chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác có tác dụng xuất hiện các ý tưởng, TG phát hiện tri thức mới. c) Phán đoán và khái quát hóa: TGTH là nhận thức trực tiếp đối tượng, quan hệ toán học trong quá trình nhận thức mà không cần thông qua những bước lập luận chi tiết rõ ràng, HS có thể đưa ra được những phán đoán về đối tượng, quan hệ toán học đó thông qua các NL tư duy như khái quát hóa (KQH), suy luận quy nạp mà chưa tiến hành các thao tác phân tích theo trình tự nghiêm ngặt của quá trình suy diễn, trong một số trường hợp chủ thể đưa ra được dự đoán về bản chất của đối tượng, phỏng đoán được kết quả của vấn đề. từ đó có thể đưa ra được chiến lược giải quyết để thực hiện nhiệm vụ học tập môn Toán. 1.2.4. Vai trò của trực giác toán học trong dạy học Toán TG đóng vai trò quyết định trong việc thực hiện những khám phá trong HĐ khoa học và trong giáo dục học. Khẳng định vai trò của TG trong dạy học, Wilder nhấn mạnh “TG đóng một vai trò nền tảng và không thể thiếu được trong nghiên cứu toán cũng như trong PPDH hiện đại” và cho rằng TG cung cấp nền tảng nhận thức định hướng cho những nghiên cứu mới và công cụ toán học của HS. Tác giả Burton nhận định “Nghiên cứu của nhà toán học đã cung cấp cho chúng ta những chỉ dẫn rõ ràng để định hướng tới một phương pháp sư phạm toán học một cách thú vị và bổ ích cho người học cũng như HĐ thực tiễn của học. Những chỉ dẫn này trước hết hướng tới giá trị và bồi dưỡng TG, và công nhận tầm quan trọng của việc kết nối, liên kết trong xây dựng ý nghĩa toán học”. Theo chúng tôi, vai trò của TGTH đối với việc tiếp cận hiện đại trong dạy học Toán gồm: Sử dụng TGTH như là cách thức để đưa ra các dự đoán hay phán đoán giả thuyết cho việc phát hiện vấn đề toán học; sử dụng TGTH để định hướng đường lối GQVĐ và sử dụng TGTH để làm rõ ý nghĩa của tri thức toán học. 1.2.5. Một số đặc trưng của năng lực trực giác toán học của học sinh trong quá trình học tập Toán ở trường trung học phổ thông 1.2.5.1. Đặc trưng 1: Đặc trưng của sự nhanh chóng nhận thức trực tiếp các đối tượng, quan hệ, vấn đề toán học: NL TGTH là NL tư duy đặc trưng bởi sự nhận thức trực tiếp các vấn đề toán học, giúp HS biết suy nghĩ nhanh về cách thức giải quyết vấn đề trong quá trình họ tiếp xúc với vấn đề. Do đó, HS có NL TGTH được biểu hiện ở chỗ người học có sự bừng sáng trong việc nhận thức ngay vấn đề hay GQVĐ ngay lập tức, có khả năng nhìn thấy ngay kết quả của vấn đề toán học dù khi mới đối diện với vấn đề. Biểu hiện NL TGTH này của HS được thể hiện nhờ người học có khả năng tưởng tượng, hình dung được vấn đề toán học, khả năng sử dụng liên tưởng một cách nhanh chóng từ đó đưa ra những phán đoán về chiến lược GVQĐ. 1.2.5.2. Đặc trưng 2: Đặc trưng bởi việc rút gọn quá trình lập luận hoặc không cần sử dụng các bước lập luận logic đầy đủ, rõ ràng: NL TGTH cho HS có thể thấy ngay kết luận trực tiếp, không cần thông qua lập luận dài dòng hoặc chỉ cần tiến hành vài bước suy luận ngắn gọn. Đó là biểu hiện của quá trình “tư duy rút gọn” giúp HS đưa ra định hướng giải quyết được vấn đề toán học, giúp họ hình dung ra kết quả của một vấn đề hoàn toàn ngắn gọn mà không cần thông qua các bước nghiêm ngặt của quá trình suy diễn, nhờ các bước trung gian trong quá trình lập luận đã được lược bỏ, rút gọn. Trong một số trường hợp việc nhìn thấy được kết quả của vấn đề có thể HS không giải thích được. Do đó, kết quả của TG của HS đưa ra có thể là đúng 8 hoặc sai, nên cần phải sử dụng suy diễn để kiểm nghiệm lại. 1.2.5.3. Đặc trưng 3: Đặc trưng của khả năng hoạt hóa các liên tưởng và huy động kiến thức linh hoạt nhờ quá trình tích lũy, suy ngẫm trong quan sát, GQVĐ đã có trước đó: NL TGTH của HS biểu hiện qua khả năng liên tưởng, KQH nhanh chóng các đối tượng, quan hệ toán học, khả năng HS nắm bắt ngay được vấn đề là do trình độ tích lũy và huy động kiến thức ở mức cao, nhuần nhuyễn và sâu sắc với việc hiểu được ý nghĩa bản chất của tri thức trong quá trình nhận thức toán học. Biểu hiện này của HS còn thể hiện ở sự tư duy linh hoạt, tốc độ hoạt hóa các liên tưởng có thể nhanh chóng chuyển hướng tư duy này sang hướng tư duy khác trong quá trình GQVĐ không hiệu quả, biểu hiện tính ứng biến cao khi biết tìm cách giải quyết vấn đề một cách linh hoạt trong bối cảnh mới của vấn đề. 1.2.5.4. Đặc trưng 4: Đặc trưng của sự sáng tạo, đột phá trong việc đưa ra ý tưởng, chiến lược giải quyết vấn đề: NL TGTH cũng được đặc trưng bởi tính chất của tư duy sáng tạo, đó là sự lóe sáng những ý tưởng mới mang tính đột phá trong điều kiện tình huống mới không quen thuộc đang đối mặt với HS, khả năng người học có thể đưa ra những giải pháp mới vượt qua những quy trình khuôn khổ đã biết trong quá trình học tập môn toán. Cụ thể, đó là khả năng người học thấy được việc chuyển các kiến thức và phương pháp đã biết vào tình huống mới, khả năng nhìn thấy được ngay vấn đề toán học trong tình huống không quen thuộc. 1.2.6. Các thành tố của năng lực trực giác toán học của học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 1.2.6.1. Năng lực liên tưởng và hình dung được vấn đề: Trong dạy học môn Toán, khi tiếp xúc với vấn đề phức tạp, trừu tượng, quá trình nhận thức của HS diễn ra dễ dàng hơn nếu họ có thể liên tưởng đến những vấn đề đã biết (vấn đề tương tự hay đối lập, quan hệ nhân quả) có liên quan đến nó và hình dung ra được việc sử dụng hình ảnh trực quan để thấu hiểu vấn đề phức tạp hay thấy được mô hình cụ thể biểu diễn làm cho vấn đề đó trở nên đơn giản, gần gũi hơn để có thể nắm bắt được vấn đề hay cách thức giải quyết của vấn đề. Do đó, NL liên tưởng và hình dung được vấn đề được hiểu như là chủ thể HS có khả năng liên hệ những kiến thức quen thuộc liên quan đến vấn đề, kết nối được các đối tượng, quan hệ toán học với nhau trong những tình huống nhận thức cụ thể, đồng thời có khả năng hình dung được trong đầu về không gian vấn đề, để chủ thể có thể nắm bắt hay giải quyết được vấn đề toán học đang xem xét. 1.2.6.2. Năng lực khái quát hóa nhanh chóng: TGTH là nhận thức trực tiếp các yếu tố, đối tượng toán học, xem như là sự bừng sáng đột ngột, có thể là kết quả của sự vận động các cách thức hành động khái quát và các cấu trúc rút gọn. Theo V. A. Krutexki “Trong nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của HS có NL có thể được giải thích bởi sự ảnh hưởng vô thức của kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng là NL KQH các đối tượng, các quan hệ, các phép toán học và NL tư duy bằng các cấu trúc rút gọn”. Bởi TGTH là sự nhận thức nắm bắt các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học một cách nhanh chóng do xảy ra sự giản lược, rút gọn các bước lập luận phân tích trong quá trình lĩnh hội của chủ thể nhận thức trên cơ sở NL KQH các đối tượng, quan hệ và vấn đề toán học đó. Do đó muốn hình thành NL TGTH cho HS cần luyện tập NL KQH một cách nhanh chóng để có thể giúp họ thấy được bản chất, quy luật của vấn đề toán học hay thấy được ngay chiến lược giải một bài toán. 1.2.6.3. Năng lực phán đoán và đưa ra quyết định: Trong dạy học Toán, NL phán đoán và đưa ra quyết định có liên quan trực tiếp tới khả năng TGTH của HS. Việc HS có thể nắm 9 bắt ngay được chiến lược, giải pháp giải quyết của vấn đề, hay nhận thức nhanh chóng các đối tượng, quan hệ toán học thể hiện qua việc HS có khả năng đưa ra những phán đoán cho vấn đề đang xem xét (có thể cảm nhận ngay ban đầu khi mới tiếp cận vấn đề, hoặc đưa ra phán đoán sau khi thực hiện các liên tưởng, suy luận nhanh chóng). Dựa trên những dự đoán đó, HS hình dung và lựa chọn phán đoán thích hợp từ đó có những quyết định cho việc GQVĐ. Việc đề xuất ngay những phán đoán khi cảm nhận ngay về vấn đề là cách thức cần thiết và quan trọng đối với người học để tiến hành TGTH trong giải quyết các vấn đề không quen thuộc mà HS chưa biết phương pháp giải trước đó. Vì vậy, GV cần hướng dẫn cho HS cách suy đoán, tiến hành dự đoán, suy luận nhanh cách biến đổi bài toán, thấy trước con đường đi và các bước biến đổi của các biểu thức, trước khi bắt tay vào thực hiện chi tiết. 1.2.6.4. Năng lực rút gọn quá trình lập luận: Theo Krutexki, “trong một số trường hợp đơn giản cấu trúc lập luận ở HS có năng khiếu về toán được rút gọn tới mức hầu như hình thành mối liên hệ trực tiếp giữa việc tri giác bài toán và kết quả”. Bên ngoài hiện tượng này có vẻ như là “thiếu lập luận”, “thiếu tư duy” song ngược lại đó chính là mức độ cao của quá trình tư duy, trong lập luận rút gọn các khâu cần thiết là không thiếu chỉ là được rút gọn mà thôi. NL rút gọn quá trình lập luận giúp HS hình dung ra được đường lối GQVĐ mới hay thấy được kết quả bài toán bằng suy diễn rút ngắn sau khi nhận thức nhanh chóng các khâu liên tiếp của quá trình lập luận. 1.3. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học Toán 1.3.1. Hoạt động nhận thức toán học: Theo Đào Tam và Trần Trung, “HĐNT toán học là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó: Xác định được mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên cứu (khái niệm; quan hệ; quy luật toán học;...); từ đó vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn”. 1.3.2. Đặc trưng của hoạt động nhận thức toán học - Tư duy điều khiển HĐNT toán học của HS. - Các loại hình logic điều chỉnh HĐNT. - Sử dụng các dạng suy luận trong HĐNT toán học. - Quan tâm tới đặc thù của HĐNT toán học trong dạy học Toán. - Đề cao vai trò tự giác, tích cực và độc lập nhận thức của người học dưới vai trò tổ chức, định hướng của người dạy. 1.3.3. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học Toán: Tổ chức HĐNT trong dạy học Toán là quá trình GV tìm tòi, chọn lọc cách thức, phương pháp sư phạm hướng dẫn cho HS tư duy dẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó, từ đó vận dụng được tri thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn. 1.4. Cơ hội phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông 1.4.1. Những lí thuyết chỉ đạo việc dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực trực giác toán học của học sinh ở trường trung học phổ thông: như Thuyết Trực giác của H. Bergson, Thuyết trực giác trong Toán học của Brouwer, Thuyết đa trí tuệ của H. Gardner và Theo quan điểm vùng phát triển của L. Vygotsky. 1.4.2. Một số ý tưởng dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh ở trường trung học phổ thông 10 Để tổ chức HĐ nhằm phát huy những đặc trưng của TGTH cho HS qua dạy học Toán, chúng tôi nhấn mạnh vai trò của GV trong việc tạo sự hứng thú, khơi gợi động cơ học tập và khai thác các tình huống học tập. Ngoài việc lựa chọn, khai thác, thiết kế những nội dung dạy học phù hợp với những tình huống dạy học có vấn đề, tình huống không quen thuộc để tổ chức các HĐNT cho HS, GV cần chú trọng một số ý tưởng dạy học Toán theo hướng phát triển NL TGTH cho HS ở THPT như sau: (1) Tạo những tình huống học tập thích hợp cho HS thực hiện nhiệm vụ nhận thức: Thông qua gợi động cơ HĐ, GV cần tạo ra những tình huống học tập chứa đựng khó khăn, chướng ngại mà đối với những kiến thức, kinh nghiệm đã có của HS không còn tương thích, để giải quyết trong hoàn cảnh mới nhằm tạo nhu cầu nhận thức cho HS. Trong quá trình dạy học, GV thiết kế, tổ chức HĐ trong môi trường học tập hứng thú, tự do, quan hệ cởi mở giữa GV và HS, HS có cơ hội được HĐ, thể hiện tố chất, thái độ và NL của bản thân. (2) Tạo cơ hội cho HS hình dung, suy nghĩ nhanh, đưa ra nhiều phán đoán về vấn đề trước khi bắt tay vào việc thực hiện: Trong quá trình dạy học, HS được tìm tòi, phát hiện vấn đề, phán đoán về cách GQVĐ thông qua các nhiệm vụ yêu cầu HS phát biểu, mô tả về cảm nhận ngay vấn đề, phát hiện giải pháp có thể để GQVĐ trước khi tiến hành thực hiện những bước làm cụ thể trên giấy. GV cần khơi gợi HS đưa ra nhiều giải pháp, những khía cạnh khác nhau của vấn đề, tìm kiếm những ý tưởng mới, đột phá và sáng tạo từ người học. Đôi khi GV phải động viên, chấp nhận những ý tưởng ngây thơ, những giải pháp sai lầm của HS. (3) Chú trọng phát triển cho HS các NL tư duy tiền logic trong dạy học Toán: Thông qua các tình huống học tập, GV chú trọng sử dụng các HĐ trí tuệ, các NL tư duy như tưởng tượng, liên tưởng, KQH, suy luận quy nạp. Các NL này tạo tiền đề cho HS biết hình dung và đưa ra phán đoán, phát hiện vấn đề góp phần phát triển TD TGTH cho HS. (4) Hình thành cho HS thói quen nắm bắt bản chất của vấn đề, đường lối của giải pháp, bỏ qua những bước lập luận dài dòng, chi tiết: Trong quá trình giải toán, GV cần luyện tập cho HS hình dung vấn đề hay giải pháp trong đầu óc, suy nghĩ, biến đổi nhanh chóng vấn đề thông qua rút gọn quá trình lập luận, lược bỏ những khâu trung gian. Tạo thói quen cho HS trình bày sơ đồ tư duy, biết mô tả cấu trúc để giúp HS thấy được toàn cảnh của giải pháp GQVĐ, khắc sâu mặt ý nghĩa nắm được bản chất của vấn đề, đồng thời bỏ qua bớt những khâu tính toán chi tiết, lập luận dài dòng hướng tới rèn luyện cho HS tư duy rút gọn. (5) Nhấn mạnh HĐ suy đoán của trực giác cần thực hiện trước các HĐ của suy diễn trong học tập môn Toán: GV cần nhấn mạnh các HĐ đặc trưng của TGTH được tiến hành trước trong tiến trình GQVĐ của HS. Trong đó TGTH được xem là mục đích được tiến hành trước để định hướng chiến lược GQVĐ, còn lập luận logic và suy diễn như là phương tiện được tiến hành sau đó để kiểm nghiệm lại kết quả suy ra từ TG mà thôi. 1.4.3. Cơ hội phát triển năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT: Trong học tập môn Toán, những nội dung và HĐ học tập cơ bản của HS được liên kết với nhau cùng hướng vào hình thành các NL. NL TGTH của HS trong dạy học Toán được thể hiện ở khả năng liên kết nội dung kiến thức môn Toán thông qua HĐ học tập để hình dung được vấn đề, nắm bắt được vấn đề, phán đoán được cách GQVĐ, tình huống vận dụng kiến thức toán học. Từ yêu cầu trên, chúng tôi nhận thấy các đặc điểm sau cần xem xét để tìm kiếm những cơ hội phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán: 11 - Cơ hội phát triển NL thành tố của NL TGTH như NL KQH nhanh chóng, NL phán đoán và đưa ra quyết định được thể hiện thông qua việc tổ chức cho HS xem xét những sự kiện riêng lẻ, cụ thể trong những tình huống nhận thức có vấn đề, biết cách khái quát vấn đề từ các trường hợp riêng lẻ, biết cách khái quát từ cái tổng quát đã biết đến cái tổng quát chưa biết; có khả năng phán đoán, phát hiện các quy luật chung của các sự kiện trong học tập nội dung toán, có khả năng đưa ra những định hướng GQVĐ, đưa ra các giả thuyết, dự đoán cho vấn đề toán học, từ đó lựa chọn quyết định phù hợp về chiến lược GQVĐ. - Cơ hội phát triển NL liên tưởng và hình dung được vấn đề thể hiện thông qua việc HS có khả năng hình dung, liên hệ vấn đề toán học với những kiến thức và kinh nghiệm đã có, biết kết nối và hình dung được hình ảnh trực quan hay phát hiện được mô hình tương thích của vấn đề toán học trừu tượng, những tình huống mà yêu cầu người học phải phát hiện ra kiến thức, giải pháp liên hệ với vấn đề mới, khả năng tưởng tượng thấy được các hình và các tính chất của chúng, hình dung ra được đường lối GQVĐ khi đối mặt với các tình huống mới. - Cơ hội phát triển NL thành tố khác của NL TGTH như NL rút gọn quá trình lập luận thể hiện khi HS biết suy luận, ước lượng nhanh chóng, có khả năng lập luận ngắn gọn cách biến đổi bài toán, khả năng lược bỏ, rút bớt những bước lập luận trung gian trong quá trình GQVĐ, hình dung được sơ đồ suy luận thấy được đường lối GQVĐ. Chương 2 THỰC TRẠNG DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1. Mục đích và đối tượng khảo sát 2.1.1. Mục đích khảo sát - Tìm hiểu sự hiểu biết GV toán ở trường THPT về khái niệm và HĐ liên quan tới TGTH, các NL thành tố của NL TGTH; mức độ quan tâm và vận dụng các HĐ liên quan TG trong quá trình dạy học toán ở trường THPT. - Tìm hiểu khả năng sử dụng TGTH của HS trong học tập toán ở trường THPT. - Có thể phát hiện ra những loại HĐ hoặc NL nào khác thể hiện là NL thành tố của NL TGTH trong quá trình dạy học toán ở trường THPT. - Tìm hiểu và phân tích những thuận lợi và khó khăn, sai lầm của GV trong quá trình dạy học cho HS tiếp cận kiến thức theo hướng phát triển NL TGTH. 2.1.2. Đối tượng khảo sát: 98 GV toán và 142 HS lớp 10 tại một số trường THPT. 2.2. Nội dung khảo sát và tổ chức khảo sát 2.2.1. Nội dung khảo sát - Qua quan sát, phỏng vấn: Dự giờ GV một số tiết dạy toán ở trường THPT. - Qua phiếu điều tra GV: thiết kế phiếu điều tra dành cho GV. - Qua phiếu điều tra HS: thiết kế phiếu bài tập toán dành cho HS lớp 10. 2.2.2. Tổ chức khảo sát - Thiết kế phiếu khảo sát với đối tượng là GV toán THPT. - Thiết kế phiếu câu hỏi bài tập dành cho HS lớp 10. - Thời gian khảo sát và dự giờ từ 10/4/2017 đến 12/5/2017. - Tiến hành khảo sát 98 GV toán và 142 HS lớp 10 tại một số trường THPT. 12 - Thu thập các phiếu điều tra, tổng hợp và phân tích số liệu. - Tiến hành đánh giá về mặt định tính và định lượng. Rút ra những kết luận ban đầu về việc phát triển NL TGTH của GV và HS sau quá trình khảo sát. 2.3. Phân tích kết quả khảo sát 2.3.1. Kết quả khảo sát: Dự giờ GV, Phiếu điều tra GV và phiếu câu hỏi bài tập của HS. 2.3.2. Phân tích kết quả khảo sát  Ưu điểm: Đa số GV có kinh nghiệm giảng dạy trên 10 năm, có trình độ chuyên môn sau đại học nên việc tiếp cận các hướng nghiên cứu mới. GV có ý tưởng bài dạy khá hay, có kĩ năng diễn đạt vấn đề, đặt câu hỏi tốt, tổ chức lớp và tương tác với HS nhiều.  Hạn chế: GV vẫn còn nặng về lối truyền thống. GV thường trình bày kiến thức toán học mà chưa chú trọng giải thích ý nghĩa của các kiến thức để HS hiểu rõ bản chất của kiến thức toán học. GV chưa đòi hỏi, kích thích HS tự tìm tòi lời giải, cách thức GQVĐ mà thường cung cấp ngay phương pháp giải, chỉ rõ quy trình từng bước áp dụng đối với các dạng toán mới. Nhiều bài tập chỉ đòi hỏi áp dụng theo công thức, kĩ năng tính toán và vận dụng. Còn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyện quan sát trực quan, dự đoán phát hiện, kĩ năng suy luận nhanh gọn, chưa khai thác triệt để những tình huống có thể phát triển NL TGTH cho HS.  Nguyên nhân: Đối với GV: GV còn ảnh hưởng lối dạy học truyền thống, thường có tâm lí dạy học trong thời gian ngắn cần truyền đạt nhiều kiến thức với khối lượng vượt hoặc như theo qui định. Đặc biệt trong dạy học giải bài tập, GV tập trung vào cho HS giải nhiều bài tập vận dụng quy trình Việc lựa chọn nội dung để phát triển các NL tư duy tiền logic, đặc biệt trực giác, tưởng tượng là vấn đề khó khăn và chưa được GV quan tâm đúng mức. - Đối với HS: Trình độ HS khảo sát ở mức trung bình khá, còn thụ động, ngại khác biệt khi không theo khuôn khổ đã có trước, sợ mắc phải sai lầm. Thói quen học tập khi cần GQVĐ luôn mong chờ, ỷ lại được GV cung cấp phương pháp giải khi đối mặt với bài toán mới, chưa quen thuộc. Đa số HS còn suy nghĩ rập khuôn mà ít khi hiểu ý nghĩa của kiến thức. - Về tài liệu dạy học: Tài liệu về TGTH và sự vận dụng vào quá trình dạy học chưa nhiều, chưa có những công trình nghiên cứu đưa ra cách thức thực hiện cụ thể, những kỹ thuật dạy học phát triển NL TGTH cho HS trong những tình huống dạy học ở trường THPT. Chương 3 TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRỰC GIÁC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 3.1. Định hướng tổ chức hoạt động nhận thức phát triển cho học sinh năng lực trực giác toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông: định hướng nội dung dạy học, phương pháp dạy học, định hướng đối với người dạy và người học. 3.2. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức phát triển NLTGTH cho HS trong dạy học toán ở trường THPT 3.2.1. Cơ sở khoa học đề xuất cách thức tổ chức hoạt động nhận thức cho HS Trên cơ sở triết học, mâu thuẫn là nguồn gốc của sự vận động và phát triển. Việc phát hiện các mâu thuẫn là nguồn gốc của HĐNT tìm tòi tri thức mới của HS. HĐNT nói chung, toán học nói riêng được bắt nguồn từ việc phát hiện các mâu thuẫn để từ đó tạo động lực cho HĐ giải quyết các mâu thuẫn. Các mâu thuẫn trong dạy học Toán này làm nảy sinh các nhiệm 13 vụ nhận thức, các đối tượng của HĐ và tư duy thúc đẩy HĐNT của người học. Trên cơ sở lý thuyết phát triển nhận thức của Piaget và Vygotxky, dạy học thông qua việc tổ chức cho HS HĐ tự chủ chiếm lĩnh kiến thức. Vận dụng vào quá trình dạy học, việc học tập của HS có bản chất HĐ: Bằng HĐ và thông qua HĐ của bản thân người học mà chiếm lĩnh kiến thức, hình thành và phát triển năng lực trí tuệ cũng như đạo đức, thái độ. Căn cứ vào những định hướng đổi mới theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán. 3.2.2. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức phát triển NLTGTH cho HS trong dạy học toán ở trường THPT: gồm năm bước: (1) Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị cho HS, (2) Tổ chức cho HS tiến hành HĐ trực giác hình dung được vấn đề, phán đoán về cách GQVĐ, (3) Sử dụng suy diễn để kiểm nghiệm kết quả có được từ TG, (4) Rút ra kết luận về tri thức mới, (5) Lựa chọn tình huống mới nhằm củng cố và vận dụng tri thức, thể hiện qua sơ đồ sau: HĐ tổ chức của GV Quy trình tổ chức HĐNT phát triển NL TGTH HĐ NT của HS Xác định mục tiêu, lựa chọn tình huống, gợi động cơ học tập Bước 1 Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức cần trang bị Xác định không gian vấn đề, liên tưởng và huy động kiến thức Xác định khó khăn của HS Lựa chọn PPDH phù hợp Tổ chức các HĐ trí tuệ Hướng dẫn sử dụng các thao tác chứng minh Thể chế hóa kiến thức/ khẳng định về tri thức mới Đánh giá việc vận dụng tri thức mới của HS Bước 2 Tổ chức việc hình dung vấn đề, phán đoán về cách GQVĐ Bước 3 Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả trực giác Bước 4 Rút ra kết luận về tri thức mới Bước 5 Lựa chọn tình huống mới củng cố và vận dụng tri thức Tiến hành các HĐ trí tuệ, HĐ trực giác Phát biểu vấn đề, mô tả đường lối giải quyết Chứng minh, giải thích vấn đề Thất bại Thực hiện giải pháp GQVĐ Hình thành tri thức mới, cách thức GQVĐ Vận dụng tri thức, cách thức GQVĐ vào tình huống mới 3.3. Một số cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển các năng lực thành tố của năng lực trực giác toán học cho học sinh trong dạy học Toán ở trường THPT 3.3.1. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực liên tưởng và hình 14 dung được vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 3.3.1.1. Mục đích tổ chức: Việc tổ chức các HĐ bồi dưỡng NL liên tưởng và hình dung được vấn đề trong dạy học Toán nhằm xây dựng được nền tảng vững chắc, cách thức liên tưởng và hình dung về một vấn đề để tạo cơ hội phát hiện nhiều ý tưởng mới giúp TG xảy ra khi người học đối mặt với một vấn đề đang xem xét cụ thể. Việc luyện tập cho HS NL liên tưởng và hình dung được vấn đề một cách hiệu quả giúp cho HS có thể hình dung trước sơ bộ về kết quả của vấn đề hay cách GQVĐ nhờ tiến hành suy nghĩ nhanh chóng vấn đề đang xem xét. 3.3.1.2. Một số cách thức rèn luyện NL liên tưởng và hình dung được vấn đề cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT: GV cần chú trọng các HĐ chủ yếu như sau: - Khai thác các tính chất, đối tượng tương tự giữa tri thức toán học giúp cho HS nhận ra nhanh chóng các liên tưởng và hình dung được vấn đề. - Luyện tập cho HS thực hiện chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác giúp HS xuất hiện các ý tưởng, phát hiện tri thức mới. - Sử dụng các tình huống học tập tạo cho HS hình dung trong đầu các hình và các tính chất của chúng, nhìn thấy được những biến đổi, những quan hệ của giữa các đối tượng toán học, phát triển trí tưởng tượng không gian. - Khai thác mối liên hệ nhân quả của tri thức toán học, mối liên hệ giữa các tri thức toán học giúp HS hình dung ra được đường lối giải quyết, lược đồ giải, sơ đồ tư duy của vấn đề hình học trước khi tiến hành thực hiện. - Xây dựng các tình huống chứa các hình ảnh trực quan cho trước hỗ trợ HS trực giác phát hiện bản chất vấn đề hay hình dung được cách thức giải quyết một vấn đề toán học. - Xây dựng các tình huống giúp HS hình dung được hình ảnh trực quan, mô hình của vấn đề từ đó phát hiện đường lối giải quyết vấn đề toán học. 3.3.1.3. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 3.4. Giải bài toán sau: “Cho các điểm A(-1; 2; 3), B(3; 0; -1), C(1; 4; 7) và (P): x – 2y  2z  6  0 . Tìm tọa độ M thuộc (P) sao cho biểu thức T  MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất”. 1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị cho HS: Bài toán yêu cầu xác định tọa độ điểm trên một mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước, là bài toán khá quen thuộc nhưng khó khăn ở chổ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khá phức tạp. 2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng, phán đoán về cách giải quyết vấn đề + HS có thể hình dung được vị trí của M trên mặt phẳng (P) tương đối gần A, B, C sao cho biểu thức T nhỏ, vì khi điểm M trên (P) dần đi ra xa các điểm A, B, C thì khoảng cách từ M đến các điểm đó càng dài, do đó biểu thức T càng lớn. + Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC hoàn toàn xác định. Quan sát biểu thức đã cho HS có thể liên tưởng đến MA  MB  MC  3MG , với mọi điểm M, do đó phải biến đổi biểu thức qua trọng tâm G quy về biểu thức đơn giản hơn xác định được điểm M. + HS liên tưởng cách giải bài toán “Cho A không thuộc mặt phẳng (P). Tìm điểm M trên (P) sao cho MA2 nhỏ nhất”: M trên (P) sao cho MA nhỏ nhất  M là hình chiếu của A lên (P). + HS trực giác phát hiện được kết quả bài toán là điểm M cần tìm là hình chiếu của trọng tâm G của tam giác ABC lên mặt phẳng (P). 15 3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả đề ra từ trực giác Ta có G(1;2;3) là trọng tâm ABC nên T  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2 . Do đó T đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng (P). Xác định được tọa độ của điểm M  0; 4;1 suy ra MG  d(G,(P ))  3 khi đó Tmin  3.32  48  75 . 4) Bước 4: Rút ra kết luận về tri thức mới và vận dụng: HS hình thành tri thức phương pháp qua việc liên tưởng quy lạ về quen. GV tập luyện cho HS khả năng liên tưởng giúp HS có thể nhìn bài toán dưới nhiều góc độ về hướng giải bài toán, khả năng phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu bằng cách liên tưởng đối tượng này sang đối tượng khác. 3.3.2. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực phán đoán và đưa ra quyết định cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 3.3.2.1. Mục đích tổ chức: NL phán đoán và đưa ra quyết định là một thành tố liên quan trực tiếp đến việc phát triển NL TGTH, bởi khi đứng trước vấn đề, HS có nắm bắt được vấn đề, đối tượng, quan hệ toán học ngay lập tức hay không thể hiện ở HS nhanh chóng đưa ra những phán đoán về đối tượng, quan hệ toán học. Do đó, việc tổ chức HĐNT phát triển NL này nhằm giúp HS biết đưa ra được những dự đoán về vấn đề toán học, phán đoán được ngay được đường lối giải quyết, kết quả của bài toán, từ đó lựa chọn những quyết định phù hợp cho việc hiểu và nắm bắt được vấn đề, cách thức GQVĐ. Hiệu quả của việc rèn luyện NL này giúp HS biểu hiện được sự nhanh chóng nhận thức vấn đề, khả năng liên tưởng và sáng tạo trong GQVĐ. 3.3.2.2. Một số cách thức rèn luyện NL phán đoán và đưa ra quyết định cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT: GV có thể chú trọng tổ chức thông qua các HĐ sau: - Sử dụng các tình huống cho HS tiến hành các HĐ trí tuệ như so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa để HS phán đoán giả thuyết và đưa ra quyết định cho việc phát hiện vấn đề hay GQVĐ một cách nhanh chóng. - Tổ chức các tình huống giúp HS sử dụng các loại suy luận như suy luận quy nạp, suy luận có lí để phán đoán giả thuyết, cách thức GQVĐ và đưa ra quyết định phù hợp. - Sử dụng các tình huống trực quan cho HS đưa ra phán đoán về cách thức GQVĐ nhờ kết nối giữa hình ảnh trực quan và bản chất của vấn đề. - Tạo cơ hội cho HS sử dụng ngắn gọn những lập luận có căn cứ nhanh chóng đưa ra các phán đoán và lựa chọn quyết định hiệu quả. 3.3.2.3. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 3.7. GV tổ chức HĐNT phát triển NL phán đoán và đưa ra quyết định cho HS qua: Giải phương trình: x  2  4  x  x  6x  11 . 1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị: Rõ ràng không thể dùng các phép biến đổi tương đương để giải phương trình trên vì sẽ làm tăng bậc một cách đáng kể, khi đó vấn đề trở nên phức tạp hơn. 2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng, phán đoán về cách giải quyết vấn đề 2 - HS phán đoán và đưa ra quyết định cho việc lựa chọn cách thức GQVĐ. + Phán đoán 1: HS có nhận xét vế phải luôn lớn hơn hoặc bằng 2. Từ đó HS đưa ra phán đoán cần đánh giá được hai vế của phương trình. Khả năng tìm x  2  4  x  k , với k  bằng sử dụng BĐT Bunhiacôpxki. 16 + Phán đoán 2: Quan sát các biểu thức trong căn thức trong vế trái ta nhận thấy tích của chúng có liên quan đến biểu thức của vế phải. Do đó, HS có thể đưa ra phán đoán sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Khả năng đặt ẩn phụ đưa việc giải phương trình ẩn cũ về giải hệ phương trình mới dạng đối xứng có thể giải quyết được. - HS trực giác phát hiện đường lối giải quyết vấn đề: + Đối với phán đoán 1: Nhận thấy VP  x 2  6x  11  (x  3)2  2  2 . HS có thể trực giác phát hiện vế trái là tổng của hai căn thức có hai biểu thức chứa x  2  4  x làm HS có thể liên tưởng đến BĐT Bunhiacôpxki. Do đó vế trái của phương trình luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2. + Đối với phán đoán 2: Trực giác đặt ẩn phụ Đặt u  x  2, v  4  x , u, v  0 . Khi đó giải hệ phương trình ẩn u, v . 3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả đề ra từ trực giác + Đối với phán đoán 1: Điều kiện của phương trình 2  x  4 . Ta có VP  (x  3)2  2  2 (1). Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:  1. x  2  1. 4  x   1  1  x  2  4  x   4  VT  2 2 2 x  2  4  x  2 (2).  x  3 Từ (1) và (2) dấu “=” xảy ra khi   x  3.  2  4  x x   + Đối với phán đoán 2: Đặt u  x  2, v  4  x , u, v  0 . Khi đó phương trình u 2  v 2  2 tương đương với hệ sau  (I) với u  0, v  0 . Đặt S  u  v, P  uv 2 2 3 u v u v      Được hệ phương trình mới theo S , P . Ta có (P  1)(P 3  P 2  5P  7)  0 . Hệ (I) có nghiệm u  1, v  1 . Vậy phương trình có nghiệm x  3. 4) Bước 4: Rút ra kết luận về tri thức và vận dụng vào tình huống mới HS hình thành tri thức phương pháp đánh giá hai vế của phương trình f (x )  g(x ) . 3.3.3. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực khái quát hóa nhanh chóng cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 3.3.3.1. Mục đích tổ chức: Tổ chức các HĐNT phát triển NL KQH một cách nhanh chóng giúp HS thấy được bản chất vấn đề toán học, giải thích được vấn đề dưới ngôn ngữ khác, thể hiện được khả năng hiểu biết sâu sắc vấn đề, phát hiện cái mới, cái tổng quát với ý tưởng mới cho vấn đề cũng như phát hiện đường lối GQVĐ tổng quát trong những tình huống riêng lẻ khác nhau. Tổ chức HĐNT phát triển NL KQH hướng tới việc HS đạt được sự nhanh chóng nhận thức vấn đề, khả năng liên tưởng và khả năng sáng tạo trong GQVĐ. 3.3.3.2. Một số cách thức rèn luyện NL KQH nhanh chóng cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT: GV quan tâm sử dụng những tình huống như sau: - Tạo các tình huống xuất phát từ các trường hợp cụ thể, các sự kiện riêng lẻ của đối tượng toán học để HS nhanh chóng tiến hành KQH vấn đề. 17 - Xây dựng các tình huống sử dụng suy luận quy nạp để HS phát hiện quy luật, bản chất toán học của vấn đề. - Chú trọng việc nắm bắt được bản chất của vấn đề, hình dung được yếu tố cốt lõi trong các vấn đề thông qua HS hiểu sâu sắc kiến thức, nắm được ý nghĩa của vấn đề tạo nền tảng cho tiến hành HĐ KQH được nhanh chóng, hiệu quả. - Tổ chức các tình huống giúp HS phát hiện được nội dung, ý nghĩa của tri thức phù hợp với hình thức đã cho, nhằm tạo cân đối hài hòa giữa cú pháp và ngữ nghĩa của tri thức toán học trong dạy học Toán. 3.3.3.3. Ví dụ minh họa: Ví dụ 3.9. Giải bài tập “Về phía ngoài tam giác nhọn ABC dựng các tam giác vuông cân ABM , BCN ,CAP sao cho AB  AM , NB  NC , AC  AP . Chứng minh AN , BP,CM bằng nhau”, nhận xét đưa ra bài toán mới. 1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị: bài toán gây khó khăn cho HS khi không biết lựa chọn phép biến hình thích hợp để giải. 2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng, phán đoán về cách giải quyết vấn đề - Xác định yếu tố đặc trưng của bài toán để có thể sử dụng phép dời hình vào giải bài toán: việc dựng các tam giác vuông cân giúp liên hệ đến phép dời hình thích hợp nào? - Hoạt động giải bài toán trên: HĐ nắm bắt được bản chất của vấn đề, hình dung được yếu tố cốt lõi trong các vấn đề nhờ sử dụng suy luận quy nạp một cách nhanh chóng. GV có thể tổ chức HĐ thông qua các HĐ thành phần sau: + Yêu cầu nào của bài toán có thể sử dụng công cụ của phép quay vào giải quyết ? + Có thể sử dụng phép quay để giải khi thay đổi điều kiện của bài toán như thế nào? - HĐ sử dụng suy luận quy nạp nhanh chóng để phát hiện quy luật, bản chất toán học của vấn đề: thay thế việc dựng phía ngoài tam giác đã cho tam giác vuông cân thành hình nào để được kết quả không thay đổi? - HS trực giác phát hiện bản chất của phép quay từ đó suy ra thay thế hình dựng thỏa mãn yêu cầu: xét tam giác đều và tam giác cân. 3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả đề ra từ trực giác Giải hai bài toán mới bằng phương pháp giải tương tự. 3.3.4. Cách thức tổ chức hoạt động nhận thức phát triển năng lực rút gọn quá trình lập luận cho học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông 3.3.4.1. Mục đích tổ chức: Việc tổ chức cho HS phát triển NL rút gọn quá trình lập luận giúp HS biết hình dung ra được lược đồ tư duy, đường lối giải quyết cho vấn đề mới, nhanh chóng hình dung được vấn đề toán học đang xem xét nhờ làm ngắn gọn các bước biến đổi, lập luận. Do đó, HS cần có khuynh hướng suy nghĩ nhanh chóng, ngắn gọn về đường lối chứng minh hay có khuynh hướng bỏ qua các bước phân tích lập luận logic, HS có khả năng giản lược những giai đoạn lập luận trung gian, không chú trọng đến những biến đổi hình thức dài dòng, từ đó dễ dàng hình dung ra được kết quả hay đường lối chiến lược GQVĐ trước khi bắt tay vào thực hiện chương trình giải cụ thể, rõ ràng. 3.3.4.2. Một số cách thức rèn luyện NL rút gọn quá trình lập luận cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT: Một số HĐ cụ thể, GV rèn luyện NL này cho HS như sau: - Trong quá trình GQVĐ toán quen thuộc, rèn luyện cho HS biến đổi nhanh, ngắn 18 gọn, lược bỏ các bước lập luận trung gian. - Tổ chức cho HS biết hình dung được sơ đồ suy luận tổng quát hoặc hình dung kết quả của vấn đề nhờ rút gọn các phân tích lập luận. - Xây dựng các tình huống giúp HS nhanh chóng biến đổi hình thức của tri thức toán học sang hình thức khác nhau để nhận ra được nội dung của vấn đề toán học. 3.3.4.3. Ví dụ minh họa: Ví dụ 3.13. GV cho HS giải bài toán: “Cho các số dương a, b, c  thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P   1   1  1 1   1    1   ”. a  b  c  1) Bước 1: Tạo tình huống nhận thức chứa đựng tri thức mới cần trang bị Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức khá phức tạp đã cho gây khó khăn cho HS ở chỗ cần phải sử dụng công cụ thích hợp nào để có thể ước lượng được biểu thức. 2) Bước 2: Tổ chức cho HS tiến hành các HĐ trực giác, hình dung được ý tưởng, phán đoán về cách giải quyết vấn đề - Trực giác ban đầu về biểu thức và hình dung ra kết quả có thể của bài toán: a, b, c 1 thì 3 P  64 . Xét vài trường hợp khác nhận thấy có thể P  64 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức. có vai trò như nhau và a  b  c  1 , phán đoán nhanh trường hợp khi a  b  c  1 giúp HS phát hiện ý tưởng sử dụng BĐT Cauchy. 3 - HĐ biến đổi nhanh gọn vấn đề toán học nhờ gạt bỏ những bước lập luận, phân tích trung gian có thể xảy ra trong suy nghĩ của HS như sau: - Khi a  b  c  + Biến đổi nhanh biểu thức P  1  1 1 1 1 1 1 1       . a b c ab bc ca abc + Có thể áp dụng BĐT Cauchy cho các số 1 1 1 1 1 1 , , và , , . a b c ab bc ca 1 và Pmin  64 . 3 3) Bước 3: Sử dụng suy diễn kiểm nghiệm kết quả suy ra từ trực giác Giải chi tiết các bước lập luận và phân tích. 4) Bước 4: Rút ra kết luận về tri thức mới và vận dụng: KQH phát hiện bài toán tổng quát. Chương 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 4.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 4.1.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra giả thuyết khoa học đã đề ra, từ đó bước đầu khẳng định tính khả thi và tính hiệu quả của quy trình tổ chức HĐNT phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT và cách thức rèn luyện từng NL thành tố của NL TGTH với một số HĐ tương ứng. Cụ thể: - Kiểm nghiệm tính hợp lí của quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH cho HS qua dạy học Toán ở trường THPT. + Hình dung kết quả: dấu bằng xảy ra khi a  b  c  19 - Kiểm nghiệm sự tiến bộ của HS trong việc sử dụng một số HĐ tương ứng với từng NL thành tố của NL TGTH qua dạy học Toán ở trường THPT. 4.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm - Thiết kế giáo án dạy học nhằm phát triển NL TGTH trong các tiết dạy. - Tổ chức HĐ dạy học theo giáo án dạy học đã thiết kế. - Quan sát quá trình HĐ trên lớp của HS khi thực hiện các nhiệm vụ HĐ. - Thiết kế bài thực nghiệm vòng 1, vòng 2. - Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm bài thực nghiệm vòng 1 và 2. - Nhận xét và đánh giá kết quả bài làm thực nghiệm của HS, xử lý số liệu. - Đánh giá định tính và định lượng kết quả quá trình thực nghiệm. 4.2. Thời gian và đối tượng thực nghiệm 4.2.1. Thời gian thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành qua 2 vòng: Vòng 1 từ ngày 15/11/2017 đến ngày 28/12/2017 trong học kỳ 1, năm học 2017 – 2018. Vòng 2 từ ngày 14/3/2018 đến ngày 28/4/2018 trong học kỳ 2, năm học 2017 – 2018. 4.2.2. Đối tượng thực nghiệm - Lớp dạy thực nghiệm: lớp 11CB8, Trường THPT Thống Linh, huyện Cao Lãnh và lớp 11CB3, Trường THPT Thiên Hộ Dương, Thành phố Cao Lãnh. - Giáo viên giảng dạy thực nghiệm: GV Nguyễn Văn Đớp, Trường THPT Thống Linh, và GV Nguyễn Thị Minh Tâm, Trường THPT Thiên Hộ Dương. 4.3. Tiến trình thực nghiệm Gồm 3 bước: Bước chuẩn bị, bước tổ chức thực nghiệm và bước đánh giá thực nghiệm. 4.4. Nội dung thực nghiệm: Nội dung thực nghiệm được thiết kế nhằm thể hiện một số HĐ theo cách thức tổ chức từng NL thành tố của NL TGTH đã đề xuất, được tiến hành dạy học theo quy trình tổ chức HĐNT theo hướng phát triển NL TGTH với các giáo án dạy học và nội dung bài làm thực nghiệm của HS lớp 11 qua hai vòng như sau: 4.4.1. Thực nghiệm vòng 1 4.4.1.1. Về tiết dạy thực nghiệm trong giáo án dạy học + Hình học 11: “Ôn tập phép dời hình” (2 tiết) + Đại số và Giải tích 11: Dạy bài mới và giải bài tập “Dãy số” (2 tiết) + Chuyên đề: Sử dụng trực quan hỗ trợ giải toán (2 tiết) sau khi học xong “Cấp số nhân”. 4.4.1.2. Về các hoạt động tương thích với NL thành tố của NL TGTH được thực nghiệm qua các tiết dạy: Trong giáo án dạy học thực nghiệm vòng 1, chúng tôi hướng tới kiểm nghiệm việc tổ chức các HĐ nhận thức phát triển các NL thành tố của NL TGTH cho HS như: NL KQH, NL liên tưởng và hình dung được vấn đề, và NL phán đoán và đưa ra quyết định theo quy trình tổ chức HĐ nhận thức phát triển NL TGTH cho HS. 4.4.1.3. Nội dung bài thực nghiệm vòng 1: gồm 3 bài tập. Câu 1. Không cần vẽ hình, các em hãy hình dung thiết diện của một hình tứ diện khi cắt bởi một mặt phẳng bất kì có thể là đa giác nào? Câu 2. Về phía ngoài tam giác nhọn ABC dựng các tam giác vuông cân ABM , BCN ,CAP sao cho AB  AM , NB  NC , AC  AP . Chứng minh AN , BP,CM bằng nhau. Giải bài toán, thay việc dựng tam giác vuông cân bởi tam giác nào thì kết quả không đổi. Câu 3. Xét hình vuông có cạnh 1 và diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích). Đoạn thẳng 20 nối trung điểm của hai cạnh đối diện chia hình vuông thành hai phần, tô màu một phần, phần còn lại tiếp tục chia đôi bởi đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện, tô màu một phần, phần còn lại tiếp tục chia đôi và tô một phần… cứ tiếp tục quá trình như thế. a) Nhận xét về tổng diện tích các phần được tô màu khi quá trình diễn ra đến vô cùng? b) Nhận xét mỗi phần được tô màu của hình vuông trong mỗi bước có thể được biểu diễn bởi một cấp số nhân nào? Chỉ ra u1, q ? c) Dùng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để kiểm tra kết quả đã nhận xét?  Phân tích dụng ý sử dụng các HĐ tương thích với NL thành tố của NL TGTH - Trong Câu 1, chúng tôi hướng tới xem xét khả năng sử dụng HĐ hình dung được hình ảnh trực quan của vấn đề toán học (NL liên tưởng và hình dung được vấn đề) và HĐ đưa ra các phán đoán cho tình huống quen thuộc (NL phán đoán và đưa ra quyết định), cụ thể HS phải hình dung hay tưởng tượng nhận ra được mô hình tương ứng của vấn đề từ đó suy ra các trường hợp có thể có của thiết diện của một tứ diện với một mặt phẳng bất kì là những đa giác nào mà chưa cần phải tiến hành vẽ hình. - Trong Câu 2, chúng tôi hướng tới xem xét khả năng sử dụng HĐ phát hiện các yếu tố chung, tổng quát của đối tượng từ việc xem xét trường hợp riêng (NL KQH nhanh chóng). Khi đó, HS phải nhận ra và phát hiện yếu tố 2 cạnh bằng nhau và góc xen giữa không đổi suy ra dựng tam giác cân và sử dụng phép quay. - Trong Câu 3, chúng tôi hướng tới xem xét khả năng tiến hành HĐ sử dụng trực quan kết nối vấn đề toán học để phát hiện và giải quyết vấn đề (NL liên tưởng và hình dung được vấn đề). Qua bài toán này, HS phải biết sử dụng hình ảnh trực quan đã cho để thấy ngay kết quả của bài toán mà chưa qua các bước tính toán và lập luận, HS có cơ hội được thể hiện sự hiểu biết về bản chất của các vấn đề toán học thông qua hình ảnh tiếp nhận được khi quan sát và sau đó tự kiểm nghiệm lại kết quả qua vận dụng công thức sau đó.  Phân tích tiên nghiệm bài thực nghiệm vòng 1: Chúng tôi dự kiến kết quả bài làm của HS trước khi tổ chức thực nghiệm như sau: Các câu hỏi ở phần thực nghiệm không tập trung vào việc phân tích dài dòng, lập luận chặt chẽ, đây là những câu hỏi dưới dạng trả lời nhanh, do đó trong khoảng thời gian ngắn, HS cần có ngay những nhận xét, hình dung ngay vấn đề đang đặt ra để giải quyết. Thông qua các câu hỏi nhanh với dụng ý sư phạm hướng vào các HĐNT được tổ chức nhằm phát triển một số NL thành tố của NL TGTH, HS phải tiến hành suy ngẫm, hình dung và phán đoán để trực giác phát hiện vấn đề, đưa ra nhận xét về quá trình và sau đó là thể hiện kết quả sau quá trình hình dung vấn đề. 4.4.1.4. Kết quả bài thực nghiệm vòng 1  Đánh giá kết quả qua bài làm của HS  Đánh giá qua quan sát trong lớp học: Qua quan sát, HS có dành thời gian suy ngẫm cho vấn đề và biết hình dung kết quả trước khi ghi thực hiện lời giải rõ ràng hay đáp án vào phiếu trả lời. Một số em có khả năng sử dụng hình ảnh minh họa, một vài hình vẽ sơ sài ngoài giấy nháp. Hầu như trong thời gian được yêu cầu, các em đều đưa ra được vài kết quả cho các câu hỏi thông qua việc phát biểu những nhận xét ban đầu về bài toán và kết quả.  Đánh giá qua phỏng vấn HS: Để làm sáng tỏ một số thông tin khó xác định được việc kết nối giữa trực quan và trừu tượng, khả năng đưa ra phán đoán trong bài làm của HS,