Tài liệu NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

TÀI LIỆU THPT HAY A – NGUYÊN HÀM I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa: f ( x)dx  F ( x)  C � VD 01: ( x2 ) '  2 x � x' 1 � (a x ) '  a x .ln a � �F '( x )  f ( x) C  const � 1 (ln x) '  , x  0 � x (s inx) '  cos x � với � 2xdx  x  C � dx  x  C � a ln adx  a  C � 2 x x 1 dx  ln | x | C � x cos xdx  sin x  C � e dx  e  C � x � (e x ) '  e x Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa… Các tính chất của nguyên hàm: Tính chất 1: Tính chất 2: Tính chất 3: x f ( x) 'dx  f ( x)  C � k . f ( x)dx  k � f ( x)dx, k  const � [f ( x)  g ( x)]dx  � f ( x) dx  � g ( x)dx � VD 02: 5 a) xdx � b) dx � x d) (cos x  sin x)dx � e) � e � �x �1 x 2. Nguyên hàm một số hàm thường gặp Bảng 1: kdx  kx  C � 1 g) � � �2  j) (2 x �  5 x  7)dx 4 �x � 3 e) 2 � dx � x� � 3x dx � �xdx 1 dx � x 3 h) ( x  1)( x � k) � � �x TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN �1 2 4  3 x) dx 1�  x2  � dx 3� x 2 1 Với a  e : � e x dx  b) 4x dx � f) n ax  C Với ln a 1 n  1: � x 1dx  �dx  ln | x | C x n 1 x x n dx   C , n �1 � n 1 d) a dx � dx   � x (n  1) x a x dx  � VD 03: x 2 dx a) � � dx � � c) n 1 C ex  C  ex  C ln e c) 3x dx � f) x 3 dx � i) 3x � � � l) 3 dx � 2  1 � 2 x�  � dx 2� x Page 1 TÀI LIỆU THPT HAY 10 � 2x m) dx n)  x � 3  x dx x x x dx x2 o) � r) (2 x � u) 2 e dx � 3 x( x  1)( x  5)dx � q) ( 3 x  1)( x  x  2)dx s) � Bảng 2: t) p) � 1 � �x  �dx � x� � (e x  1)3 dx � 1 1 dx  .ln | ax  b | C � ax  b a 1 k ax  b k dx  . C � a ln k VD 04: 3 dx a) � 2x  5 x4 dx d) 2 � x  2x  1 (2 x  1) � 4 dx  1) 2 dx x 1 (ax  b) n 1 n ( ax  b ) dx  . C � a n 1 1 e ax b dx  .eax b  C � a ax  b g) x 3 b) e) h) 1 dx � 2x  2 x3 dx � x2  2x  1 2 x( x 2  1)3 dx � 4x  4 c) dx � x  2x  3 f) x3 dx � x4  1 i) �e 2 2x  e 2 x  2dx Bảng 3: sin xdx   cos x  C � cos xdx  sin x  C � 1 � sin 2 x 1 dx  � (1  cot 2 x )dx   cot x  C � cos 1 2 x dx  � (1  tan 2 x) dx  tan x  C 1 sin(ax  b)dx   .cos( ax  b)  C � a cos(ax  b)dx  .sin(ax  b)  C � a 1 dx  � [1  cot 2 (ax  b)]dx (ax  b) 1   .cot(ax  b)  C a VD 05: sin 2 xdx a) b) � dx  � [1  tan � cos (ax  b) � sin d) g) k) n) 1 2 tan xdx � cos xdx � sin 2xdx � 2 e) 3 h) 1 dx � cos (3 x  2) 2 l) o) 2 2 (ax  b)]dx 1  .tan(ax  b)  C a cos xdx � cot xdx � sin x.cos xdx � x cos dx � 2 2 c) 2 f) 2 i) m) 4(cos x  sin x)dx � sin xdx � cos(3 x  4) dx � sin x cos xdx � sin � p) cos � 4 xdx s) cos � 4 x sin xdx 4 xdx sin x cos 2 xdx sin 3xdx q) r) � � II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Một số kết quả thường gặp khi tính nguyên hàm TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 2 3 Page 2 TÀI LIỆU THPT HAY 1 f ( x)dx  � f (t ) dt � � (ax  b) u' dx  ln | u | C � u Nếu n u '.u n dx  � f ( x) dx  F ( x)  C � thì dx   1 1 C a (n  1)(ax  b) n1 u n 1 C n 1 1 f (ax  b)dx  .F (ax  b)  C � a 2. Các phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến: Bước 1: Đặt t  u ( x) , ta được dt  u ( x) ' dx Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t. Bước 3: Thay t  u ( x) để được kết quả theo biến x. VD 06: a) ( x  1) � x b) � 1 x d) 4x  4 dx 2 � x  2x  3 e) x3 � 2� x  1� dx �� 18 � � g) e � h) x.e � dx k) x 1 x � 7  3x 2 dx n) sin � q) cot xdx � 100 sin x dx cos xdx 9 x2 j) �1  x m) 3x � p) tan xdx � 3 dx � x  x 1 f) sin � i) �5 x  4 dx dx l) �x (1  x x cos dx 2 2 o) x cos( x )dx � r) e � 3 c) x e dx � xe dx � x cos 2 xdx � 1 x 2 dx 4 3 2x 1 c) dx 2 2 2 4 x cos xdx 1 1 x )2 dx 2 x 2x dx b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: I � f ( x) g ( x)dx � u  f ( x) Đặt � �dv  g ( x)dx du  f ( x) ' dx � � �� g ( x) �v� vdu Khi đó: I  uv  � VD 07: x cos xdx a) � d) g) j) ln xdx � x cos xdx � x ln(2 x)dx � 2 b) e) 2 h) 3 l) LUYỆN TẬP ln xdx � x x sin dx � 2 x sin xdx � e dx � 2 f) i) 2 x x 2 3 x 9 Phương Pháp: nguyên hàm hữu tỉ P ( x) dx � Q( x)  Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x) TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 3 TÀI LIỆU THPT HAY  Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x): 1 1 1 1 dx   C n � (ax  b) a (n  1) (ax  b )n 1 dx 1 �1 1 �   dx � � � � ( x  a )( x  b) a  b �x  a x  b � dx 1 �1 1 �   dx � � 2 2 � � x a 2a �x  a x  a � 1) Tính các nguyên hàm sau: 1 dx a) 2 � x 1 x2  x  1 d) dx � x 2  3x  2 dx g) 2 � x  5x  6 x3 j) dx � x 1 1 dx m) � x ( x  1) p) x 1 dx � x3  1 x2 dx � x3 2) Tính: s) a) d) g) e x 2 x dx � 2 x 1  6 x 1 � 10 x dx e x  e x dx � e x  e x ln | 3 x  1 | � x  1 dx 3) Tính các nguyên hàm sau: j) b) e) h) k) n) x 1 dx � x 4 2 3x 2  3 x  3 �x3  3x  2 dx dx 2 � x x2 x5 dx � 1  x2 1 dx 2 � 4x  4x 1 dx � x  3x  2 f) � x  6x  9 i) dx � x  5x  6 l) o) 2 q) t) b) e) h) � 2 2� 3x  3 �dx � � x � � 2 x dx � 1  x2 3.2 x  2.3x � 2 x dx ex dx � ex  1 sin(ln x) � x dx k) 1 dx x � e  e2 x �5 1 � dx � 4 3 x � b) �  � �x d) � 1� 3 4 �x  � x. x dx � � x� e) x  13 x 2  x 2e x dx � x2 g) x 2  5 xdx � h) x2 �2  x dx j) x 1  xdx � k) � TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 x  1 x 1  x2 dx dx 2 4 x  11 2 x2  2x  3 dx � ( x  1)( x  2)( x  3) x2 dx � (1  x)100 x( x  1)( x  2)dx � u) x2  3 dx � x2 1 c) (2 � i) �x x x dx 2 r) f) a) 1 c) x  3x ) 2 dx (ln x  1) 2 � x dx ex �e 2x  4e x  4 l) ex dx � ex  e x c) ( x  1)( x  � f) �x i) � l) �x  4 dx x  1)dx  x 4  2dx x 1  x  (1  x ) 2 2 1 x 1 3 dx dx Page 4 TÀI LIỆU THPT HAY m) 2x � x x 1 2 dx xdx n) �4  x  b) � sin e) tan � 2 h) k) tan � cot � (1  2 x)  x  1 3 o) � 4x c) 4sin cos  tan � � 2 2 � xdx f) tan � 3 xdx 5 xdx i) 6 xdx 3 xdx l) tan � tan � n xdx, n �� b) �1  sin 2xdx c) sin 2 x cos8 xdx � e) dx � sin x  cos x f) sin x sin 2 x sin 3 xdx � h) sin x cos 3 x �1  cos 2 x dx i) sin � 4 x cos xdx k) sin � l) sin � 7 x cos3 xdx o) � sin c) x tan � 4 x 6  5x  x dt 4) Tính: a) d) g) 4 dx x cos2 x sin 3 x  2 �3sin 2 x dx tan 4 xdx � � sin 2 cot 2 xdx j) � 5) Tính các nguyên hàm sau: 1  cos 2 x a) dx � 1  cos 2 x d) g) j) cos � 3 x sin 8 xdx cos x  cos 2 x  cos 3 x �sin x  sin 2 x  sin 3x dx dx 5 � cos x sin 3 x cos2 x dx 2 x cos2 x sin x  cos x 2 x cos 2 xdx sin 2 x dx � cos 4 x dx 3 p) q) �sin x cos xdx � 2sin x  cos x  1 sin x cos x I � dx và J  � dx . Tính I, J s) sin x  cos x sin x  cos x 6) Tính nguyên hàm các hàm số sau: 2 x �ln x � dx a) b) � �dx � � cos 2 x �x � m) d) cos 2 x sin 3 xdx � n) cos x ln(1  cos x) dx � e)  x ln x  1  x 2 � 1  x2  dx x � x 2 x� dx � 2� dx 4 x dx , cos x �0 r) � 2 a cos x  b sin 2 x f) 2 xdx sin x cos x dx 2 x  b 2 cos 2 x � a sin 2 B – TÍCH PHÂN I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa và tính chất cơ bản Mọi tính chất đã học của nguyên hàm ở trên đều sử dụng được cho tích phân. Ok!  b f ( x)dx  F ( x) |  F (b)  F ( a) � b a Định nghĩa: a VD 08: 5 1 dx a) � x 3 Các tính chất của tích phân: 4 b) � 1� dx �x  � � x� 2� 1 c) (1  7 x) � 2010 dx 0 a Tính chất 1 f ( x)dx  0 � a TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 5 TÀI LIỆU THPT HAY Tính chất 2 b a a b f ( x)dx   � f ( x )dx � b c c a b a f ( x)dx  � f ( x )dx  � f ( x)dx � Tính chất 3 VD 09: 1 a) d) ( x 3  3x 2  2)dx � 0  2 b) e) (5 x � c) sin x  cos x �1  sin 2 x  (3  2 � y h) |x � 2  2)dx 1 y 2 ) dy s.s .s ...s ds � 2 f)  x  2 | dx 3 9 0  3 3 dx 4 1 0 0 g) � 1 1� t  2� dt � � t t � � 1 1 (2 cos x  sin 2 x)dx � 5 4 1 4 i) 3 2 5 2 3 3 2 cos 3 xdx  � cos 3 xdx  � cos 3xdx �   0 0 II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến dạng 1 Bước 1: Đặt t  u ( x) , ta được dt  u ( x) ' dx x a b Bước 2: Đổi cận t t1 t2 Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t. Tính tích phân trên theo định nghĩa. VD 10: 3 a) 2 �2 x  3dx b) 1 1 d) t 3 (1  t 4 )dt � e) 0 3 g) 4x �x 0 2 1 dx h) xe � x2 1 dx c) �x  1dx 0 1  4 tan x dx � cos 2 x 0  6 1 f) � (x 2 0 5x dx  4)2 1 (1  cos 3x)sin 3 xdx � i) �t 5  2t (2  5t 4 )dt 0 0 2. Phương pháp đổi biến dạng 2 Bước 1: Đặt x  u (t ) , ta được dx  u (t ) ' dt x a b Bước 2: Đổi cận t t1 t2 Bước 3: Thay cận và biến t ta được tích phân theo biến t. Tính tích phân trên theo định nghĩa. VD 11: 1 a) �1  x dx 2 b) 0 1 d) 1 2 �1  x 0 x 4 c) 2 dx e) 0 x dx 4 � x 1 0 dx � 1 x 2 0 1 4 � x 1 1 dx 1 f) x � 2 1  x 2 dx 0 3. Phương pháp tích phân từng phần TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 6 TÀI LIỆU THPT HAY b I � f ( x) g ( x)dx a du  f ( x) ' dx � � �� g ( x) �v� � u  f ( x) Đặt � �dv  g ( x)dx b b vdu Khi đó: I  uv |a  � a VD 12: 1 a) 2 xe dx � x x ln xdx � b) 0 d) g) c) 1  2 1 x ln xdx � 5 e) f) ( x  1)e dx � x 0 1 0  2 x sin xdx � 0 2 x cos xdx �  2  x sin x cos xdx � 3 e x cos xdx � h) 0 0 x 3 dx �x i) 0 1 2 LUYỆN TẬP Phương pháp: Tích phân hàm hữu tỉ P ( x) dx � Q( x) � R ( x) � dx  Nếu P(x) có bậc lớn hơn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta được � �A( x)  � Q( x) � R ( x)  Nếu P(x) có bậc nhỏ hơn Q(x): tương tự với việc ta tính � dx Q( x) 2 + Xét Q( x)  ax  bx  c (có bậc 2) thì R ( x)  mx  n TH 1: Q( x)  a( x  x1 )( x  x2 ) (x1, x2 là hai nghiệm của Q(x) = 0) R ( x) �A dx  � � � Q( x) �x  x  1 TH 2: Q( x)  a( x  xo ) R ( x) 2 B � dx với � x  x2 � k k � �1 1 � dx   dx � � � ( x  a)( x  b) ab � �x  a x  b � (xo là nghiệm kép của Q(x) = 0) � A dx  � � � Q( x ) �x  x  o � B dx 2 � ( x  xo ) � TH 3: Q(x) = 0 vô nghiệm, ta phân tích để R ( x)  A.Q( x ) ' B và khi đó: �A.Q ( x ) ' R ( x) B � dx   dx � � � � Q( x) Q ( x) � � Q ( x) Trường hợp 3 này ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2. + Xét Q( x)  ax3  bx 2  cx  d ( có bậc 3) thì R ( x)  mx 2  nx  p TH 1: Q( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) R( x) �A dx  � � � Q( x) �x  x  1 B C �  dx � x  x2 x  x3 � TH 2: Q( x)  ( x  x1 ) ( x  x2 ) 2 R ( x) � A dx  � � � Q( x) �x  x 1  B C  2 ( x  x1 ) x  x2 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN � dx � � Page 7 TÀI LIỆU THPT HAY 3 TH 3: Q( x)  ( x  xo ) R ( x) � A dx  � � � Q( x) �x  x  o � B C  dx 2 3 � ( x  xo ) ( x  xo ) � TH 4: Q( x)  ( x  xo )(ax  bx  c) 2 Bx  C � dx � ax 2  bx  c � o + Xét Q(x) là hàm có bậc lớn hơn 3 thì bài toán chỉ xét với dạng đơn giản. 1) Tính các tích phân sau R ( x) � A dx  � � � Q( x ) �x  x 1 a) x (1  x ) dx � 5 3 6 1 b) 0 1 4 d) 1 dx 2 � 1 x ( x  1)  e) x4  2 dx � x3  x 2 h) 1  x2 dx , đặt t  1 4 � 1 1 x x k) 1 x dx � 1 x 2 n) (2 x  1)2 dx � q) 4 xdx � x2  4 0 t) (3 x  1) � 7 dx w) 1 2 xdx � x  4x  5 2 0 3 n dx, n �1, n �� 0 1 x2 dx � 4  x2 0 f) x � 4 x 2 dx 0 3 dx 2 � x  3x  2 0 i) z) x3 dx � x2  2 x  1 0 2 1 1  x2 dx 4 � 1  x 1 4 1 x(1  x)5 dx � l) dx 2 � x  3x  2 3 o) dx � x 3 2 0 3 0 2x2  1 dx 2 � x  1 0 1 2 ( x  2)10 dx � r) xdx 2 � x  2x  2 2 u) 2 4 y) 2 1 1 v) x (1  x ) � 2 2 s) c) 1 2 p) dx 2 5 m) 1 1 1 j) x(1  x) � 19 0 3 g)  x 3 dx � x2  2 x  1 0 2 dx 2 � x 4 0 x) dx � x  4x  5 2 0 xdx � ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 8 TÀI LIỆU THPT HAY Phương pháp: Tích phân hàm lượng giác  Biến đổi về tích phân cơ bản (sử dụng các công thức lượng giác)  Đổi biến số + Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số) + Đổi biến số theo chu kì của hàm lượng giác. Quy tắc chung: Đặt t    x, t   x 2 (Tích phân đặc biệt – các hằng đẳng thức tích phân) x 2t 1 t2 + Đổi biến qua t  tan . Khi đó: sin x  cos x  2 1 t2 1 t2 2t 1 t2 tan x  cot x  2 1 t 2t a sin x  b cos x  c dx , ta biến đổi Tích phân lượng giác tổng quát: � d sin x  e cos x  f a sin x  b cos x  c (d sin x  e cos x  f ) ' d cos x  e sin x �A  B  A B d sin x  e cos x  f d sin x  e cos x  f d sin x  e cos x  f  Sử dụng công thức tích phân từng phần Chú ý các công thức lượng giác: 2sin x.sin y  cos( x  y)  cos( x  y )   sin a  cos a  2 sin( a  )  2 cos(  a) 2 cos x.cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) 4 4   2sin x.cos y  sin( x  y)  sin( x  y) sin a  cos a  2 sin( x  )   2 cos(  x) 4 4 x y x y x y x y sin x  sin y  2sin .cos sin x  sin y  2sin .cos 2 2 2 2 x y x y x y x y cos x  cos y  2 cos cos cos x  cos y  2sin sin 2 2 2 2 2) Tính (biến đổi về tích phân cơ bản) a) d) (cos �  2 4 x  sin x)dx 4 b) dx e) � 1  sin 2 x 0 g) j)  2  2 cos � 0  2 sin � cos2 x(sin x  cos x)dx � 4 h)   2  2 0 k) 4 4 4 x  cos 4 x)dx (sin 3 x cos 3x  cos3 x sin 3 x)dx f) � xdx  i) dx đổi sin ra cos � 1  sin x 0 2 cos � 0 2 0 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  2 x cos 2 2 xdx và � sin 2 x cos 2 2 xdx 3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác) dx sin(a  x) dx a) b) � � cos 3 x cos 2 x  0 sin 2 x 2 dx 2 � d) e) sin 2 x (1  sin 2 x)dx (2  sin x )  �  cos 2 x(sin � 0 cos 5 x cos 3 xdx �  0 sin 3 xdx c) xdx 0  2 4 � cos x  1 4  2 0 dx c)  2 � sin 2 x  2sin x f) sin x cos x(1  cos x) 2 dx � 0 Page 9 TÀI LIỆU THPT HAY 4 3 g) dx � x  sin 2 h)  j) 5(5  4 cos t ) � 1 4 sin tdt k)  6 n) 2 1  4sin 3 xcos3 xdx � a) d) g) q) sin xdx � cos 2 x  3 0 t) dx b) dx � cos x 0 e)  2 sin 3 x dx 2 � 1  cos x 0  2 cos x dx � 1  sin x  2 cos xdx �2  cos 2 x 0  r) cos xdx � 5 1 sin � 3 xdx 0 1 1 sin cos dx � x x x 2 x ) 2 � sin x  cos x  2 0  3 o) 0  2  2 sin 4 x dx � 1  sin x  2  2 0 0 dx � (2  cos x )(3  cos x) 0 4) Tính (đổi biến qua t  tan l) 4  2 s) i) tan xdx �   0 p) sin 3x dx � 1  cos x 0  4 0 m)  2  4 3sin x  4 cos x �2sin x  cos x dx 0  2 sin xdx � cos x  2sin x 0 c)  2 sin x  7 cos x  6 dx � 4sin x  3cos x  5 0 f) cox  s inx dx � sin x  2 cos x 4 cos x  3sin x  1 dx � 4sin x  3cos x  5 0 5) Tính (sử dụng công thức tích phân từng phần) a) d)  4 b) x cos 2 xdx � 0  2 2  (2 x  1) cos xdx � 2 e)  2 cos x ln(1  cos x )dx � h)  3 xdx 2 �  sin x c) ( x sin x ) dx � 2 f) 0 0 j) x cos xdx � 0 0 g)  2 k)  2  2 x cos x sin � 0  2 (x � 2 2 xdx  1) sin xdx 0  3 sin 2 x e � sin x cos3 xdx i) x cos xdx � 0  6   x 2 sin xdx � l) 0 xcos xdx � 2 0 4  m) x sin � 0 2 xdx n)  4 xdx � 2 cos 0 2 x o) Phương pháp: Tích phân hàm vô tỉ (chứa căn thức)  Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 10 TÀI LIỆU THPT HAY Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1 b 1 dx Đặt t  x  x 2 �a , (phép thế Ơle) � 2 x �a a  Đưa tích phân vô tỉ về tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2) b 1 � a x 2 2 dx Đặt x  a tan t a b �a 1 dx 2  x2 2  x 2 dx a Đặt x  a sin t hoặc x  a cos t b �a Đặt x  a sin t hoặc x  a cos t a  Sử dụng tích phân từng phần b �x 2 �adx Sử dụng tích phân từng phần a 6) Tính các tích phân sau (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ) 7 4 dx x  3dx a) b) � � 25  3 x 3 0 1 d) 2x  1 �x 1 2  x 1 e) x 2 8 1  xdx � h) 0 x 3 1  x 2 dx � 0 f) x 1 dx � 3 3x  1 0 i) 1 7 3 n) 0 p) � x 2 3 s) �x 5 q) x 1 2 x � x  1dx 2 0 3 1 2 o) t) x2  4 dx � x 1  x  2 2 �x 1 x) 0 2 xdx �1  x 2 � x r) x2  9 2 xdx 1 x2 1 2 dx dx 1 0 7 x 3 1  xdx � 1 2 dx �x l) 1 x 1  xdx � 4 dx x5  2 x3 �x 5 1 v) 3 1 dx 0 0 2 3 x 3  1dx 2 9 x 1  x 2 dx � 1 x � 0 1 m) dx 1 2 k) 2 0 x 3 1  xdx � 1 j) x 1 x � c) 9 dx 1 g) 3 xdx �2  x  u) 2 x 0 x 2 dx �2 x  x 0 2 7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vô tỉ) 2 a) x � 2 4  x dx 2 b) 0 g) 2 2 x 2 �1  x 0 1 1 � x ln 2 x 1 dx h) x dx 6 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN dx c) �(2 x 0 2 � x 1 0 2 1 3 i) dx 2 , đặt x  tan t  1) x  1 2 dx � x 9 2 Page 11 TÀI LIỆU THPT HAY j) 1 dx �9  4 x k) 2 �1  x p) �a 0 dx n) 3 s) ,a0 q) t) 2 �4  x o) a 2 �a 2 2  x 2 dx, a  0 0 2 dx �x  x 1 4 xdx 1 3 1  x dx 2 x 2 dx 0 0  x2 �1  x x � 2 1 2 dx 2 l) 1 2 0 a 2 1 2 1 m) 1  x2 � x 2 dx 2 r) 2 �x 2 2 2 1  x , đặt x  cos t dx � 1 x 0 dx x2 1 1 u) �(1  x 2 3 ) dx 0 8) Tính (sử dụng tích phân từng phần) 1 a) 2 �x  1dx 1 b) 0 �x 2  1dx 0 Phương pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)  Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ  Sử dụng tích phân từng phần 9) Tính (Đổi biến số đưa về tích phân hữu tỉ) 2 3 1 2 x3 x e dx (ln x )2 dx a) b) � � x 1 1 e2 d) 3 dx � x ln x e e) 2 c) 1 2 xe  x dx � f) x x �e  e  2dx i) 0 x �e  1dx e h) 0 1 j) k) 1 m) (1  e x ) 2 dx � 1  e2 x 0 e p) r) ln xdx � x 1  ln x q) 1 e 4 s) 2 e dx � x x v) 0 �x 1  ln y) x 10) Tính (sử dụng tích phân từng phần) 1 2 x 2 t) e dx � 0  tan xdx 2 e4 w) | cos x | 1 cos (ln x) dx � 2 dx �x cos (ln x  1) 2 1 e ln 3 e2 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ln(ex) dx � 3  x ln x 2 �1  ln 1 x 1  dx x e o) x �x dx  3 dx �e  4e dx , đặt t=-x rồi sử dụng phép truy hồi  1)( x 2  1) 0 e x) e x 3 ln 2 1 1 u) � (e 1 dx � x(1  ln x) 1 l) e 2 x dx � 1  e x 0 1 dx 1 dx x � e 5 0 1 n) dx � x ln x  2 1 1 dx x � e 1 0 ln(2  x) �2  x 0 ln 3 g) e x dx � 2  ex 1 z) e x dx �(e 0 x  1)3 Page 12 TÀI LIỆU THPT HAY ln 2 e a) x 2 ln xdx � b) 1 e 1  x ln x dx � x 1 e) [ ln( x  1)  ln( x  1)]dx � h) e j) �x ln xdx k) m) n) e sin 3 xdx � x ln(1  x � 2 )dx q) xdx l)  4 0 1 x 2 xdx t) o) r) x x(e 2 x  3 x  1)dx � w) ln( x  � 0  2 x 2  1) dx u) 2x x)  2 x e sin 2 xdx � [ln( x  � x 2  1)]3 dx (x � 2  x )e x dx 0 0 z) 3 1 2 xdx x ln xdx � 0 e 1 dx 0 1 2 2x 1 e sin 3 xdx � x ln � 2 0 0 e cos � (1  x) e � 1  0 y) 1 e 2 e sin 2 xdx � 0 v) x ln � (2 x  1) ln xdx � 1 1 1 s) i) cos x ln(sin x) dx � 2 1 1 �x  x � 1  x  e dx � � � x� 1� 2 ( x  3)e x dx � e 2x 0 p) f)  4 1  2 2 xe dx � (1  x) 2 0 1  2 2 ln(2 x  1)dx � 0 x 1 3 g) c) 0 1 d) 1 2 x �xe dx ln( x  1)dx � 1 Phương pháp: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối Được ứng dụng nhiều trong các bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể Bước 1: xét dấu biểu thức chứa trị tuyệt đối trên các đoạn Bước 2: Chia đoạn [a; b] , [b; c] , [c; d ] ,… Bước 3: Tính b c d a b c f ( x )dx  � f ( x )dx  � f ( x)dx  ... � 11) Tính 1 2 a) d) 0 1  2x  x2 � 1  x dx 5 3 2 | x 2  1| dx � | x  2 | dx � b) e) 3 2 g) �x 2  x 2  2dx 0 | cos x | dx � 2 c) �e x  e  x  2dx 2  1| dx 2  f) 0 h) |x � i) | cos x | � sin xdx 0 3 2 �2  2 cos 2xdx 0 4 j) �x 2  6 x  9dx 0 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 13 TÀI LIỆU THPT HAY Phương pháp: Tích phân đặc biệt – Các hằng đẳng thức tích phân �a ( a 2� f ( x )dx f là hàm cha% n � f ( x)dx  � 0  f ( x ) liên tục trên [  a; a ] , khi đó � a � 0 f là hàm le& � a  f ( x ) liên tục trên [  a; a ] , khi đó a f ( x) dx  � f ( x)dx , đặt t   x � bx 1 a 0  f ( x ) liên tục, chẵn trên [  a; a ] , khi đó 1 1 1 0 [f ( x)  f (  x)]dx �f ( x)dx  �  f ( x ) liên tục trên [-1;1] , khi đó:  2  2 0 0  , đặt t   x f (sin x ) dx  f (cos x ) dx � � 2     2 0 0 xf (sin x)dx  � f (sin x) dx   � f (sin x) dx , đặt t    x � 2 0 Chú ý: b b a a f ( x)dx  � f ( a  b  x )dx �  m �n , m, n là các số nguyên dương mn �0 sin mx sin nxdx  � �  �  1 1 0  2 0  2 đặt t  a  b  x f ( x )dx  � f (1  x )dx , f ( x ) liên tục � sin � 0 12) Tính 2 a) n xdx  � cos n xdx với n �� 0   2   2 ln x  1  x 2 dx � cos x ln x  1  x 2 dx � b) 2 2 c)  ln x  1  x 2 � 2  3 dx 13) Tính 1 a) x  2 4 � 1 2 x dx 1 14) Tính 1 x 4  sin x a) �x 2  1 dx 1 15) Tính b) a) d)  2 sin x dx � cos x  sin x 0 x dx c) 1 b) dx x � (e  1)( x 2  1) 1  b) x sin x cos � 2 xdx e) sin n x dx � cos n x  sin n x 0 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 2 c) c) 0  2 sin x sin 2 x cos 5 x dx ex 1 �   2  x sin x dx � 1  cos 2 x 0 x | sin x | � 1 2    2 2 f) 1 1  x2 dx , đặt t  4 � x x 1  2 sin x dx � cos x  sin x 0  2 �1  sin x � ln � dx � � 1  cos x � � 0 Page 14 TÀI LIỆU THPT HAY C - ỨNG DỤNG LUYỆN TẬP D – ÔN TẬP 1) Tính các nguyên hàm sau: 3 a) (x  2x � d) c) 1 � � �x �dx � x� � dx f) (a � �a  a  2dx 2 cos x dx � 3  2sin x i) �a  a  2dx sin x dx � cos x n) ( x  9) � dx o) � (2  x) q) �2 x  1 dx r) �cos b) (ax � �2 1 � �x  �dx � � x� e)  x 2 x � g) (a � h) j) tan xdx � m) � ( x  1) p) �1  x 3 2  4)dx 4 x  b x ) 2 dx 3x  1 3 k) dx xdx 2 xdx � ( x  1)3 2  b) dx 3 3 2 x x 4 1 x 5  3x 4  2 x 2  1 dx � x dx (2 x  x 2 )dx v) w) � x � 1 e xdx dx y) z) �1  x 2 2 � sin x cos 2 x 2) Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: s) a) d) g) j) m) x � 23 1  x 3 dx 1 dx � (1  x) x cos x  sin x �sin x  cos x dx sin x dx � 3 cos 2 x 1 dx x � e  e x t) b) e) h)  x2 xe � dx (ln x) 2 � x dx x dx � (1  x 2 ) 2 l) u) x  1)3 dx x x 4 1 2 dx 1  cos 2 x dx 2 x dx �x  2  x  2 x) (2 x  1)( x � c) � (1  x ) f) sin x cos � i) .sin .dx � x x x 5 xdx 1 2 k) cos xdx � l) sin 3 x dx � cos 4 x n) x3 dx � x4  4 o) x � TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  x  3)dx dx 2 2 1 2 2 x 3  1dx Page 15 TÀI LIỆU THPT HAY ln 5 x e2 x r) dx dx �x � e2 x  1 x2 1 x2  1 s) t) dx dx � � x4  1 x4  6x2  1 3) Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau: (1  2 x)e x dx xe  x dx x ln(1  x)dx a) b) c) � � � p) e � d) x sin � g) sin x cos xdx q) e) ln  x  � �cos h) j) (2 � k) m) x dx � sin 2 x n) p) sin 3 x cos 2 xdx � q) s) x sin xdx � e cos xdx � t) 2 xdx ln(sin x) dx 2 x x  3x ) 2 dx 2 x  1  x 2 dx ln(sin x) dx 2 x x ln dx � 1 x �cos i) x(3  x) dx � x 2  5 xdx � l) dx � ( x  2)( x  3) o) sin 3 x dx � cos 2 x r) �x ln u) x) cos x ln(1  cos x) dx � x e dx � c) sin � f) dx � 1  cos x sin 3 x cos 2 xdx � 1 dx � 1 x sin x cos x �a 2 sin x  b cos x 2 2 2 dx x ln( x  1)dx � xe dx � 2 x v) w) 4) Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác hãy tính: 1 sin 4 xdx dx a) b) � � sin 3 x 1 sin 4 x cos 4 xdx dx d) e) � � cos x sin 2 x sin 4 x sin 6 xdx sin 3 x cos 7 xdx g) h) � � 5) Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau: x 1 dx dx a) b) 2 2 � � x 4 x  2x 1 1 2x dx dx d) e) � � ( x  3)( x  4) ( x  1)( x  3) x2 x3 dx g) h) dx 2 � 2 � x  2x 1 x 4 x2 x2 j) k) dx dx � � x2  2x  1 x3  1 x x 1  xdx dx m) �4 n) � x 4 p) s) v) y) x 1  x 2 dx � x2 dx � x4  4 1 dx � (2 x  3) 2 3 dx 2 � x 4 1 x f) i) c) f) i) l) o) q) x 1  x 2 dx � r) t) x3  3x 2  x  1 � x 2  1 dx u) w) 2x � x) z) � � �cos TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x 2  1dx 5 x 1 2 xdx 2 x 3 x cos 4 xdx 1  sin x 2x 1 dx � x  2x  2 2 x3 dx � x2  4 1 dx 3 � x 1 x2 dx � ( x  1)( x  1) 2 x 1  xdx � ( x  1)3 � x dx 2x 1 dx 2 � x  x3 4x 1 dx � ( x  2)3 x� � cos 2 x  sin 2 � dx 2 2 x sin x 2� Page 16 TÀI LIỆU THPT HAY 6) Tính các tích phân hữu tỉ 1 dx a) 2 � x  4x  3 0 1 b) 1 d) 3x 4  x 3  x  1 dx 2 � x  1 0 6 g) j) p) v) 2 e) dx 2 � x  4x  4 0 6 xdx 1 dx 2 � ( x  1) 2 0 6x  2 2 4x 1 3 dx � x  5x  6 2 x dx 8 � x  2 x4  1 2 dx 0 � x x2 1 1 2 4 x  11 dx � x  5x  6 2 t) 2 0 d) g) j) sin � x cos xdx  2 dx � 1  sin x  cos x 0  2 0 4 x dx e) m) 0 ,a0 dx � x  x 1 2 2 r) dx � x  6x  9 2 0 1 u) dx � x 3 2 0 x dx � x 1 dx � sin x dx � cos 4 x  3 h) tan �  3 1 c) k) sin � xdx c) c) sin x sin 2 x sin 3 xdx � i) l) e ( x ln x) � 1 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 dx 1  x 2 dx x 2  | x  1| dx � x2  | x  2 | 0 0 n) 2 3 f) xdx x � 0 4  e x cos xdx � 2 0 2 sin 2 x � 1  sin 2 0 9) Tính các tích phân hàm lượng giác dx a) b) � 1  cos x 3 dx � x a 3 7) Tính các tích phân hàm vô tỉ 4 1 dx xdx a) b) � � 2 2x 1 0 7 x x 9 8) Tính các tích phân hàm vô tỉ và trị tuyệt đối 2 2 dx x | x  1| dx a) b) 2 � � x  | x  1| 0 0 4 o) 0 w) xdx  1) 2 2 1 7 1 � (x 0 0 q) xdx 2 0 0 dx 2 � x  2x  2 0 i) l) 1 n) dx � x  4x  4 a x dx � x8  1 0 1 2003 0 3 dx � x  x 1 2 f) 4 k) dx � x  x 1 2 1 4 h) x( x  1) � 0 1 1 s) c) � x  5x  6 2 1 m) dx � x  5x  6 1 xdx � ( x  1)3 0 o)  2 4sin 3 x � 1  cos x 0  2 sin 6 x � sin 6 x  cos 6 x 0  1 (x � 0  4 2  1) sin xdx x tan � 2 xdx 0 Page 17 TÀI LIỆU THPT HAY p)  2 q) x cos x 2 dx � 0 s) v)  4 tan x dx � cos 2 x 0  sin x dx � 1  4 cos x t)  4 cos3 x dx � 3 sin x   cos x dx � sin 3 x w) r) u) (2  x )sin 3xdx � 2 x  cos 2  2 �cos x  cos 3 x� dx � 2� xdx 0 2  6 � cot � � � x) 0  2 x sin xdx � 2 0 �cos x  sin x 1  cos x �  dx � 2 � 2 � 2 �cos x sin x � 10) Tính các tích phân hàm siêu việt 2 2 y) 1 a) e 3 x 2 e3 x dx � b) 0 ln 2 d)  2 e)  h) 0 e j) ln x � ( x  1) 2 dx 1 e 2 x ln( x  1)dx � n) e f) 3 xe3 x dx �  4 q) cos x ln(1  cos x)dx �  3 2 dx � x ln x e ln x 3 2  ln 2 x dx � x 1  2 e2 i) �1 1 � dx � 2 x� �  � �ln x ln e 1 l) ln( x  1) � x 1 1 e sin 4 xdx � 3x sin x ln(tan x) dx �  4 dx 0 o) e sin � x 2 ( x)dx 0 0  3 1 p) c) 0 2 x 2 e x dx � ( x  2) 2 0 e 1 k) 5 m) sin x ln(cos x)dx �  e e x cos xdx � 2 1  3 x 2x 0 g) e  3e dx  3e x  2 �e 2x ( xe  log x) dx � x  r) e2 cos (ln x) dx � 2 1 1 e 2 x dx x ln xdx e dx s) t) u) � � � x x ( x 2  1) 2 0 1 e  1 e 1 1 11) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 2 và các tích phân đăc biệt x  ln x 3 12) Ứng dụng của tích phân Tính diện tích các phẳng giới hạn bởi Tính thể tích các khối giới hạn bởi 13) Tính (đề thi TN, THCN) bao gồm cả các bài ứng dụng 14) Tính (đề thi ĐH CĐ 2000 – 2004) bao gồm cả các bài ứng dụng TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 18 TÀI LIỆU THPT HAY 15) Tính (đề thi ĐH CĐ 2004 – 2010) bao gồm cả các bài ứng dụng TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Page 19