1
Më ®Çu
1. LÝ do chän ®Ò tµi
1.1. NghÞ quyÕt Héi nghÞ lÇn thø IV Ban ChÊp hµnh Trung ¬ng §¶ng Céng
s¶n ViÖt Nam (Khãa IV, 1993) nªu râ: "Môc tiªu gi¸o dôc - ®µo t¹o ph¶i híng
vµo viÖc ®µo t¹o nh÷ng con ngêi lao ®éng tù chñ, s¸ng t¹o, cã n¨ng lùc gi¶i quyÕt
nh÷ng vÊn ®Ò thêng gÆp, qua ®ã mµ gãp phÇn tÝch cùc thùc hiÖn môc tiªu lín cña
®Êt níc” (dÉn theo Tµi liÖu Båi dìng gi¸o viªn m«n To¸n n¨m 2005, tr. 1).
VÒ ph¬ng ph¸p gi¸o dôc vµ ®µo t¹o, NghÞ quyÕt Héi nghÞ lÇn thø II Ban
ChÊp hµnh Trung ¬ng §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam (Khãa VIII, 1997) ®· ®Ò ra:
“Ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p ®µo t¹o, kh¾c phôc lèi truyÒn thô mét chiÒu, rÌn luyÖn
thµnh nÕp t duy s¸ng t¹o cña ngêi häc. Tõng bíc ¸p dông nh÷ng ph¬ng ph¸p tiªn
tiÕn vµ ph¬ng tiÖn hiÖn ®¹i vµo qu¸ tr×nh d¹y häc, ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn vµ thêi gian
tù häc, tù nghiªn cøu …”.
§iÒu 24, LuËt Gi¸o dôc (1998) quy ®Þnh: “Ph¬ng ph¸p gi¸o dôc phæ th«ng
ph¶i ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c, chñ ®éng, t duy s¸ng t¹o cña häc sinh, …;
båi dìng ph¬ng ph¸p tù häc, rÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tiÔn,
t¸c ®éng ®Õn t×nh c¶m, ®em l¹i niÒm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh”.
1.2. ë trêng phæ th«ng, d¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng to¸n häc. §èi víi häc
sinh, cã thªm xem gi¶i To¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. D¹y
häc gi¶i To¸n cã vai trß ®Æc biÖt trong d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng. C¸c
bµi to¸n lµ ph¬ng tiÖn cã hiÖu qu¶ kh«ng thÓ thay thÕ ®îc trong viÖc gióp häc
sinh n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t duy, h×nh thµnh kÜ n¨ng vµ kÜ x¶o. Ho¹t ®éng
gi¶i To¸n lµ ®iÒu kiÖn ®Ó thùc hiÖn tèt c¸c môc ®Ých kh¸c cña d¹y häc To¸n. Do
®ã, tæ chøc cã hiÖu qu¶ viÖc d¹y gi¶i To¸n cã vai trß quyÕt ®Þnh ®èi víi chÊt lîng d¹y häc To¸n.
Tuy nhiªn, thùc tiÔn cho thÊy chÊt lîng d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng cã
lóc, cã chç cßn cha tèt, biÓu hiÖn qua viÖc n¨ng lùc gi¶i To¸n cña häc sinh
cßn h¹n chÕ do häc sinh cßn m¾c nhiÒu sai lÇm. Mét trong nh÷ng nguyªn
nh©n quan träng lµ gi¸o viªn cha chó ý mét c¸ch ®óng møc viÖc ph¸t hiÖn, uèn
n¾n vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cho häc sinh ngay trong c¸c giê häc To¸n. V× ®iÒu
nµy nªn ë häc sinh nhiÒu khi gÆp ph¶i t×nh tr¹ng sai lÇm nèi tiÕp sai lÇm.
1.3. §· cã nhiÒu quan ®iÓm hoÆc ý kiÕn ®îc nªu ra xoay quanh vÊn ®Ò sai
lÇm trong cuéc sèng còng nh trong nghiªn cøu khoa häc. Khæng Tö ®· nãi: “Sai
2
lÇm ch©n thËt duy nhÊt lµ kh«ng söa ch÷a sai lÇm tríc ®ã cña m×nh”. Albert
Einstein nãi vÒ sai lÇm trong nghiªn cøu khoa häc: “NÕu t«i m¾c sai lÇm th× chØ
mét lÇn còng lµ ®ñ råi”. NhiÒu nhµ khoa häc ®· nhÊn m¹nh tíi vai trß cña viÖc
söa ch÷a sai lÇm cña häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y To¸n, ch¼ng h¹n,
G. Polia ®· ph¸t biÓu: “Con ngêi ph¶i biÕt häc ë nh÷ng sai lÇm vµ nh÷ng thiÕu sãt
cña m×nh” [45, tr. 204], cßn A. A. St«liar th× nhÊn m¹nh r»ng: “Kh«ng ®îc tiÕc
thêi gian ®Ó ph©n tÝch trªn giê häc c¸c sai lÇm cña häc sinh” [66, tr. 105].
ViÖn sÜ A. N. K«lm«g«r«v viÕt: “N¨ng lùc b×nh thêng cña häc sinh trung häc ®ñ
®Ó c¸c em n¾m ®îc To¸n häc trong nhµ trêng phæ th«ng nÕu cã sù híng dÉn tèt
cña thÇy gi¸o” [8, tr. 10]. Nh vËy cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng, c¸c sai lÇm cña häc
sinh trong gi¶i To¸n lµ cÇn vµ cã thÓ kh¾c phôc ®îc.
1.4. Sè c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu ®Ò cËp tíi sai lÇm cña häc sinh trong gi¶i
To¸n cßn t¬ng ®èi Ýt, trong c¸c c«ng tr×nh ®ã cã thÓ kÓ tíi LuËn ¸n TiÕn sÜ cña
cña Lª Thèng NhÊt: "RÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i To¸n cho häc sinh phæ th«ng
trung häc th«ng qua viÖc ph©n tÝch vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh khi
gi¶i To¸n" (1996). LuËn ¸n nµy ®· xem xÐt c¸c sai lÇm cña häc sinh ë tõng chñ
®Ò kiÕn thøc, ch¼ng h¹n chñ ®Ò ph¬ng tr×nh, chñ ®Ò bÊt ph¬ng tr×nh, chñ ®Ò giíi
h¹n, chñ ®Ó hµm sè, ... C¸ch ph©n chia theo kiÓu nµy cña t¸c gi¶ Lª Thèng NhÊt
cã u ®iÓm lµ gióp cho ngêi ®äc cã thÓ vËn dông ë møc ®é nµo ®ã vµo thùc tiÔn
gi¶ng d¹y, nghiªn cøu. Tuy nhiªn, sù h¹n chÕ cña nã l¹i lµ ë chç: sè lîng chñ ®Ò
kiÕn thøc lµ rÊt nhiÒu, khã kÓ hÕt, cßn nÕu gép l¹i ®Ó thµnh c¸c chñ ®Ò lín th×
nhiÒu khi dÉn tíi sù chung chung, thiÕu cô thÓ.
C¸c nhãm t¸c gi¶ TrÇn Ph¬ng - Lª Hång §øc trong Sai lÇm thêng gÆp vµ
c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i To¸n (2004); Lª §×nh ThÞnh - TrÇn H÷u Phóc - NguyÔn
C¶nh Nam trong MÑo vµ bÉy trong c¸c ®Ò thi m«n To¸n (1992); TrÇn H÷u Phóc
- NguyÔn C¶nh Nam trong H·y cÈn thËn! Bµi thi ®¬n gi¶n qu¸! (2002) ®Òu s¾p
xÕp sai lÇm cña häc sinh theo tõng chñ ®Ò kiÕn thøc.
C¸ch s¾p xÕp sai lÇm dùa theo tiªu chÝ chñ ®Ò kiÕn thøc nh c¸c t¸c gi¶ nãi
trªn cha thÓ gi¶i thÝch mét c¸ch têng minh, dÔ hiÓu vµ bao qu¸t hÕt tÊt c¶ c¸c kiÓu
sai lÇm cho häc sinh. H¬n n÷a cha thÓ ®Ò cËp ®îc mét sè kiÓu sai lÇm thêng gÆp
nh: sai lÇm ng«n ng÷, sai lÇm liªn quan ®Õn c¸c thao t¸c t duy, sai lÇm liªn
quan ®Õn ph©n chia trêng hîp riªng, ...
3
Cã thÓ nãi, cho ®Õn nay cha cã mét c«ng tr×nh nµo nghiªn cøu sai lÇm cña
häc sinh khi gi¶i To¸n nh×n tõ gãc ®é ho¹t ®éng to¸n häc, nghÜa lµ xem xÐt c¸c
sai lÇm theo ph¬ng diÖn chÊt lîng tiÕn hµnh c¸c ho¹t ®éng to¸n häc.
Tõ nh÷ng sù ph©n tÝch trªn ®©y, chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cña LuËn
v¨n lµ:
“Nghiªn cøu mét sè sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i
To¸n §¹i sè - Gi¶i tÝch vµ quan ®iÓm kh¾c phôc”.
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
Nghiªn cøu mét sè sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng trong gi¶i
To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch mµ c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu tríc ®©y hoÆc cha ®Ò cËp,
hoÆc cha ph©n tÝch mét c¸ch s©u s¾c vµ ®Ò xuÊt c¸c quan ®iÓm kh¾c phôc.
3. Gi¶ thuyÕt khoa häc
NÕu lµm s¸ng tá ®îc c¸c d¹ng sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng
khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, th× cã thÓ ®Ò xuÊt ®îc c¸c quan ®iÓm ®Ó phßng
tr¸nh vµ kh¾c phôc c¸c d¹ng sai lÇm nµy, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng d¹y häc
To¸n ë trêng phæ th«ng.
4. NhiÖm vô nghiªn cøu
LuËn v¨n cã nhiÖm vô gi¶i ®¸p c¸c c©u hái khoa häc sau ®©y:
4.1. Trong gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, häc sinh thêng m¾c ph¶i mét sè
kiÓu sai lÇm phæ biÕn nµo?
4.2. Nguyªn nh©n nµo dÉn tíi c¸c sai lÇm ®ã?
4.3. §Ó h¹n chÕ, söa ch÷a nh÷ng sai lÇm ®· chØ ra, cÇn thùc hiÖn nh÷ng
quan ®iÓm nµo?
4.4. KÕt qu¶ cña Thùc nghiÖm s ph¹m lµ nh thÕ nµo?
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
5.1. Nghiªn cøu lÝ luËn: Nghiªn cøu c¸c tµi liÖu vÒ lÝ luËn vµ ph¬ng ph¸p
gi¶ng d¹y m«n To¸n, c¸c tµi liÖu vÒ T©m lÝ häc vµ Gi¸o dôc häc ®Ó lµm ®iÓm tùa
®Ò xuÊt c¸c quan ®iÓm h¹n chÕ vµ söa ch÷a sai lÇm cña häc sinh.
5.2. §iÒu tra, quan s¸t: §iÒu tra qua thùc tiÔn s ph¹m, qua c¸c tµi liÖu ®Ó
n¾m b¾t thªm nh÷ng kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i
To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch.
6. Nh÷ng ®ãng gãp cña LuËn v¨n
4
6.1. LuËn v¨n ®· lµm s¸ng tá ®îc nhiÒu kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung
häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch mµ c¸c tµi liÖu kh¸c hoÆc cha cã
dÞp ®Ò cËp, hoÆc chØ ®Ò cËp ë møc ®é s¬ bé. §Æc biÖt, khi ®Ò cËp ®Õn c¸c sai lÇm,
LuËn v¨n ®· chó träng ®Õn ph¬ng diÖn ho¹t ®éng to¸n häc.
6.2. LuËn v¨n ®· ph©n tÝch ®îc nguyªn nh©n dÉn ®Õn nh÷ng sai lÇm ®ã.
6.3. Cïng víi c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu kh¸c, tiÕn tíi viÖc ®a ra mét bøc
tranh toµn c¶nh vµ t¬ng ®èi ®Çy ®ñ vÒ nh÷ng kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung häc
phæ th«ng khi gi¶i To¸n.
6.4. LuËn v¨n cã thÓ dïng lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn To¸n
Trung häc phæ th«ng.
7. CÊu tróc cña luËn v¨n
Më ®Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
3. NhiÖm vô nghiªn cøu
4. Gi¶ thuyÕt khoa häc
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
6. §ãng gãp cña LuËn v¨n
Ch¬ng 1. Mét sè vÊn ®Ò thùc tr¹ng vÒ nh÷ng sai lÇm cña häc sinh
Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch
1.1. Mét sè c«ng tr×nh cã liªn quan
1.2. Sù cÇn thiÕt phßng tr¸nh vµ söa ch÷a nh÷ng sai lÇm cña häc sinh khi
gi¶i To¸n
1.3. Mét sè kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n
§¹i sè vµ Gi¶i tÝch
1.4. KÕt luËn Ch¬ng 1
Ch¬ng 2. Gãp phÇn phßng tr¸nh vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh
Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch
2.1. C¬ së lÝ luËn
2.2. Nh÷ng quan ®iÓm chñ ®¹o trong viÖc phßng tr¸nh, söa ch÷a c¸c sai
lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch
2.4. KÕt luËn Ch¬ng 2
Ch¬ng 3. Thùc nghiÖm s ph¹m
3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm
5
3.2. Tæ chøc thùc nghiÖm
3.3. Néi dung thùc nghiÖm
3.4. §¸nh gi¸ c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm
KÕt luËn
Nh÷ng c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ hoÆc ®ång t¸c gi¶ ®· ®îc c«ng bè
Tµi liÖu tham kh¶o
Ch¬ng 1
Mét sè vÊn ®Ò thùc tr¹ng vÒ nh÷ng sai lÇm cña
häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n
§¹i sè vµ Gi¶i tÝch
1.1. Mét sè c«ng tr×nh cã liªn quan
Nh÷ng c«ng tr×nh nghiªn cøu ®Ò cËp tíi sai lÇm cña häc sinh trong gi¶i
To¸n cßn t¬ng ®èi Ýt, trong c¸c c«ng tr×nh ®ã ph¶i kÓ tíi LuËn ¸n TiÕn sÜ cña cña
Lª Thèng NhÊt: "RÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i To¸n cho häc sinh phæ th«ng trung häc
th«ng qua viÖc ph©n tÝch vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n"
(1996). LuËn ¸n nµy ®· xem xÐt c¸c sai lÇm cña häc sinh ë tõng chñ ®Ò kiÕn thøc,
ch¼ng h¹n, chñ ®Ò ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, giíi h¹n, hµm sè, ... C¸ch ph©n
chia theo kiÓu nµy cña t¸c gi¶ Lª Thèng NhÊt cã u ®iÓm lµ gióp cho ngêi ®äc cã
6
thÓ vËn dông ë møc ®é nµo ®ã vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y, nghiªn cøu. Tuy nhiªn, sù
h¹n chÕ cña nã l¹i lµ ë chç: sè lîng chñ ®Ò kiÕn thøc lµ rÊt nhiÒu khã mµ kÓ hÕt,
nÕu gép chóng l¹i ®Ó thµnh chñ ®Ò lín th× nhiÒu khi m¾c ph¶i sù chung chung mµ
kh«ng cã ®iÒu kiÖn xem xÐt hÕt ®Æc trng cña tõng d¹ng. §Æt vÊn ®Ò xem xÐt hÕt
c¸c kiÓu sai lÇm trªn mäi chñ ®Ò lµ viÖc lµm bÊt kh¶ thi. Trong LuËn ¸n cña
m×nh, t¸c gi¶ Lª Thèng NhÊt ®· ®a ra bèn biÖn ph¸p s ph¹m vµ t¸m dÊu hiÖu ®Ó
nhËn biÕt sai lÇm nhng cha thùc sù ®i s©u vµo mét kiÓu sai lÇm nµo vµ cha ph©n
tÝch mét c¸ch bao qu¸t c¸c nguyªn nh©n dÉn tíi nh÷ng sai lÇm ®ã, mµ mét
nguyªn nh©n kh«ng kÐm phÇn quan träng ¶nh hëng tíi chÊt lîng gi¶i bµi tËp
To¸n ®ã lµ nguyªn nh©n do ¶nh hëng vÒ mÆt t©m lÝ. Nhãm t¸c gi¶ TrÇn Ph¬ng Lª Hång §øc trong Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i To¸n (2004) còng
®Ò cËp ®Õn mét sè sai lÇm cña häc sinh. Trong c«ng tr×nh nµy, c¸c t¸c gi¶ ®· ®a
ra mét sè kÜ thuËt chän ®iÓm r¬i ®Ó tr¸nh sai lÇm khi sö dông c¸c BÊt ®¼ng thøc
C«si vµ Bunhiac«pski. Ngoµi ra ph¶i kÓ tíi nhãm t¸c gi¶ Lª §×nh ThÞnh - TrÇn
H÷u Phóc NguyÔn C¶nh Nam trong c«ng tr×nh MÑo vµ bÉy trong c¸c ®Ò thi m«n
To¸n (1992), trong c«ng tr×nh nµy c¸c t¸c gi¶ ®· ®a ra thuËt ng÷ "bÉy" vµ ph©n
tÝch kh¸ nhiÒu vÝ dô vµ cho r»ng, mçi khi häc sinh m¾c sai lÇm lµ ®ång nghÜa víi
viÖc sa bÉy, "bÉy" trong c¸c bµi to¸n lµ c¸c t×nh huèng ®îc c¸c t¸c gi¶ cµi ®Æt mµ
nÕu häc sinh kh«ng v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n th× sÏ m¾c ph¶i sai lÇm. Víi c¸ch s¾p
xÕp sai lÇm theo tõng chñ ®Ò kiÕn thøc nh c¸c t¸c gi¶ nãi trªn th× kh«ng thÓ gi¶i
thÝch mét c¸ch têng minh, dÔ hiÓu hÕt tÊt c¶ c¸c kiÓu sai lÇm cho häc sinh ®Ó tõ
®ã hä cã ý thøc phßng tr¸nh c¸c sai lÇm nµy, mÆt kh¸c cha ®Ò cËp ®îc mét sè
kiÓu sai lÇm thêng gÆp nh: sai lÇm ng«n ng÷, sai lÇm liªn quan ®Õn c¸c thao t¸c t
duy, sai lÇm liªn quan ®Õn ph©n chia trêng hîp riªng, ...
Nh vËy trªn ph¬ng diÖn lÝ luËn, c¸c vÊn ®Ò c¬ b¶n cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi
nghiªn cøu cña chóng t«i còng ®· ®îc nghiªn cøu ë mét møc ®é nµo ®ã. Tuy
nhiªn cha cã mét c«ng tr×nh nµo nghiªn cøu c¸c sai lÇm nh×n tõ gãc ®é ho¹t ®éng
to¸n häc, xem xÐt c¸c sai lÇm theo ph¬ng diÖn chÊt lîng tiÕn hµnh c¸c ho¹t ®éng
to¸n häc. Nãi mét c¸ch kh¸c, c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ sai lÇm cña häc sinh
khi gi¶i To¸n thêng xem xÐt theo ph¬ng diÖn chñ ®Ò kiÕn thøc, cßn c¸ch tiÕp cËn
cña LuËn v¨n nµy sÏ theo ph¬ng diÖn kh¸c, ®ã lµ ph¬ng diÖn ho¹t ®éng.
1.2. Sù cÇn thiÕt phßng tr¸nh vµ söa ch÷a nh÷ng sai lÇm cña
häc sinh khi gi¶i to¸n
7
D¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng to¸n häc (A. A. St«liar, 1969, tr. 12) lµ mét
luËn ®iÓm c¬ b¶n ®· ®îc mäi ngêi thõa nhËn, ho¹t ®éng to¸n häc chñ yÕu cña
häc sinh lµ ho¹t ®éng gi¶i bµi tËp To¸n. Tr×nh ®é häc To¸n cña häc sinh ®Õn møc
®é nµo sÏ ®îc thÓ hiÖn râ nÐt qua chÊt lîng gi¶i To¸n. Vai trß cña bµi tËp trong
d¹y häc To¸n lµ v« cïng quan träng, ®ã lµ lÝ do t¹i sao nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn
cøu vÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc To¸n l¹i g¾n víi viÖc nghiªn cøu x©y dùng hÖ thèng
bµi tËp (ch¼ng h¹n, c¸c c«ng tr×nh: T«n Th©n (1995), TrÇn §×nh Ch©u (1996),
NguyÔn §×nh Hïng (1997)). Ngoµi ra cã thÓ tham kh¶o ý kiÕn cña P. M.
Ec®¬nnhiev trong [67]: "Bµi tËp ®îc coi lµ mét m¾t xÝch chÝnh cña qu¸ tr×nh d¹y
häc To¸n". Tuy nhiªn d¹y häc gi¶i To¸n kh«ng thÓ t¸ch rêi mét c¸ch c« lËp víi
d¹y häc kh¸i niÖm to¸n häc vµ d¹y häc ®Þnh lÝ, do ®ã khi ph¸t hiÖn thÊy häc sinh
cßn m¾c ph¶i nhiÒu khã kh¨n vµ sai lÇm trong gi¶i To¸n th× ®iÒu nµy còng cã t¸c
dông khuyÕn c¸o nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý trong qu¸ tr×nh d¹y kh¸i niÖm vµ ®Þnh lÝ
to¸n häc.
§Æt ra vÊn ®Ò nghiªn cøu nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i
To¸n lµ cÊp thiÕt, bëi lÏ, thùc tiÔn s ph¹m cho thÊy häc sinh cßn m¾c rÊt nhiÒu
kiÓu sai lÇm. Tõ nh÷ng sai lÇm vÒ tÝnh to¸n ®Õn nh÷ng sai lÇm vÒ suy luËn vµ
thËm chÝ lµ nh÷ng kiÓu sai lÇm rÊt tinh vi. Mét nguyªn nh©n kh«ng nhá lµ gi¸o
viªn cha chó träng mét c¸ch ®óng møc viÖc ph¸t hiÖn, uèn n¾n vµ söa ch÷a c¸c
sai lÇm cho häc sinh ngay trong c¸c giê häc To¸n. V× ®iÒu nµy nªn ë häc sinh
nhiÒu khi gÆp ph¶i t×nh tr¹ng sai lÇm nèi tiÕp sai lÇm.
RÊt nhiÒu nhµ khoa häc ®· nhÊn m¹nh tíi vai trß cña viÖc söa ch÷a sai lÇm
cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y To¸n, ch¼ng h¹n G. Polia cho r»ng: "Con
ngêi ph¶i biÕt häc ë nh÷ng sai lÇm vµ thiÕu sãt cña m×nh" [45, tr. 204], A. A.
St«liar ph¸t biÓu: "Kh«ng ®îc tiÕc thêi gian ®Ó ph©n tÝch trªn giê häc c¸c sai lÇm
cña häc sinh" [66, tr. 105], cßn theo J. A. Komenxki th×: "BÊt k× mét sai lÇm nµo
còng cã thÓ lµm cho häc sinh kÐm ®i nÕu nh gi¸o viªn kh«ng chó ý ngay ®Õn sai
lÇm ®ã, vµ híng dÉn häc sinh nhËn ra, söa ch÷a kh¾c phôc sai lÇm" (dÉn theo
NguyÔn Anh TuÊn 2003). T©m lÝ häc ®· kh¼ng ®Þnh r»ng: "Mäi trÎ em b×nh thêng kh«ng cã bÖnh tËt g× ®Òu cã kh¶ n¨ng ®¹t ®îc häc vÊn to¸n häc phæ th«ng,
c¬ b¶n dï cho ch¬ng tr×nh to¸n ®· hiÖn ®¹i hãa" [17, tr. 49]. Nh vËy cã thÓ kh¼ng
®Þnh r»ng, c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n lµ cÇn vµ cã thÓ kh¾c phôc ®îc.
8
1.3. Mét sè kiÓu sai lÇm cña häc sinh TRUNG HäC PHæ TH¤NG
khi gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch
Trong môc nµy ®Ó ¸m chØ nh÷ng lêi gi¶i cã m¾c ph¶i sai lÇm, chóng t«i
dïng kÝ hiÖu (?) vµ sö dông kÝ hiÖu (!) ®Ó ph©n tÝch sai lÇm cña häc sinh.
Trong môc nµy, khi xem xÐt c¸c sai lÇm cña häc sinh chóng t«i kh«ng s¾p
xÕp theo tõng d¹ng to¸n, nãi c¸ch kh¸c lµ, kh«ng tiÕn hµnh theo con ®êng nªu
nh÷ng sai lÇm theo tõng chñ ®Ò kiÕn thøc. Nh÷ng sai lÇm cña häc sinh (khi gi¶i
To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch) sÏ ®îc ®Ò cËp vµ lµm s¸ng tá tõ ph¬ng diÖn Ho¹t ®éng
to¸n häc.
1.3.1. Sai lÇm liªn quan ®Õn ph©n chia trêng hîp riªng
Häc sinh thêng gÆp nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm sau ®©y khi gi¶i nh÷ng bµi
to¸n cã liªn quan ®Õn viÖc ph©n chia trêng hîp.
1.3.1.1. Kh«ng n¾m v÷ng b¶n chÊt cña tham sè, kh«ng hiÓu nghÜa cña
côm tõ “gi¶i vµ biÖn luËn”, lÉn lén gi÷a “biÖn luËn theo m ” vµ “t×m m ”. Khi
gi¶i biÖn luËn ph¬ng tr×nh (bÊt ph¬ng tr×nh) cã tham sè m, nhiÒu häc sinh quy
vÒ t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (bÊt ph¬ng tr×nh) cã nghiÖm.
VÝ dô 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh
m(x + m) = x + 1
(?): Häc sinh chuyÓn x vÒ mét vÕ vµ ®a vÒ: (m - 1)x = 1 - m2 tõ ®ã rót ra
1 m 2 . §Ó phÐp chia cã nghÜa th× ph¶i cã ®iÒu kiÖn m
1 . KÕt luËn: m 1
x
m 1
vµ x = - m - 1.
(!): Thùc ra ®©y kh«ng ph¶i bµi to¸n t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, mµ
®©y lµ bµi to¸n gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh. Khi gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh,
kÓ c¶ trêng hîp ph¬ng tr×nh v« nghiÖm th× ta vÉn ph¶i xem xÐt.
Gi¶ sö cã ®iÒu kiÖn m 1 th× ta thùc hiÖn ®îc phÐp chia 1 – m2 cho m - 1,
nhng kh«ng cã nghÜa lµ, ta thùc hiÖn phÐp chia tríc råi l¹i buéc m ph¶i kh¸c 1.
VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh
x 1 2x m
9
(?): Cã häc sinh gi¶i nh sau: víi x 1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ
m 1
.
3
(!): Häc sinh nµy dï ®· n¾m ®îc kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhng vÉn cha ý
thøc ®îc r»ng, tham sè ®îc xem nh lµ nh÷ng sè ®· biÕt nhng cha râ cô thÓ lµ bao
x m 1 ; víi x < 1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x
nhiªu, bëi vËy kh«ng ch¾c g× m – 1 ®· lín hoÆc b»ng 1;
m 1
®· bÐ thua 1.
3
VÝ dô 3: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh
m(x – m + 3) m(x - 2) + 6
(?): BÊt ph¬ng tr×nh mx - m2 + 3m mx - 2m +6 m2 – 5m + 6 0
2 m 3
VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: 2 m 3.
(!): Thùc ra 2 m 3 chØ lµ ®iÒu kiÖn ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chø
kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh. Khi m n»m ngoµi [2; 3] th× bÊt ph¬ng
tr×nh sÏ v« nghiÖm vµ ta vÉn ph¶i ®Ò cËp ®Õn trêng hîp nµy trong kh©u biÖn luËn.
1.3.1.2. Kh«ng ý thøc ®îc sù suy biÕn cña tham sè, ¸p dông thuËt gi¶i
mét c¸ch m¸y mãc vµo nh÷ng trêng hîp kh«ng thuéc hÖ thèng
VÝ dô 4: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh
x 2 3x 2a x 2 2ax 5
(?): Cã häc sinh gi¶i nh sau: bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi
2a 5
x2 – 3x + 2a x2 + 2ax + 5 x(2a + 3) 2a -5 x
2a 3
(!): Víi c¸ch gi¶i nh trªn cho thÊy häc sinh cha n¾m v÷ng kh¸i niÖm gi¸ trÞ
tuyÖt ®èi, mÆt kh¸c cha n¾m v÷ng ®iÒu kiÖn ®Ó thùc hiÖn ®îc c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¬ b¶n trªn c¸c bÊt ph¬ng tr×nh.
x
x m
(?): Häc sinh cho r»ng ®êng th¼ng x = m lµ tiÖm cËn ®øng vµ ®êng th¼ng y
= 1 lµ tiÖm cËn ngang.
VÝ dô 5: T×m c¸c tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè sau: y =
10
x
(!): Thùc ra khi m = 0 th× y 1 víi tËp x¸c ®Þnh x 0 . Lóc nµy ®å thÞ
x
cña y lµ ®êng th¼ng y = 1 bá ®i mét ®iÓm. Kh«ng thÓ xem ®êng th¼ng x m 0
(tøc trôc tung) lµ tiÖm cËn ®øng ®îc. Theo nghÜa réng ta cã thÓ xem y = 1 lµ tiÖm
cËn ngang.
1.3.1.3. N¾m kh«ng chÝnh x¸c vÒ ®iÒu kiÖn ®Ó cã thÓ thùc hiÖn phÐp biÕn
®æi t¬ng ®¬ng
VÝ dô 6: T×m m sao cho ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
(?): (1) lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1) x2 + 2mx = x – 1 (2)
x2 + x(2m - 1) + 1 = 0.
Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi = 0 m
1
hoÆc
2
3
m .
2
(!): Thùc ra ph¬ng tr×nh (1) ®· cho chØ t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh
x 2 2mx 0
x2 + 2mx = x – 1 (2) víi ®iÒu kiÖn
, hay nãi gän h¬n lµ,
x
1
0
ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh (2) víi ®iÒu kiÖn x > 1.
Do ®ã ®¸ng lÏ ph¶i nãi: ph¬ng tr×nh x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cã duy nhÊt mét
0
0
nghiÖm x > 1, råi tõ ®ã chuyÓn vÒ xÐt hai trêng hîp: b
vµ
th×
x
1
x
1
2
1
2a
häc sinh l¹i chØ nãi: ph¬ng tr×nh x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cã nghiÖm duy nhÊt.
VÝ dô 7: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
x m x 2 3mx 2m 2 x 2 m 2
(?): Ta nhËn thÊy do c¸c biÓu thøc trong c¸c dÊu c¨n ®Òu cã chøa h¹ng tö
x – m, nªn rót gän hai vÕ ®îc bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng
1+
x 2m x m
11
1.3.1.4. Cha n¾m v÷ng mét sè kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n, ch¼ng h¹n
c¸c kh¸i niÖm cã cÊu tróc héi, v× kh«ng ý thøc ®îc sù t¸c ®éng cña tham sè
®èi víi kÕt qu¶ bµi to¸n
VÝ dô 8: H·y biÖn luËn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
E = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a
(?): V× E lµ tæng c¸c b×nh ph¬ng nªn E 0 víi mäi x vµ y, do ®ã gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña E b»ng 0.
x 2y 1 0
DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi hÖ
cã nghiÖm
2x
ay
5
0
Ta cã: D = a + 4; Dx = - a – 10; Dy = - 3.
a 10
x a 4
NÕu a - 4 hÖ cã nghiÖm
nªn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña E lµ 0.
3
y
a4
NÕu a = - 4 th× Dx 0 nªn hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy víi a = - 4 th× E
kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ nhá nhÊt.
(!): Víi a = - 4 kÕt luËn E kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ sai lÇm, v× víi
a = - 4 th× E = (x – 2y + 1)2 + (2x - 4y + 5)2 ®Æt t = x – 2y +1 ta cã E = t2 + 4(t+
9
6
3
) = 5t2 + 12t + 9 víi mäi t, dÊu b»ng x¶y ra khi t . NghÜa lµ trong tr2
5
5
êng hîp a = - 4, E ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng
9
t¹i c¸c ®iÓm x, y bÊt k× tháa m·n
5
®iÒu kiÖn 5x – 10y – 11 = 0.
1.3.1.5. Kh«ng biÕt chia thµnh nh÷ng trêng hîp nµo, nãi c¸ch kh¸c
kh«ng biÕt t×m ra tiªu chÝ lµm c¬ së cho sù ph©n chia
VÝ dô 9: Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè a bÊt ph¬ng tr×nh
x a x 2a x 3a (1)
(?): GÆp bµi to¸n nµy, häc sinh hÇu nh kh«ng biÕt nªn ph©n chia tham sè a
thµnh nh÷ng trêng hîp nµo. NhiÒu häc sinh cø ngì r»ng 3 sè: a, 2a, 3a th× dÜ
nhiªn 3a lµ lín nhÊt, do ®ã ®iÒu kiÖn cña bÊt ph¬ng tr×nh chØ lµ x > 3a vµ biÕn ®æi
(1)
x a x 2a x 3a 4a x 2
x
2a x 3a
12
3a x 4a
3a
x
4a
a 6 2 3
a 62 3
2
2
3x 12ax 8a 0
x
6
6
(!): TH 1: NÕu a = 0, bÊt ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
TH 2: NÕu a > 0, ®iÒu kiÖn cña x lµ x 3a, khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng
®¬ng víi 4a - x >
x
2a x 3a (2), v× a > 0 nªn (2)
3a x 4a
a(6 2 3)
2
3a x
2
6
3x 12ax 8a 0
TH 3: NÕu a < 0, ®iÒu kiÖn cña x lµ x ≥ a, khi ®ã (1) t¬ng ®¬ng víi 4a
– x >2
x
2a x 3a .
V× a < 0 vµ x ≥ a nªn 4a x 3a (a x) 0 , do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh nµy
v« nghiÖm.
ViÖc ph©n chia 3 trêng hîp a = 0; a < 0; a > 0 c¨n cø mét phÇn quan träng
vµo viÖc t×m ®iÒu kiÖn chung ®Ó thay thÕ cho 3 ®iÒu kiÖn: x a ; x 2a ; x 3a .
PhÇn sau cña LuËn v¨n sÏ trë l¹i vÊn ®Ò nµy.
1.3.1.6. Do hiÓu sai yªu cÇu cña bµi to¸n nªn ph©n chia thiÕu trêng hîp
VÝ dô 10: T×m m sao cho ph¬ng tr×nh:
x 2 (2m 1)x m 2 0
chØ cã mét nghiÖm tháa m·n x > 3
(?): Cã nhiÒu häc sinh lËp luËn: yªu cÇu cña bµi to¸n t¬ng ®¬ng víi ph¬ng
tr×nh cã nghiÖm kÐp lín h¬n 3
1
m
4 . Kh«ng tån t¹i m.
m 5
2
L¹i cã nh÷ng häc sinh lËp luËn r»ng: ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
tháa m·n ®iÒu kiÖn mét nghiÖm lín h¬n 3:
0
S
3
2
13
af(3) 0
5
m 3 3 lµ ®iÒu kiÖn cÇn t×m.
x1 ≤ 3 < x 2 S
2
2 3
(!): Theo kiÓu thø nhÊt häc sinh phiªn dÞch sai yªu cÇu cña bµi to¸n, víi
côm tõ “chØ cã mét nghiÖm lín h¬n 3”, häc sinh ®ång nhÊt víi “cã hai nghiÖm
b»ng nhau lín h¬n 3”. Theo kiÓu thø 2 häc sinh ®· gép hai trêng hîp x1 3 x 2
vµ 3 x1 x 2 thµnh mét trêng hîp x1 3 x 2 . Tuy nhiªn ®· viÕt ®iÒu kiÖn bá
sãt trêng hîp x1
S
3 x 2 .
2
Ngoµi c¸c sai lÇm trªn th×, trong ph©n chia trêng hîp riªng, häc sinh cßn
m¾c nhiÒu sai lÇm kh¸c, ch¼ng h¹n, trong qu¸ tr×nh ph©n chia cã thÓ bá sãt c¸c
trêng hîp; ph©n chia trång chÐo; trïng lÆp hoÆc m¾c ph¶i sai lÇm trong biÕn ®æi
vµ tÝnh to¸n.
1.3.2. Sai lÇm liªn quan ®Õn ng«n ng÷ diÔn ®¹t
Häc sinh thêng m¾c ph¶i c¸c kiÓu sai lÇm ng«n ng÷ phæ biÕn sau
1.3.2.1. Sai lÇm vÒ có ph¸p vµ ng÷ nghÜa
Theo A. A. St«liar, kh«ng Ýt häc sinh cßn yÕu trong viÖc n¾m có ph¸p cña
ng«n ng÷ To¸n häc, ch¼ng h¹n, kh«ng Ýt häc sinh ®· cho r»ng:
2
a b
2
a b
2
a b ; logc(a.b) = logca.logcb;
a 2 a ;
m
a. n a m.n a ;
2
1
1
cos
2x
4
(-x) = - x (kh«ng cÇn chó ý tíi n ch½n, n lÎ), f (x)
; cos x =
f(x)
2
n
n
1
, ...
Cã nh÷ng hiÖn tîng häc sinh biÕn ®æi ®óng nh÷ng cha ch¾c hä ®· n¾m ®îc
kiÕn thøc mét c¸ch thùc thô.
VÝ dô 11: NhiÒu c«ng thøc ph¸t biÓu mét c¸ch rÊt “vÇn” nh “lim cña mét
tæng b»ng tæng c¸c lim; lim cña tÝch b»ng tÝch c¸c lim; ®¹o hµm cña mét tÝch
b»ng tÝch c¸c ®¹o hµm; tÝch cña c¸c hµm sè ®ång biÕn lµ hµm ®ång biÕn”; häc
sinh chØ n¾m kiÕn thøc theo kiÓu hµnh v¨n chø kh«ng hiÓu b¶n chÊt To¸n häc.
14
VÝ dô 12: DÊu “=” cã rÊt nhiÒu h×nh th¸i sö dông nh chØ sù ®ång nhÊt, toµn
®¼ng, chØ sù thay ®æi, chØ mét hµnh ®éng cÇn tiÕn hµnh, ... Trong trêng hîp nµy
nãi riªng ta nãi tíi dÊu “=” trong nguyªn hµm. V× mang mét phong c¸ch rÊt
“vÇn” nªn häc sinh dÔ nhí ®îc
f(x)dx g(x)dx f(x) g(x) dx , nhng Ýt
häc sinh hiÓu ®îc b¶n chÊt cña dÊu “=” ®ã. Trong hoµn c¶nh nµy häc sinh n¾m
có ph¸p mét c¸ch h×nh thøc nhng kh«ng hiÓu ®îc ng÷ nghÜa cho nªn häc sinh
kh«ng hiÓu v× sao I = 1 + I ?
Ch¼ng h¹n, khi tÝnh
dx
x.ln x , cã häc sinh gi¶i nh sau:
1
dx
dx
dx
du
KÝ hiÖu I =
. §Æt u =
; v = lnx dv .
2
ln x
x(ln x)
x.ln x
x
Theo c«ng thøc nguyªn hµm tõng phÇn I = udv uv
vdu
ta cã
1
1
.ln x ln x.
dx , suy ra I = 1+ I (?)
2
ln x
x(ln x)
§· cã sù v« lÝ, bëi lÏ dÊu “=” trong hoµn c¶nh nµy chØ sù b»ng nhau gi÷a
hai tËp hîp: I lµ tËp hîp cña c¸c hµm, mµ I + 1 còng lµ tËp hîp cña c¸c hµm. H¬n
n÷a víi c¸ch gi¶i trªn kh«ng ®i ®Õn kÕt qu¶ g×.
Trong thùc tÕ d¹y häc, ta ®· b¾t gÆp hiÖn tîng, mét bµi to¸n t×m nguyªn
hµm nhng víi hai c¸ch gi¶i ®óng kh¸c nhau ®· cho ra kÕt qu¶ cã vÎ rÊt kh¸c
nhau, nªn ®· dÉn ®Õn sù hoµi nghi vÒ mét trong hai kÕt qu¶. Khi hai ngêi chän
hai kÕt qu¶ F(x) + C vµ G(x) + C, tuy G(x) vµ F(x) mang h×nh thøc kh¸c nhau nhng gi÷a chóng cã thÓ chØ sai kh¸c mét h»ng sè. §iÒu nµy rÊt hay gÆp ë c¸c hµm lîng gi¸c ngîc.
Cã nhiÒu häc sinh “n¾m ®îc” có ph¸p mét c¸ch h×nh thøc nhng kh«ng h¼n
hiÓu ®îc ng÷ nghÜa cña kÝ hiÖu to¸n häc.
I=
k
VÝ dô 13: Sau khi biÕt C n
n!
(1), häc sinh cã thÓ chøng minh ®k! n k !
îc c«ng thøc C nn k C kn (2) b»ng c¸ch ¸p dông trùc tiÕp c«ng thøc (1). Tuy nhiªn,
Ýt häc sinh cã thÓ thÊy ®îc (2) mét c¸ch trùc gi¸c vµ chøng minh (2) b»ng ®Þnh
nghÜa cña C kn , häc sinh kh«ng hiÓu b¶n chÊt lµ, mét tËp X (gåm n phÇn tö) cã bao
15
nhiªu tËp con gåm k ( k n ) phÇn tö th× sÏ cã bÊy nhiªu tËp con gåm n k phÇn
tö .
VÝ dô 14: Khi häc xong ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè, häc sinh tr¶ lêi nhanh
2
kÕt qu¶ tÝnh lim x 2x 1 víi mét c¸ch suy nghÜ h×nh thøc lµ thay gi¸ trÞ x = 1
x 1
x2
2
vµo x 2x 1 ®Ó cho kÕt qu¶. Suy nghÜ kiÓu nh vËy nªn häc sinh cho r»ng
x 2
x 2 3x 2 kh«ng tån t¹i. §iÒu ®ã cho thÊy häc sinh kh«ng hiÓu kÝ hiÖu lim.
lim
x 1
x 1
1.3.2.2. LÉn lén gi÷a ®èi tîng ®îc ®Þnh nghÜa vµ ®èi tîng dïng ®Ó chØ
®èi tîng Êy
VÝ dô 15: Häc sinh thêng hay nãi “Tæ hîp chËp k cña n lµ C kn ”, hoÆc,
“ChØnh hîp chËp k cña n lµ A kn ”; “mÆt ph¼ng (P) lµ Ax + By + Cz + D = 0”.
1.3.2.3. BÞ ¸m ¶nh bëi c¸c ng«n ng÷ th«ng thêng cña c¸c tõ trong tiÕng
ViÖt.
VÝ dô 16: Trong tiÕng ViÖt “®¹i” lµ to h¬n “tiÓu”, häc sinh Ên tîng víi ®iÒu
2
nµy, nªn nghÜ r»ng hµm sè y = ax bx c cã cùc ®¹i lín h¬n cùc tiÓu. Nhng
mx n
thùc ra, nÕu hµm sè cã cùc trÞ th× gi¸ trÞ cùc tiÓu l¹i lín h¬n gi¸ trÞ cùc ®¹i.
1.3.2.4. ¸p ®Æt nh÷ng tÝnh chÊt liªn quan ®Õn kh¸i niÖm nµy cho kh¸i
niÖm kh¸c cã nh÷ng tõ gÇn gièng
VÝ dô 17: Häc sinh nghÜ: “Tæng cña hai hµm sè lÎ lµ mét hµm sè ch½n” do
b¾t chíc tÝnh chÊt “Tæng cña hai sè lÎ lµ mét sè ch½n”, hoÆc xuÊt ph¸t tõ tÝnh
chÊt mçi sè nguyªn kh«ng ch½n th× lÎ, nªn nghÜ r»ng ch¼ng cã hµm nµo võa
kh«ng ch½n, võa kh«ng lÎ.
1.3.2.5. L¹m dông thuËt ng÷ vµ kÝ hiÖu To¸n häc ®Ó thay thÕ mét sè tõ
cña ng«n ng÷ tù nhiªn
VÝ dô 18: a. §a thøc cã hÖ sè bËc 3 < 0 (®a thøc cã hÖ sè bËc ba ©m)
16
b. Gi¸ trÞ cña hµm sè f(x) t¹i x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3)
c. ngµy nh ngµy (mét ngµy nh mäi ngµy)
1.3.2.6. ¶nh hëng cña thãi quen ng«n ng÷ kh«ng ®óng ®¾n
VÝ dô 19: Kh«ng chó ý tíi dÊu cña x nªn häc sinh viÕt
cßn cho r»ng
x 2 x ; häc sinh
36 6 .
ë líp 9 häc sinh biÕt r»ng mçi sè a > 0 cã hai c¨n bËc hai vµ ®äc lµ c¨n,
nhng khi dïng dÊu c¨n th× ph¶i quan niÖm r»ng ®ã lµ c¨n bËc hai sè häc, nghÜa lµ
chØ gi¸ trÞ d¬ng trong hai gi¸ trÞ Êy th«i. §¸ng lÏ ra, khi viÕt dÊu c¨n, gi¸o viªn
®äc mét c¸ch ®Çy ®ñ r»ng c¨n bËc hai sè häc cña 36 b»ng 6. Tuy nhiªn theo thãi
quen gi¸o viªn thêng chØ nãi v¾n t¾t c¨n cña 16 b»ng 4.
1.3.2.7. §ång nhÊt ng«n ng÷ cã néi dung gÇn gièng nhau
VÝ dô 20: LÉn lén côm tõ “®iÓm cùc trÞ” ; “cùc trÞ” vµ “gi¸ trÞ cùc trÞ”, do
®ã dÔ sai lÇm khi gi¶i To¸n ch¼ng h¹n, bµi to¸n: T×m a, b ®Ó c¸c cùc trÞ cña hµm
5
5 2 3
a x ax 2 9 x b lµ nh÷ng sè d¬ng vµ x0 lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ.
9
3
Häc sinh dÔ m¾c mí r»ng, t¹i sao c¸c cùc trÞ lµ nh÷ng sè d¬ng l¹i cßn thªm gi¶
thiÕt ®iÓm cùc trÞ mang gi¸ trÞ ©m, ph¶i ch¨ng ®Ò kh«ng ®óng?
Ngoµi nh÷ng sai lÇm trªn häc sinh cßn sö dông ng«n ng÷ mét c¸ch tïy
tiÖn: “®å thÞ ®ång biÕn”; “®iÓm uèn cña hµm sè”; “tiÖm cËn cña hµm sè” ...,
kh«ng hiÓu chÝnh x¸c c¸c liªn tõ “khi vµ chØ khi”; “nÕu vµ chØ nÕu”; “®iÒu kiÖn
cÇn vµ ®ñ”; “®iÒu kiÖn ¾t cã vµ ®ñ” vµ kh«ng thÊy ®îc r»ng, thay ®æi mét tõ cã
thÓ lµm thay ®æi h¼n mÖnh ®Ò. Khi phiªn dÞch tõ ng«n ng÷ TiÕng ViÖt sang ng«n
ng÷ To¸n häc häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm. Ch¼ng h¹n, t×m m ®Ó hµm sè
sè y =
y
x 2 2mx 3m 2 cã hai kho¶ng ®ång biÕn trªn toµn miÒn x¸c ®Þnh cña nã th×
x 2m
häc sinh phiªn dÞch thµnh hai kho¶ng ®ång biÕn lµ ; 2m 2m; . HoÆc
ngay côm tõ “miÒn gi¸ trÞ” vµ “tËp gi¸ trÞ” häc sinh hiÓu lµ nh nhau, nhng ta thÊy
tõ “miÒn” cã thÓ v« h×nh gîi ý cho häc sinh h×nh dung r»ng mét ®o¹n hay mét
kho¶ng h÷u h¹n hay v« h¹n ®iÒu nµy thêng x¶y ra ®èi víi c¸c hµm s¬ cÊp. Nhng
17
víi hµm “phÇn nguyªn cña x” : x , x¸c ®Þnh bëi quy t¾c lµ sè nguyªn lín nhÊt
kh«ng vù¬t qu¸ x vµ nãi r»ng miÒn gi¸ trÞ cña hµm x lµ tËp hîp sè nguyªn Z
gäi lµ tËp gi¸ trÞ, gäi nh vËy e cã phÇn lñng cñng.
1.3.3. Sai lÇm liªn quan ®Õn c¶m nhËn trùc quan
2
VÝ dô 21: T×m m ®Ó hµm sè y x 2mx 5 cã cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m
x 1
vÒ hai phÝa cña ®êng th¼ng y = 2x
(?): §Æt g(x) = x 2 2mx 5
Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa cña ®êng th¼ng y = 2x t¬ng ®-
g(1) 2m 6 0
2
¬ng víi hÖ x 2mx 5 2x v« nghiÖm
x 1
y
H×nh 1
(∆): y = 2x
A
m 3
1 15 m 1 15
,
2
m 2m 14 0
(!): Tõ trùc quan cña h×nh vÏ häc sinh
nghÜ r»ng cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa cña
mét ®êng th¼ng nghÜa lµ ®å thÞ hµm sè kh«ng
c¾t ®êng th¼ng y 2x . Nhng thùc ra ®êng
B
0
x1
1
x2
th¼ng y = 2x cã thÓ c¾t ®å thÞ t¹i hai ®iÓm ph©n
biÖt mµ ®iÓm cùc ®¹i, ®iÓm cùc tiÓu vÉn n»m kh¸c phÝa so víi ®êng th¼ng y = 2x.
LÏ ra häc sinh ph¶i gi¶i nh sau: Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu t¬ng ®¬ng
víi m < 3. Gäi A x1 ; y1 , B x 2 ; y 2 lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè. Ph¬ng
tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ lµ: y = - 2x + m, khi ®ã y1 2x1 m ;
y 2 2x 2 m . §Ó A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña ®êng th¼ng y 2x cÇn vµ ®ñ lµ
2x1
y1 2x 2 y 2 0 2 2 6 m 2 2 6 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.
x
18
2
VÝ dô 22: Cho hµm sè y x 1 . T×m hai ®iÓm A, B thuéc vÒ hai nh¸nh
x
kh¸c nhau cña ®å thÞ sao cho AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt.
(!): Th«ng qua h×nh vÏ trùc quan häc sinh dù ®o¸n r»ng hai ®iÓm cÇn t×m
lµ: ®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu, khi ®ã AB = 2 5 ; sau ®ã cè g¾ng chøng minh
A, B lµ hai ®iÓm cÇn t×m. Nhng thùc tÕ kh«ng ph¶i nh vËy!
(?): Ta thÊy tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ x = 0. V× hai ®iÓm n»m vÒ hai phÝa
cña tiÖm cËn, nªn thùc chÊt bµi to¸n quy vÒ t×m 0 < a < b sao cho
2
b2 1 a 2 1
2
M b a
b
a
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
2
1
2
DÔ thÊy M = b a 2
2 2
ab a b
2
1
§Æt: c = - a ta cã M 4bc 2
2 2
bc b c
4
8bc 8 bc
4
= 8bc 8 2 32 8 8( 2 1)
bc
M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi a
1
, b
1
2 2
2 2
KÕt qu¶ cuèi cïng cña bµi to¸n cho thÊy A, B kh«ng ph¶i hai ®iÓm cùc trÞ
nh dù ®o¸n ban ®Çu!
1
VÝ dô 23: Gi¶i ph¬ng tr×nh: log 1 x
16
16
x
(?): Víi x > 0, hµm sè y = f(x) = log 1 x cã hµm sè ngîc lµ: y = g(x) =
16
x
1 nªn ®å thÞ cña chóng ®èi xøng víi nhau qua ®êng th¼ng y = x. MÆt kh¸c:
16
19
2
1
hai hµm sè kh«ng trïng nhau v× f(2) = ; g(2) = 1 nªn giao ®iÓm cña hai
4
16
®å thÞ n»m trªn ®êng th¼ng y = x. Do ®ã viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc quy vÒ
x
1
gi¶i ph¬ng tr×nh 1 x , nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x = hoÆc x 1
4
2
16
(!): Nhng ta thÊy r»ng víi nghiÖm x =
1
1
1
1
y ; x y nªn c¸c
2
4
4
2
1 1 1 1
®iÓm ; ; ; kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè y = x.
2 4 4 2
Sai lÇm nguyªn nh©n do: Khi häc vÒ ®Þnh lÝ: “Trong hÖ täa ®é §Ò c¸c
vu«ng gãc 0xy ®å thÞ cña hai hµm sè ngîc nhau y = f(x) vµ y = g(x) lµ ®èi xøng
nhau qua ®êng ph©n gi¸c thø nhÊt (y = x)” häc sinh c¨n cø vµo h×nh vÏ ngé nhËn
r»ng: “®å thÞ cña hai hµm sè ngîc nhau th× c¾t nhau trªn ®êng th¼ng y x ” thùc
ra víi c¸ch ph¸t biÓu nµy chØ ®óng víi c¸c hµm sè ®ång biÕn mµ th«i.
Xin dÉn ra mÖnh ®Ò ®óng “cho hµm sè y = f(x) lµ hµm sè ®ång biÕn; hµm
ngîc cña nã lµ y = f 1 (x) . NÕu ®å thÞ (C): y = f(x) vµ (C , ) : y = f 1 (x) cã ®iÓm
chung M( x 0 ; y 0 ) th× M n»m trªn ®êng ph©n gi¸c y = x”.
VÝ dô 24: Cho (P): y = x 2 2x 3 vµ ®êng th¼ng d: y = 2x + m. X¸c ®Þnh
m ®Ó (P) c¾t d t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB = 2.
(?): Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña cña (P) vµ d lµ x 2 4x 3 m
(1).
y
2
§Æt y1 x 4x 3 vµ gäi
®å thÞ cña nã lµ ( P1 ); y 2 m vµ ®å
P1
3
thÞ cña nã lµ ®êng th¼ng d1 cïng
ph¬ng víi 0x vµ c¾t 0y t¹i (0; m).
Khi ®ã d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A, B
ph©n biÖt mµ AB = 2 t¬ng ®¬ng víi
0
-1
A
1
B
2 3
X
m
my=m
H×nh 2
x
20
( P1 ) c¾t d1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB = 2. C¨n cø vµo ®å thÞ ta thÊy
AB = 2 t¬ng ®¬ng víi m = 0.
(!): Häc sinh ®· gÆp ph¶i sai lÇm khi cho r»ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n
biÖt A, B sao cho AB = 2 t¬ng ®¬ng víi (P1) c¾t d1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao
cho AB = 2, do trùc quan häc sinh nhÇm tëng hai giao ®iÓm cña d víi (P) vµ hai
giao ®iÓm cña (P1) víi d1 cã cïng täa ®é giao ®iÓm, nhng thùc ra chØ cã cïng
hoµnh ®é chø kh«ng cã cïng tung ®é.
LÏ ra bµi to¸n ph¶i ®îc gi¶i nh sau: Hoµnh ®é giao ®iÓm cña cña (P) vµ d lµ
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 4x 3 m (1), ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n
biÖt x1 vµ x 2
x1
m > - 1. Gäi A( x1 ; 2x1 m ); B( x 2 ; 2x 2 m ), khi ®ã
4
4
2
2
2
x 2 4 x1 x 2 2 x1 x 2 4x1x 2 m .
5
5
1.3.4. Sai lÇm liªn quan ®Õn n¾m néi hµm kh¸i niÖm hoÆc ®iÒu kiÖn ¸p
dông ®Þnh lÝ
1.3.4.1. Sai lÇm khi n¾m c¸c kh¸i niÖm To¸n häc
Thùc tiÔn s ph¹m cho thÊy trong qu¸ tr×nh vËn dông kh¸i niÖm, viÖc kh«ng
n¾m v÷ng néi hµm vµ ngo¹i diªn kh¸i niÖm sÏ dÉn tíi häc sinh hiÓu kh«ng trän
vÑn, thËm chÝ hiÓu sai lÖch b¶n chÊt kh¸i niÖm. MÆt kh¸c, nhiÒu kh¸i niÖm To¸n
häc lµ sù më réng hoÆc thu hÑp cña kh¸i niÖm tríc ®ã, viÖc kh«ng n¾m vµ hiÓu
kh«ng ®óng kh¸i niÖm cã liªn quan lµm häc sinh kh«ng hiÓu, kh«ng cã biÓu tîng
®óng vÒ kh¸i niÖm míi.
Sai lÇm vÒ c¸c kh¸i niÖm To¸n häc (®Æc biÖt lµ c¸c kh¸i niÖm ban ®Çu cã
tÝnh chÊt nÒn t¶ng) sÏ dÉn ®Õn hÖ qu¶ tÊt yÕu häc kÐm to¸n. V× vËy cã thÓ nãi sù
“mÊt gèc” cña häc sinh vÒ kiÕn thøc To¸n häc tríc hÕt coi lµ sù “mÊt gèc” vÒ c¸c
kh¸i niÖm. Tõ nhiÒu nguyªn nh©n kh¸c nhau cã thÓ dÉn tíi sù nhËn thøc kh¸i
niÖm To¸n häc mét c¸ch h×nh thøc biÓu hiÖn ë:
+ Häc sinh kh«ng n¾m v÷ng néi hµm vµ ngo¹i diªn cña kh¸i niÖm nªn
nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn kh¸i niÖm sai.
- Xem thêm -
.DOC 
120 
532 
67 
