Tài liệu Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán đại số giải tích và quan điểm khắc phục

  • Số trang: 120 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 30 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Tham gia: 02/08/2015

Mô tả:

1 Më ®Çu 1. LÝ do chän ®Ò tµi 1.1. NghÞ quyÕt Héi nghÞ lÇn thø IV Ban ChÊp hµnh Trung ¬ng §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam (Khãa IV, 1993) nªu râ: "Môc tiªu gi¸o dôc - ®µo t¹o ph¶i híng vµo viÖc ®µo t¹o nh÷ng con ngêi lao ®éng tù chñ, s¸ng t¹o, cã n¨ng lùc gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò thêng gÆp, qua ®ã mµ gãp phÇn tÝch cùc thùc hiÖn môc tiªu lín cña ®Êt níc” (dÉn theo Tµi liÖu Båi dìng gi¸o viªn m«n To¸n n¨m 2005, tr. 1). VÒ ph¬ng ph¸p gi¸o dôc vµ ®µo t¹o, NghÞ quyÕt Héi nghÞ lÇn thø II Ban ChÊp hµnh Trung ¬ng §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam (Khãa VIII, 1997) ®· ®Ò ra: “Ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p ®µo t¹o, kh¾c phôc lèi truyÒn thô mét chiÒu, rÌn luyÖn thµnh nÕp t duy s¸ng t¹o cña ngêi häc. Tõng bíc ¸p dông nh÷ng ph¬ng ph¸p tiªn tiÕn vµ ph¬ng tiÖn hiÖn ®¹i vµo qu¸ tr×nh d¹y häc, ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn vµ thêi gian tù häc, tù nghiªn cøu …”. §iÒu 24, LuËt Gi¸o dôc (1998) quy ®Þnh: “Ph¬ng ph¸p gi¸o dôc phæ th«ng ph¶i ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c, chñ ®éng, t duy s¸ng t¹o cña häc sinh, …; båi dìng ph¬ng ph¸p tù häc, rÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tiÔn, t¸c ®éng ®Õn t×nh c¶m, ®em l¹i niÒm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh”. 1.2. ë trêng phæ th«ng, d¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng to¸n häc. §èi víi häc sinh, cã thªm xem gi¶i To¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. D¹y häc gi¶i To¸n cã vai trß ®Æc biÖt trong d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng. C¸c bµi to¸n lµ ph¬ng tiÖn cã hiÖu qu¶ kh«ng thÓ thay thÕ ®îc trong viÖc gióp häc sinh n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t duy, h×nh thµnh kÜ n¨ng vµ kÜ x¶o. Ho¹t ®éng gi¶i To¸n lµ ®iÒu kiÖn ®Ó thùc hiÖn tèt c¸c môc ®Ých kh¸c cña d¹y häc To¸n. Do ®ã, tæ chøc cã hiÖu qu¶ viÖc d¹y gi¶i To¸n cã vai trß quyÕt ®Þnh ®èi víi chÊt lîng d¹y häc To¸n. Tuy nhiªn, thùc tiÔn cho thÊy chÊt lîng d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng cã lóc, cã chç cßn cha tèt, biÓu hiÖn qua viÖc n¨ng lùc gi¶i To¸n cña häc sinh cßn h¹n chÕ do häc sinh cßn m¾c nhiÒu sai lÇm. Mét trong nh÷ng nguyªn nh©n quan träng lµ gi¸o viªn cha chó ý mét c¸ch ®óng møc viÖc ph¸t hiÖn, uèn n¾n vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cho häc sinh ngay trong c¸c giê häc To¸n. V× ®iÒu nµy nªn ë häc sinh nhiÒu khi gÆp ph¶i t×nh tr¹ng sai lÇm nèi tiÕp sai lÇm. 1.3. §· cã nhiÒu quan ®iÓm hoÆc ý kiÕn ®îc nªu ra xoay quanh vÊn ®Ò sai lÇm trong cuéc sèng còng nh trong nghiªn cøu khoa häc. Khæng Tö ®· nãi: “Sai 2 lÇm ch©n thËt duy nhÊt lµ kh«ng söa ch÷a sai lÇm tríc ®ã cña m×nh”. Albert Einstein nãi vÒ sai lÇm trong nghiªn cøu khoa häc: “NÕu t«i m¾c sai lÇm th× chØ mét lÇn còng lµ ®ñ råi”. NhiÒu nhµ khoa häc ®· nhÊn m¹nh tíi vai trß cña viÖc söa ch÷a sai lÇm cña häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y To¸n, ch¼ng h¹n, G. Polia ®· ph¸t biÓu: “Con ngêi ph¶i biÕt häc ë nh÷ng sai lÇm vµ nh÷ng thiÕu sãt cña m×nh” [45, tr. 204], cßn A. A. St«liar th× nhÊn m¹nh r»ng: “Kh«ng ®îc tiÕc thêi gian ®Ó ph©n tÝch trªn giê häc c¸c sai lÇm cña häc sinh” [66, tr. 105]. ViÖn sÜ A. N. K«lm«g«r«v viÕt: “N¨ng lùc b×nh thêng cña häc sinh trung häc ®ñ ®Ó c¸c em n¾m ®îc To¸n häc trong nhµ trêng phæ th«ng nÕu cã sù híng dÉn tèt cña thÇy gi¸o” [8, tr. 10]. Nh vËy cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng, c¸c sai lÇm cña häc sinh trong gi¶i To¸n lµ cÇn vµ cã thÓ kh¾c phôc ®îc. 1.4. Sè c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu ®Ò cËp tíi sai lÇm cña häc sinh trong gi¶i To¸n cßn t¬ng ®èi Ýt, trong c¸c c«ng tr×nh ®ã cã thÓ kÓ tíi LuËn ¸n TiÕn sÜ cña cña Lª Thèng NhÊt: "RÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i To¸n cho häc sinh phæ th«ng trung häc th«ng qua viÖc ph©n tÝch vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n" (1996). LuËn ¸n nµy ®· xem xÐt c¸c sai lÇm cña häc sinh ë tõng chñ ®Ò kiÕn thøc, ch¼ng h¹n chñ ®Ò ph¬ng tr×nh, chñ ®Ò bÊt ph¬ng tr×nh, chñ ®Ò giíi h¹n, chñ ®Ó hµm sè, ... C¸ch ph©n chia theo kiÓu nµy cña t¸c gi¶ Lª Thèng NhÊt cã u ®iÓm lµ gióp cho ngêi ®äc cã thÓ vËn dông ë møc ®é nµo ®ã vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y, nghiªn cøu. Tuy nhiªn, sù h¹n chÕ cña nã l¹i lµ ë chç: sè lîng chñ ®Ò kiÕn thøc lµ rÊt nhiÒu, khã kÓ hÕt, cßn nÕu gép l¹i ®Ó thµnh c¸c chñ ®Ò lín th× nhiÒu khi dÉn tíi sù chung chung, thiÕu cô thÓ. C¸c nhãm t¸c gi¶ TrÇn Ph¬ng - Lª Hång §øc trong Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i To¸n (2004); Lª §×nh ThÞnh - TrÇn H÷u Phóc - NguyÔn C¶nh Nam trong MÑo vµ bÉy trong c¸c ®Ò thi m«n To¸n (1992); TrÇn H÷u Phóc - NguyÔn C¶nh Nam trong H·y cÈn thËn! Bµi thi ®¬n gi¶n qu¸! (2002) ®Òu s¾p xÕp sai lÇm cña häc sinh theo tõng chñ ®Ò kiÕn thøc. C¸ch s¾p xÕp sai lÇm dùa theo tiªu chÝ chñ ®Ò kiÕn thøc nh c¸c t¸c gi¶ nãi trªn cha thÓ gi¶i thÝch mét c¸ch têng minh, dÔ hiÓu vµ bao qu¸t hÕt tÊt c¶ c¸c kiÓu sai lÇm cho häc sinh. H¬n n÷a cha thÓ ®Ò cËp ®îc mét sè kiÓu sai lÇm thêng gÆp nh: sai lÇm ng«n ng÷, sai lÇm liªn quan ®Õn c¸c thao t¸c t duy, sai lÇm liªn quan ®Õn ph©n chia trêng hîp riªng, ... 3 Cã thÓ nãi, cho ®Õn nay cha cã mét c«ng tr×nh nµo nghiªn cøu sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n nh×n tõ gãc ®é ho¹t ®éng to¸n häc, nghÜa lµ xem xÐt c¸c sai lÇm theo ph¬ng diÖn chÊt lîng tiÕn hµnh c¸c ho¹t ®éng to¸n häc. Tõ nh÷ng sù ph©n tÝch trªn ®©y, chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cña LuËn v¨n lµ: “Nghiªn cøu mét sè sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè - Gi¶i tÝch vµ quan ®iÓm kh¾c phôc”. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu Nghiªn cøu mét sè sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng trong gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch mµ c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu tríc ®©y hoÆc cha ®Ò cËp, hoÆc cha ph©n tÝch mét c¸ch s©u s¾c vµ ®Ò xuÊt c¸c quan ®iÓm kh¾c phôc. 3. Gi¶ thuyÕt khoa häc NÕu lµm s¸ng tá ®îc c¸c d¹ng sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, th× cã thÓ ®Ò xuÊt ®îc c¸c quan ®iÓm ®Ó phßng tr¸nh vµ kh¾c phôc c¸c d¹ng sai lÇm nµy, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng. 4. NhiÖm vô nghiªn cøu LuËn v¨n cã nhiÖm vô gi¶i ®¸p c¸c c©u hái khoa häc sau ®©y: 4.1. Trong gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, häc sinh thêng m¾c ph¶i mét sè kiÓu sai lÇm phæ biÕn nµo? 4.2. Nguyªn nh©n nµo dÉn tíi c¸c sai lÇm ®ã? 4.3. §Ó h¹n chÕ, söa ch÷a nh÷ng sai lÇm ®· chØ ra, cÇn thùc hiÖn nh÷ng quan ®iÓm nµo? 4.4. KÕt qu¶ cña Thùc nghiÖm s ph¹m lµ nh thÕ nµo? 5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu 5.1. Nghiªn cøu lÝ luËn: Nghiªn cøu c¸c tµi liÖu vÒ lÝ luËn vµ ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y m«n To¸n, c¸c tµi liÖu vÒ T©m lÝ häc vµ Gi¸o dôc häc ®Ó lµm ®iÓm tùa ®Ò xuÊt c¸c quan ®iÓm h¹n chÕ vµ söa ch÷a sai lÇm cña häc sinh. 5.2. §iÒu tra, quan s¸t: §iÒu tra qua thùc tiÔn s ph¹m, qua c¸c tµi liÖu ®Ó n¾m b¾t thªm nh÷ng kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch. 6. Nh÷ng ®ãng gãp cña LuËn v¨n 4 6.1. LuËn v¨n ®· lµm s¸ng tá ®îc nhiÒu kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch mµ c¸c tµi liÖu kh¸c hoÆc cha cã dÞp ®Ò cËp, hoÆc chØ ®Ò cËp ë møc ®é s¬ bé. §Æc biÖt, khi ®Ò cËp ®Õn c¸c sai lÇm, LuËn v¨n ®· chó träng ®Õn ph¬ng diÖn ho¹t ®éng to¸n häc. 6.2. LuËn v¨n ®· ph©n tÝch ®îc nguyªn nh©n dÉn ®Õn nh÷ng sai lÇm ®ã. 6.3. Cïng víi c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu kh¸c, tiÕn tíi viÖc ®a ra mét bøc tranh toµn c¶nh vµ t¬ng ®èi ®Çy ®ñ vÒ nh÷ng kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n. 6.4. LuËn v¨n cã thÓ dïng lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn To¸n Trung häc phæ th«ng. 7. CÊu tróc cña luËn v¨n Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi 2. Môc ®Ých nghiªn cøu 3. NhiÖm vô nghiªn cøu 4. Gi¶ thuyÕt khoa häc 5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu 6. §ãng gãp cña LuËn v¨n Ch¬ng 1. Mét sè vÊn ®Ò thùc tr¹ng vÒ nh÷ng sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 1.1. Mét sè c«ng tr×nh cã liªn quan 1.2. Sù cÇn thiÕt phßng tr¸nh vµ söa ch÷a nh÷ng sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n 1.3. Mét sè kiÓu sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 1.4. KÕt luËn Ch¬ng 1 Ch¬ng 2. Gãp phÇn phßng tr¸nh vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 2.1. C¬ së lÝ luËn 2.2. Nh÷ng quan ®iÓm chñ ®¹o trong viÖc phßng tr¸nh, söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 2.4. KÕt luËn Ch¬ng 2 Ch¬ng 3. Thùc nghiÖm s ph¹m 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 5 3.2. Tæ chøc thùc nghiÖm 3.3. Néi dung thùc nghiÖm 3.4. §¸nh gi¸ c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm KÕt luËn Nh÷ng c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ hoÆc ®ång t¸c gi¶ ®· ®îc c«ng bè Tµi liÖu tham kh¶o Ch¬ng 1 Mét sè vÊn ®Ò thùc tr¹ng vÒ nh÷ng sai lÇm cña häc sinh Trung häc phæ th«ng khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 1.1. Mét sè c«ng tr×nh cã liªn quan Nh÷ng c«ng tr×nh nghiªn cøu ®Ò cËp tíi sai lÇm cña häc sinh trong gi¶i To¸n cßn t¬ng ®èi Ýt, trong c¸c c«ng tr×nh ®ã ph¶i kÓ tíi LuËn ¸n TiÕn sÜ cña cña Lª Thèng NhÊt: "RÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i To¸n cho häc sinh phæ th«ng trung häc th«ng qua viÖc ph©n tÝch vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n" (1996). LuËn ¸n nµy ®· xem xÐt c¸c sai lÇm cña häc sinh ë tõng chñ ®Ò kiÕn thøc, ch¼ng h¹n, chñ ®Ò ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, giíi h¹n, hµm sè, ... C¸ch ph©n chia theo kiÓu nµy cña t¸c gi¶ Lª Thèng NhÊt cã u ®iÓm lµ gióp cho ngêi ®äc cã 6 thÓ vËn dông ë møc ®é nµo ®ã vµo thùc tiÔn gi¶ng d¹y, nghiªn cøu. Tuy nhiªn, sù h¹n chÕ cña nã l¹i lµ ë chç: sè lîng chñ ®Ò kiÕn thøc lµ rÊt nhiÒu khã mµ kÓ hÕt, nÕu gép chóng l¹i ®Ó thµnh chñ ®Ò lín th× nhiÒu khi m¾c ph¶i sù chung chung mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn xem xÐt hÕt ®Æc trng cña tõng d¹ng. §Æt vÊn ®Ò xem xÐt hÕt c¸c kiÓu sai lÇm trªn mäi chñ ®Ò lµ viÖc lµm bÊt kh¶ thi. Trong LuËn ¸n cña m×nh, t¸c gi¶ Lª Thèng NhÊt ®· ®a ra bèn biÖn ph¸p s ph¹m vµ t¸m dÊu hiÖu ®Ó nhËn biÕt sai lÇm nhng cha thùc sù ®i s©u vµo mét kiÓu sai lÇm nµo vµ cha ph©n tÝch mét c¸ch bao qu¸t c¸c nguyªn nh©n dÉn tíi nh÷ng sai lÇm ®ã, mµ mét nguyªn nh©n kh«ng kÐm phÇn quan träng ¶nh hëng tíi chÊt lîng gi¶i bµi tËp To¸n ®ã lµ nguyªn nh©n do ¶nh hëng vÒ mÆt t©m lÝ. Nhãm t¸c gi¶ TrÇn Ph¬ng Lª Hång §øc trong Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i To¸n (2004) còng ®Ò cËp ®Õn mét sè sai lÇm cña häc sinh. Trong c«ng tr×nh nµy, c¸c t¸c gi¶ ®· ®a ra mét sè kÜ thuËt chän ®iÓm r¬i ®Ó tr¸nh sai lÇm khi sö dông c¸c BÊt ®¼ng thøc C«si vµ Bunhiac«pski. Ngoµi ra ph¶i kÓ tíi nhãm t¸c gi¶ Lª §×nh ThÞnh - TrÇn H÷u Phóc NguyÔn C¶nh Nam trong c«ng tr×nh MÑo vµ bÉy trong c¸c ®Ò thi m«n To¸n (1992), trong c«ng tr×nh nµy c¸c t¸c gi¶ ®· ®a ra thuËt ng÷ "bÉy" vµ ph©n tÝch kh¸ nhiÒu vÝ dô vµ cho r»ng, mçi khi häc sinh m¾c sai lÇm lµ ®ång nghÜa víi viÖc sa bÉy, "bÉy" trong c¸c bµi to¸n lµ c¸c t×nh huèng ®îc c¸c t¸c gi¶ cµi ®Æt mµ nÕu häc sinh kh«ng v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n th× sÏ m¾c ph¶i sai lÇm. Víi c¸ch s¾p xÕp sai lÇm theo tõng chñ ®Ò kiÕn thøc nh c¸c t¸c gi¶ nãi trªn th× kh«ng thÓ gi¶i thÝch mét c¸ch têng minh, dÔ hiÓu hÕt tÊt c¶ c¸c kiÓu sai lÇm cho häc sinh ®Ó tõ ®ã hä cã ý thøc phßng tr¸nh c¸c sai lÇm nµy, mÆt kh¸c cha ®Ò cËp ®îc mét sè kiÓu sai lÇm thêng gÆp nh: sai lÇm ng«n ng÷, sai lÇm liªn quan ®Õn c¸c thao t¸c t duy, sai lÇm liªn quan ®Õn ph©n chia trêng hîp riªng, ... Nh vËy trªn ph¬ng diÖn lÝ luËn, c¸c vÊn ®Ò c¬ b¶n cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi nghiªn cøu cña chóng t«i còng ®· ®îc nghiªn cøu ë mét møc ®é nµo ®ã. Tuy nhiªn cha cã mét c«ng tr×nh nµo nghiªn cøu c¸c sai lÇm nh×n tõ gãc ®é ho¹t ®éng to¸n häc, xem xÐt c¸c sai lÇm theo ph¬ng diÖn chÊt lîng tiÕn hµnh c¸c ho¹t ®éng to¸n häc. Nãi mét c¸ch kh¸c, c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n thêng xem xÐt theo ph¬ng diÖn chñ ®Ò kiÕn thøc, cßn c¸ch tiÕp cËn cña LuËn v¨n nµy sÏ theo ph¬ng diÖn kh¸c, ®ã lµ ph¬ng diÖn ho¹t ®éng. 1.2. Sù cÇn thiÕt phßng tr¸nh vµ söa ch÷a nh÷ng sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i to¸n 7 D¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng to¸n häc (A. A. St«liar, 1969, tr. 12) lµ mét luËn ®iÓm c¬ b¶n ®· ®îc mäi ngêi thõa nhËn, ho¹t ®éng to¸n häc chñ yÕu cña häc sinh lµ ho¹t ®éng gi¶i bµi tËp To¸n. Tr×nh ®é häc To¸n cña häc sinh ®Õn møc ®é nµo sÏ ®îc thÓ hiÖn râ nÐt qua chÊt lîng gi¶i To¸n. Vai trß cña bµi tËp trong d¹y häc To¸n lµ v« cïng quan träng, ®ã lµ lÝ do t¹i sao nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu vÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc To¸n l¹i g¾n víi viÖc nghiªn cøu x©y dùng hÖ thèng bµi tËp (ch¼ng h¹n, c¸c c«ng tr×nh: T«n Th©n (1995), TrÇn §×nh Ch©u (1996), NguyÔn §×nh Hïng (1997)). Ngoµi ra cã thÓ tham kh¶o ý kiÕn cña P. M. Ec®¬nnhiev trong [67]: "Bµi tËp ®îc coi lµ mét m¾t xÝch chÝnh cña qu¸ tr×nh d¹y häc To¸n". Tuy nhiªn d¹y häc gi¶i To¸n kh«ng thÓ t¸ch rêi mét c¸ch c« lËp víi d¹y häc kh¸i niÖm to¸n häc vµ d¹y häc ®Þnh lÝ, do ®ã khi ph¸t hiÖn thÊy häc sinh cßn m¾c ph¶i nhiÒu khã kh¨n vµ sai lÇm trong gi¶i To¸n th× ®iÒu nµy còng cã t¸c dông khuyÕn c¸o nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý trong qu¸ tr×nh d¹y kh¸i niÖm vµ ®Þnh lÝ to¸n häc. §Æt ra vÊn ®Ò nghiªn cøu nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n lµ cÊp thiÕt, bëi lÏ, thùc tiÔn s ph¹m cho thÊy häc sinh cßn m¾c rÊt nhiÒu kiÓu sai lÇm. Tõ nh÷ng sai lÇm vÒ tÝnh to¸n ®Õn nh÷ng sai lÇm vÒ suy luËn vµ thËm chÝ lµ nh÷ng kiÓu sai lÇm rÊt tinh vi. Mét nguyªn nh©n kh«ng nhá lµ gi¸o viªn cha chó träng mét c¸ch ®óng møc viÖc ph¸t hiÖn, uèn n¾n vµ söa ch÷a c¸c sai lÇm cho häc sinh ngay trong c¸c giê häc To¸n. V× ®iÒu nµy nªn ë häc sinh nhiÒu khi gÆp ph¶i t×nh tr¹ng sai lÇm nèi tiÕp sai lÇm. RÊt nhiÒu nhµ khoa häc ®· nhÊn m¹nh tíi vai trß cña viÖc söa ch÷a sai lÇm cho häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y To¸n, ch¼ng h¹n G. Polia cho r»ng: "Con ngêi ph¶i biÕt häc ë nh÷ng sai lÇm vµ thiÕu sãt cña m×nh" [45, tr. 204], A. A. St«liar ph¸t biÓu: "Kh«ng ®îc tiÕc thêi gian ®Ó ph©n tÝch trªn giê häc c¸c sai lÇm cña häc sinh" [66, tr. 105], cßn theo J. A. Komenxki th×: "BÊt k× mét sai lÇm nµo còng cã thÓ lµm cho häc sinh kÐm ®i nÕu nh gi¸o viªn kh«ng chó ý ngay ®Õn sai lÇm ®ã, vµ híng dÉn häc sinh nhËn ra, söa ch÷a kh¾c phôc sai lÇm" (dÉn theo NguyÔn Anh TuÊn 2003). T©m lÝ häc ®· kh¼ng ®Þnh r»ng: "Mäi trÎ em b×nh thêng kh«ng cã bÖnh tËt g× ®Òu cã kh¶ n¨ng ®¹t ®îc häc vÊn to¸n häc phæ th«ng, c¬ b¶n dï cho ch¬ng tr×nh to¸n ®· hiÖn ®¹i hãa" [17, tr. 49]. Nh vËy cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng, c¸c sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n lµ cÇn vµ cã thÓ kh¾c phôc ®îc. 8 1.3. Mét sè kiÓu sai lÇm cña häc sinh TRUNG HäC PHæ TH¤NG khi gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch Trong môc nµy ®Ó ¸m chØ nh÷ng lêi gi¶i cã m¾c ph¶i sai lÇm, chóng t«i dïng kÝ hiÖu (?) vµ sö dông kÝ hiÖu (!) ®Ó ph©n tÝch sai lÇm cña häc sinh. Trong môc nµy, khi xem xÐt c¸c sai lÇm cña häc sinh chóng t«i kh«ng s¾p xÕp theo tõng d¹ng to¸n, nãi c¸ch kh¸c lµ, kh«ng tiÕn hµnh theo con ®êng nªu nh÷ng sai lÇm theo tõng chñ ®Ò kiÕn thøc. Nh÷ng sai lÇm cña häc sinh (khi gi¶i To¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch) sÏ ®îc ®Ò cËp vµ lµm s¸ng tá tõ ph¬ng diÖn Ho¹t ®éng to¸n häc. 1.3.1. Sai lÇm liªn quan ®Õn ph©n chia trêng hîp riªng Häc sinh thêng gÆp nh÷ng khã kh¨n vµ sai lÇm sau ®©y khi gi¶i nh÷ng bµi to¸n cã liªn quan ®Õn viÖc ph©n chia trêng hîp. 1.3.1.1. Kh«ng n¾m v÷ng b¶n chÊt cña tham sè, kh«ng hiÓu nghÜa cña côm tõ “gi¶i vµ biÖn luËn”, lÉn lén gi÷a “biÖn luËn theo m ” vµ “t×m m ”. Khi gi¶i biÖn luËn ph¬ng tr×nh (bÊt ph¬ng tr×nh) cã tham sè m, nhiÒu häc sinh quy vÒ t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (bÊt ph¬ng tr×nh) cã nghiÖm. VÝ dô 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh m(x + m) = x + 1 (?): Häc sinh chuyÓn x vÒ mét vÕ vµ ®a vÒ: (m - 1)x = 1 - m2 tõ ®ã rót ra 1  m 2 . §Ó phÐp chia cã nghÜa th× ph¶i cã ®iÒu kiÖn m 1 . KÕt luËn: m 1 x m 1 vµ x = - m - 1. (!): Thùc ra ®©y kh«ng ph¶i bµi to¸n t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, mµ ®©y lµ bµi to¸n gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh. Khi gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh, kÓ c¶ trêng hîp ph¬ng tr×nh v« nghiÖm th× ta vÉn ph¶i xem xÐt. Gi¶ sö cã ®iÒu kiÖn m 1 th× ta thùc hiÖn ®îc phÐp chia 1 – m2 cho m - 1, nhng kh«ng cã nghÜa lµ, ta thùc hiÖn phÐp chia tríc råi l¹i buéc m ph¶i kh¸c 1. VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh x  1 2x  m 9 (?): Cã häc sinh gi¶i nh sau: víi x 1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ m 1 . 3 (!): Häc sinh nµy dï ®· n¾m ®îc kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhng vÉn cha ý thøc ®îc r»ng, tham sè ®îc xem nh lµ nh÷ng sè ®· biÕt nhng cha râ cô thÓ lµ bao x m  1 ; víi x < 1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x  nhiªu, bëi vËy kh«ng ch¾c g× m – 1 ®· lín hoÆc b»ng 1; m 1 ®· bÐ thua 1. 3 VÝ dô 3: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh m(x – m + 3)  m(x - 2) + 6 (?): BÊt ph¬ng tr×nh  mx - m2 + 3m  mx - 2m +6  m2 – 5m + 6  0  2 m 3 VËy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: 2  m  3. (!): Thùc ra 2 m 3 chØ lµ ®iÒu kiÖn ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chø kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh. Khi m n»m ngoµi [2; 3] th× bÊt ph¬ng tr×nh sÏ v« nghiÖm vµ ta vÉn ph¶i ®Ò cËp ®Õn trêng hîp nµy trong kh©u biÖn luËn. 1.3.1.2. Kh«ng ý thøc ®îc sù suy biÕn cña tham sè, ¸p dông thuËt gi¶i mét c¸ch m¸y mãc vµo nh÷ng trêng hîp kh«ng thuéc hÖ thèng VÝ dô 4: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh x 2  3x  2a x 2  2ax  5 (?): Cã häc sinh gi¶i nh sau: bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi 2a  5 x2 – 3x + 2a  x2 + 2ax + 5  x(2a + 3)  2a -5  x  2a  3 (!): Víi c¸ch gi¶i nh trªn cho thÊy häc sinh cha n¾m v÷ng kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, mÆt kh¸c cha n¾m v÷ng ®iÒu kiÖn ®Ó thùc hiÖn ®îc c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng c¬ b¶n trªn c¸c bÊt ph¬ng tr×nh. x x m (?): Häc sinh cho r»ng ®êng th¼ng x = m lµ tiÖm cËn ®øng vµ ®êng th¼ng y = 1 lµ tiÖm cËn ngang. VÝ dô 5: T×m c¸c tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè sau: y = 10 x (!): Thùc ra khi m = 0 th× y  1 víi tËp x¸c ®Þnh x 0 . Lóc nµy ®å thÞ x cña y lµ ®êng th¼ng y = 1 bá ®i mét ®iÓm. Kh«ng thÓ xem ®êng th¼ng x m 0 (tøc trôc tung) lµ tiÖm cËn ®øng ®îc. Theo nghÜa réng ta cã thÓ xem y = 1 lµ tiÖm cËn ngang. 1.3.1.3. N¾m kh«ng chÝnh x¸c vÒ ®iÒu kiÖn ®Ó cã thÓ thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng VÝ dô 6: T×m m sao cho ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1) (?): (1)  lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1)  x2 + 2mx = x – 1 (2)  x2 + x(2m - 1) + 1 = 0. Ph¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi  = 0  m  1 hoÆc 2 3 m . 2 (!): Thùc ra ph¬ng tr×nh (1) ®· cho chØ t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh x 2  2mx  0 x2 + 2mx = x – 1 (2) víi ®iÒu kiÖn  , hay nãi gän h¬n lµ, x  1  0  ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh (2) víi ®iÒu kiÖn x > 1. Do ®ã ®¸ng lÏ ph¶i nãi: ph¬ng tr×nh x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cã duy nhÊt mét  0   0  nghiÖm x > 1, råi tõ ®ã chuyÓn vÒ xÐt hai trêng hîp:  b vµ  th× x  1  x   1  2 1  2a häc sinh l¹i chØ nãi: ph¬ng tr×nh x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cã nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 7: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x  m  x 2  3mx  2m 2  x 2  m 2 (?): Ta nhËn thÊy do c¸c biÓu thøc trong c¸c dÊu c¨n ®Òu cã chøa h¹ng tö x – m, nªn rót gän hai vÕ ®îc bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 1+ x  2m  x  m 11 1.3.1.4. Cha n¾m v÷ng mét sè kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n, ch¼ng h¹n c¸c kh¸i niÖm cã cÊu tróc héi, v× kh«ng ý thøc ®îc sù t¸c ®éng cña tham sè ®èi víi kÕt qu¶ bµi to¸n VÝ dô 8: H·y biÖn luËn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña E = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a (?): V× E lµ tæng c¸c b×nh ph¬ng nªn E 0 víi mäi x vµ y, do ®ã gi¸ trÞ nhá nhÊt cña E b»ng 0. x  2y  1 0 DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi hÖ  cã nghiÖm 2x  ay  5  0  Ta cã: D = a + 4; Dx = - a – 10; Dy = - 3. a  10  x  a  4 NÕu a - 4 hÖ cã nghiÖm  nªn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña E lµ 0. 3 y   a4 NÕu a = - 4 th× Dx 0 nªn hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy víi a = - 4 th× E kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ nhá nhÊt. (!): Víi a = - 4 kÕt luËn E kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ sai lÇm, v× víi a = - 4 th× E = (x – 2y + 1)2 + (2x - 4y + 5)2 ®Æt t = x – 2y +1 ta cã E = t2 + 4(t+ 9 6 3 ) = 5t2 + 12t + 9  víi mäi t, dÊu b»ng x¶y ra khi t  . NghÜa lµ trong tr2 5 5 êng hîp a = - 4, E ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 9 t¹i c¸c ®iÓm x, y bÊt k× tháa m·n 5 ®iÒu kiÖn 5x – 10y – 11 = 0. 1.3.1.5. Kh«ng biÕt chia thµnh nh÷ng trêng hîp nµo, nãi c¸ch kh¸c kh«ng biÕt t×m ra tiªu chÝ lµm c¬ së cho sù ph©n chia VÝ dô 9: Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè a bÊt ph¬ng tr×nh x  a  x  2a  x  3a (1) (?): GÆp bµi to¸n nµy, häc sinh hÇu nh kh«ng biÕt nªn ph©n chia tham sè a thµnh nh÷ng trêng hîp nµo. NhiÒu häc sinh cø ngì r»ng 3 sè: a, 2a, 3a th× dÜ nhiªn 3a lµ lín nhÊt, do ®ã ®iÒu kiÖn cña bÊt ph¬ng tr×nh chØ lµ x > 3a vµ biÕn ®æi (1)  x  a  x  2a  x  3a  4a  x  2 x  2a   x  3a  12 3a x  4a 3a  x  4a      a 6  2 3 a 62 3 2 2 3x  12ax  8a  0  x  6 6 (!): TH 1: NÕu a = 0, bÊt ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm TH 2: NÕu a > 0, ®iÒu kiÖn cña x lµ x  3a, khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng  ®¬ng víi 4a - x > x     2a   x  3a  (2), v× a > 0 nªn (2) 3a x  4a a(6  2 3)   2  3a  x  2 6 3x  12ax  8a  0 TH 3: NÕu a < 0, ®iÒu kiÖn cña x lµ x ≥ a, khi ®ã (1) t¬ng ®¬ng víi 4a – x >2 x 2a   x  3a  . V× a < 0 vµ x ≥ a nªn 4a  x 3a  (a  x)  0 , do ®ã bÊt ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm. ViÖc ph©n chia 3 trêng hîp a = 0; a < 0; a > 0 c¨n cø mét phÇn quan träng vµo viÖc t×m ®iÒu kiÖn chung ®Ó thay thÕ cho 3 ®iÒu kiÖn: x a ; x 2a ; x 3a . PhÇn sau cña LuËn v¨n sÏ trë l¹i vÊn ®Ò nµy. 1.3.1.6. Do hiÓu sai yªu cÇu cña bµi to¸n nªn ph©n chia thiÕu trêng hîp VÝ dô 10: T×m m sao cho ph¬ng tr×nh: x 2  (2m  1)x  m 2 0 chØ cã mét nghiÖm tháa m·n x > 3 (?): Cã nhiÒu häc sinh lËp luËn: yªu cÇu cña bµi to¸n t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp lín h¬n 3 1  m   4 . Kh«ng tån t¹i m.  m  5  2 L¹i cã nh÷ng häc sinh lËp luËn r»ng: ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n ®iÒu kiÖn mét nghiÖm lín h¬n 3:  0   S   3  2 13 af(3) 0 5    m 3  3 lµ ®iÒu kiÖn cÇn t×m. x1 ≤ 3 < x 2   S 2  2  3 (!): Theo kiÓu thø nhÊt häc sinh phiªn dÞch sai yªu cÇu cña bµi to¸n, víi côm tõ “chØ cã mét nghiÖm lín h¬n 3”, häc sinh ®ång nhÊt víi “cã hai nghiÖm b»ng nhau lín h¬n 3”. Theo kiÓu thø 2 häc sinh ®· gép hai trêng hîp x1  3  x 2 vµ 3 x1  x 2 thµnh mét trêng hîp x1 3  x 2 . Tuy nhiªn ®· viÕt ®iÒu kiÖn bá sãt trêng hîp x1  S 3  x 2 . 2 Ngoµi c¸c sai lÇm trªn th×, trong ph©n chia trêng hîp riªng, häc sinh cßn m¾c nhiÒu sai lÇm kh¸c, ch¼ng h¹n, trong qu¸ tr×nh ph©n chia cã thÓ bá sãt c¸c trêng hîp; ph©n chia trång chÐo; trïng lÆp hoÆc m¾c ph¶i sai lÇm trong biÕn ®æi vµ tÝnh to¸n. 1.3.2. Sai lÇm liªn quan ®Õn ng«n ng÷ diÔn ®¹t Häc sinh thêng m¾c ph¶i c¸c kiÓu sai lÇm ng«n ng÷ phæ biÕn sau 1.3.2.1. Sai lÇm vÒ có ph¸p vµ ng÷ nghÜa Theo A. A. St«liar, kh«ng Ýt häc sinh cßn yÕu trong viÖc n¾m có ph¸p cña ng«n ng÷ To¸n häc, ch¼ng h¹n, kh«ng Ýt häc sinh ®· cho r»ng:  2 a b 2   a    b  2 a  b ; logc(a.b) = logca.logcb; a 2 a ; m a. n a m.n a ; 2 1 1  cos 2x 4 (-x) = - x (kh«ng cÇn chó ý tíi n ch½n, n lÎ), f (x)  ; cos x = f(x) 2 n n 1 , ... Cã nh÷ng hiÖn tîng häc sinh biÕn ®æi ®óng nh÷ng cha ch¾c hä ®· n¾m ®îc kiÕn thøc mét c¸ch thùc thô. VÝ dô 11: NhiÒu c«ng thøc ph¸t biÓu mét c¸ch rÊt “vÇn” nh “lim cña mét tæng b»ng tæng c¸c lim; lim cña tÝch b»ng tÝch c¸c lim; ®¹o hµm cña mét tÝch b»ng tÝch c¸c ®¹o hµm; tÝch cña c¸c hµm sè ®ång biÕn lµ hµm ®ång biÕn”; häc sinh chØ n¾m kiÕn thøc theo kiÓu hµnh v¨n chø kh«ng hiÓu b¶n chÊt To¸n häc. 14 VÝ dô 12: DÊu “=” cã rÊt nhiÒu h×nh th¸i sö dông nh chØ sù ®ång nhÊt, toµn ®¼ng, chØ sù thay ®æi, chØ mét hµnh ®éng cÇn tiÕn hµnh, ... Trong trêng hîp nµy nãi riªng ta nãi tíi dÊu “=” trong nguyªn hµm. V× mang mét phong c¸ch rÊt “vÇn” nªn häc sinh dÔ nhí ®îc f(x)dx  g(x)dx  f(x)  g(x) dx , nhng Ýt häc sinh hiÓu ®îc b¶n chÊt cña dÊu “=” ®ã. Trong hoµn c¶nh nµy häc sinh n¾m có ph¸p mét c¸ch h×nh thøc nhng kh«ng hiÓu ®îc ng÷ nghÜa cho nªn häc sinh kh«ng hiÓu v× sao I = 1 + I ? Ch¼ng h¹n, khi tÝnh dx x.ln x , cã häc sinh gi¶i nh sau: 1  dx dx dx  du  KÝ hiÖu I =  . §Æt u = ; v = lnx  dv  . 2 ln x x(ln x) x.ln x x Theo c«ng thøc nguyªn hµm tõng phÇn I = udv uv  vdu ta cã 1 1   .ln x  ln x.   dx , suy ra I = 1+ I (?) 2  ln x  x(ln x)  §· cã sù v« lÝ, bëi lÏ dÊu “=” trong hoµn c¶nh nµy chØ sù b»ng nhau gi÷a hai tËp hîp: I lµ tËp hîp cña c¸c hµm, mµ I + 1 còng lµ tËp hîp cña c¸c hµm. H¬n n÷a víi c¸ch gi¶i trªn kh«ng ®i ®Õn kÕt qu¶ g×. Trong thùc tÕ d¹y häc, ta ®· b¾t gÆp hiÖn tîng, mét bµi to¸n t×m nguyªn hµm nhng víi hai c¸ch gi¶i ®óng kh¸c nhau ®· cho ra kÕt qu¶ cã vÎ rÊt kh¸c nhau, nªn ®· dÉn ®Õn sù hoµi nghi vÒ mét trong hai kÕt qu¶. Khi hai ngêi chän hai kÕt qu¶ F(x) + C vµ G(x) + C, tuy G(x) vµ F(x) mang h×nh thøc kh¸c nhau nhng gi÷a chóng cã thÓ chØ sai kh¸c mét h»ng sè. §iÒu nµy rÊt hay gÆp ë c¸c hµm lîng gi¸c ngîc. Cã nhiÒu häc sinh “n¾m ®îc” có ph¸p mét c¸ch h×nh thøc nhng kh«ng h¼n hiÓu ®îc ng÷ nghÜa cña kÝ hiÖu to¸n häc. I= k VÝ dô 13: Sau khi biÕt C n  n! (1), häc sinh cã thÓ chøng minh ®k! n  k  ! îc c«ng thøc C nn  k C kn (2) b»ng c¸ch ¸p dông trùc tiÕp c«ng thøc (1). Tuy nhiªn, Ýt häc sinh cã thÓ thÊy ®îc (2) mét c¸ch trùc gi¸c vµ chøng minh (2) b»ng ®Þnh nghÜa cña C kn , häc sinh kh«ng hiÓu b¶n chÊt lµ, mét tËp X (gåm n phÇn tö) cã bao 15 nhiªu tËp con gåm k ( k n ) phÇn tö th× sÏ cã bÊy nhiªu tËp con gåm n  k phÇn tö . VÝ dô 14: Khi häc xong ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè, häc sinh tr¶ lêi nhanh 2 kÕt qu¶ tÝnh lim x  2x  1 víi mét c¸ch suy nghÜ h×nh thøc lµ thay gi¸ trÞ x = 1 x 1 x2 2 vµo x  2x  1 ®Ó cho kÕt qu¶. Suy nghÜ kiÓu nh vËy nªn häc sinh cho r»ng x 2 x 2  3x  2 kh«ng tån t¹i. §iÒu ®ã cho thÊy häc sinh kh«ng hiÓu kÝ hiÖu lim. lim x 1 x 1 1.3.2.2. LÉn lén gi÷a ®èi tîng ®îc ®Þnh nghÜa vµ ®èi tîng dïng ®Ó chØ ®èi tîng Êy VÝ dô 15: Häc sinh thêng hay nãi “Tæ hîp chËp k cña n lµ C kn ”, hoÆc, “ChØnh hîp chËp k cña n lµ A kn ”; “mÆt ph¼ng (P) lµ Ax + By + Cz + D = 0”. 1.3.2.3. BÞ ¸m ¶nh bëi c¸c ng«n ng÷ th«ng thêng cña c¸c tõ trong tiÕng ViÖt. VÝ dô 16: Trong tiÕng ViÖt “®¹i” lµ to h¬n “tiÓu”, häc sinh Ên tîng víi ®iÒu 2 nµy, nªn nghÜ r»ng hµm sè y = ax  bx  c cã cùc ®¹i lín h¬n cùc tiÓu. Nhng mx  n thùc ra, nÕu hµm sè cã cùc trÞ th× gi¸ trÞ cùc tiÓu l¹i lín h¬n gi¸ trÞ cùc ®¹i. 1.3.2.4. ¸p ®Æt nh÷ng tÝnh chÊt liªn quan ®Õn kh¸i niÖm nµy cho kh¸i niÖm kh¸c cã nh÷ng tõ gÇn gièng VÝ dô 17: Häc sinh nghÜ: “Tæng cña hai hµm sè lÎ lµ mét hµm sè ch½n” do b¾t chíc tÝnh chÊt “Tæng cña hai sè lÎ lµ mét sè ch½n”, hoÆc xuÊt ph¸t tõ tÝnh chÊt mçi sè nguyªn kh«ng ch½n th× lÎ, nªn nghÜ r»ng ch¼ng cã hµm nµo võa kh«ng ch½n, võa kh«ng lÎ. 1.3.2.5. L¹m dông thuËt ng÷ vµ kÝ hiÖu To¸n häc ®Ó thay thÕ mét sè tõ cña ng«n ng÷ tù nhiªn VÝ dô 18: a. §a thøc cã hÖ sè bËc 3 < 0 (®a thøc cã hÖ sè bËc ba ©m) 16 b. Gi¸ trÞ cña hµm sè f(x) t¹i x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3) c.  ngµy nh  ngµy (mét ngµy nh mäi ngµy) 1.3.2.6. ¶nh hëng cña thãi quen ng«n ng÷ kh«ng ®óng ®¾n VÝ dô 19: Kh«ng chó ý tíi dÊu cña x nªn häc sinh viÕt cßn cho r»ng x 2 x ; häc sinh 36 6 . ë líp 9 häc sinh biÕt r»ng mçi sè a > 0 cã hai c¨n bËc hai vµ ®äc lµ c¨n, nhng khi dïng dÊu c¨n th× ph¶i quan niÖm r»ng ®ã lµ c¨n bËc hai sè häc, nghÜa lµ chØ gi¸ trÞ d¬ng trong hai gi¸ trÞ Êy th«i. §¸ng lÏ ra, khi viÕt dÊu c¨n, gi¸o viªn ®äc mét c¸ch ®Çy ®ñ r»ng c¨n bËc hai sè häc cña 36 b»ng 6. Tuy nhiªn theo thãi quen gi¸o viªn thêng chØ nãi v¾n t¾t c¨n cña 16 b»ng 4. 1.3.2.7. §ång nhÊt ng«n ng÷ cã néi dung gÇn gièng nhau VÝ dô 20: LÉn lén côm tõ “®iÓm cùc trÞ” ; “cùc trÞ” vµ “gi¸ trÞ cùc trÞ”, do ®ã dÔ sai lÇm khi gi¶i To¸n ch¼ng h¹n, bµi to¸n: T×m a, b ®Ó c¸c cùc trÞ cña hµm 5 5 2 3 a x  ax 2  9 x  b lµ nh÷ng sè d¬ng vµ x0  lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ. 9 3 Häc sinh dÔ m¾c mí r»ng, t¹i sao c¸c cùc trÞ lµ nh÷ng sè d¬ng l¹i cßn thªm gi¶ thiÕt ®iÓm cùc trÞ mang gi¸ trÞ ©m, ph¶i ch¨ng ®Ò kh«ng ®óng? Ngoµi nh÷ng sai lÇm trªn häc sinh cßn sö dông ng«n ng÷ mét c¸ch tïy tiÖn: “®å thÞ ®ång biÕn”; “®iÓm uèn cña hµm sè”; “tiÖm cËn cña hµm sè” ..., kh«ng hiÓu chÝnh x¸c c¸c liªn tõ “khi vµ chØ khi”; “nÕu vµ chØ nÕu”; “®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ”; “®iÒu kiÖn ¾t cã vµ ®ñ” vµ kh«ng thÊy ®îc r»ng, thay ®æi mét tõ cã thÓ lµm thay ®æi h¼n mÖnh ®Ò. Khi phiªn dÞch tõ ng«n ng÷ TiÕng ViÖt sang ng«n ng÷ To¸n häc häc sinh thêng hay m¾c sai lÇm. Ch¼ng h¹n, t×m m ®Ó hµm sè sè y = y x 2  2mx  3m 2 cã hai kho¶ng ®ång biÕn trªn toµn miÒn x¸c ®Þnh cña nã th× x  2m häc sinh phiªn dÞch thµnh hai kho¶ng ®ång biÕn lµ   ; 2m    2m;    . HoÆc ngay côm tõ “miÒn gi¸ trÞ” vµ “tËp gi¸ trÞ” häc sinh hiÓu lµ nh nhau, nhng ta thÊy tõ “miÒn” cã thÓ v« h×nh gîi ý cho häc sinh h×nh dung r»ng mét ®o¹n hay mét kho¶ng h÷u h¹n hay v« h¹n ®iÒu nµy thêng x¶y ra ®èi víi c¸c hµm s¬ cÊp. Nhng 17 víi hµm “phÇn nguyªn cña x” :  x  , x¸c ®Þnh bëi quy t¾c lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vù¬t qu¸ x vµ nãi r»ng miÒn gi¸ trÞ cña hµm  x  lµ tËp hîp sè nguyªn Z gäi lµ tËp gi¸ trÞ, gäi nh vËy e cã phÇn lñng cñng. 1.3.3. Sai lÇm liªn quan ®Õn c¶m nhËn trùc quan 2 VÝ dô 21: T×m m ®Ó hµm sè y   x  2mx  5 cã cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m x 1 vÒ hai phÝa cña ®êng th¼ng y = 2x (?): §Æt g(x) =  x 2  2mx  5 Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa cña ®êng th¼ng y = 2x t¬ng ®- g(1) 2m  6 0  2 ¬ng víi hÖ   x  2mx  5 2x v« nghiÖm   x 1 y H×nh 1 (∆): y = 2x A m 3     1  15  m   1  15 , 2  m  2m  14  0 (!): Tõ trùc quan cña h×nh vÏ häc sinh nghÜ r»ng cùc ®¹i, cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa cña mét ®êng th¼ng nghÜa lµ ®å thÞ hµm sè kh«ng c¾t ®êng th¼ng y 2x . Nhng thùc ra ®êng B 0 x1 1 x2 th¼ng y = 2x cã thÓ c¾t ®å thÞ t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt mµ ®iÓm cùc ®¹i, ®iÓm cùc tiÓu vÉn n»m kh¸c phÝa so víi ®êng th¼ng y = 2x. LÏ ra häc sinh ph¶i gi¶i nh sau: Hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu t¬ng ®¬ng víi m < 3. Gäi A  x1 ; y1  , B  x 2 ; y 2  lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ lµ: y = - 2x + m, khi ®ã y1  2x1  m ; y 2  2x 2  m . §Ó A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña ®êng th¼ng y 2x cÇn vµ ®ñ lµ  2x1  y1   2x 2  y 2   0   2  2 6  m   2  2 6 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. x 18 2 VÝ dô 22: Cho hµm sè y  x  1 . T×m hai ®iÓm A, B thuéc vÒ hai nh¸nh x kh¸c nhau cña ®å thÞ sao cho AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt. (!): Th«ng qua h×nh vÏ trùc quan häc sinh dù ®o¸n r»ng hai ®iÓm cÇn t×m lµ: ®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu, khi ®ã AB = 2 5 ; sau ®ã cè g¾ng chøng minh A, B lµ hai ®iÓm cÇn t×m. Nhng thùc tÕ kh«ng ph¶i nh vËy! (?): Ta thÊy tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ x = 0. V× hai ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña tiÖm cËn, nªn thùc chÊt bµi to¸n quy vÒ t×m 0 < a < b sao cho 2   b2  1 a 2  1   2 M   b  a       b a     ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 2 1  2 DÔ thÊy M =  b  a   2   2 2 ab a b   2 1  §Æt: c = - a ta cã M 4bc  2   2 2 bc b c  4   8bc  8  bc  4   =  8bc    8 2 32  8 8( 2  1) bc   M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi a  1 , b 1 2 2 2 2 KÕt qu¶ cuèi cïng cña bµi to¸n cho thÊy A, B kh«ng ph¶i hai ®iÓm cùc trÞ nh dù ®o¸n ban ®Çu!  1  VÝ dô 23: Gi¶i ph¬ng tr×nh: log 1 x    16  16 x (?): Víi x > 0, hµm sè y = f(x) = log 1 x cã hµm sè ngîc lµ: y = g(x) = 16 x  1  nªn ®å thÞ cña chóng ®èi xøng víi nhau qua ®êng th¼ng y = x. MÆt kh¸c:    16  19 2 1 hai hµm sè kh«ng trïng nhau v× f(2) =  ; g(2) =  1  nªn giao ®iÓm cña hai 4  16  ®å thÞ n»m trªn ®êng th¼ng y = x. Do ®ã viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc quy vÒ x 1 gi¶i ph¬ng tr×nh  1  x , nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x = hoÆc x  1 4 2  16  (!): Nhng ta thÊy r»ng víi nghiÖm x = 1 1 1 1  y  ; x   y  nªn c¸c 2 4 4 2  1 1  1 1 ®iÓm  ;  ;  ;  kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè y = x. 2 4  4 2 Sai lÇm nguyªn nh©n do: Khi häc vÒ ®Þnh lÝ: “Trong hÖ täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc 0xy ®å thÞ cña hai hµm sè ngîc nhau y = f(x) vµ y = g(x) lµ ®èi xøng nhau qua ®êng ph©n gi¸c thø nhÊt (y = x)” häc sinh c¨n cø vµo h×nh vÏ ngé nhËn r»ng: “®å thÞ cña hai hµm sè ngîc nhau th× c¾t nhau trªn ®êng th¼ng y x ” thùc ra víi c¸ch ph¸t biÓu nµy chØ ®óng víi c¸c hµm sè ®ång biÕn mµ th«i. Xin dÉn ra mÖnh ®Ò ®óng “cho hµm sè y = f(x) lµ hµm sè ®ång biÕn; hµm ngîc cña nã lµ y = f  1 (x) . NÕu ®å thÞ (C): y = f(x) vµ (C , ) : y = f  1 (x) cã ®iÓm chung M( x 0 ; y 0 ) th× M n»m trªn ®êng ph©n gi¸c y = x”. VÝ dô 24: Cho (P): y = x 2  2x  3 vµ ®êng th¼ng d: y = 2x + m. X¸c ®Þnh m ®Ó (P) c¾t d t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB = 2. (?): Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña cña (P) vµ d lµ x 2  4x  3 m (1). y 2 §Æt y1 x  4x  3 vµ gäi ®å thÞ cña nã lµ ( P1 ); y 2 m vµ ®å P1 3 thÞ cña nã lµ ®êng th¼ng d1 cïng ph¬ng víi 0x vµ c¾t 0y t¹i (0; m). Khi ®ã d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt mµ AB = 2 t¬ng ®¬ng víi 0 -1 A 1 B 2 3 X m my=m H×nh 2 x 20 ( P1 ) c¾t d1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB = 2. C¨n cø vµo ®å thÞ ta thÊy AB = 2 t¬ng ®¬ng víi m = 0. (!): Häc sinh ®· gÆp ph¶i sai lÇm khi cho r»ng d c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB = 2 t¬ng ®¬ng víi (P1) c¾t d1 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB = 2, do trùc quan häc sinh nhÇm tëng hai giao ®iÓm cña d víi (P) vµ hai giao ®iÓm cña (P1) víi d1 cã cïng täa ®é giao ®iÓm, nhng thùc ra chØ cã cïng hoµnh ®é chø kh«ng cã cïng tung ®é. LÏ ra bµi to¸n ph¶i ®îc gi¶i nh sau: Hoµnh ®é giao ®iÓm cña cña (P) vµ d lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2  4x  3 m (1), ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ x 2   x1  m > - 1. Gäi A( x1 ; 2x1  m ); B( x 2 ; 2x 2  m ), khi ®ã 4 4 2 2 2 x 2   4  x1  x 2  2   x1  x 2   4x1x 2   m  . 5 5 1.3.4. Sai lÇm liªn quan ®Õn n¾m néi hµm kh¸i niÖm hoÆc ®iÒu kiÖn ¸p dông ®Þnh lÝ 1.3.4.1. Sai lÇm khi n¾m c¸c kh¸i niÖm To¸n häc Thùc tiÔn s ph¹m cho thÊy trong qu¸ tr×nh vËn dông kh¸i niÖm, viÖc kh«ng n¾m v÷ng néi hµm vµ ngo¹i diªn kh¸i niÖm sÏ dÉn tíi häc sinh hiÓu kh«ng trän vÑn, thËm chÝ hiÓu sai lÖch b¶n chÊt kh¸i niÖm. MÆt kh¸c, nhiÒu kh¸i niÖm To¸n häc lµ sù më réng hoÆc thu hÑp cña kh¸i niÖm tríc ®ã, viÖc kh«ng n¾m vµ hiÓu kh«ng ®óng kh¸i niÖm cã liªn quan lµm häc sinh kh«ng hiÓu, kh«ng cã biÓu tîng ®óng vÒ kh¸i niÖm míi. Sai lÇm vÒ c¸c kh¸i niÖm To¸n häc (®Æc biÖt lµ c¸c kh¸i niÖm ban ®Çu cã tÝnh chÊt nÒn t¶ng) sÏ dÉn ®Õn hÖ qu¶ tÊt yÕu häc kÐm to¸n. V× vËy cã thÓ nãi sù “mÊt gèc” cña häc sinh vÒ kiÕn thøc To¸n häc tríc hÕt coi lµ sù “mÊt gèc” vÒ c¸c kh¸i niÖm. Tõ nhiÒu nguyªn nh©n kh¸c nhau cã thÓ dÉn tíi sù nhËn thøc kh¸i niÖm To¸n häc mét c¸ch h×nh thøc biÓu hiÖn ë: + Häc sinh kh«ng n¾m v÷ng néi hµm vµ ngo¹i diªn cña kh¸i niÖm nªn nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn kh¸i niÖm sai.
- Xem thêm -