Tài liệu Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng Hà Nội – 2015 Lời nói đầu Nhà toán học Pierre-Simon Laplace năm 1812 đã từng nói về vai trò của môn lý thuyết xác suất: "Cần nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người. Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của đời sống thực ra chỉ là những bài toán của lý thuyết xác suất". Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính là một chuyên đề khá mới của môn Lý thuyết xác suất, nghiên cứu về các hàm ngẫu nhiên tuyến tính. Do đó, tôi đã chọn đề tài "Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất. Với khả năng và thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert và thác triển của nó. Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, danh sách các ký hiệu, 3 chương (chương 1-2-3), tài liệu tham khảo. Nội dung chính của các chương được tóm tắt như sau: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chương này, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên, sự hội tụ của biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, toán tử tuyến tính và toán tử Hilbert - Schmidt. Đây là các kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính ở các chương sau. Chương 2: Trình bày về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian 1 Hilbert. Đây là một trong hai chương chính của luận văn. Chương này được chia làm ba phần: Phần đầu nói về các khái niệm cơ bản liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính như toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn và tích các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Phần hai nghiên cứu về hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss. Phần cuối, nghiên cứu về tính hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Chương 3: Nghiên cứu về thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Chương này được chia làm hai phần: Phần đầu nêu những thác triển liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Phần hai trình bày một cách chi tiết một phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng. Người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình giúp tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn quan tâm và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi cũng như các học viên cao học khác trong quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã động viên tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2015 Học viên Vũ Danh Được 2 Mục lục Lời nói đầu 1 Danh sách các ký hiệu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian Hilbert 2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 2.1.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Tích của các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 25 2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 27 2.2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . 29 2.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Sự hội tụ yếu của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . 36 2.3.2 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 37 3 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 40 3.1 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . 40 3.2 Một phương pháp khác thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . 47 3.2.1 Miền xác định của thác triển của một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 47 Trường hợp Φei là độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 4 Danh sách các ký hiệu (Ω, F , P) - không gian xác suất Dη(ω) - phương sai của biến ngẫu nhiên Eη(ω) - kỳ vọng của biến ngẫu nhiên H - không gian Hilbert tách được L(X, Y ) - tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(H) - tập hợp các toán tử tuyến tính từ H vào H LH (Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào H (còn gọi là các biến ngẫu nhiên 0 H−giá trị) LY (Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào Y (còn gọi là các biến ngẫu nhiên 0 Y −giá trị) (x, y) - tích vô hướng của hai phần tử x và y với x, y ∈ H. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo, R = (−∞; +∞), B(R) là σ−đại số các tập Borel của trục thực R. Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω, lấy giá trị trên R gọi là hàm F −đo được hay biến ngẫu nhiên nếu {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với mỗi B ∈ B(R) Ví dụ 1.1.1. Ký hiệu hàm chỉ tiêu của tập A là 1A , 1A (ω) = 1 nếu ω ∈ A, 1A (ω) = 0 nếu ω ∈ A. Cho Ai ∈ F , i ∈ I (I không quá đếm được) và / Ai = Ω, khi đó với i∈I (xi )i∈I ⊂ R, X(ω) = xi 1Ai (ω) i∈I gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Khi I hữu hạn thì X được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P), nhận giá 6 trị trên R = (−∞; +∞). Hàm số F (x) = FX (x) = P(X < x), x∈R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 1.1.3. Cho X là biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X= xk 1Ak k=1 trong đó xk ∈ R, Ak ∈ F , k = 1, ..., n và Ak Al = (k = l). Với mỗi biến ngẫu nhiên X như trên, kí hiệu EX là một số được xác định bởi n EX = xk P(Ak ) k=1 Số này được gọi là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con của F , X là biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với G đã cho là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(X|G), thỏa mãn các điều kiện sau: 1. E(X|G) là G−đo được; 2. E(X|G) thỏa mãn đẳng thức E(X|G)(ω)P(dω) = A X(ω)P(dω), A∈G (1.1) A Bổ đề 1.1.1. (Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện). Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con nào đó của F 1. Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c (h.c.c); 2. X ≤ Y (h.c.c) ⇒ E(X|G) ≤ E(Y |G) (h.c.c); 3. |E(X|G)| ≤ E(|X||G) (h.c.c); 7 4. a, b là các hằng số và aEX + bEY xác định thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c) 5. E(X|{ , Ω}) = EX (h.c.c); 6. E(X|F ) = X (h.c.c); 7. E(E(X|G)) = EX (h.c.c); 8. E E(X|G2 )|G1 = E(X|G1 ) = E E(X|G1 )|G2 (h.c.c) nếu G1 ⊂ G2; 9. Nếu X độc lập với G (nghĩa là σ(X) và G độc lập) thì E(X|G) = EX (h.c.c); 10. Nếu Y là G−đo được và E|Y | < ∞, E|X.Y | < ∞ thì E(XY |G) = Y E(X|G) (h.c.c). Chứng minh. 1. Hiển nhiên. 2. Với X ≤ Y h.c.c suy ra A A XdP ≤ A E(X|G)dP ≤ Y dP với mọi A ∈ G. Suy ra: A E(Y |G)dP, ∀A ∈ G Suy ra E(X|G) ≤ E(Y |G) h.c.c 3. Vì −|X| ≤ X ≤ |X| nên −E(|X||G) ≤ E(|X||G) ≤ E(X|G). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 4. Với A ∈ G thì (aX + bY )dP = a XdP + b A =a A E(X|G)dP + b A A Y dP = A E(Y |G)dP = A (aE(X|G) + bE(Y |G))dP 5. EX đo được đối với σ−đại số {∅, Ω} và nếu A = ∅ hoặc A = Ω thì có XdP = A EXdP A Đó là điều phải chứng minh. 6. Hiển nhiên. 8 7. Sử dụng (1.1) với A = Ω. 8. Nếu A ∈ G1 thì E E(X|G2)|G1 dP = E(X|G2 )dP = A A XdP A Từ đó và từ định nghĩa 1.1.4 ta có đẳng thức đầu. Đẳng thức sau suy ra từ 6. và nhận xét E(X|G1) là G2−đo được. 9. Nếu A ∈ G thì X và 1A độc lập. Do đó: XdP = EX1A = EXP(A) = A (EX)dP A Suy ra điều phải chứng minh. 1.1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên Ký hiệu (Xn ) là dãy biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P). Định nghĩa 1.1.5. (Hội tụ theo xác suất). Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với lim P |Xn − X| > n→∞ > 0 bất kỳ →0 P Sự hội tụ theo xác suất được ký hiệu là Xn → X. Định nghĩa 1.1.6. (Hội tụ hầu chắc chắn). Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho Xn (ω) → X(ω) với ω∈A / h.c.c Sự hội tụ h.c.c được ký hiệu là Xn → X. Định nghĩa 1.1.7. (Hội tụ trung bình). Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p(0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X nếu E|Xn − X|p → 0, 9 (n → ∞) Lp Sự hội tụ trung bình được ký hiệu là Xn → X. Trong đó Lp (p > 0) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) thỏa mãn E|X|p < ∞. Trong Lp , chuẩn bậc p của X được ký hiệu X p = E|X| p 1 p Nhận xét 1.1.1. Từ bất đẳng thức Markov P(|X| > ) ≤ E|X|p p , 0 k≥n > 0 bất kỳ → 0, n → ∞ Chứng minh. Đặt Zn = sup |Xk − X| k≥n h.c.c h.c.c h.c.c Rõ ràng, Xn → X khi và chỉ khi Zn → 0. Nhưng (Zn ) là dãy giảm nên Zn → 0 P tương đương với Zn → 0 hay cũng vậy, tương đương với P sup |Xk − X| > k≥n 10 → 0, n → ∞ 1.2 1.2.1 Hàm ngẫu nhiên Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1. Cho T là 1 tập hợp, (Ω, F , P) là không gian xác suất. Khi đó ánh xạ Φ : T × Ω −→ R (t, ω) −→ Φ(t, ω) gọi là hàm ngẫu nhiên nếu với mỗi t ∈ T : ω −→ Φ(t, ω) là F −đo được. Khi T = N thì {Φ(t, ω)} = {Φ(n)} = (Φn ) gọi là dãy ngẫu nhiên. Khi T là (−∞, +∞) hoặc (0, +∞) hoặc (a, b) thì {Φ(t)} = (Φt ) gọi là quá trình ngẫu nhiên. Khi T ⊂ Rn thì {Φ(t)} gọi là trường ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.2.2. Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên (Φt , t ≥ 0) được gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ−trường tích B(R+ ) × F . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của R, tập hợp {(t, ω) : Φ(t, ω) ∈ B} thuộc về σ−trường tích B(R+ ) × F . Đó là σ−trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0, t] × A với t ∈ R+ , A ∈ F . Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm ngẫu nhiên Φ(t) = Φ(t, ω). Hàm m(t) = EΦ(t) được gọi là hàm trung bình của Φ(t). Hàm tự tương quan là K(s, t) = cov Φ(s), Φ(t) = E Φ(s) − m(s) 1.2.2 Φ(t) − m(t) Hàm ngẫu nhiên Wiener Định nghĩa 1.2.4. Hàm ngẫu nhiên W (t) = (Wt, t ≥ 0) được gọi là hàm ngẫu nhiên Wiener nếu nó thỏa mãn các tính chất sau 11 1. W (0) = 0; 2. Với 0 < s < t thì W (t) − W (s) có phân phối chuẩn với kỳ vọng là 0 và phương sai là t − s; 3. W (t) có gia số độc lập, tức là với 0 ≤ t0 < t1 < ... < tn thì W (t1) − W (t0); W (t2) − W (t1); ...; W (tn) − W (tn−1 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập. Định lý 1.2.1. Cho hàm ngẫu nhiên Wiener W (t), khi đó ta có m(t) = 0 và K(s, t) = min(s, t) 1.3 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.3.1. Cho hai không gian vectơ X, Y . Một ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αk Axk với mọi x1, x2 , ..., xk ∈ X và mọi số α1, α2 , ..., αk . Tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y , ký hiệu là L(X, Y ). Định nghĩa 1.3.2. Cho hai không gian vectơ định chuẩn X, Y . Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số k sao cho Ax ≤ k. x , ∀x ∈ X (chú ý rằng chuẩn bên trái của bất đẳng thức là chuẩn trong Y , chuẩn bên phải là chuẩn trong X) Định lý 1.3.1. Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn. 12 Chứng minh. Giả sử toán tử tuyến tính A liên tục. Trước hết ta chứng minh rằng phải có một hằng số k sao cho Ax ≤ k với mọi x có x = 1. Thật vậy, nếu trái xn lại, tức là ∀n, tồn tại xn , xn = 1, Axn > n thì ta lấy xn = , ta có xn → 0 và n Axn Axn Axn = = > 1, trái với giả thiết A liên tục. Vậy phải có số k với tính n n Ax x chất trên. Với x khác 0 ta có = 1, cho nên ≤ k, do đó Ax ≤ k. x . x x Ngược lại, giả sử có hằng số k thỏa mãn định nghĩa 1.3.2 và xn → x0. Ta có Axn − Ax0 = A(xn − x0) ≤ k. xn − x0 → 0 Vậy A liên tục tại x0. 1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt Định nghĩa 1.4.1. Giả sử rằng H là không gian Hilbert tách được và A ∈ B(H). Ta nói rằng A là toán tử Hilbert - Schmidt nếu tồn tại một cơ sở trực chuẩn {en }∞ n=1 sao cho ∞ Aen n=1 2 < ∞. Bổ đề 1.4.1. Giả sử rằng A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian H tách được sao cho có một cơ sở trực chuẩn {en }∞ thỏa mãn n=1 ∞ Aen n=1 đó với bất kỳ cơ sở trực chuẩn {fn }∞ ta có n=1 ∞ ∞ Afn 2 = n=1 Aen 2 n=1 Chứng minh. Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, theo đẳng thức Parseval ta có: ∞ ∞ Afn , fk fk , Afn = Afn 2 = k=1 Afn , fk 2 k=1 Xét với tổng n, áp dụng đẳng thức Parseval một lần nữa ta được: ∞ ∞ Aen 2 ∞ = Aen , fk 2 ∞ ∞ n=1 k=1 ∞ ∞ A∗fk , en = A∗ fk , en = n=1 k=1 k=1 ∞ k=1 n=1 2 A∗fk = k=1 13 2 2 = 2 < ∞. Khi trong đó A∗ là toán tử liên hợp của toán tử A. ∞ Từ trên chứng tỏ rằng 2 Aen ∞ Afn 2. = n=1 n=1 Bổ đề 1.4.2. Mọi toán tử Hilbert - Schmidt A : H → H đều là toán tử compact. Chứng minh. Ta biết rằng một toán tử trên không gian Hilbert tách được là compact khi và chỉ khi nó là giới hạn của một dãy các toán tử có hạng hữu hạn (fn )∞ . Chọn n=1 một cơ sở trực chuẩn {ek }∞ trong không gian H sao cho k=1 ∞ Aek 2 k=1 < ∞. Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, xác định toán tử An : H → H bởi: n An (h) = k=1 h, ek Aek ∈ span{Ae1, ..., Aen} Từ đó suy ra An có hạng hữu hạn vì hạng của An là hạng của không gian con hữu hạn chiều. Với h bất kỳ thuộc H ta có: ∞ (A − An )h = ∞ k=n+1 h, ek Aek ≤ 1 2 ∞ ≤ Với h bất kỳ, h ≤ 1, k=n+1 ∞ k=n+1 | h, ek |2 | h, ek |2 ≤ Từ đó suy ra ∞ Aek 2 1 2 ∞ . Aek 2 k=n+1 ∞ k=1 | h, ek |2 = h ∞ (A − An )h ≤ k=n+1 | h, ek | Aek Aek k=n+1 2 1 2 → 0, 2 ≤ 1 nên n→∞ là phần dư của một chuỗi hội tụ. k=n+1 Bổ đề 1.4.3. Giả sử L2 (X, µ) là một không gian Hilbert tách được và K là một toán tử tích phân trên L2 (X, µ) với hạt nhân k ∈ L2 (X × X, µ ⊗ µ). Khi đó K là một toán tử Hilbert - Schmidt. Ngược lại, bất kỳ toán tử Hilbert - Schmidt nào trên L2 (X, µ) đều là một toán tử tích phân với hạt nhân k ∈ L2 (X × X, µ ⊗ µ). 14 Chứng minh. Vì không gian L2 (X, µ) tách được, không gian này có một cơ sở trực chuẩn đếm được {en }∞ . Theo định lý Fubini với mọi x ∈ X, ký hiệu kx (y) = k(x, y) n=1 là 1 hàm số xác định trên L2 (X, µ). Do đó, mọi x ∈ X thì (Ken )(x) = kx (y)en(y)dµ(y) = kx , en k(x, y)en (y)dµ(y) = X X Dựa theo định lý hội tụ trội ta có: ∞ ∞ 2 Ken ∞ = 2 kx , en n=1 dµ(x) = kx , en X n=1 2 dµ(x) X n=1 Dễ thấy {en }∞ là một cơ sở trực chuẩn của L2 (X, µ) khi và chỉ khi {en }∞ là một n=1 n=1 cơ sở trực chuẩn. Do vậy kx = ∞ 2 kx , en en và kx ∞ = n=1 kx , en 2 . Từ đó kết luận n=1 rằng: ∞ Ken 2 kx 2dµ(x) = = X n=1 X X |k(x, y)|2dµ(y) dµ(x) < ∞ với giả thiết là k ∈ L2 (X × X, µ ⊗ µ). Bây giờ giả sử rằng Φ là một toán tử Hilbert - Schmidt trên L2 (X, µ). Cho {en }∞ n=1 là một cơ sở trực chuẩn của L2 (X, µ). Với bất kỳ f ∈ L2 (X, µ), ∞ ∞ (Φf)(x) = Φ f, en en (x) = f(y)en (y)dµ(y) (Φen )(x) n=1 n=1 Vì giả thiết Φ là toán tử Hilbert - Schmidt nên X ∞ Φen n=1 2 < ∞, do đó chuỗi ∞ Φen n=1 hội tụ trong L2 (X, µ). Theo định lý Fubini, hàm K : X × X → P được xác định bởi: ∞ K(x, y) = (Φen )(x)en (y) n=1 là một phần tử của không gian L2 (X × X, µ ⊗ µ). Theo định lý hội tụ trội ta được: ∞ (Φf)(x) = f(y)en (y)dµ(y) (Φen )(x) = n=1 X ∞ = f(y) X (Φen )(x)en (y) dµ(y) = K(x, y)f(y)dµ(y) X n=1 15 Chương 2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian Hilbert 2.1 Các khái niệm cơ bản 2.1.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Định nghĩa 2.1.1. Cho ánh xạ Φ từ H vào LH (Ω) được gọi là toán tử ngẫu nhiên 0 tuyến tính với giá trị trên H hay H−giá trị nếu thỏa mãn 1. Mọi x1, x2 ∈ H và α, β ∈ R thì P{Φ(αx1 + βx2) = αΦx1 + βΦx2} = 1 2. Φ liên tục tại x theo xác suất, tức là ∀ > 0 : lim P{|Φxn − Φx| > } = 0 xn →x Tập hợp các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính H−giá trị, ký hiệu là L(Ω, H). Nhận xét 2.1.1. Các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Φ1 và Φ2 gọi là bản sao của nhau khi ∀x ∈ H : P{Φ1 x = Φ2 x} = 1 16 (2.1) Nhận xét 2.1.2. Cho Φ là ánh xạ từ Ω vào L(H) và Φ là F −đo được. Khi đó Φ ∈ LH (Ω). Vậy ta có Φ ∈ L(Ω, H). 0 2.1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu Định nghĩa 2.1.2. Toán tử Φ từ H vào LH (Ω) được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyến 0 tính yếu nếu ánh xạ (Φx, y) : H × H → LR (Ω) thỏa mãn: 0 1. Mọi x1, x2 , y1, y2 ∈ H và α1 , α2, β1 , β2 ∈ R thì 2 P{(Φ(α1 x1 + α2x2 ), β1y1 + β2y2) = αi βj (Φxi , yj )} = 1 i,j=1 2. Φ liên tục theo xác suất trên H × H, tức là ∀ >0: lim xn →x,yn →y P{|(Φxn , yn ) − (Φx, y)| > } = 0 Tập hợp các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu ký hiệu là Lw (Ω, H). Nhận xét 2.1.3. Các toán tử Φ1 và Φ2 gọi là bản sao của nhau nếu ∀x, y ∈ H : P{(Φ1 x, y) = (Φ2 x, y)} = 1 (2.2) Nhận xét 2.1.4. Dễ dàng có L(Ω, H) ⊂ Lw (Ω, H). Nhận xét 2.1.5. Sự đồng nhất của các toán tử trong Lw (Ω, H) và trong L(Ω, H) là tương thích: nếu Φ1 , Φ2 ∈ L(Ω, H) và thỏa mãn (2.2) thì khi đó mọi tập đếm được H1 ⊂ H ta có P{(Φ1 x − Φ2 x, y) = 0, y ∈ H1} = 1 Từ đó dẫn đến Φ1 x − Φ2 x ∈ H và ta có đẳng thức (2.1). Ngược lại, nếu Φ1 , Φ2 ∈ Lw (Ω, H) và thỏa mãn (2.1) thì ta có đẳng thức (2.2). Định lý 2.1.1. Cho hệ vectơ cơ sở {ek } trong không gian H và Φ ∈ Lw (Ω, H). Khi đó Φ ∈ L(Ω, H) khi và chỉ khi ∞ ∀x ∈ H : P k=1 (Φx, ek )2 < ∞ 17 =1 Chứng minh. Điều kiện cần. Nếu Φx ∈ H, khi đó mọi ω ∈ Ω có ∞ ∞ Φx = (Φx, ek )ek k=1 Điều kiện đủ. Đặt Φx = 2 và |Φx| = k=1 (Φx, ek )2 < ∞ ∞ (Φx, ek )ek k=1 Khi đó vì (Φx, y) thỏa mãn điều kiện 1 của định nghĩa 2.1.2 nên Φx thỏa mãn điều kiện 1 của định nghĩa 2.1.1. Mặt khác, với xác suất bằng 1 thì ∞ (Φx, y) = n (Φx, ek )(ek , y) = lim Φx, n→∞ k=1 Từ điều kiện 2 của định nghĩa 2.1.2 và từ y = (ek , y)ek = (Φx, y) k=1 ∞ (ek , y)ek ta có k=1 P{(Φx, y) = (Φx, y)} = 1 Ta cần chứng minh Φx thỏa mãn điều kiện 2 của định nghĩa 2.1.1. Điều này tương đương với chứng minh lim sup P{|Φx| > α} = 0 α→∞ |x|≤1 (2.3) Nếu chứng minh được (2.3) thì ta sẽ có P{|Φxn − Φx| > } ≤ sup P |Φy| > |y|≤1 |xn − x| →0 khi |xn − x| → 0. Quay lại với việc chứng minh (2.3), chứng minh (2.3) tương đương với chứng minh mệnh đề: với bất kỳ > 0, tồn tại một hình cầu Sδ (x0) trong H (hình cầu có tâm tại x0, bán kính δ) và một số α > 0 sao cho sup P{|Φx| > α} ≤ (2.4) x∈Sδ (x0 ) Từ (2.4), ta có với x ∈ S1(0): P{|Φx| > λ} = P{|Φδx| > λδ} = 18