Tài liệu Một số tính chất của vành và môđun phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN CAO VĂN HOÀNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHSP Ngành học: Toán học Mã số sinh viên: K34101027 Giảng viên hướng dẫn PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012 1 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Vành . . . . . . . 1.2 Iđêan . . . . . . . 1.3 Vành các thương 1.4 Môđun . . . . . . 1.5 Tôpô và đầy đủ . 1.6 Lọc . . . . . . . . 1.7 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Một số tính chất của vành và môđun phân bậc 2.1 Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vành phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Tính chất của vành và môđun phân bậc . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 . . . . . . . 6 6 7 11 12 19 20 21 . . . . . . 24 24 25 26 26 41 43 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS.TS. Trần Tuấn Nam. Tôi xin phép được gởi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân trong suốt thời gian làm luận văn. Tôi xin phép được gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảng dạy lớp Toán 4 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nói chung cũng như toàn thể quý Thầy Cô trong Khoa Toán nói riêng đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng, tôi cũng xin phép được gởi lời cảm ơn đến những người thân, các bạn sinh viên lớp Toán 4 đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt bốn năm học tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012 Sinh viên thực hiện Cao Văn Hoàng 3 Lời mở đầu Đại số nói chung là môn học khá phổ biến, khá hay của ngành toán trong các trường đại học và đại số giao hoán lại là môn chuyên ngành khá mới của đại số. Với mong muốn tìm hiểu thêm và hiểu sâu hơn các định nghĩa, cách chứng minh các định lý cùng những tính chất liên quan của chuyên ngành đại số giao hoán, tôi đã thực hiện luận văn này. Dựa trên những kiến thức về vành, iđêan, A-môđun M, đồng cấu A-môđun, tôpô và đầy đủ, lọc, dãy khớp, tôi sẽ giới thiệu cho người đọc biết về định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc cùng những tính chất của chúng. Nội dung luận văn được chia thành 2 chương: Chương 1: Kiến thức cơ sở. Chương này đưa ra các khái niệm và các mệnh đề sử dụng trong chương 2. Chương 2: Một số tính chất của vành và môđun phân bậc. Chương này đưa ra định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc, vành phân bậc liên kết, các tính chất liên quan và chứng minh. Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức, nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của các Thầy và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn. 4 Bảng ký hiệu Ký hiệu a−1 A/I ā hx1 , x2 , . . . , xn i AnnJ . Mệnh đề 1.2.2. Cho hai iđêan I và J của vành A. Khi đó các tập sau là iđêan của A: I +J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J} P IJ = xi yj |xi ∈ I, yj ∈ J hh (I : J) = {x ∈ A|xJ ⊂ I} rad (I) = {x ∈ A|∃n ∈ N\ {0} xn ∈ I} Định nghĩa 1.2.6. Iđêan IJ được gọi là tích của hai iđêan I và J. Tổng quát ta có khái niệm lũy thừa của một iđêan I: I 0 := A, I 1 := I, I 2 , . . . , I n , . . . Và hiển nhiên là I 0 ⊃ I ⊃ I 2 ⊃ . . . ⊃ I n ⊃ . . . Định nghĩa 1.2.7. Iđêan rad(I) được gọi là căn của iđêan I. 8 Định nghĩa 1.2.8. (0 : J) = {x ∈ A|xJ = 0} được gọi là linh hóa tử của J, ký hiệu Ann(J). Định nghĩa 1.2.9. Cho vành A. Iđêan I của A được gọi là iđêan nguyên tố nếu ab ∈ I thì hoặc a ∈ I hoặc b ∈ I. Iđêan I của A được gọi là iđêan tối đại nếu I là iđêan thật sự của A và không bị chứa trong bất kì iđêan thật sự nào khác I. Mệnh đề 1.2.3. Cho iđêan I của vành A. Khi đó: I là iđêan nguyên tố ⇔ vành thương A/I là miền nguyên. I là iđêan tối đại ⇔ A/I là trường. Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề Zorn). Cho (X, ≤) là một tập sắp thứ tự. Khi đó ta định nghĩa: • Cận trên của một tập con T ⊂ X là một phần tử a ∈ X thỏa x 6 a, ∀x ∈ T . • Một dây chuyền trong X là một tập con T ⊂ X thỏa ∀x, y ∈ T thì x 6 y hay y 6 x. • Phần tử tối đại của X là một phần tử a ∈ X sao cho ∀x ∈ X, a 6 x ⇒ a = x. P Bổ đề Zorn: Nếu mỗi dây chuyền của một tập sắp thứ tự khác rỗng đều có cận P P trên trong thì có chứa phần tử tối đại. Mệnh đề 1.2.4. • Cho iđêan I và các iđêan nguyên tố P1 , P2 , . . . , Pn của một vành A. n S Nếu I ⊂ Pi thì I ⊂ Pi với i nào đó. i=1 • Cho các iđêan I1 , I2 , . . . , In và iđêan nguyên tố P của một vành A. n n T T Ii thì P ⊃ Ii với i nào đó, và do đó nếu P = Ii thì P = Ii Nếu P ⊃ i=1 i=1 với i nào đó. Định nghĩa 1.2.10. Vành chỉ có một iđêan tối đại duy nhất được gọi là vành địa phương. 9 Định nghĩa 1.2.11. Iđêan giao của tất cả các iđêan tối đại của vành A được gọi là căn Jacobson của vành A. Ký hiệu 0 để xv − xu ∈ U, ∀v, u > s(U ). Định nghĩa 1.5.3. Hai dãy Cauchy (xu ) và (yu ) gọi là tương đương, ký hiệu (xu ) ∼ (yu ) nếu (xu ) − (yu ) → 0 trong G. 19 Định nghĩa 1.5.4.  Gọi S = (xu ) ⊂ G : (xu ) là dãy Cauchy b = S/ ∼ là tập các lớp tương đương của dãy Cauchy trong G. Đặt G b được gọi là đầy đủ của nhóm tôpô G. G b định nghĩa phép cộng: Trên G b : (xu ) + (yu ) = (xu + yu ). ∀ (xu ), (yu ) ∈ G b +) là nhóm cộng giao hoán. Ta có (G, b là đồng cấu nhóm. ? Ánh xạ φ : G → G Kerφ = H, do đó φ là đơn cấu ⇔ G là Haussdorff. Định nghĩa 1.5.5. Giả sử 0 ∈ G (G là nhóm cộng Aben) có một cơ sở lân cận gồm các nhóm con của G: G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ . . . ⊃ Gn ⊃ . . . U ⊂ G là cơ sở lân cận của 0 ⇔ U ⊃ Gn với n nào đó. ? Lấy G = A, Gn = I n với A là vành và I là iđêan của A. Tôpô xác định trên A được gọi là tôpô I−adic hay I−tôpô. Dễ kiểm tra A là vành tôpô nghĩa là các phép toán của vành là liên tục. T ? I−tôpô là Haussdorff ⇔ I n = (0). b của A với tôpô này gọi là đầy đủ I−adic. Khi đó A b cũng là vành tôpô. ? Đầy đủ A b là một đồng cấu vành liên tục mà hạt nhân là T I n . ? φ : A −→ A ? Cho M là A−môđun, I là một iđêan của vành A, lấy G = M , Gn = I n M . Điều c của M với tôpô này gọi là đầy đủ này xác định một I−tôpô trên M . Đầy đủ M c là tôpô A−môđun. b I−adic. Khi đó M 1.6 Lọc Định nghĩa 1.6.1. Cho một A−môđun M .Một dãy giảm (Mn ) các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mn ⊃ . . . được gọi là một lọc của M . Định nghĩa 1.6.2. Cho I là một iđêan của vành A. Một lọc (Mn ) được gọi là I−lọc nếu ∀n : IMn ⊂ Mn+1 . 20