Tài liệu Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc tiểu học (2017)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC PHẠM THỊ ĐIỆP MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỔ VÀ BÀI TOÁN VUI BẬC TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các bạn sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này. Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và còn những thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa Giáo dục Tiểu học để hoàn thiện khóa luận như hiện tại. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Phạm Thị Điệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp “Một số phƣơng pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học” được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng với bất kì khóa luận nào khác. Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Phạm Thị Điệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 4. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 2 5. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2 6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2 7. Cấu trúc khoá luận ........................................................................................ 2 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ..................................................................... 3 1.1 Đặc điểm của học sinh Tiểu học ................................................................. 3 1.1.1 Đặc điểm nhận về nhận thức .................................................................... 3 1.1.2 Đặc điểm về sự phát triển tư duy đối với học sinh bậc Tiểu học ............ 5 1.2 Vấn đề chung về bài toán ............................................................................ 6 1.2.1 Quan niệm về bài toán.............................................................................. 6 1.2.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán................................................................. 6 1.2.3 Lời giải của bài toán ................................................................................. 6 1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán ........................................................................ 7 1.2.5 Phân loại bài toán ..................................................................................... 7 1.2.6 Phương pháp tìm lời giải của bài toán ..................................................... 8 1.3 Bài toán cổ – toán vui.................................................................................. 9 1.3.1 Khái niệm ................................................................................................. 9 1.3.2 Phân loại ................................................................................................... 9 1.3.3 Ý nghĩa của các bài toán cổ - toán vui ................................................... 10 1.4 Một số phương pháp thường dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học .................................................................................................... 11 1.4.1 Phương pháp tính ngược từ cuối ............................................................ 11 1.4.2 Phương pháp lập bảng logic ................................................................... 12 1.4.3 Phương pháp suy luận đơn giản ............................................................. 13 1.4.4 Phương pháp lựa chọn tình huống ......................................................... 14 1.4.5 Phương pháp thử chọn ........................................................................... 15 1.4.6 Phương pháp giả thiết tạm ..................................................................... 16 1.4.7 Phương pháp chia tỉ lệ............................................................................ 17 Kết luận chương 1 ........................................................................................... 18 CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỔ VÀ BÀI TOÁN VUI BẬC TIỂU HỌC .............................................................. 19 2.1 Một số phương pháp để giải các bài toán cổ và bài toán vui thông thường ở Tiểu học ........................................................................................................ 19 2.1.1 Các bài toán về chữ số và số .................................................................. 19 2.1.2 Dạng toán về phân số và số thập phân ................................................... 22 2.1.3 Dạng toán về chuyển động ..................................................................... 25 2.1.4 Dạng toán về tính tuổi ............................................................................ 27 2.1.5 Dạng toán suy luận ................................................................................. 29 2.1.6 Dạng toán về cân đo, chiến lược tối ưu.................................................. 32 2.1.7 Các bài toán vui - toán cổ khác ............................................................. 34 2.2 Một số bài toán cổ - toán vui nâng cao ..................................................... 37 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 49 KẾT LUẬN .................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 51 MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài. Trong xu thế phát triển tri thức ngày nay, giáo dục đóng vai trò quan trọng đối với mọi quốc gia, mọi dân tộc. Sản phẩm của giáo dục chính là con người. Con người vừa là mục tiêu, vừa là động lực cho sự phát triển của xã hội, muốn phát triển xã hội phải chăm lo nhân tố con người về thể chất và tinh thần, nhất là về học vấn, nhận thức về thế giới xung quanh để họ có thể góp phần xây dựng và cải tạo xã hội. Nếu không có tri thức, hiểu biết về xã hội, tự nhiên và chính bản thân mình, con người sẽ luôn lệ thuộc, bất lực trước những thế lực và sức mạnh cản trở sự phát triển của dân tộc, đất nước mình. Chính vì vậy, việc đầu tư cho giáo dục là quốc sách hàng đầu của một quốc gia đang phát triển như Việt Nam, đặc biệt là bậc Tiểu học. Bậc Tiểu học là bậc học nền tảng giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển về đạo đức, trí tuệ, thẩm mĩ và các khả năng cơ bản để học sinh tiếp tục học bậc Trung học Cơ sở. Ở bậc Tiểu học, nội dung môn học phong phú, mỗi môn học đảm nhận một vai trò khác nhau. Với tư cách là một khoa học, toán học là một môn học vô cùng quan trọng và cần thiết. Nó là một hệ thống các khái niệm, quy luật và phương pháp nghiên cứu riêng. Môn Toán ở trường Tiểu học giúp học sinh có những kiến thức cơ bản và sơ giản ban đầu về số học, hình học, các yếu tố đại lượng và hình thành các kĩ năng toán học góp phần hình thành phương pháp học tập, làm việc có kế hoạch, chủ động, sáng tạo giúp các em học tập tốt các môn học khác trong nhà trường và chuẩn bị cho các bậc học tiếp theo. Để nâng cao chất lượng dạy học, trình độ tư duy, óc sáng tạo, trí lực học tập, trí thông minh của học sinh tiểu học, các thầy cô giáo phải tìm cho mình các phương pháp, các bài toán hợp lí, trong đó mảng các bài toán cổ và bài toán vui là một mảng không nhỏ. Tuy nhiên hiện nay ở các trường Tiểu học, mảng 1 toán này mặc dù đã được tìm hiểu và quan tâm nhưng chưa thật sâu sắc. Các em học sinh thường gặp khó khăn khi tìm lời giải cho các bài toán này bởi vì để giải các bài toán này đòi hỏi người học cần có trí tưởng tượng phong phú, sự lập luận logic, hợp với yêu cầu thực tế cũng như ý đồ bài toán. Xuất phát từ những lí do trên, với mong muốn nâng cao hiệu quả dạy học toán, em chọn đề tài “Một số phƣơng pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm chuyên ngành toán Tiểu học. 2 Mục đích nghiên cứu. Rèn luyện và phát triển khả năng tư duy logic cho học sinh thông qua việc vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải toán để giải các bài toán cổ, toán vui ở Tiểu học. 3 Nhiệm vụ nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu cơ sở lí luận của vấn đề: một số phương pháp giải các bài toán cổ, toán vui bậc Tiểu học. Nghiên cứu các dạng toán cổ, toán vui ở Tiểu học và cách giải các bài toán đó bằng một số phương pháp khác nhau. 4 Phạm vi nghiên cứu. Đề tài nghiên cứu các dạng toán cổ và toán vui trong chương trình toán ở Tiểu học, những bài toán suy luận vui trong sách nâng cao toán Tiểu học. 5 Đối tƣợng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các dạng toán cổ và toán vui ở Tiểu học. Phương pháp giải các bài toán cổ và toán vui ở Tiểu học. 6 Phƣơng pháp nghiên cứu. Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn. 7 Cấu trúc khoá luận. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khoá luận bao gồm Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học 2 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Đặc điểm của học sinh Tiểu học 1.1.1 Đặc điểm về nhận thức. Đối tượng của cấp Tiểu học là trẻ em từ 6 đến 11 tuổi. Học sinh tiểu học là một thực thể hồn nhiên, ngây thơ và trong sáng. Ở mỗi trẻ em tiềm tàng khả năng phát triển về trí tuệ, lao động, rèn luyện và hoạt động xã hội để đạt một trình độ nhất định về lao động nghề nghiệp, về quan hệ giao lưu và chăm lo cuộc sống cá nhân, gia đình. Trẻ em ở lứa tuổi tiểu học là thực thể đang hình thành và phát triển cả về mặt sinh lý, tâm lý, xã hội, các em đang từng bước gia nhập vào xã hội. Do đó, học sinh tiểu học chưa đủ ý thức, chưa đủ phẩm chất và năng lực như một công dân trong xã hội, mà các em luôn cần sự bảo trợ, giúp đỡ của người lớn, của gia đình, nhà trường và xã hội. Học sinh tiểu học dễ thích nghi và tiếp nhận cái mới và luôn hướng tới tương lai. Nhưng cũng thiếu sự tập trung cao độ, khả năng ghi nhớ và chú ý có chủ định chưa được phát triển mạnh, tính hiếu động, dễ xúc động còn bộc lộ rõ nét. Trẻ nhớ rất nhanh và quên cũng nhanh. Đối với trẻ em ở lứa tuổi tiểu học thì tri giác của học sinh tiểu học phản ánh những thuộc tính trực quan, cụ thể của sự vật, hiện tượng và xảy ra khi chúng trực tiếp tác động lên giác quan. Tri giác giúp cho trẻ định hướng nhanh chóng và chính xác hơn trong thế giới khách quan. So với học sinh đầu bậc Tiểu học, các em học sinh ở cuối bậc Tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác dần. Bên cạnh sự phát triển của tri giác, chú ý có chủ định của học sinh tiểu học còn yếu, khả năng điều chỉnh chú ý có ý chí chưa mạnh. Ở đầu tuổi tiểu học chú ý có chủ định của trẻ còn yếu, khả năng kiểm soát, điều khiển chú ý còn hạn chế. Ở giai đoạn này chú ý không chủ định chiếm ưu thế hơn chú ý 3 có chủ định. Trẻ lúc này chỉ quan tâm chú ý đến những môn học, giờ học có đồ dùng trực quan sinh động, hấp dẫn có nhiều tranh ảnh, trò chơi hoặc có cô giáo xinh đẹp, dịu dàng,... Sự tập trung chú ý của trẻ còn yếu và thiếu tính bền vững, chưa thể tập trung lâu dài và dễ bị phân tán trong quá trình học tập. Ở cuối tuổi tiểu học trẻ dần hình thành kĩ năng tổ chức, điều chỉnh chú ý của mình. Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu thế, ở trẻ đã có sự nỗ lực về ý chí trong hoạt động học tập như học thuộc một bài thơ, một công thức toán hay một bài hát dài,... Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới hạn của yếu tố thời gian, trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố gắng hoàn thành công việc trong khoảng thời gian quy định. Trí nhớ có vai trò đặc biệt quan trọng trong đời sống và hoạt động của con người, nhờ có trí nhớ mà con người tích lũy vốn kinh nghiệm đó vận dụng vào cuộc sống. Học sinh tiểu học có trí nhớ trực quan – hình tượng phát triển chiếm ưu thế hơn trí nhớ từ ngữ – logic. Hình tượng, hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ hình tượng khô khan. Ở giai đoạn cuối tiểu học, trí nhớ tưởng tượng có phát triển hơn nhưng tản mạn, ít có tổ chức và nhiều ảnh hưởng của hứng thú, của kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết. Với đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học đã nêu trên, ta phải sử dụng phương pháp trực quan hợp lý trong quá trình giải bài toán để đạt hiệu quả cao, làm thế nào để thu hút sự chú ý của học sinh tiểu học giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải bài toán một cách khoa học logic đồng thời phát triển khả năng tư duy của học sinh tiểu học. Chính vì thế, đối với các bài toán dạng toán vui, toán cổ cần có sự hiểu đúng bản chất của bài toán để tránh bị mắc vào các “mẹo” dẫn tới các sai lầm khi giải, giúp học sinh loại bỏ cái không bản chất để tập trung vào cái bản chất toán học. Nhờ đó, học sinh có thể nhìn bao quát bài toán, tìm ra mối liên hệ 4 giữa cái đã cho và cái đã biết, giữa các dữ liệu ảo và dữ liệu cần quan tâm để tìm ra cách giải quyết bài toán. 1.1.2 Đặc điểm về sự phát triển tƣ duy đối với học sinh bậc Tiểu học Khái niệm chung về tƣ duy. Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tư duy, đó là quá trình tâm lý phản ảnh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết. Tư duy logic là loại tư duy mà việc giải quyết nhiệm vụ dựa trên sự sử dụng các khái niệm, các kết cấu logic, được tồn tại và vận hành nhờ ngôn ngữ. Tư duy mở rộng giới hạn của hoạt động nhận thức, đi sâu vào bản chất của sự vật, hiện tượng và tìm ra những mối quan hệ có tính quy luật giữa chúng với nhau. Tư duy cải tạo lại thông tin của nhận thức cảm tính làm chúng có ý nghĩa hơn cho hoạt động của con người. Tư duy của học sinh Tiểu học là quá trình nhận thức giúp các em phản ánh được bản chất của đối tượng nghĩa là giúp các em tiếp thu được khái niệm của các môn học. Mức độ tƣ duy của học sinh bậc Tiểu học (i ) Mức độ thức nhất (thường từ 6 tuổi - 7 tuổi) Trong giai đoạn này trẻ em có các đặc điểm căn bản sau Tư duy trực quan hành động chiếm ưu thế. Việc học tập chủ yếu bằng phương pháp phân tích, so sánh, đối chiếu dựa trên các đối tượng hoặc những hình ảnh trực quan. Những khái quát của trẻ về sự vật hiện tượng ở giai đoạn này chủ yếu dựa vào những dấu hiệu cụ thể nằm trên bề mặt của đối tượng hoặc những dấu hiệu thuộc công dụng và chức năng. Tư duy còn chịu ảnh hưởng nhiều bởi yếu tố tổng thể. 5 (ii ) Mức độ thứ hai (thường từ 8 – 12 tuổi) Tư duy trực quan hình tượng chiếm ưu thế. Trẻ đã bắt đầu nắm được một số mối quan hệ của khái niệm. Những thao tác về tư duy như phân loại, phân hạng tính toán, không gian, thời gian được hình thành và phát triển mạnh. Đến cuối giai đoạn này, tư duy ngôn ngữ bắt đầu hình thành. Tuy nhiên năng lực tư duy của trẻ còn bị hạn chế bởi sự ràng buộc với những vật chất cụ thể. Trẻ gặp khó khăn trong tư duy trừu tượng. 1.2 Vấn đề chung về bài toán 1.2.1 Quan niệm về bài toán. Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết. Theo G. Polya, bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay. Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G. Polya cho ta thấy rằng: Bài toán là sự đòi hỏi đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập… 1.2.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán. Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài toán gồm hai yếu tố chính hợp thành Bài toán cho biết gì? (là những gì bài toán đã cho) Bài toán yêu cầu tìm gì? (là mục đích của bài toán) 1.2.3 Lời giải của bài toán. Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra. Ta thống nhất giữa lời giải, cách giải, bài giải của bài toán. Một bài toán có thể có một lời giải, không có lời giải hoặc có nhiều lời giải. Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải tại sao bài toán là 6 không lời giải được trong trường hợp nó không có lời giải. Nhưng ở Tiểu học, một bài toán thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp không có lời giải thường không có. 1.2.4 Ý nghĩa của việc giải toán. Giải toán có ý nghĩa to lớn và đóng vai trò quan trọng trong quá trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh. Rèn luyện, phát triển tư duy, kĩ năng vận dụng kiến thức của học sinh. Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh. 1.2.5 Phân loại bài toán. Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là sử dụng nó thuận lợi. Ta có một số cách phân loại bài toán như sau (i ) Phân loại theo hình thức của bài toán. Dựa vào kết luận của bài toán đã cho hay chưa để phân bài toán ra thành hai loại: Bài toán chứng minh và bài toán tìm tòi. Bài toán chứng minh là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán. Bài toán tìm tòi là bài toán trong đó kết luận của nó vẫn chưa có sẵn trong đề bài toán. (ii ) Phân loại theo phương pháp giải bài toán gồm hai loại Bài toán có algorithm giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một thuật toán chung nào đó, được mang tính chất angorit nào đó. Bài toán không có algorithm giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một thuật toán nào hoặc không mang tính chất thuật toán nào. (iii ) Phân loại theo nội dung bài toán. Bài toán số học; Bài toán chuyển động đều; Bài toán về tuổi; Bài toán trồng cây; Bài toán cấu tạo số;… (iv ) Phân loại theo ý nghĩa giải toán Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau 7 khi học một hay một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó. Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo. (v ) Phân loại theo phép tính sử dụng trong bài giải. Các bài toán ở tiểu học được chia làm hai loại gồm bài toán đơn và bài toán hợp. Bài toán đơn là bài toán được giải bằng một phép tính. Bài toán hợp là bài toán giải bằng hai phép tính trở lên. Bài toán hợp chứa đựng trong nó những bài toán đơn theo một cấu trúc, số phải tìm trong bài toán đơn này lại là số cho trước của bài toán đơn khác hay kết quả của phép tính trong bài toán đơn này sẽ trở thành một phần phép tính trong bài toán đơn tiếp sau đó. 1.2.6 Phƣơng pháp tìm lời giải của bài toán. Quy trình giải một bài toán gồm bốn bước Bƣớc thứ nhất (Phân tích yêu cầu bài toán). Trước khi giải một bài toán, ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán. Bước này gồm các hoạt động sau: Phân biệt yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm của bài toán. Tức là tìm hiểu những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán? Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài. Phân biệt những yếu tố thuộc về bản chất và không phải là bản chất. Mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm. Ta có thể biểu diễn mối quan hệ đó bằng cách tóm tắt hoặc nhắc lại bài toán. Bƣớc thứ hai (Phân tích đề bài để tìm ra cách giải). Yêu cầu các em học sinh suy nghĩ từ những gì bài toán đã cho và cần giải quyết điều gì ở bước trên (cần thiết giáo viên có thể đưa ra sự gợi ý tùy theo từng bài toán cụ thể hoặc phân tích theo mỗi ý tưởng khác nhau của học sinh) để hướng các em tìm ra 8 lời giải. Trên sự thống nhất các ý kiến của học sinh, giáo viên tổng hợp và hướng dẫn học sinh lập quy trình về ý tưởng giải quyết bài toán. Bƣớc thứ ba (Hướng dẫn trình bày giải bài toán). Trên cơ sở đã hướng dẫn ở bước hai giáo viên có thể chọn một số học sinh giải bài toán (sự lựa chọn này phụ thuộc sự nhận thức của từng đối tượng và mục đích của bài giảng để đáp ứng với hầu hết đối tượng trong lớp). Bƣớc thứ tƣ Đánh giá kết quả và phân tích sự hiệu dụng trong mỗi lời giải (nếu có nhiều học sinh giải theo các cách khác nhau). Tiếp theo giáo viên đưa ra những cách giải khác tốt hơn nếu có thể. 1.3 Bài toán cổ – toán vui 1.3.1 Khái niệm. Toán vui là dạng toán trong đó các dữ liệu của bài toán được trình bày dưới dạng một câu chuyện, một bài thơ hoặc một đoạn văn có xen kẽ những từ ngữ, câu đố hóm hỉnh, vui nhộn. Toán cổ là dạng toán trong đó các dữ liệu của bài toán cũng được trình bày dưới dạng văn vần hoặc văn xuôi, một câu chuyện hoặc một bài thơ. Tuy nhiên khác với toán vui ở chỗ, các tình huống, các nhân vật hay các tên gọi, từ ngữ trong toán cổ chỉ có trong các câu chuyện cổ ngày xưa. Chẳng hạn các nhân vật hay xuất hiện trong truyện cổ tích như anh Khoai, thằng Bờm, Phú ông, công chúa, hoàng tử…., các nhân vật trong truyện ngụ ngôn như Thỏ và Rùa, Ếch cốm… 1.3.2 Phân loại. Căn cứ theo nội dung của các bài toán cổ – toán vui được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán cổ – toán vui thành các loại khác nhau. Chẳng hạn + Các bài toán về chữ và số. + Các bài toán về chuyển động. + Các bài toán về phân số và số thập phân. 9 + Các bài toán về tính tuổi. + Các bài toán suy luận. + Các bài toán có nội dung khác. 1.3.3 Ý nghĩa của các bài toán cổ - toán vui. Toán cổ – toán vui có ý nghĩa rất lớn đối với nhận thức và tư duy của học sinh tiểu học. Vì thế trong dạy học toán ở tiểu học, việc sử dụng dạng toán này đã mang lại hiệu quả rất cao trong việc lĩnh hội tri thức toán học và vận dụng tri thức đó vào thực tiễn cuộc sống. Do đặc điểm vui, dí dỏm, hóm hỉnh của các bài toán cổ – toán vui nên việc giải các bài toán này sẽ tạo ra không khí thoải mái trong lớp học. Vì vậy dạng toán này được xem là hình thức giải lao tích cực trong quá trình dạy học toán. Toán cổ – toán vui tạo ra những tình huống kích thích học sinh suy nghĩ, tìm tòi, gây được hứng thú học tập toán cho học sinh, góp phần rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo, logic và linh hoạt cho học sinh. Môn Toán luôn có mối quan hệ mật thiết với các môn học khác và toán cổ – toán vui cũng có đặc điểm đó. Trong toán có văn, đó là đặc điểm đầu tiên dễ nhận thấy. Các bài toán cổ – toán vui thường sử dụng hệ thống ngôn ngữ, hình ảnh phong phú, sinh động, sử dụng linh hoạt cách phối vần điệu, thể thơ. Ví dụ Mùa xuân nghe tiếng trống thì thùng, Người ùa vây kín cả đình đông. Tranh nhau đánh đấm đòi mâm lớn, Tiên chỉ hò la để chỗ ông. Bốn người một cỗ thừa một cỗ, Ba người một cỗ bốn người không. Ngoài đình chè chén bao người nhỉ, Tính thử xem rằng có mấy ông? Hoặc dựa vào các câu chuyện ngụ ngôn để phát triển thành bài toán như: “ Dù 10 đã bị thất bại chua cay, nhưng thỏ vẫn tìm đến thách thức chạy đua với rùa. Lần này, quãng đường chạy thi dài 100 m . Nhưng vẫn mắc bệnh khoác lác, thỏ nói rằng: “ Tôi sẽ chấp anh 48 m . Trên đoạn đường mà anh chạy, tôi sẽ chạy với vận tốc gấp đôi. Còn trên đoạn đường còn lại, tôi sẽ chạy với vận tốc bằng tốc độ của anh”. Nghĩa là thỏ để rùa xuất phát từ điểm cách điểm ban đầu 48 m và trên quãng đường 48 m này thỏ chạy với vận tốc bằng vận tốc của rùa. Nhưng cuối cùng thỏ vẫn thua. Hỏi rùa đã về đích trước thỏ bao nhiêu mét? Toán vui – toán cổ còn sử dụng ngôn ngữ của hội họa (môn mĩ thuật), đó là các màu sắc xanh, đỏ, tím, vàng…. Ví dụ: Trên bàn có ba cuốn sách giáo khoa Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau là xanh, đỏ, vàng. Cho biết cuốn bọc màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và cuốn Địa lí. Cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định màu bìa của mỗi cuốn sách. 1.4 Một số phƣơng pháp thƣờng dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui bậc Tiểu học Có rất nhiều quan điểm khác nhau về các phương pháp giải toán ở Tiểu học. Trong phạm vi đề tài, tôi theo quan điểm của tác giả Trần Diên Hiển trong cuốn Thực hành giải toán ở Tiểu học để đưa ra một số phương pháp thường dùng để giải các bài toán cổ và bài toán vui. 1.4.1 Phƣơng pháp tính ngƣợc từ cuối. Là phương pháp thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong bài toán. Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm. Ví dụ. Bác Năm đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất bác bán một nửa số trứng thêm một quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại thêm 2 quả và lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại và thêm 3 quả thì vừa hết số trứng. 11 Hỏi bác Năm đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng? Lời giải. Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai được biểu diễn bằng sơ đồ sau 3 quả Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai là 3 2 6 (quả) Số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất được biểu diễn bằng sơ đồ sau 2 quả 6 quả Số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất là (6 2) 2 16 (quả) Số trứng lúc đầu mang đi bán được biểu diễn bởi sơ đồ sau 1 quả 16 quả Số trứng bác Năm mang ra chợ bán là (16 1) 2 34 (quả) Đáp số: 34 quả trứng. 1.4.2 Phƣơng pháp lập bảng logic. Các bài toán được giải bằng phương pháp lập bảng thường xuất hiện hai nhóm đối tượng (chẳng hạn tên người và nghề nghiệp, vận động viên và giải thưởng, tên sách và màu bìa…). Khi giải ta thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng ở nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ hai. Dựa vào điều kiện đầu bài ta loại bỏ dần các ô (là giao của mỗi hàng và mỗi cột). Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán. Ví dụ. Giờ Toán, cô giáo trả bài kiểm tra. Bốn bạn, Lan, An, Đức, Hòa ngồi 12 cùng bàn đều được điểm 8 trở lên. Giờ ra chơi, Phượng hỏi điểm của 4 bạn. Lan trả lời: - Đức không đạt điểm 10 , mình và Hòa không đạt điểm 9 , còn An không đạt điểm 8 . An thì nói: - Minh không đạt điểm 10 , Đức không đạt điểm 9 , còn Lan và Hòa không đạt điểm 8 Hãy cho biết mỗi người đạt điểm mấy? Lời giải. Bài toán này cũng có hai nhóm đối tượng là tên người và điểm số. Ta lập bảng logic biểu diễn 2 nhóm đối tượng đó rồi dựa vào dữ kiện bài toán cho để tìm ra kết quả Tên Lan Đức An Hòa Điểm 10 0 X 2 1 9 0 0 3 0 0 8 0 X 10 4 7 6 9 X 0 X 5 8 0 11 12 Theo Lan, ta điền 0 vào các ô 3,5, 8,10 . Theo An, ta điền 0 vào các ô 2,7,9,12. Còn lại các ô không bị loại là 1, 4,6,11 . Vậy, Lan: 10 , An: 9 , Đức: 8 , Hòa: 10 . 1.4.3 Phƣơng pháp suy luận đơn giản. Suy luận đơn giản là phép suy luận không dùng công cụ của logic mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép tuyển...). Ta xét ví dụ sau 13 Ba người thợ hàn, thợ tiện, thợ điện đang ngồi giải lao và trò chuyện với nhau Bác thợ hàn nhận xét: - Ba ta làm nghề trùng với tên của ba ta nhưng không có ai làm trùng với tên của mình cả. Bác điện hưởng ứng: - Bác nói đúng. Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của các bác thợ đó. Lời giải. Vì bác Điện hưởng ứng lời của bác thợ hàn nên bác Điện không làm nghề thợ hàn. Mà bác Điện cũng không làm nghề thợ điện nên bác Điện làm nghề thợ tiện. Bác Điện không làm nghề thợ hàn, bác Hàn cũng không làm nghề thợ hàn nên bác Tiện làm nghề thợ hàn. Vậy còn lại bác Hàn làm nghề thợ điện. Kết luận: Bác Hàn làm thợ điện. Bác Tiện làm thợ hàn. Bác Điện làm thợ tiện. 1.4.4 Phƣơng pháp lựa chọn tình huống. Các bài toán được giải theo phương pháp này là các bài toán mà dữ kiện đưa ra thường dưới dạng các tình huống. Trong các tình huống đó, mỗi tình huống thường được thỏa mãn một phần, bị bác bỏ một phần và có một tình huống thảo mãn hoàn toàn (đó là tình huống được chọn). Để giải các bài toán này ta lựa chọn một tình huống và đối chiếu với điều kiện đề bài để tìm ra kết quả bài toán. Ví dụ. Sau giờ luyện tập buổi sáng, đội tuyển thể thao vào quán ăn trưa. Thực đơn của quán gồm 8 món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào măng, canh chua. Toàn đội nhất trí sẽ gọi 3 món trong thực đơn. Nguyện vọng của các cầu thủ được chia làm 5 nhóm như sau 14 Nhóm 1 : Gà luộc, nem rán, chim quay Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào, cá rán. Nhóm 3 : Bò xào, cá rán, ốc xào măng. Nhóm 4 : Nem rán, ốc xào măng, canh chua. Nhóm 5 : Gà luộc, bò xào, canh chua. Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực hiện của đội trưởng vì theo thực đơn đó, mỗi nhóm đều có ít nhất một món mình yêu thích. Hỏi toàn đội hôm đó đã ăn món gì? Lời giải. Nếu chọn thực đơn của nhóm 1 thì cả nhóm 2 và nhóm 3 đều không có món nào mình yêu thích. Vậy không thể chọn thực đơn của 3 nhóm đầu. Nếu chọn thực đơn của nhóm 4 thì nhóm 2 không có món nào mình yêu thích. Nếu chọn thực đơn của nhóm 5 thì mỗi nhóm trong 4 nhóm còn lại đều có ít nhất 1 món mình yêu thích. Vậy, bữa trưa hôm đó thực đơn của đội là: gà luộc, bò xào, canh chua. 1.4.5 Phƣơng pháp thử chọn. Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài toán về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Ví dụ “ Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Có mười sáu con Bốn mươi chân chẵn” Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó? Lời giải. Ta thấy bài toán cho cả gà và chó có tất cả 16 con gồm 40 cái chân. Ta sẽ dùng phương pháp thử chọn để giải bài toán này. Trước tiên ta sẽ cho số chó nhận giá trị từ 1 đến 9 (nếu số chó lớn hơn 9 thì sẽ không còn chân gà). 15